Quyida vektorlar sistemalarining chiziqli bog'liqligi va shunga mos ravishda chiziqli mustaqilligining bir qancha mezonlari keltirilgan.

Teorema. (Vektorlarning chiziqli bog'liqligi uchun zarur va etarli shart.)

Vektorlar tizimi, agar tizim vektorlaridan biri chiziqli ravishda ushbu tizimning qolganlari bilan ifodalangan bo'lsa, bog'liqdir.

Isbot. Kerak. Tizim chiziqli bog'liq bo'lsin. Keyin, ta'rifga ko'ra, u nol vektorni noan'anaviy tarzda ifodalaydi, ya'ni. nol vektorga teng bo'lgan bu vektorlar tizimining ahamiyatsiz kombinatsiyasi mavjud:

bu erda bu chiziqli birikmaning koeffitsientlaridan kamida bittasi nolga teng emas. Mayli,.

Oldingi tenglikning ikkala qismini ushbu nolga teng bo'lmagan koeffitsientga bo'ling (ya'ni, ko'paytiring:

Belgilang: , qaerda .

bular. sistemaning vektorlaridan biri chiziqli ravishda ushbu sistemaning qolganlari bilan ifodalanadi va hokazo.

Adekvatlik. Tizim vektorlaridan biri shu sistemaning boshqa vektorlari bilan chiziqli ifodalansin:

Keling, vektorni ushbu tenglikning o'ng tomoniga o'tkazamiz:

Vektorning koeffitsienti bo'lganligi sababli, biz vektorlar tizimi bo'yicha nolning ahamiyatsiz bo'lmagan tasviriga ega bo'lamiz, ya'ni bu vektorlar tizimi chiziqli bog'liq va hokazo.

Teorema isbotlangan.

Natija.

1. Vektor fazodagi vektorlar sistemasi, agar sistema vektorlaridan hech biri shu sistemaning boshqa vektorlari bilan chiziqli ifodalanmasagina chiziqli mustaqil hisoblanadi.

2. Nol vektor yoki ikkita teng vektorni o'z ichiga olgan vektorlar tizimi chiziqli bog'liqdir.

Isbot.

1) zarurat. Tizim chiziqli mustaqil bo'lsin. Buning aksini faraz qiling va bu sistemaning boshqa vektorlari orqali chiziqli ifodalangan tizim vektori mavjud. Keyin, teorema bo'yicha, tizim chiziqli bog'liqdir va biz qarama-qarshilikka erishamiz.

Adekvatlik. Tizim vektorlarining hech biri boshqalari bilan ifodalanmasin. Buning aksini faraz qilaylik. Tizim chiziqli bog'liq bo'lsin, lekin keyin teoremadan kelib chiqadiki, bu tizimning boshqa vektorlari orqali chiziqli ravishda ifodalangan tizim vektori mavjud va biz yana ziddiyatga kelamiz.

2a) sistemada nol vektor bo'lsin. Aniqlik uchun vektor :. Keyin tenglik

bular. sistemaning vektorlaridan biri chiziqli ravishda ushbu sistemaning boshqa vektorlari bilan ifodalanadi. Teoremadan kelib chiqadiki, bunday vektorlar sistemasi chiziqli bog'liq va hokazo.

E'tibor bering, bu haqiqatni to'g'ridan-to'g'ri chiziqli bog'liq vektorlar tizimidan isbotlash mumkin.

dan boshlab, quyidagi tenglik aniq

Bu nol vektorning notrivial ko'rinishi bo'lib, bu tizim chiziqli bog'liqligini bildiradi.

2b) sistema ikkita teng vektorga ega bo'lsin. uchun ruxsat bering. Keyin tenglik

Bular. birinchi vektor bir xil sistemaning boshqa vektorlari bilan chiziqli ifodalanadi. Bu teoremadan kelib chiqadi bu tizim chiziqli bog'liq va boshqalar.

Avvalgisiga o'xshab, bu tasdiqni to'g'ridan-to'g'ri chiziqli bog'liq tizimning ta'rifidan ham isbotlash mumkin.U holda bu tizim nol vektorni notrivial tarzda ifodalaydi.

qayerdan kelib chiqadi chiziqli bog'liqlik tizimlari.

Teorema isbotlangan.

Natija. Bitta vektordan tashkil topgan tizim, agar bu vektor nolga teng bo'lmasa, chiziqli mustaqil hisoblanadi.

Belgilangan w to'plami chiziqli fazo va uning elementi deyiladi. -vektorlar, agar:

* qonun mushukga ko'ra (+) o'rnatiladi. w dan x, y har qanday ikkita element nomli element bilan bog'langan. ularning yig'indisi [x + y]

* qonun (* a soni bo'yicha) berilgan, unga ko'ra w dan x element va w dan element bilan taqqoslanadi, x va a [ax] ko'paytmasi deb ataladi;

* tugallandi

quyidagi talablar (yoki aksiomalar):

C1 izi. null vektor (ctv 0 1 va 0 2 . by a3: 0 2 + 0 1 = 0 2 va 0 1 + 0 2 = 0 1. by a1 0 1 + 0 2 = 0 2 + 0 1 => 0 1 = 0 2.)

c2. .(ctv, a4)

c3. 0 vek.(a7)

c4. a(raqam)*0=0.(a6,c3)

c5. x (*) -1 \u003d 0 vektor, x ga qarama-qarshi, ya'ni. (-1) x = -x. (a5,a6)

c6. Ayirish harakati w da aniqlanadi: x vektori b va a vektorlarning ayirmasi deyiladi, agar x + a = b bo'lsa va x = b - a bilan belgilanadi.

Raqam n chaqirdi o'lcham lin. pr-a L , agar ichida L tizimi mavjud n lin. turmush qurmagan vektorlar va har qanday tizim n+1 vektor - lin. qaram. xira L= n. Kosmos L n o'lchovli deb ataladi.

n qatordan iborat tartiblangan to‘plam. turmush qurmagan vektorlar n o'lchovli mustaqil. bo'shliqlar - asos

Teorema. Har bir X vektorini ifodalash mumkin yagona yo'l chiziqlar shaklida.Bazis vektorlarining birikmalari

(1) n o‘lchamli chiziqning asosi bo‘lsin. pr-va V, ya'ni. chiziqli mustaqil vektorlar to'plami. Vektorlar to'plami lin bo'ladi. bog'liq, chunki ular n+ 1.

Bular. bir vaqtning o'zida hammasi nolga teng bo'lmagan raqamlar mavjud, bu esa bundan tashqari (aks holda (1) chiziqli bog'liq).

Keyin vektorning parchalanishi qayerda x asosda (1) .

Bu ifoda noyobdir, chunki agar boshqa ifoda mavjud bo'lsa (**)

(*) tenglikdan (**) ayirish,

olamiz

Chunki chiziqli mustaqil bo'lsa, u holda . Chtd

Teorema. Agar - lin. V fazoning mustaqil vektorlari va V dan har bir x vektor orqali ifodalanishi mumkin, u holda bu vektorlar V ning asosini tashkil qiladi.

Doc-in: (1) -lin.independent =>doc-th qoladi, bu lin.dependent uchun. Konv.ga ko'ra. Har bir a vektor (1) bilan ifodalanadi: , hisobga oling, rang≤n => n dan ortiq bo‘lmagan ustunlar orasida chiziqli mustaqil, lekin m > n=> m ustun chiziqli bog‘liq => s=1, n.

Ya'ni vektorlar chiziqli bog'liqdir

Shunday qilib, V fazo n o'lchovli va (1) uning asosi

№4Def. Kichik to'plam L lin. pr-va V lin deb ataladi. ref. bu fazoning, agar V da berilgan (+) va (*a) amallarga nisbatan L pastki fazo chiziqli fazo bo‘lsa.

Teorema V fazodagi l vektorlar to'plami lin. Bu fazoning pastki fazosi bajaradi

(etarlicha) (1) va (2) qanoatlantirilsin, chunki L ning V kichik soddaligi uchun linning barcha aksiomalari bajarilganligini isbotlash qoladi. pr-va.

(-x): -x+x=0 d. a(x + y) = ax + ay;

(a-b) va (e-h) V uchun haqiqiylikdan kelib chiqadi, biz (c) isbotlaymiz.

(kerak) L lin bo'lsin. bu bo'shliqning pastki fazosi, keyin (1) va (2) chiziqlar ta'rifi tufayli ushlab turing. pr-va

Def. Barcha turdagi chiziqlar to'plami. ayrim elementlarning birikmalari (x j) lin. pr-va chiziqli qobiq deb ataladi

Teorema barcha satrlarning ixtiyoriy to'plami. V vektorlarning harakat bilan birikmalari. koeffitsienti lin. kichik V (chiziqli qobiq berilgan vektorlar sistemasi lin. pr. bu prning chiziqli tayanchidir. )

ODA.Chiziq vektorlarining boʻsh boʻlmagan L kichik toʻplami. pr-va V lin deb ataladi. pastki fazo, agar:

a) L dan har qanday vektorlar yig'indisi L ga tegishli

b) har bir vektorning L dan istalgan songa ko'paytmasi L ga tegishli

Ikki pastki bo'shliqlar yig'indisiLyana pastki fazodirL

1) y 1 + y 2 (L 1 + L 2) bo‘lsin.<=>y 1 \u003d x 1 + x 2, y 2 \u003d x' 1 + x' 2, bu erda (x 1, x' 1) L 1, (x 2, x' 2) L 2. y 1 +y 2 =(x 1 +x 2)+(x' 1 +x' 2)=(x 1 +x' 1)+(x 2 +x' 2), bu erda (x 1 +x' 1) ) L 1 , (x 2 +x' 2) L 2 => chiziqli pastki fazoning birinchi sharti bajariladi.

ay 1 =ax 1 +ax 2, bu erda (ax 1) L 1, (ax 2) L 2 => chunki (y 1 +y 2) (L 1 +L 2) , (ly 1) (L 1 +L 2) => shartlar bajarilgan => L 1 +L 2 - chiziqli pastki fazo.

Ikki pastki qismning kesishishi.L 1 vaL 2 lin. pr-vaL ham subdir. bu bo'shliq.

Ikki ixtiyoriy vektorni ko'rib chiqing x,y pastki bo'shliqlar kesishmasiga tegishli va ikkita ixtiyoriy son a,b:.

Def bo'yicha. kesishmalarni belgilang:

=> chiziqli fazoning pastki fazosining ta'rifi bo'yicha:,.

T.K.Vektor bolta + tomonidan to'plamga tegishli L 1 va o'rnating L 2 bo'lsa, u ta'rifiga ko'ra, ushbu to'plamlarning kesishishiga tegishli. Shunday qilib:

ODA.Ular V - uning tayanchlarining bevosita yig'indisi, deyishadi. agar va b) bu ​​parchalanish noyobdir

b") b) b') ga ekvivalent ekanligini ko'rsataylik.

b) haqiqiy b') bilan

har qanday (M, N) dan faqat nol vektor bo'ylab kesishadi

∃z ∈ bo'lsin

Yarmarka. teskariL=

qarama-qarshilik

Teorema To (*) asoslarni birlashtirish uchun zarur va etarli ( makonning asosini tashkil etdi

(Majburiy(*) va vektorlar kichik to‘plamlarning asosi bo‘lsin. va ichida kengayish mavjud; x L bazis bo'yicha parchalanadi, (asosni tashkil qiladi, ularning chiziqli mustaqilligini isbotlash kerak, hammasi 0 0=0+…+0 ni o'z ichiga oladi. 0 ning kengayishining o'ziga xosligi tufayli: => asosning chiziqli mustaqilligi tufayli => ( – asos

(Qo'shimcha)( asosini tashkil qilsin L yagona parchalanish (**) kamida bitta parchalanish mavjud bo'lsin. Yagonalik tufayli (*) => yagonalik (**)

Izoh. To'g'ridan-to'g'ri yig'indining o'lchami pastki bo'shliqning o'lchamlari yig'indisiga teng

Har qanday degenerativ bo'lmagan kvadratik matritsa bir asosdan ikkinchisiga o'tish matritsasi bo'lib xizmat qilishi mumkin

n o‘lchamli V chiziqli fazoda ikkita asos va

(1) =A , bu erda * va ** elementlari raqamlar emas, lekin biz raqamli matritsadagi muayyan operatsiyalarni bunday qatorlarga kengaytiramiz.

Chunki aks holda vektorlar ** chiziqli bog'liq bo'ladi

Orqaga. Agar u holda A ustunlari chiziqli mustaqil bo'lsa => asos bo'ladi

Koordinatalar va nisbati bilan bog‘liq , qayerda o'tish matritsasi elementlari

"Yangi" asos elementlarining "eski" asos nuqtai nazaridan kengayishi ma'lum bo'lsin

Keyin tenglik

Ammo chiziqli mustaqil elementlarning chiziqli birikmasi 0 ga teng bo'lsa, =>

Asosiy chiziqli bog'liqlik teoremasi

Agar a (*) bilan chiziqli ifodalanadi (**) keyinn<= m

m bo'yicha induksiya bilan isbotlang

m=1: sistemada (*) 0 va lin mavjud. bosh - mumkin emas

m=k-1 uchun to'g'ri bo'lsin

m=k uchun isbotlaymiz

shunday bo'lishi mumkinki, 1) , ya'ni. in-ry (1) lin.comb. lin. kanal ichidagi (2)tizim (1) qatorning bir qismidir.nezav. tizimlari (*). Chunki (2) sistemada faqat k-1 vektorlar mavjud, u holda induksiyani qabul qilib k+1 ni olamiz.

Mayli L maydon ustidagi chiziqli fazodir R . Mayli A1, a2, ... , an (*) dan vektorlarning chekli tizimi L . Vektor DA = a1× A1 + a2× A2 + … + an× An (16) chaqirdi Vektorlarning chiziqli birikmasi ( *), yoki vektor ayting DA vektorlar tizimi (*) orqali chiziqli ifodalangan.

Ta'rif 14. Vektorlar sistemasi (*) deyiladi chiziqli bog'liq , agar a1, a2, … koeffitsientlarining nolga teng bo'lmagan to'plami mavjud bo'lsa, a1× A1 + a2× A2 + … + an× An = 0. Agar a1× A1 + a2× A2 + … + an× An = 0 Û a1 = a2 = … = an = 0, keyin tizim (*) chaqiriladi chiziqli mustaqil.

Chiziqli bog`liqlik va mustaqillik xossalari.

10. Agar vektorlar sistemasi nol vektorni o'z ichiga olsa, u chiziqli bog'liqdir.

Haqiqatan ham, agar tizimda (*) vektor bo'lsa A1 = 0, Keyin 1 × 0 + 0× A2 + ... + 0 × An = 0 .

20. Agar vektorlar sistemasi ikkita proporsional vektorni o'z ichiga olsa, u chiziqli bog'liqdir.

Mayli A1 = L×a2. Keyin 1 × A1 –l× A2 + 0× A3 + … + 0× LEKIN N= 0.

30. n ³ 2 uchun cheklangan vektorlar tizimi (*) chiziqli bog'liq bo'ladi, agar uning vektorlaridan kamida bittasi ushbu tizimning boshqa vektorlarining chiziqli birikmasi bo'lsa.

Þ (*) chiziqli bog'liq bo'lsin. U holda a1, a2, … koeffitsientlarining nolga teng bo'lmagan to'plami mavjud bo'lib, a1× A1 + a2× A2 + … + an× An = 0 . Umumiylikni yo'qotmasdan, biz a1 ¹ 0 deb taxmin qilishimiz mumkin. Keyin mavjud A1 = ×a2× A2 + … + ×chan× LEKIN N. Demak, vektor A1 qolgan vektorlarning chiziqli birikmasidir.

Ü Vektorlardan biri (*) boshqalarning chiziqli birikmasi bo'lsin. Buni birinchi vektor deb taxmin qilishimiz mumkin, ya'ni. A1 = B2 A2+ … + milliard LEKIN N, demak (–1)× A1 + b2 A2+ … + milliard LEKIN N= 0 , ya'ni (*) chiziqli bog'liqdir.

Izoh. Oxirgi xususiyatdan foydalanib, cheksiz vektorlar tizimining chiziqli bog'liqligi va mustaqilligini aniqlash mumkin.

Ta'rif 15. Vektor tizimi A1, a2, ... , an , … (**) deyiladi chiziqli bog'liq, Agar uning vektorlaridan kamida bittasi boshqa vektorlarning cheklangan sonining chiziqli birikmasi bo'lsa. Aks holda, tizim (**) chaqiriladi chiziqli mustaqil.

40. Cheklangan vektorlar sistemasi, agar uning birorta vektorini boshqa vektorlari bilan chiziqli ifodalab bo‘lmasa, chiziqli mustaqil hisoblanadi.

50. Agar vektorlar sistemasi chiziqli mustaqil bo'lsa, uning har qanday quyi tizimlari ham chiziqli mustaqildir.

60. Agar berilgan vektorlar sistemasining qaysidir quyi tizimi chiziqli bog’liq bo’lsa, butun sistema ham chiziqli bog’liq bo’ladi.

Ikki vektor sistemasi berilgan bo'lsin A1, a2, ... , an , … (16) va V1, v2, … , vs, … (17). Agar (16) sistemaning har bir vektorini (17) sistemaning chekli sonli vektorlarining chiziqli birikmasi sifatida tasvirlash mumkin bo'lsa, u holda (17) sistema (16) orqali chiziqli ifodalangan deymiz.

Ta'rif 16. Ikki vektor sistemasi deyiladi ekvivalent , agar ularning har biri chiziqli ravishda ikkinchisi bilan ifodalangan bo'lsa.

Teorema 9 (chiziqli bog'liqlik haqidagi asosiy teorema).

Qo'ying va dan vektorlarning ikkita chekli tizimidir L . Agar birinchi tizim chiziqli mustaqil bo'lsa va ikkinchisi bilan chiziqli ifodalangan bo'lsa, u holda N£ s.

Isbot. Keling, shunday da'vo qilaylik N> S. Teorema bo'yicha

qo'shma. Tenglamalar soni noma'lumlar sonidan ko'p bo'lganligi sababli, tizim cheksiz ko'p echimlarga ega. Shuning uchun u nolga teng bo'lmagan qiymatga ega x10, x20, …, xN0. Bu qiymatlar uchun tenglik (18) to'g'ri bo'ladi, bu vektorlar tizimining chiziqli mustaqil ekanligiga zid keladi. Shunday qilib, bizning taxminimiz noto'g'ri. Binobarin, N£ s.

Natija. Agar ikkita ekvivalent vektorlar tizimi chekli va chiziqli mustaqil bo'lsa, ular bir xil miqdordagi vektorlarni o'z ichiga oladi.

Ta'rif 17. Vektorlar sistemasi deyiladi Vektorlarning maksimal chiziqli mustaqil tizimi chiziqli fazo L , agar u chiziqli mustaqil bo'lsa, lekin unga har qanday vektorni qo'shsa L bu tizimga kirmasa, u chiziqli bog'liq bo'ladi.

Teorema 10. dan vektorlarning har qanday ikkita chekli maksimal chiziqli mustaqil tizimi L Bir xil miqdordagi vektorlarni o'z ichiga oladi.

Isbot vektorlarning har qanday ikkita maksimal chiziqli mustaqil tizimi ekvivalent ekanligidan kelib chiqadi .

Fazoviy vektorlarning har qanday chiziqli mustaqil sistemasini isbotlash oson L Ushbu fazoning vektorlarining maksimal chiziqli mustaqil tizimiga to'ldirilishi mumkin.

Misollar:

1. Barcha kollinear geometrik vektorlar to'plamida bitta nolga teng bo'lmagan vektordan iborat har qanday tizim maksimal chiziqli mustaqildir.

2. Barcha koplanar geometrik vektorlar to'plamida har qanday ikkita kollinear bo'lmagan vektor maksimal chiziqli mustaqil tizimni tashkil qiladi.

3. Uch o'lchovli Evklid fazosining barcha mumkin bo'lgan geometrik vektorlari to'plamida uchta koplanar bo'lmagan vektorlarning har qanday tizimi maksimal chiziqli mustaqildir.

4. Barcha ko‘phadlar to‘plamida daraja eng ko‘p N Haqiqiy (murakkab) koeffitsientlar bilan, polinomlar tizimi 1, x, x2, …, xn U maksimal chiziqli mustaqildir.

5. Haqiqiy (murakkab) koeffitsientli barcha ko‘phadlar to‘plamida maksimal chiziqli mustaqil sistemaga misollar keltiriladi.

a) 1, x, x2, … , xn, … ;

b) 1, (1 - x), (1 - x)2, … , (1 - x)N, …

6. O'lchov matritsalari to'plami M´ N chiziqli fazodir (uni tekshiring). Bu fazodagi maksimal chiziqli mustaqil sistemaga matritsalar sistemasi misol bo`la oladi E11= , E12 \u003d, ..., EMn = .

Vektorlar sistemasi berilgan bo'lsin C1, c2, ... , qarang (*). (*) dan vektorlar quyi tizimi deyiladi Maksimal chiziqli mustaqil Quyi tizim Tizimlar ( *) , agar u chiziqli mustaqil bo'lsa, lekin unga ushbu tizimning boshqa har qanday vektori qo'shilsa, u chiziqli bog'liq bo'ladi. Agar tizim (*) chekli bo'lsa, uning maksimal chiziqli mustaqil quyi tizimlarining har qandayida bir xil miqdordagi vektorlar mavjud. (O'zingiz isbotlang.) Tizimning maksimal chiziqli mustaqil quyi tizimidagi vektorlar soni (*) deyiladi daraja Bu tizim. Shubhasiz, ekvivalent vektor tizimlari bir xil darajalarga ega.