transkript

1 MA'RUZA N Yuqori tartibli to'liq differensial, qisman hosilalar va yuqori tartibli differensiallar To'liq differensial Qisman differensiallar Yuqori tartibli qisman hosilalar Oliy tartibli differensiallar 4 Kompleks funksiyalarning hosilalari 4 Jami differensial qisman differentsiallar Agar z=f(,) funksiya differentsial bo'lsa, uning umumiy farq dz teng dz=a +B () z z A=, B = ekanligini hisobga olib, () formulani quyidagi shaklda yozamiz z z dz= + () ; d= Shundan so'ng, funktsiyaning to'liq differentsial formulasi z z dz= d + d () d + d n o'zgaruvchilar ko'rinishini oladi, keyin du= d (d =) = d z=f (,)d ifodasi. (4) z=f(,) funksiyaning o‘zgaruvchiga nisbatan qisman differentsiali deyiladi; d z=f (,)d (5) ifoda z=f(,) funksiyaning o‘zgaruvchiga nisbatan qisman differensiali deyiladi.(), (4) va (5) formulalardan kelib chiqadiki, to‘liq differensial. a funktsiya uning qisman differentsiallari yig'indisidir: dz=d z+d z o'sish z= z z + + a (,) + b (,) uning chiziqli qismidan dz= z z + faqat oxirgi a hadlar yig'indisi bilan farq qiladi. + b, 0 va 0 da chiziqli qismning hadlariga nisbatan cheksiz kichik yuqori tartibli Shuning uchun dz 0 uchun differentsiallanuvchi funktsiya o'sishning chiziqli qismi funktsiya o'sishning asosiy qismi va z taxminiy formulasi deb ataladi. dz ishlatiladi, bu qanchalik aniq bo'lsa, argumentlar o'sishlarining mutlaq qiymati shunchalik kichik bo'ladi,97 Misol Taxminan arctg(),0 hisoblang

2 Yechish f(,)=arctg() funksiyani ko‘rib chiqaylik f(x 0 + x, y 0 + y) f(x 0, y 0) + dz formulasidan foydalanib, arctg(+) arctg() + [ ni olamiz. arctg() ] + [ arctg()] yoki + + arctg() arctg() () + () =, = bo‘lsin, keyin =-0,0, =0,0 Demak, (0,0 0,0 arctg) arctg( ) + (0,0) 0,0 = arctan 0,0 = + 0,0 + () + () p = 0,05 0,0 0,75 4 z dz taxminiy formulasini qo'llash natijasida hosil bo'lgan xato = M (+) sonidan oshmasligini ko'rsatish mumkin, bu erda M. eng yuqori qiymat Argumentlar + dan + ga va dan + ga o'zgarganda ikkinchi qisman hosilalarning mutlaq qiymatlari f (,), f (,), f (,) Yuqori tartibli qisman hosilalar Agar u=f(, z) funksiyasi bo'lsa ba'zi (ochiq) sohada D o'zgaruvchilardan biriga nisbatan qisman hosila bo'lsa, topilgan hosila o'zi, z funktsiyasi bo'lib, o'z navbatida, bir nuqtada (0, 0, z 0) qisman hosilalarga ega bo'lishi mumkin. bir xil yoki boshqa oʻzgaruvchiga nisbatan u=f (, z) asl funksiyasi uchun bu hosilalar ikkinchi tartibli qisman hosilalar boʻladi.Agar birinchi hosila, masalan, ga nisbatan olingan boʻlsa, unda uning hosilasi boʻladi. , z quyidagicha belgilanadi: 0, z0) = ; = ; = yoki u, u, u z z z Uchinchi, to'rtinchi va shunga o'xshash tartiblarning hosilalari xuddi shunday aniqlanadi.E'tibor bering, qisman hosila yuqori tartib, turli o'zgaruvchilar ustidan olingan, masalan, ; aralash qisman hosila deyiladi Misol u= 4 z, u holda, u =4 z ; u = 4z; u z = 4 z; u = z u=64z; uzz = 4; u = z u = z u z = 4 z; u z =8 z; u z =6 4 z; u z =6 4 z f(,) funksiyasi D (ochiq) sohada aniqlangan,) bu sohada birinchi f va f hosilalari, shuningdek, ikkinchi aralash f va f hosilalari va nihoyat,) bu oxirgi hosilalar mavjud. f va f, u ning funksiyalari sifatida, mintaqaning qaysidir nuqtasida (0, 0) uzluksizdir D So'ngra bu nuqtada f (0, 0)=f (0, 0) Isbot Ifodani ko'rib chiqing.

3 f (0 +, 0 f (0 +, 0) f (0, 0 + f (0, 0) W=, bu yerda, nolga teng bo‘lmagan, masalan, musbat va bundan tashqari, shunchalik kichikki, D ni o‘z ichiga oladi. butun to'rtburchak [ 0, 0 +; 0, 0 +] 0 +) (, 0) ()= va shuning uchun uzluksiz Bu funksiya bilan f (0 +, 0 f (0 +, 0) f (0, 0 f () 0, 0) W= ga teng bo‘lgan W ifodasini quyidagi ko‘rinishda qayta yozish mumkin: s (0 +) s (0) W= demak: W=s (0 + th, 0 f (0 + th, 0) (0 + th)= (0<θ<) Пользуясь существованием второй производной f (,), снова применим формулу конечных приращений, на этот раз к функции от: f (0 +θ,) в промежутке [ 0, 0 +] Получим W=f (0 +θ, 0 +θ), (0<θ <) Но выражение W содержит и, с одной стороны, и и, с другой, одинаковым образом Поэтому, можно поменять их роли и, введя вспомогательную функцию: Ψ()= f (0 +,) f (0,), путем аналогичных рассуждений получить результат: W=f (0 +θ, 0 +θ) (0<θ, θ <) Из сопоставления () и (), находим f (0 +θ, 0 +θ)=f (0 +θ, 0 +θ) Устремив теперь и к нулю, перейдем в этом равенстве к пределу В силу ограниченности множителей θ, θ, θ, θ, аргументы и справа, и слева стремятся к 0, 0 А тогда, в силу (), получим: f (0, 0)=f (0, 0), что и требовалось доказать Таким образом, непрерывные смешанные производные f и f всегда равны Общая теорема о смешанных производных Пусть функция u=f(, n) от переменных определена в открытой n-мерной области D и имеет в этой области всевозможные частные производные до (n-)-го порядка включительно и смешанные производные n-го порядка, причем все эти производные непрерывны в D При этих условиях значение любой n-ой смешанной производной не зависит от того порядка, в котором производятся последовательные дифференцирования Дифференциалы высших порядков Пусть в области D задана непрерывная функция u=f(, х), имеющая непрерывные частные производные первого порядка Тогда, du= d + d + + d

4 Ko'ramiz, du ning ham funksiyasi, Agar u uchun ikkinchi tartibli uzluksiz qisman hosilalari bor deb faraz qilsak, du birinchi tartibli uzluksiz qisman hosilalarga ega bo'ladi va bu du differensialining to'liq differensialligi haqida gapirish mumkin. , d(du), u ikkinchi tartibli differensial (yoki ikkinchi differensial) deb ataladi; u d u bilan belgilanadi, d, d, d o'sishlar o'zgarmas hisoblanib, bir differensialdan ikkinchisiga o'tganda bir xil bo'lib qolishini ta'kidlaymiz (bundan tashqari, d, d nolga teng bo'ladi) Demak, d u=d(du)=d. (d + d + + d) = d() d + d() d + + d() d yoki d u = (d + d + d + + d) d + + (d + d + = d + d + + d + dd + dd + + dd + + Xuddi shunday uchinchi tartibli d u differensial aniqlanadi va hokazo.Agar u funksiya n-gacha va shu jumladan barcha tartiblarning uzluksiz qisman hosilalariga ega bo'lsa, u holda ning mavjudligi. n-differensial kafolatlanadi.Lekin ular uchun iboralar tobora murakkablashib bormoqda. Belgilanishni soddalashtiramiz Birinchi differensial ifodadagi “u” harfini chiqaramiz. Shunda belgi ramziy bo‘ladi: du=(d + d + + d) u ;d u=(d + d + + d) u ; d n n u=(d + d + + d) u, buni quyidagicha tushunish kerak: birinchidan, qavs ichidagi “ko‘pnom” rasman darajaga ko‘tariladi. algebra qoidalariga ko'ra, barcha hosil bo'lgan atamalar u ga "ko'paytiriladi" (bu raqam n ga qo'shiladi) , va shundan keyingina barcha belgilar o‘z qiymatini hosila va differensial sifatida qaytaradi u d) d u t o‘zgaruvchiga qandaydir oraliqda: =p(t), =ps(t), z=l(t) Bundan tashqari, t bo‘lsin. o'zgarishlar bo'lsa, nuqtalar (, z) mintaqadan tashqariga chiqmaydi D qiymatlarni va z ni u funksiyaga almashtirsak, kompleks funktsiyani olamiz: u=f(s(t), ps(t), l(t)) Faraz qilaylik, u ning uzluksiz qisman hosilalari u, u va u z in va z va t, t va z t mavjud bo‘lsa, unda kompleks funksiyaning hosilasi mavjudligini isbotlash va uni hisoblash mumkin.. t o‘zgaruvchisiga bir oz o‘sish t beramiz. , u holda, va z mos ravishda o'sishlarni oladi va z, u funktsiyasi o'sishni oladi u funktsiyasining o'sishini quyidagi ko'rinishda ifodalaymiz: (buni qilish mumkin, chunki biz uzluksiz qisman hosilalar mavjudligini taxmin qildik. u, u va u z) u=u +u +u z z+a +b +ch z, bu yerda a, b, ch 0 at, z 0 ikkalasini ham ajratamiz. t bo'yicha tenglikning bir qismi, biz u z z = u + u + uz + a + b + ch t t t t t t t 4 ni olamiz.

5 Endi t o'sish nolga yaqinlashamiz: u holda z nolga moyil bo'ladi, chunki t ning z si uzluksiz (biz t, t, z t hosilalari bor deb faraz qildik) va shuning uchun a, b, ch. nolga ham moyil bo'ladi Limitda biz u t =u t +u t +u z z t () ga erishamiz, biz qilingan farazlarga ko'ra, kompleks funktsiyaning hosilasi mavjudligini ko'ramiz.Agar biz differentsial yozuvdan foydalansak, u holda du d d dz () ko'rinadi. kabi , z bir nechta o'zgaruvchilarda t: =p(t, v), =ps(t, v), z=c(t, v) f(, z) funksiyaning qisman hosilalarining mavjudligi va uzluksizligidan tashqari, biz bu yerda t va v ga nisbatan funksiyalarning hosilalari bor deb faraz qilaylik, bu holat allaqachon ko‘rib chiqilganidan unchalik farq qilmaydi, chunki ikkita o‘zgaruvchili funksiyaning qisman hosilasini hisoblashda biz o‘zgaruvchilardan birini tuzatamiz va biz faqat bitta o‘zgaruvchi funksiyasi qolsa, () formulasi bir xil z bo‘ladi va () quyidagicha qayta yozilishi kerak: = + + (a) t t t z t z = + + (b) v v v z v Misol u= ; =s(t)=t ; =ps(t)=cos t u t = - t + ln t = - t- ln sint 5

Bir nechta o'zgaruvchilarning funktsiyalari Tabiiy fanlar va boshqa fanlar geometriyasining ko'plab savollarida ikkita uch yoki undan ko'p o'zgaruvchining funktsiyalari bilan shug'ullanish kerak. Misollar: S a h uchburchakning maydoni, bu erda a asosdir

13. Yuqori tartibli qisman hosilalar Let = ega va D O bo'yicha aniqlangan. Funktsiyalar va funksiyalarning birinchi tartibli qisman hosilalari yoki funktsiyaning birinchi qismli hosilalari deb ham ataladi. va umuman

Loyimaning ta'rifi Argumentning qiymatlari bo'lsin va f) va f) - ((f funktsiyasining mos qiymatlari () Farq argumentning o'sishi deb ataladi va farq oraliqdagi funktsiyaning o'sishi,

Amaliy mashq MURAKBEK VA YOSHIQ FUNKSIYANI DIFFERENSIYATI Kompleks funktsiyani differensiallash Bitta tenglama orqali berilgan noaniq funktsiyani differentsiallash Yashirin va parametrik berilgan tizimlar.

KO'P KO'P O'ZGANCHILIKLAR FUNKSIYALARI Bitta mustaqil o'zgaruvchining funksiyalari tabiatda mavjud bo'lgan barcha bog'liqliklarni qamrab olmaydi. Shunday ekan, funksional qaramlik tushunchasini kengaytirish va joriy etish tabiiy

6 Implicit funksiyalar 6.1 Ta'riflar, fon

1. Asosiy tushunchalar. Bir nechta o'zgaruvchilarning funktsiyalari. Biz ikkita va uchta o'zgaruvchining funktsiyalariga misollar yordamida bir nechta o'zgaruvchilar funktsiyasini o'rganamiz, chunki bu ta'riflarning barchasi va olingan natijalar

2.2.7. Differensialni taxminiy hisob-kitoblarga qo'llash. y = funktsiyaning differentsiali x ga bog'liq va x o'sishning asosiy qismidir. Siz formuladan ham foydalanishingiz mumkin: dy d Keyin mutlaq xato:

Ma’ruza 9. Yuqori tartibli hosilalar va differentsiallar, ularning xossalari. Funksiyaning ekstremal nuqtalari. Ferma va Rol teoremalari. y funksiya qandaydir [b] segmentida differensiallanuvchi bo‘lsin. Bunday holda, uning hosilasi

5 F F F yoki bu hosilalardan kamida bittasi mavjud bo'lmagan nuqta sirtning yagona nuqtasi deyiladi.Bunday nuqtada sirt teginish tekisligiga ega bo'lmasligi mumkin.

Aniq INTEGRAL. Integral yig'indilar va aniq integral [, b ] segmentida aniqlangan y = f () funksiya bo'lsin, bu erda< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

BIRINCHI TARTIBLI ODDIY DIFFERENTSIAL TENGLAMALAR.Asosiy tushunchalar Differensial tenglama deganda nomalum funksiya hosila yoki differentsial belgisi ostida kiruvchi tenglama tushuniladi.

6. Funksiyaning differentsiali 1. Ta’rifi va geometrik ma’nosi TA’RIF. y = f(x) funktsiya x 0 nuqtada differensiallanuvchi deyiladi, agar uning bu nuqtadagi o'sishini chiziqli funktsiyaning yig'indisi sifatida yozish mumkin bo'lsa.

Ma'ruzalar Bo'lim Bir nechta o'zgaruvchilarning funktsiyalari Asosiy tushunchalar Bir nechta o'zgaruvchilarning ba'zi funktsiyalari yaxshi ma'lum Keling, bir nechta misollar keltiraylik Uchburchakning maydonini hisoblash uchun Heron formulasi S ma'lum

~ 1 ~ KO'P O'ZG'IRGuvchilar FUNKSIYASI 3 Ikki o'zgaruvchining vazifasi, ta'rif sohasi, ko'rsatish usullari va geometrik ma'no. Ta'rif: z f, ikkita o'zgaruvchining funksiyasi deyiladi, agar har bir qiymat juftligi,

Hosilasiga nisbatan yechilgan birinchi tartibli differensial tenglamalar Yechim uchun mavjudlik va yagonalik teoremasi Umumiy holatda birinchi tartibli differensial tenglama F () ko‘rinishga ega bo‘ladi.

3-ma'ruza Bir necha o'zgaruvchili funktsiyaning ekstremumlari D sohada bir nechta o'zgaruvchili u = f (x, x) funksiya aniqlansin va x (x, x) = nuqta shu sohaga tegishli u = f ( x, x) mavjud

Modul Mavzu Funksiya ketma-ketliklari va qatorlari Ketma-ketlik va qatorlarning bir xil yaqinlashuv xossalari Quvvatli qatorlar Ma’ruza Funksiyalar ketma-ketliklari va qatorlarining ta’riflari Bir xilda.

9 Hosila va differensial 91 Masalalarni yechish uchun asosiy formulalar va ta’riflar Ta’rif y f () funksiya nuqtaning ba’zi f (D) f () Dy qo’shnisida aniqlansin D D D uchun munosabat chegarasi, agar

1 Mavzu 1. Birinchi tartibli differensial tenglamalar 1.0. Asosiy ta'riflar va teoremalar Birinchi tartibli differentsial tenglama: mustaqil o'zgaruvchi; y = y() - kerakli funksiya; y = y () uning hosilasi.

8-ma'ruza Kompleks funktsiyani differensiallash Kompleks funktsiyani ko'rib chiqaylik t t t f bu erda s t t t t t t t f t t t t t t t t t t t t t t t.

MOSKVA DAVLAT FUQARO aviatsiyasining texnika universiteti V.M. Lyubimov, E.A. Jukova, V.A. Uxova, Yu.A. Shurinov

II DIFFERENTSIAL TENGLAMALAR Birinchi tartibli differensial tenglamalar Ta'rif Noma'lum o'zgaruvchilar va ularning funktsiyalari hosila yoki differentsial belgisi ostida bo'lgan munosabatlar deyiladi.

6 Hosila tushunchasiga olib boruvchi masalalar Moddiy nuqta s f (t) qonuniga binoan bir yo‘nalishda to‘g‘ri chiziq bo‘ylab harakatlansin, bu yerda t – vaqt va s – vaqt t nuqtasi bosib o‘tgan yo‘l – ma’lum bir momentga e’tibor bering.

Ma’ruza 3. Noaniq integral. Anti hosila va noaniq integral Differensial hisoblashda masala yechiladi: berilgan f () funksiya uchun uning hosilasini (yoki differentsialini) toping. Integral hisob

1 Ma’ruza 7 Yuqori tartibli hosilalar va differentsiallar Annotatsiya: Differensiallanuvchi funksiya tushunchasi bilan tanishtirilib, birinchi differentsialning geometrik talqini berilgan va uning o‘zgarmasligi isbotlangan.

Bir nechta argumentlarning funktsiyalari X to'plamidagi har bir x element uchun funktsiya tushunchasi y \u003d f (x) qonuniga ko'ra y o'zgaruvchining bitta qiymati bilan bog'liq bo'ladi Y to'plamidan har bir juft songacha.

V.P.Belkin tomonidan tuzilgan 1 1-ma'ruza Bir nechta o'zgaruvchilar funktsiyasi 1 Asosiy tushunchalar O'zgaruvchining 1, n o'zgaruvchilarga bog'liqligi \u003d f (1, n) n argumentning funktsiyasi deb ataladi 1, n Keyingi narsalarni ko'rib chiqamiz.

DIFFERENTSIAL TENGLAMALAR Umumiy tushunchalar Differensial tenglamalar mexanika, fizika, astronomiya, texnologiya va oliy matematikaning boshqa sohalarida juda koʻp va juda xilma-xil qoʻllanilishiga ega (masalan,

I Bir necha oʻzgaruvchilar funksiyasining taʼrifi Taʼrif sohasi Koʻpgina hodisalarni oʻrganishda ikki yoki undan ortiq mustaqil oʻzgaruvchilarning funksiyalari bilan shugʻullanishga toʻgʻri keladi.Masalan, maʼlum bir momentdagi tana harorati.

8-ma’ruza Ferma, Rol, Koshi, Lagranj va L’Gospital teoremalari.

SA Lavrenchenko wwwlawrencenkoru 4-ma'ruza Murakkab funksiyalarni differentsiallash Yashirin differentsiatsiya Bir o'zgaruvchining funktsiyalari uchun differensiallash qoidasini eslang, zanjir qoidasi ham deyiladi (qarang.

Bo'lim Bir va bir necha o'zgaruvchili funksiyalarning differentsial hisobi Haqiqiy argument funksiyasi Haqiqiy sonlar Musbat butun sonlar natural sonlar deyiladi Natural sonlarga qo'shish

Seminar: “Funksiyaning differentsialligi va differentsiali” Agar y f () funktsiya nuqtada chekli hosilaga ega bo'lsa, u holda funktsiyaning bu nuqtadagi o'sishini quyidagicha ifodalash mumkin: y (,) f () () (), qayerda

Ma'ruza Inchi tartibli differensial tenglamalar Differensial tenglamalarning asosiy turlari va ularni yechish Differensial tenglamalar matematikaning eng keng tarqalgan vositalaridan biridir.

1-MAVZU HOZILMA FUNKSIYA DIFFERENTSIAL FUNKSIYA DASTURI SAVOLLARI: 11 Funksional bog`lanish Funksiya chegarasi 1 Funksiya hosilasi 1 Hosilaning mexanik fizik va geometrik ma'nosi 14 Asosiy.

M I N I S T E R S T O E D U R A O V A N I A I A N A U K I R O S I O Y FEDERAL DAVLAT AVTONOM OLIY TA’LIM MASSASASI “Milliy tadqiqot.

“Oliy matematika” FANI, kurs, semestr sirtqi o‘qish shakli MAVZU Matritsa algebra

V.V. Juk, A.M. Kamachkin Bir necha o'zgaruvchili funksiyalarning differentsialligi. Funksiyaning nuqtadagi differentsialligi. Qisman hosilalar bo'yicha differentsiallik uchun etarli shartlar. Kompleks farqlash

4-bob Funksiya chegarasi 4 1 FUNKSIYA CHEGIRASI HAQIDA TUSHUNCHA Ushbu bobda asosiy etibor funksiya limiti tushunchasiga qaratilgan. Funktsiyaning cheksizlikdagi chegarasi, so'ngra nuqtadagi chegarasi, chegaralari aniqlangan

23-MA'RUZA KANONIK O'zgartirishlar. LIUVIL TEOREMASI FAZA HACMINI SAQLASH. BEPUL TRANSFORMATSIYA FOYDALANISH FUNKSIYASI Biz kanonik o'zgarishlarni o'rganishda davom etamiz. Avval asosiy narsani eslaylik

Matematika va informatika kafedrasi Matematik tahlil Masofaviy texnologiyalardan foydalangan holda tahsil olayotgan HPE talabalari uchun o‘quv-uslubiy majmua 3-modul Bir funksiyaning differentsial hisobi.

55 r n (,) ga nisbatan kattaroq kichiklik tartibining cheksiz kichik qiymatida, bu yerda r () + (), u holda u Peano ko‘rinishida n R, r bilan ifodalanishi mumkin. Misol n uchun Teylor formulasini yozing.

Mavzu Aniq integral Aniq integral Aniq integral tushunchasiga olib keladigan masalalar Egri chiziqli trapesiya maydonini hisoblash masalasi Oksi koordinata tizimida egri chiziqli trapesiya berilgan,

5 Darajali qator 5 Darajali qator: ta’rifi, yaqinlashish sohasi (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) ko‘rinishdagi funksiya qatorlari sonlar darajali qatorlar deyiladi.

Raqamli qator Sonli ketma-ketlik Opr Sonli ketma-ketlik natural sonlar toʻplamida aniqlangan sonli funksiya x - ketma-ketlikning umumiy aʼzosi x =, x =, x =, x =,

Differensial tenglamalar ma'ruza 4 Umumiy differentsiallardagi tenglamalar. Integrallashtiruvchi omil O'qituvchi Anna Igorevna Sherstneva 9. To'liq differentsiallardagi tenglamalar d + d = 14 tenglama tenglama deyiladi.

Metallurgiya fakulteti Oliy matematika kafedrasi

Matematik tahlil Bo'lim: Bir nechta o'zgaruvchilarning funktsiyasi Mavzu: FNP ning differentsialligi (oxirgi. Kompleks FNPning qisman hosilalari va differentsiallari. Yashirin funktsiyalarning differentsiatsiyasi. O'qituvchi Rojkova S.V.

(Ferma teoremasi - Darbu teoremasi - Rol teoremasi - Lagranj teoremasi o'rtacha qiymat teoremasi - o'rtacha qiymat teoremasining geometrik talqini - Koshi teoremasi - chekli o'sish formulasi - L'Hopital qoidasi

4-bob Differensial hisoblashning asosiy teoremalari Noaniqliklarni ochib berish Differensial hisoblashning asosiy teoremalari Ferma teoremasi (Pyer Ferma (6-665) fransuz matematigi) Agar funktsiya y f.

7-MA'RUZA BIR O'ZG'IRGAN FUNKSIYANI DIFFERENTSIAL HISOBI 1 Funksiyaning hosilasi haqida tushuncha.

Belarus Respublikasi Ta'lim vazirligi Vitebsk davlat texnologiya universiteti Mavzu. “Qatorlar” Nazariy va amaliy matematika kafedrasi. dots. tomonidan ishlab chiqilgan. E.B. Dunina. Asosiy

3-ma'ruza Teylor va Maklaurin seriyasi. Darajali qatorlarni qo'llash Funksiyalarni darajali qatorlarga kengaytirish Teylor va Maklaurin seriyalari Ilovalar uchun berilgan funktsiyani darajali qatorga kengaytira olish muhim, bu funktsiyalar.

58 Aniq integral() funksiya oraliqda berilgan bo’lsin.Funksiyani uzluksiz deb ko’ramiz, garchi bu shart bo’lmasada.3, n- oraliqda shartni qanoatlantirgan holda ixtiyoriy sonlarni tanlaymiz:

Yuqori tartibli differensial tenglamalar. Konev V.V. Ma'ruza konspekti. Mundarija 1. Asosiy tushunchalar 1 2. Tartibni qisqartirishga imkon beruvchi tenglamalar 2 3. Yuqori tartibli chiziqli differensial tenglamalar.

20-ma'ruza MUKAMMEK FUNKSIYA HOSILASI HAQIDA TEOREMA. y = f(u) va u= u(x) bo'lsin. X argumentiga qarab y funksiyani olamiz: y = f(u(x)). Oxirgi funktsiya funksiya yoki kompleks funksiya deb ataladi.

Yashirin funktsiyani differentsiallash (,) = C (C = const) funktsiyasini ko'rib chiqaylik.

Moskva Aviatsiya instituti (Milliy tadqiqot universiteti) Oliy matematika bo'limi Limitlar hosilalari Bir nechta o'zgaruvchilarning funktsiyalari Ko'rsatmalar va boshqaruv variantlari

7-LABORATORIYA ISHI UMUMIY FONKSIYALAR I. ASOSIY TUSHUNCHALAR VA TEOREMALAR Haqiqiy o‘zgaruvchining barcha cheksiz differensiallanuvchi chekli funksiyalari to‘plamini D bilan belgilang. bu

3-bob. Tuzamalar yordamida funksiyalarni tekshirish 3.1. Ekstremumlar va monotonlik Ba'zi bir I R oralig'ida aniqlangan y = f () funktsiyani ko'rib chiqing. Nuqtada mahalliy maksimalga ega ekanligi aytiladi.

N.E nomidagi Moskva davlat texnika universiteti. Bauman Fundamental fanlar fakulteti Matematik modellashtirish kafedrasi A.N. Kanatnikov,

Mavzu bo'yicha RGRning ko'rsatmalari va variantlari Dizayn mutaxassisligi talabalari uchun bir nechta o'zgaruvchilar funktsiyasi. Agar miqdor miqdorlarning qiymatlarini o'rnatish orqali yagona va bir-biridan mustaqil ravishda aniqlansa,

N.E nomidagi Moskva davlat texnika universiteti. Bauman Fundamental fanlar fakulteti Matematik modellashtirish kafedrasi A.N. Kanatnikov, A.P. Krishenko

OLIY MATEMATIKA FANIDAN “ODDAY DIFFERENTSIAL TENGLAMALAR SERIAL QO‘SHIK INTEGRALLAR” KURSI UCHUN HISOBIY TOPSHIRIQLAR BO‘YICHA METODIK KO‘RSATMA III QISM MAVZU SERIAL Mundarija Seriya Sonli qatorlar Konvergentsiya va divergensiya.

Funktsiya chegarasi. Raqamlar ketma-ketligi chegarasi ta'rifi. Cheksiz sonli ketma-ketlik (yoki oddiygina sonli ketma-ketlik) barcha to'plamlarda aniqlangan f f (funktsiyasi)

19-ma'ruza HOZILAMA VA UNING QO'LLANISHI. HOZILAMA TA'RIFI. Qaysidir oraliqda aniqlangan y=f(x) funksiyaga ega bo‘lsin. Bu oraliqdan x argumentining har bir qiymati uchun y=f(x) funksiya

Bir necha o‘zgaruvchili funksiyalarning differensial hisobi Bir necha o‘zgaruvchining funksiyasi Agar biror X to‘plamga tegishli bo‘lgan har bir M n nuqta berilgan bo‘lsa, kattalik n o‘zgaruvchilar funksiyasi deyiladi.

7-MA'RUZA .Kuch

3-ma’ruza Skayar tenglama yechimi uchun mavjudlik va yagonalik teoremasi Muammoning bayoni Asosiy natija Koshi masalasini ko‘rib chiqaylik d f () d =, () =

Federal ta'lim agentligi Moskva Davlat geodeziya va kartografiya universiteti (MIIGAiK) OLIY MATEMATIKA kursi bo'yicha MUSTAQIL ISHLAB CHIQISH BO'YICHA METODIK YO'RIQMALAR VA TOPSHIRMALAR

Har bir qisman hosila (ustun x va tomonidan y) ikkita o'zgaruvchining funktsiyasi bir o'zgaruvchining funktsiyasining boshqa o'zgaruvchining qat'iy qiymati bilan oddiy hosilasidir:

(qaerda y= const),

(qaerda x= const).

Shuning uchun qisman hosilalar dan hisoblanadi bir o'zgaruvchining funksiyalarining hosilalarini hisoblash formulalari va qoidalari, boshqa o'zgaruvchini doimiy (doimiy) deb hisoblagan holda.

Agar sizga misollar tahlili va buning uchun zarur bo'lgan minimal nazariya kerak bo'lmasa, lekin sizga faqat muammoingizni hal qilish kerak bo'lsa, u holda o'ting. onlayn qisman lotin kalkulyatori .

Agar konstanta funktsiyaning qayerda ekanligini kuzatishga e'tibor qaratish qiyin bo'lsa, u holda siz misolning qoralama yechimida o'zgarmas qiymatga ega bo'lgan o'zgaruvchi o'rniga istalgan raqamni almashtirishingiz mumkin - u holda siz qisman hosilani oddiy deb tezda hisoblashingiz mumkin. bir o'zgaruvchining funksiyasining hosilasi. Tugatishda siz doimiyni (belgilangan qiymatga ega o'zgaruvchini) o'z joyiga qaytarishni unutmasligingiz kerak.

Yuqorida tavsiflangan qisman hosilalarning xossasi qisman hosila ta'rifidan kelib chiqadi, uni imtihon savollarida topish mumkin. Shuning uchun quyida keltirilgan ta'rif bilan tanishish uchun siz nazariy ma'lumotnomani ochishingiz mumkin.

Funksiyaning uzluksizligi tushunchasi z= f(x, y) nuqtada bir o'zgaruvchining funksiyasi uchun ushbu tushunchaga o'xshash tarzda aniqlanadi.

Funktsiya z = f(x, y) agar nuqtada uzluksiz deyiladi

Farq (2) funktsiyaning umumiy o'sishi deb ataladi z(har ikkala argumentni oshirish orqali olinadi).

Funktsiyaga ruxsat bering z= f(x, y) va nuqta

Funktsiya o'zgarsa z argumentlardan faqat bittasi o'zgarganda paydo bo'ladi, masalan, x, boshqa argumentning belgilangan qiymati bilan y, keyin funksiya oshiriladi

funktsiyaning qisman o'sishi deyiladi f(x, y) yoqilgan x.

Funktsiya o'zgarishini hisobga olgan holda z argumentlardan faqat bittasining o'zgarishiga qarab, biz aslida bitta o'zgaruvchining funksiyasiga o'tamiz.

Agar cheklangan chegara mavjud bo'lsa

u holda funksiyaning qisman hosilasi deyiladi f(x, y) dalil bilan x va belgilardan biri bilan belgilanadi

(4)

Qisman o'sish xuddi shunday aniqlanadi z yoqilgan y:

va qisman hosila f(x, y) yoqilgan y:

(6)

1-misol

Yechim. Biz "x" o'zgaruvchisiga nisbatan qisman hosilani topamiz:

(y qat'iy);

Biz "y" o'zgaruvchisiga nisbatan qisman hosilani topamiz:

(x belgilangan).

Ko'rib turganingizdek, o'zgaruvchining qay darajada aniqlanganligi muhim emas: bu holda, biz qisman topadigan o'zgaruvchiga ega bo'lgan omil (odatiy hosiladagi kabi) bo'lgan ba'zi bir raqamdir. hosila. Agar o'zgarmas o'zgaruvchi biz qisman hosila topadigan o'zgaruvchiga ko'paytirilmasa, u holda bu yolg'iz doimiy, oddiy hosiladagi kabi qanchalik darajada bo'lishidan qat'i nazar, yo'qoladi.

2-misol Funktsiya berilgan

Qisman hosilalarni toping

(x bo'yicha) va (y bo'yicha) va nuqtadagi qiymatlarini hisoblang LEKIN (1; 2).

Yechim. Belgilangan vaqtda y birinchi hadning hosilasi quvvat funksiyasining hosilasi sifatida topiladi ( bir o'zgaruvchining hosilaviy funktsiyalari jadvali):

.

Belgilangan vaqtda x birinchi hadning hosilasi ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasi sifatida, ikkinchisi esa doimiyning hosilasi sifatida topiladi:

Endi biz ushbu qisman hosilalarning qiymatlarini nuqtada hisoblaymiz LEKIN (1; 2):

Siz qisman hosilalar bilan masalalarning yechimini tekshirishingiz mumkin onlayn qisman lotin kalkulyatori .

3-misol Funksiyalarning qisman hosilalarini toping

Yechim. Bir qadamda biz topamiz

(y x, go'yo sinus argumenti 5 ga teng x: xuddi shu tarzda, funksiya belgisidan oldin 5 paydo bo'ladi);

(x belgilangan va bu holda bir omil hisoblanadi y).

Siz qisman hosilalar bilan masalalarning yechimini tekshirishingiz mumkin onlayn qisman lotin kalkulyatori .

Uch yoki undan ortiq o'zgaruvchining funksiyasining qisman hosilalari xuddi shunday aniqlanadi.

Agar har bir qiymat to'plami ( x; y; ...; t) to‘plamdan mustaqil o‘zgaruvchilar D ma'lum bir qiymatga mos keladi u ko'pchilikdan E, keyin u o‘zgaruvchilar funksiyasi deyiladi x, y, ..., t va belgilang u= f(x, y, ..., t).

Uch yoki undan ortiq o'zgaruvchining funktsiyalari uchun geometrik talqin mavjud emas.

Bir nechta o'zgaruvchilar funksiyasining qisman hosilalari ham mustaqil o'zgaruvchilardan faqat bittasi o'zgaradi, qolganlari esa o'zgarmas bo'ladi degan faraz ostida aniqlanadi va hisoblanadi.

4-misol Funksiyalarning qisman hosilalarini toping

.

Yechim. y va z belgilangan:

x va z belgilangan:

x va y belgilangan:

O'zingiz qisman hosilalarni toping va keyin echimlarni ko'ring

5-misol

6-misol Funksiyaning qisman hosilalarini toping.

Bir nechta o'zgaruvchili funktsiyaning qisman hosilasi bir xil bo'ladi bir o'zgaruvchining funksiyasining hosilasi sifatidagi mexanik ma'no, argumentlardan biridagi oʻzgarishga nisbatan funksiyaning oʻzgarish tezligi.

8-misol oqim miqdori P temir yo‘l yo‘lovchilari funksiya sifatida ifodalanishi mumkin

qayerda P- yo'lovchilar soni; N- tegishli punktlar aholisi soni; R- nuqtalar orasidagi masofa.

Funktsiyaning qisman hosilasi P yoqilgan R ga teng

yo'lovchilar oqimining kamayishi nuqtalardagi bir xil miqdordagi aholi uchun mos keladigan nuqtalar orasidagi masofaning kvadratiga teskari proportsional ekanligini ko'rsatadi.

Qisman hosila P yoqilgan N ga teng

yo'lovchilar oqimining o'sishi punktlar orasidagi masofa bir xil bo'lgan aholi punktlari aholisi sonining ikki barobariga mutanosib ekanligini ko'rsatadi.

Siz qisman hosilalar bilan masalalarning yechimini tekshirishingiz mumkin onlayn qisman lotin kalkulyatori .

To'liq differentsial

Qisman hosila va mos keladigan mustaqil o'zgaruvchining ko'paytmasi qisman differentsial deb ataladi. Qisman farqlar quyidagicha ifodalanadi:

Barcha mustaqil o'zgaruvchilarga nisbatan qisman differentsiallarning yig'indisi umumiy differentsialni beradi. Ikki mustaqil o'zgaruvchining funktsiyasi uchun umumiy differentsial tenglik bilan ifodalanadi

(7)

9-misol Funksiyaning to‘liq differentsialini toping

Yechim. Formuladan foydalanish natijasi (7):

Ayrim sohaning har bir nuqtasida to‘liq differentsialga ega bo‘lgan funksiya shu sohada differentsiallanuvchi deyiladi.

Jami differentsialni o'zingiz toping va keyin yechimni ko'ring

Xuddi bitta o'zgaruvchining funksiyasidagi kabi, ma'lum bir mintaqadagi funktsiyaning differentsialligi uning ushbu mintaqadagi uzluksizligini anglatadi, lekin aksincha emas.

Funksiyaning differentsiallanishi uchun yetarli shartni isbotsiz shakllantiraylik.

Teorema. Agar funktsiya z= f(x, y) uzluksiz qisman hosilalarga ega

ma'lum bir mintaqada, u holda bu mintaqada differensiallanadi va uning differensialligi (7) formula bilan ifodalanadi.

Ko'rsatish mumkinki, xuddi bitta o'zgaruvchili funktsiyada funksiyaning differentsial o'sishining asosiy chiziqli qismi bo'lgani kabi, bir nechta o'zgaruvchili funktsiyada ham to'liq differentsial bo'ladi. mustaqil o'zgaruvchilarning o'sishiga nisbatan asosiy, chiziqli, funktsiyaning umumiy o'sish qismi.

Ikki o'zgaruvchili funktsiya uchun funktsiyaning umumiy o'sishi shaklga ega

(8)

bu yerda a va b va uchun cheksiz kichikdir.

Yuqori tartibli qisman hosilalar

Qisman hosilalar va funksiyalar f(x, y) o'zlari bir xil o'zgaruvchilarning ba'zi funktsiyalari bo'lib, o'z navbatida, turli o'zgaruvchilarga nisbatan hosilalarga ega bo'lishi mumkin, ular yuqori tartibli qisman hosilalar deb ataladi.

Ikki o‘zgaruvchili funksiyalarning qisman hosilalari.
Tushuncha va yechimlar misollari

Ushbu darsda biz ikkita o'zgaruvchining funktsiyasi bilan tanishishni davom ettiramiz va, ehtimol, eng keng tarqalgan tematik vazifa - topishni ko'rib chiqamiz. birinchi va ikkinchi tartibli qisman hosilalari, shuningdek, funktsiyaning umumiy differentsiali. Sirtqi ta'lim talabalari, qoida tariqasida, 1-kursda 2-semestrda qisman hosilalarga duch kelishadi. Bundan tashqari, mening kuzatishlarimga ko'ra, qisman hosilalarni topish vazifasi deyarli har doim imtihonda topiladi.

Quyidagi materialni samarali o'rganish uchun siz zarur bir o‘zgaruvchining funksiyasining “odatiy” hosilalarini ozmi-ko‘pmi ishonch bilan topa olish. Derivativlarni to'g'ri ishlashni darslarda o'rganishingiz mumkin hosilani qanday topish mumkin? va Murakkab funktsiyaning hosilasi. Bizga elementar funktsiyalarning hosilalari jadvali va differentsiatsiya qoidalari kerak, agar u bosma shaklda bo'lsa, eng qulaydir. Ma'lumotnomani sahifada topishingiz mumkin Matematik formulalar va jadvallar.

Keling, ikkita o'zgaruvchining funksiyasi tushunchasini tezda takrorlaylik, men o'zimni minimal darajada cheklashga harakat qilaman. Ikki o'zgaruvchining funksiyasi odatda sifatida yoziladi, o'zgaruvchilar chaqiriladi mustaqil o'zgaruvchilar yoki argumentlar.

Misol: - ikkita o'zgaruvchining funksiyasi.

Ba'zan belgi qo'llaniladi. Harf o'rniga harf qo'llaniladigan vazifalar ham mavjud.

Geometrik nuqtai nazardan, ikkita o'zgaruvchining funktsiyasi ko'pincha uch o'lchovli fazoning yuzasi (tekislik, silindr, shar, paraboloid, giperboloid va boshqalar). Ammo, aslida, bu allaqachon ko'proq analitik geometriya va bizda kun tartibida matematik tahlil bor, uni universitet o'qituvchim hech qachon mening "otim" deb yozishga ruxsat bermagan.

Birinchi va ikkinchi tartiblarning qisman hosilalarini topish masalasiga murojaat qilamiz. Bir necha chashka qahva ichgan va tasavvur qilib bo'lmaydigan darajada qiyin materialga tayyor bo'lganlar uchun yaxshi xabarim bor: qisman hosilalari bir oʻzgaruvchining funksiyasining “oddiy” hosilalari bilan deyarli bir xil..

Qisman hosilalar uchun barcha differentsiallash qoidalari va elementar funksiyalarning hosilalari jadvali amal qiladi. Faqat bir nechta kichik farqlar bor, biz hozir bilib olamiz:

... ha, aytmoqchi, men ushbu mavzu uchun yaratdim Kichik pdf kitob, bu sizga bir necha soat ichida "qo'lingizni to'ldirish" imkonini beradi. Ammo, saytdan foydalanib, siz, albatta, natijaga erishasiz - ehtimol biroz sekinroq:

1-misol

Funksiyaning birinchi va ikkinchi tartibli qisman hosilalarini toping

Birinchidan, biz birinchi tartibning qisman hosilalarini topamiz. Ulardan ikkitasi bor.

Belgilash:
yoki - "x" ga nisbatan qisman hosila
yoki - "y" ga nisbatan qisman hosila

dan boshlaylik. "X" ga nisbatan qisman hosilani topsak, o'zgaruvchi doimiy (doimiy son) hisoblanadi..

Amalga oshirilgan harakatlar bo'yicha sharhlar:

(1) Qisman hosilani topishda birinchi qiladigan ishimiz xulosa chiqarishdir hammasi tire ostidagi qavs ichida funksiya subscript bilan.

Diqqat muhim! Yechim jarayonida subscripts YO'qotmaydi. Bunday holda, agar siz biron bir joyda "zarba" chizsangiz, o'qituvchi, hech bo'lmaganda, uni vazifaning yoniga qo'yishi mumkin (e'tiborsizlik uchun darhol ballning bir qismini tishlab oling).

(2) Farqlash qoidalaridan foydalaning , . Bu kabi oddiy misol uchun ikkala qoida ham bir bosqichda qo'llanilishi mumkin. Birinchi muddatga e'tibor bering: beri doimiy deb hisoblanadi va hosila belgisidan istalgan doimiyni olish mumkin, keyin biz uni qavslardan chiqaramiz. Ya'ni, bu vaziyatda u oddiy raqamdan yaxshiroq emas. Endi uchinchi muddatga qaraylik: bu erda, aksincha, olib tashlash uchun hech narsa yo'q. Bu doimiy bo'lgani uchun u ham doimiydir va bu ma'noda oxirgi atama - "etti" dan yaxshiroq emas.

(3) Biz jadvalli hosilalardan foydalanamiz va .

(4) Biz javobni soddalashtiramiz yoki men aytmoqchi bo'lganimdek, "birlashtiramiz".

Endi . "y" ga nisbatan qisman hosilani topsak, u holda o'zgaruvchidoimiy (doimiy son) hisoblanadi.

(1) Biz bir xil farqlash qoidalaridan foydalanamiz , . Birinchi hadda hosila belgisidan tashqari doimiyni chiqaramiz, ikkinchi hadda esa hech narsani chiqarib bo'lmaydi, chunki u allaqachon doimiydir.

(2) Biz elementar funksiyalarning hosilalari jadvalidan foydalanamiz. Jadvaldagi barcha "X" ni "Y" ga aqliy ravishda o'zgartiring. Ya'ni, bu jadval teng darajada amal qiladi (va haqiqatan ham deyarli har qanday harf uchun). Xususan, biz foydalanadigan formulalar quyidagicha ko'rinadi: va .

Qisman hosilalarning ma'nosi nima?

Ularning mohiyatida 1-tartibli qisman hosilalar o'xshaydi "oddiy" hosila:

- bu funktsiyalari, xarakterlovchi o'zgarish darajasi o'qlar yo'nalishi bo'yicha va mos ravishda ishlaydi. Masalan, funktsiya "ko'tarilish" va "qiyaliklarning" tikligini tavsiflaydi yuzalar abscissa o'qi yo'nalishi bo'yicha va funksiya bizga bir xil sirtning ordinata o'qi yo'nalishidagi "relyefi" haqida gapiradi.

! Eslatma : bu erda ko'rsatmalarga ishora qiladi paralleldir koordinata o'qlari.

Yaxshiroq tushunish uchun tekislikning ma'lum bir nuqtasini ko'rib chiqing va undagi funktsiyaning ("balandlik") qiymatini hisoblang:
- va endi siz shu erda ekanligingizni tasavvur qiling (Juda yuzada).

Berilgan nuqtada "x" ga nisbatan qisman hosilani hisoblaymiz:

"X" hosilasining salbiy belgisi bizga bu haqda gapirib beradi tushayotgan x o'qi yo'nalishidagi nuqtada ishlaydi. Boshqacha qilib aytganda, biz kichik-kichik qilsak (cheksiz) o'qning uchiga qadam qo'ying (ushbu o'qga parallel), keyin sirtning qiyalik bo'ylab pastga tushing.

Endi biz y o'qi yo'nalishi bo'yicha "er" ning tabiatini bilib olamiz:

"y" ga nisbatan hosila ijobiy, shuning uchun eksa bo'ylab bir nuqtada funktsiya ortadi. Agar bu juda oddiy bo'lsa, bu erda biz yuqoriga ko'tarilishni kutmoqdamiz.

Bundan tashqari, bir nuqtada qisman hosila xarakterlanadi o'zgarish darajasi tegishli yo‘nalishda faoliyat yuritadi. Olingan qiymat qanchalik katta bo'lsa modul- sirt qanchalik tik bo'lsa va aksincha, u nolga qanchalik yaqin bo'lsa, sirt tekisroq bo'ladi. Demak, bizning misolimizda abscissa o'qi yo'nalishidagi "qiyalik" ordinata o'qi yo'nalishidagi "tog'" dan tikroqdir.

Ammo bu ikkita shaxsiy yo'l edi. Biz turgan joydan shunisi aniqki, (va umuman berilgan sirtning istalgan nuqtasidan) biz boshqa yo'nalishda harakat qilishimiz mumkin. Shunday qilib, bizga sirtning "landshafti" haqida ma'lumot beradigan umumiy "navigatsiya jadvali" ni tuzishga qiziqish mavjud. iloji bo'lsa har bir nuqtada ushbu funktsiya doirasi barcha mavjud usullarda. Bu va boshqa qiziqarli narsalar haqida keyingi darslardan birida gaplashaman, ammo hozircha masalaning texnik tomoniga qaytaylik.

Biz oddiy qo'llaniladigan qoidalarni tizimlashtiramiz:

1) orqali farqlansak, o‘zgaruvchi doimiy hisoblanadi.

2) differensiatsiya bo'yicha amalga oshirilganda, keyin doimiy hisoblanadi.

3) Elementar funktsiyalarning hosilalari qoidalari va jadvali har qanday o'zgaruvchi (yoki boshqa) uchun amal qiladi va farqlash amalga oshiriladi.

Ikkinchi qadam. Ikkinchi tartibli qisman hosilalarni topamiz. Ulardan to'rttasi bor.

Belgilash:
yoki - "x" ga nisbatan ikkinchi hosila
yoki - "y" ga nisbatan ikkinchi hosila
yoki - aralashgan hosila "x by y"
yoki - aralashgan hosilasi "X bilan Y"

Ikkinchi lotin bilan hech qanday muammo yo'q. Oddiy qilib aytganda, ikkinchi hosila birinchi hosilaning hosilasidir.

Qulaylik uchun men allaqachon topilgan birinchi darajali qisman hosilalarni qayta yozaman:

Avval aralash hosilalarni topamiz:

Ko'rib turganingizdek, hamma narsa oddiy: biz qisman lotinni olamiz va uni yana farqlaymiz, lekin bu holda, allaqachon "y" bilan.

Xuddi shunday:

Amaliy misollarda siz quyidagi tenglikka e'tibor qaratishingiz mumkin:

Shunday qilib, ikkinchi tartibli aralash hosilalar orqali biz birinchi tartibning qisman hosilalarini to'g'ri topganimizni tekshirish juda qulaydir.

Biz "x" ga nisbatan ikkinchi hosilani topamiz.
Ixtirolar yo'q, biz qabul qilamiz va uni yana "X" bilan farqlang:

Xuddi shunday:

Shuni ta'kidlash kerakki, topishda siz ko'rsatishingiz kerak e'tiborni kuchaytirdi, chunki ularni sinash uchun mo''jizaviy tenglik yo'q.

Ikkinchi hosilalar ham keng amaliy qo'llanilishini topadi, xususan, ular topish masalasida qo'llaniladi ikki o'zgaruvchili funktsiyaning ekstremasi. Ammo hamma narsaning o'z vaqti bor:

2-misol

Nuqtadagi funksiyaning birinchi tartibli qisman hosilalarini hisoblang. Ikkinchi tartibli hosilalarni toping.

Bu o'z-o'zini hal qilish uchun misol (dars oxiridagi javoblar). Agar siz ildizlarni farqlashda qiynalsangiz, darsga qayting hosilani qanday topish mumkin? Umuman olganda, tez orada siz xuddi shunday hosilalarni tezda qanday topishni o'rganasiz.

Biz qo'limizni yanada murakkab misollar bilan to'ldiramiz:

3-misol

Buni tekshiring. Birinchi tartibdagi to‘liq differensialni yozing.

Yechish: Birinchi tartibli qisman hosilalarni topamiz:

Pastki belgiga e'tibor bering: "x" yonida uning doimiy ekanligini qavs ichida yozish taqiqlanmaydi. Ushbu belgi yangi boshlanuvchilar uchun yechimni boshqarishni osonlashtirish uchun juda foydali bo'lishi mumkin.

Qo'shimcha sharhlar:

(1) hosila belgisidan tashqaridagi barcha konstantalarni chiqaramiz. Bunda, va, va, demak, ularning hosilasi doimiy son hisoblanadi.

(2) Ildizlarni qanday qilib to'g'ri ajratishni unutmang.

(1) hosila belgisidan barcha konstantalarni chiqaramiz, bu holda konstanta .

(2) Asosiy ostida biz ikkita funktsiyaning mahsulotiga egamiz, shuning uchun biz mahsulotni farqlash qoidasidan foydalanishimiz kerak. .

(3) Bu murakkab funktsiya ekanligini unutmang (garchi murakkab bo'lganlarning eng oddiyi bo'lsa ham). Biz tegishli qoidadan foydalanamiz: .

Endi biz ikkinchi tartibli aralash hosilalarni topamiz:

Bu shuni anglatadiki, barcha hisob-kitoblar to'g'ri.

Keling, umumiy differentsialni yozamiz. Ko'rib chiqilayotgan vazifa kontekstida ikkita o'zgaruvchining funktsiyasining umumiy differentsialligi nima ekanligini aytishning ma'nosi yo'q. Ushbu farqni ko'pincha amaliy masalalarda yozib qo'yish kerakligi muhimdir.

Jami birinchi tartibli differensial Ikki o'zgaruvchining funktsiyalari quyidagi shaklga ega:

Ushbu holatda:

Ya'ni, formulada siz shunchaki ahmoqona birinchi tartibning allaqachon topilgan qisman hosilalarini almashtirishingiz kerak. Differensial piktogramma va shu va shunga o'xshash holatlarda, agar iloji bo'lsa, numeratorlarda yozish yaxshidir:

Va o'quvchilarning takroriy iltimosiga binoan, ikkinchi tartibli to'liq differentsial.

Bu shunday ko'rinadi:

2-tartibdagi "bitta harfli" hosilalarni EHTIYOT bilan toping:

va "yirtqich hayvonni" yozing, ehtiyotkorlik bilan kvadratlarni, mahsulotni "biriktiring" va aralash hosilani ikki baravar oshirishni unutmang:

Agar biror narsa qiyin bo'lib tuyulsa, yaxshi, farqlash texnikasini olganingizdan so'ng, hosilalarga keyinroq qaytishingiz mumkin:

4-misol

Funksiyaning birinchi tartibli qisman hosilalarini toping . Buni tekshiring. Birinchi tartibdagi to‘liq differensialni yozing.

Murakkab funktsiyalarga ega bo'lgan bir qator misollarni ko'rib chiqing:

5-misol

Funksiyaning birinchi tartibli qisman hosilalarini toping.

Yechim:

6-misol

Funksiyaning birinchi tartibli qisman hosilalarini toping .
Umumiy farqni yozing.

Bu o'z-o'zini hal qilish uchun misol (dars oxirida javob). Men to'liq yechimni e'lon qilmayman, chunki bu juda oddiy.

Ko'pincha yuqoridagi barcha qoidalar birgalikda qo'llaniladi.

7-misol

Funksiyaning birinchi tartibli qisman hosilalarini toping .

(1) Biz yig'indini farqlash qoidasidan foydalanamiz

(2) Bu holda birinchi atama doimiy hisoblanadi, chunki ifodada "x" ga bog'liq bo'lgan hech narsa yo'q - faqat "y". Bilasizmi, kasrni nolga aylantirish har doim yoqimli). Ikkinchi muddat uchun biz mahsulotni farqlash qoidasini qo'llaymiz. Aytgancha, bu ma'noda, agar uning o'rniga funktsiya berilsa, hech narsa o'zgarmas edi - bu erda muhim Ikki funktsiyaning mahsuloti, Ularning har biri o'ziga bog'liq "X", va shuning uchun siz mahsulotni farqlash qoidasidan foydalanishingiz kerak. Uchinchi muddat uchun biz murakkab funktsiyani differentsiallash qoidasini qo'llaymiz.

(1) Numerator va maxrajdagi birinchi atama "y" ni o'z ichiga oladi, shuning uchun siz qismni farqlash uchun qoidadan foydalanishingiz kerak: . Ikkinchi atama FAQAT "x" ga bog'liq, ya'ni u doimiy hisoblanadi va nolga aylanadi. Uchinchi atama uchun biz murakkab funksiyani differentsiallash qoidasidan foydalanamiz.

Darsning oxiriga qadar jasorat bilan erishgan o'quvchilar uchun men sizga eski Mehmatov latifasini aytib beraman:

Bir marta funksiyalar maydonida yovuz lotin paydo bo'ldi va u qanday qilib hammani farqlash uchun ketdi. Barcha funktsiyalar har tomonga tarqaladi, hech kim burilishni xohlamaydi! Va faqat bitta funktsiya hech qayerdan qochib qutula olmaydi. Loyixa unga yaqinlashadi va so'raydi:

— Nega mendan qochmayapsiz?

- Ha. Lekin menga farqi yo'q, chunki men "x kuchiga e"man va siz menga hech narsa qila olmaysiz!

Bunga yovuz hosila makkor tabassum bilan javob beradi:

- Bu erda siz noto'g'risiz, men sizni "y" bilan farqlayman, shuning uchun siz uchun nol bo'ling.

Kim hazilni tushundi, u lotinlarni o'zlashtirdi, hech bo'lmaganda "troyka" uchun).

8-misol

Funksiyaning birinchi tartibli qisman hosilalarini toping .

Bu o'z-o'zidan bajariladigan misol. To'liq yechim va muammoning namunaviy dizayni dars oxirida.

Xo'sh, bu deyarli hammasi. Nihoyat, matematiklarni yana bir misol bilan xursand qilmasdan ilojim yo'q. Bu hatto havaskorlar haqida ham emas, har kimning matematik tayyorgarlik darajasi har xil - qiyinroq vazifalar bilan raqobat qilishni yaxshi ko'radigan odamlar (va unchalik kam emas) bor. Garchi, bu darsdagi oxirgi misol hisob-kitoblar nuqtai nazaridan unchalik murakkab emas.

Amaliy ish №2

"Funksiya farqi"

Darsning maqsadi: Berilgan mavzu bo‘yicha misol va masalalar yechishni o‘rganing.

Nazariy savollar (boshlang'ich daraja):

1. Ekstremumgacha bo'lgan funktsiyalarni o'rganish uchun hosilalardan foydalanish.

2. Funksiyaning differensialligi, uning geometrik va fizik ma’nosi.

3. Bir necha o‘zgaruvchili funksiyaning to‘liq differentsiali.

4. Tananing holati ko'p o'zgaruvchilar funktsiyasi sifatida.

5. Taxminiy hisob-kitoblar.

6. Qisman hosilalar va to‘liq differentsialni topish.

7. Ushbu tushunchalarning farmakokinetika, mikrobiologiya va boshqalarda qo'llanilishiga misollar.

(o'z-o'zini tarbiyalash)

1. dars mavzusi bo'yicha savollarga javob berish;

2. misollar yechish.

Misollar

Quyidagi funksiyalarning differentsiallarini toping:

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)
10)	11)	12)
13)	14)	15)
16)	17)	18)
19)	20)

Funktsiyalarni o'rganish uchun hosilalardan foydalanish

y = f(x) funksiyaning [a, b] segmentida ortishi sharti.

y=f(x) funksiyaning [a, b] segmentida kamayishi sharti.

x= a da maksimal y=f(x) funksiyaning sharti

f"(a)=0 va f""(a)<0

Agar x \u003d a uchun f "(a) \u003d 0 va f "(a) \u003d 0 hosilalari bo'lsa, u holda x \u003d a nuqtasi yaqinida f "(x) ni tekshirish kerak. Funktsiya x \u003d a uchun y \u003d f (x) maksimalga ega , agar x \u003d nuqtadan o'tayotganda va f "(x) hosilasi belgisi "+" dan "-" ga o'zgartirilsa, minimal bo'lsa - "-" dan "+" gacha Agar x = a nuqtadan o'tganda f "(x) belgisi o'zgarmasa, u holda bu nuqtada funktsiya ekstremumga ega emas.

Funktsiya differensial.

Mustaqil o'zgaruvchining differensialligi uning o'sishiga teng:

Funktsiya differensiali y=f(x)

Ikki funktsiya yig'indisining (farqining) differensiali y=u±v

Ikki funktsiya ko'paytmasining differensiali y=uv

Ikki funktsiyaning y=u/v bo'lakli differensialligi

dy=(vdu-udv)/v 2

Funktsiyaning o'sishi

Dy \u003d f (x + Dx) - f (x) ≈ dy ≈ f "(x) Dx

Bu erda Dx: argumentning o'sishi.

Funktsiya qiymatini taxminiy hisoblash:

f(x + Dx) ≈ f(x) + f "(x) Dx

Differensialni taxminiy hisoblarda qo'llash

Differensial u \u003d f (x, y, z.) bilvosita o'lchovlardagi mutlaq va nisbiy xatolarni hisoblash uchun ishlatiladi. O'lchov natijasining mutlaq xatosi

du≈Du≈|du/dx|Dx+|du/dy|Dy+|du/dz|Dz+…

O'lchov natijasining nisbiy xatosi

du/u≈Du/u≈(|du/dx|Dx+|du/dy|Dy+|du/dz|Dz+…)/u

FUNKSIYA DIFFERENTIAL.

Funktsiya o'sishining asosiy qismi sifatida funktsiya differentsiali va. Funktsiyaning differentsial tushunchasi hosila tushunchasi bilan chambarchas bog'liq. Funktsiyaga ruxsat bering f(x) berilgan qiymatlar uchun uzluksiz X va hosilasiga ega

D f/Dx = f¢(x) + a(Dx), funktsiya o'sishi qaerdan Df = f¢(x)Dx + a(Dx)Dx, qayerda a(Dx) ® 0 da Dx ® 0. Cheksiz kichiklar tartibini aniqlaylik f¢(x)Dx Dx.:

Shuning uchun, cheksiz kichik f¢(x)Dx va Dx bir xil kattalik tartibiga ega, ya'ni f¢(x)Dx = O.

Cheksiz kichiklar tartibini aniqlaylik a(Dx)Dx cheksiz kichikga nisbatan Dx:

Shuning uchun, cheksiz kichik a(Dx)Dx cheksiz kichiklikdan yuqori kichiklik tartibiga ega Dx, ya'ni a(Dx)Dx = o.

Shunday qilib, cheksiz kichik o'sish Df differensiallanuvchi funksiya ikki had shaklida ifodalanishi mumkin: cheksiz kichik f¢(x)Dx bilan bir xil kichiklik tartibida Dx va cheksiz kichik a(Dx)Dx cheksiz kichikga nisbatan kichiklikning yuqori tartibi Dx. Bu tenglikni anglatadi Df=f¢(x)Dx + a(Dx)Dx da Dx® 0 ikkinchi muddat birinchisiga qaraganda "tezroq" nolga intiladi, ya'ni. a(Dx)Dx = o.

Birinchi muddat f¢(x)Dx, ga nisbatan chiziqli Dx, chaqirildi funktsiya differentsiali f(x) nuqtada X va belgilang dy yoki df("de o'yin" yoki "de ef" ni o'qing). Shunday qilib,

dy = df = f¢(x)Dx.

Differensialning analitik ma'nosi funktsiyaning differensialligi funktsiya o'sishining asosiy qismi ekanligida yotadi Df, argumentning o'sishiga nisbatan chiziqli Dx. Funktsiyaning differensialligi funktsiyaning o'sishidan kichiklikning yuqori tartibli cheksiz kichik soni bilan farq qiladi. Dx. Haqiqatan ham, Df=f¢(x)Dx + a(Dx)Dx yoki Df = df + a(Dx)Dx . Argumentlar farqi dx uning o'sishiga teng Dx: dx=Dx.

Misol. Funksiyaning differentsial qiymatini hisoblang f(x) = x 3 + 2x, qachon X 1 dan 1,1 gacha o'zgarib turadi.

Yechim. Bu funksiyaning differentsialining umumiy ifodasini topamiz:

Qiymatlarni almashtirish dx=Dx=1,1–1= 0,1 va x=1 oxirgi formulada biz differentsialning kerakli qiymatini olamiz: df½ x=1; = 0,5.

QISMAN HOSILALAR VA DIFFERENTIALLAR.

Birinchi tartibli qisman hosilalar. z = f(x,y) funksiyaning birinchi tartibli qisman hosilasi ) argument bilan X ko'rib chiqilgan nuqtada (x; y) chegara deb ataladi

agar mavjud bo'lsa.

Funktsiyaning qisman hosilasi z = f(x, y) argument bilan X quyidagi belgilardan biri bilan belgilanadi:

Xuddi shunday, ga nisbatan qisman hosila da formula bilan belgilanadi va aniqlanadi:

Qisman hosila bitta argument funktsiyasining oddiy hosilasi bo'lgani uchun uni hisoblash qiyin emas. Buning uchun har bir holatda argumentlarning qaysi biri “doimiy son” sifatida qabul qilinishi va qaysi biri “differentsiatsiya o‘zgaruvchisi” bo‘lib xizmat qilishini hisobga olib, shu paytgacha ko‘rib chiqilgan barcha farqlash qoidalaridan foydalanish kerak.

Izoh. Masalan, argumentga nisbatan qisman hosilani topish x – df/dx, funksiyaning oddiy hosilasini topish kifoya f(x,y), ikkinchisini bitta argumentning funksiyasi deb hisoblasak X, a da- doimiy; topmoq df/dy- aksincha.

Misol. Funktsiyaning qisman hosilalari qiymatlarini toping f(x,y) = 2x2 + y2 nuqtada P(1;2).

Yechim. Hisoblash f(x,y) yagona argument funktsiyasi X va farqlash qoidalaridan foydalanib, biz topamiz

Shu nuqtada P(1;2) hosilaviy qiymat

f(x; y) ni bitta y argumentining funksiyasi sifatida ko‘rib chiqamiz

Shu nuqtada P(1;2) hosilaviy qiymat

TALABANING MUSTAQIL ISHI UCHUN TOPSHIRGI:

Quyidagi funksiyalarning differentsiallarini toping:

Quyidagi vazifalarni hal qiling:

1. Tomoni x = 10 sm bo'lgan kvadratning tomoni 0,01 sm ga kamaytirilsa, uning maydoni qanchaga kamayadi?

2. Tana harakati tenglamasi berilgan: y=t 3 /2+2t 2 , bu yerda s metrda, t soniyada ifodalangan. Harakat boshidan t=1,92 s ichida jism bosib o'tgan s yo'lni toping.

ADABIYOT

1. Lobotskaya N.L. Oliy matematika asoslari - M .: "Oliy maktab", 1978.C198-226.

2. Beyli N. Biologiya va tibbiyotda matematika. Per. ingliz tilidan. M.: Mir, 1970 yil.

3. Remizov A.N., Isakova N.X., Maksina L.G. Tibbiy va biologik fizika muammolari to'plami - M .: "Oliy maktab", 1987. C16-20.

Ikki o‘zgaruvchili funksiya tushunchasi

Qiymat z chaqirdi ikkita mustaqil o'zgaruvchining funksiyasi x va y, agar ushbu miqdorlarning ruxsat etilgan qiymatlarining har bir juftligi, ma'lum bir qonunga ko'ra, miqdorning aniq belgilangan bir qiymatiga to'g'ri kelsa. z. Mustaqil o'zgaruvchilar x va y chaqirdi argumentlar funktsiyalari.

Bunday funksional bog'liqlik analitik tarzda belgilanadi

Z = f (x, y),(1)

Funktsiyaning haqiqiy qiymatlariga mos keladigan x va y argumentlarining qiymatlari z, hisobga olinadi joizdir, va x va y qiymatlarining barcha ruxsat etilgan juftliklari to'plami deyiladi ta'rif sohasi ikkita o'zgaruvchining funktsiyalari.

Bir o'zgaruvchining funksiyasidan farqli o'laroq, bir nechta o'zgaruvchili funktsiya uchun uning tushunchalari qisman o'sishlar argumentlar va tushunchalarning har biri uchun to'liq o'sish.

Argument bo‘yicha z=f (x,y) funksiyaning D x z qisman o‘sishi x - bu funktsiyaning argumenti x oshirilsa, oladigan o'sish Dx xuddi shu bilan y:

Dxz = f (x + Dx, y) -f (x, y), (2)

z= f (x, y) funksiyaning y argumentiga nisbatan qisman D y z o‘sish, agar uning y argumenti x o‘zgarmagan holda Dy o‘sish qabul qilsa, bu funksiya oladigan o‘sishdir:

Dy z= f (x, y + Dy) – f (x, y) , (3)

To'liq o'sish Dz funktsiyalari z= f (x, y) argumentlar bilan x va y Agar funktsiyaning ikkala argumenti oshirilsa, oladigan o'sish deyiladi:

Dz= f (x+Dx, y+Dy) – f (x, y) , (4)

Etarlicha kichik o'sishlar uchun Dx va dy funktsiya argumentlari

taxminan tenglik mavjud:

∆z ∆xz + ∆yz , (5)

va u qanchalik aniq bo'lsa, shunchalik kam Dx va dy.

Ikki o‘zgaruvchili funksiyalarning qisman hosilalari

z=f (x, y) funksiyaning (x, y) nuqtadagi x argumentiga nisbatan qisman hosilasi. qisman o'sish nisbati chegarasi deyiladi ∆xz bu funktsiyani mos keladigan o'sish uchun Dx intilish paytida x argumenti Dx 0 gacha va bu chegara mavjud bo'lganda:

, (6)

Funktsiyaning hosilasi ham xuddi shunday aniqlanadi z=f (x, y) argument bilan y:

Ko'rsatilgan belgilarga qo'shimcha ravishda, funktsiyalarning qisman hosilalari ham quyidagi bilan belgilanadi: zN x , fN x (x, y); , zN y , fN y (x, y).

Qisman hosilaning asosiy ma'nosi quyidagicha: bir nechta o'zgaruvchili funktsiyaning har qanday argumentiga nisbatan qisman hosilasi ushbu argument o'zgarganda ushbu funktsiyaning o'zgarish tezligini tavsiflaydi.

Har qanday argumentga nisbatan bir nechta o'zgaruvchili funktsiyaning qisman hosilasini hisoblashda ushbu funktsiyaning barcha boshqa argumentlari doimiy deb hisoblanadi.

Misol 1. Funksiyalarning qisman hosilalarini toping

f (x, y)= x 2 + y 3

Yechim. Bu funksiyaning x argumentiga nisbatan qisman hosilasini topishda y argumenti doimiy qiymat hisoblanadi:

;

y argumentiga nisbatan qisman hosilani topishda x argumenti doimiy qiymat hisoblanadi:

.

Bir necha o‘zgaruvchili funksiyaning qisman va to‘liq differentsiallari

Bir necha o'zgaruvchining qaysiga nisbatan qisman differentsiallanishi-yoki uning argumentlaridan berilgan argumentga nisbatan ushbu funktsiyaning qisman hosilasi va ushbu argumentning differentsial ko'paytmasi:

dxz=,(7)

dyz= (8)

Bu yerda d x z va d y z-funksiyaning qisman differentsiallari z= f (x, y) argumentlar bilan x va y. Qayerda

dx= ∆x; dy=Dy, (9)

to'liq differentsial Bir nechta o'zgaruvchilarning funksiyasi uning qisman differentsiallarining yig'indisi deyiladi:

dz= d x z + d y z, (10)

2-misol Funksiyaning qisman va to‘liq differentsiallarini toping f (x, y)= x 2 + y 3 .

Ushbu funktsiyaning qisman hosilalari 1-misolda topilganligi sababli, biz olamiz

dxz= 2xdx; d y z= 3y 2 dy;

dz= 2xdx + 3y 2dy

Har bir argumentga nisbatan bir necha oʻzgaruvchili funksiyaning qisman differentsiallanishi funksiyaning tegishli qisman oʻsishining asosiy qismidir..

Natijada shunday yozish mumkin:

∆xz dxz, ∆yz d yz, (11)

Umumiy differentsialning analitik ma'nosi shundan iboratki, bir nechta o'zgaruvchili funktsiyaning to'liq differentsiali bu funktsiyaning umumiy o'sishining asosiy qismidir..

Shunday qilib, taxminan tenglik mavjud

∆zdz, (12)

(12) formuladan foydalanish taxminiy hisob-kitoblarda umumiy differensialdan foydalanishga asoslangan.

O'sishni tasavvur qiling dz sifatida

f (x + Dx; y + Dy) – f (x, y)

va shakldagi jami differensial

Keyin biz olamiz:

f (x + Dx, y + Dy) – f (x, y) ,

, (13)

3. Darsda talabalarning maqsadi:

Talaba bilishi kerak:

1. Ikki o‘zgaruvchili funksiya ta’rifi.

2. Ikki o'zgaruvchili funktsiyaning qisman va to'liq o'sishi haqida tushuncha.

3. Bir necha o‘zgaruvchili funksiyaning qisman hosilasini aniqlash.

4. Bir necha o‘zgaruvchili funksiyaning qisman hosilasining uning har qanday argumentiga nisbatan fizik ma’nosi.

5. Bir necha o‘zgaruvchili funksiyaning qisman differentsialini aniqlash.

6. Bir necha o‘zgaruvchili funksiyaning to‘liq differentsialini aniqlash.

7.To'liq differentsialning analitik ma'nosi.

Talaba quyidagilarni bilishi kerak:

1. Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning xususiy va umumiy o‘sishlarini toping.

2. Bir necha o‘zgaruvchili funksiyaning qisman hosilalarini hisoblang.

3. Bir necha o‘zgaruvchili funksiyaning qisman va to‘liq differentsiallarini toping.

4. Taxminiy hisoblarda bir necha o‘zgaruvchili funksiyaning to‘liq differentsialini qo‘llang.

Nazariy qism:

1. Bir necha o‘zgaruvchili funksiya tushunchasi.

2. Ikki o‘zgaruvchining funksiyasi. Ikki o'zgaruvchili funktsiyaning qisman va to'liq o'sishi.

3. Bir necha o‘zgaruvchili funksiyaning qisman hosilasi.

4. Bir necha o‘zgaruvchili funksiyaning qisman differentsiallari.

5. Bir necha o‘zgaruvchili funksiyaning to‘liq differentsiali.

6. Bir necha o‘zgaruvchili funksiyaning to‘liq differentsialini taqribiy hisoblarda qo‘llash.

Amaliy qism:

1.Funksiyalarning qisman hosilalarini toping:

1) ; 4) ;

2) z \u003d e xy + 2 x; 5) z= 2tg xx y;

3) z \u003d x 2 sin 2 y; 6) .

4. Berilgan argumentga nisbatan funksiyaning qisman hosilasini aniqlang.

5. Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning qisman va to‘liq differensialligi nima deyiladi? Ular qanday bog'liq?

6. Yakuniy bilim darajasini tekshirish uchun savollar ro'yxati:

1. Bir nechta o'zgaruvchilarning ixtiyoriy funksiyasining umumiy holatida uning umumiy o'sishi barcha qisman o'sishlarning yig'indisiga tengmi?

2. Bir necha o‘zgaruvchili funksiyaning biror argumentiga nisbatan qisman hosilasining asosiy ma’nosi nima?

3.To'liq differentsialning analitik ma'nosi nima?

7. Dars vaqti:

1. Tashkiliy vaqt – 5 daqiqa.

2. Mavzuni tahlil qilish - 20 min.

3. Misol va masalalar yechish - 40 min.

4. Bilimlarning joriy nazorati -30 min.

5. Darsni yakunlash - 5 min.

8. Dars uchun o'quv adabiyotlari ro'yxati:

1. Morozov Yu.V. Oliy matematika va statistika asoslari. M., "Tibbiyot", 2004 yil, §§ 4.1-4.5.

2. Pavlushkov I.V. va boshqalar Oliy matematika asoslari va matematik statistika. M., "GEOTAR-Media", 2006 yil, 3.3-§.