Inson miyasining evolyutsiyasi uch o'lchovli fazoda sodir bo'ldi. Shuning uchun biz uchun o'lchamlari uchdan katta bo'lgan bo'shliqlarni tasavvur qilish qiyin. Darhaqiqat, inson miyasi uch o'lchamdan ortiq geometrik jismlarni tasavvur qila olmaydi. Va shu bilan birga, biz geometrik ob'ektlarni nafaqat uchta o'lchamli, balki ikki va bir o'lchamli o'lchamlari bilan osongina tasavvur qilishimiz mumkin.

Bir o'lchovli va ikki o'lchovli bo'shliqlar o'rtasidagi farq va o'xshashlik, ikki o'lchovli va uch o'lchovli bo'shliqlar o'rtasidagi farq va o'xshashlik bizga yuqori o'lchamli bo'shliqlardan bizni to'sadigan sir ekranini biroz ochishga imkon beradi. Ushbu o'xshashlik qanday qo'llanilishini tushunish uchun juda oddiy to'rt o'lchovli ob'ektni - giperkubni, ya'ni to'rt o'lchovli kubni ko'rib chiqing. Keling, aniqlik uchun, aytaylik, biz aniq bir masalani hal qilmoqchimiz, ya'ni to'rt o'lchamli kubning kvadrat yuzlari sonini hisoblash. Quyida keltirilgan barcha mulohazalar juda erkin, hech qanday dalilsiz, faqat o'xshashlik bo'yicha bo'ladi.

Oddiy kubdan giperkub qanday qurilganini tushunish uchun, avvalo, oddiy kub oddiy kvadratdan qanday qurilganiga qarash kerak. Ushbu material taqdimotining o'ziga xosligi uchun biz bu erda oddiy kvadratni SubCube deb ataymiz (va biz uni sukkubus bilan aralashtirmaymiz).

Subkubdan kubni qurish uchun pastki kubni uchinchi o'lchov yo'nalishi bo'yicha pastki kub tekisligiga perpendikulyar yo'nalishda kengaytirish kerak. Shu bilan birga, kubning ikki o'lchovli yon yuzi bo'lgan dastlabki pastki kubning har bir tomonidan subkub o'sadi, bu kubning uch o'lchovli hajmini to'rt tomondan, har bir yo'nalishga ikkita perpendikulyar cheklaydi. pastki kubning tekisligi. Va yangi uchinchi o'q bo'ylab kubning uch o'lchamli hajmini cheklaydigan ikkita pastki kub ham mavjud. Bu bizning pastki kubimiz dastlab joylashgan ikki o'lchovli yuz va kub qurilishining oxirida pastki kub kelgan kubning ikki o'lchovli yuzidir.

Siz o'qigan narsalar haddan tashqari batafsil va juda ko'p tushuntirishlar bilan bayon etilgan. Va tasodifan emas. Endi biz shunday hiyla qilamiz, oldingi matndagi ba'zi so'zlarni rasmiy ravishda shu tarzda almashtiramiz:
kub -> giperkub
subkub -> kub
tekislik -> hajm
uchinchi -> to'rtinchi
2D -> 3D
to'rt -> olti
uch o'lchovli -> to'rt o'lchovli
ikki -> uch
tekislik -> bo'sh joy

Natijada, biz endi juda batafsil ko'rinmaydigan quyidagi mazmunli matnni olamiz.

Kubdan giperkub qurish uchun kubni kub hajmiga perpendikulyar yo'nalishda to'rtinchi o'lcham yo'nalishi bo'yicha cho'zish kerak. Shu bilan birga, asl kubning har bir tomonidan kub o'sadi, bu giperkubning lateral uch o'lchovli yuzi bo'lib, giperkubning to'rt o'lchovli hajmini olti tomondan cheklaydi, har bir yo'nalishda uchta perpendikulyar. kubning maydoni. Va yangi to'rtinchi o'q bo'ylab, shuningdek, giperkubning to'rt o'lchovli hajmini cheklaydigan ikkita kub mavjud. Bu bizning kubimiz dastlab joylashgan uch o'lchovli yuz va giperkubning uch o'lchovli yuzi, bu kub giperkubni qurish oxirida kelgan.

Nega biz giperkub qurilishining to'g'ri tavsifini olganimizga shunchalik aminmiz? Ha, chunki so'zlarni aynan bir xil rasmiy almashtirish orqali biz kvadrat qurilishi tavsifidan kub qurilishi tavsifini olamiz. (O'zingiz tekshirib ko'ring.)

Endi aniq bo'ldiki, agar kubning har bir tomonidan boshqa uch o'lchamli kub o'sishi kerak bo'lsa, unda dastlabki kubning har bir chetidan yuz o'sishi kerak. Hammasi bo'lib kubning 12 qirrasi bor, ya'ni uch o'lchamli fazoning uchta o'qi bo'ylab to'rt o'lchovli hajmni cheklaydigan 6 kub uchun qo'shimcha 12 ta yangi yuz (subkublar) bo'ladi. Va to'rtinchi o'q bo'ylab pastdan va yuqoridan bu to'rt o'lchovli hajmni cheklaydigan yana ikkita kub mavjud. Bu kublarning har birida 6 ta yuz bor.

Hammasi bo'lib giperkubning 12+6+6=24 kvadrat yuzi borligini bilib olamiz.

Quyidagi rasmda giperkubning mantiqiy tuzilishi ko'rsatilgan. Bu giperkubning uch o'lchovli fazoga proyeksiyasiga o'xshaydi. Bunday holda, qovurg'alarning uch o'lchamli ramkasi olinadi. Rasmda, albatta, siz ushbu ramkaning tekislikka proyeksiyasini ham ko'rasiz.

Ushbu ramkada ichki kub, go'yo qurilish boshlangan va pastdan to'rtinchi o'q bo'ylab giperkubning to'rt o'lchovli hajmini cheklaydigan boshlang'ich kubdir. Biz bu dastlabki kubni to'rtinchi o'lchov o'qi bo'ylab yuqoriga cho'zamiz va u tashqi kubga kiradi. Shunday qilib, bu rasmdagi tashqi va ichki kublar giperkubni to'rtinchi o'lchov o'qi bo'ylab cheklaydi.

Va bu ikki kub o'rtasida yana 6 ta yangi kub ko'rinadi, ular umumiy yuzlar bilan birinchi ikkitasi bilan aloqa qiladilar. Ushbu olti kub bizning giperkubimizni uch o'lchovli fazoning uchta o'qi bo'ylab cheklaydi. Ko'rib turganingizdek, ular nafaqat bu uch o'lchamli ramkada ichki va tashqi bo'lgan dastlabki ikkita kub bilan aloqada bo'libgina qolmay, balki ular hali ham bir-biri bilan aloqada.

Siz to'g'ridan-to'g'ri rasmda hisoblashingiz va giperkubning haqiqatan ham 24 ta yuzga ega ekanligiga ishonch hosil qilishingiz mumkin. Ammo bu erda savol tug'iladi. Ushbu 3D giperkub ramkasi hech qanday bo'shliqsiz sakkizta 3D kub bilan to'ldirilgan. Giperkubning ushbu 3D proyeksiyasidan haqiqiy giperkub yaratish uchun barcha 8 kub 4D hajmini cheklashi uchun ushbu ramkani ichkariga aylantirish kerak.

Bu shunday amalga oshiriladi. Biz to'rt o'lchovli makonda yashovchini tashrif buyurishga taklif qilamiz va undan bizga yordam berishini so'raymiz. U ushbu ramkaning ichki kubini ushlaydi va uni bizning 3D makonimizga perpendikulyar bo'lgan to'rtinchi o'lchamga siljitadi. Biz o'zimizning uch o'lchamli makonimizda uni butun ichki ramka yo'qolgan va faqat tashqi kubning ramkasi qolgandek idrok qilamiz.

Keyinchalik, bizning 4D yordamchimiz tug'ruqxonalarda og'riqsiz tug'ilish uchun yordam berishni taklif qiladi, ammo homilador ayollarimiz chaqaloqning qorin bo'shlig'idan shunchaki yo'qolib, parallel 3D kosmosga tushib qolishidan qo'rqishadi. Shuning uchun, to'rt barobar xushmuomalalik bilan rad etiladi.

Va biz hayron bo'lamizki, bizning ba'zi kublarimiz giperkub ramkasi ichkariga aylantirilganda yopishib qoldimi? Axir, agar giperkubni o'rab turgan ba'zi uch o'lchamli kublar ramkadagi qo'shnilariga tegsa, to'rt o'lchovli ramkani ichkariga aylantirsa, ular ham xuddi shu yuzlarga tegadimi?

Keling, yana pastki o'lchamdagi bo'shliqlar bilan o'xshashlikka murojaat qilaylik. Giperkub simli ramka tasvirini 3D kubning quyidagi rasmda ko'rsatilgan tekislikka proyeksiyasi bilan solishtiring.

Ikki o'lchovli fazoning aholisi tekislikka kub proyeksiyasi ramkasini qurishdi va bizni, uch o'lchovli rezidentlarni bu ramkani ichkariga aylantirishga taklif qilishdi. Biz ichki kvadratning to'rtta uchini olamiz va ularni tekislikka perpendikulyar o'tkazamiz. Shu bilan birga, ikki o'lchovli rezidentlar butun ichki ramkaning to'liq yo'qolishini ko'rishadi va ular faqat tashqi kvadratning ramkasiga ega. Bunday operatsiya bilan, ularning chekkalari bilan aloqa qilgan barcha kvadratlar avvalgidek bir xil qirralar bilan teginishda davom etadi.

Shuning uchun, giperkub ramkasini ichkariga aylantirganda ham giperkubning mantiqiy sxemasi buzilmasligiga umid qilamiz va giperkubning kvadrat yuzlari soni ko'paymaydi va 24 ga teng bo'lib qoladi. Bu, albatta, hech qanday dalil yo'q, faqat o'xshashlik bo'yicha taxmin.

Bu erda o'qilgan hamma narsadan so'ng, siz besh o'lchovli kubning mantiqiy ramkasini osongina chizishingiz va uning qancha uchlari, qirralari, yuzlari, kublari va giperkublari borligini hisoblashingiz mumkin. Bu umuman qiyin emas.

Giperkub va platonik qattiq jismlar

"Vektor" tizimida kesilgan ikosahedrni ("futbol to'pi") taqlid qilish
bu erda har bir beshburchak olti burchaklar bilan chegaralangan

Kesilgan ikosaedr muntazam beshburchaklar ko'rinishidagi yuzlarni hosil qilish uchun 12 ta burchakni kesish orqali olinishi mumkin. Bunday holda, yangi ko'pburchakning uchlari soni 5 baravar ko'payadi (12 × 5 = 60), 20 ta uchburchak yuzlar muntazam olti burchakka aylanadi (jami yuzlar 20+12=32 ga aylanadi), a qirralarning soni 30+12×5=90 ga oshadi.

Vektor tizimida kesilgan ikosahedrni qurish bosqichlari

4 o'lchovli fazodagi raqamlar.

--à

--à ?

Masalan, kub va giperkub berilgan. Giperkubda 24 ta yuz mavjud. Bu shuni anglatadiki, 4 o'lchovli oktaedr 24 ta tepaga ega bo'ladi. Yo'q bo'lsa-da, giperkubda kublarning 8 ta yuzi bor - har bir markazda cho'qqi bor. Bu shuni anglatadiki, 4 o'lchovli oktaedrning 8 ta uchi osonroq bo'ladi.

4 o'lchovli oktaedr. U sakkizta teng qirrali va teng tetraedradan iborat,
har bir tepada to'rtta bog'langan.

Guruch. Simulyatsiya qilishga urinish
"Vektor" tizimidagi giperbol-gipersfera

Old - orqa yuzlar - buzilmagan to'plar. Yana oltita to'p - ellipsoidlar yoki kvadrat yuzalar (generator sifatida 4 kontur chizig'i orqali) yoki yuzlar orqali (birinchi navbatda generatorlar orqali aniqlanadi) aniqlanishi mumkin.

Gipersferani "qurish" uchun ko'proq fokuslar
- 4 o'lchovli fazoda bir xil "futbol to'pi"

2-ilova

Qavariq ko'p yuzlilar uchun uning uchlari, qirralari va yuzlari soniga bog'liq xususiyat mavjud bo'lib, 1752 yilda Leonhard Eyler tomonidan isbotlangan va Eyler teoremasi deb nomlangan.

Uni shakllantirishdan oldin bizga ma'lum bo'lgan ko'pburchakni ko'rib chiqing va quyidagi jadvalni to'ldiring, bunda B - berilgan ko'pburchakning uchlari soni, P - qirralari va G - yuzlari:

Bu jadvaldan ko'rinib turibdiki, barcha tanlangan ko'pburchaklar uchun B - P + T = 2 tengligi amal qiladi.Ma'lum bo'lishicha, bu tenglik nafaqat ushbu ko'pburchaklar uchun, balki ixtiyoriy qavariq ko'pburchak uchun ham to'g'ri keladi.

Eyler teoremasi. Har qanday qavariq ko'pburchak uchun tenglik

V - R + G \u003d 2,

Bu erda B - uchlari soni, P - qirralarning soni, G - berilgan ko'pburchakning yuzlari soni.

Isbot. Bu tenglikni isbotlash uchun elastik materialdan yasalgan berilgan ko‘pburchak sirtini tasavvur qiling. Keling, uning yuzlaridan birini o'chiramiz (kesib olamiz) va qolgan sirtini tekislikda cho'zamiz. Biz ko'pburchakni olamiz (ko'pburchakning olib tashlangan yuzining qirralari bilan hosil qilingan), kichikroq ko'pburchaklarga bo'lingan (ko'pburchakning qolgan yuzlari tomonidan yaratilgan).

E'tibor bering, ko'pburchaklar deformatsiyalanishi, kattalashishi, kichrayishi yoki hatto tomonlari buzilmasligi mumkin. Cho'qqilar, qirralar va yuzlar soni o'zgarmaydi.

Natijada ko'pburchakning kichikroq ko'pburchaklarga bo'linishi tenglikni qondirishini isbotlaylik

(*) V - R + G "= 1,

qayerda - umumiy soni cho'qqilar, P - qirralarning umumiy soni, G " - bo'limga kiritilgan ko'pburchaklar soni. G'iyb ko'rinib turibdiki, G" = G - 1, bu erda G - berilgan ko'pburchakning yuzlari soni.

Berilgan bo‘limning qaysidir ko‘pburchakda diagonal chizsak (*) tengligi o‘zgarmasligini isbotlaylik (5-rasm, a). Haqiqatan ham, bunday diagonal chizilgandan so'ng, yangi bo'limda B uchlari, P + 1 qirralari bo'ladi va ko'pburchaklar soni bittaga ko'payadi. Shuning uchun bizda bor

V - (R + 1) + (G "+1) \u003d V - R + G" .

Bu xususiyatdan foydalanib, kiruvchi ko'pburchaklarni uchburchaklarga bo'luvchi diagonallarni chizamiz va hosil bo'lgan bo'lim uchun (*) tenglik qanoatlantirilishini ko'rsatamiz (5-rasm, b). Buning uchun biz uchburchaklar sonini kamaytirib, tashqi qirralarni doimiy ravishda olib tashlaymiz. Bunday holda, ikkita holat mumkin:

a) uchburchakni olib tashlash uchun ABC bizning holatlarimizda ikkita qovurg'ani olib tashlash talab qilinadi AB va Miloddan avvalgi;

b) uchburchakni olib tashlash uchunMKNbir chetini olib tashlash talab qilinadi, bizning holatlarimizdaMN.

Ikkala holatda ham tenglik (*) o'zgarmaydi. Misol uchun, birinchi holatda, uchburchakni olib tashlaganingizdan so'ng, grafik B - 1 burchak, R - 2 qirralar va G "- 1 ko'pburchakdan iborat bo'ladi:

(B - 1) - (P + 2) + (G "- 1) \u003d B - R + G".

O'zingiz uchun ikkinchi ishni ko'rib chiqing.

Shunday qilib, bitta uchburchakni olib tashlash tenglikni (*) o'zgartirmaydi. Ushbu uchburchaklarni olib tashlash jarayonini davom ettirib, biz oxir-oqibat bitta uchburchakdan iborat bo'limga erishamiz. Bunday bo'lim uchun B \u003d 3, P \u003d 3, G "= 1 va shuning uchun B - R + G" = 1. Demak, tenglik (*) asl bo'lim uchun ham amal qiladi, biz undan nihoyat olamiz. berilgan ko'pburchak bo'limi uchun tenglik (*) to'g'ri bo'ladi. Shunday qilib, dastlabki qavariq ko'pburchak uchun B - P + G = 2 tengligi to'g'ri bo'ladi.

Eyler munosabati mavjud bo'lmagan ko'pburchaklarga misol 6-rasmda ko'rsatilgan. Bu ko'pburchakning 16 ta uchi, 32 ta tomoni va 16 ta yuzi bor. Shunday qilib, bu ko'pburchak uchun B - P + G = 0 tengligi bajariladi.

3-ilova

Movie Cube 2: Hypercube "(ingliz. Cube 2: Hypercube) - fantastik film, "Kub" filmining davomi.

Kub shaklidagi xonalarda sakkizta notanish odam uyg'onadi. Xonalar to'rt o'lchovli giperkub ichida joylashgan. Xonalar doimiy ravishda "kvant teleportatsiyasi" orqali harakatlanadi va agar siz keyingi xonaga chiqsangiz, avvalgisiga qaytishingiz dargumon. Parallel dunyolar giperkubda kesishadi, ba'zi xonalarda vaqt boshqacha oqadi, ba'zi xonalarda esa o'lim tuzoqlari.

Rasmning syujeti asosan birinchi qismning hikoyasini takrorlaydi, bu ba'zi qahramonlarning obrazlarida ham aks etadi. Giperkub xonalarida o'ladi Nobel mukofoti laureati Giperkubni yo'q qilishning aniq vaqtini hisoblagan Rosenzweig.

Tanqid

Agar birinchi bo'limda labirintda qamalgan odamlar bir-biriga yordam berishga harakat qilishsa, bu filmda bu har bir erkakning o'zi uchun. Filmning bu qismini oldingi bilan mantiqiy bog'lamaydigan juda ko'p qo'shimcha maxsus effektlar (ular ham tuzoqlar) mavjud. Ya'ni, Cube 2 filmi 2000 yil emas, balki 2020-2030 yillardagi kelajak labirintidir. Birinchi bo'limda barcha turdagi tuzoqlarni nazariy jihatdan odam yaratishi mumkin. Ikkinchi bo'limda bu tuzoqlar "Virtual haqiqat" deb ataladigan qandaydir kompyuterning dasturidir.

Geometriyada giperkub- bu n-kvadratning o'lchovli analogiyasi ( n= 2) va kub ( n= 3). Bu rasmning qarama-qarshi qirralarida joylashgan va bir-biriga to'g'ri burchak ostida bog'langan parallel chiziqlar guruhlaridan iborat yopiq qavariq figura.

Bu raqam sifatida ham tanilgan tesserakt(tesseract). Kub kvadratga qanday bo'lsa, tesserakt ham kubga tegishli. Rasmiyroq aytganda, tesseraktni chegarasi sakkiz kubik hujayradan iborat bo'lgan muntazam qavariq to'rt o'lchovli politop (politop) deb ta'riflash mumkin.

Oksford inglizcha lug'atiga ko'ra, "tesseract" so'zi 1888 yilda Charlz Xovard Xinton tomonidan kiritilgan va o'zining "Tafakkurning yangi davri" kitobida ishlatilgan. Bu so'z yunoncha "tésésés" ("to'rt nur") dan hosil bo'lgan, to'rtta koordinata o'qi shaklida. Bundan tashqari, ba'zi manbalarda xuddi shu raqam deyilgan tetrakub(tetrakub).

n-o'lchovli giperkub ham deyiladi n-kub.

Nuqta 0 o'lchamli giperkubdir. Agar siz nuqtani uzunlik birligiga siljitsangiz, siz birlik uzunlikdagi segmentni olasiz - 1 o'lchamli giperkub. Bundan tashqari, agar siz segmentni perpendikulyar yo'nalishda uzunlik birligiga siljitsangiz. segment yo'nalishi bo'yicha siz kubni olasiz - 2 o'lchamli giperkub. Kvadratni kvadrat tekisligiga perpendikulyar yo'nalishda uzunlik birligiga siljitish orqali kub olinadi - 3 o'lchamli giperkub. Bu jarayon har qanday miqdordagi o'lchamlarga umumlashtirilishi mumkin. Misol uchun, agar siz kubni to'rtinchi o'lchamdagi uzunlik birligiga siljitsangiz, siz tesseraktni olasiz.

Giperkublar oilasi har qanday o'lchamda ifodalanishi mumkin bo'lgan bir nechta oddiy ko'pburchaklardan biridir.

Giperkub elementlari

Giperkub o'lchami n 2 bor n"tomonlar" (bir o'lchovli chiziq 2 nuqtaga ega; ikki o'lchovli kvadrat - 4 tomon; uch o'lchamli kub - 6 yuz; to'rt o'lchovli tesserakt - 8 katak). Giperkubning uchlari (nuqtalari) soni 2 ga teng n(masalan, kub uchun - 2 3 uch).

Miqdori m-chegaradagi o'lchovli giperkublar n-kub teng

Masalan, giperkub chegarasida 8 ta kub, 24 ta kvadrat, 32 ta chekka va 16 ta cho'qqi bor.

Tekislik proyeksiyasi

Giperkub hosil bo'lishini quyidagi tarzda ifodalash mumkin:

• AB chiziq segmentini hosil qilish uchun ikkita A va B nuqtalari ulanishi mumkin.
• ABCD kvadratini hosil qilish uchun ikkita parallel AB va CD segmentlarini ulash mumkin.
• ABCDEFGH kubini hosil qilish uchun ikkita parallel kvadrat ABCD va EFGH birlashtirilishi mumkin.
• ABCDEFGHIJKLMNOP giperkubini hosil qilish uchun ikkita parallel kub ABCDEFGH va IJKLMNOP ulanishi mumkin.

Oxirgi tuzilmani tasavvur qilish oson emas, lekin uning proektsiyasini ikki yoki uch o'lchamda tasvirlash mumkin. Bundan tashqari, 2D tekislikka proyeksiyalar prognoz qilingan cho'qqilarning pozitsiyalarini qayta tartibga solish orqali foydaliroq bo'lishi mumkin. Bunday holda, tesserakt ichidagi elementlarning fazoviy munosabatlarini endi aks ettirmaydigan, lekin quyidagi misollarda bo'lgani kabi, tepalik bog'lanishlarining tuzilishini ko'rsatadigan tasvirlarni olish mumkin.

Birinchi rasmda ikkita kubni birlashtirish orqali tesseraktning qanday hosil bo'lishi ko'rsatilgan. Ushbu sxema ikkita kvadratdan kub yaratish sxemasiga o'xshaydi. Ikkinchi diagramma tesseraktning barcha qirralari bir xil uzunlikka ega ekanligini ko'rsatadi. Ushbu sxema, shuningdek, bir-biriga bog'langan kublarni izlashga majbur. Uchinchi diagrammada tesseraktning uchlari pastki nuqtaga nisbatan yuzlar bo'ylab masofalarga mos ravishda joylashgan. Bu sxema qiziq, chunki u parallel hisoblashni tashkil qilishda protsessorlarni ulashning tarmoq topologiyasi uchun asosiy sxema sifatida ishlatiladi: har qanday ikkita tugun orasidagi masofa 4 chekka uzunligidan oshmaydi va yukni muvozanatlashning juda ko'p turli usullari mavjud.

San'atdagi giperkub

Giperkub ilmiy fantastikada 1940-yildan beri paydo bo'ldi, Robert Xaynlayn "Teal qurgan uy" ("Va u egri uy qurdi") hikoyasida tesserakt ochilgan shaklda qurilgan uyni tasvirlab bergan. Hikoyada, bundan tashqari, bu uy to'rt o'lchovli tesseraktga aylanadi. Shundan so'ng, giperkub ko'plab kitoblar va romanlarda paydo bo'ladi.

Kub 2: Hypercube - bu giperkublar tarmog'ida qamalgan sakkiz kishi.

Salvador Dalining 1954 yildagi Xochga mixlanish (Corpus Hypercubus) kartinasi tesseraktda xochga mixlangan Iso tasvirlangan. Ushbu rasmni Nyu-Yorkdagi San'at muzeyida (Metropolitan san'at muzeyi) ko'rish mumkin.

Xulosa

Giperkub eng oddiy to'rt o'lchovli ob'ektlardan biri bo'lib, uning misolida siz to'rtinchi o'lchovning barcha murakkabligi va g'ayrioddiyligini ko'rishingiz mumkin. Va uch o'lchovda imkonsiz ko'rinadigan narsa to'rtta, masalan, imkonsiz raqamlarda mumkin. Shunday qilib, masalan, to'rt o'lchamdagi imkonsiz uchburchakning chiziqlari to'g'ri burchak ostida ulanadi. Va bu raqam barcha nuqtai nazardan shunday ko'rinadi va uch o'lchovli kosmosda imkonsiz uchburchakni amalga oshirishdan farqli o'laroq, buzilmaydi (2-rasmga qarang).

Tasvir to'rt o'lchovli kubning uch o'lchovli fazoga proyeksiyasi (perspektividir).

Oksford lug'atiga ko'ra, "tesseract" so'zi 1888 yilda Charlz Xovard Xinton (1853-1907) tomonidan o'zining "Yangi fikr davri" kitobida yaratilgan va ishlatilgan. Keyinchalik ba'zi odamlar xuddi shu figurani "tetrakub" deb atashdi.

Geometriya

Evklid to'rt o'lchovli fazodagi oddiy tesserakt nuqtalarning qavariq korpusi (±1, ±1, ±1, ±1) sifatida aniqlanadi. Boshqacha qilib aytganda, uni quyidagi to'plam sifatida ko'rsatish mumkin:

Tesserakt sakkizta giperplan bilan cheklangan, ularning kesishishi tesseraktning o'zi bilan uning uch o'lchovli yuzlarini (oddiy kublar) belgilaydi. Parallel bo'lmagan 3D yuzlarning har bir juftligi 2D yuzlarni (kvadratchalar) hosil qilish uchun kesishadi va hokazo. Nihoyat, tesseraktning 8 ta 3D yuzi, 24 ta 2D, 32 ta qirralari va 16 ta uchi bor.

Ommabop tavsif

Keling, giperkubning uch o'lchamli bo'shliqdan chiqmasdan qanday ko'rinishini tasavvur qilishga harakat qilaylik.

Bir o'lchovli "bo'shliq" da - chiziqda - biz L uzunlikdagi AB segmentini tanlaymiz. Ikki o'lchovli tekislikda AB dan L masofada, biz unga parallel DC segmentini chizamiz va ularning uchlarini bog'laymiz. ABCD kvadratini oling. Ushbu amalni tekislik bilan takrorlab, biz uch o'lchamli ABCDHEFG kubini olamiz. Va kubni to'rtinchi o'lchamdagi (birinchi uchtaga perpendikulyar) L masofaga siljitish orqali biz ABCDEFGHIJKLMNOP giperkubini olamiz.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/1/13/Build_tesseract.PNG

Bir o'lchovli AB segmenti ikki o'lchovli ABCD kvadratining tomoni bo'lib xizmat qiladi, kvadrat ABCDHEFG kubining tomoni bo'lib, u o'z navbatida to'rt o'lchovli giperkubning tomoni bo'ladi. To'g'ri chiziqli segmentning ikkita chegara nuqtasi, kvadratning to'rtta uchi va kubning sakkiztasi bor. Shunday qilib, to'rt o'lchovli giperkubda 16 ta cho'qqi bo'ladi: asl kubning 8 ta uchi va to'rtinchi o'lchamda siljigan 8 ta uchi. Uning 32 ta qirrasi bor - 12 tasi asl kubning boshlang'ich va oxirgi holatini beradi va yana 8 ta qirralar uning to'rtinchi o'lchamga o'tgan sakkizta uchini "chizadi". Xuddi shu fikrni giperkubning yuzlari uchun qilish mumkin. Ikki o'lchovli fazoda u bitta (kvadratning o'zi), kubning 6 tasi bor (ko'chirilgan kvadratning ikkita yuzi va yana to'rttasi uning tomonlarini tasvirlaydi). To'rt o'lchovli giperkubning 24 kvadrat yuzi bor - ikkita holatda asl kubning 12 kvadrati va uning o'n ikki chetidan 12 kvadrat.

Xuddi shunday, biz giperkublar uchun fikrlashni davom ettirishimiz mumkin Ko'proq o'lchovlar, ammo biz, uch o'lchovli fazoning aholisi uchun to'rt o'lchovli giperkub qanday ko'rinishini ko'rish qiziqroq. Buning uchun allaqachon tanish bo'lgan analogiya usulidan foydalanamiz.

Tesserakt ochilmoqda

Keling, ABCDHEFG sim kubini olamiz va unga yuz tomondan bir ko'z bilan qaraymiz. Biz tekislikda to'rtta chiziq - yon qirralar bilan bog'langan ikkita kvadratni (uning yaqin va uzoq tomonlarini) ko'ramiz va chizishimiz mumkin. Xuddi shunday, uch o'lchamli fazodagi to'rt o'lchovli giperkub bir-biriga kiritilgan va sakkiz qirra bilan bog'langan ikkita kubik "quti" kabi ko'rinadi. Bunday holda, "qutilar" ning o'zi - uch o'lchovli yuzlar "bizning" makonimizga proektsiyalanadi va ularni bog'laydigan chiziqlar to'rtinchi o'lchamda cho'ziladi. Shuningdek, siz kubni proyeksiyada emas, balki fazoviy tasvirda tasavvur qilishga harakat qilishingiz mumkin.

Xuddi uch o'lchamli kub yuzning uzunligiga siljigan kvadratdan hosil bo'lganidek, to'rtinchi o'lchamga siljigan kub giperkubni hosil qiladi. U sakkiz kub bilan cheklangan bo'lib, kelajakda juda murakkab shaklga o'xshaydi. Uning "bizning" makonimizda qolgan qismi qat'iy chiziqlar bilan chizilgan va giperkosmosga kirgan qismi chizilgan. To'rt o'lchovli giperkubning o'zi cheksiz miqdordagi kublardan iborat, xuddi uch o'lchovli kubni cheksiz sonli tekis kvadratlarga "kesish" mumkin.

Uch o'lchamli kubning oltita yuzini kesib, uni tekis shaklga - to'rga aylantirishingiz mumkin. U asl yuzning har ikki tomonida kvadratga ega bo'ladi va yana bitta - unga qarama-qarshi yuz. To'rt o'lchovli giperkubning uch o'lchovli rivojlanishi asl kubdan, undan "o'sadigan" oltita kubdan va yana bitta - yakuniy "giperfeys" dan iborat bo'ladi.

Tesseraktning xossalari xususiyatlarning kengaytmasidir geometrik shakllar to'rt o'lchovli fazoga pastki o'lcham.

prognozlar

ikki o'lchovli fazoga

Ushbu tuzilmani tasavvur qilish qiyin, lekin tesseraktni 2D yoki 3D bo'shliqlarga loyihalash mumkin. Bundan tashqari, tekislikka proyeksiya qilish giperkubning cho'qqilarining joylashishini tushunishni osonlashtiradi. Shunday qilib, tesserakt ichidagi fazoviy munosabatlarni aks ettirmaydigan, lekin quyidagi misollarda bo'lgani kabi, cho'qqilarning bog'lanish tuzilishini ko'rsatadigan tasvirlarni olish mumkin:


uch o'lchovli fazoga

Tesseraktning uch o'lchovli fazoga proyeksiyasi ikkita ichki o'rnatilgan uch o'lchamli kub bo'lib, ularning tegishli uchlari segmentlar bilan bog'langan. Ichki va tashqi kublar 3D fazoda har xil o'lchamlarga ega, ammo ular 4D fazoda teng kublardir. Tesseraktning barcha kublarining tengligini tushunish uchun tesseraktning aylanadigan modeli yaratilgan.

Tesseraktning chetlari bo'ylab oltita kesilgan piramidalar teng oltita kubning tasvirlari.
stereo juftlik

Tesseraktning stereojufti uch o'lchamli fazoga ikkita proyeksiya sifatida tasvirlangan. Tesseraktning bu tasviri chuqurlikni to'rtinchi o'lchov sifatida ifodalash uchun yaratilgan. Stereo juftlik shunday ko'riladiki, har bir ko'z ushbu tasvirlardan faqat bittasini ko'radi, tesseraktning chuqurligini aks ettiruvchi stereoskopik rasm paydo bo'ladi.

Tesserakt ochilmoqda

Tesseraktning sirtini sakkiz kubga ochish mumkin (kubning sirtini olti kvadratga ochishga o'xshash). Tesseraktning 261 xil ochilishi mavjud. Tesseraktning ochilishini grafikdagi bog'langan burchaklarni chizish orqali hisoblash mumkin.

San'atda Tesserakt

Edvin A. Ebbotning “Yangi tekislik” asarida giperkub hikoya qiluvchi hisoblanadi.
Jimmi Neytronning sarguzashtlari: "Boy daho" epizodlaridan birida Jimmi Xaynlaynning 1963 yilgi Glory Road filmidagi katlama qutisiga o'xshash to'rt o'lchovli giperkubni ixtiro qiladi.
Robert E. Heinlein kamida uchta ilmiy fantastika hikoyalarida giperkublarni eslatib o'tgan. "To'rt o'lchovli uy" (The House That Built) (1940) asarida u qurilgan uyni tesseraktning ochilishi sifatida tasvirlagan.
Xaynlaynning "Shon-sharaf yo'li" romanida tashqi ko'rinishidan ko'ra ichki qismi kattaroq bo'lgan giper o'lchamdagi idishlar tasvirlangan.
Genri Kuttnerning "Mimsy Were the Borogoves" qissasida uzoq kelajakdagi bolalar uchun tuzilishi jihatidan tesseraktga o'xshash o'quv o'yinchoqlari tasvirlangan.
Aleks Garland (1999) romanida "tesserakt" atamasi giperkubning o'zi emas, balki to'rt o'lchovli giperkubning uch o'lchovli ochilishi uchun ishlatiladi. Bu idrok qilish tizimi bilish tizimidan kengroq bo'lishi kerakligini ko'rsatish uchun mo'ljallangan metafora.
Kub 2 syujeti: Hypercube "giperkub" yoki bir-biriga bog'langan kublar tarmog'ida qamalgan sakkizta begona odamga qaratilgan.
Andromeda teleseriali fitna qurilmasi sifatida tesserakt generatorlaridan foydalanadi. Ular, birinchi navbatda, makon va vaqtni boshqarish uchun mo'ljallangan.
Salvador Dalining "Xochga mixlanish" (Corpus Hypercubus) kartinasi (1954)
Nextwave komikslari 5 ta tesserakt zonasini o'z ichiga olgan transport vositasini tasvirlaydi.
Voivod Nothingface albomida qo'shiqlardan biri "In my hypercube" deb nomlangan.
Entoni Pirsning "Route Cube" romanida IDA ning orbital yo'ldoshlaridan biri 3 o'lchamga siqilgan tesserakt deb ataladi.
"Maktab" seriyasida Qora tuynuk"" Uchinchi mavsumda "Tesseract" epizodi mavjud. Lukas maxfiy tugmani bosadi va maktab matematik tesserakt kabi shakllana boshlaydi.
"Tesserakt" atamasi va undan kelib chiqqan "tesse" atamasi Madlen L'Englning "Vaqt ajinlari" hikoyasida uchraydi.

Ko'p o'lchovli fazolar haqidagi ta'limotlar 19-asrning o'rtalarida paydo bo'la boshladi. Ilmiy fantastika olimlardan to'rt o'lchovli fazo g'oyasini oldi. Ular o'z asarlarida dunyoga to'rtinchi o'lchovning ajoyib mo''jizalari haqida gapirib berishdi.

O'z asarlarining qahramonlari to'rt o'lchovli fazoning xususiyatlaridan foydalanib, tuxum tarkibini qobig'iga zarar bermasdan yeyishlari, shishaning tiqinlarini ochmasdan ichishlari mumkin edi. O'g'irlanganlar xazinani seyfdan to'rtinchi o'lchov orqali olib ketishdi. Jarrohlar bemor tanasining to‘qimalarini kesmasdan, ichki a’zolarda operatsiyalarni amalga oshirdi.

tesserakt

Geometriyada giperkub kvadrat (n = 2) va kubning (n = 3) n o'lchovli analogiyasidir. Bizning odatiy 3 o'lchovli kubimizning to'rt o'lchovli analogi tesserakt sifatida tanilgan. Kub kvadratga qanday bo'lsa, tesserakt ham kubga tegishli. Rasmiyroq aytganda, tesseraktni chegarasi sakkiz kubik hujayradan iborat bo'lgan muntazam qavariq to'rt o'lchovli ko'pburchak sifatida tasvirlash mumkin.

Keling, giperkubning uch o'lchamli bo'shliqdan chiqmasdan qanday ko'rinishini tasavvur qilishga harakat qilaylik.
Bir o'lchovli "bo'shliq" da - chiziqda - biz L uzunlikdagi AB segmentini tanlaymiz. Ikki o'lchovli tekislikda AB dan L masofada, biz unga parallel DC segmentini chizamiz va ularning uchlarini bog'laymiz. Siz kvadrat CDBA olasiz. Ushbu amalni tekislik bilan takrorlab, biz CDBAGHFE uch o'lchamli kubini olamiz. Va kubni to'rtinchi o'lchamdagi (birinchi uchtaga perpendikulyar) L masofaga siljitish orqali biz CDBAGHFEKLJIOPNM giperkubini olamiz.

Shunga o'xshab, biz ko'proq o'lchamdagi giperkublar haqidagi mulohazalarni davom ettirishimiz mumkin, ammo biz, uch o'lchovli fazoda yashovchilar uchun to'rt o'lchovli giperkub qanday ko'rinishini ko'rish qiziqroq.

Keling, ABCDHEFG sim kubini olamiz va unga yuz tomondan bir ko'z bilan qaraymiz. Biz tekislikda to'rtta chiziq - yon qirralar bilan bog'langan ikkita kvadratni (uning yaqin va uzoq tomonlarini) ko'ramiz va chizishimiz mumkin. Xuddi shunday, uch o'lchamli fazodagi to'rt o'lchovli giperkub bir-biriga kiritilgan va sakkiz qirra bilan bog'langan ikkita kubik "quti" kabi ko'rinadi. Bunday holda, "qutilar" ning o'zi - uch o'lchovli yuzlar "bizning" makonimizga proektsiyalanadi va ularni bog'laydigan chiziqlar to'rtinchi o'q yo'nalishi bo'yicha cho'ziladi. Shuningdek, siz kubni proyeksiyada emas, balki fazoviy tasvirda tasavvur qilishga harakat qilishingiz mumkin.

Xuddi uch o'lchamli kub yuzning uzunligiga siljigan kvadratdan hosil bo'lganidek, to'rtinchi o'lchamga siljigan kub giperkubni hosil qiladi. U sakkiz kub bilan cheklangan bo'lib, kelajakda juda murakkab shaklga o'xshaydi. To'rt o'lchovli giperkubning o'zi ham cheksiz miqdordagi kublarga bo'linishi mumkin, xuddi uch o'lchovli kubni cheksiz sonli tekis kvadratlarga "kesish" mumkin.

Uch o'lchamli kubning oltita yuzini kesib, uni tekis shaklga - to'rga aylantirishingiz mumkin. U asl yuzning har ikki tomonida kvadratga ega bo'ladi va yana bitta - unga qarama-qarshi yuz. To'rt o'lchovli giperkubning uch o'lchovli rivojlanishi asl kubdan, undan "o'sadigan" oltita kubdan va yana bitta - yakuniy "giperfeys" dan iborat bo'ladi.

Tesserakt shu qadar qiziqarli figuraki, u bir necha bor yozuvchilar va kino ijodkorlarining e'tiborini tortgan.
Robert E. Heinlein bir necha marta giperkublarni eslatib o'tdi. “Teal qurilgan uy” (1940) asarida u qurilgan uyni tesseraktning ochilishi sifatida tasvirlab bergan, keyin esa zilzila tufayli toʻrtinchi oʻlchovda “shakllangan” va “haqiqiy” tesseraktga aylangan. Xaynlaynning "Glory Road" romanida tashqi ko'rinishidan ko'ra ichkaridan kattaroq bo'lgan giper o'lchovli quti tasvirlangan.

Genri Kuttnerning "All Borog's Tenals" hikoyasida uzoq kelajakdagi bolalar uchun tesseraktga o'xshash o'quv o'yinchoqlari tasvirlangan.

Kub 2 syujeti: Hypercube "giperkub" yoki bir-biriga bog'langan kublar tarmog'ida qamalgan sakkizta begona odamga qaratilgan.

Parallel dunyo

Matematik abstraktsiyalar mavjudlik tushunchasini hayotga olib keldi parallel dunyolar. Bu bizniki bilan bir vaqtda mavjud bo'lgan, lekin undan mustaqil bo'lgan haqiqatlar. Parallel dunyo turli o'lchamlarga ega bo'lishi mumkin: kichik geografik hududdan butun koinotgacha. Parallel dunyoda voqealar o'ziga xos tarzda sodir bo'ladi, u bizning dunyomizdan individual tafsilotlarda ham, deyarli hamma narsada ham farq qilishi mumkin. Shu bilan birga, parallel dunyoning jismoniy qonunlari bizning koinot qonunlariga o'xshash bo'lishi shart emas.

Bu mavzu fantast yozuvchilar uchun qulay zamindir.

Salvador Dalining Xochdagi xochga mixlanishi tesseraktni tasvirlaydi. "Xochga mixlanish yoki giperkubik tana" - ispan rassomi Salvador Dalining 1954 yilda yozilgan rasmi. Tesseraktning rivojlanishi haqida xochga mixlangan Iso Masih tasvirlangan. Rasm Nyu-Yorkdagi Metropolitan san'at muzeyida saqlanadi.

Bularning barchasi 1895 yilda, HG Uells "Devordagi eshik" hikoyasi bilan fantaziya uchun parallel olamlar mavjudligini aniqlaganida boshlangan. 1923 yilda Uells parallel dunyolar g'oyasiga qaytdi va ulardan biriga "Odamlar xudolarga o'xshaydi" romani qahramonlari boradigan utopik mamlakatni joylashtirdi.

Roman e’tibordan chetda qolmadi. 1926-yilda G.Dentning “Mamlakat imperatori” qissasi “Agar “” paydo boʻldi.Dentning hikoyasida birinchi marta tarixi real mamlakatlar tarixidan boshqacha oʻtishi mumkin boʻlgan mamlakatlar (dunyolar) boʻlishi mumkin degan fikr paydo boʻldi. Bizning dunyomizda va bu dunyolar biznikidan kam emas.

1944 yilda Xorxe Luis Borxes o'zining "Badiiy hikoyalar" kitobida "Ayralangan yo'llar bog'i" qissasini nashr etdi. Bu erda vaqtning shoxlanishi g'oyasi nihoyat aniqlik bilan ifodalangan.
Yuqorida sanab o'tilgan asarlarning paydo bo'lishiga qaramay, ko'plab olamlar g'oyasi ilmiy fantastikada faqat XX asrning 40-yillari oxirida, taxminan fizikada xuddi shunday g'oya paydo bo'lgan paytda jiddiy rivojlana boshladi.

Fantastikaning yangi yo'nalishining kashshoflaridan biri Jon Biksbi bo'lib, u "Bir tomonlama ko'cha" (1954) hikoyasida dunyolar orasida faqat bitta yo'nalishda - o'z dunyosidan parallel yo'nalishga o'tishni taklif qilgan. , siz qaytib kelmaysiz, lekin siz bir dunyodan ikkinchisiga o'tasiz. Biroq, o'z dunyongizga qaytish ham istisno qilinmaydi - buning uchun dunyolar tizimi yopiq bo'lishi kerak.

Klifford Simakning “Quyosh atrofidagi halqa” (1982) romanida har biri o‘z dunyosida mavjud bo‘lgan, lekin bir xil orbitada bo‘lgan Yerning ko‘plab sayyoralari tasvirlangan va bu olamlar va bu sayyoralar bir-biridan ozgina (mikrosoniyaga) siljish bilan farq qiladi. vaqtida. Roman qahramoni tashrif buyurgan ko'plab Yerlar yagona dunyo tizimini tashkil qiladi.

Alfred Bester "Muhammadni o'ldirgan odam" (1958) hikoyasida dunyoning shoxlanishiga qiziquvchan qarashni ifodalagan. "O'tmishni o'zgartirish, - dedi hikoya qahramoni, - siz uni faqat o'zingiz uchun o'zgartirasiz." Boshqacha qilib aytganda, o'tmishni o'zgartirgandan so'ng, tarixning bir tarmog'i paydo bo'ladi, unda faqat o'zgarishlarni amalga oshirgan xarakter uchun bu o'zgarish mavjud.

Aka-uka Strugatskiylarning "Dushanba shanba kuni boshlanadi" (1962) hikoyasida qahramonlarning sayohatlari. turli xil variantlar ilmiy fantastika mualliflari tomonidan tasvirlangan kelajak - ilmiy fantastikada allaqachon mavjud bo'lgan o'tmishning turli xil versiyalariga sayohatlardan farqli o'laroq.

Biroq, dunyolar parallelizmi mavzusiga oid barcha asarlarni oddiy sanab o'tish ham juda ko'p vaqtni oladi. Ilmiy-fantastik yozuvchilar, qoida tariqasida, ko'p o'lchovlilik postulatini ilmiy asoslamasalar ham, ular bir narsada haqli - bu mavjud bo'lish huquqiga ega bo'lgan gipoteza.
Tesseraktning to'rtinchi o'lchami hali ham bizni tashrif buyurishimizni kutmoqda.

Viktor Savinov