Determinanta matrice je broj koji karakterizira kvadratnu matricu A i usko je povezan s rješenjem sistema linearne jednačine. Determinanta matrice A je označena sa ili . Bilo kojoj kvadratnoj matrici A reda n dodeljuje se, prema određenom zakonu, izračunati broj koji se zove determinanta, ili determinanta, n-tog reda ove matrice. Razmotrimo determinante drugog i trećeg reda.

Pustite matricu

,

tada se njegova determinanta drugog reda izračunava po formuli

.

Primjer. Izračunajte determinantu matrice A:

odgovor: -10.

Determinanta trećeg reda se izračunava po formuli

Primjer. Izračunajte determinantu matrice B

.

odgovor: 83.

Izračunavanje determinante n-tog reda zasniva se na svojstvima determinante i sljedeće Laplaceove teoreme: determinante jednak je zbiru proizvodi elemenata bilo kojeg reda (stupca) matrice i njihovih algebarskih komplemenata:

Algebarsko sabiranje element jednak , gdje je minor elementa, dobijen brisanjem i-tog reda i j-te kolone u determinanti.

Minor red elementa matrice A je determinanta matrice (n-1)-tog reda, dobijena iz matrice A brisanjem i-tog reda i j-te kolone.

Primjer. Pronađite algebarske komplemente svih elemenata matrice A:

.

odgovor: .

Primjer. Izračunajte determinantu matrice trokutaste matrice:

odgovor: -15.

Svojstva determinanti:

1. Ako se bilo koji red (kolona) matrice sastoji samo od nula, tada je njegova determinanta 0.

2. Ako se svi elementi bilo kojeg reda (kolone) matrice pomnože brojem, tada će se njegova determinanta pomnožiti sa ovim brojem.

3. Prilikom transponovanja matrice, njena determinanta se neće promijeniti.

4. Kada se dva reda (kolone) matrice zamijene, njena determinanta mijenja predznak u suprotan.

5. Ako kvadratna matrica sadrži dva identična reda (kolone), tada je njena determinanta 0.

6. Ako su elementi dva reda (kolona) matrice proporcionalni, tada je njena determinanta 0.

7. Zbir proizvoda bilo kojeg reda (stupca) matrice sa algebarskim komplementima elemenata drugog reda (kolone) ove matrice je 0.

8. Determinanta matrice se neće promijeniti ako se elementi bilo kojeg reda (kolone) matrice dodaju elementima drugog reda (kolone), prethodno pomnoženim istim brojem.

9. Zbir proizvoda proizvoljnih brojeva i algebarskih komplemenata elemenata bilo kojeg reda (kolone) jednak je determinanti matrice koja se dobije iz date zamjenom elemenata ovog reda (kolone) brojevima.

10. Determinanta proizvoda dvije kvadratne matrice jednaka je proizvodu njihovih determinanti.

Inverzna matrica.

Definicija. Matrica se naziva inverznom kvadratne matrice A ako se, kada se ova matrica pomnoži sa datom i s desne i s lijeve strane, dobije matrica identiteta:

.

Iz definicije slijedi da samo kvadratna matrica ima inverz; u ovom slučaju, inverzna matrica je također kvadrat istog reda. Ako je determinanta matrice različita od nule, onda se takva kvadratna matrica naziva nedegenerisana.

Neophodan i dovoljan uslov za postojanje inverzne matrice: Inverzna matrica postoji (i jedinstvena je) ako i samo ako je originalna matrica nesingularna.

Prvi algoritam za izračunavanje inverzne matrice:

1. Pronađite determinantu originalne matrice. Ako je determinanta različita od nule, onda je originalna matrica nesingularna i inverzna matrica postoji.

2. Pronađite matricu transponiranu u A.

3. Pronalazimo algebarske komplemente elemenata transponovane matrice i od njih sastavljamo pridruženu matricu.

4. Izračunajte inverznu matricu po formuli: .

5. Provjeravamo ispravnost proračuna inverzne matrice, na osnovu njene definicije .

Primjer.

.

odgovor: .

Drugi algoritam za izračunavanje inverzne matrice:

Inverzna matrica se može izračunati na osnovu sljedećih elementarnih transformacija na redovima matrice:

Zamijenite dvije linije;

Množenje reda matrice bilo kojim brojem koji nije nula;

Dodavanje jednog reda matrice drugog reda, pomnoženog bilo kojim brojem koji nije nula.

Da bi se izračunala inverzna matrica za matricu A, potrebno je sastaviti matricu , zatim elementarnim transformacijama dovesti matricu A u oblik matrice identiteta E, a zatim na mjesto matrice identiteta dobiti matricu .

Primjer. Izračunajte inverznu matricu za matricu A:

.

Sastavljamo matricu B oblika:

.

Element = 1 i prvi red koji sadrži ovaj element će se zvati vodiči. Izvršimo elementarne transformacije, kao rezultat kojih se prva kolona pretvara u jednu kolonu s jedinicom u prvom redu. Da biste to učinili, u drugi i treći red dodajte prvi red, pomnožen sa 1 i -2. Kao rezultat ovih transformacija, dobijamo:

.

Konačno dobijamo

.

Gdje .

Matrični rang. Zove se rang matrice A najviši red minori različiti od nule ove matrice. Rang matrice A je označen sa rang(A) ili r(A).

Iz definicije proizilazi: a) rang matrice ne prelazi najmanju njenu dimenziju, tj. r(A) je manji ili jednak minimumu brojeva m ili n; b) r(A)=0 ako i samo ako su svi elementi matrice A jednaki nuli; c) za kvadratna matrica n-ti red r(A)=n ako i samo ako je matrica A nesingularna.

Primjer: izračunati rang matrica:

.

Odgovor: r(A)=1. Odgovor: r(A)=2.

Sljedeće transformacije matrice nazivamo elementarnim:

1) Odbijanje nultog reda (kolone).

2) Množenje svih elemenata reda (kolone) matrice brojem koji nije nula.

3) Promena redosleda redova (kolona) matrice.

4) Dodavanje svakom elementu jednog reda (kolone) odgovarajućih elemenata drugog reda (kolone), pomnoženo bilo kojim brojem.

5) Matrična transpozicija.

Rang matrice se ne mijenja pod elementarnim transformacijama matrice.

Primjeri: Izračunaj matricu, gdje

; ;

odgovor: .

Primjer: Izračunaj matricu , gdje

; ; ; E je matrica identiteta.

odgovor: .

Primjer: Izračunajte matričnu determinantu

.

Odgovori: 160.

Primjer: Odredite da li matrica A ima inverz, i ako ima, izračunajte je:

.

Odgovori: .

Primjer: Pronađite rang matrice

.

Odgovori: 2.

2.4.2. Sistemi linearnih jednačina.

Sistem od m linearnih jednačina sa n varijabli ima oblik:

,

gdje su , proizvoljni brojevi, koji se nazivaju koeficijenti varijabli i slobodni članovi jednadžbi. Rješenje sistema jednačina je takav skup od n brojeva (), pri zamjeni kojih se svaka jednačina sistema pretvara u pravu jednakost.

Sistem jednačina naziva se konzistentan ako ima barem jedno rješenje, a nekonzistentan ako nema rješenja. Zajednički sistem jednačina naziva se definitivnim ako ima jedina odluka, i neodređeno ako ima više od jednog rješenja.

Cramerova teorema: Neka je - determinanta matrice A, sastavljena od koeficijenata varijabli "x", i - determinanta matrice dobijena iz matrice A zamjenom j-te kolone ove matrice kolonom slobodnih članova. Tada, ako je , onda sistem ima jedinstveno rješenje, određeno formulama: (j=1, 2, …, n). Ove jednačine se nazivaju Cramerove formule.

Primjer. Riješite sisteme jednačina koristeći Cramerove formule:

Odgovori: (4, 2, 1). (1, 2, 3) (1, -2, 0)

Gaussova metoda- metoda sukcesivne eliminacije varijabli, sastoji se u tome da se uz pomoć elementarnih transformacija sistem jednačina svodi na ekvivalentan sistem stepenastog (ili trouglastog) oblika, iz kojeg se sve ostale varijable nalaze sekvencijalno, počevši od posljednje varijable po broju.

Primjer: Rješavanje sistema jednačina Gausovom metodom.

Odgovori: (1, 1, 1). (1, -1, 2, 0). (1, 1, 1).

Za konzistentne sisteme linearnih jednačina, tačne su sljedeće tvrdnje:

· ako je rang matrice zajedničkog sistema jednak broju varijabli, tj. r = n, tada sistem jednačina ima jedinstveno rješenje;

· ako je rang matrice zajedničkog sistema manji od broja varijabli, tj. r

2.4.3. Tehnologija za izvođenje operacija nad matricama u EXCEL okruženju.

Razmotrimo neke aspekte rada sa Excel procesorom proračunskih tablica, koji nam omogućavaju da pojednostavimo proračune potrebne za rješavanje problema optimizacije. Procesor proračunskih tablica je softverski proizvod dizajniran za automatizaciju obrade podataka u obliku tabele.

Rad sa formulama. U programima za proračunske tablice, formule se koriste za izvođenje mnogo različitih proračuna. Koristeći Excel, možete brzo kreirati formulu. Formula ima tri glavna dijela:

znak jednakosti;

Operateri.

Koristi se u formulama funkcija. Da biste olakšali unos formula, možete koristiti Excel funkcije. Funkcije su formule ugrađene u Excel. Da biste aktivirali određenu formulu, pritisnite dugmad Insert, Funkcije. U prozoru koji se pojavi Čarobnjak za funkcije na lijevoj strani je lista tipova funkcija. Nakon odabira tipa, sa desne strane će se postaviti lista samih funkcija. Izbor funkcija se vrši klikom na dugme miša na odgovarajuće ime.

Prilikom izvođenja operacija na matricama, rješavanja sistema linearnih jednadžbi, rješavanja problema optimizacije, možete koristiti sljedeće Excel funkcije:

MULTIPLE - množenje matrice;

TRANSPOSE - matrična transpozicija;

MOPRED - izračunavanje determinante matrice;

MOBR - proračun inverzne matrice.

Dugme se nalazi na traci sa alatkama. Funkcije za izvođenje operacija s matricama su u kategoriji Matematički.

Množenje matrice s funkcijom MUMNOZH . Funkcija MULTIP vraća proizvod matrica (matrice su pohranjene u nizovima 1 i 2). Rezultat je niz s istim brojem redova kao niz 1 i istim brojem stupaca kao niz 2.

Primjer. Pronađite proizvod dvije matrice A i B u Excelu (vidi sliku 2.9):

; .

Unesite matrice A u ćelije A2:C3 i B u ćelije E2:F4.

Odaberite raspon ćelija za rezultat množenja - H2:I2.

Unesite formulu za množenje matrice =MMULT(A2:C3, E2:F4).

Pritisnite CTRL+SHIFT+ENTER.

Izračuni inverzne matrice korištenjem NIBR funkcije.

Funkcija MIN vraća inverznu vrijednost matrice pohranjene u nizu. Sintaksa: NBR(niz). Na sl. 2.10 prikazuje rješenje primjera u Excel okruženju.

Primjer. Pronađite matricu inverznu datoj:

.

Slika 2.9. Početni podaci za množenje matrice.

.
Predavanje 6
4.6 Determinanta proizvoda dvije kvadratne matrice.

Proizvod dvije kvadratne matrice n red je uvek definisan. Ovdje je sljedeća teorema od velike važnosti.

Teorema. Determinanta matrice proizvoda jednaka je umnošku determinanti faktorske matrice:

Dokaz. Neka

i
,

.

Sastavite pomoćnu odrednicu

.

Na osnovu Laplaceove teoreme, imamo:

.

dakle,
, pokazaćemo to
. Da bismo to učinili, transformiramo determinantu na sljedeći način. prvi prvi P
, dodaj
-th kolona. Onda prvi P kolone pomnožene sa
, dodaj
-ta kolona itd. Na poslednjem koraku do
-ta kolona će biti dodana prvoj P kolone pomnožene sa
. Kao rezultat, dobijamo determinantu

.

Proširivanje rezultirajuće determinante korištenjem Laplaceove teoreme u smislu posljednje P kolone, nalazimo:

Dakle, dokazali smo jednakosti i , Iz čega slijedi da je .
4.7 Inverzna matrica

Definicija 1 . Neka je data kvadratna matrica ALI P-th red. Kvadratna matrica
istog reda se zovu obrnuto na matricu ALI, ako , gdje E-matrica identiteta P-th red.

Izjava. Ako postoji matrica inverzna matrici ALI, onda je takva matrica jedinstvena.

Dokaz. Pretpostavimo da matrica nije jedina matrica inverzna matrici ALI. Uzmite drugu inverznu matricu B. Zatim uslovi

Razmotrite proizvod
. Ima jednakosti

iz čega sledi da
. Time je dokazana jedinstvenost inverzne matrice.

Prilikom dokazivanja teoreme o postojanju inverzne matrice potreban nam je koncept "pridružene matrice".

Definicija 2 . Pustite matricu

čiji su elementi algebarski komplementi elementi matrice ALI, zove se u prilogu matrica na matricu ALI.

Imajte na umu da bi se konstruirala pridružena matrica OD matričnih elemenata ALI trebate ih zamijeniti algebarskim dopunama, a zatim transponirati rezultirajuću matricu.

Definicija 3. kvadratna matrica ALI pozvao nedegenerisan , ako
.

Teorema. Za matricu ALI ima inverznu matricu , potrebno je i dovoljno da matrica ALI bio nedegenerisan. U ovom slučaju, matrica je određena formulom

, (1)

gdje su algebarski komplementi matričnih elemenata ALI.

Dokaz. Pustite matricu ALI ima inverznu matricu. Tada su ispunjeni uslovi koji impliciraju . Iz posljednje jednakosti dobivamo da su determinante i
. Ove determinante su povezane relacijom
. matrice ALI i nedegenerisani, pošto su njihove determinante različite od nule.

Sada pustimo matricu ALI nedegenerisan. Dokažimo da je matrica ALI ima inverznu matricu i određena je formulom (1). Za ovo razmotrite rad

matrice ALI OD.

Po pravilu množenja matrice, element radi
matrice ALI i OD ima oblik: . Budući da je zbir proizvoda elemenata i-ti red na algebarskim komplementima odgovarajućih elemenata j- th red je nula u
i determinanta at
. shodno tome,

gdje E– matrica identiteta P-th red. Jednakost
. Na ovaj način,
, što znači da
i matricu
je inverzna matrica ALI. Dakle, nesingularna matrica ALI ima inverznu matricu, koja je određena formulom (1).

Zaključak 1 . Matrične determinante ALI i povezani su sa .

Posljedica 2 . Glavno svojstvo pridružene matrice OD na matricu ALI izraženo

jednakosti
.

Zaključak 3 . Determinanta nedegenerisane matrice ALI i matrica koja je za nju povezana

OD vezani jednakošću
.

Korolar 3 slijedi iz jednakosti
i svojstva determinanti, prema kojima, kada se pomnože sa P- stepen ovog broja. U ovom slučaju

odakle sledi da .

Primjer. Pronađite matricu inverznu matrici ALI:

.

Rješenje. Matrična determinanta

različito od nule. Dakle, matrica ALI ima naličje. Da bismo ga pronašli, prvo izračunamo algebarske komplemente:

,
,
,

,
,
,

,
.

Sada, koristeći formulu (1), pišemo inverznu matricu

.
4.8. Elementarne transformacije nad matricama. Gauss algoritam.

Definicija 1. Ispod elementarne transformacije matrica iznad veličine

razumjeti sljedeće korake.

1. 
   Množenje bilo kojeg reda (kolone) matrice bilo kojim brojem koji nije nula.
2. 
   dodatak bilo kojem i-ti red matrice bilo kojeg od njegovih j- red, pomnožen proizvoljnim brojem.
3. 
   dodatak bilo kojem i-ti stupac matrice bilo kojeg od njegovih j- kolona pomnožena proizvoljnim brojem.
4. 
   Permutacija redova (kolona) matrice.

Ekvivalencija matrice ima sljedeća svojstva:


Definicija 3 . stupio zove se matrica ALI ima sledeća svojstva:

1) ako i-ti red je nula, tj. sastoji se od samo nula
-th string je također null;

2) ako su prvi elementi različiti od nule i-ti i -ti redovi su smešteni u kolone sa brojevima k i l, onda
.

Primjer. matrice

i

su stepenasti, a matrica

nije korak.

Pokažimo kako, koristeći elementarne transformacije, možemo smanjiti matricu ALI do stepenastog pogleda.

Gauss algoritam . Razmotrite matricu ALI veličina . Bez gubljenja opštosti, možemo to pretpostaviti
. (Ako je u matrici ALI postoji barem element koji nije nula, a zatim zamjenom redova, a zatim stupaca, možete osigurati da ovaj element padne na sjecište prvog reda i prve kolone.) Dodajmo drugom redu matrice ALI prvo pomnoženo sa
, u treći red - prvi, pomnožen sa
itd.

Kao rezultat, dobijamo

.

Predmeti u novije vrijeme
linije su definisane formulama:

,
,
.

Razmotrite matricu

.

Ako su svi elementi matrice tada su jednake nuli

i ekvivalentnu matricu koraka. Ako je barem jedan od elemenata matrice različit od nule, onda to možemo pretpostaviti bez gubitka općenitosti
(ovo se može postići preuređivanjem redova i stupaca matrice). Transformacija u ovom slučaju matrice kao i matrice ALI, dobijamo

odnosno,

.

Evo
,
,
.

i , , … ,
. U matrici ALI t redove i dovesti ga na A r, različit od nule, i sve manje vrijednosti gornjeg reda r jednaki su nuli. Rang matrice će biti označen simbolom
.

Rang matrice se izračunava metodom ivica maloljetnika .


Primjer. Izračunajte rang matrice koristeći metodu minora ruba

.

Rješenje.


Gornja metoda nije uvijek zgodna, jer. povezan sa proračunom velikog

broj determinanti.

Izjava. Rang matrice se ne mijenja pod elementarnim transformacijama njenih redova i stupaca.

Navedeni iskaz ukazuje na drugi način izračunavanja ranga matrice. To se zove metoda elementarnih transformacija . Da biste pronašli rang matrice, potrebno je dovesti je u stepenasti oblik pomoću Gausove metode, a zatim odabrati maksimalan minor različit od nule. Objasnimo ovo na primjeru.

Primjer. Koristeći elementarne transformacije, izračunajte rang matrice

.

Rješenje. Izvršimo lanac elementarnih transformacija u skladu sa Gaussovom metodom. Kao rezultat, dobijamo lanac ekvivalentnih matrica:

14. Teorema o determinanti proizvoda matrica.

Teorema:

dokaz: Neka su date kvadratne matrice reda n.
i
. Na osnovu teoreme o determinanti kvazitrokutne matrice (
) imamo:
red ove matrice je 2n. Bez mijenjanja determinante, vršimo sljedeće transformacije na matrici reda 2n: dodaj u prvi red . Kao rezultat takve transformacije, prvih n pozicija prvog reda bit će svih 0, a druga (u drugom bloku) će sadržavati zbir proizvoda prvog reda matrice A i prvog stupca matrice B. Nakon što smo izvršili iste transformacije sa 2 ... n reda, dobili smo sljedeću jednakost:

Da bismo desnu determinantu doveli u kvazitrouglasti oblik, zamenimo 1 i 1+ n kolona, ​​2 i 2+ n … n i 2 n kolone u njoj. Kao rezultat, dobijamo jednakost:

komentar: Jasno je da teorema vrijedi za bilo koji konačan broj matrica. Posebno
.

15. Teorema o postojanju inverzne matrice.

definicija: Ako a
matrica se naziva ne-singularna (ne-singularna). Ako a
tada se matrica naziva degenerisana (specijalna).

Razmotrimo proizvoljnu kvadratnu matricu A. Od algebarskih komplemenata elemenata ove matrice sastavljamo matricu i transponiramo je. Dobijamo matricu C:
matrica C se naziva pripojena u odnosu na matricu A. Izračunavajući proizvod A*C i B*C, dobijamo
Shodno tome
, dakle
ako
.

Dakle, postojanje A -1 proizlazi iz nesingularnosti matrice A. S druge strane, ako A ima A -1 onda je matrična jednačina AX=E rješiva. Shodno tome
i. Kombinacijom dobijenih rezultata dobijamo tvrdnju:

Teorema: Kvadratna matrica nad poljem P ima inverznu ako i samo ako nije singularna. Ako postoji inverzna matrica, onda se ona nalazi po formuli:
, gdje je C pridružena matrica.

komentar:

16. Određivanje ranga matrice. Osnovna mala teorema i njena posljedica.

definicija: Minor k-tog reda matrice A je determinanta k-tog reda sa elementima koji leže na presjeku bilo kojeg k redaka i bilo kojeg k stupca.

definicija: Rang matrice A je najvišeg reda osim 0 minora ove matrice. Označava se r(A). jasno 0<=r(A)<=min(m,n). Таким образом еслиr(A)=rто среди миноров матрицы А есть минорr-го порядка отличны от 0, а все минорыr+1 порядка и выше равны 0.

definicija: Svaki minor matrice osim 0 čiji je red jednak rangu matrice naziva se bazni minor ove matrice. Jasno je da matrica može imati nekoliko baznih molova. Stupci i redovi koji čine bazni minor nazivaju se bazni.

Teorema: U matrici derivacije A=(a i) m , n, svaki stupac je linearna kombinacija osnovnih stupaca u kojima se nalazi osnovni minor (isto za redove).

dokaz: Neka je r(A)=r. Iz matrice biramo jedan osnovni mol. Radi jednostavnosti, pretpostavimo da se bazni minor nalazi u gornjem lijevom uglu matrice, tj. na prvih r redova i prvih r kolona. Tada će bazni mol Mr izgledati ovako:
. Moramo dokazati da je bilo koji stupac matrice A linearna kombinacija prvih stupaca ove matrice u kojoj se nalazi bazni minor, tj. potrebno je dokazati da postoje brojevi λ j takvi da za bilo koji k-ti stupac matrice A postoji jednakost: gdje je
…
.

Dodajmo k-ti stupac i s-ti red osnovnom molu:
jer ako je dodana linija ili

stupac su među osnovnim onda determinanta
, kao determinanta sa dva identična reda (kolone). Ako se doda red (kolona) tada
prema definiciji ranga matrice. Proširite determinantu
po elementima donjeg reda dobijamo: odavde dobijamo:
gdje λ 1 … λ r ne zavise od broja S, jer I Sj ne zavise od elemenata dodanog S-tog reda. Jednakost (1) je jednakost koja nam je potrebna (p.t.d.)

Posljedica: Ako je A kvadratna matrica i determinanta A=0, tada je jedan od stupaca matrice linearna kombinacija preostalih stupaca, a jedan od redaka linearna kombinacija preostalih redova.

dokaz: Ako je determinanta matriceA=0, tada je rang ove matrice<=n-1,n-порядок матрицы. Поэтому, по крайней мере одна строка или один столбец не входят в число базисных. Эта строка (столбец) линейно выраженная через строки (столбцы) в которой расположен базисный минор, а значит линейно выраженная через остальные строки (столбцы).

Za [A] =0 potrebno je i dovoljno da barem jedan red (kolona) bude linearna kombinacija njegovih ostalih redova (kolona).

Teorema. Neka su A i B dvije kvadratne matrice reda n. Tada je determinanta njihovog proizvoda jednaka umnošku determinanti, tj.

| AB | = | A| | B|.

< Пусть A = (aij) (n x n), B = (bij) (n x n). Рассмотрим определитель (d) (2n) порядка 2n

(d) (2n) = | A | | b | (-1)(^1+...+n+1+...+n) = | A | | B|.

Ako pokažemo da je determinanta (d) (2n) jednaka determinanti matrice C=AB, tada će teorema biti dokazana.

U (d) (2n) uradićemo sledeće transformacije: 1 redu dodamo (n + 1) red pomnožen sa a11; (n+2) niz pomnožen sa a12, itd. (2n) niz pomnožen sa (a) (1n) . U rezultujućoj determinanti, prvih n elemenata prvog reda će biti nula, a ostalih n elemenata će postati ovako:

a11* b11 + a12 * b21 + ... + (a) (1n) * (d) (1n) = c11 ;

a11* b12 + a12 * b21 + ... + (a) (1n) * (d) (2n) = c12 ;

a11* (d) (1n) + a12 * (d) (2n) + ... + (a) (1n) * (d) (nn) = (c) (1n) .

Slično, dobijamo nule u 2, ..., n reda determinante (d) (2n) , a posljednjih n elemenata u svakom od ovih redova postat će odgovarajući elementi matrice C. Kao rezultat, determinanta (d) (2n) se transformira u jednaku determinantu:

(d) (2n) = | c | (-1))(^1+...+n+...+2n) = |AB|. >

Posljedica. Determinanta proizvoda konačnog broja kvadratnih matrica jednaka je proizvodu njihovih determinanti.

< Доказательство проводится индукцией: | A1 ... (A) (j+1) | = | A1... Aj | | (A) (j+1) | = ... = | A 1 | ... | A i +1 | . Эта цепочка равенств верна по теореме.>

INVERZNA MATRICA.

Neka je A = (aij) (n x n) kvadratna matrica nad poljem P.

Definicija 1. Matrica A će se zvati degenerisana ako je njena determinanta jednaka 0. Matrica A će se u suprotnom zvati nedegenerisana.

Definicija 2. Neka je A n Pn. Matrica B Î Pn će se zvati inverzna A ako je AB = BA=E.

Teorem (kriterijum za invertibilnost matrice) Matrica A je invertibilna ako i samo ako je nedegenerirana.

< Пусть А имеет обратную матрицу. Тогда АА(^-1) = Е и, применяя теорему об умножении определителей, получаем | A | | A(^-1) | = | E | или | A | | A(^-1) | = 1. Следовательно, | A | ¹ 0.

Pusti, nazad, | A | ¹ 0. Moramo pokazati da postoji matrica B takva da je AB = BA = E. Kao B uzimamo sljedeću matricu:

gdje je A ij algebarski komplement elementu a ij . Onda

Treba napomenuti da će rezultat biti matrica identiteta (dovoljno je upotrijebiti posljedice 1 i 2 iz Laplaceove teoreme), tj. AB \u003d E. Slično, pokazano je da BA \u003d E. >

Primjer. Za matricu A pronađite inverznu matricu ili dokažite da ona ne postoji.

det A = -3 Þ inverzna matrica postoji. Sada razmatramo algebarske sabirke.

A 11 = -3 A 21 = 0 A 31 \u003d 6

A 12 = 0 A 22 = 0 A 32 \u003d -3

A 13 = 1 A 23 = -1 A 33 \u003d -1

Dakle, inverzna matrica izgleda ovako: B = =

Algoritam za pronalaženje inverzne matrice za matricu

1. Izračunajte det A.

2. Ako je jednako 0, onda inverzna matrica ne postoji. Ako det A nije jednak

0, razmatramo algebarske sabirke.

3. Algebarske sabirke stavljamo na odgovarajuća mjesta.

4. Podijelite sve elemente rezultirajuće matrice det A.

SISTEMI LINEARNIH JEDNAČINA.

Definicija 1. Jednačina oblika a1x1+ ....+an xn=b , gdje su a, ... ,an brojevi; x1, ... ,xn su nepoznanice, naziva se linearna jednadžba sa n nepoznato.

s jednačine sa n nepoznato se zove sistem s linearne jednačine sa n nepoznato, tj.

(1)
Matrica A, sastavljena od koeficijenata nepoznanica sistema (1), naziva se matrica sistema (1). .

Ako matrici A dodamo kolonu slobodnih pojmova, dobićemo proširenu matricu sistema (1).

X = - kolona nepoznatih. - kolona slobodnih članova.

U matričnom obliku, sistem ima oblik: AX=B (2).

Rješenje sistema (1) je uređeni skup n brojevi (α1 ,…, αn) takvi da ako u (1) zamenimo x1 = α1, x2 = α2 ,…, xn = αn , onda dobijamo numeričke identitete.

Definicija 2. Sistem (1) naziva se konzistentan ako ima rješenja, a nekonzistentan inače.

Definicija 3. Dva sistema se nazivaju ekvivalentnima ako su skupovi njihovih rješenja isti.

Postoji univerzalni način rješavanja sistema (1) - Gaussova metoda (metoda uzastopnog eliminacije nepoznatih)

Razmotrimo detaljnije slučaj kada s = n. Postoji Cramerova metoda za rješavanje takvih sistema.

Neka je d = det ,

dj - determinanta od d, u kojoj je j-ti stupac zamijenjen stupcem slobodnih članova.

CRAMEROVO PRAVILO

Teorema (Cramerovo pravilo). Ako je determinanta sistema d ¹ 0, onda sistem ima jedinstveno rješenje dobijeno iz formula:

x1 = d1 / d …xn = dn / d

<Идея доказательства заключается в том, чтобы переписать систему (1) в форме матричного уравнения. Положим

i razmotrimo jednačinu AX = B (2) sa nepoznatom matricom stupaca X. Pošto su A, X, B matrice dimenzija n x n, n x 1, n x 1 shodno tome, proizvod pravokutnih matrica AX je definiran i ima iste dimenzije kao matrica B. Dakle, jednačina (2) ima smisla.

Veza između sistema (1) i jednačine (2) je ono što je rješenje ovog sistema ako i samo ako

kolona je rješenje jednačine (2).

Zaista, ova izjava znači da je jednakost

Posljednja jednakost, kao jednakost matrica, ekvivalentna je sistemu jednakosti

što znači da je to rješenje za sistem (1).

Dakle, rješenje sistema (1) se svodi na rješenje matrične jednačine (2). Pošto je determinanta d matrice A različita od nule, ona ima inverznu matricu A -1. Tada je AX = B z A(^-1)(AX) = A(^-1)B z (A(^-1)A)X = A(^-1)B z EX = A(^-1) U z X = A(^-1)B (3). Prema tome, ako jednačina (2) ima rješenje, onda je ona data formulom (3). S druge strane, A(A(^-1)B) = (A A(^-1))B = EB = B.

Dakle, X = A (^-1) B je jedino rješenje jednadžbe (2).

jer ,

gdje je A ij algebarski komplement elementa a ij u determinanti d, tada

odakle (4).

U jednakosti (4) u zagradi je napisano proširenje elementima j-te kolone determinante dj, koja se dobija iz determinante d nakon zamjene u njoj

j-tu kolonu kolonom slobodnih članova. Zbog toga, xj = dj/ d.>

Posljedica. Ako je homogen sistem od n linearnih jednadžbi iz n nepoznanica ima rješenje različito od nule, tada je determinanta ovog sistema jednaka nuli.

Teorema. Neka su A i B dvije kvadratne matrice reda n. Tada je determinanta njihovog proizvoda jednaka umnošku determinanti, tj.

| AB | = | A| | B|.

¢ Neka je A = (a ij) n x n , B = (b ij) n x n . Razmotrimo determinantu d 2 n reda 2n

d 2n = | A | | b | (-1) 1 + ... + n + 1 + ... + n = | A | | B|.

Ako pokažemo da je determinanta d 2 n jednaka determinanti matrice C=AB, tada će teorema biti dokazana.

Uradimo sljedeće transformacije u d 2 n: dodajmo (n+1) red pomnožen sa 11 u red 1; (n+2) niz pomnožen sa 12, itd. (2n) niz pomnožen sa 1 n . U rezultujućoj determinanti, prvih n elemenata prvog reda će biti nula, a ostalih n elemenata će postati ovako:

a 11 b 11 + a 12 b 21 + ... + a 1n b n1 = c 11;

a 11 b 12 + a 12 b 22 + ... + a 1n b n2 = c 12;

a 11 b 1n + a 12 b 2n + ... + a 1n b nn = c 1n.

Slično, dobijamo nule u 2, ..., n reda determinante d 2 n , a posljednjih n elemenata u svakom od ovih redova postat će odgovarajući elementi matrice C. Kao rezultat, determinanta d 2 n transformira se u jednaku determinantu:

d 2n = | c | (-1) 1 + ... + n + ... + 2n = |AB|. £

Posljedica. Determinanta proizvoda konačnog broja kvadratnih matrica jednaka je proizvodu njihovih determinanti.

¢ Dokaz je indukcijom: | A 1 ... A i +1 | = | A 1 ... A i | | A i +1 | = ... = = | A 1 | ... | A i +1 | . Ovaj lanac jednakosti je tačan prema teoremi. £

Inverzna matrica.

Neka je A = (a ij) n x n kvadratna matrica nad poljem R.

Definicija 1. Matrica A će se zvati degenerisana ako je njena determinanta jednaka 0. Matrica A će se zvati nedegenerisana inače.

Definicija 2. Neka je A n P n . Matrica V O P n će se zvati inverzna A ako je AV = VA=E.

Teorema (kriterijum za invertibilnost matrice). Matrica A je invertibilna ako i samo ako je nedegenerirana.

¢ Neka A ima inverznu matricu. Tada je AA -1 = E i, primjenom teoreme o množenju determinanti, dobijamo | A | | A -1 | = | e | ili | A | | A -1 | = 1. Dakle, | A | ¹0.

Pusti, nazad, | A | ¹ 0. Moramo pokazati da postoji matrica B takva da je AB = BA = E. Kao B uzimamo sljedeću matricu:

gdje je A ij algebarski komplement elementu a ij . Onda

Treba napomenuti da će rezultat biti matrica identiteta (dovoljno je koristiti zasluge 1 i 2 iz Laplaceove teoreme § 6), tj. AB = E. Slično, pokazano je da je BA = E. £

Primjer. Za matricu A pronađite inverznu matricu ili dokažite da ona ne postoji.

det A = -3 inverzna matrica postoji. Sada razmatramo algebarske sabirke.

A 11 = -3 A 21 = 0 A 31 \u003d 6

A 12 = 0 A 22 = 0 A 32 \u003d -3

A 13 = 1 A 23 = -1 A 33 \u003d -1

Dakle, inverzna matrica izgleda ovako: B = =

Algoritam za pronalaženje inverzne matrice za matricu A.

1. Izračunajte det A.

2. Ako je jednako 0, onda inverzna matrica ne postoji. Ako det A nije jednak 0, računamo algebarske dodatke.

3. Algebarske sabirke stavljamo na odgovarajuća mjesta.

4. Podijelite sve elemente rezultirajuće matrice det A.

Vježba 1. Saznajte da li je inverzna matrica jednovrijedna.

Vježba 2. Neka su elementi matrice A racionalni cijeli brojevi. Hoće li elementi inverzne matrice biti cjelobrojni racionalni brojevi?

Sistemi linearnih jednačina.

Definicija 1. Jednačina oblika a 1 x 1 + ....+a n x n =b , gdje su a, ... ,a n brojevi; x 1 , ... ,x n - nepoznato, naziva se linearna jednačina sa n nepoznato.

s jednačine sa n nepoznato se zove sistem s linearne jednačine sa n nepoznato, tj.

Matrica A, sastavljena od koeficijenata nepoznanica sistema (1), naziva se matrica sistema (1).

.

X = - kolona nepoznatih.

Kolona slobodnih članova.

U matričnom obliku, sistem ima oblik: AX=B (2).

Rješenje sistema (1) je uređeni skup n brojevi (α 1 ,…, α n) takvi da ako izvršimo supstituciju u (1) x 1 = α 1 , x 2 = α 2 ,…, x n = α n , onda dobijamo numeričke identitete.

Definicija 2. Sistem (1) naziva se konzistentan ako ima rješenja, a nekonzistentan inače.

Definicija 3. Za dva sistema se kaže da su ekvivalentna ako su njihovi skupovi rješenja isti.

Postoji univerzalni način rješavanja sistema (1) - Gaussova metoda (metoda sukcesivnog eliminisanja nepoznatih), vidi str.15.

Razmotrimo detaljnije slučaj kada s = n. Postoji Cramerova metoda za rješavanje takvih sistema.

Neka je d = det ,

d j - determinanta d, u kojoj je j-ta kolona zamijenjena kolonom slobodnih pojmova.

Teorema (Cramerovo pravilo). Ako je determinanta sistema d ¹ 0, onda sistem ima jedinstveno rješenje dobijeno iz formula:

x 1 \u003d d 1 / d ... x n \u003d d n / d

¢Ideja dokaza je da se sistem (1) prepiše u obliku matrične jednačine. Hajde da stavimo

i razmotrimo jednačinu AX = B (2) sa nepoznatom matricom stupaca X. Pošto su A, X, B matrice dimenzija n x n, n x 1, n x 1 shodno tome, proizvod pravokutnih matrica AX je definiran i ima iste dimenzije kao matrica B. Dakle, jednačina (2) ima smisla.

Veza između sistema (1) i jednačine (2) je ono što je rješenje ovog sistema ako i samo ako

kolona je rješenje jednačine (2).

Zaista, ova izjava znači da je jednakost

=

Jer ,

gdje je A ij algebarski komplement elementa a ij u determinanti d, tada

= ,

odakle (4).

U jednakosti (4) u zagradama je proširenje elementima j-te kolone determinante d j , koja se dobiva iz determinante d nakon zamjene u njoj

j-tu kolonu kolonom slobodnih članova. Zbog toga, x j = d j / d.£

Posljedica. Ako je homogen sistem od n linearnih jednadžbi iz n nepoznanica ima rješenje različito od nule, tada je determinanta ovog sistema jednaka nuli.

TEMA 3. Polinomi u jednoj varijabli.