Prilikom pripreme za ispit iz matematike, studenti moraju sistematizovati svoja znanja iz algebre i geometrije. Želio bih kombinirati sve poznate informacije, na primjer, kako izračunati površinu piramide. Štaviše, počevši od baze i bočnih strana do cijele površine. Ako je situacija jasna sa bočnim stranama, budući da su trouglovi, onda je baza uvijek drugačija.

Šta učiniti kada se pronađe površina osnove piramide?

To može biti apsolutno bilo koja figura: od proizvoljnog trougla do n-ugla. A ova baza, pored razlike u broju uglova, može biti pravilna ili netočna figura. U USE zadacima od interesa za školarce postoje samo zadaci sa ispravnim ciframa u osnovi. Stoga ćemo govoriti samo o njima.

pravougaonog trougla

To je jednakostrano. Onaj u kojem su sve strane jednake i označene slovom "a". U ovom slučaju, površina baze piramide se izračunava po formuli:

S = (a 2 * √3) / 4.

Square

Formula za izračunavanje njegove površine je najjednostavnija, ovdje je "a" opet strana:

Proizvoljni regularni n-ugao

Strana poligona ima istu oznaku. Za broj uglova koristi se latinično slovo n.

S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).

Kako postupiti pri izračunavanju bočne i ukupne površine?

Pošto je osnova pravilna figura, sva lica piramide su jednaka. Štaviše, svaki od njih je jednakokraki trokut, jer su bočne ivice jednake. Zatim, da biste izračunali bočnu površinu piramide, potrebna vam je formula koja se sastoji od zbira identičnih monoma. Broj pojmova je određen brojem stranica baze.

Površina jednakokračnog trokuta izračunava se po formuli u kojoj se polovina proizvoda baze pomnoži s visinom. Ova visina u piramidi naziva se apotema. Njegova oznaka je "A". Opća formula za bočnu površinu je:

S \u003d ½ P * A, gdje je P obim baze piramide.

Postoje situacije kada stranice baze nisu poznate, ali su date bočne ivice (c) i ravan ugao na njenom vrhu (α). Tada bi trebalo koristiti takvu formulu za izračunavanje bočne površine piramide:

S = n/2 * u 2 sin α .

Zadatak #1

Stanje. Nađite ukupnu površinu piramide ako njena osnova leži sa stranicom od 4 cm, a apotema ima vrijednost √3 cm.

Rješenje. Morate početi s izračunavanjem perimetra baze. Budući da je ovo pravilan trokut, onda je P = 3 * 4 = 12 cm. Pošto je apotema poznata, možete odmah izračunati površinu cijele bočne površine: ½ * 12 * √3 = 6 √3 cm 2.

Za trokut na bazi dobit će se sljedeća vrijednost površine: (4 2 * √3) / 4 = 4√3 cm 2.

Da biste odredili cijelu površinu, morat ćete sabrati dvije rezultirajuće vrijednosti: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.

Odgovori. 10√3 cm2.

Zadatak #2

Stanje. Postoji pravilna četvorougaona piramida. Dužina stranice baze je 7 mm, bočne ivice 16 mm. Morate znati njegovu površinu.

Rješenje. Pošto je poliedar četvorougao i pravilan, onda je njegova osnova kvadrat. Nakon što smo naučili površine baze i bočnih strana, bit će moguće izračunati površinu piramide. Formula za kvadrat je data gore. A na bočnim stranama poznate su sve strane trougla. Stoga možete koristiti Heronovu formulu da izračunate njihove površine.

Prvi proračuni su jednostavni i dovode do ovog broja: 49 mm 2. Za drugu vrijednost, morat ćete izračunati poluperimetar: (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 mm. Sada možete izračunati površinu jednakokračnog trougla: √ (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Postoje samo četiri takva trokuta, tako da ćete pri izračunavanju konačnog broja morati da ga pomnožite sa 4.

Ispada: 49 + 4 * 54,644 \u003d 267,576 mm 2.

Odgovori. Željena vrijednost je 267,576 mm 2.

Zadatak #3

Stanje. Za pravilnu četvorougaonu piramidu morate izračunati površinu. U njemu je stranica kvadrata 6 cm, a visina 4 cm.

Rješenje. Najlakši način je korištenje formule s umnoškom perimetra i apoteme. Prvu vrijednost je lako pronaći. Drugi je malo teži.

Moraćemo da se setimo Pitagorine teoreme i razmotrimo da je formirana visinom piramide i apoteme, koja je hipotenuza. Drugi krak je jednak polovini stranice kvadrata, jer visina poliedra pada u njegovu sredinu.

Željena apotema (hipotenuza pravouglog trougla) je √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).

Sada možete izračunati željenu vrijednost: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 2 \u003d 96 (cm 2).

Odgovori. 96 cm2.

Zadatak #4

Stanje. Ispravna strana njegove osnove je 22 mm, bočna rebra su 61 mm. Kolika je površina bočne površine ovog poliedra?

Rješenje. Obrazloženje u njemu je isto kao što je opisano u problemu br. 2. Samo tamo je data piramida sa kvadratom u osnovi, a sada je to šestougao.

Prije svega, površina baze se izračunava pomoću gornje formule: (6 * 22 2) / (4 * tg (180º / 6)) = 726 / (tg30º) = 726√3 cm 2.

Sada morate saznati poluperimetar jednakokračnog trokuta, koji je bočna strana. (22 + 61 * 2): 2 = 72 cm. Ostaje izračunati površinu svakog takvog trokuta pomoću Heronove formule, a zatim ga pomnožiti sa šest i dodati onom koji je ispao za baza.

Proračuni pomoću Heronove formule: √ (72 * (72-22) * (72-61) 2) = √ 435600 = 660 cm 2. Izračuni koji će dati površinu bočne površine: 660 * 6 = 3960 cm 2. Ostaje da ih zbrojimo kako bismo saznali cijelu površinu: 5217,47≈5217 cm 2.

Odgovori. Baza - 726√3 cm 2, bočna površina - 3960 cm 2, cela površina - 5217 cm 2.

Površina piramide. U ovom članku ćemo s vama razmotriti probleme s pravilnim piramidama. Da vas podsjetim da je pravilna piramida piramida čija je osnova pravilan poligon, vrh piramide je projektovan u centar ovog poligona.

Bočna strana takve piramide je jednakokraki trokut.Visina ovog trougla, povučena iz vrha pravilne piramide, naziva se apotema, SF je apotema:

U tipu problema koji je prikazan u nastavku, potrebno je pronaći površinu cijele piramide ili površinu njene bočne površine. Blog je već razmatrao nekoliko problema sa pravilnim piramidama, gde se postavljalo pitanje o pronalaženju elemenata (visina, osnovna ivica, bočna ivica), .

AT USE zadatke, u pravilu se razmatraju pravilne trouglaste, četverokutne i šesterokutne piramide. Nisam vidio probleme sa pravilnim petougaonim i sedmougaonim piramidama.

Formula za površinu cijele površine je jednostavna - morate pronaći zbir površine osnove piramide i površine njene bočne površine:

Razmotrite zadatke:

Stranice osnove pravilne četvorougaone piramide su 72, bočne ivice su 164. Nađite površinu ove piramide.

Površina piramide jednaka je zbroju površina bočne površine i baze:

*Bočna površina se sastoji od četiri trougla jednake površine. Osnova piramide je kvadrat.

Površina stranice piramide može se izračunati pomoću:

Dakle, površina piramide je:

Odgovor: 28224

Stranice osnove pravilne šesterokutne piramide su 22, bočne ivice su 61. Nađite površinu bočne površine ove piramide.

Osnova pravilne šestougaone piramide je pravilan šestougao.

Bočna površina ove piramide sastoji se od šest površina jednakih trokuta sa stranicama 61,61 i 22:

Nađite površinu trokuta koristeći Heronovu formulu:

Dakle, površina bočne površine je:

Odgovor: 3240

*U gore navedenim problemima, površina bočne strane se može naći pomoću drugačije formule trokuta, ali za to morate izračunati apotemu.

27155. Nađi površinu pravilne četvorougaone piramide čije su osnovne stranice 6, a visina 4.

Da bismo pronašli površinu piramide, moramo znati površinu baze i površinu bočne površine:

Površina osnove je 36, jer je kvadrat sa stranicom 6.

Bočna površina se sastoji od četiri lica, koji su jednaki trokuti. Da biste pronašli površinu takvog trokuta, morate znati njegovu osnovu i visinu (apotemu):

* Površina trokuta jednaka je polovini umnoška osnove i visine povučene ovoj osnovici.

Baza je poznata, jednaka je šest. Hajde da nađemo visinu. Razmislite o pravokutnom trokutu (naglašeno žutom):

Jedna noga je jednaka 4, pošto je ovo visina piramide, druga je jednaka 3, jer je jednaka polovini ivice baze. Hipotenuzu možemo pronaći pomoću Pitagorine teoreme:

Dakle, površina bočne površine piramide je:

Dakle, površina cijele piramide je:

Odgovor: 96

27069. Stranice osnove pravilne četvorougaone piramide su 10, bočne ivice su 13. Nađite površinu ove piramide.

27070. Stranice osnove pravilne šesterokutne piramide su 10, bočne ivice su 13. Nađite površinu bočne površine ove piramide.

Postoje i formule za bočnu površinu pravilne piramide. U pravilnoj piramidi osnova je ortogonalna projekcija bočne površine, dakle:

P- perimetar osnove, l- apotema piramide

*Ova formula se zasniva na formuli za površinu trokuta.

Ako želite saznati više o tome kako se ove formule izvode, ne propustite, pratite objavljivanje članaka.To je sve. Sretno ti!

S poštovanjem, Alexander Krutitskikh.

P.S: Bio bih vam zahvalan ako kažete o stranici na društvenim mrežama.

Uputstvo

Prije svega, vrijedno je razumjeti da je bočna površina piramide predstavljena s nekoliko trokuta, čija se područja mogu pronaći pomoću različitih formula, ovisno o poznatim podacima:

S \u003d (a * h) / 2, gdje je h visina spuštena na stranu a;

S = a*b*sinβ, gdje su a, b stranice trougla, a β ugao između ovih stranica;

S \u003d (r * (a + b + c)) / 2, gdje su a, b, c stranice trokuta, a r polumjer kružnice upisane u ovaj trokut;

S \u003d (a * b * c) / 4 * R, gdje je R polumjer trokuta opisanog oko kruga;

S = (a * b) / 2 \u003d r² + 2 * r * R (ako je trokut pravokutni);

S = S = (a²*√3)/4 (ako je trokut jednakostraničan).

Zapravo, ovo su samo najosnovnije poznate formule za pronalaženje površine trokuta.

Nakon što smo izračunali, koristeći gornje formule, površine svih trokuta koji su lica piramide, možemo početi izračunavati površinu ove piramide. To se radi krajnje jednostavno: trebate zbrojiti površine svih trokuta koji čine bočnu površinu piramide. Ovo se može izraziti u formuli poput ove:

Sp = ΣSi, gdje je Sp bočna površina, Si je površina i-tog trougla, koji je dio njegove bočne površine.

Radi veće jasnoće, možemo uzeti u obzir mali primjer: data je pravilna piramida, čije su bočne strane formirane jednakostraničnim trokutima, a u njenoj osnovi leži kvadrat. Dužina ivice ove piramide je 17 cm. Potrebno je pronaći površinu bočne površine ove piramide.

Rješenje: poznata je dužina ivice ove piramide, poznato je da su njena lica jednakostranični trouglovi. Dakle, možemo reći da su sve strane svih trokuta bočne površine 17 cm. Stoga, da biste izračunali površinu bilo kojeg od ovih trokuta, morat ćete primijeniti formulu:

S = (17²*√3)/4 = (289*1,732)/4 = 125,137 cm²

Poznato je da u osnovi piramide leži kvadrat. Dakle, jasno je da postoje četiri data jednakostranična trougla. Tada se površina bočne površine piramide izračunava na sljedeći način:

125,137 cm² * 4 = 500,548 cm²

Odgovor: Bočna površina piramide je 500,548 cm².

Prvo izračunamo površinu bočne površine piramide. Bočna površina je zbir površina svih bočnih strana. Ako imate posla s pravilnom piramidom (tj. onom koja se zasniva na pravilnom poligonu, a vrh je projektovan u centar ovog poligona), tada je za izračunavanje cijele bočne površine dovoljno pomnožiti obim osnovicu (tj. zbir dužina svih strana poligona koji leži na bazi piramide) sa visinom bočne strane (inače zvanom apotema) i rezultujuću vrijednost podijelite sa 2: Sb = 1 / 2P * h, gdje je Sb površina bočne površine, P je obim baze, h je visina bočne površine (apotema).

Ako imate proizvoljnu piramidu ispred sebe, tada ćete morati posebno izračunati površine svih lica, a zatim ih zbrojiti. Budući da su bočne strane piramide trokuti, koristite formulu za površinu trokuta: S=1/2b*h, gdje je b osnova trokuta, a h visina. Kada se izračunaju površine svih strana, ostaje samo da ih saberemo kako bismo dobili površinu bočne površine piramide.

Zatim morate izračunati površinu baze piramide. Izbor formule za izračunavanje zavisi od toga koji poligon leži u osnovi piramide: ispravan (odnosno onaj čije sve strane imaju istu dužinu) ili netačan. Površina pravilnog poligona može se izračunati množenjem perimetra sa radijusom kruga upisanog u poligon i dijeljenjem rezultirajuće vrijednosti sa 2: Sn=1/2P*r, gdje je Sn površina poligon, P je perimetar, a r polumjer kružnice upisane u poligon.

Skraćena piramida je poliedar formiran od piramide i njenog presjeka paralelnog s bazom. Pronalaženje površine bočne površine piramide uopće nije teško. Vrlo je jednostavno: površina je jednaka umnošku polovine zbira baza prema apotemi. Razmotrimo primjer izračunavanja površine bočne površine skraćene piramide. Pretpostavimo da nam je data pravilna četvorougaona piramida. Dužine osnove su b=5 cm, c=3 cm Apotema a=4 cm Da biste pronašli površinu bočne površine piramide, prvo morate pronaći obim osnova. U velikoj bazi to će biti jednako p1=4b=4*5=20 cm. U manjoj bazi formula će biti sljedeća: p2=4c=4*3=12 cm. Dakle, površina će biti jednako: s=1/2(20+12 )*4=32/2*4=64 cm.

Piramida je poliedar, čija je jedna strana (osnova) proizvoljan mnogougao, a druge strane (stranice) su trouglovi sa zajedničkim vrhom. Prema broju uglova osnove piramide razlikuju se trouglasti (tetraedar), četvorougaoni i tako dalje.

Piramida je poliedar sa osnovom u obliku mnogougla, a preostale strane su trokuti sa zajedničkim vrhom. Apotema je visina bočne strane pravilne piramide, koja je povučena s njenog vrha.

Koji oblik nazivamo piramidom? Prvo, to je poliedar. Drugo, u osnovi ovog poliedra nalazi se proizvoljan mnogokut, a stranice piramide (bočne strane) nužno imaju oblik trokuta koji se konvergiraju u jednom zajedničkom vrhu. Sada, nakon što smo se pozabavili pojmom, hajde da saznamo kako pronaći površinu piramide.

Jasno je da je površina takva geometrijsko tijelo sastoji se od zbira površina baze i cijele njene bočne površine.

Izračunavanje površine osnove piramide

Izbor formule za proračun ovisi o obliku poligona koji leži u osnovi naše piramide. Može biti ispravan, odnosno sa stranicama iste dužine, ili netačan. Hajde da razmotrimo obe opcije.

U osnovi je pravilan poligon

Od školski kurs poznato:

• površina kvadrata će biti jednaka dužini njegove stranice na kvadrat;
• Površina jednakostraničnog trokuta jednaka je kvadratu njegove stranice podijeljenoj sa 4 puta Kvadratni korijen od tri.

Ali postoji i opšta formula, da biste izračunali površinu bilo kojeg pravilnog poligona (Sn): trebate pomnožiti vrijednost opsega ovog poligona (P) s polumjerom kruga upisanog u njega (r), a zatim rezultat podijeliti s dva : Sn=1/2P*r.

Osnova je nepravilan poligon.

Šema za pronalaženje njegove površine je da prvo podijelite cijeli poligon na trokute, izračunate površinu svakog od njih koristeći formulu: 1/2a * h (gdje je a osnova trokuta, h visina spušten na ovu bazu), zbrojite sve rezultate.

Bočna površina piramide

Sada izračunajmo površinu bočne površine piramide, tj. zbir površina svih njegovih strana. Ovdje također postoje 2 opcije.

1. Neka nam je proizvoljna piramida, tj. onaj čija je osnova nepravilan mnogougao. Zatim biste trebali posebno izračunati površinu svakog lica i dodati rezultate. Budući da stranice piramide, po definiciji, mogu biti samo trouglovi, proračun se zasniva na gore navedenoj formuli: S=1/2a*h.
2. Neka je naša piramida ispravna, tj. u njegovoj osnovi leži pravilan poligon, a projekcija vrha piramide je u njegovom središtu. Zatim, za izračunavanje površine bočne površine (Sb), dovoljno je pronaći polovinu proizvoda opsega osnovnog poligona (P) i visine (h) stranice (isto za sva lica) : Sb \u003d 1/2 P * h. Opseg poligona se određuje zbrajanjem dužina svih njegovih stranica.

Ukupna površina pravilne piramide nalazi se zbrajanjem površine njene osnove sa površinom cijele bočne površine.

Primjeri

Na primjer, izračunajmo algebarski površine nekoliko piramida.

Površina trouglaste piramide

U osnovi takve piramide nalazi se trokut. Prema formuli So \u003d 1 / 2a * h, nalazimo površinu baze. Primjenjujemo istu formulu da pronađemo površinu svakog lica piramide, također trokutastog oblika, i dobijemo 3 područja: S1, S2 i S3. Površina bočne površine piramide je zbir svih površina: Sb \u003d S1 + S2 + S3. Zbrajanjem površina stranica i baze, dobivamo ukupnu površinu željene piramide: Sp = So + Sb.

Površina četvorougaone piramide

Bočna površina je zbroj 4 člana: Sb \u003d S1 + S2 + S3 + S4, od kojih se svaki izračunava pomoću formule površine trokuta. A područje baze će se morati tražiti, ovisno o obliku četverokuta - ispravnom ili nepravilnom. Ukupna površina piramide se ponovo dobija sabiranjem površine osnove i ukupne površine date piramide.

trouglasta piramida Poliedar se naziva poliedar čija je osnova pravilan trougao.

U takvoj piramidi, lica baze i ivice stranica jednake su jedna drugoj. Prema tome, površina bočnih strana nalazi se iz zbira površina tri identična trokuta. Pomoću formule možete pronaći površinu bočne površine pravilne piramide. A izračunavanje možete napraviti nekoliko puta brže. Da biste to učinili, primijenite formulu za površinu bočne površine trokutaste piramide:

gdje je p obim baze, čije su sve strane jednake b, a je apotema spuštena od vrha do ove baze. Razmotrimo primjer izračunavanja površine trokutaste piramide.

Zadatak: Neka je data ispravna piramida. Stranica trokuta koja leži u osnovi je b = 4 cm. Apotem piramide je a = 7 cm. Nađite površinu bočne površine piramide.
Pošto, prema uslovima zadatka, znamo dužine svih neophodni elementi, pronađite perimetar. Zapamtite da su u pravilnom trokutu sve strane jednake, pa se stoga obim izračunava po formuli:

Zamijenite podatke i pronađite vrijednost:

Sada, znajući perimetar, možemo izračunati bočnu površinu:

Da biste primijenili formulu za površinu trokutaste piramide za izračunavanje pune vrijednosti, morate pronaći površinu osnove poliedra. Za to se koristi formula:

Formula za površinu osnove trokutaste piramide može biti drugačija. Dozvoljeno je koristiti bilo koji proračun parametara za datu cifru, ali najčešće to nije potrebno. Razmotrimo primjer izračunavanja površine osnove trokutaste piramide.

Zadatak: U pravilnoj piramidi, stranica trokuta koja leži u osnovi je a = 6 cm. Izračunajte površinu osnove.
Da bismo izračunali, potrebna nam je samo dužina stranice pravilnog trougla koji se nalazi na dnu piramide. Zamijenite podatke u formuli:

Često je potrebno pronaći ukupnu površinu poliedra. Da biste to učinili, morate dodati površinu bočne površine i baze.

Razmotrimo primjer izračunavanja površine trokutaste piramide.

Problem: Neka je data pravilna trouglasta piramida. Stranica osnove je b = 4 cm, apotema je a = 6 cm. Nađite ukupnu površinu piramide.
Prvo, pronađimo bočnu površinu koristeći već poznatu formulu. Izračunaj obim:

Zamjenjujemo podatke u formulu:
Sada pronađite površinu baze:
Znajući površinu baze i bočne površine, nalazimo ukupnu površinu piramide:

Prilikom izračunavanja površine pravilne piramide, ne treba zaboraviti da je osnova pravilan trokut i mnogi elementi ovog poliedra su međusobno jednaki.