Hosila topish operatsiyasi differensiallash deyiladi.

Hosilni argumentning o'sish ko'payishiga nisbati chegarasi sifatida aniqlash orqali eng oddiy (va unchalik ham oddiy bo'lmagan) funktsiyalarning hosilalarini topish masalalarini hal qilish natijasida hosilalar jadvali va aniq belgilangan differentsiallash qoidalari paydo bo'ldi. . Isaak Nyuton (1643-1727) va Gotfrid Vilgelm Leybnits (1646-1716) hosilalarni topish sohasida birinchi bo'lib ishlaganlar.

Shuning uchun bizning davrimizda har qanday funktsiyaning hosilasini topish uchun funktsiya o'sishining argumentning o'sishiga nisbatining yuqorida ko'rsatilgan chegarasini hisoblash shart emas, faqat jadvaldan foydalanish kerak. hosilalari va farqlash qoidalari. Hosilni topish uchun quyidagi algoritm mos keladi.

Hosilini topish uchun, sizga zarba belgisi ostida ifoda kerak oddiy funktsiyalarni ajrating va qanday harakatlarni aniqlang (mahsulot, summa, qism) bu funktsiyalar o'zaro bog'liq. Keyinchalik elementar funksiyalarning hosilalarini hosilalar jadvalidan, hosila, yig‘indi va qism hosilalari formulalarini esa differentsiallash qoidalaridan topamiz. Birinchi ikkita misoldan keyin hosilalar jadvali va differentsiallash qoidalari berilgan.

1-misol Funktsiyaning hosilasini toping

Yechim. Differentsiallash qoidalaridan biz aniqlaymizki, funktsiyalar yig'indisining hosilasi funktsiyalarning hosilalari yig'indisi, ya'ni.

Hosilalar jadvalidan “X” ning hosilasi bir ga teng, sinusning hosilasi esa kosinus ekanligini aniqlaymiz. Biz ushbu qiymatlarni hosilalar yig'indisiga almashtiramiz va masalaning sharti uchun zarur bo'lgan hosilani topamiz:

2-misol Funktsiyaning hosilasini toping

Yechim. Biz yig'indining hosilasi sifatida ajratamiz, unda doimiy koeffitsientli ikkinchi hadni hosilaning belgisidan chiqarish mumkin:

Agar biror narsa qaerdan kelganligi haqida hali ham savollar mavjud bo'lsa, ular, qoida tariqasida, hosilalar jadvalini va farqlashning eng oddiy qoidalarini o'qib chiqqandan so'ng aniq bo'ladi. Biz hozir ularning oldiga boramiz.

Oddiy funksiyalarning hosilalari jadvali

1. Doimiy (son)ning hosilasi. Funktsiya ifodasida joylashgan har qanday raqam (1, 2, 5, 200...). Har doim nol. Buni eslash juda muhim, chunki bu juda tez-tez talab qilinadi
2. Mustaqil o‘zgaruvchining hosilasi. Ko'pincha "x". Har doim bittaga teng. Buni eslash ham muhimdir
3. Darajaning hosilasi. Muammolarni hal qilishda siz kvadrat bo'lmagan ildizlarni kuchga aylantirishingiz kerak.
4. O‘zgaruvchining -1 darajasidagi hosilasi
5. Hosil kvadrat ildiz
6. Sinus hosilasi
7. Kosinus hosilasi
8. Tangens hosilasi
9. Kotangentning hosilasi
10. Arksinusning hosilasi
11. Yoy kosinusining hosilasi
12. Yoy tangensining hosilasi
13. Teskari tangensning hosilasi
14. Natural logarifmning hosilasi
15. Logarifmik funksiyaning hosilasi
16. Ko‘rsatkichning hosilasi
17. Ko‘rsatkichli funktsiyaning hosilasi

Farqlash qoidalari

1. Yig‘indi yoki farqning hosilasi
2. Mahsulotning hosilasi
2a. Ifodaning hosilasi doimiy omilga ko'paytiriladi
3. Bo‘lakning hosilasi
4. Kompleks funktsiyaning hosilasi

1-qoidaFunktsiyalar bo'lsa

bir nuqtada differensial bo'ladi, keyin bir xil nuqtada funktsiyalar

va

bular. funksiyalarning algebraik yig‘indisining hosilasi bu funksiyalarning hosilalarining algebraik yig‘indisiga teng.

Natija. Agar ikkita differentsiallanuvchi funktsiya doimiy qiymat bilan farq qilsa, ularning hosilalari, ya'ni.

2-qoidaFunktsiyalar bo'lsa

bir nuqtada differensiallanadi , keyin ularning mahsuloti ham xuddi shu nuqtada farqlanadi

va

bular. ikki funksiya hosilasining hosilasi bu funksiyalarning har birining hosilasi va ikkinchisining hosilasi yig‘indisiga teng.

Natija 1. Doimiy koeffitsient hosila belgisidan chiqarilishi mumkin:

Natija 2. Bir nechta differensiallanuvchi funksiyalar hosilasining hosilasi omillarning har birining hosilasi va boshqalarning hosilasi yig‘indisiga teng.

Masalan, uchta ko'paytiruvchi uchun:

3-qoidaFunktsiyalar bo'lsa

bir nuqtada farqlanadi va , u holda bu nuqtada ularning koeffitsienti ham differentsial bo'ladi.u/v , va

bular. ikki funktsiyaning bo'linmasining hosilasi maxraj va ayiruvchining hosilasi va ayiruvchi va maxrajning hosilasi o'rtasidagi ayirma bo'lgan kasrga teng, maxraji esa oldingi sonning kvadrati. .

Boshqa sahifalarda qayerga qarash kerak

Haqiqiy masalalarda mahsulotning hosilasi va qismni topishda har doim bir vaqtning o'zida bir nechta farqlash qoidalarini qo'llash kerak, shuning uchun bu hosilalarga ko'proq misollar maqolada keltirilgan."Mahsulot va qismning hosilasi".

Izoh. Siz doimiyni (ya'ni sonni) yig'indidagi atama va doimiy omil sifatida aralashtirmasligingiz kerak! Atamada uning hosilasi nolga teng, doimiy koeffitsientda esa hosilalarning belgisidan olinadi. bu tipik xato, bu hosilalarni o'rganishning boshlang'ich bosqichida sodir bo'ladi, biroq bir nechta bir-ikki qismli misollarning yechimi sifatida o'rtacha talaba endi bu xatoga yo'l qo'ymaydi.

Va agar mahsulot yoki qismni farqlashda sizda atama mavjud bo'lsa u"v, unda u- raqam, masalan, 2 yoki 5, ya'ni doimiy, keyin bu raqamning hosilasi nolga teng bo'ladi va shuning uchun butun atama nolga teng bo'ladi (bunday holat 10-misolda tahlil qilingan) .

Yana bir keng tarqalgan xato - bu murakkab funktsiyaning hosilasini oddiy funktsiyaning hosilasi sifatida mexanik hal qilish. Shunung uchun murakkab funktsiyaning hosilasi alohida maqolaga bag'ishlangan. Lekin birinchi navbatda oddiy funksiyalarning hosilalarini topishni o'rganamiz.

Yo'l davomida siz iboralarni o'zgartirmasdan qilolmaysiz. Buni amalga oshirish uchun siz yangi Windows qo'llanmalarida ochishingiz kerak bo'lishi mumkin Quvvat va ildizlarga ega harakatlar va Kasrlar bilan amallar .

Agar siz kuchlar va ildizlar bilan hosilalarga yechim izlayotgan bo'lsangiz, ya'ni funksiya qachon ko'rinadi , keyin darsni bajaring " Kasrlar yig'indisining darajalari va ildizlari bilan hosilasi".

Agar sizda kabi vazifa bo'lsa , keyin siz "Oddiy trigonometrik funktsiyalarning hosilalari" darsidasiz.

Bosqichma-bosqich misollar - lotinni qanday topish mumkin

3-misol Funktsiyaning hosilasini toping

Yechim. Funktsiyani ifodalash qismlarini aniqlaymiz: butun ifoda hosilani ifodalaydi va uning omillari yig'indi, ikkinchisida atamalardan biri doimiy omilni o'z ichiga oladi. Mahsulotni farqlash qoidasini qo'llaymiz: ikkita funktsiya mahsulotining hosilasi ushbu funktsiyalarning har birining hosilasi va ikkinchisining hosilasi yig'indisiga teng:

Keyinchalik, yig'indini differentsiallash qoidasini qo'llaymiz: funktsiyalarning algebraik yig'indisining hosilasi bu funktsiyalar hosilalarining algebraik yig'indisiga teng. Bizning holatda, har bir summada, minus belgisi bilan ikkinchi muddat. Har bir yig‘indida hosilasi birga teng bo‘lgan mustaqil o‘zgaruvchini ham, hosilasi nolga teng bo‘lgan doimiy (son)ni ham ko‘ramiz. Shunday qilib, "x" bittaga, minus 5 esa nolga aylanadi. Ikkinchi ifodada "x" 2 ga ko'paytiriladi, shuning uchun biz ikkitani "x" ning hosilasi bilan bir xil birlikka ko'paytiramiz. Biz lotinlarning quyidagi qiymatlarini olamiz:

Topilgan hosilalarni mahsulotlar yig‘indisiga almashtiramiz va masala sharti uchun zarur bo‘lgan butun funksiyaning hosilasini olamiz:

4-misol Funktsiyaning hosilasini toping

Yechim. Bizdan qismning hosilasini topish talab qilinadi. Bo'limni farqlash uchun formulani qo'llaymiz: ikki funktsiya bo'limining hosilasi maxrajning hosilasi va ayiruvchining hosilasi va ayirma hosilasi va maxrajning hosilasi o'rtasidagi ayirma bo'lgan kasrga tengdir va maxraj oldingi sonning kvadratidir. Biz olamiz:

Biz 2-misolda ko‘paytirgichdagi ko‘paytmalarning hosilasini topdik.Shuningdek, joriy misoldagi hisoblagichning ikkinchi ko‘paytmasi bo‘lgan ko‘paytma minus belgisi bilan olinganligini ham unutmaylik:

Agar siz uzluksiz ildizlar va darajalar to'plami mavjud bo'lgan funktsiyaning hosilasini topishingiz kerak bo'lgan muammolarning echimini izlayotgan bo'lsangiz, masalan, keyin sinfga xush kelibsiz "Kasrlar yig'indisining darajalari va ildizlari bilan hosilasi" .

Sinuslar, kosinuslar, tangenslar va boshqalarning hosilalari haqida ko'proq ma'lumotga ega bo'lishingiz kerak bo'lsa trigonometrik funktsiyalar, ya'ni funksiya o'xshash bo'lganda , keyin sizda dars bor "Oddiy trigonometrik funksiyalarning hosilalari" .

5-misol Funktsiyaning hosilasini toping

Yechim. Ushbu funktsiyada biz ko'paytmani ko'ramiz, uning omillaridan biri mustaqil o'zgaruvchining kvadrat ildizi bo'lib, hosilasi bilan biz hosilalar jadvalida tanishdik. Mahsulotni farqlash qoidasiga va kvadrat ildiz hosilasining jadval qiymatiga ko'ra, biz quyidagilarni olamiz:

6-misol Funktsiyaning hosilasini toping

Yechim. Ushbu funktsiyada biz dividend mustaqil o'zgaruvchining kvadrat ildizi bo'lgan qismni ko'ramiz. Biz 4-misolda takrorlagan va qo'llagan qismni differentsiallash qoidasiga va kvadrat ildiz hosilasining jadval qiymatiga ko'ra, biz quyidagilarni olamiz:

Numeratordagi kasrdan qutulish uchun son va maxrajni ga ko'paytiring.

Funktsiyalar nuqtaning ba'zi qo'shnilarida aniqlansin va nuqtada hosilalarga ega bo'lsin. Keyin ularning mahsuloti nuqtada hosilaga ega bo'lib, u formula bilan aniqlanadi:
(1) .

Isbot

Keling, belgi bilan tanishamiz:
;
.
Bu erda va o'zgaruvchilarning funktsiyalari va. Ammo eslatma qulayligi uchun biz ularning dalillarini eslatib o'tmaymiz.

Keyinchalik, biz buni sezamiz
;
.
Shartga ko'ra, funktsiyalar va nuqtada hosilalarga ega bo'lib, ular quyidagi chegaralardir:
;
.
Tuzamalar mavjudligidan va funksiyalari nuqtada uzluksiz ekanligi kelib chiqadi. Shunung uchun
;
.

X o‘zgaruvchining y funksiyasini ko‘rib chiqaylik, u funksiyalarning hosilasi va:
.
Ushbu funktsiyaning o'sishini quyidagi nuqtada ko'rib chiqing:



.
Endi hosilani topamiz:


.

Shunday qilib,
.
Qoida isbotlangan.

O'zgaruvchi o'rniga boshqa har qanday o'zgaruvchidan foydalanishingiz mumkin. Uni x deb belgilaymiz. U holda va hosilalari bo'lsa, u holda ikki funktsiya mahsulotining hosilasi formula bilan aniqlanadi:
.
Yoki qisqaroq yozuvda
(1) .

Natija

X mustaqil o'zgaruvchining funksiyalari bo'lsin. Keyin
;
;
va hokazo. ...

Birinchi formulani isbotlaylik. Birinchidan, biz (1) ko'paytmaning hosilasi uchun formulani va funktsiyalari uchun, keyin esa va funktsiyalari uchun qo'llaymiz:

.

Boshqa shunga o'xshash formulalar xuddi shunday isbotlangan.

Misollar

1-misol

Hosilini toping
.

Yechim

Ikki funktsiya mahsulotini differentsiallash qoidasini qo'llaymiz
(1) .
.

Sanoat jadvalidan biz quyidagilarni topamiz:
;
.
Keyin
.

Nihoyat bizda:
.

Javob

2-misol

x o'zgaruvchining funksiyasining hosilasini toping
.

Yechim

Ikki funktsiya mahsulotining hosilasi uchun formulani qo'llaymiz:
(1) .
.

Funktsiyalarning hosila yig'indisi va farqi uchun formulani qo'llaymiz:
.
.

Biz doimiylarni farqlash qoidalarini qo'llaymiz:
;
.
;
.

Qaror qiling jismoniy vazifalar yoki matematikadagi misollar hosila va uni hisoblash usullarini bilmasdan butunlay mumkin emas. Hosila matematik tahlilning eng muhim tushunchalaridan biridir. Biz bugungi maqolani ushbu asosiy mavzuga bag'ishlashga qaror qildik. hosila nima, uning jismoniy va nima geometrik ma'no funktsiyaning hosilasini qanday hisoblash mumkin? Bu savollarning barchasini bittaga birlashtirish mumkin: lotinni qanday tushunish kerak?

Hosilning geometrik va fizik ma'nosi

Funktsiya bo'lsin f(x) , ba'zi bir intervalda berilgan (a,b) . X va x0 nuqtalari shu intervalga tegishli. X o'zgarganda, funktsiyaning o'zi o'zgaradi. Argument o'zgarishi - uning qiymatlari farqi x-x0 . Bu farq quyidagicha yoziladi delta x va argument ortishi deyiladi. Funktsiyaning o'zgarishi yoki ortishi - bu funktsiyaning ikki nuqtadagi qiymatlari orasidagi farq. Hosila ta'rifi:

Funktsiyaning nuqtadagi hosilasi - bu funksiyaning ma'lum nuqtadagi o'sishining argumentning o'sishiga nisbati chegarasi, ikkinchisi nolga intiladi.

Aks holda shunday yozilishi mumkin:

Bunday chegarani topishning nima keragi bor? Lekin qaysi biri:

nuqtadagi funktsiyaning hosilasi OX o'qi orasidagi burchak tangensiga va berilgan nuqtadagi funksiya grafigiga teginishga teng.

jismoniy ma'no hosila: yo'lning vaqt hosilasi to'g'ri chiziqli harakat tezligiga teng.

Darhaqiqat, maktab davridan beri hamma tezlikni shaxsiy yo'l ekanligini biladi. x=f(t) va vaqt t . o'rtacha tezlik bir muncha vaqt uchun:

Bir vaqtning o'zida harakat tezligini bilish uchun t0 limitni hisoblashingiz kerak:

Birinchi qoida: doimiyni chiqarib tashlang

Konstanta hosila belgisidan chiqarilishi mumkin. Bundan tashqari, buni qilish kerak. Matematikadan misollarni echishda, qoida tariqasida, oling - ifodani soddalashtira olsangiz, soddalashtirishga ishonch hosil qiling .

Misol. Keling, hosilani hisoblaylik:

Ikkinchi qoida: funksiyalar yig'indisining hosilasi

Ikki funktsiya yig'indisining hosilasi bu funksiyalarning hosilalari yig'indisiga teng. Xuddi shu narsa funksiyalar farqining hosilasi uchun ham amal qiladi.

Biz bu teoremaning isbotini keltirmaymiz, balki amaliy misolni ko'rib chiqamiz.

Funktsiyaning hosilasini toping:

Uchinchi qoida: funksiyalar mahsulotining hosilasi

Ikki differentsiallanuvchi funktsiyaning hosilasi quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

Misol: funktsiyaning hosilasini toping:

Yechim:

Bu erda murakkab funktsiyalarning hosilalarini hisoblash haqida gapirish muhimdir. Hosil murakkab funktsiya mustaqil o‘zgaruvchiga nisbatan bu funksiyaning hosilasining oraliq argumentga nisbatan hosilasi bilan teng.

Yuqoridagi misolda biz quyidagi iboraga duch kelamiz:

Bunday holda, oraliq argument beshinchi darajaga 8x. Bunday ifodaning hosilasini hisoblash uchun birinchi navbatda tashqi funktsiyaning oraliq argumentga nisbatan hosilasini ko'rib chiqamiz, so'ngra mustaqil o'zgaruvchiga nisbatan oraliq argumentning hosilasiga ko'paytiramiz.

To'rtinchi qoida: Ikki funktsiyaning ko'rsatkichining hosilasi

Ikki funktsiyaning bo'linmasining hosilasini aniqlash formulasi:

Biz noldan dummies uchun derivativlar haqida gapirishga harakat qildik. Bu mavzu ko'rinadigan darajada oddiy emas, shuning uchun ogohlantiring: misollarda ko'pincha tuzoqlar mavjud, shuning uchun lotinlarni hisoblashda ehtiyot bo'ling.

Ushbu va boshqa mavzular bo'yicha har qanday savol bilan siz talabalar xizmatiga murojaat qilishingiz mumkin. Qisqa vaqt ichida biz sizga eng qiyin nazoratni hal qilishda va vazifalarni hal qilishda yordam beramiz, hatto siz ilgari lotinlarni hisoblash bilan shug'ullanmagan bo'lsangiz ham.

Agar ta'rifga amal qilsak, funktsiyaning nuqtadagi hosilasi D funktsiyaning o'sish nisbatining chegarasi bo'ladi. y argumentning ortishiga D x:

Hamma narsa aniq ko'rinadi. Ammo bu formula bo'yicha hisoblashga harakat qiling, masalan, funktsiyaning hosilasi f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x gunoh x. Agar siz hamma narsani ta'rif bo'yicha qilsangiz, bir necha sahifali hisob-kitoblardan so'ng siz shunchaki uxlab qolasiz. Shuning uchun oddiyroq va samaraliroq usullar mavjud.

Boshlash uchun shuni ta'kidlaymizki, elementar funktsiyalar deb ataladigan narsalarni turli xil funktsiyalardan ajratish mumkin. Bu nisbatan oddiy ifodalar bo'lib, ularning hosilalari uzoq vaqtdan beri hisoblab chiqilgan va jadvalga kiritilgan. Bunday funktsiyalarni hosilalari bilan birga eslab qolish juda oson.

Elementar funksiyalarning hosilalari

Elementar funktsiyalar quyida keltirilgan barcha narsalardir. Bu funktsiyalarning hosilalari yoddan ma'lum bo'lishi kerak. Bundan tashqari, ularni yodlash qiyin emas - shuning uchun ular boshlang'ichdir.

Demak, elementar funksiyalarning hosilalari:

Agar elementar funktsiya ixtiyoriy doimiyga ko'paytirilsa, yangi funktsiyaning hosilasi ham osonlik bilan hisoblanadi:

(C · f)’ = C · f ’.

Umuman, konstantalarni hosila belgisidan chiqarish mumkin. Masalan:

(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Shubhasiz, elementar funktsiyalarni bir-biriga qo'shish, ko'paytirish, bo'lish va boshqalar. Shunday qilib, yangi funktsiyalar paydo bo'ladi, ular endi juda oddiy emas, balki ma'lum qoidalarga muvofiq farqlanadi. Ushbu qoidalar quyida muhokama qilinadi.

Yig'indi va ayirmaning hosilasi

Funktsiyalarga ruxsat bering f(x) va g(x), hosilalari bizga ma'lum. Misol uchun, siz yuqorida muhokama qilingan elementar funktsiyalarni olishingiz mumkin. Keyin ushbu funktsiyalarning yig'indisi va farqining hosilasini topishingiz mumkin:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Demak, ikki funktsiya yig‘indisining (farqining) hosilasi hosilalarning yig‘indisiga (farqiga) teng. Ko'proq shartlar bo'lishi mumkin. Masalan, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Qat'iy aytganda, algebrada "ayirish" tushunchasi yo'q. "Salbiy element" tushunchasi mavjud. Shuning uchun, farq f − g summa sifatida qayta yozilishi mumkin f+ (−1) g, va keyin faqat bitta formula qoladi - yig'indining hosilasi.

f(x) = x 2 + sinx; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funktsiya f(x) ikkita elementar funktsiyaning yig'indisidir, shuning uchun:

f ’(x) = (x 2+ gunoh x)’ = (x 2)' + (gunoh x)’ = 2x+ cosx;

Biz funksiya uchun xuddi shunday bahslashamiz g(x). Faqat uchta atama mavjud (algebra nuqtai nazaridan):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Javob:
f ’(x) = 2x+ cosx;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Mahsulot hosilasi

Matematika mantiqiy fandir, shuning uchun ko'p odamlar yig'indining hosilasi hosilalarning yig'indisiga teng bo'lsa, mahsulotning hosilasi deb hisoblashadi. zarba berish"\u003e hosilalarning mahsulotiga teng. Lekin sizga anjir! Mahsulotning hosilasi butunlay boshqa formula yordamida hisoblanadi. Ya'ni:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formula oddiy, lekin ko'pincha unutiladi. Va nafaqat maktab o'quvchilari, balki talabalar ham. Natijada noto'g'ri hal qilingan muammolar.

Vazifa. Funksiyalarning hosilalarini toping: f(x) = x 3 kosx; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Funktsiya f(x) ikkita elementar funktsiyaning mahsulotidir, shuning uchun hamma narsa oddiy:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3) 'cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (−sin x) = x 2 (3cos x − x gunoh x)

Funktsiya g(x) birinchi multiplikator biroz murakkabroq, ammo umumiy sxema bundan o'zgarmaydi. Shubhasiz, funktsiyaning birinchi multiplikatori g(x) koʻphad boʻlib, uning hosilasi yigʻindining hosilasidir. Bizda ... bor:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Javob:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x gunoh x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

E'tibor bering, oxirgi bosqichda hosila faktorlarga ajratiladi. Rasmiy ravishda, bu kerak emas, lekin ko'pchilik lotinlar o'z-o'zidan hisoblanmaydi, lekin funktsiyani o'rganish uchun. Bu shuni anglatadiki, keyinchalik hosila nolga tenglashtiriladi, uning belgilari aniqlanadi va hokazo. Bunday holda, omillarga ajratilgan ifodaga ega bo'lish yaxshiroqdir.

Agar ikkita funktsiya mavjud bo'lsa f(x) va g(x), va g(x) ≠ 0 bizni qiziqtirgan to'plamda yangi funktsiyani belgilashimiz mumkin h(x) = f(x)/g(x). Bunday funktsiya uchun hosilani ham topishingiz mumkin:

Zaif emas, to'g'rimi? Minus qaerdan paydo bo'ldi? Nima uchun g 2? Lekin shunday! Bu eng murakkab formulalardan biri - siz uni shishasiz aniqlay olmaysiz. Shuning uchun uni aniq misollar bilan o'rganish yaxshiroqdir.

Vazifa. Funksiyalarning hosilalarini toping:

Har bir kasrning soni va maxrajida elementar funktsiyalar mavjud, shuning uchun bizga faqat qismning hosilasi formulasi kerak bo'ladi:

An'anaga ko'ra, biz numeratorni omillarga ajratamiz - bu javobni sezilarli darajada soddalashtiradi:

Murakkab funktsiya yarim kilometr uzunlikdagi formula bo'lishi shart emas. Masalan, funktsiyani olish kifoya f(x) = gunoh x va o'zgaruvchini almashtiring x, aytaylik, yoqilgan x 2+ln x. Bu chiqadi f(x) = gunoh ( x 2+ln x) murakkab funksiyadir. Uning hosilasi ham bor, lekin uni yuqorida muhokama qilingan qoidalarga muvofiq topish ishlamaydi.

Qanday bo'lish kerak? Bunday hollarda o'zgaruvchini almashtirish va murakkab funktsiyaning hosilasi formulasi yordam beradi:

f ’(x) = f ’(t) · t', agar x bilan almashtiriladi t(x).

Qoidaga ko'ra, ushbu formulani tushunish bilan bog'liq vaziyat ko'rsatkichning hosilasiga qaraganda ancha achinarli. Shuning uchun uni har bir bosqichning batafsil tavsifi bilan aniq misollar bilan tushuntirish yaxshiroqdir.

Vazifa. Funksiyalarning hosilalarini toping: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = gunoh ( x 2+ln x)

E'tibor bering, agar funktsiyada bo'lsa f(x) ifoda oʻrniga 2 x+ 3 oson bo'ladi x, keyin u ishlaydi elementar funktsiya f(x) = e x. Shuning uchun biz almashtirishni amalga oshiramiz: 2 bo'lsin x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Biz murakkab funktsiyaning hosilasini quyidagi formula bo'yicha qidiramiz:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Va endi - diqqat! Teskari almashtirishni amalga oshirish: t = 2x+ 3. Biz quyidagilarni olamiz:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Endi funksiyani ko'rib chiqamiz g(x). O'zgartirish kerakligi aniq. x 2+ln x = t. Bizda ... bor:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (gunoh t)’ · t' = cos t · t ’

Orqaga almashtirish: t = x 2+ln x. Keyin:

g ’(x) = cos ( x 2+ln x) · ( x 2+ln x)' = cos ( x 2+ln x) · (2 x + 1/x).

Ana xolos! Oxirgi ifodadan ko'rinib turibdiki, butun muammo yig'indining hosilasini hisoblashga qisqartirildi.

Javob:
f ’(x) = 2 e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) chunki( x 2+ln x).

Ko'pincha darslarimda "hosil" atamasi o'rniga "zarba" so'zini ishlataman. Misol uchun, yig'indidan olingan zarba summasiga teng zarbalar. Bu aniqroqmi? Xo'sh, bu yaxshi.

Shunday qilib, lotinni hisoblash yuqorida muhokama qilingan qoidalarga muvofiq, bu juda zarbalardan xalos bo'lishga tushadi. Yakuniy misol sifatida, keling, ratsional ko'rsatkich bilan hosila darajaga qaytaylik:

(x n)’ = n · x n − 1

Buni rolda kam odam biladi n kasr son bo'lishi mumkin. Masalan, ildiz x 0,5. Ammo ildiz ostida biron bir qiyin narsa bo'lsa-chi? Shunga qaramay, murakkab funktsiya paydo bo'ladi - ular bunday konstruktsiyalarni berishni yaxshi ko'radilar nazorat ishlari va imtihonlar.

Vazifa. Funktsiyaning hosilasini toping:

Birinchidan, ildizni ratsional darajali daraja sifatida qayta yozamiz:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Endi biz almashtirishni amalga oshiramiz: ruxsat bering x 2 + 8x − 7 = t. Biz hosilani quyidagi formula bo'yicha topamiz:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' t' = 0,5 t−0,5 t ’.

Biz teskari almashtirishni amalga oshiramiz: t = x 2 + 8x− 7. Bizda:

f ’(x) = 0,5 ( x 2 + 8x− 7) −0,5 ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Nihoyat, ildizlarga qayting:

FROM "hosil" mavzusi bo'yicha materiallarni o'qish. Asosiy maktab darajasi.
Matematika fanidan talabalar, o'qituvchilar va repetitorlar uchun nazariy ma'lumotlar. Darslarda yordam berish uchun.

Ta'rif: funktsiyaning nuqtadagi hosilasi funksiya o'sishning o'zgaruvchining o'sish qismiga nisbati chegarasi deyiladi, ya'ni

Asosiy matematik funktsiyalarning hosilalari jadvali:

Hosilalarni hisoblash qoidalari

Yigʻinning hosilasi har qanday ikkita ifodaning hosilasi shu ifodalarning hosilalari yig‘indisiga teng (yig‘indining hosilasi hosilalarning yig‘indisiga teng)

Farq hosilasi har qanday ikkita ifodaning hosilasi bu atamalarning hosilalari farqiga teng (farqning hosilasi hosilalarning ayirmasiga teng).

Mahsulotning hosilasi ikki omil birinchi omil hosilasining ikkinchisiga koʻpaytmasiga, birinchi omilning ikkinchisining hosilasiga koʻpaytmasiga teng (navbat bilan olingan omillarning hosilalari yigʻindisi).
Matematika o'qituvchisining fikri: Men talabaga mahsulotning hosilasini hisoblash qoidasi haqida qisqa iboralar bilan eslatganimda, men buni aytaman: birinchi koeffitsientning ikkinchi ortiqcha hosilasi. qon tomir almashinuvi!

Bo'limning hosilasi ikki ifodaning koʻrsatkichi omillarning navbatma-navbat olingan hosilalari ayirmasi va maxraj kvadratiga teng.

Son va funksiyaning hosilasi. Son va harfiy ifoda (funksiya) hosilasining hosilasini topish uchun bu sonni shu harfiy ifoda hosilasiga ko‘paytirish kerak.

Murakkab funktsiyaning hosilasi:

Murakkab funktsiyaning hosilasini hisoblash uchun tashqi funktsiyaning hosilasini topish va uni ichki funktsiyaning hosilasiga ko'paytirish kerak.

Sizning sharhlaringiz va sanab chiqinglar bilan sahifadagi fikr-mulohazalaringiz:
Aleksandr S.
Menga stol kerak edi. Internetdagi eng ko'plaridan biri. Tushuntirishlar va qoidalar uchun katta rahmat. Hech bo'lmaganda ularga yana bir misol va umuman olganda, bu juda yaxshi bo'lardi. Yana bir bor rahmat.

Kolpakov A.N., matematika o'qituvchisi: OK, men sahifani tez orada misollar bilan yangilashga harakat qilaman.

Virtual matematik ma'lumotnoma.
Kolpakov Aleksandr Nikolaevich, matematika o'qituvchisi.