Pravila diferencijacije TEOREMA 1. Diferencijacija zbira, proizvoda i količnika. Ako su funkcije f i g diferencijabilne u tački x, tada su f + g, f g, f /g diferencijabilne u ovoj tački (ako je g(x) 0) i, štaviše, neka je y = f g. 1) (f (x) + g (x)) "= f" (x) + g "(x); 2) (f (x) g (x))" = f "(x) g (x) + f(x)g "(x); Dokaz. Predstavljamo dokaz svojstva 2. f = f (x + x) – f(x) f (x + x) = f(x) + f ; g \u003d g (x + x) - g (x) g (x + x) \u003d g (x) + g. g "(x) f" (x) 0 na x 0 (zbog implicitne diferencijalne funkcije.)

TEOREMA 2. Diferencijacija složena funkcija Neka je funkcija y = f(u) diferencijabilna u tački u 0, y 0 = f(u 0), a funkcija u = (x) diferencijabilna u tački x 0, u 0 = (x 0). Tada je kompleksna funkcija y = f ((x)) diferencibilna u tački x 0 i f "((x 0)) = f" (u 0) "(x 0) ili NAPOMENA. Pravilo za izračunavanje derivacija kompleksne funkcije proširuje se na sastav bilo kojeg konačnog broja funkcija. Na primjer: (f ((g (x))))" = f "((g (x))) "(g (x)) g " (x). Posljedica. Ako je f (x) diferencijabilno u tački x i C = const, tada (C f (x))" \u003d C f "(x); (f (x) / C) " \u003d f "(x) / C.

Primjer 1. y = cosx, x R. (cosx) \u003d (sin (/ 2 - x)) = cos (/ 2 - x) (/ 2 - x) = sinx. y = tgx, x /2 + k, k Z. Koristeći teoreme 1 i 2, nalazimo izvode trigonometrijske funkcije y = ctgx, x + k, k Z.

TEOREMA 3. Diferencijacija inverzne funkcije. Ako je y = f (x) kontinuirano i strogo monotono na segmentu i ima derivaciju f "(x 0), tada je funkcija inverzna njoj x = g (y) diferencibilna u tački y 0 \u003d f (x 0), i g "( y 0) \u003d 1/ f "(x 0). x0x0 x 0 - x 0 + y0y0 x y x y = f (x) x = g (y) Neka je y takav da y 0 + y (,) Označimo x = g(y 0 + y) - g(y 0) Potrebno je dokazati da 0 postoji Dokaz Neka se f(x) striktno povećava za .Neka = f(x 0 -) , = f(x 0 +) Tada je na [,] definirana inverzna funkcija x = g(y), kontinuirana i striktno rastuća, i f(x 0) (,).y, onda je i x, pošto je x = g(y) je kontinuiran na y 0.

Primjer 2. Naći izvode inverznih trigonometrijskih funkcija

0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; četiri). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 " title="(!LANG: Tabela izvedenica elementarne funkcije 1)(C)´= 0, C = const; 2)(x)´ = x -1, R, x > 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; četiri). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 "class="link_thumb"> 8 Tabela izvoda elementarnih funkcija 1)(S)´= 0, C = const; 2)(x)´ = x -1, R, x > 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; četiri). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) \u003d 1 / cos 2 x, x π / 2 + πn, n; 8) (ctg x) \u003d - 1 / sin 2 x, x πn, n; 9)10) 11)12) 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; četiri). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 "> 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R ; (e x)´ = e x, x R; 4) 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 x, x π / 2 + πn, n; 8) (ctg x) \u003d - 1 / sin 2 x, x πn, n; 9) 10) 11) 12) "\u003e 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; četiri). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 "title="(!LANG: Tabela izvoda elementarnih funkcija 1)(S)´= 0, C = const; 2)(x)´ = x -1, R, x > 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; četiri). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2"> title="Tabela izvoda elementarnih funkcija 1)(S)´= 0, C = const; 2)(x)´ = x -1, R, x > 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; četiri). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2"> !}

Derivat n-tog reda DEFINICIJA. Neka je f(x) definiran u U (x 0) i ima derivaciju f (x) u svakoj tački ovog intervala. Ako u tački x 0 postoji izvod od f (x), onda se on naziva drugim izvodom funkcije f (x) u ovoj tački i označava se. Slično, derivacija f (n) (x) bilo kojeg red n \u003d 1, 2, ... Ako u U (x 0) postoji f (n-1) (x) (u ovom slučaju derivacija nultog reda znači samu funkciju), tada je n = 1, 2 , 3, .... Funkcija koja ima izvode do n-tog reda uključujući u svakoj tački skupa X naziva se n puta diferencibilna na skupu X.

Neka funkcije f(x) i g(x) imaju izvode n-tog reda u tački x. Tada funkcija Af(x) + Vg(x), gdje su A i V konstante, također ima derivaciju u tački x, i (Af(x) + Vg(x)) (n) = Af (n) ( x) + Vg (n)(x). Prilikom izračunavanja derivata bilo kojeg reda često se koriste sljedeće osnovne formule. y=x; y (n) = (-1)… (- (n-1)) x - n. y = x -1, y = (-1)x -2, y = (-1)(-2) x -3 ... Konkretno, ako je = m N, onda je y = a x ; y (n) = a x (lna) n. y = a x lna, y = a x (lna) 2, y = a x (lna) 3, ... Konkretno, (e x) (n) = e x. y "= ((x + a) - 1)" = - (x+a) - 2, y "" = 2 (x + a) - 3, y """ = (x + a) - 4, …

Y = ln(x+a); y (n) \u003d (-1) n-1 (n-1)! (x + a) -n. y = (x + a) -1, y = - (x + a) -2, y = 2 (x + a) -3, y (4) \u003d - 2 3 (x + a) - 4, ... y = sinαx; y (n) = α n sin(αx+n /2) y = α cos αx = α sin(αx+ /2), y = α 2 cos(αx+ /2) = α 2 sin(αx+2 / 2) , y = α 3 cos(αx + 2 /2) = α 3 sin(αx+3 /2), … y = cos αx; y (n) = α n cos(αx+n /2) y = – α sin αx = α cos(αx+ /2), y = – α 2 sin(αx+ /2) = α 2 cos(αx + 2 / 2), y = – α 3 sin(αx+2 /2) = α 3 cos(αx + 3 /2),...

N-ti izvod proizvoda dviju funkcija (Leibnizova formula) gdje se ova formula naziva Leibnizova formula. Može se napisati u obliku gdje Neka funkcije f(x) i g(x) imaju izvode n-tog reda u tački x. Indukcijom možemo dokazati da je (f(x) g(x)) (n) = ?
Primjer 5. y = (x 2 + 3x + 5) sin x, y (13) \u003d? = sin(x +13π /2) (x 2 +3x+5) + 13 sin (x +12π /2) (2x+3) + 78 sin (x +11π /2) 2 = = cos x (x 2 +3x+5) + 13 sin x (2x+3) + 78 (- cos x) 2 = = (x 2 +3x -151) cos x + 13 (2x+3) sin x. Primjenjujemo Leibnizovu formulu, stavljajući u nju f (x) = sin x, g (x) = (x 2 + 3x + 5). Onda

Za korištenje pregleda prezentacija, kreirajte Google račun (nalog) i prijavite se: https://accounts.google.com

Naslovi slajdova:

Derivati ​​elementarnih funkcija. Generalizujući čas ponavljanja 11. razred Kruglova A.N., nastavnik matematike, srednja škola br. 186

Ciljevi časa 1. Uopštiti i konsolidovati pojam izvedenice. 2. Ponoviti koncept granice funkcije i njenog kontinuiteta, koncept derivacije. 3. Ponoviti pravila diferencijacije, derivacije moći i neke elementarne funkcije. 4. Primijenite ovo znanje u diferencijaciji. 5. Implementacija individualnog načina rada.

Istorijat. Termin "funkcija" prvi je upotrijebio njemački matematičar G. Leibniz 1692. godine. Godine 1748. L. Euler je definirao funkciju i uveo simbol f(x). Godine 1834. N.I. Lobačevski je dao definiciju funkcije zasnovanu na ideji korespondencije između dva numerička skupa. Godine 1837., njemački matematičar P. Dirichlet formulirao je generalizirani koncept funkcije: „y je funkcija varijable x na segmentu ako svaka vrijednost x odgovara određenoj vrijednosti y, i nije važno kako je to korespondencija se uspostavlja - formulom, grafikonom, tabelom ili verbalnim opisom". Prvu definiciju granice dao je engleski matematičar D. Vallis (1616-1703). Metoda granica je razvijena u radovima engleskog naučnika I. Newtona (1643-1727), on je uveo i simbol lim. Značajan doprinos razvoju diferencijalnog računa dali su francuski naučnici P. Fermat (1601-1665) i R. Descartes (1596-1650). Newton je došao do koncepta derivacije rješavajući probleme u mehanici koji se odnose na pronalaženje trenutne brzine. Termin "derivacija" uveo je 1800. godine francuski matematičar L. Arbogast (1759-1803). Oznaku za izvod y’ i f(x)’ uveo je francuski matematičar J. Lagrange (1736-1813). Bitna aproksimacija teorije diferencijalnog računa njenom moderna prezentacija započeo je rad francuskog matematičara O. Cauchyja (1789-1857).

Ograničenje funkcije. Konstruirajte grafove funkcija 1) y = x + 1 2) x ² - 1 x - 1 za x 1 y \u003d 3 za x = 1 3) y = (x ² - 1): (x - 1) Odgovorite na pitanja a) Šta su grafovi funkcija? Prave b) Kroz koje tačke na koordinatnoj osi prolaze grafovi? (0;1) i (-1;0) c) Koja je razlika između grafova? Drugi i treći graf sa "probušenom" tačkom (1; 2), ali na drugom grafu za x = 1, vrijednost funkcije je 3.

Grafovi funkcija. y y y x x x 1 2 3

Zaključak Opća imovina funkcije za x vrijednosti bliske 1? Vrijednosti svake od funkcija se malo razlikuju od 2. Dakle, svaka od ovih funkcija ima granicu jednaku 2 u tački x = 1. Kako to napisati? Međutim, za prvu funkciju lim y(x) = y(1) = 2 Za drugu funkciju lim y(x) ≠ y(1) , za treću funkciju y(1) ne postoji. Prva funkcija se naziva kontinuirana, a druga i treća funkcija se nazivaju diskontinuiranim u tački x = 1. lim y(x) = 2 x 1

Definicija izvoda Derivat funkcije f (x) u tački x 0 naziva se granica relacije razlike f (x 0 + h) - f (x 0) h za h → 0: ƒ'(x 0 ) = lim Operacija pronalaženja derivacije naziva se diferencijacija. 0h

Derivat snage i neke elementarne funkcije. (Pronađi nastavak formula na desnoj strani) (x ⁿ) " = 1 2 3 4 5 6 () ' = 1 2 3 4 5 6 3. (ln x)' = 1 2 3 4 5 6 4. ( sin x) ' = 1 2 3 4 5 6 (cos x)' = 1 2 3 4 5 6 Nastavi = cos x = - sin x = = tg x = 1/x = nx ⁿˉ¹

Riješite primjere 1) (x ³)' = 2) (2 x)' = 3) ()' = 4) (lnx)' = 5) (-4 lnx)' = 6) (3)' = 7) ( 5 cosx)' = 8) (0,3 sinx)' = 3x ² 2 - 10 x ˉ ³ 1 / x - 4 / x 3 e - 5 sinx 0,3 cosx

Pravila diferencijacije. Derivat sume (f(x) + g(x))' = f'(x) – g'(x) = f'(x) + g'(x) = f'(x) * g'( x ) Konstantni faktor (cf(x))' = = c + f'(x) = f'(x) – c = cf'(x) Derivat proizvoda (f(x) g(x))' = f' (x) g(x) + f(x) g'(x) = f'(x) g'(x) = f'(x) g(x) g(x))' = f'( x)/g'(x) = (f'(x) g(x) - f(x) g'(x)) / g²(x) = f' (x) g(x) – f(x) g'(x) Nastavimo lekciju.

slajd 1

slajd 2

slajd 3

slajd 4

slajd 5

slajd 6

Slajd 7

Slajd 8

Slajd 9

slajd 10

slajd 11

slajd 12

slajd 13

DERIVAT

MOU Srednesantimirskaya srednja škola

Uradio nastavnik matematike

Singatullova G.Sh.

• Definicija derivata.
• fizičko značenje derivat.
• .

• Osnovna pravila diferencijacije.
• Derivat kompleksne funkcije.
• Primjeri rješavanja zadataka na izvod teme.

Definicija izvoda

Neka je na nekom intervalu (a, b) funkcija y= f(x). Uzmite bilo koju tačku x 0 iz ovog intervala i postavite argument x u tački x 0 na proizvoljan prirast ∆ x tako da tačka x 0 + ∆ x pripada ovom intervalu. Funkcija će se povećati

derivat funkcije y= f(x) u tački x \u003d x 0 poziva se granica omjera prirasta funkcije ∆y u ovoj tački i prirasta argumenta ∆x, jer prirast argumenta teži nuli.

Geometrijsko značenje izvedenice

Neka je funkcija y= f(x) je definisan na nekom intervalu (a, b). Zatim tangenta nagiba sekante MP na graf funkcije.

Gdje je  nagib tangentne funkcije f(x) u tački (x 0 , f(x 0)).

Ugao između krivulja može se definirati kao ugao između tangenti povučenih na ove krive u nekoj tački.

Jednadžba tangente na krivu:

Fizičko značenje izvedenice 1. Problem određivanja brzine kretanja materijalne čestice

Neka se tačka kreće duž neke prave po zakonu s= s(t), gdje je s prijeđeni put, t vrijeme, a potrebno je pronaći brzinu tačke u trenutku t 0 .

Do vremena t 0 pređeni put je jednak s 0 = s(t 0), a do vremena (t 0 + ∆t) - putanja s 0 + ∆s=s(t 0 + ∆t).

Tada će u intervalu ∆t prosječna brzina biti

Što je manji ∆t, to bolje prosječna brzina karakterizira kretanje točke u trenutku t 0 . Stoga, pod brzina tačke u trenutku t 0 treba razumjeti granicu prosječne brzine za interval od t 0 do t 0 +∆t, kada je ∆t⇾0 , tj.

2. PROBLEM BRZINE HEMIKALIJE REAKCIJE

Neka neka supstanca uđe u hemijsku reakciju. Količina ove supstance Q mijenja se tokom reakcije ovisno o vremenu t i funkcija je vremena. Neka se količina supstance promijeni za ∆Q tokom vremena ∆t, tada će se omjer izraziti prosječna brzina hemijska reakcija tokom vremena ∆t, i granica ovog omjera

Trenutna brzina hemijske reakcije

vrijeme t.

3. ZADATAK ODREĐIVANJE STOPE RADIOAKTIVNOG RASPADA

Ako je m masa radioaktivne tvari, a t vrijeme, onda se fenomen radioaktivnog raspada u trenutku t, pod uvjetom da se masa radioaktivne tvari smanjuje tokom vremena, karakterizira funkcijom m = m(t).

Prosječna brzina raspada tokom vremena ∆t je izražena omjerom

i trenutnu brzinu raspada u vremenu t

ALGORITAM za izračunavanje derivata

Derivat funkcije y= f(x) može se naći na sljedeći način:

1. Povećajmo ∆x≠0 na argument x i pronađemo akumuliranu vrijednost funkcije y+∆y= f(x+∆x).

2. Odrediti prirast funkcije ∆y= f(x+∆x) - f(x).

3. Stvaramo vezu

4. Pronađite granicu ovog omjera na ∆x⇾0, tj.

(ako ova granica postoji).

Osnovna pravila diferencijacije

Neka u=u(x) i v=v(x) - diferencijabilne funkcije u tački x.

1) (u  v)  =u   v 

2) (uv)  =u  v+uv 

(cu)  = cu 

3) , ako v  0

Derivat kompleksne funkcije

Teorema. Ako je funkcija diferencijabilna u točki x i funkcija

je diferencibilna u odgovarajućoj tački, onda je kompleksna funkcija diferencibilna u tački x, i:

one. derivacija kompleksne funkcije jednaka je umnošku derivacije funkcije u odnosu na međuargument na derivaciju međuargumenata u odnosu na x.

Zadatak 1.

Zadatak 2 .

Zadatak 3 .

Zadatak 4 .

Zadatak 5 .

Zadatak 6 .

Zadatak 7 .

Zadatak 8 .