Vjerovatnoća Događaj je omjer broja elementarnih ishoda koji favoriziraju dati događaj i broja svih jednako mogućih ishoda iskustva u kojima se ovaj događaj može dogoditi. Verovatnoća događaja A označava se sa P(A) (ovde je P prvo slovo francuske reči probabilite - verovatnoća). Prema definiciji
(1.2.1)
gdje je broj elementarnih ishoda koji favorizuju događaj A; - broj svih podjednako mogućih elementarnih ishoda iskustva, koji čine kompletnu grupu događaja.
Ova definicija vjerovatnoće se naziva klasičnom. Nastala je u početnoj fazi razvoja teorije vjerovatnoće.

Vjerovatnoća događaja ima sljedeća svojstva:
1. Vjerovatnoća određenog događaja jednaka je jedan. Označimo određeni događaj slovom . Za određeni događaj, dakle
(1.2.2)
2. Vjerovatnoća nemogućeg događaja je nula. Nemogući događaj označavamo slovom. Za nemoguć događaj, dakle
(1.2.3)
3. Vjerovatnoća slučajnog događaja se izražava kao pozitivan broj manji od jedan. Budući da su nejednakosti , ili su zadovoljeni za slučajni događaj, onda
(1.2.4)
4. Vjerovatnoća bilo kojeg događaja zadovoljava nejednakosti
(1.2.5)
To slijedi iz relacija (1.2.2) -(1.2.4).

Primjer 1 Urna sadrži 10 kuglica iste veličine i težine, od kojih su 4 crvene, a 6 plave. Jedna lopta se izvlači iz urne. Kolika je vjerovatnoća da je izvučena lopta plava?

Rješenje. Događaj "izvučena lopta je plava" označićemo slovom A. Ovo suđenje ima 10 podjednako mogućih elementarnih ishoda, od kojih 6 favorizuju događaj A. U skladu sa formulom (1.2.1) dobijamo

Primjer 2 Svi prirodni brojevi od 1 do 30 ispisani su na identičnim karticama i stavljeni u urnu. Nakon temeljnog miješanja karata, jedna karta se vadi iz urne. Kolika je vjerovatnoća da je broj na izvučenoj kartici višestruki od 5?

Rješenje. Označite sa A događaj "broj na uzetoj kartici je višestruki od 5". U ovom testu postoji 30 podjednako mogućih elementarnih ishoda, od kojih 6 ishoda favorizuju događaj A (brojevi 5, 10, 15, 20, 25, 30). shodno tome,

Primjer 3 Bacaju se dvije kocke, izračunava se zbir bodova na gornjim stranama. Nađite vjerovatnoću događaja B, koji se sastoji u tome da će gornje strane kocke imati ukupno 9 bodova.

Rješenje. U ovom ispitivanju postoji 6 2 = 36 jednako mogućih elementarnih ishoda. Događaju B favoriziraju 4 ishoda: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), pa

Primjer 4. Nasumično se bira prirodan broj koji ne prelazi 10. Kolika je vjerovatnoća da je ovaj broj prost?

Rješenje. Označite slovom C događaj "odabrani broj je prost". U ovom slučaju, n = 10, m = 4 (prosti brojevi 2, 3, 5, 7). Dakle, željena vjerovatnoća

Primjer 5 Bacaju se dva simetrična novčića. Kolika je vjerovatnoća da oba novčića imaju cifre na gornjoj strani?

Rješenje. Označimo slovom D događaj "na gornjoj strani svakog novčića bio je broj". U ovom testu postoje 4 podjednako moguća elementarna ishoda: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (Oznaka (G, C) znači da se na prvom novčiću nalazi grb, na drugom - broj). Događaju D favorizuje jedan elementarni ishod (C, C). Pošto je m = 1, n = 4, onda

Primjer 6 Kolika je vjerovatnoća da su cifre u slučajno odabranom dvocifrenom broju iste?

Rješenje. Dvocifreni brojevi su brojevi od 10 do 99; takvih brojeva ima ukupno 90. 9 brojeva ima iste cifre (to su brojevi 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Pošto je u ovom slučaju m = 9, n = 90, onda
,
gdje je A događaj "broj sa istim ciframa".

Primjer 7 Od slova riječi diferencijal jedno slovo se bira nasumično. Kolika je vjerovatnoća da će ovo slovo biti: a) samoglasnik b) suglasnik c) slovo h?

Rješenje. Riječ diferencijal ima 12 slova, od kojih su 5 samoglasnici, a 7 suglasnici. Pisma h ova riječ ne. Označimo događaje: A - "samoglasnik", B - "suglasnik", C - "slovo". h". Broj povoljnih elementarnih ishoda: - za događaj A, - za događaj B, - za događaj C. Pošto je n \u003d 12, onda
, i .

Primjer 8 Bacaju se dvije kockice, broj bodova na gornjoj strani svake kocke se bilježi. Pronađite vjerovatnoću da obje kockice imaju isti broj bodova.

Rješenje. Označimo ovaj događaj slovom A. Događaju A favorizuje 6 elementarnih ishoda: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), ( 6;6). Ukupno su podjednako mogući elementarni ishodi koji čine kompletnu grupu događaja, u ovom slučaju n=6 2 =36. Dakle, željena vjerovatnoća

Primjer 9 Knjiga ima 300 strana. Kolika je vjerovatnoća da će slučajno otvorena stranica imati redni broj koji je višekratnik 5?

Rješenje. Iz uslova zadatka proizilazi da će biti n = 300 svih jednako mogućih elementarnih ishoda koji čine kompletnu grupu događaja, od kojih m = 60 pogoduje nastanku navedenog događaja. Zaista, broj koji je višekratnik od 5 ima oblik 5k, gdje je k prirodan broj, i , odakle . shodno tome,
, gdje A - događaj "stranica" ima redni broj koji je višekratnik 5".

Primjer 10. Bacaju se dvije kocke, izračunava se zbir bodova na gornjim stranama. Šta je vjerojatnije da dobijete ukupno 7 ili 8?

Rješenje. Označimo događaje: A - "ispalo je 7 bodova", B - "ispalo je 8 bodova". Događaju A favorizuje 6 elementarnih ishoda: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), a događaju B - 5 ishoda: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Postoji n = 6 2 = 36 svih jednako mogućih elementarnih ishoda. i .

Dakle, P(A)>P(B), odnosno dobijanje ukupno 7 bodova je vjerovatniji događaj od dobivanja ukupno 8 bodova.

Zadaci

1. Nasumično se bira prirodni broj koji ne prelazi 30. Kolika je vjerovatnoća da je taj broj višekratnik od 3?
2. U urni a crvena i b plave kuglice iste veličine i težine. Kolika je vjerovatnoća da je nasumično izvučena lopta iz ove urne plava?
3. Slučajno se bira broj koji ne prelazi 30. Kolika je vjerovatnoća da je taj broj djelilac zo?
4. U urni a plava i b crvene kuglice iste veličine i težine. Iz ove urne se izvuče jedna loptica i ostavi na stranu. Ova lopta je crvena. Zatim se iz urne izvlači još jedna lopta. Nađite vjerovatnoću da je i druga lopta crvena.
5. Nasumično se bira prirodni broj koji ne prelazi 50. Kolika je vjerovatnoća da je taj broj prost?
6. Bacaju se tri kocke, izračunava se zbir bodova na gornjim stranama. Šta je vjerovatnije - dobiti ukupno 9 ili 10 bodova?
7. Bacaju se tri kockice, izračunava se zbir ispuštenih bodova. Za šta je veća vjerovatnoća da će dobiti ukupno 11 (događaj A) ili 12 bodova (događaj B)?

Odgovori

1. 1/3. 2 . b/(a+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(a+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 \u003d 25/216 - vjerovatnoća da dobijete ukupno 9 bodova; p 2 \u003d 27/216 - vjerovatnoća da se dobije ukupno 10 bodova; p2 > p1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).

Pitanja

1. Šta se naziva vjerovatnoća događaja?
2. Kolika je vjerovatnoća određenog događaja?
3. Kolika je vjerovatnoća nemogućeg događaja?
4. Koje su granice vjerovatnoće slučajnog događaja?
5. Koje su granice vjerovatnoće bilo kojeg događaja?
6. Koja se definicija vjerovatnoće naziva klasičnom?

Vjerovatnoća pokazuje mogućnost događaja sa određenim brojem ponavljanja. Ovo je broj mogućih ishoda s jednim ili više ishoda podijeljen s ukupnim brojem mogućih događaja. Vjerovatnoća nekoliko događaja se izračunava tako što se problem podijeli na odvojene vjerovatnoće, a zatim se te vjerovatnoće pomnože.

Koraci

Vjerovatnoća jednog slučajnog događaja

1. Odaberite događaj sa međusobno isključivim rezultatima. Vjerovatnoća se može izračunati samo ako se dotični događaj dogodi ili ne dogodi. Nemoguće je dobiti bilo koji događaj i suprotan rezultat u isto vrijeme. Primjer takvih događaja je bacanje 5 na kockicu ili pobjeda određenog konja u trci. Pet će se ili pojaviti ili ne; određeni konj će ili doći prvi ili ne.

   • Na primjer, nemoguće je izračunati vjerovatnoću takvog događaja: u jednom bacanju kockice, 5 i 6 će se baciti u isto vrijeme.

2. Identificirajte sve moguće događaje i ishode koji bi se mogli dogoditi. Pretpostavimo da treba da odredimo verovatnoću da će se pojaviti trojka kada se baci kocka sa 6 brojeva. "Tri vrste" je događaj, a pošto znamo da se može pojaviti bilo koji od 6 brojeva, broj mogućih ishoda je šest. Dakle, znamo da u ovom slučaju postoji 6 mogućih ishoda i jedan događaj čiju vjerovatnoću želimo odrediti. U nastavku su još dva primjera.

   • Primjer 1. U ovom slučaju događaj je „odabir dana koji pada na vikend“, a broj mogućih ishoda jednak je broju dana u sedmici, odnosno sedam.
   • Primjer 2. Događaj je "izvlačenje crvene lopte", a broj mogućih ishoda jednak je ukupnom broju loptica, odnosno dvadeset.

3. Podijelite broj događaja sa brojem mogućih ishoda. Na ovaj način određujete vjerovatnoću jednog događaja. Ako uzmemo u obzir slučaj 3 na bacanju kockice, broj događaja je 1 (tri su samo na jednoj strani kockice), a ukupan broj ishoda je 6. Rezultat je omjer 1/6, 0,166, odnosno 16,6%. Vjerovatnoća događaja za dva gornja primjera nalazi se na sljedeći način:

   • Primjer 1. Kolika je vjerovatnoća da ćete nasumično izabrati dan koji pada na vikend? Broj događaja je 2, pošto su u jednoj sedmici dva slobodna dana, a ukupan broj ishoda je 7. Dakle, vjerovatnoća je 2/7. Dobijeni rezultat se može zapisati i kao 0,285 ili 28,5%.
   • Primjer 2. Kutija sadrži 4 plave, 5 crvenih i 11 bijelih loptica. Ako iz kutije izvučete nasumično kuglicu, kolika je vjerovatnoća da će ona biti crvena? Broj događaja je 5, pošto se u kutiji nalazi 5 crvenih loptica, a ukupan broj ishoda je 20. Pronađite vjerovatnoću: 5/20 = 1/4. Dobijeni rezultat se može zapisati i kao 0,25 ili 25%.

4. Zbrojite vjerovatnoće svih mogućih događaja i vidite da li je ukupan broj 1. Ukupna vjerovatnoća svih mogućih događaja trebala bi biti 1 ili 100%. Ako ne dobijete 100%, velike su šanse da ste pogriješili i propustili jedan ili više mogućih događaja. Provjerite svoje izračune i pobrinite se da uzmete u obzir sve moguće ishode.

   • Na primjer, vjerovatnoća bacanja 3 pri bacanju kocke je 1/6. U ovom slučaju, vjerovatnoća da bilo koji drugi broj ispadne iz preostalih pet je također jednaka 1/6. Kao rezultat, dobijamo 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 6/6, odnosno 100%.
   • Ako, na primjer, zaboravite na broj 4 na kockici, sabiranje vjerovatnoće će vam dati samo 5/6, odnosno 83%, što nije jednako jedan i ukazuje na grešku.

5. Izrazite vjerovatnoću nemogućeg ishoda kao 0. To znači da se dati događaj ne može dogoditi i njegova vjerovatnoća je 0. Na ovaj način možete uzeti u obzir nemoguće događaje.

   • Na primjer, ako računate vjerovatnoću da Uskrs padne u ponedjeljak 2020. godine, dobili biste 0, pošto se Uskrs uvijek slavi u nedjelju.

   Vjerovatnoća nekoliko slučajnih događaja

   1. Kada razmatrate nezavisne događaje, izračunajte svaku vjerovatnoću posebno. Nakon što odredite koje su vjerovatnoće događaja, one se mogu izračunati zasebno. Recimo da želimo znati vjerovatnoću bacanja kockice dva puta zaredom sa 5. Znamo da je vjerovatnoća bacanja jedne petice 1/6, a vjerovatnoća bacanja druge petice također 1/6. Prvi ishod nije povezan sa drugim.

      • Poziva se nekoliko bacanja petica ne zavisni događaji , jer ono što se desi prvi put ne utiče na drugi događaj.

   2. Uzmite u obzir uticaj prethodnih ishoda prilikom izračunavanja vjerovatnoće za zavisne događaje. Ako prvi događaj utiče na vjerovatnoću drugog ishoda, kaže se da izračunava vjerovatnoću zavisni događaji. Na primjer, ako odaberete dvije karte iz špila od 52 karte, nakon što se izvuče prva karta, sastav špila se mijenja, što utiče na izbor druge karte. Da biste izračunali vjerovatnoću drugog od dva zavisna događaja, oduzmite 1 od broja mogućih ishoda prilikom izračunavanja vjerovatnoće drugog događaja.

      • Primjer 1. Razmislite o sljedećem događaju: Dvije karte se nasumično izvlače iz špila jedna za drugom. Kolika je vjerovatnoća da će obje karte imati klub odijelo? Vjerovatnoća da će prva karta imati klubsku boju je 13/52, odnosno 1/4, budući da u špilu ima 13 karata iste boje.
        • Nakon toga, vjerovatnoća da će druga karta biti klupsko odijelo je 12/51, pošto više ne postoji jedna klupska karta. To je zato što prvi događaj utiče na drugi. Ako izvučete 3 batine i ne vratite ih nazad, u špilu će biti jedna karta manje (51 umjesto 52).
      • Primjer 2. U kutiji se nalaze 4 plave, 5 crvenih i 11 bijelih loptica. Ako su tri kuglice izvučene nasumično, kolika je vjerovatnoća da je prva crvena, druga plava, a treća bijela?
        • Vjerovatnoća da će prva lopta biti crvena je 5/20, odnosno 1/4. Vjerovatnoća da će druga kuglica biti plava je 4/19, pošto je u kutiji ostala jedna loptica manje, ali i dalje 4 plava lopta. Konačno, vjerovatnoća da je treća lopta bela je 11/18 pošto smo već izvukli dve lopte.

   3. Pomnožite vjerovatnoće svakog pojedinačnog događaja. Bez obzira da li se radi o nezavisnim ili zavisnim događajima, kao io broju ishoda (mogu biti 2, 3 ili čak 10), ukupnu vjerovatnoću možete izračunati množenjem vjerojatnosti svih dotičnih događaja međusobno. . Kao rezultat, dobićete vjerovatnoću nekoliko događaja, sljedećih jedan po jedan. Na primjer, zadatak je Pronađite vjerovatnoću baciti kocku dva puta zaredom sa 5.. To su dva nezavisna događaja, od kojih je vjerovatnoća 1/6. Dakle, vjerovatnoća oba događaja je 1/6 x 1/6 = 1/36, odnosno 0,027 ili 2,7%.

      • Primjer 1. Dvije karte se nasumično izvlače iz špila, jedna za drugom. Kolika je vjerovatnoća da će obje karte imati klub odijelo? Verovatnoća prvog događaja je 13/52. Vjerovatnoća drugog događaja je 12/51. Nalazimo ukupnu vjerovatnoću: 13/52 x 12/51 = 12/204 = 1/17, odnosno 0,058 ili 5,8%.
      • Primjer 2. Kutija sadrži 4 plave, 5 crvenih i 11 bijelih loptica. Ako se iz kutije nasumično izvuku tri loptice, jedna za drugom, kolika je vjerovatnoća da je prva crvena, druga plava, a treća bijela? Verovatnoća prvog događaja je 5/20. Vjerovatnoća drugog događaja je 4/19. Vjerovatnoća trećeg događaja je 11/18. Dakle, ukupna vjerovatnoća je 5/20 x 4/19 x 11/18 = 44/1368 = 0,032, ili 3,2%.

Kada procjenjujemo vjerovatnoću nastanka bilo kojeg slučajnog događaja, vrlo je važno unaprijed imati dobru ideju da li vjerovatnoća (vjerovatnoća događaja) nastanka događaja koji nas zanima ovisi o tome kako se razvijaju drugi događaji. U slučaju klasične sheme, kada su svi ishodi jednako vjerojatni, već možemo sami procijeniti vrijednosti vjerovatnoće pojedinačnog događaja koji nas zanima. To možemo učiniti čak i ako je događaj složena zbirka nekoliko elementarnih ishoda. A ako se nekoliko slučajnih događaja dogodi istovremeno ili uzastopno? Kako to utiče na vjerovatnoću događaja koji nas zanima? Ako bacim kockicu nekoliko puta i želim da dobijem šesticu, a uvek nemam sreće, da li to znači da treba da povećam svoju opkladu jer, prema teoriji verovatnoće, uskoro ću imati sreće? Avaj, teorija vjerovatnoće ne govori ništa o tome. Ni kockice, ni karte, ni novčići se ne mogu sjetiti šta su nam prošli put pokazali. Uopšte im je svejedno da li prvi ili deseti put danas iskušavam svoju sudbinu. Svaki put kada ponovo kotrljam, znam samo jedno: i ovog puta je vjerovatnoća da ću ponovo baciti "šesticu" jedna šestina. Naravno, to ne znači da broj koji mi treba nikada neće ispasti. To samo znači da moj gubitak nakon prvog bacanja i nakon bilo kojeg drugog bacanja - nezavisnih događaja. Događaji A i B nazivaju se nezavisnim ako ostvarenje jednog od njih ni na koji način ne utiče na vjerovatnoću drugog događaja. Na primjer, vjerovatnoća pogađanja mete s prvim od dva pištolja ne zavise od toga da li je drugi top pogodio metu, tako da su događaji "prvi top pogodio metu" i "drugi top pogodio metu" nezavisni. Ako su dva događaja A i B nezavisna, a vjerovatnoća svakog od njih je poznata, tada se vjerovatnoća istovremene pojave događaja A i događaja B (označeno sa AB) može izračunati korištenjem sljedeće teoreme.

Teorema množenja vjerovatnoće za nezavisne događaje

P(AB) = P(A)*P(B) vjerovatnoća istovremene pojave dva nezavisna događaja jednaka je proizvodu vjerovatnoća ovih događaja.

Primjer 1. Vjerovatnoće pogađanja mete pri gađanju prvog i drugog topova su jednake: p 1 = 0,7; p2 = 0,8. Odredite vjerovatnoću da pogodite jednim rafalom od oba pištolja istovremeno.

Kao što smo već vidjeli, događaji A (pogodan prvim pištoljem) i B (pogodan drugim pištoljem) su nezavisni, tj. P(AB)=P(A)*P(B)=p1*p2=0,56. Šta se dešava s našim procjenama ako početni događaji nisu nezavisni? Promenimo malo prethodni primer.

Primjer 2 Dva strijelca na takmičenju gađaju mete, a ako jedan od njih gađa precizno, onda protivnik počinje da se nervira, a rezultati mu se pogoršavaju. Kako ovu svakodnevnu situaciju pretvoriti u matematički problem i zacrtati načine za njegovo rješavanje? Intuitivno je jasno da je potrebno nekako razdvojiti dva scenarija, sastaviti, zapravo, dva scenarija, dva različita zadatka. U prvom slučaju, ako protivnik promaši, scenario će biti povoljan za nervoznog sportistu i njegova preciznost će biti veća. U drugom slučaju, ako je protivnik pristojno realizovao svoju šansu, vjerovatnoća da će pogoditi metu za drugog sportaša se smanjuje. Da bismo razdvojili moguće scenarije (oni se često nazivaju hipotezama) razvoja događaja, često ćemo koristiti shemu "stabla vjerovatnoće". Ovaj dijagram je po značenju sličan stablu odlučivanja, s kojim ste vjerovatno već imali posla. Svaka grana je zaseban scenario, samo što sada ima svoju vrednost takozvane uslovne verovatnoće (q 1 , q 2 , q 1 -1, q 2 -1).

Ova šema je vrlo pogodna za analizu uzastopnih slučajnih događaja. Ostaje da razjasnimo još jedno važno pitanje: odakle potiču početne vrijednosti vjerovatnoća u stvarnim situacijama? Uostalom, teorija vjerovatnoće ne funkcionira s istim novčićima i kockicama, zar ne? Obično se ove procjene uzimaju iz statistike, a kada statistika nije dostupna, mi provodimo vlastito istraživanje. I često moramo započeti ne prikupljanjem podataka, već pitanjem koje informacije su nam općenito potrebne.

Primjer 3 U gradu od 100.000 stanovnika, pretpostavimo da trebamo procijeniti veličinu tržišta za novi neesencijalni proizvod, kao što je regenerator za kosu za kosu. Razmotrimo šemu "drvo vjerovatnoća". U ovom slučaju trebamo približno procijeniti vrijednost vjerovatnoće na svakoj „grani“. Dakle, naše procjene tržišnog kapaciteta:

1) 50% svih stanovnika grada su žene,

2) od svih žena, samo 30% često farba kosu,

3) od njih samo 10% koristi balzame za farbanu kosu,

4) od njih samo 10% može skupiti hrabrost da isproba novi proizvod,

5) 70% njih obično sve kupuje ne od nas, već od naših konkurenata.

Prema zakonu množenja vjerovatnoća, određujemo vjerovatnoću događaja koji nas zanima A = (stanovnik grada kupuje ovaj novi balzam od nas) = ​​0,00045. Pomnožite ovu vrijednost vjerovatnoće sa brojem stanovnika grada. Kao rezultat toga, imamo samo 45 potencijalnih kupaca, a s obzirom da jedna bočica ovog proizvoda traje nekoliko mjeseci, trgovina nije baš živa. Ipak, ima koristi od naših procjena. Prvo, možemo uporediti prognoze različitih poslovnih ideja, one će imati različite „račve“ na dijagramima, a, naravno, i vrijednosti vjerovatnoće će biti različite. Drugo, kao što smo već rekli, slučajna vrijednost Ne naziva se slučajnim jer ne zavisi ni od čega. Samo što njegovo tačno značenje nije unapred poznato. Znamo da se prosječan broj kupaca može povećati (na primjer, oglašavanjem novog proizvoda). Tako da ima smisla fokusirati se na one "rašlje" gdje nam distribucija vjerovatnoća ne odgovara posebno, na one faktore na koje možemo utjecati. Razmotrimo još jedan kvantitativni primjer istraživanja ponašanja potrošača.

Primjer 3 Prosječno 10.000 ljudi posjeti prehrambenu pijacu dnevno. Verovatnoća da posetilac pijace uđe u mlečni paviljon je 1/2. Poznato je da se u ovom paviljonu u prosjeku dnevno proda 500 kg raznih proizvoda. Može li se tvrditi da je prosječna kupovina u paviljonu teška samo 100 g?

Diskusija.

Naravno da ne. Jasno je da nisu svi koji su ušli u paviljon na kraju nešto kupili.

Kao što je prikazano na dijagramu, da bismo odgovorili na pitanje o prosječnoj kupovnoj težini, moramo pronaći odgovor na pitanje kolika je vjerovatnoća da osoba koja uđe u paviljon tamo nešto kupi. Ukoliko takve podatke ne raspolažemo, a trebaju nam, moraćemo sami da ih pribavimo, nakon što neko vreme posmatramo posetioce paviljona. Pretpostavimo da naša zapažanja pokazuju da samo petina posjetitelja paviljona nešto kupi. Čim ove procjene dobijemo od nas, zadatak postaje već jednostavan. Od 10.000 ljudi koji su došli na pijacu, 5.000 će otići u paviljon mliječnih proizvoda, kupovina će biti samo 1.000, a prosječna težina kupovine je 500 grama. Zanimljivo je primijetiti da, da bismo izgradili potpunu sliku onoga što se događa, logika uslovnog "grananja" mora biti definirana u svakoj fazi našeg razmišljanja tako jasno kao da radimo s "konkretnom" situacijom, a ne sa vjerovatnoćama.

Zadaci za samoispitivanje.

1. Pustite da jede električno kolo, koji se sastoji od n serijski povezanih elemenata, od kojih svaki radi nezavisno od drugih. Vjerovatnoća p neotkazanja svakog elementa je poznata. Odrediti vjerovatnoću ispravnog rada cijelog dijela kola (događaj A).

2. Student zna 20 od 25 ispitnih pitanja. Odrediti vjerovatnoću da učenik zna tri pitanja koja mu je dao ispitivač.

3. Proizvodnja se sastoji od četiri uzastopne faze, od kojih svaka radi na opremi za koju su vjerovatnoće kvara u toku narednog mjeseca, respektivno, p 1 , p 2 , p 3 i p 4 . Pronađite vjerovatnoću da za mjesec dana neće doći do obustave proizvodnje zbog kvara opreme.

U privredi, kao iu drugim oblastima ljudske djelatnosti ili u prirodi, stalno se suočavamo sa događajima koji se ne mogu točno predvidjeti. Dakle, obim prodaje robe zavisi od potražnje, koja može značajno da varira, i od niza drugih faktora koje je gotovo nemoguće uzeti u obzir. Stoga se u organizaciji proizvodnje i prodaje ishod takvih aktivnosti mora predvidjeti na osnovu ili vlastitog prethodnog iskustva, ili sličnog iskustva drugih ljudi, ili intuicije, koja se također u velikoj mjeri zasniva na eksperimentalnim podacima.

Da bi se na neki način vrednovao događaj koji se razmatra, potrebno je uzeti u obzir ili posebno organizovati uslove u kojima se ovaj događaj snima.

Zove se implementacija određenih uslova ili radnji za identifikaciju dotičnog događaja iskustvo ili eksperiment.

Događaj se zove nasumično ako se, kao rezultat eksperimenta, može dogoditi ili ne mora.

Događaj se zove autentičan, ako se nužno pojavi kao rezultat ovog iskustva, i nemoguće ako se ne može pojaviti u ovom iskustvu.

Na primjer, snježne padavine u Moskvi 30. novembra su slučajni događaj. Dnevni izlazak sunca može se smatrati određenim događajem. Snježne padavine na ekvatoru mogu se smatrati nemogućim događajem.

Jedan od glavnih problema u teoriji vjerovatnoće je problem određivanja kvantitativne mjere mogućnosti nastanka događaja.

Algebra događaja

Događaji se nazivaju nekompatibilnim ako se ne mogu posmatrati zajedno u istom iskustvu. Dakle, prisustvo dva i tri automobila u jednoj prodavnici u isto vrijeme su dva nespojiva događaja.

suma događaj je događaj koji se sastoji od pojave barem jednog od ovih događaja

Primjer zbroja događaja je prisustvo barem jednog od dva proizvoda u trgovini.

rad događaji se nazivaju događaji koji se sastoje od istovremenog nastupa svih ovih događaja

Događaj koji se sastoji u pojavi dvije robe u isto vrijeme u prodavnici je proizvod događaja: - pojavljivanja jednog proizvoda, - pojavljivanja drugog proizvoda.

Događaji čine kompletnu grupu događaja ako se barem jedan od njih nužno javlja u iskustvu.

Primjer. Luka ima dva veza za brodove. Mogu se smatrati tri događaja: - odsustvo plovila na vezovima, - prisustvo jednog plovila na jednom od vezova, - prisustvo dva plovila na dva veza. Ova tri događaja čine kompletnu grupu događaja.

Nasuprot nazivaju se dva jedinstvena moguća događaja koji čine kompletnu grupu.

Ako je jedan od događaja koji su suprotni označen sa , tada se suprotni događaj obično označava sa .

Klasične i statističke definicije vjerovatnoće događaja

Svaki od jednako mogućih rezultata ispitivanja (eksperimenata) naziva se elementarni ishod. Obično se označavaju slovima. Na primjer, baca se kocka. Prema broju bodova na stranama može biti šest elementarnih ishoda.

Od elementarnih ishoda možete sastaviti složeniji događaj. Dakle, događaj parnog broja bodova određen je sa tri ishoda: 2, 4, 6.

Kvantitativna mjera mogućnosti nastanka događaja koji se razmatra je vjerovatnoća.

Većina široku upotrebu dobio dvije definicije vjerovatnoće događaja: klasična i statistički.

Klasična definicija vjerovatnoće povezana je sa pojmom povoljnog ishoda.

Egzodus se zove povoljno ovaj događaj, ako njegovo pojavljivanje povlači nastanak ovog događaja.

U datom primjeru, događaj koji se razmatra je paran broj bodova na oborenoj ivici, ima tri povoljna ishoda. U ovom slučaju, general
broj mogućih ishoda. Dakle, ovdje možete koristiti klasičnu definiciju vjerovatnoće događaja.

Klasična definicija jednak je omjeru broja povoljnih ishoda i ukupnog broja mogućih ishoda

gdje je vjerovatnoća događaja , je broj povoljnih ishoda za događaj, is ukupan broj mogući ishodi.

U razmatranom primjeru

Statistička definicija vjerovatnoće povezana je s konceptom relativne učestalosti pojavljivanja događaja u eksperimentima.

Relativna učestalost pojavljivanja događaja izračunava se po formuli

gdje je broj pojavljivanja događaja u nizu eksperimenata (testova).

Statistička definicija. Vjerovatnoća događaja je broj u odnosu na koji se relativna frekvencija stabilizuje (uspostavlja) uz neograničeno povećanje broja eksperimenata.

U praktičnim problemima, relativna frekvencija se uzima kao vjerovatnoća događaja u dovoljnoj mjeri veliki brojevi testovi.

Iz ovih definicija vjerovatnoće događaja može se vidjeti da nejednakost uvijek vrijedi

Za određivanje vjerovatnoće događaja na osnovu formule (1.1), kombinatoričke formule se često koriste za pronalaženje broja povoljnih ishoda i ukupnog broja mogućih ishoda.

Malo je vjerovatno da mnogi ljudi razmišljaju o tome da li je moguće izračunati događaje koji su manje-više nasumični. Govoreći jednostavnim rečima, da li je realno znati koja će strana kockice ispasti sljedeći put. Upravo su to pitanje postavila dva velika naučnika, koji su postavili temelje za takvu nauku kao što je teorija vjerovatnoće, u kojoj se vjerovatnoća događaja prilično opširno proučava.

Porijeklo

Ako pokušate da definišete takav koncept kao teorija verovatnoće, dobijate sledeće: ovo je jedna od grana matematike koja proučava konstantnost slučajnih događaja. Naravno, ovaj koncept zapravo ne otkriva cijelu suštinu, pa ga je potrebno detaljnije razmotriti.

Želeo bih da počnem sa tvorcima teorije. Kao što je već spomenuto, bilo ih je dvoje, a upravo su oni među prvima pokušali izračunati ishod nekog događaja koristeći formule i matematičke proračune. U cjelini, počeci ove nauke javljaju se u srednjem vijeku. Tada su razni mislioci i naučnici pokušavali da analiziraju kockanje, kao što su rulet, kockice i tako dalje, utvrđujući tako obrazac i procenat ispadanja određenog broja. Temelj su postavili u sedamnaestom veku pomenuti naučnici.

U početku se njihov rad nije mogao pripisati velikim dostignućima u ovoj oblasti, jer su sve što su radili bile samo empirijske činjenice, a eksperimenti su rađeni vizualno, bez upotrebe formula. Vremenom se pokazalo da postiže odlične rezultate, koji su se pojavili kao rezultat posmatranja bacanja kocke. Upravo je ovaj alat pomogao da se izvuku prve razumljive formule.

Ljudi istomišljenika

Nemoguće je ne spomenuti takvu osobu kao što je Christian Huygens, u procesu proučavanja teme koja se zove "teorija vjerovatnoće" (vjerovatnoća događaja je pokrivena upravo u ovoj nauci). Ova osoba je veoma interesantna. On je, kao i gore predstavljeni naučnici, pokušao da izvede pravilnost slučajnih događaja u obliku matematičkih formula. Važno je napomenuti da on to nije radio zajedno sa Pascalom i Fermaom, odnosno da se sva njegova djela ni na koji način nisu ukrštala s tim umovima. Huygens je izveo

Zanimljiva je činjenica da je njegov rad izašao mnogo prije rezultata rada otkrivača, odnosno dvadeset godina ranije. Među naznačenim konceptima najpoznatiji su:

• koncept vjerovatnoće kao veličine slučaja;
• matematičko očekivanje za diskretne slučajeve;
• teoreme množenja i sabiranja vjerovatnoća.

Također je nemoguće ne sjetiti se ko je također dao značajan doprinos proučavanju problema. Provodeći vlastite testove, nezavisno od bilo koga, uspio je predstaviti dokaz zakona veliki brojevi. Zauzvrat, naučnici Poisson i Laplace, koji su radili na početku devetnaestog veka, uspeli su da dokažu originalne teoreme. Od tog trenutka se teorija vjerovatnoće počela koristiti za analizu grešaka u toku posmatranja. side bypass ovu nauku ni ruski naučnici, odnosno Markov, Čebišev i Djapunov. Na osnovu rada velikih genija, fiksirali su ovaj predmet kao granu matematike. Ove ličnosti su delovale već krajem devetnaestog veka, a zahvaljujući njihovom doprinosu, pojavile su se pojave kao što su:

• zakon velikih brojeva;
• teorija Markovljevih lanaca;
• centralna granična teorema.

Dakle, sa istorijom rađanja nauke i sa glavnim ljudima koji su na nju uticali, sve je manje-više jasno. Sada je vrijeme da konkretiziramo sve činjenice.

Osnovni koncepti

Prije nego što se dotaknemo zakona i teorema, vrijedi proučiti osnovne koncepte teorije vjerovatnoće. Događaj u tome ima vodeću ulogu. Ova tema je prilično obimna, ali bez nje neće biti moguće razumjeti sve ostalo.

Događaj u teoriji vjerovatnoće je bilo koji skup ishoda eksperimenta. Nema toliko koncepata ovog fenomena. Dakle, naučnik Lotman, koji radi u ovoj oblasti, je to rekao u ovom slučaju mi pričamo o tome šta se "dogodilo, iako se možda nije dogodilo".

Slučajni događaji (teorija vjerovatnoće im posvećuje posebnu pažnju) je koncept koji podrazumijeva apsolutno svaki fenomen koji ima sposobnost da se dogodi. Ili, obrnuto, ovaj scenario se možda neće dogoditi kada su ispunjeni mnogi uslovi. Takođe je vredno znati da su slučajni događaji ti koji obuhvataju čitav opseg pojava koje su se dogodile. Teorija vjerovatnoće pokazuje da se svi uvjeti mogu stalno ponavljati. Upravo se njihovo ponašanje zvalo "eksperiment" ili "test".

Određeni događaj je onaj koji će se 100% dogoditi u datom testu. Prema tome, nemoguć događaj je onaj koji se neće dogoditi.

Kombinacija para radnji (uslovno slučaj A i slučaj B) je pojava koja se javlja istovremeno. Oni su označeni kao AB.

Zbir parova događaja A i B je C, drugim riječima, ako se dogodi barem jedan od njih (A ili B), onda će se dobiti C. Formula opisanog fenomena je napisana na sljedeći način: C \u003d A + B.

Disjunktni događaji u teoriji vjerovatnoće impliciraju da se ova dva slučaja međusobno isključuju. Nikada se ne mogu dogoditi u isto vrijeme. Zajednički događaji u teoriji vjerovatnoće su njihov antipod. Ovo implicira da ako se A dogodilo, onda to ni na koji način ne sprječava B.

Suprotni događaji (teorija vjerovatnoće ih se bavi vrlo detaljno) lako je razumjeti. Najbolje je pozabaviti se njima u poređenju. Oni su skoro isti kao nekompatibilni događaji u teoriji vjerovatnoće. Ali njihova razlika leži u činjenici da se jedan od mnogih fenomena u svakom slučaju mora dogoditi.

Jednako vjerovatni događaji su one radnje čija je mogućnost ponavljanja jednaka. Da bi bilo jasnije, možemo zamisliti bacanje novčića: gubitak jedne od njegovih strana jednako je vjerovatno da će ispasti s druge.

Povoljan događaj je lakše uočiti na primjeru. Recimo da postoje epizoda B i epizoda A. Prva je bacanje kockice sa pojavom neparnog broja, a druga je pojava broja pet na kockici. Tada se ispostavilo da A favorizuje B.

Nezavisni događaji u teoriji vjerovatnoće se projektuju samo na dva ili više slučajeva i podrazumijevaju neovisnost bilo koje akcije od drugog. Na primjer, A - ispuštanje repova prilikom bacanja novčića, i B - dobijanje džaka iz špila. Oni su nezavisni događaji u teoriji vjerovatnoće. U ovom trenutku je postalo jasnije.

Zavisni događaji u teoriji vjerovatnoće su također prihvatljivi samo za njihov skup. Oni podrazumijevaju ovisnost jednog od drugog, odnosno pojava B može nastati samo ako se A već dogodio ili se, naprotiv, nije dogodio kada je to glavni uvjet za B.

Ishod slučajnog eksperimenta koji se sastoji od jedne komponente su elementarni događaji. Teorija vjerovatnoće objašnjava da se radi o fenomenu koji se dogodio samo jednom.

Osnovne formule

Dakle, gore su razmotreni koncepti "događaja", "teorije vjerovatnoće", data je i definicija glavnih pojmova ove nauke. Sada je vrijeme da se direktno upoznate sa važnim formulama. Ovi izrazi matematički potvrđuju sve glavne koncepte u tako teškom predmetu kao što je teorija vjerojatnosti. Verovatnoća događaja takođe igra veliku ulogu.

Bolje je početi s glavnim, a prije nego što pređete na njih, vrijedi razmisliti o čemu se radi.

Kombinatorika je prvenstveno grana matematike, bavi se proučavanjem ogromnog broja cijelih brojeva, kao i raznim permutacijama kako samih brojeva tako i njihovih elemenata, raznih podataka itd., što dovodi do pojave niza kombinacija. Pored teorije vjerovatnoće, ova grana je važna za statistiku, računarstvo i kriptografiju.

Dakle, sada možete prijeći na prezentaciju samih formula i njihove definicije.

Prvi od njih će biti izraz za broj permutacija, izgleda ovako:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

Jednačina se primjenjuje samo ako se elementi razlikuju samo po svom redoslijedu.

Sada će se uzeti u obzir formula plasmana, ona izgleda ovako:

A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n - m)!

Ovaj izraz je primjenjiv ne samo na redoslijed elementa, već i na njegov sastav.

Treća jednačina iz kombinatorike, koja je ujedno i posljednja, zove se formula za broj kombinacija:

C_n^m = n ! : ((n - m))! :m!

Kombinacija se naziva selekcija koja nije naručena, odnosno, i ovo pravilo se primjenjuje na njih.

Pokazalo se da je lako shvatiti formule kombinatorike, sada možemo prijeći na klasičnu definiciju vjerovatnoća. Ovaj izraz izgleda ovako:

U ovoj formuli, m je broj uslova pogodnih za događaj A, a n je broj apsolutno svih jednako mogućih i elementarnih ishoda.

Postoji veliki broj izraza, članak neće obuhvatiti sve njih, ali će se dotaknuti najvažnijih od njih, kao što je, na primjer, vjerovatnoća zbira događaja:

P(A + B) = P(A) + P(B) - ova teorema je za dodavanje samo nekompatibilnih događaja;

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - a ovaj je za dodavanje samo kompatibilnih.

Verovatnoća nastanka događaja:

P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - ova teorema je za nezavisne događaje;

(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) - a ovo je za zavisne osobe.

Formula događaja će završiti listu. Teorija vjerovatnoće nam govori o Bayesovoj teoremi, koja izgleda ovako:

P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)) : (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,..., n

U ovoj formuli, H 1 , H 2 , …, H n je puna grupa hipoteza.

Primjeri

Ako pažljivo proučavate bilo koju granu matematike, ona nije potpuna bez vježbi i uzoraka rješenja. Isto tako i teorija vjerovatnoće: događaji, primjeri ovdje su sastavna komponenta koja potvrđuje naučne proračune.

Formula za broj permutacija

Recimo da ima trideset karata u špilu karata, počevši od jedne nominalne vrijednosti. Sljedeće pitanje. Koliko postoji načina da se špil složi tako da kartice nominalne vrijednosti jedan i dva ne budu jedna pored druge?

Zadatak je postavljen, a sada idemo na njegovo rješavanje. Prvo morate odrediti broj permutacija od trideset elemenata, za to uzimamo gornju formulu, ispada P_30 = 30!.

Na osnovu ovog pravila saznat ćemo koliko postoji opcija za preklapanje špila na različite načine, ali od njih trebamo oduzeti one u kojima su prva i druga karta sljedeće. Da bismo to učinili, počnimo s opcijom kada je prva iznad druge. Ispostavilo se da prva karta može zauzeti dvadeset devet mjesta - od prve do dvadeset devete, a druga karta od druge do tridesete, ispada samo dvadeset devet mjesta za par karata. Zauzvrat, ostatak može zauzeti dvadeset osam mjesta, i to bilo kojim redoslijedom. To jest, za permutaciju od dvadeset osam karata, postoji dvadeset osam opcija P_28 = 28!

Kao rezultat, ispada da ako uzmemo u obzir rješenje kada je prva karta iznad druge, postoji 29 ⋅ 28 dodatnih mogućnosti! = 29!

Koristeći istu metodu, morate izračunati broj suvišnih opcija za slučaj kada je prva kartica ispod druge. Ispada i 29 ⋅ 28! = 29!

Iz ovoga proizilazi da postoji 2 ⋅ 29! dodatnih opcija, dok postoji 30 neophodnih načina za izgradnju špila! - 2 ⋅ 29!. Ostaje samo da se računa.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Sada trebate pomnožiti sve brojeve od jedan do dvadeset devet među sobom, a zatim na kraju sve pomnožiti sa 28. Odgovor je 2,4757335 ⋅〖10〗^32

Primjer rješenja. Formula za broj plasmana

U ovom zadatku morate saznati na koliko načina postoji da se petnaest tomova stavi na jednu policu, ali pod uslovom da ima ukupno trideset tomova.

U ovom problemu rješenje je nešto jednostavnije nego u prethodnom. Koristeći već poznatu formulu, potrebno je izračunati ukupan broj aranžmana od trideset svezaka od petnaest.

A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 000

Odgovor će, respektivno, biti jednak 202.843.204.931.727.360.000.

Hajdemo sada da malo težimo zadatak. Morate saznati na koliko načina možete rasporediti trideset knjiga na dvije police za knjige, s tim da samo petnaest tomova može biti na jednoj polici.

Prije nego krenem s rješavanjem, želio bih pojasniti da se neki problemi rješavaju na više načina, tako da u ovom postoje dva načina, ali se u oba koristi ista formula.

U ovom zadatku možete preuzeti odgovor iz prethodnog, jer smo tamo izračunali koliko puta možete napuniti policu sa petnaest knjiga na različite načine. Ispostavilo se A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16.

Drugu policu računamo prema formuli permutacije, jer je u nju smješteno petnaest knjiga, a ostalo je samo petnaest. Koristimo formulu P_15 = 15!.

Ispostavilo se da će ukupno biti A_30^15 ⋅ P_15 načina, ali, osim toga, proizvod svih brojeva od trideset do šesnaest morat će se pomnožiti s umnoškom brojeva od jedan do petnaest, kao rezultat toga, dobiće se proizvod svih brojeva od jedan do trideset, odnosno odgovor je 30!

Ali ovaj problem se može riješiti na drugačiji način - lakše. Da biste to učinili, možete zamisliti da postoji jedna polica za trideset knjiga. Svi su postavljeni na ovu ravan, ali pošto uvjet zahtijeva da postoje dvije police, jednu dugačku presiječemo na pola, ispada po dvije po petnaest. Iz ovoga se ispostavlja da opcije postavljanja mogu biti P_30 = 30!.

Primjer rješenja. Formula za kombinovani broj

Sada ćemo razmotriti varijantu trećeg problema iz kombinatorike. Morate saznati na koliko načina postoji da rasporedite petnaest knjiga, s tim da morate izabrati između trideset potpuno identičnih.

Za rješenje će se, naravno, primijeniti formula za broj kombinacija. Iz uslova postaje jasno da redosled identičnih petnaest knjiga nije važan. Stoga, u početku morate saznati ukupan broj kombinacija od trideset knjiga od petnaest.

C_30^15 = 30 ! : ((30-15)) ! : petnaest ! = 155 117 520

To je sve. Koristeći ovu formulu, u najkraćem mogućem roku bilo je moguće riješiti takav problem, odgovor je 155 117 520.

Primjer rješenja. Klasična definicija vjerovatnoće

Koristeći gornju formulu, možete pronaći odgovor u jednostavnom zadatku. Ali to će pomoći da se vizualno vidi i prati tijek radnji.

Problem je s obzirom da se u urni nalazi deset apsolutno identičnih loptica. Od toga, četiri su žute, a šest plave. Jedna lopta se uzima iz urne. Morate saznati vjerovatnoću da dobijete plavu boju.

Da bismo riješili problem, potrebno je naznačiti dobijanje plave lopte kao događaj A. Ovo iskustvo može imati deset ishoda, koji su, pak, elementarni i jednako vjerovatni. Istovremeno, šest od deset je povoljno za događaj A. Rješavamo pomoću formule:

P(A) = 6: 10 = 0,6

Primjenom ove formule saznali smo da je vjerovatnoća da dobijemo plavu kuglu 0,6.

Primjer rješenja. Vjerovatnoća zbira događaja

Sada će biti predstavljena varijanta koja se rješava pomoću formule za vjerovatnoću zbira događaja. Dakle, pod uslovom da postoje dvije kutije, prva sadrži jednu sivu i pet bijelih loptica, a druga osam sivih i četiri bijele kuglice. Kao rezultat toga, jedan od njih je uzet iz prve i druge kutije. Potrebno je saznati kolika je šansa da izvađene lopte budu sivo-bijele.

Za rješavanje ovog problema potrebno je označiti događaje.

• Dakle, A - uzmi sivu loptu iz prve kutije: P(A) = 1/6.
• A '- uzeli su bijelu loptu također iz prve kutije: P (A ") \u003d 5/6.
• B - već iz druge kutije je izvađena siva lopta: P(B) = 2/3.
• B' - uzeli su sivu loptu iz druge kutije: P(B") = 1/3.

Prema uslovu zadatka, potrebno je da se javi jedna od pojava: AB 'ili A'B. Koristeći formulu, dobijamo: P(AB") = 1/18, P(A"B) = 10/18.

Sada se koristi formula za množenje vjerovatnoće. Dalje, da biste saznali odgovor, morate primijeniti jednadžbu za njihovo sabiranje:

P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18.

Dakle, koristeći formulu, možete riješiti slične probleme.

Ishod

Članak je pružio informacije o temi "Teorija vjerovatnoće", u kojoj vjerovatnoća događaja igra ključnu ulogu. Naravno, nije sve uzeto u obzir, ali se, na osnovu prikazanog teksta, teoretski može upoznati sa ovim dijelom matematike. Nauka o kojoj je riječ može biti korisna ne samo u stručnom radu, već i u Svakodnevni život. Uz njegovu pomoć možete izračunati svaku mogućnost bilo kojeg događaja.

Tekst se dotakao i značajnih datuma u istoriji formiranja teorije vjerovatnoće kao nauke, te imena ljudi čiji su radovi u nju uloženi. Tako je ljudska radoznalost dovela do činjenice da su ljudi naučili izračunati čak i slučajne događaje. Nekada ih je to samo zanimalo, a danas već svi znaju za to. I niko neće reći šta nas čeka u budućnosti, koja će još briljantna otkrića vezana za teoriju koja se razmatra biti napravljena. Ali jedno je sigurno - istraživanje ne stoji mirno!