Pronađite koordinate modula i kosinusa smjera vektora. Vektorski smjer. A) jednačina prave linije sa nagibom

Neka vektor ( X , at , z ).

Označimo uglove nagiba ovog vektora prema osi Ooh, ooh i Oz odnosno slova ,and. tri broja cos, cos i cos pozvao kosinus smjera vektora. Pretpostavljam = (1; 0; 0 ) dobijamo iz (9)

Slično

Iz formula (11) - (13) slijedi:

1) cos 2 + cos 2 + cos 2 = 1 ,

one. zbir kosinusa smjera na kvadrat svakog vektora različitog od nule jednak je jedan;

one.kosinusi smjera ovog vektora su proporcionalni njegovim odgovarajućim projekcijama.

Bilješka. Iz formula (11)-(13) može se vidjeti da se projekcije bilo kojeg jediničnog vektora na koordinatne ose, respektivno, poklapaju s njegovim kosinusima smjera i, prema tome,

Primjer. Pronađite kosinus smjera vektora (1; 2; 2). Prema formulama (11)-(13) imamo

4. Vektorski proizvod dva vektora i njegova glavna svojstva.

Definicija. Vektorski proizvod dva vektorai naziva se novi vektor čiji je modul jednak površini paralelograma izgrađenog na vektorima i svedenog na zajedničko ishodište, a koji je okomit na pomnožene vektore (drugim riječima, okomit na ravan paralelograma izgrađeni na njima) i usmjereni u takvom smjeru da se čini da se najkraći zaokret oko rezultirajućeg vektora događa u smjeru suprotnom od kazaljke na satu kada se gleda s kraja vektora (slika 40).

Ako su vektori kolinearni, onda su njihovi vektorski proizvod smatra se jednakim nultom vektoru. Iz ove definicije proizilazi da

|| = || || grijeh,

gdje je ugao između vektora i ( 0 ). Unakrsni proizvod vektora i označen je simbolom

x ili ili [,].

Hajde da saznamo fizičko značenje vektorskog proizvoda. Ako vektor predstavlja primijenjenu u nekoj tački Gospođa silos, a vektor ide iz neke tačke O upravo M, zatim vektor = predstavlja moment sile oko tačke O.

Unakrsna svojstva proizvoda

1 . Kada se faktori preurede, vektorski proizvod mijenja predznak, tj.

x = -(x).

()x=x()=(x), gdje je skalar.

3. Vektorski proizvod poštuje zakon raspodjele, tj.

4. Ako je vektorski proizvod dva vektora jednak nultom vektoru, tada je ili barem jedan od pomnoženih vektora jednak nultom vektoru (trivijalan slučaj), ili je sinus ugla između njih jednak nuli, tj. vektori su kolinearni.

nazad, ako su dva vektora različita od nule kolinearna, onda je njihov vektorski proizvod jednak nultom vektoru.

Na ovaj način , da bi dva različita od nule vektora u bila kolinearna, potrebno je i dovoljno da njihov unakrsni proizvod bude jednak nultom vektoru.

Iz ovoga, posebno, slijedi da je vektorski proizvod vektora i samog sebe jednak nultom vektoru:

x =0

(X takođe pozvan vektor kvadratni vektor .

5. Mješoviti proizvod tri vektora i njegova glavna svojstva.

Neka postoje tri vektora , i. Zamislite da se vektor množi vektorski i da se rezultujući vektor x množi skalarno vektorom, čime se određuje broj (x). Zove se ili mješoviti proizvod tri vektora, i.

Radi kratkoće, mješoviti proizvod (x) će biti označen sa ili ().

Hajde da saznamo geometrijsko značenje mješovitog proizvoda. Neka razmatrani vektori nisu komplanarni. Konstruirajmo paralelepiped na vektorima, kao i na ivicama.

Unakrsni proizvod x je vektor (=) brojčano jednak površini paralelograma OADB (osnova konstruisanog paralelopipeda), izgrađena na vektorima i usmerena okomito na ravan paralelograma (sl. 41).

Skalarni proizvod (x)=je proizvod modula vektora i projekcije vektora (vidi tačku 1, (2)).

Visina konstruisanog paralelepipeda je apsolutna vrijednost ove projekcije.

Dakle, proizvod | | po apsolutnoj vrijednosti jednak je proizvodu površine osnove paralelepipeda i njegove visine, tj. volumen paralelepipeda izgrađenog na vektorima, i.

Važno je napomenuti da skalarni proizvod daje volumen paralelepipeda, ponekad sa pozitivnim, a ponekad sa negativnim predznakom. Pozitivan predznak se dobija ako je ugao između vektora oštar; negativan - ako je glup. Sa oštrim uglom između i vektor se nalazi na istoj strani ravnine OADB , što je vektor i, prema tome, sa kraja vektora, rotacija od k će se vidjeti na isti način kao i sa kraja vektora, tj. u pozitivnom smjeru (u smjeru suprotnom od kazaljke na satu).

Pod tupim uglom između vektora koji se nalazi na drugoj strani ravnine OADB od vektora, a samim tim i sa kraja vektora, rotacija od k će se vidjeti u negativnom smjeru (kazaljke na satu). Drugim riječima, proizvod je pozitivan ako vektori i formiraju istoimeni sistem sa glavnim Oxyz (međusobno smješteni na isti način kao i osi Ox, Oy, Oz), a negativan je ako vektori čine sistem koji se razlikuje od glavnog.

Na ovaj način, mješoviti proizvod je broj,čija apsolutna vrijednost izražava zapreminu paralelepipeda,izgrađen na vektorima,kao na rebrima.

Predznak proizvoda je pozitivan ako vektori ,, čine sistem sa istim imenom kao i glavni, a negativan u suprotnom.

Iz ovoga slijedi da će apsolutna vrijednost proizvoda = (x) ostati ista, bez obzira kojim redoslijedom uzmemo faktore,,. Što se tiče znaka, on će u nekim slučajevima biti pozitivan, u drugim negativan; zavisi od toga da li naša tri vektora, uzeta određenim redosledom, formiraju sistem sa istim imenom kao i glavni, ili ne. Imajte na umu da su naše koordinatne ose postavljene na način da slijede jedna za drugom u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, ako pogledate u unutrašnji dio (Sl. 42). Redoslijed sukcesije se ne krši ako obilazak krenemo od druge ose ili od treće, sve dok se kreće u istom smjeru, tj. u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. U ovom slučaju, množitelji se preuređuju u kružnom redoslijedu (ciklički). Dakle, dobijamo sledeće svojstvo:

Mješoviti proizvod se ne mijenja kružnom (cikličkom) permutacijom njegovih faktora. Permutiranjem dva susjedna faktora mijenja se predznak proizvoda

= ==-()=-()=-().

Konačno, od geometrijsko značenje miješanog proizvoda, odmah slijedi sljedeća tvrdnja.

Neophodan i dovoljan uslov za komplanarnost vektora,,je jednakost nule njihovog mješovitog proizvoda:

Def. 1.5.6. Smjer kosinus vektor a nazovimo kosinuse onih uglova koje ovaj vektor formira sa baznim vektorima, respektivno, i , j , k .

Kosinus smjera vektora a = (X, at, z) nalaze se po formulama:

Zbir kvadrata kosinusa smjera jednak je jedan:

Kosinus smjera vektora a su koordinate njegovog orta: .

Neka su osnovni vektori i , j , k izvučeno iz zajedničke tačke O. Pretpostavit ćemo da ortovi postavljaju pozitivne smjerove osi Oh, OU, Oz. prikupljanje bodova O (porijeklo) i ortonormalnu osnovu i , j , k pozvao Dekartov pravougaoni koordinatni sistem u prostoru. Neka ALI je proizvoljna tačka u prostoru. Vector a = OA= x i + y j + z k pozvao radijus vektor bodova ALI, koordinate ovog vektora ( x, y, z) nazivaju se i koordinate tačke ALI(simbol: ALI(x, y, z)). Koordinatne ose Oh, OU, Oz takođe se naziva, respektivno, osovina apscisa, osa ordinate, osa primijeniti.

Ako je vektor zadan koordinatama njegove početne tačke AT 1 (x 1 , y 1 , z 1) i krajnja tačka AT 2 (x 2 , y 2 , z 2), tada su koordinate vektora jednake razlici između koordinata kraja i početka: (pošto ).

Kartezijanski pravougaoni koordinatni sistemi na ravni i na pravoj definisani su na potpuno isti način sa odgovarajućim kvantitativnim (prema dimenziji) promjenama.

Rješenje tipičnih zadataka.

Primjer 1 Pronađite kosinus dužine i smjera vektora a = 6i – 2j -3k .

Rješenje. Dužina vektora: . Kosinus smjera: .

Primjer 2 Pronađite vektorske koordinate a , formirajući se sa jednakim koordinatnim osama oštri uglovi, ako je dužina ovog vektora .

Rješenje. Budući da , zatim zamjenom u formulu (1.6), dobivamo . Vector a formira oštre uglove sa koordinatnim osa, pa orto . Dakle, nalazimo koordinate vektora .

Primjer 3 Dana su tri nekoplanarna vektora e 1 = 2i – k , e 2 = 3i + 3j , e 3 = 2i + 3k . Decompose Vector d = i + 5j - 2k osnovu e 1 , e 2 , e 3 .

Neka je dat vektor. Jedinični vektor u istom smjeru kao (vektorski vektor ) se nalazi po formuli:

Neka osovina formira uglove sa koordinatnim osa
.Kosinus smjera ose kosinusi ovih uglova nazivaju se: Ako smjer dato jediničnim vektorom , tada kosinusi smjera služe kao njegove koordinate, tj.:

Kosinusi smjera povezani su relacijom:

Ako smjer dat proizvoljnim vektorom , zatim pronađite jedinični vektor ovog vektora i upoređujući ga sa izrazom za jedinični vektor , uzmi:

Skalarni proizvod

Dot product
dva vektora i nazivamo brojem jednak umnošku njihovih dužina kosinusom ugla između njih:
.

Skalarni proizvod ima sljedeća svojstva:

shodno tome,
.

Geometrijsko značenje skalarnog proizvoda: tačkasti proizvod vektora i jediničnog vektora jednaka projekciji vektora u utvrđenom pravcu , tj.
.

Iz definicije skalarnog proizvoda slijedi sljedeća tablica množenja ortova
:

Ako su vektori dati svojim koordinatama
i
, tj.
,
, zatim, množeći ove vektore skalarno i koristeći tablicu množenja ortova, dobijamo izraz za skalarni proizvod
kroz koordinate vektora:

vektorski proizvod

Unakrsni proizvod vektorapo vektoru zove vektor , čija dužina i pravac su određeni uslovima:

Vektorski proizvod ima sljedeća svojstva:

Iz prva tri svojstva slijedi da vektorsko množenje zbira vektora zbirom vektora poštuje uobičajena pravila za polinomno množenje. Potrebno je samo osigurati da se redoslijed množitelja ne promijeni.

Osnovni jedinični vektori se množe na sljedeći način:

Ako a
i
, tada uzimajući u obzir svojstva vektorskog proizvoda vektora, možemo izvesti pravilo za izračunavanje koordinata vektorskog proizvoda iz koordinata vektora faktora:

Ako uzmemo u obzir gore dobivena pravila za množenje ortova, tada:

Kompaktniji oblik pisanja izraza za izračunavanje koordinata vektorskog proizvoda dva vektora može se konstruisati ako uvedemo pojam matrične determinante.

Razmotrimo poseban slučaj kada su vektori i pripadaju avionu
, tj. mogu se predstaviti kao
i
.

Ako su koordinate vektora zapisane u obliku tablice na sljedeći način:
, onda možemo reći da se od njih formira kvadratna matrica drugog reda, tj. veličina
, koji se sastoji od dva reda i dvije kolone. Svaki kvadratna matrica dodjeljuje se broj, koji se izračunava iz elemenata matrice prema određenim pravilima i naziva se determinanta. Determinanta matrice drugog reda jednaka je razlici između proizvoda elemenata glavne dijagonale i sekundarne dijagonale:

U ovom slučaju:

Apsolutna vrijednost determinante je, dakle, jednaka površini paralelograma izgrađenog na vektorima i kao sa strane.

Ako uporedimo ovaj izraz sa formulom vektorskog proizvoda (4.7), onda:

Ovaj izraz je formula za izračunavanje determinante matrice trećeg reda iz prvog reda.

Na ovaj način:

Determinanta matrice trećeg reda izračunava se na sljedeći način:

i algebarski je zbir šest članova.

Formula za izračunavanje determinante matrice trećeg reda je lako zapamtiti ako koristite praviloSarrus, koji je formuliran na sljedeći način:

Svaki pojam je proizvod tri elementa smještena u različitim stupcima i različitim redovima matrice;

Znak plus ima proizvode elemenata koji formiraju trouglove sa stranom paralelnom s glavnom dijagonalom;

Znak minus se daje proizvodima elemenata koji pripadaju sekundarnoj dijagonali i dvama produktima elemenata koji formiraju trokute sa stranom paralelnom sa sekundarnom dijagonalom.

DEFINICIJA

Vector naziva se uređenim parom tačaka i (tj. tačno se zna koja je od tačaka u ovom paru prva).

Prva tačka se zove početak vektora, a drugi je njegov kraj.

Udaljenost između početka i kraja vektora se naziva dužina ili vektorski modul.

Vektor čiji su početak i kraj isti naziva se nula i označava se sa ; pretpostavlja se da je njegova dužina nula. Inače, ako je dužina vektora pozitivna, onda se zove ne-nula.

Komentar. Ako je dužina vektora jednaka jedan, onda se zove ortom ili jedinični vektor i označava se.

PRIMJER

Vježbajte	Provjerite je li vektor single.
Rješenje	Izračunajmo dužinu datog vektora, ona je jednaka kvadratnom korijenu zbira kvadrata koordinata: Pošto je dužina vektora jednaka jedan, onda je vektor vektor.
Odgovori	Vektor je pojedinačni.