Disa probleme mund të zgjidhen lehtësisht dhe vizualisht duke përdorur diagramet Euler-Venn. Për shembull, detyrat në grupe. Nëse nuk e dini se çfarë janë diagramet Euler-Venn dhe si t'i ndërtoni ato, atëherë lexoni së pari.

Tani le të shohim problemet tipike të grupeve.

Detyra 1.

Në shkollë me studim i thelluar gjuhët e huaja kreu një anketë mes 100 studentëve. Nxënësve iu drejtua pyetja: Çfarë gjuhë të huaja A studion?". Ka rezultuar se 48 studentë studiojnë anglisht, 26 - frëngjisht, 28 - gjermanisht. 8 studentë studiojnë anglisht dhe gjermanisht, 8 - anglisht dhe frëngjisht, 13 - frëngjisht dhe gjermanisht. 24 studentë nuk studiojnë as anglisht dhe frëngjisht, as gjermanisht Sa studentë në anketë studiojnë tre gjuhë në të njëjtën kohë: anglisht, frëngjisht dhe gjermanisht?

Përgjigje: 3.

Zgjidhja:

• shumë nxënës që mësojnë anglisht ("A");
• shumë nxënës që mësojnë frëngjisht ("F");
• shumë nxënës që mësojnë gjermanisht ("N").

Le të përshkruajmë me ndihmën e diagramit Euler-Venn atë që na jepet sipas kushteve.

Le të shënojmë zonën e dëshiruar A=1, F=1, H=1 si "x" (në tabelën e mëposhtme, zona nr. 7). Pjesën tjetër të rajoneve e shprehim në terma x.

0) Rajoni A=0, F=0, H=0: 24 nxënës - jepen sipas gjendjes së problemit.

1) Rajoni A=0, F=0, H=1: 28-(8-x+x+13-x)=7+x nxënës.

2) Rajoni A=0, F=1, H=0: 26-(8-x+x+13-x)=5+x nxënës.

3) Rajoni A=0, F=1, H=1: 13 nxënës.

4) Rajoni A=1, F=0, H=0: 48-(8-x+x+8-x)=32+x nxënës.

5) Rajoni A=1, F=0, H=1: 8 nxënës.

6) Rajoni A=1, F=1, H=0: 8 nxënës.

Le të përcaktojmë x:

24+7+(x+5)+x+(13-x)+(32+x)+(8-x)+(8-x)+x=100.

x=100-(24+7+5+13+32+8+8)=100-97=3.

Doli se 3 nxënës studiojnë tre gjuhë në të njëjtën kohë: anglisht, frëngjisht dhe gjermanisht.

Kështu do të duket diagrami Euler-Venn me x të njohur:

Detyra 2.

Në Olimpiadën e Matematikës, nxënësve të shkollës iu kërkua të zgjidhnin tre problema: një në algjebër, një në gjeometri dhe një në trigonometri. Në Olimpiadë morën pjesë 1000 nxënës. Rezultatet e Olimpiadës ishin si më poshtë: 800 pjesëmarrës zgjidhën problemën në algjebër, 700 në gjeometri, 600 në trigonometri.600 nxënës zgjidhën problema në algjebër dhe gjeometri, 500 në algjebër dhe trigonometri, 400 në gjeometri dhe trigonometri. 300 njerëz zgjidhën probleme në algjebër, gjeometri dhe trigonometri. Sa studentë nuk zgjidhën asnjë problem?

Përgjigje: 100.

Zgjidhja:

Së pari, ne përcaktojmë grupet dhe prezantojmë shënimin. Janë tre prej tyre:

• një grup problemesh në algjebër ("A");
• një grup problemesh në gjeometri ("G");
• grup problemash në trigonometri ("T").

Le të përshkruajmë atë që duhet të gjejmë:

Le të përcaktojmë numrin e studentëve për të gjitha fushat e mundshme.

Le të shënojmë zonën e dëshiruar A=0, G=0, T=0 si "x" (në tabelën e mëposhtme, zona nr. 0).

Le të gjejmë pjesën tjetër të zonave:

1) Rajoni A=0, D=0, T=1: nuk ka nxënës.

2) Rajoni A=0, D=1, T=0: nuk ka nxënës.

3) Rajoni A=0, D=1, T=1: 100 nxënës.

4) Rajoni A=1, D=0, T=0: nuk ka nxënës.

5) Rajoni A=1, D=0, T=1: 200 nxënës.

6) Rajoni A=1, D=1, T=0: 300 nxënës.

7) Rajoni A=1, D=1, T=1: 300 nxënës.

Le të shkruajmë vlerat e zonave në tabelë:

Le të vizatojmë vlerat për të gjitha zonat duke përdorur një grafik:

Le të përcaktojmë x:

x=U-(A V G V T), ku U është universi.

A V G V T \u003d 0 + 0 + 0 + 300 + 300 + 200 + 100 \u003d 900.

Kuptuam se 100 nxënës nuk zgjidhën asnjë problem.

Detyra 3.

Në Olimpiadën e Fizikës, nxënësve të shkollës iu kërkua të zgjidhnin tre probleme: një në kinematikë, një në termodinamikë dhe një në optikë. Rezultatet e Olimpiadës ishin si më poshtë: 400 pjesëmarrës zgjidhën problemin në kinematikë, 350 në termodinamikë, 300 në optikë. 300 nxënës zgjidhën probleme në kinematikë dhe termodinamikë, 200 në kinematikë dhe optikë, 150 në termodinamikë dhe optikë. 100 njerëz zgjidhën probleme në kinematikë, termodinamikë dhe optikë. Sa nxënës zgjidhën dy problema?

Përgjigje: 350.

Zgjidhja:

Së pari, ne përcaktojmë grupet dhe prezantojmë shënimin. Janë tre prej tyre:

• një grup detyrash në kinematikë ("K");
• një grup problemesh në termodinamikë ("T");
• grup problemesh në optikë ("O").

Le të përshkruajmë duke përdorur diagramin Euler-Venn atë që na është dhënë sipas kushteve:

Le të përshkruajmë atë që duhet të gjejmë:

Le të përcaktojmë numrin e studentëve për të gjitha fushat e mundshme:

0) Zona K=0, T=0, O=0 : e pa përcaktuar.

1) Rajoni K=0, T=0, O=1: 50 nxënës.

2) Rajoni K=0, T=1, O=0: nuk ka nxënës.

3) Rajoni K=0, T=1, O=1: 50 nxënës.

4) Rajoni K=1, T=0, O=0: nuk ka nxënës.

5) Rajoni K=1, T=0, O=1: 100 nxënës.

6) Rajoni K=1, T=1, O=0: 200 nxënës.

7) Rajoni K=1, T=1, O=1: 100 nxënës.

Le të shkruajmë vlerat e zonave në tabelë:

Le të vizatojmë vlerat për të gjitha zonat duke përdorur një grafik:

Le të përcaktojmë x.

x=200+100+50=350.

Të pranuara, 350 nxënës zgjidhën dy probleme.

Detyra 4.

Në mesin e kalimtarëve ka kryer një sondazh. U bë pyetja: "Çfarë lloj kafshe keni?". Sipas rezultateve të sondazhit, rezultoi se 150 njerëz kanë një mace, 130 kanë një qen dhe 50 kanë një zog. 60 njerëz kanë një mace dhe një qen, 20 kanë një mace dhe një zog, 30 kanë një qen dhe një zog. 70 persona nuk kanë fare kafshë shtëpiake. 10 persona kanë një mace, një qen dhe një zog. Sa kalimtarë morën pjesë në sondazh?

Përgjigje: 300.

Zgjidhja:

Së pari, ne përcaktojmë grupet dhe prezantojmë shënimin. Janë tre prej tyre:

• shumë njerëz që kanë një mace ("K");
• shumë njerëz që kanë një qen ("C");
• shumë njerëz që kanë një zog ("P").

Le të përshkruajmë duke përdorur diagramin Euler-Venn atë që na është dhënë sipas kushteve:

Le të përshkruajmë atë që duhet të gjejmë:

Le të përcaktojmë numrin e njerëzve për të gjitha fushat e mundshme:

0) Sipërfaqja K=0, S=0, P=0: 70 persona.

1) Sipërfaqja K=0, S=0, P=1: 10 persona.

2) Sipërfaqja K=0, S=1, P=0: 50 persona.

3) Sipërfaqja K=0, S=1, P=1: 20 persona.

4) Sipërfaqja K=1, S=0, P=0: 80 persona.

5) Sipërfaqja K=1, T=0, O=1: 10 persona.

6) Rajoni K=1, T=1, O=0: 50 persona.

7) Rajoni K=1, T=1, O=1: 10 persona.

Le të shkruajmë vlerat e zonave në tabelë:

Le të vizatojmë vlerat për të gjitha zonat duke përdorur një grafik:

Le të përcaktojmë x:

x=U (univers)

U=70+10+50+20+80+10+50+10=300.

Mësohet se në anketë kanë marrë pjesë 300 persona.

Detyra 5.

120 persona hynë në një specialitet në një nga universitetet. Aplikantët dhanë tre provime: në matematikë, në shkenca kompjuterike dhe në gjuhën ruse. Matematika u kalua nga 60 persona, shkenca kompjuterike - 40. 30 aplikantë kaluan matematikë dhe shkenca kompjuterike, 30 - matematikë dhe rusisht, 25 - shkenca kompjuterike dhe ruse. Të tre provimet i kaluan 20 persona dhe dështuan 50 persona. Sa aplikantë kanë kaluar gjuhën ruse?

Diagrami Euler-Venn - një mjet vizual për të punuar me grupe. Këto diagrame tregojnë të gjitha opsionet e mundshme vendosi kryqëzime. Numri i kryqëzimeve (zonave) n përcaktohet nga formula:

n=2 N ,

ku N është numri i grupeve.

Kështu, nëse problemi përdor dy grupe, atëherë n=2 2 =4, nëse tre grupe, atëherë n=2 3 =8, nëse katër grupe, atëherë n=2 4 =16. Prandaj, diagramet Euler-Venn përdoren kryesisht për dy ose tre grupe.

Kompletet përshkruhen si rrathë (nëse përdoren 2-3 grupe) dhe elipse (nëse përdoren 4 grupe) të vendosura në një drejtkëndësh (univers).

Komplet universal (univers) U (në kontekstin e detyrës) - një grup që përmban të gjithë elementët e detyrës në shqyrtim: elementet e të gjitha grupeve të detyrës dhe elementët që nuk përfshihen në to.

Komplet bosh Ø(në kontekstin e problemit) - një grup që nuk përmban asnjë element të problemit në shqyrtim.

Grupet e kryqëzuara ndërtohen në diagram, ato janë të mbyllura në një univers. Alokoni zona, numri i të cilave është i barabartë me numrin e kryqëzimeve.

Diagramet Euler-Venn përdoren gjithashtu për të paraqitur vizualisht operacionet logjike.

Le të analizojmë shembuj të ndërtimit të diagrameve Euler-Venn për dy dhe tre grupe.

Shembulli 1

Universi U=(0,1,2,3,4,5,6)

Diagramet Euler-Venn për dy grupe A dhe B:

Shembulli 2

Le të jenë grupet e mëposhtme të numrave:

Universi U=(0,1,2,3,4,5,6,7)

Diagramet Euler-Venn për tre grupe A, B, C:

Le të përcaktojmë zonat dhe numrat që u përkasin atyre:

Shembulli 3

Le të jenë grupet e mëposhtme të numrave:

A=(0,1,2,3,4,5,6,7)

B=(3,4,5,7,8,9,10,13)

C=(0,2,3,7,8,10,11,12)

D=(0,3,4,6,9,10,11,14)

Universi U=(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15)

Diagramet Euler-Venn për katër grupe A, B, C, D:

Le të përcaktojmë zonat dhe numrat që u përkasin atyre:

Nëse dëshironi të zgjidhni problemet tipike në grupe, atëherë shkoni te artikulli.

Seksionet: Informatikë

1. Hyrje

Në kursin e Informatikës dhe TIK-ut të shkollës fillore dhe të mesme trajtohen tema të rëndësishme si "Bazat e logjikës" dhe "Kërkimi i informacionit në internet". Kur zgjidhni një lloj të caktuar problemi, është e përshtatshme të përdorni rrathët Euler (diagramet Euler-Venn).

Ndihmë matematikore. Diagramet Euler-Venn përdoren kryesisht në teorinë e grupeve si një paraqitje skematike e të gjitha kryqëzimeve të mundshme të disa grupeve. Në përgjithësi, ato përshkruajnë të gjitha 2n kombinimet e n vetive. Për shembull, për n=3, diagrami Euler-Venn zakonisht përshkruhet si tre rrathë të përqendruar në kulmet e një trekëndëshi barabrinjës dhe me të njëjtën rreze, afërsisht e barabartë me gjatësinë e brinjës së trekëndëshit.

2. Paraqitja e lidhjeve logjike në pyetjet e kërkimit

Kur studioni temën "Kërkimi i informacionit në internet", merren parasysh shembuj të pyetjeve të kërkimit duke përdorur lidhje logjike, të ngjashme në kuptim me sindikatat "dhe", "ose" të gjuhës ruse. Kuptimi i lidhjeve logjike bëhet më i qartë nëse i ilustrojmë me ndihmën e një skeme grafike - rrathët e Euler-it (diagramet Euler-Venn).

3. Lidhja e veprimeve logjike me teorinë e bashkësive

Me ndihmën e diagrameve të Euler-Venn-it, mund të vizualizohet lidhja midis operacioneve logjike dhe teorisë së grupeve. Ju mund të përdorni sllajdet për të demonstruar Shtojca 1.

Operacionet logjike përcaktohen nga tabelat e tyre të së vërtetës. AT Shtojca 2 ilustrimet grafike të veprimeve logjike konsiderohen në detaje së bashku me tabelat e tyre të vërtetësisë. Le të shpjegojmë parimin e ndërtimit të një diagrami në rastin e përgjithshëm. Në diagram, zona e rrethit me emrin A tregon vërtetësinë e pohimit A (në teorinë e grupeve, rrethi A është përcaktimi i të gjithë elementëve të përfshirë në këtë grup). Prandaj, zona jashtë rrethit shfaq vlerën e "false" të deklaratës përkatëse. Për të kuptuar se cila zonë e diagramit do të jetë një shfaqje e një operacioni logjik, është e nevojshme të hijeshoni vetëm ato zona në të cilat vlerat e operacionit logjik në grupet A dhe B janë të barabarta me "të vërtetë".

Për shembull, vlera e nënkuptimit është "e vërtetë" në tre raste (00, 01 dhe 11). Hijezim në mënyrë sekuenciale: 1) zona jashtë dy rrathëve të kryqëzuar, e cila korrespondon me vlerat A=0, B=0; 2) zona që lidhet vetëm me rrethin B (hëna e gjysmë), e cila korrespondon me vlerat A=0, B=1; 3) zona e lidhur me rrethin A dhe rrethin B (kryqëzimi) - korrespondon me vlerat A=1, B=1. Bashkimi i këtyre tre zonave do të jetë një paraqitje grafike e operacionit të implikimit logjik.

4. Përdorimi i rrathëve të Euler-it në vërtetimin e barazive (ligjeve) logjike

Për të vërtetuar barazitë logjike, mund të zbatohet metoda e diagrameve Euler-Venn. Le të vërtetojmë barazinë e mëposhtme ¬(AvB) = ¬A&¬B (ligji i de Morganit).

Për një paraqitje vizuale të anës së majtë të ekuacionit, ne do ta kryejmë atë në mënyrë sekuenciale: do t'i hijezojmë të dy rrathët (do të aplikojmë disjunksion) me gri, pastaj, për të shfaqur përmbysjen, do të hijezojmë zonën jashtë rrathëve me të zezë:

Fig.3 Fig.4

Për një paraqitje vizuale të anës së djathtë të ekuacionit, ne kryejmë në mënyrë sekuenciale: hijezojmë zonën për paraqitjen e përmbysjes (¬A) në gri dhe, në mënyrë të ngjashme, zona ¬B është gjithashtu në gri; atëherë, për të shfaqur lidhjen, duhet të merrni kryqëzimin e këtyre zonave gri (rezultati i mbivendosjes tregohet në të zezë):

Fig.5 Fig.6 Fig.7

Shohim që zonat për paraqitjen e pjesëve të majta dhe të djathta janë të barabarta. Q.E.D.

5. Detyrat në formatin GIA dhe USE me temën: "Kërkimi i informacionit në internet"

Problemi nr. 18 nga versioni demo i GIA 2013.

Tabela tregon pyetjet për serverin e kërkimit. Për secilën kërkesë, tregohet kodi i saj - shkronja përkatëse nga A në D. Rregulloni kodet e kërkesës nga e majta në të djathtë sipas radhës duke zbritur numri i faqeve që motori i kërkimit do të gjejë për çdo pyetje.

Për çdo pyetje, le të ndërtojmë një diagram Euler-Venn:

Përgjigje: VAGB.

Detyra B12 nga versioni demo i USE-2013.

Tabela tregon pyetjet dhe numrin e faqeve të gjetura prej tyre për një segment të caktuar të internetit.

Sa faqe (në mijëra) do të gjenden për pyetjen shkatërrues?

Supozohet se të gjitha kërkesat janë ekzekutuar pothuajse njëkohësisht, kështu që grupi i faqeve që përmban të gjitha fjalët e kërkuara nuk ka ndryshuar gjatë ekzekutimit të kërkesave.

F - numri i faqeve (në mijëra) sipas kërkesës Frigatë;

E - numri i faqeve (në mijëra) sipas kërkesës shkatërrues;

X është numri i faqeve (në mijëra) për pyetjen që përmend Frigatë dhe jo përmendur shkatërrues;

Y është numri i faqeve (në mijëra) për pyetjen që përmend shkatërrues dhe jo përmendur Frigatë.

Le të ndërtojmë diagramet Euler-Venn për çdo kërkesë:

Sipas diagrameve kemi:

1. X + 900 + Y \u003d F + Y \u003d 2100 + Y \u003d 3400. Nga këtu gjejmë Y \u003d 3400-2100 \u003d 1300.
2. E \u003d 900 + U \u003d 900 + 1300 \u003d 2200.

Përgjigje: 2200.

6. Zgjidhja e problemeve logjike kuptimplote duke përdorur metodën e diagrameve Euler-Venn

Në klasë janë 36 persona. Nxënësit e kësaj klase ndjekin rrethet matematikore, fizike dhe kimike dhe rrethin matematikor 18 veta, atë fizik 14 dhe kimik 10 veta, po ashtu dihet se në të tre rrethet ndjekin 2 veta, 8. njerëzit marrin pjesë në matematikë dhe matematikë dhe kimike, 3 - si fizike ashtu edhe kimike.

Sa nxënës në klasë nuk ndjekin asnjë klub?

Për të zgjidhur këtë problem, është shumë e përshtatshme dhe e qartë të përdoren rrathët Euler.

Rrethi më i madh është grupi i të gjithë nxënësve në klasë. Brenda rrethit ka tre grupe të kryqëzuara: anëtarët e matematikës ( M), fizike ( F), kimike ( X) rrathë.

Le MFH- shumë djem, secili prej të cilëve merr pjesë në të tre qarqet. MF-H- shumë djem, secili prej të cilëve ndjek qarqet matematikore dhe fizike dhe jo viziton kimikatin ¬M¬PH- shumë djem, secili prej të cilëve ndjek një rreth kimie dhe nuk ndjek qarqet e fizikës dhe matematikës.

Ne i prezantojmë grupet në një mënyrë të ngjashme: ¬MFH, M¬PH, M¬F-H, ¬MF-H, ¬M-F-H.

Dihet se në të tre qarqet marrin pjesë 2 persona, pra në rajon MFH shkruani numrin 2. 8 persona ndjekin qarqet matematikore dhe fizike, dhe në mesin e tyre tashmë janë 2 persona që ndjekin të tre qarqet, pastaj në rajon MF-H shkruani 6 persona (8-2). Në mënyrë të ngjashme, ne përcaktojmë numrin e studentëve në grupet e mbetura:

Le të përmbledhim numrin e njerëzve në të gjitha rajonet: 7+6+3+2+4+1+5=28. Prandaj, 28 persona nga klasa marrin pjesë në qarqe.

Pra, 36-28 = 8 studentë nuk marrin pjesë në qarqe.

Pas pushimeve të dimrit, mësuesi i klasës pyeti se cili nga djemtë shkoi në teatër, kinema ose cirk. Doli se nga 36 nxënës në klasë, dy nuk kishin qenë kurrë në kinema. jo në teatër, jo në cirk. 25 persona kanë vizituar kinemanë, 11 persona kanë vizituar teatrin, 17 persona kanë vizituar cirkun; si në kinema ashtu edhe në teatër - 6; dhe në kinema dhe në cirk - 10; si në teatër ashtu edhe në cirk - 4.

Sa njerëz kanë vizituar kinemanë, teatrin dhe cirkun?

Le të jetë x numri i fëmijëve që kanë qenë në kinema, teatër dhe cirk.

Pastaj mund të ndërtoni diagramin e mëposhtëm dhe të numëroni numrin e djemve në secilën zonë:

Kështu, rrathët e Euler-it (diagramet Euler-Venn) gjejnë zbatim praktik në zgjidhjen e problemeve në formatin USE dhe GIA dhe në zgjidhjen e problemeve kuptimplota logjike.

Letërsia

1. V.Yu. Lyskova, E.A. Rakitin. Logjika në shkencat kompjuterike. M.: Informatika dhe Edukimi, 2006. 155 f.
2. L.L. Bosova. Bazat aritmetike dhe logjike të kompjuterëve. M.: Informatika dhe arsimi, 2000. 207 f.
3. L.L. Bosova, A.Yu. Bosova. Libër mësuesi. Informatikë dhe TIK për klasën 8: BINOM. Laboratori i Dijes, 2012. 220 f.
4. L.L. Bosova, A.Yu. Bosova. Libër mësuesi. Informatikë dhe TIK për klasën 9: BINOM. Laboratori i Dijes, 2012. 244 f.
5. Faqja e internetit e FIPI: http://www.fipi.ru/

Për të vizualizuar më mirë një grup, mund të përdorni një vizatim të quajtur diagrami Euler-Venn.Kjo është një vijë e mbyllur, brenda së cilës janë elementët e një grupi të caktuar dhe nga jashtë, elementë që nuk i përkasin grupit.

Shkarko:

Pamja paraprake:

Për të përdorur pamjen paraprake të prezantimeve, krijoni një llogari (llogari) Google dhe regjistrohuni: https://accounts.google.com

Titrat e rrëshqitjeve:

Shenjat e diagramit të Venit ∈ dhe ∉ Klasa 3 Matematikë L.G. Peterson

Çdo grup A mund të paraqitet grafikisht si një vijë e mbyllur. Besohet se elementet e grupit (A) ndodhen brenda kësaj linje, dhe të gjithë elementët që nuk i përkasin grupit (A) janë jashtë. Një skemë e tillë quhet diagrami i Venit. a 2 m Për shembull, diagrami i grupit B = ( 2, m , ) mund të vizatohet si më poshtë:

Shenjat ∈ dhe ∉ a 2 m Fjalia “Numri 2 i përket grupit B” shkruhet më shkurt: 2 ∈ B. Shenja ∈ lexon: “i përket” Fjalia “Shkronja a nuk i përket grupit B” mund të shkruhet edhe më shkurt: a ∉ B. Shenja ∉ lexohet : "nuk i përket"

e 8 b A 4 Figura tregon një diagram të bashkësisë A. Cilët elementë i përkasin grupit A dhe cilët jo? b … A e … A … A 8 … A 4 … A … A ∈ ∈ ∈ ∉ ∉ ∉ ∉ ∉ Lexoni përsëri hyrjet.

Shënoni elementet, d, 10, 5 në diagramin e grupit C nëse dihet se: ∈ C ∉ C C d ∉ C 10 ∈ C ∈ C 5 ∉ C d 10 5

Ekziston një bashkësi M = (а, b, c, ). Cila shenjë të vendoset: ∈ apo ∉? a … M … M c … M … M … M 8 … M ∈ ∈ ∈ ∉ ∉ ∉

D është një grup numrash dyshifrorë. A janë numrat 26, 307, 8, 940, 15, 60 elemente të bashkësisë D? 26 … D 8 … D 15 … D 307 … D 940 … D 60 … D ∈ ∈ ∈ ∉ ∉ ∉ Shënoni këta numra në diagram. 26 307 8 940 15 60 Cili është më i vogli dhe më i madhi numër i madh grupe D. D = ( 10 , …, …, … 99)

A është shumë flutura dhe B është shumë trëndafila. Si të ndërtojmë diagramet e grupeve A dhe B? Sa flutura i përkasin grupit A? Sa trëndafila i përkasin grupit B? Sa elementë kanë të përbashkët bashkësitë A dhe B?

Detyrë shtëpie. Faqe 12 Nr. 11, 12

Vendosni barazinë.

Komplete POR dhe AT konsiderohen të barabartë nëse janë nga e njëjta elementet.

Barazia e grupit përcaktohet si më poshtë: A = B.

Nëse grupet nuk janë të barabarta, atëherë shkruani A ¹ B.

Regjistrimi i barazisë së dy grupeve A = Bështë e barabartë me shkrimin PORÌ AT, ose ATÌ POR.

Për shembull, grupi i zgjidhjeve të ekuacionit x 2 - 5x+ 6 = 0 përmban të njëjtat elementë (numrat 2 dhe 3) si bashkësia e numrave të thjeshtë më pak se pesë. Këto dy grupe janë të barabarta. (Një numër i thjeshtë është një numër natyror që pjesëtohet vetëm pa mbetje me 1 dhe vetveten; për më tepër, 1 nuk është një numër i thjeshtë.)

Kryqëzimi (shumëzimi) i bashkësive.

Shume nga D, i përbërë nga të gjithë elementët që i përkasin dhe vendoseni A dhe vendosni B, quhet kryqëzimi i bashkësive POR dhe AT dhe shënohet D = A AT.

Konsideroni dy grupe: X= (0, 1, 3, 5) dhe Y= (1, 2, 3, 4). Numrat 1 dhe 3 dhe vetëm ata u përkasin njëkohësisht të dy grupeve X dhe Y. Seti (1, 3) i përbërë prej tyre përmban të gjitha të përbashkëtat për grupe X dhe Y elementet. Kështu, grupi (1, 3) është kryqëzimi i grupeve të konsideruara X dhe Y:

{1, 3} = {0, 1, 3, 5} {1, 2, 3, 4}.

Për segmentin [-1; 1] dhe intervali ]0; 3[ kryqëzimi, d.m.th., grupi i përbërë nga elementë të përbashkët, është intervali ]0; 1] (Fig. 1).

Oriz. 1. Kryqëzimi i segmentit [-1; 1] dhe intervali ]0; 3[ është intervali ]0; një]

Kryqëzimi i një grupi drejtkëndëshash dhe një grupi rombesh është një grup katrorësh.

Kryqëzimi i grupit të nxënësve të klasës së tetë të një shkolle të caktuar dhe grupit të anëtarëve të rrethit të kimisë të së njëjtës shkollë është grupi i nxënësve të klasës së tetë që janë anëtarë të rrethit të kimisë.

Kryqëzimi i grupeve (dhe operacionet e tjera - shih më poshtë) ilustrohet mirë nga një paraqitje vizuale e grupeve në një plan. Euler sugjeroi përdorimin e rrathëve për këtë. Imazhi i kryqëzimit (i theksuar në gri) të grupeve POR dhe AT duke përdorur rrathët e Euler është paraqitur në Fig. 2.

Oriz. 3. Diagrami Euler-Venn i kryqëzimit (të theksuar në gri) të grupeve POR dhe AT, të cilat janë nëngrupe të një universi të përshkruar si një drejtkëndësh

Nëse grupet POR dhe AT nuk kanë elemente të përbashkëta, atëherë ata thonë se këto grupe nuk kryqëzohen ose se kryqëzimi i tyre është një grup bosh dhe shkruajnë POR AT = Æ.

Për shembull, kryqëzimi i grupit të numrave çift me bashkësinë e numrave tek është bosh.

Kryqëzimi i intervaleve numerike ]-1 është gjithashtu bosh; 0] dhe -1; 0] dhe )