"Ako želiš da podijeliš jedan, matematičari će te ismijavati i neće ti to dozvoliti" -

napisao je osnivač Atinske akademije Platon.

Ali nisu se svi starogrčki matematičari složili s Platonom. Arhimed i Heron Aleksandrijski su slobodno rukovali frakcijama.

Pogledajte sadržaj dokumenta
"Jednakost razlomaka."

Tehnološka mapa časa.

Predmet

Matematika

Klasa

Tema lekcije

Jednakost razlomaka.

Vrsta lekcije

Učenje novog gradiva

Ciljevi

obrazovni - upoznati se sa pravilom poređenja razlomaka sa istim zamjenama, sa različitim zamjenama;

razvija - razvoj logičko razmišljanje, pokazni matematički govor, zapažanje, domišljatost;

obrazovni - vaspitanje međusobnog poštovanja, svrsishodnosti, samostalnosti; stvaranje povoljnih uslova, emocionalnih i psihološka klima u učionici za percepciju nastavnog materijala.

Planirani obrazovni ishodi

predmet

Metasubject

Lični

Poznavati pojmove: jednaki razlomci, svodivi razlomci, nesvodljivi razlomci, biti u stanju dovesti razlomke u zajednički imenilac, poznavati pojam najmanjeg zajedničkog imenioca, znati dovesti razlomke do najmanjeg zajedničkog imenioca;

Formulirajte i zapišite uz pomoć slova glavno svojstvo običnog razlomka,

Pretvorite obične razlomke, uporedite ih i poredajte,

Pronađite razlomak jednak datom.

Razvijati sposobnost sagledavanja matematičkog problema u kontekstu problemske situacije u drugim disciplinama, u okolnom životu; razvijati sposobnost rada u grupama.

Razviti vještine slušanja; jasno, tačno, kompetentno izražavaju svoje misli usmenim i pismenim govorom; razvijati kreativno mišljenje, inicijativu, snalažljivost, aktivnost u rješavanju matematičkih zadataka; formirati ideje o matematici kao načinu poznavanja, očuvanja i skladnog razvoja svijeta, kao dijelu ljudske kulture, o značaju matematike u razvoju civilizacije i savremenog društva.

Organizacijske strukture lekcija

Faza lekcije

Aktivnost

Vrijeme

nastavnici

studenti

Organizacijski

komunikativan: planiranje obrazovne saradnje sa nastavnikom i vršnjacima.

Regulatorno: organiziranje vaših aktivnosti učenja

Lični: motivacija za učenje.

Pozdravljanje, provjera spremnosti za nastavu, organiziranje pažnje djece.

Uključeno u poslovni ritam časa.

Motivacija i

aktualizacija

Komunikativno: planiranje obrazovne saradnje sa nastavnikom i vršnjacima;

kognitivni:

samostalan odabir i formulisanje kognitivnog cilja.

Logično: - formulacija problema

    Verbalno brojanje:

oralne vježbe

2. Pronađite među brojevima jednake i objasnite: ; ; jedan; ; ; ; ; ; .

3. Naći LCM brojeva (na racionalan način): a) 4 i 8; b) 12 i 16; c) 12 i 11; d) 5; deset; jedanaest.

4. Postoji li takav prirodan broj koji bi u proizvodu sa brojem 6 dao broj:

a) 18; b) 27; u 3? Obrazložite odgovor.

Odgovorite na postavljena pitanja

Otkrivanje novih znanja

komunikativan:

koristeći sredstva jezika i govora za primanje i prenošenje informacija, učestvovati u produktivnom dijalogu;

kognitivni: analiza, logičko zaključivanje, biranje najviše efikasne načine rješavanje problema.

Pomnožite brojilac i imenilac razlomka i razlomaka

Šta se može vidjeti? (Razlomci imaju isti imenilac.)

Kažu da razlomci imaju zajednički imenilac.

A koliki je to nazivnik za brojeve 3 i 5. (višestruko)

Zajednički nazivnik razlomaka može biti bilo koji zajednički višekratnik njihovih nazivnika, ali razlomci obično rezultiraju najmanjim nazivnikom.

Nađimo LCM(3,5)=15. Razlomke dovodimo do imenioca 15.

Šta je potrebno za ovo?

Pomnožite razlomak sa 3, a razlomak sa 5.

3 i 5 nazivaju se dodatnim množiteljima.

Hajde da pokušamo da izvedemo pravilo za svođenje razlomaka na zajednički imenilac. (...)

Svođenje razlomaka na najmanji zajednički nazivnik (LCD)

Za dovođenje više razlomaka na najmanji zajednički nazivnik:

1) naći najmanji zajednički umnožak imenilaca ovih razlomaka, to će biti njihov najmanji zajednički imenilac;

2) najmanji zajednički imenilac podijeliti na imenioce ovih razlomaka, tj. pronaći dodatni faktor za svaki razlomak;

3) pomnožimo brojilac i imenilac svakog razlomka njegovim dodatnim faktorom.

Primjer. Svodimo na najmanji zajednički nazivnik razlomka
Rješenje. Najmanji zajednički višekratnik 4 i 6 je 12.
Da biste razlomak doveli do nazivnika od 12, potrebno je pomnožiti brojilac i imenilac ovog razlomka dodatnim
množitelj 3 (12:4 = 3). Get
Da biste razlomak doveli do nazivnika od 12, potrebno je pomnožiti brojilac i imenilac ovog razlomka dodatnim faktor 2 (12:6=2).

Get

Zapišite, diskutujte, komentirajte

Konsolidacija znanja i vještina

Kognitivni: analiza, logičko zaključivanje, izbor najefikasnijih načina za rješavanje problema.

Regulatorno: pokazati kognitivnu inicijativu

komunikativan:

koristeći sredstva jezika i govora za primanje i prenošenje informacija, učestvuju u produktivnom dijalogu.

№ 803 (1.2 st.)

Rješenje:

b) 15/20 i 18/24; 90/120 = 90/120;

c) 20/35 i 16/28; 80/140=80/140;

f) 30/48 i 36/56; 210/336 216/336

g) 56/84 i 82/108; 504 /756 574 /756

1 učenik za tablom, čelik odlučujem sam.

Samostalan rad

Lični: izvršiti samoprocjenu

kognitivni:

komunikativan:

Opcija 1

Rešenje: 65:5*13=169 kg.

Rešenje: 117/9*4= 13*4=52 devojčice.

117-52=65 dječaka.

Opcija 2

Rešenje: 36:2*9=162 p.

Rešenje: 136:8*5=17*5=85 lako. automobili

136-85=51 opterećenja. automobili

    Dovedite razlomke na zajednički nazivnik.

Rezimirajući. Zadaća.

Lični: izvršiti samoprocjenu

kognitivni: stekli naviku da pravilno rade domaće zadatke

komunikativan: planirati saradnju, odrediti kome je potrebna pomoć

Daje kratko objašnjenje svakog broja domaćeg zadatka.

№ 803 (3,4 st), 793 (u pisanom obliku)

zapiši zadaća u dnevnik, praveći potrebne bilješke.

Refleksija

Lični: sprovesti samoprocjenu, naučiti adekvatno prihvatiti razloge uspjeha (neuspjeha)

kognitivni: razmišljaju o metodama i uslovima njihovog delovanja

komunikativan: planiraju saradnju, koriste kriterijume da opravdaju svoje prosudbe

Postavljanje pitanja:

Bilo je teško…

Bilo je zanimljivo…

Naučio sam …

iznenadio me

Isticanje i razumijevanje od strane učenika onoga što je već naučeno i onoga što tek treba naučiti, svijest o kvalitetu i nivou asimilacije

Izrazite svoje misli

Opcija 1

    U toku dana u radnji je prodato 65 kg jabuka, što je 5/13 težine svih jabuka unesenih u prodavnicu. Koliko je kilograma jabuka isporučeno?

    U petom razredu ima 117 učenika, od kojih su 4/9 djevojčice. Koliko dječaka ide u peti razred.

    Dovedite razlomke na zajednički nazivnik.

Opcija 2

    Za dva dana daktilograf je odštampao 36 stranica, što je 2/9 ukupnog rukopisa. Koliko stranica ima u ovom rukopisu?

    U voznom parku je bilo 136 automobila, od čega su 5/8 bili kamioni, a ostalo automobili. Koliko je automobila bilo u voznom parku.

    Dovedite razlomke na zajednički nazivnik.

Opcija 1

    U toku dana u radnji je prodato 65 kg jabuka, što je 5/13 težine svih jabuka unesenih u prodavnicu. Koliko je kilograma jabuka isporučeno?

    U petom razredu ima 117 učenika, od kojih su 4/9 djevojčice. Koliko dječaka ide u peti razred.

    Dovedite razlomke na zajednički nazivnik.

Opcija 2

    Za dva dana daktilograf je odštampao 36 stranica, što je 2/9 ukupnog rukopisa. Koliko stranica ima u ovom rukopisu?

    U voznom parku je bilo 136 automobila, od čega su 5/8 bili kamioni, a ostalo automobili. Koliko je automobila bilo u voznom parku.

    Dovedite razlomke na zajednički nazivnik.

Ova tema je veoma važna o osnovnim svojstvima razlomaka, baziraju se sva dalja matematika i algebra. Razmatrana svojstva razlomaka, uprkos njihovoj važnosti, vrlo su jednostavna.

Razumjeti osnovna svojstva razlomaka razmotriti krug.

Na krugu se vidi da su 4 dijela ili su zasjenjena od osam mogućih. Napišite rezultujući razlomak \(\frac(4)(8)\)

Sljedeći krug pokazuje da je jedan od dva moguća dijela zasjenjen. Napišite rezultujući razlomak \(\frac(1)(2)\)

Ako pažljivo pogledamo, vidjet ćemo da je u prvom slučaju, da je u drugom slučaju polovina kruga zasjenjena, pa su rezultirajući razlomci jednaki \(\frac(4)(8) = \frac(1)( 2)\), odnosno to je isti broj.

Kako se to može matematički dokazati? Vrlo jednostavno, zapamtite tablicu množenja i zapišite prvi razlomak u faktore.

\(\frac(4)(8) = \frac(1 \cdot \color(crvena) (4))(2 \cdot \color(red) (4)) = \frac(1)(2) \cdot \color(red) (\frac(4)(4)) =\frac(1)(2) \cdot \color(red)(1) = \frac(1)(2)\)

Šta smo uradili? Faktorirali smo brojilac i imenilac \(\frac(1 \cdot \color(red) (4))(2 \cdot \color(red) (4))\), a zatim podijelili razlomke \(\frac(1) ) (2) \cdot \color(crvena) (\frac(4)(4))\). Četiri podijeljeno sa četiri je 1, a jedan pomnožen bilo kojim brojem je sam broj. Ono što smo uradili u gornjem primjeru se zove smanjenje razlomaka.

Pogledajmo još jedan primjer i smanjimo razlomak.

\(\frac(6)(10) = \frac(3 \cdot \color(red) (2))(5 \cdot \color(red) (2)) = \frac(3)(5) \cdot \color(crvena) (\frac(2)(2)) =\frac(3)(5) \cdot \color(red)(1) = \frac(3)(5)\)

Ponovo smo obojili brojilac i imenilac u činioce, a iste brojeve sveli u brojioce i nazivnike. Odnosno, dva podijeljena sa dva daje jedan, a jedan pomnožen bilo kojim brojem daje isti broj.

Osnovno svojstvo razlomka.

Ovo implicira glavno svojstvo razlomka:

Ako se i brojnik i imenilac razlomka pomnože istim brojem (osim nule), tada se vrijednost razlomka neće promijeniti.

\(\bf \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n)\)

Također možete podijeliti brojilac i imenilac istim brojem u isto vrijeme.
Razmotrimo primjer:

\(\frac(6)(8) = \frac(6 \div \color(crvena) (2))(8 \div \color(red) (2)) = \frac(3)(4)\)

Ako su i brojnik i imenilac razlomka podijeljeni istim brojem (osim nule), tada se vrijednost razlomka neće promijeniti.

\(\bf \frac(a)(b) = \frac(a \div n)(b \div n)\)

Zovu se razlomci koji imaju zajedničke proste djelitelje i u brojiocima i u nazivnicima poništivi razlomci.

Primjer poništavanja: \(\frac(2)(4), \frac(6)(10), \frac(9)(15), \frac(10)(5), …\)

Tu je i nesvodljivi razlomci.

nesmanjivi razlomak je razlomak koji nema zajedničke proste djelitelje u brojiocima i nazivnicima.

Primjer nesmanjivog razlomka: \(\frac(1)(2), \frac(3)(5), \frac(5)(7), \frac(13)(5), …\)

Bilo koji broj se može predstaviti kao razlomak, jer je svaki broj djeljiv s jednim, na primjer:

\(7 = \frac(7)(1)\)

Pitanja na temu:
Mislite li da se bilo koji razlomak može smanjiti ili ne?
Odgovor: Ne, postoje razlomci koji se svode i nesvodivi razlomci.

Provjerite da li je jednakost tačna: \(\frac(7)(11) = \frac(14)(22)\)?
Odgovor: napiši razlomak \(\frac(14)(22) = \frac(7 \cdot 2)(11 \cdot 2) = \frac(7)(11)\) da pošteno.

Primjer #1:
a) Nađite razlomak sa nazivnikom 15 koji je jednak razlomku \(\frac(2)(3)\).
b) Nađi razlomak sa brojicom 8, jednak razlomku \(\frac(1)(5)\).

Rješenje:
a) Treba nam imenilac da bude broj 15. Sada je imenilac broj 3. Sa kojim brojem treba pomnožiti broj 3 da dobijemo 15? Prisjetite se tablice množenja 3⋅5. Moramo koristiti osnovno svojstvo razlomaka i pomnožiti i brojnik i imenilac razlomka \(\frac(2)(3)\) do 5.

\(\frac(2)(3) = \frac(2 \cdot 5)(3 \cdot 5) = \frac(10)(15)\)

b) U brojiocu nam je potreban broj 8. Sada je u brojiocu broj 1. Sa kojim brojem treba pomnožiti broj 1 da dobijemo 8? Naravno, 1⋅8. Moramo koristiti osnovno svojstvo razlomaka i pomnožiti i brojnik i imenilac razlomka \(\frac(1)(5)\) do 8. Dobijamo:

\(\frac(1)(5) = \frac(1 \cdot 8)(5 \cdot 8) = \frac(8)(40)\)

Primjer #2:
Pronađite nesvodljivi razlomak jednak razlomku: a) \(\frac(16)(36)\), b) \(\frac(10)(25)\).

Rješenje:
a) \(\frac(16)(36) = \frac(4 \cdot 4)(9 \cdot 4) = \frac(4)(9)\)

b) \(\frac(10)(25) = \frac(2 \cdot 5)(5 \cdot 5) = \frac(2)(5)\)

Primjer #3:
Zapiši broj kao razlomak: a) 13 b) 123

Rješenje:
a) \(13 = \frac(13) (1)\)

b) \(123 = \frac(123) (1)\)


Sažetak lekcije Jednakost razlomaka u 5. razredu

u okviru Savezne države obrazovni standard

UMK „S. M. Nikolsky, M.K. Potapov, N.N. Rešetnikov, A. V. Ševkin

nastavnici matematike

Javna obrazovna ustanova Omsk "Licej br. 149"

Spirina Vera Nikolajevna

Tema : Jednakost razlomaka Vrsta lekcije: Lekcija primarnog izlaganja novih znanja
Planirani rezultati: Lični (LR): - spremnost i sposobnost ispunjavanja normi i zahtjeva školskog života, prava i obaveza učenika.-izražavanje održivog obrazovnog i kognitivnog interesa.metasubjekt (MPR): Regulatorno 1. Postavite cilj obrazovne aktivnosti na osnovu transformacije praktičnog zadatka u kognitivni:Izvršite radnje: - razlika između znanja i neznanja;- formulisanje odgovora na pitanje o sadržaju neznanja;- formulisanje ciljeva prema modelu pod vodstvom nastavnika u problemskoj situaciji.2. Planirati načine za postizanje cilja;3. Sprovesti konstatujuću i anticipatornu kontrolu rezultata i načina postupanja;4. Samostalno procijeniti ispravnost izvođenja radnje i izvršiti potrebna prilagođavanja izvedbe. kognitivni 1. Analizirati i razumjeti tekst zadatka;2. Definisati pojmove;Komunikativna 1 . Koristite adekvatnu jezički alati da pokažu svoja osećanja, misli, motive i potrebe;2. Postavljajte pitanja relevantna za organizaciju sopstvene aktivnosti iu saradnji sa partnerom.Predmet (PR): - poznaju pojmove: jednaki razlomci, svodivi razlomci, nesvodljivi razlomci,- formulirati i zapisati uz pomoć slova glavno svojstvo običnog razlomka,- pretvoriti obične razlomke, uporediti ih i rasporediti,- pronaći razlomak jednak datom.

Svrha lekcije: 1. Osigurati asimilaciju pojmova: jednaki razlomci; osnovno svojstvo razlomka.2. Razvijati sposobnost određivanja jednakih razlomaka, koristiti osnovno svojstvo razlomka, izvršavati zadatke koristeći nove pojmove;3. Obrazovanje pažnje, zapažanja, tačnosti.
Osnovni koncepti: prirodni broj, racionalni broj, razlomak, jednaki razlomci, osnovno svojstvo razlomka, redukcija razlomaka,
Interdisciplinarne veze: biologija, književnost
Mjesto lekcije u sekciji : druga lekcija, Poglavlje 4: Uobičajeni razlomci Ukupno sati 65
Oprema: interaktivna tabla SMART Board + udžbenik za 5. razred obrazovne institucije, autoriS. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N.N. Rešetnikov, A. V. Ševkin,M. Enlightenment. 2012.

Stage

lekcija

Unuci Vanja, Petja i Kolja došli su u bakinu daču da pomognu da pleve krevete. Kreveti su svi ujednačeni, potpuno isti. Baka je svojim unucima dala zadatak: Vanja mora da plevi 4/6 gredice sa šargarepom, Petya mora pleviti 6/9 gredice s lukom, Kolya mora plijeviti 8/12 gredice sa belim lukom Sat vremena kasnije baka je videla rezultat. Koji? Radeći u parovima, prikažite na crtežu (raspored kreveta) dio posla koji je uradio svaki unuk 1 red: Vanja 2 red: Petey 3 red: Kolya

šta si dobio? Koje unuče je uradilo većinu posla?Koliki dio bašte je svako unuče oplovilo? Kakav zaključak možemo izvući?

Ali ako su razlomci jednaki, zašto onda izgledaju kao nejednaki, drugačije? Kako svaki predstaviti kao 2/3? Pronađite GCD brojnika i nazivnika svakog razlomka

Šta se može uraditi sa brojicom i imeniocem svakog razlomka? (pisati na slajdu) Koje ste razlomke dobili? Podijelite brojilac i imenilac razlomka istim brojem naziva se smanjenje razlomaka. Da li je moguće da se razlomak 2/3 ponovo napravi kao drugi brojnik i imenilac? Kako?
Dakle, bilo koji razlomak ima svojstvo množenja ili dijeljenja brojnika i nazivnika istim brojem (GLAVNO SVOJSTVO RAZLOMAKA) Sastavite glavno svojstvo razlomka popunjavanjem praznina u tekstu


Korišteni izvori i literatura:
http://www.google.ru/imgres?imgurl=http://zastroyka.biz/uploads/posts/2012-01/1326074803_6.jpg&imgrefurl=http://zastroyka.biz/dachnye-domiki/62-dachnyy- domik.html&h=413&w=500&sz=70&tbnid=ZQyK05o0M1NHuM:&tbnh=97&tbnw=118&zoom=1&usg=__jT6xMOoH6ufZsnbdZaE8VzvIctU=&docid=peVXU9NJz5rvZM&hl=ru&sa=X&ei=EOkUUZiuI6mj4gSFgIF4&sqi=2&ved=0CEQQ9QEwAA&dur=195

Detaljno demontiran osnovno svojstvo razlomka, data je njegova formulacija, dat je dokaz i primjer objašnjenja. Razmatra se i primjena glavnog svojstva razlomka u redukciji razlomaka i redukciji razlomaka na novi nazivnik.

Navigacija po stranici.

Glavno svojstvo razlomka - formulacija, dokaz i primjeri objašnjenja

Svi obični razlomci imaju jedno vrlo važno svojstvo, koje se zove osnovno svojstvo razlomka. Hajde da formulišemo osnovno svojstvo razlomka: ako se brojnik i imenilac razlomka pomnože ili podijele istim prirodnim brojem, onda će se dobiti razlomak jednak datom.

Zapišimo glavno svojstvo razlomka u doslovnom obliku: za prirodne brojeve a, b i m vrijede jednakosti i.

Hajde da donesemo dokaz osnovne osobine razlomka. Jednakosti (a m) b=(b m) a i (a: m) b=(b: m) a vrijede zbog svojstava množenja prirodnih brojeva i svojstava dijeljenja prirodnih brojeva, zatim razlomaka i , a također su jednaki po definiciji (vidi jednaki i nejednaki razlomci).

Pogledajmo primjer koji ilustruje osnovno svojstvo razlomka. Recimo da imamo kvadrat podijeljen na 9 "velikih" kvadrata, a svaki od ovih "velikih" kvadrata je podijeljen na 4 "mala" kvadrata. Dakle, također možemo reći da je originalni kvadrat podijeljen na 4·9=36 "malih" kvadrata. Obojimo 5 "velikih" kvadrata. U ovom slučaju, 4 5 = 20 “malih” kvadrata će biti popunjeno. Predstavljamo sliku koja odgovara našem primjeru.

Osjenčani dio je 5/9 originalnog kvadrata, ili, što je isto, 20/36 originalnog kvadrata, odnosno razlomci 5/9 i 20/36 su jednaki: ili . Iz ovih jednakosti, kao i iz jednakosti 20=5 4 , 36=9 4 , 20:4=5 i 36:4=9, slijedi da je i .

Da biste konsolidirali rastavljeni materijal, razmotrite rješenje primjera.

Brojilac i imenilac nekog običnog razlomka pomnoženi su sa 62, nakon čega su brojnik i imenilac dobijenog razlomka podijeljeni sa 2. Da li je dobijeni razlomak jednak originalu?

Množenjem brojnika i nazivnika razlomka bilo kojim prirodnim brojem, posebno sa 62, dobije se razlomak koji je, zbog glavnog svojstva razlomka, jednak izvornom. Glavno svojstvo razlomka omogućava nam da tvrdimo da će se nakon dijeljenja brojnika i nazivnika rezultirajućeg razlomka sa 2 dobiti razlomak koji će biti jednak originalnom razlomku.

Da, rezultujući razlomak je jednak originalu.

Primjena osnovnog svojstva razlomka

Osnovno svojstvo razlomka uglavnom se primjenjuje u dva slučaja: prvo, kada se razlomci svode na novi nazivnik, i, drugo, kada se razlomci svode.

Svođenje razlomka na novi nazivnik je zamjena originalnog razlomka razlomkom koji mu je jednak, ali s većim brojnikom i nazivnikom. Da bi se razlomak doveo u novi nazivnik, i brojnik i imenilac razlomka se pomnože nekim prirodnim brojem i, prema osnovnom svojstvu razlomka, dobije se razlomak koji je jednak izvornom, ali sa drugačiji brojnik i imenilac. Ne možete bez svođenja razlomaka na novi nazivnik kada izvodite operacije s običnim razlomcima.

Glavno svojstvo razlomka omogućuje vam da smanjite razlomke i kao rezultat toga prijeđete s izvornog razlomka na razlomak koji mu je jednak, ali s manjim brojnikom i nazivnikom. Smanjenje razlomka se sastoji u dijeljenju brojnika i nazivnika originalnog razlomka s bilo kojim pozitivnim zajedničkim djeliteljem brojnika i nazivnika koji nije jedan (ako nema takvih zajedničkih djelitelja, tada je originalni razlomak nesvodljiv, odnosno ne može se smanjiti ). Konkretno, dijeljenje najvećim zajedničkim djeliteljem će izvorni razlomak dovesti do nesvodljivog oblika.

www.cleverstudents.ru

Osnovno svojstvo razlomka

Da biste uporedili, sabrali ili oduzeli obične razlomke sa različitim nazivnicima, prvo ih morate svesti na isti (isti) imenilac.

Da biste to učinili, broj od kojeg se uzima dio u dionicama (broj dionica broja određuje imenilac) dijeli se na više razlomke tako da su svi nazivnici razlomaka međusobno višestruki.

Na primjer, trebate upoređivati, sabirati ili oduzimati razlomke i. Razmotrite na slici podjelu na dionice (1 je podijeljen na 4 dijela, a 1 je podijeljen na 2 dijela), 1 se uzima kao cjelina.

Ako podijelimo sa 2 udjela, dobijamo vizuelno poređenje.

To znači, budući da dionice sadrže 2 dionice napišemo: . Prema pravilima aritmetike: Odaberimo proste činioce u brojiocu i nazivniku:

Gore navedene brojke nam omogućavaju da izvedemo pravilo tzv osnovno svojstvo razlomka.

Pravilo. Brojnik i imenilac razlomka mogu se pomnožiti ili podijeliti istim prirodnim brojem, od čega se vrijednost razlomka ne mijenja.

Ako je brojnik novog razlomka predstavljen umnoškom (ili količnikom) prvog razlomka i bilo kojeg prirodnog broja, a nazivnik novog razlomka je umnožak (ili količnik) nazivnika prvog razlomka i istog broja , tada novi razlomak zadržava vrijednost (vrijednost) prilikom izračunavanja proizvoda (ili količnika) originalnog razlomka, tako da možete staviti znak jednakosti između datih i primljenih razlomaka.

Može se napisati osnovno svojstvo razlomka kada se brojnik i nazivnik razlomka množe brojem:

Može se napisati osnovno svojstvo razlomka kada se brojnik i nazivnik razlomka podijeli brojem:

Smanjenje frakcije

Uz pomoć razlomaka, isti dio cijelog objekta može se napisati na različite načine.

Na slici je polovina kruga zasjenjena

Dakle, svi ovi razlomci su jednaki.

Razlomak

Radi praktičnosti, dodatni faktor je napisan na kosoj crti desno iznad razlomka.

Vratimo se na naše razlomke i zapišimo ih drugačijim redoslijedom.

Razlomak jednak datom može se dobiti ako se brojnik i nazivnik razlomka istovremeno podijele istim brojem koji nije jednak nuli.

Ova transformacija razlomka se zove smanjenje frakcije.

Smanjenje razlomka obično se piše na sljedeći način.

Brojilac i imenilac su precrtani crticama, a pored njih su upisani rezultati dijeljenja (količnika) brojnika i nazivnika istim brojem.

Ima se na umu broj kojim su podijeljeni brojilac i imenilac.

U našem primjeru smo smanjili (odnosno podijelili i brojnik i nazivnik) razlomak za dva, što smo imali na umu.

Smanjenje frakcija može se vršiti uzastopno.

Formuliramo glavno svojstvo razlomka.

Ako se brojnik i imenilac razlomka pomnože ili podijele sa istim brojem koji nije jednak nuli, onda će se dobiti razlomak jednak datoj jedinici.

Zapišimo ovo svojstvo u obliku literalnih izraza.

, gdje su "a", "b" i "k" prirodni brojevi.

Osnovno svojstvo razlomka. Smanjenje frakcije. Jednakost razlomaka.

Jednakost razlomaka.

Ova tema je veoma važna o osnovnim svojstvima razlomaka, baziraju se sva dalja matematika i algebra. Razmatrana svojstva razlomaka, uprkos njihovoj važnosti, vrlo su jednostavna.

Razumjeti osnovna svojstva razlomaka razmotriti krug.

Na krugu se može vidjeti da su 4 dijela ili dionice zasjenjena od osam mogućih. Zapišite rezultujući razlomak \(\frac \)

Sljedeći krug pokazuje da je jedan od dva moguća dijela zasjenjen. Napišite rezultujući razlomak \(\frac \)

Ako bolje pogledamo, vidjet ćemo da je u prvom slučaju, da je u drugom slučaju polovina kruga zasjenjena, pa su rezultujući razlomci jednaki \(\frac = \frac \), tj. je isti broj.

Kako se to može matematički dokazati? Vrlo jednostavno, zapamtite tablicu množenja i zapišite prvi razlomak u faktore.

Šta smo uradili? Obojili smo brojilac i imenilac u faktore \(\frac > >\), a zatim podijelili razlomke \(\frac \cdot \color \). Četiri podijeljeno sa četiri je 1, a jedan pomnožen bilo kojim brojem je sam broj. Ono što smo uradili u gornjem primjeru se zove smanjenje razlomaka.

Pogledajmo još jedan primjer i smanjimo razlomak.

Ponovo smo obojili brojilac i imenilac u činioce, a iste brojeve sveli u brojioce i nazivnike. Odnosno, dva podijeljena sa dva daje jedan, a jedan pomnožen bilo kojim brojem daje isti broj.

Osnovno svojstvo razlomka.

Ovo implicira glavno svojstvo razlomka:

Ako se i brojnik i imenilac razlomka pomnože istim brojem (osim nule), tada se vrijednost razlomka neće promijeniti.

Također možete podijeliti brojilac i imenilac istim brojem u isto vrijeme.
Razmotrimo primjer:

Ako su i brojnik i imenilac razlomka podijeljeni istim brojem (osim nule), tada se vrijednost razlomka neće promijeniti.

Zovu se razlomci koji imaju zajedničke proste djelitelje i u brojiocima i u nazivnicima poništivi razlomci.

Primjer reduciranog razlomka: \(\frac, \frac, \frac, \frac, …\)

Tu je i nesvodljivi razlomci.

nesmanjivi razlomak je razlomak koji nema zajedničke proste djelitelje u brojiocima i nazivnicima.

Primjer nesmanjivog razlomka: \(\frac, \frac, \frac, \frac, …\)

Bilo koji broj se može predstaviti kao razlomak, jer je svaki broj djeljiv s jednim, na primjer:

Pitanja na temu:
Mislite li da se bilo koji razlomak može smanjiti ili ne?
Odgovor: Ne, postoje razlomci koji se svode i nesvodivi razlomci.

Provjerite da li je jednakost tačna: \(\frac = \frac \)?
Odgovor: napiši razlomak \(\frac = \frac = \frac \) da pošteno.

Primjer #1:
a) Nađite razlomak sa nazivnikom 15 koji je jednak razlomku \(\frac\).
b) Nađi razlomak sa brojicom 8, jednak razlomku \(\frac\).

Rješenje:
a) Treba nam imenilac da bude broj 15. Sada je imenilac broj 3. Sa kojim brojem treba pomnožiti broj 3 da dobijemo 15? Prisjetite se tablice množenja 3⋅5. Moramo koristiti osnovno svojstvo razlomaka i pomnožiti i brojnik i imenilac razlomka \(\frac\) do 5.

b) U brojiocu nam je potreban broj 8. Sada je u brojiocu broj 1. Sa kojim brojem treba pomnožiti broj 1 da dobijemo 8? Naravno, 1⋅8. Moramo koristiti osnovno svojstvo razlomaka i pomnožiti i brojnik i imenilac razlomka \(\frac\) do 8. Dobijamo:

Primjer #2:
Pronađite nesvodljivi razlomak jednak razlomku: a) \(\frac\), b) \(\frac\).

Primjer #3:
Zapiši broj kao razlomak: a) 13 b) 123

Lekcija na temu jednakosti razlomaka, 5. razred, udžbenik Nikolsky S. M. i dr.

Iskoristite do 50% popusta na Infourok kurseve

Podsjećamo vas da u skladu sa profesionalnim standardom nastavnika (odobrenim Naredbom Ministarstva rada Rusije), ako nemate obrazovanje koje odgovara predmetu koji se predaje, onda Potrebno je da prođete stručnu prekvalifikaciju u profilu pedagoška djelatnost . To možete učiniti daljinski na web stranici projekta "Infourok" i dobiti diplomu sa kvalifikacijom za 2 mjeseca!

Radi samo sada 50% POPUSTA za sve nastavnike za svih 111 kurseva stručne prekvalifikacije! Moguće su rate uz uplatu od samo 10%, dok se cijena kursa ne povećava zbog korištenja rata!

Kartica za praktičan rad.docx

Kartica 1

Kartica 2

Vježbajte. Pogledajte slike i donesite zaključak o jednakosti razlomaka.

Savjet 1. Koliko je krugova i kvadrata zasjenjeno?

Savjet 1. Zapišite razlomke koji predstavljaju osjenčani dio svakog oblika.

Savjet 2. Izvedite zaključak o jednakosti dobijenih razlomaka.

Odabrani dokument za pregled Tehnološka mapa časa matematike u 5. razredu.docx

Tehnološka karta časa matematike u 5. razredu

Tema lekcije: "Jednakost razlomaka" (udžbenik "Matematika 5", Nikolsky S. M., Potapov M. K. i drugi)

Ciljevi (zadaci) lekcije:

— upoznati učenike sa osnovnim svojstvom razlomka, pokazati njegovu primjenu za smanjenje razlomaka;

- naučiti reducirati razlomke i odrediti nesvodljive;

— razviti sposobnost primjene matematičkog znanja za rješavanje praktičnih problema;

- njegovati kulturu ponašanja u grupnom radu;

- razviti interesovanje za predmet.

- poznaju osnovno svojstvo razlomka, definiciju redukcije razlomaka i nesvodljivih razlomaka;

- biti u stanju dovesti razlomke na novi nazivnik, smanjiti razlomke;

razumjeti značenje zadatka; inicijativa, snalažljivost, aktivnost u rješavanju matematičkih zadataka;

- sposobnost sagledavanja matematičkog problema u kontekstu problemske situacije;

- razumijevanje suštine algoritamskih propisa i sposobnost djelovanja u skladu sa predloženim algoritmom.

Vrsta časa, pedagoška tehnologija

Učenje nove, problematične tehnologije dijaloga.

Tabla, kreda, kompjuter sa multimedijalnim projektorom, interaktivna tabla, materijali, video za fizičko vaspitanje, listovi za samoocenjivanje

Osnovni pojmovi, pojmovi

Novi koncepti i veze među njima

Smanjivi razlomak, nesvodljivi razlomak

Kontrola, samokontrola u učionici

Korištene metode, tehnike, forme

Univerzalne aktivnosti učenja

I. Organiziranje vremena.

Sveske ste dobili na odmoru, pošto su svi uradili domaći zadatak i nije bilo pitanja o tome.

Pokazivanje ljubazne pažnje.

Provjera dostupnosti nastavnih sredstava, racionalno postavljanje na radnom stolu

Uzajamno pozdravljanje, kontrola prisutnih, provjera spremnosti učionice za čas.

Spremnost učenika za učenje, aktivnosti

II. Ažuriranje znanja

Prisjetimo se onoga što smo naučili u prethodnim lekcijama. Šta smo učili? (razlomci)

1. Šta piše ispod linije razlomka?

2.Šta pokazuje?

3. Šta piše iznad linije razlomka?

4.Šta pokazuje?

5. Koja radnja zamjenjuje crticu razlomka?

6. Pronađite ¼ od 120.

(na koliko dijelova je podijeljena cjelina)

(koliko si ovih dijelova uzeo)

Testni zadaci, odgovori se daju signalima različitih boja

Regulatorno: voljna samoregulacija.

Lični : djelovanje formiranja značenja, motivacija učenja

planiranje obrazovne saradnje sa nastavnikom i vršnjacima.

Spremni za novo otvaranje

III . Formulacija problema

Sada vam predlažem da riješite takav problem-bajku. problemski zadatak

U jednom kraljevstvu, u nekoj državi on je živio - bio je kralj, i imao je tri sina. Nekako je sazvao sinove i rekao: „Vi ste dragi moji sinovi, izgleda da je došlo vrijeme da se povučem. Okupio sam vas da podijelim baštinu između vas, naše kraljevstvo je država. Da, u tome je problem - izgleda da su naši naučnici nešto zabrljali. Tebi, moj najstariji sine, naša država je otpisana, tebi, srednji sine, -, i tebi najmlađem -. Najmlađi sin je bio ogorčen: "Zašto sam prevaren?" I braća su se svađala među sobom. I kralj je izdao ukaz: „Ko uspije pronaći grešku i pomiriti moje sinove, čeka ga kraljevska nagrada. ”

Momci, možemo li pomiriti kralja i njegove sinove? Šta treba da saznamo za ovo?

Dakle, šta ćemo vjerovatno naučiti u današnjoj lekciji?

I pokušajmo formulirati temu naše lekcije.

Otvorite svoje sveske, upišite u njih broj, rad na času i temu lekcije „Jednakost razlomaka“.

(Jesu li razlomci jednaki ili ne)

(Saznajte jesu li razlomci jednaki ili ne)

formulisanje svrhe lekcije

Izjava o problemu, formulisanje cilja, teme lekcije

IV. Planiranje rješavanja problema učenja

Sada mi pomozi da isplaniram lekciju, odnosno odredimo šta ćemo raditi.

(1. Naučite odrediti jesu li razlomci jednaki ili ne.

Regulatorno: planiranje kognitivne aktivnosti

Izrada nastavnog plana

Stara kineska poslovica kaže: "Čujem i zaboravljam, vidim i pamtim, radim i razumijem." A da bismo razumjeli temu današnje lekcije, obavit ćemo praktičan rad.

Svako od vas ima karte na stolu.

Uzmi kartu 1.

Radimo s kvadratom. Podijelite kvadrat na četiri jednaka dijela i obojite tri od njih. Koji dio

trg je ispao zasjenjen?

Podijelite svaku četvrtinu kvadrata na 4 dijela. Koliko delova sada

A koliko takvih dijelova ima u tri zasjenjene četvrtine kvadrata?

Koji dio kvadrata je zasjenjen?

Šta možete reći o razlomcima ¾ i 12/16?

Uzmite karticu 2 i odgovorite na pitanja:

1. Koji je dio cjeline prikazan i prefarban na crtežima? Ispod svakog kruga napišite koji je njegov dio zasjenjen.

Šta možete reći o ovim razlomcima?

To znači da se isti dio može napisati na različite načine.

Pogledajmo bliže ove razlomke. Kako možete dobiti drugi razlomak iz jednog razlomka, na primjer, kako možete dobiti 12/16 od ¾?

A kako dobiti 2/4, ½ od 4/8?

Zaključujemo, formuliramo pravilo:

Ljudi, svojstvo koje smo upravo formulisali je veoma važno i zove se glavno svojstvo razlomka.

Molimo zapišite pravila i formule sa ploče.

a, b, c su prirodni. Obratite pažnju na ovo, veoma je važno, jer ne možete dijeliti sa 0.

(brojilac i imenilac pomnožite sa 4)

(podijelite brojilac i imenilac sa 2, sa 4)

(Kada se brojnik i nazivnik razlomka množe i dijele istim brojem (osim 0), njegova vrijednost se neće promijeniti .)

kognitivni: poređenje, generalizacija, formulisanje zaključka

Izvođenje praktičnog rada. Formulacija osnovne osobine razlomka

VI . Oblikovanje načina djelovanja

Izrazite sljedeće razlomke: kao razlomak sa nazivnikom 12.

Zamislite sljedeće razlomke: kao razlomak sa nazivnikom 3.

Napisano: zamijeniti razlomke jednaki razlomci sa manjim nazivnicima. Ljudi, transformacija koju smo upravo izveli se zove smanjenje razlomaka.

Zapišite sa ekrana kolika je redukcija razlomka.

Podijelite brojilac i imenilac razlomka istim brojem iseci to.

Ako brojnik i nazivnik razlomka nemaju zajedničke proste djelitelje, tada se razlomak naziva nesvodivo.

Izvršite zadatke. Zapišite u svesku šta je redukcija razlomaka, a šta nesvodljivi razlomak.

Regulatorno: korekcija akcija i rezultata

Primarna asimilacija i primjena glavnog svojstva razlomka, definicije redukcije razlomaka, nesvodivi razlomak

VII . Formiranje novih znanja i načina djelovanja

Vratimo se sada na naš plan lekcije. Šta smo već uradili? Šta još treba uraditi?

Odlično. Sad predlažem da se malo igraš.

Hajdemo u dvije grupe. Prva grupa (I red) svih predloženih razlomaka

će izabrati razlomke jednake 1/2, a druga grupa (II red) će izabrati razlomke jednake 1/3.

A sada da provjerimo kako ste se nosili sa zadatkom.

Vratimo se sada na fenomenalni problem koji nam je na početku lekcije izazvao poteškoće. Recite mi, sada možete odgovoriti na pitanje problema: da li su kraljevi savjetnici nešto zabrljali?

A sada hajde da vežbamo još malo. Pokupite letke sa vježbama, pažljivo pročitajte zadatke i dovršite ih.

(Naučili smo da odredimo jesu li razlomci jednaki. Treba vježbati)

(Sada možemo. Naslijeđe je podijeljeno jednako, jer su predstavljeni razlomci jednaki)

Vježbe treninga na kartama

Rad sa interaktivnom tablom. Grupni rad

komunikativan: utvrđivanje ciljeva i funkcija učesnika u grupi; inicijativna saradnja; kontrola, korekcija, evaluacija partnerovih postupaka.

Primjena i razvoj novih znanja i metoda djelovanja

VIII . Sumiranje lekcije, razmišljanje, domaći zadatak

Jednakost razlomaka

Za bilo koji razlomak možete odrediti koliko god želite jednakih razlomaka.

Na primjer, ili

To se može objasniti na sljedeći način: ako je segment podijeljen na pola, a polovina također na pola, onda je jasno da je polovina odsječka jednaka dvije njegove četvrtine, odnosno može se pokazati i da je polovina jednaka do tri šestine, itd. (Slika 4.4).

Također se može reći da razlomci i određuju isti broj; snimljeno u različite forme. Razlomci i također definirati isti broj napisan u različitim oblicima, itd.

Ako se brojnik i imenilac razlomka pomnože sa istim prirodnim brojem, onda dobijamo razlomak jednak datom, tj. jednakost

Ovo svojstvo se zove osnovno svojstvo razlomka. Pomoću njega možete dobiti razlomke jednake datom razlomku.

Na primjer,

Jednakost (1) se može napisati i obrnutim redoslijedom:

U ovom obliku, lijeva strana jednakosti je razlomak čiji brojnik i nazivnik imaju zajednički faktor n.

Ako je n > 1, onda kažu da možete smanjiti razlomak za n i dobiti razlomak. Kažu i da brojilac i imenilac možete podijeliti zajedničkim faktorom n.

Stoga se glavno svojstvo razlomaka može formulirati drugačije:

Ako brojnik i nazivnik razlomka imaju zajednički faktor koji nije 1, tada se razlomak može smanjiti za taj faktor. To će rezultirati razlomkom jednakim datom.

Primjer. Smanjite razlomke

Ako je p prirodan broj, onda je jednakost

stvarno,

Razlomak se zove nesvodivo ako njegov brojnik i nazivnik nemaju zajedničke proste djelitelje.

Na primjer, razlomci su nesvodljivi razlomci, jer brojevi 1 i 2, 3 i 4, b i 7, 11 i 8 nemaju zajedničke proste djelitelje.

Za svaki razlomak postoji samo jedan nesvodljivi razlomak koji mu je jednak.

Na primjer,

Lijevi dijelovi jednakosti su dati razlomci, a desni dijelovi koji su im jednaki su nesvodljivi razlomci.

Da bismo dobili nesvodljivi razlomak jednak datom razlomku, potrebno je dati razlomak smanjiti za najveći zajednički djelitelj njegovog brojnika i nazivnika. Često je teško odrediti najveći zajednički djelitelj brojnika i nazivnika. U ovom slučaju, smanjenje frakcije se izvodi postupno.

Primjer. Smanjite frakciju