Ovo je jedna od najčešćih matričnih operacija. Matrica koja se dobije nakon množenja naziva se matrični proizvod.

Matrični proizvod A m × n na matricu B n × k postojaće matrica Cm × k tako da je matrični element C nalazi se u i-ti red i j-ta kolona, ​​odnosno element c ij jednak je zbiru proizvodi elemenata i th red matrice A na relevantne elemente j th kolona matrice B.

Proces množenja matrica moguće je samo ako je broj stupaca prve matrice jednak broju redova druge matrice.

primjer:
Da li je moguće pomnožiti matricu sa matricom?

m =n, što znači da možete množiti podatke matrice.

Ako se matrice zamijene, tada s takvim matricama množenje više neće biti moguće.

m≠ n, tako da ne možete raditi množenje:

Često možete pronaći zadatke sa trikom kada se učeniku ponudi matrice množenja, čije je množenje očigledno nemoguće.

Imajte na umu da je ponekad moguće množiti matrice na oba načina. Na primjer, za matrice, a moguće i kao množenje MN, tako je i množenje N.M.

Ovo nije baš teška akcija. Množenje matrice najbolje je razumjeti na konkretnim primjerima, kao Sama definicija može biti veoma zbunjujuća.

Počnimo s najjednostavnijim primjerom:

Mora se pomnožiti sa . Prije svega, dajemo formulu za ovaj slučaj:

- Ovde je dobar obrazac.

Pomnožite sa .

Formula za ovaj slučaj je: .

Množenje matrice i rezultat:

Kao rezultat toga, tzv. nulta matrica.

Veoma je važno zapamtiti da „pravilo preuređenja mesta termina“ ovde ne funkcioniše, jer skoro uvek MN≠ NM. Dakle, proizvodnja operacija množenja matrice ni pod kojim okolnostima ne bi trebalo da se menjaju.

Sada razmotrite primjere množenja matrice trećeg reda:

Pomnožite na .

Formula je vrlo slična prethodnim:

Matrično rješenje: .

Ovo je isto množenje matrice, samo se prost broj uzima umjesto druge matrice. Kao što možete pretpostaviti, ovo množenje je mnogo lakše izvesti.

Primjer množenja matrice brojem:

Ovde je sve jasno - da bi pomnožite matricu brojem, potrebno je svaki element matrice uzastopno pomnožiti sa navedenim brojem. U ovom slučaju, 3.

Još jedan koristan primjer:

- množenje matrice razlomkom.

Prije svega, pokažimo šta ne treba raditi:

Prilikom množenja matrice razlomkom, nije potrebno unositi razlomak u matricu, jer to, prije svega, samo otežava daljnje radnje s matricom, a drugo, nastavniku otežava provjeru rješenja .

I, osim toga, nema potrebe da se svaki element matrice dijeli sa -7:

.

Ono što bi trebalo učiniti u ovom slučaju je dodati minus matrici:

.

Da imate primjer kada bi svi elementi matrice bili podijeljeni sa 7 bez ostatka, tada bi bilo moguće (i potrebno!) podijeliti.

AT ovaj primjer moguće je i potrebno sve elemente matrice pomnožiti sa ½, jer svaki element matrice je djeljiv sa 2 bez ostatka.

Napomena: u teoriji više matematike koncept škole"podjela" nije. Umjesto fraze "ovo je podijeljeno s ovim", uvijek možete reći "ovo se množi razlomkom". To jest, podjela je poseban slučaj množenje.

Glavne primjene matrica su vezane za operaciju množenje.

Zadate dvije matrice:

A - veličina mn

B - veličina n k

Jer dužina reda u matrici A poklapa se sa visinom kolone u matrici B, možete definisati matricu C=AB, koja će imati dimenzije m k. Element matrica C, koja se nalazi u proizvoljnom i-tom redu (i=1,…,m) i proizvoljnom j-tom stupcu (j=1,…,k), po definiciji je jednaka skalarnom proizvodu dva vektora iz
:i-ti red matrice A i j-ti stupac matrice B:

Svojstva:

Kako se određuje operacija množenja matrice A brojem λ?

Proizvod A sa brojem λ je matrica, čiji je svaki element jednak proizvodu odgovarajućeg elementa A sa λ. Posljedica: Zajednički faktor svih elemenata matrice može se izvaditi iz predznaka matrice.

13. Definicija inverzne matrice i njena svojstva.

Definicija. Ako postoje kvadratne matrice X i A istog reda koje zadovoljavaju uvjet:

gdje je E matrica identiteta istog reda kao i matrica A, tada se matrica X naziva obrnuto na matricu A i označava se sa A -1 .

Svojstva inverznih matrica

Naznačimo sljedeća svojstva inverznih matrica:

1) (A -1) -1 = A;

2) (AB) -1 = B -1 A -1

3) (AT) -1 = (A -1) T .

1. Ako postoji inverzna matrica, onda je jedinstvena.

2. Ne svaka druga nula kvadratna matrica postoji suprotnost.

14. Navedite glavna svojstva determinanti. Provjerite svojstvo |AB|=|A|*|B| za matrice

A= i B=

Svojstva determinanti:

1. Ako se bilo koji red determinante sastoji od nula, tada je i sama determinanta jednaka nuli.

2. Kada se dva niza zamijene, determinanta se množi sa -1.

3. Odrednica sa dva identična niza jednaka je nuli.

4. Zajednički faktor elemenata bilo kojeg reda može se izvaditi iz predznaka determinante.

5. Ako se elementi određenog reda determinante A predstave kao zbir dva člana, onda je sama determinanta jednaka zbroju dvije determinante B i D. U determinanti B navedeni niz se sastoji od prvog termini, u D - drugi članovi. Preostale linije determinanti B i D su iste kao u A.

6. Vrijednost determinante se neće promijeniti ako se jednom od nizova doda još jedan niz, pomnožen bilo kojim brojem.

7. Zbir proizvoda elemenata bilo kojeg reda i algebarskih dodataka odgovarajućim elementima drugog reda je 0.

8. Determinanta matrice A jednaka je determinanti transponovane matrice A m, tj. determinanta se ne mijenja kada se transponira.

15. Definirajte modul i argument kompleksnog broja. Zapišite u trigonometrijskom obliku brojeve √3+i, -1+ i.

Svakom kompleksnom broju z=a+ib može se dodijeliti vektor (a,b)€R 2. Dužina ovog vektora, jednaka √a 2 + b 2 naziva se modul kompleksnog broja z i označeno je sa |z|. Ugao φ između datog vektora i pozitivnog smjera ose Ox naziva se argument kompleksnog broja z i označeno sa arg z.

Bilo koji kompleksni broj z≠0 može se predstaviti kao z=|z|(cosφ +isinφ).

Ovaj oblik pisanja kompleksnog broja naziva se trigonometrijski.

√3+i=2(√3/2+1/2i)=2(cosπ/6+isinπ/6);

1+i=2(-√2/2+i√2/2)=2(cosπ/4+isinπ/4).

Svakom kompleksnom broju Z = a + ib može se dodijeliti vektor (a; b) koji pripada R^2. Dužina ovog vektora, jednaka CV od a^2 + b^2, naziva se modulom kompleksnog broja i označava se modulom Z. Ugao između ovog vektora i pozitivnog smjera ose Ox naziva se argument kompleksnog broja (označen sa arg Z).

Definicija. Proizvod dvije matrice I i AT zove se matrica With, čiji se element nalazi na raskrsnici i-ti red i j-ta kolona, ​​jednaka je zbiru proizvoda elemenata i-ti red matrice I na odgovarajućim (po redu) elementima j-ti stupac matrice AT.

Ova definicija implicira formulu za matrični element C:

Matrični proizvod I na matricu AT označeno AB.

Primjer 1 Pronađite proizvod dvije matrice I i B, ako

,

.

Odluka. Zgodno je pronaći proizvod dvije matrice I i AT napišite kao na slici 2:

Na dijagramu, sive strelice pokazuju elemente čijeg reda matrice I na elementima koje kolone matrice AT potrebno je pomnožiti da biste dobili elemente matrice With, i boje matričnog elementa C odgovarajući elementi matrica su povezani A i B, čiji se proizvodi dodaju kako bi se dobio matrični element C.

Kao rezultat, dobijamo elemente proizvoda matrica:

Sada imamo sve da zapišemo proizvod dvije matrice:

.

Proizvod dvije matrice AB ima smisla samo kada je broj stupaca matrice I odgovara broju redova matrice AT.

Ovu važnu funkciju lakše ćete zapamtiti ako češće koristite sljedeće podsjetnike:

Postoji još jedna važna karakteristika proizvoda matrica s obzirom na broj redaka i stupaca:

U proizvodu matrica AB broj redova je jednak broju redova matrice I, a broj kolona je jednak broju stupaca matrice AT .

Primjer 2 Pronađite broj redova i stupaca matrice C, što je proizvod dvije matrice A i B sljedeće dimenzije:

a) 2 X 10 i 10 X 5;

b) 10 X 2 i 2 X 5;

Primjer 3 Pronađite proizvod matrica A i B, ako:

.

A B- 2. Dakle, dimenzija matrice C = AB- 2 X 2.

Izračunajte matrične elemente C = AB.

Pronađeni proizvod matrica: .

Rješenje ovog i drugih sličnih problema možete provjeriti na matrični kalkulator proizvoda na mreži .

Primjer 5 Pronađite proizvod matrica A i B, ako:

.

Odluka. Broj redova u matrici A- 2, broj kolona u matrici B C = AB- 2 X 1.

Izračunajte matrične elemente C = AB.

Proizvod matrica će biti zapisan kao matrica stupaca: .

Rješenje ovog i drugih sličnih problema možete provjeriti na matrični kalkulator proizvoda na mreži .

Primjer 6 Pronađite proizvod matrica A i B, ako:

.

Odluka. Broj redova u matrici A- 3, broj kolona u matrici B- 3. Dakle, dimenzija matrice C = AB- 3 X 3.

Izračunajte matrične elemente C = AB.

Pronađeni proizvod matrica: .

Rješenje ovog i drugih sličnih problema možete provjeriti na matrični kalkulator proizvoda na mreži .

Primjer 7 Pronađite proizvod matrica A i B, ako:

.

Odluka. Broj redova u matrici A- 1, broj kolona u matrici B- 1. Shodno tome, dimenzija matrice C = AB- 1 X 1.

Izračunajte element matrice C = AB.

Proizvod matrica je matrica jednog elementa: .

Rješenje ovog i drugih sličnih problema možete provjeriti na matrični kalkulator proizvoda na mreži .

Softverska implementacija proizvoda dvije matrice u C++ razmatra se u odgovarajućem članku u bloku "Računari i programiranje".

Podizanje matrice na stepen je definisano kao množenje matrice istom matricom. Budući da proizvod matrica postoji samo kada je broj stupaca prve matrice isti kao broj redova druge matrice, samo kvadratne matrice se mogu podići na stepen. n stepen matrice množenjem matrice sa sobom n jednom:

Primjer 8 Zadana matrica. Nađi A² i A³ .

Sami pronađite proizvod matrica, a zatim pogledajte rješenje

Primjer 9 Zadana matrica

Naći proizvod date matrice i transponovane matrice, proizvod transponovane matrice i date matrice.

Nekretnina 1. Proizvod bilo koje matrice A i matrice identiteta E odgovarajućeg reda i desno i lijevo poklapa se sa matricom A, tj. AE = EA = A.

Drugim riječima, uloga matrice identiteta u množenju matrice je ista kao i uloga jedinica u množenju brojeva.

Primjer 10 Provjerite je li svojstvo 1 istinito pronalaženjem proizvoda matrice

na matricu identiteta desno i lijevo.

Odluka. Od matrice I sadrži tri kolone, tada morate pronaći proizvod AE, gdje

-
matrica identiteta trećeg reda. Hajde da pronađemo elemente rada With = AE :

Ispostavilo se da AE = I .

Hajde sada da nađemo posao EA, gdje E je matrica identiteta drugog reda, pošto matrica A sadrži dva reda. Hajde da pronađemo elemente rada With = EA :

Proizvod matrica (C=AB) je operacija samo za konzistentne matrice A i B, u kojoj je broj stupaca matrice A jednak broju redova matrice B:

C ⏟ m × n = A ⏟ m × p × B ⏟ p × n

Primjer 1

Podaci matrice:

• A = a (i j) dimenzija m × n;
• B = b (i j) p × n

Matrica C, čiji se elementi c i j izračunavaju po sljedećoj formuli:

c i j = a i 1 × b 1 j + a i 2 × b 2 j + . . . + a i p × b p j , i = 1 , . . . m , j = 1 , . . . m

Primjer 2

Izračunajmo proizvode AB=BA:

A = 1 2 1 0 1 2 , B = 1 0 0 1 1 1

Rješenje korištenjem pravila množenja matrice:

A ⏟ 2 × 3 × B ⏟ 3 × 2 = 1 2 1 0 1 2 × 1 0 0 1 1 1 = 1 × 1 + 2 × 0 + 1 × 1 1 × 0 + 2 × 1 + 1 × 1 0 × 1 + 1 × 0 + 2 × 1 0 × 0 + 1 × 1 + 2 × 1 = = 2 3 2 3 ⏟ 2 × 2

B ⏟ 3 × 2 × A ⏟ 2 × 3 = 1 0 0 1 1 1 × 1 2 1 0 1 2 = 1 × 1 + 0 × 0 1 × 2 + 0 × 1 1 × 1 + 0 × 2 0 × 1 + 1 × 0 0 × 2 + 1 × 1 0 × 1 + 1 × 2 1 × 1 + 1 × 0 1 × 2 + 1 × 1 1 × 1 + 1 × 2 = 1 2 1 0 1 2 1 3 3 ⏟ 3×3

Pronađeni su proizvod A B i B A, ali to su matrice različitih veličina: A B nije jednako B A.

Svojstva množenja matrice

Svojstva množenja matrice:

• (A B) C = A (B C) - asocijativnost množenja matrice;
• A (B + C) \u003d A B + A C - distributivno množenje;
• (A + B) C \u003d A C + B C - distributivnost množenja;
• λ (A B) = (λ A) B

Provjerite svojstvo #1: (A B) C = A (B C) :

(A × B) × A = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 × 1 0 0 2 = 19 22 43 50 × 1 0 0 2 = 19 44 43 100,

A (B × C) = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 1 0 0 2 = 1 2 3 4 × 5 12 7 16 = 19 44 43 100 .

Primjer 2

Provjeravamo svojstvo br. 2: A (B + C) \u003d A B + A C:

A × (B + C) = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 + 1 0 0 2 = 1 2 3 4 × 6 6 7 10 = 20 26 46 58,

A B + A C \u003d 1 2 3 4 × 5 6 7 8 + 1 2 3 4 × 1 0 0 2 = 19 22 43 50 + 1 4 3 8 = 20 26 46 58 .

Proizvod tri matrice

Proizvod tri matrice A B C izračunava se na 2 načina:

• pronađite A B i pomnožite sa C: (A B) C;
• ili pronađite prvo B C, a zatim pomnožite A (B C) .

Pomnožite matrice na 2 načina:

4 3 7 5 × - 28 93 38 - 126 × 7 3 2 1

Algoritam akcije:

• pronaći proizvod 2 matrice;
• zatim ponovo pronađite proizvod 2 matrice.

jedan). A B \u003d 4 3 7 5 × - 28 93 38 - 126 = 4 (- 28) + 3 × 38 4 × 93 + 3 (- 126) 7 (- 28) + 5 × 38 7 × 93 + 5 (- 126 ) = 2 - 6 - 6 21

2). A B C = (A B) C = 2 - 6 - 6 21 7 3 2 1 = 2 × 7 - 6 × 2 2 × 3 - 6 × 1 - 6 × 7 + 21 × 2 - 6 × 3 + 21 × 1 = 2 0 0 3 .

Koristimo formulu A B C \u003d (A B) C:

jedan). B C = - 28 93 38 - 126 7 3 2 1 = - 28 × 7 + 93 × 2 - 28 × 3 + 93 × 1 38 × 7 - 126 × 2 38 × 3 - 126 × 1 = - 10 9 14 - 12

2). A B C \u003d (A B) C \u003d 7 3 2 1 - 10 9 14 - 12 = 4 (- 10) + 3 × 14 4 × 9 + 3 (- 12) 7 (- 10) + 5 × 14 7 × 9 + 5 (- 12) = 2 0 0 3

Odgovor: 4 3 7 5 - 28 93 38 - 126 7 3 2 1 = 2 0 0 3

Množenje matrice brojem

Proizvod matrice A brojem k je matrica B \u003d A k iste veličine, koja se dobiva iz originala množenjem s datim brojem svih njegovih elemenata:

b i , j = k × a i , j

Svojstva množenja matrice brojem:

• 1 × A = A
• 0 × A = nula matrica
• k(A + B) = kA + kB
• (k + n) A = k A + n A
• (k×n)×A = k(n×A)

Pronađite proizvod matrice A = 4 2 9 0 sa 5.

5 A = 5 4 2 9 0 5 × 4 5 × 2 5 × 9 5 × 0 = 20 10 45 0

Množenje matrice vektorom

Da biste pronašli proizvod matrice i vektora, morate pomnožiti prema pravilu red po kolonu:

• ako množite matricu vektorom kolone, broj kolona u matrici mora odgovarati broju redova u vektoru kolone;
• rezultat množenja vektora stupca je samo vektor stupac:

A B = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a m 1 a m 2 ⋯ a m n b 1 b 2 ⋯ b 1 n = a 11 × b 1 + ⋯ 1 n × b n a 21 × b 1 + a 22 × b 2 + ⋯ + a 2 n × b n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a m 1 × b 1 + a m 2 × b 2 + ⋯ + a m n × b n = c 1 c 2 1 m

• ako množite matricu vektorom reda, tada matrica koja se množi mora biti isključivo vektor stupca, a broj stupaca mora odgovarati broju stupaca u vektoru reda:

A B = a a ⋯ a b b ⋯ b = a 1 × b 1 a 1 × b 2 ⋯ a 1 × b n a 2 × b 1 a 2 × b 2 ⋯ a 2 × b n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a n × b 1 a n × b ⋯ a n × b n = c 11 c 12 ⋯ c 1 n c 21 c 22 ⋯ c 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ c n 1 c n 2 ⋯ c n n

Primjer 5

Pronađite proizvod matrice A i vektora stupca B:

A B \u003d 2 4 0 - 2 1 3 - 1 0 1 1 2 - 1 \u003d 2 × 1 + 4 × 2 + 0 × (- 1) - 2 × 1 + 1 × 2 + 3 × (- 1) - 1 × 1 + 0 × 2 + 1 × (- 1) = 2 + 8 + 0 - 2 + 2 - 3 - 1 + 0 - 1 = 10 - 3 - 2

Primjer 6

Pronađite proizvod matrice A i vektora reda B:

A = 3 2 0 - 1, B \u003d - 1 1 0 2

A B = 3 2 0 1 × - 1 1 0 2 = 3 × (- 1) 3 × 1 3 × 0 3 × 2 2 × (- 1) 2 × 1 2 × 0 2 × 2 0 × (- 1) 0 × 1 0 × 0 0 × 2 1 × (- 1) 1 × 1 1 × 0 1 × 2 = - 3 3 0 6 - 2 2 0 4 0 0 0 0 - 1 1 0 2

Odgovor: A B \u003d - 3 3 0 6 - 2 2 0 4 0 0 0 0 - 1 1 0 2

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Dakle, u prethodnoj lekciji smo analizirali pravila za sabiranje i oduzimanje matrica. Ovo su tako jednostavne operacije da ih većina učenika razumije bukvalno odmah.

Međutim, radujete se rano. Freebie je gotov - idemo na množenje. Odmah ću vas upozoriti: množenje dvije matrice uopće nije množenje brojeva u ćelijama s istim koordinatama, kao što mislite. Ovdje je sve mnogo zabavnije. I morate početi s preliminarnim definicijama.

Konzistentne matrice

Jedna od najvažnijih karakteristika matrice je njena veličina. Već smo sto puta govorili o tome: $A=\left[ m\times n \right]$ znači da matrica ima tačno $m$ redova i $n$ kolona. Već smo razgovarali o tome kako ne brkati redove sa kolonama. Sada je važno nešto drugo.

Definicija. Matrice oblika $A=\left[ m\times n \right]$ i $B=\left[ n\times k \right]$, u kojima je broj stupaca u prvoj matrici isti kao broj redova u drugom, nazivaju se dosljednim.

Još jednom: broj stupaca u prvoj matrici jednak je broju redova u drugoj! Iz ovoga dobijamo dva zaključka odjednom:

1. Mi brinemo o redosledu matrica. Na primjer, matrice $A=\left[ 3\times 2 \right]$ i $B=\left[ 2\times 5 \right]$ su konzistentne (2 kolone u prvoj matrici i 2 reda u drugoj) , ali obrnuto — matrice $B=\left[ 2\times 5 \right]$ i $A=\left[ 3\times 2 \right]$ više nisu konzistentne (5 kolona u prvoj matrici je, kao bilo je, a ne 3 reda u drugom).
2. Dosljednost je lako provjeriti ako napišete sve dimenzije jednu za drugom. Koristeći primjer iz prethodnog pasusa: "3 2 2 5" - isti brojevi su u sredini, tako da su matrice konzistentne. Ali “2 5 3 2” nije dogovoreno, jer su u sredini različiti brojevi.

Osim toga, izgleda da kapetan nagovještava da su kvadratne matrice iste veličine $\left[ n\puts n \right]$ uvijek konzistentne.

U matematici, kada je redosled nabrajanja objekata važan (na primer, u definiciji o kojoj smo gore govorili, red matrica je važan), često se govori o uređenim parovima. Upoznali smo ih još u školi: mislim da je nebitno da koordinate $\left(1;0 \right)$ i $\left(0;1 \right)$ definiraju različite tačke na površini.

Dakle: koordinate su također uređeni parovi, koji se sastoje od brojeva. Ali ništa vas ne sprečava da napravite takav par matrica. Tada će biti moguće reći: "Uređeni par matrica $\left(A;B \right)$ je konzistentan ako je broj stupaca u prvoj matrici isti kao broj redova u drugoj. "

Pa, pa šta?

Definicija množenja

Razmotrite dvije konzistentne matrice: $A=\left[ m\times n \right]$ i $B=\left[ n\times k \right]$. I za njih definiramo operaciju množenja.

Definicija. Proizvod dvije konzistentne matrice $A=\left[ m\times n \right]$ i $B=\left[ n\times k \right]$ je nova matrica $C=\left[ m\times k \ desno] $, čiji se elementi izračunavaju prema formuli:

\[\begin(align) & ((c)_(i;j))=((a)_(i;1))\cdot ((b)_(1;j))+((a)_ (i;2))\cdot ((b)_(2;j))+\ldots +((a)_(i;n))\cdot ((b)_(n;j))= \\ & =\sum\limits_(t=1)^(n)(((a)_(i;t))\cdot ((b)_(t;j))) \end(align)\]

Takav proizvod se označava na standardni način: $C=A\cdot B$.

Za one koji prvi put vide ovu definiciju, odmah se postavljaju dva pitanja:

1. Kakva je ovo divljač?
2. Zašto je tako teško?

Pa, prvo prvo. Počnimo s prvim pitanjem. Šta znače svi ovi indeksi? I kako ne pogriješiti kada radite sa stvarnim matricama?

Prije svega, napominjemo da je duga linija za izračunavanje $((c)_(i;j))$ (posebno stavite tačku i zarez između indeksa da se ne zbunite, ali ne morate ih stavljati generalno - i ja sam se umorio od upisivanja formule u definiciju) zaista se svodi na jednostavno pravilo:

1. Uzmite $i$-ti red u prvoj matrici;
2. Uzmite $j$-tu kolonu u drugoj matrici;
3. Dobijamo dva niza brojeva. Elemente ovih nizova množimo istim brojevima, a zatim dodamo rezultirajuće proizvode.

Ovaj proces je lako razumjeti sa slike:

Još jednom: popravljamo red $i$ u prvoj matrici, stupac $j$ u drugoj matrici, množimo elemente sa istim brojevima, a zatim dodajemo rezultirajuće proizvode - dobijamo $((c)_(ij ))$. I tako za sve $1\le i\le m$ i $1\le j\le k$. One. bit će $m\puta k$ takvih "perverzija" ukupno.

U stvari, već smo se susreli sa množenjem matrice u školski program, samo u znatno smanjenom obliku. Neka su dati vektori:

\[\begin(align) & \vec(a)=\left(((x)_(a));((y)_(a));((z)_(a)) \right); \\ & \overrightarrow(b)=\left(((x)_(b));((y)_(b));((z)_(b)) \desno). \\ \end(poravnati)\]

Tada će njihov skalarni proizvod biti tačno zbir parnih proizvoda:

\[\overrightarrow(a)\times \overrightarrow(b)=((x)_(a))\cdot ((x)_(b))+((y)_(a))\cdot ((y )_(b))+((z)_(a))\cdot ((z)_(b))\]

Zapravo, u tim dalekim godinama, kada je drveće bilo zelenije, a nebo svjetlije, jednostavno smo pomnožili vektor reda $\overrightarrow(a)$ vektorom stupca $\overrightarrow(b)$.

Danas se ništa nije promijenilo. Samo što sada ima više ovih vektora redova i kolona.

Ali dosta teorije! Hajde da pogledamo pravi primjeri. I počnimo od samog početka jednostavan slučaj su kvadratne matrice.

Množenje kvadratnih matrica

Zadatak 1. Izvršite množenje:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(* (35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\kraj (niz) \desno]\]

Odluka. Dakle, imamo dvije matrice: $A=\left[ 2\times 2 \right]$ i $B=\left[ 2\times 2 \right]$. Jasno je da su konzistentne (kvadratne matrice iste veličine su uvijek konzistentne). Zato radimo množenje:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(niz) \right]\cdot \left[ \ begin(niz)(*(35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(niz) \right]=\left[ \begin(niz)(*(35)(r)) 1\cdot \left(-2 \right)+2\cdot 3 & 1\cdot 4+2\cdot 1 \\ -3\cdot \left(-2 \right)+4\cdot 3 & -3\cdot 4+4\cdot 1 \\\end(niz) \desno]= \\ & =\left[ \begin(niz)(*(35)(r)) 4 & 6 \\ 18 & -8 \\\ kraj (niz)\desno]. \end(poravnati)\]

To je sve!

Odgovor: $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\end(array) \right]$.

Zadatak 2. Izvršite množenje:

\[\left[ \begin(matrica) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\end(matrica) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r))9 & 6 \\ -3 & -2 \\\kraj (niz) \desno]\]

Odluka. Opet, konzistentne matrice, tako da izvodimo sljedeće akcije:\[\]

\[\begin(poravnati) & \left[ \begin(matrica) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\end(matrica) \desno]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)( r)) 9 & 6 \\ -3 & -2 \\\kraj(niz) \desno]=\lijevo[ \begin(niz)(*(35)(r)) 1\cdot 9+3\cdot \ lijevo(-3 \desno) & 1\cdot 6+3\cdot \left(-2 \right) \\ 2\cdot 9+6\cdot \left(-3 \desno) & 2\cdot 6+6\ cdot \left(-2 \desno) \\\end(niz) \right]= \\ & =\left[ \begin(matrica) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end(matrica) \right] . \end(poravnati)\]

Kao što vidite, rezultat je matrica ispunjena nulama

Odgovor: $\left[ \begin(matrix) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end(matrix) \right]$.

Iz gornjih primjera je očigledno da množenje matrice nije tako komplikovana operacija. Najmanje za kvadratne matrice 2 sa 2.

U procesu proračuna sastavili smo srednju matricu, gdje smo direktno slikali koji brojevi su uključeni u određenu ćeliju. To je upravo ono što treba činiti kada se rješavaju stvarni problemi.

Osnovna svojstva matričnog proizvoda

Ukratko. Množenje matrice:

1. Nekomutativno: $A\cdot B\ne B\cdot A$ općenito. Postoje, naravno, posebne matrice za koje je jednakost $A\cdot B=B\cdot A$ (na primjer, ako je $B=E$ matrica identiteta), ali u velikoj većini slučajeva to ne funkcionira ;
2. Asocijativno: $\left(A\cdot B \desno)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$. Ovdje nema opcija: susjedne matrice se mogu množiti bez brige o tome šta je lijevo i desno od ove dvije matrice.
3. Distributivno: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$ i $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C $

A sada - sve isto, ali detaljnije.

Množenje matrice je slično klasičnom množenju brojeva. Ali postoje razlike, od kojih je najvažnija ta množenje matrice je, općenito govoreći, nekomutativno.

Razmotrimo ponovo matrice iz Zadatka 1. Već znamo njihov direktni proizvod:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(* (35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(niz) \desno]=\left[ \begin(niz)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\kraj (niz) \desno]\]

Ali ako zamijenimo matrice, dobićemo potpuno drugačiji rezultat:

\[\left[ \begin(niz)(*(35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(niz) \desno]\cdot \left[ \begin(niz)(* (35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(niz) \right]=\left[ \begin(matrica) -14 & 4 \\ 0 & 10 \\\end(matrica )\desno]\]

Ispostavilo se da je $A\cdot B\ne B\cdot A$. Takođe, operacija množenja je definisana samo za konzistentne matrice $A=\left[ m\times n \right]$ i $B=\left[ n\times k \right]$, ali niko nije garantovao da će one ostati dosljedni, ako se zamjene. Na primjer, matrice $\left[ 2\times 3 \right]$ i $\left[ 3\times 5 \right]$ su prilično konzistentne u ovom redoslijedu, ali iste matrice $\left[ 3\times 5 \ desno] $ i $\left[ 2\times 3 \right]$ napisani obrnutim redoslijedom se više ne podudaraju. Tuga :(

Među kvadratnim matricama date veličine $n$ uvijek će biti onih koje daju isti rezultat i kada se množe u direktnom i obrnutom redoslijedu. Kako opisati sve takve matrice (i koliko ih uopće) je tema za zasebnu lekciju. Danas nećemo o tome. :)

Međutim, množenje matrice je asocijativno:

\[\left(A\cdot B \desno)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \desno)\]

Stoga, kada trebate pomnožiti nekoliko matrica u nizu odjednom, uopće nije potrebno to učiniti prije vremena: sasvim je moguće da neke susjedne matrice, kada se pomnože, daju zanimljiv rezultat. Na primjer, nulta matrica, kao u problemu 2 koji je gore razmotren.

U stvarnim problemima najčešće se moraju množiti kvadratne matrice veličine $\left[ n\puta n \right]$. Skup svih takvih matrica je označen sa $((M)^(n))$ (tj., unosi $A=\left[ n\times n \right]$ i \ znače istu stvar), i to će definitivno sadrže matricu $E$, koja se naziva matrica identiteta.

Definicija. Matrica identiteta veličine $n$ je matrica $E$ takva da za bilo koju kvadratnu matricu $A=\left[ n\times n \right]$ vrijedi jednakost:

Takva matrica uvijek izgleda isto: na njenoj glavnoj dijagonali nalaze se jedinice, a u svim ostalim ćelijama nule.

\[\begin(align) & A\cdot \left(B+C \desno)=A\cdot B+A\cdot C; \\ & \left(A+B \desno)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C. \\ \end(align)\]

Drugim riječima, ako trebate pomnožiti jednu matricu sa zbirom dvije druge, onda je možete pomnožiti sa svakom od ove "druge dvije", a zatim dodati rezultate. U praksi obično morate izvesti inverznu operaciju: primijetimo istu matricu, izvadimo je iz zagrade, izvršimo sabiranje i time pojednostavimo svoj život. :)

Imajte na umu da smo za opisivanje distributivnosti morali napisati dvije formule: gdje je zbir u drugom faktoru i gdje je zbir u prvom. To je upravo zbog činjenice da je množenje matrice nekomutativno (i općenito, u nekomutativnoj algebri postoji puno raznoraznih šala koje čak i ne padaju na pamet kada radite s običnim brojevima). A ako, na primjer, treba da zapišete ovo svojstvo tokom ispita, onda obavezno napišite obje formule, inače bi se nastavnik mogao malo naljutiti.

Dobro, sve su to bile bajke o kvadratnim matricama. Šta je sa pravougaonicima?

Slučaj pravokutnih matrica

Ali ništa - sve je isto kao i kod kockastih.

Zadatak 3. Izvršite množenje:

\[\left[ \begin(matrica) \begin(matrica) 5 \\ 2 \\ 3 \\\end(matrica) & \begin(matrica) 4 \\ 5 \\ 1 \\\end(matrica) \ \\end(matrica) \desno]\cdot \left[ \begin(niz)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\end(niz) \desno]\]

Odluka. Imamo dvije matrice: $A=\left[ 3\times 2 \right]$ i $B=\left[ 2\times 2 \right]$. Napišimo redom brojeve koji označavaju veličine:

Kao što vidite, dva centralna broja su ista. To znači da su matrice konzistentne i da se mogu množiti. I na izlazu dobijamo matricu $C=\left[ 3\puts 2 \right]$:

\[\begin(poravnati) & \left[ \begin(matrica) \begin(matrica) 5 \\ 2 \\ 3 \\\end(matrica) & \begin(matrica) 4 \\ 5 \\ 1 \\ \end(matrica) \\\end(matrica) \desno]\cdot \left[ \begin(niz)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\end(niz) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 5\cdot \left(-2 \right)+4\cdot 3 & 5\cdot 5+4\cdot 4 \\ 2 \cdot \left(-2 \right)+5\cdot 3 & 2\cdot 5+5\cdot 4 \\ 3\cdot \left(-2 \right)+1\cdot 3 & 3\cdot 5+1 \cdot 4 \\\end(niz) \right]= \\ & =\left[ \begin(niz)(*(35)(r)) 2 & 41 \\ 11 & 30 \\ -3 & 19 \ \\end(niz)\desno]. \end(poravnati)\]

Sve je jasno: konačna matrica ima 3 reda i 2 stupca. Sasvim $=\lijevo[ 3\put 2 \desno]$.

Odgovor: $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) \begin(array)(*(35)(r)) 2 \\ 11 \\ -3 \\\end(array) & \begin(matrica) 41 \\ 30 \\ 19 \\\end(matrica) \\\end(niz) \right]$.

Sada razmotrite jedan od najboljih zadataka obuke za one koji tek počinju raditi s matricama. U njemu ne treba samo da pomnožite neke dvije tablete, već prvo da odredite: da li je takvo množenje dozvoljeno?

Zadatak 4. Pronađite sve moguće parne proizvode matrica:

\\]; $B=\left[ \begin(matrica) \begin(matrica) 0 \\ 2 \\ 0 \\ 4 \\\end(matrica) & \begin(matrica) 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \ \\end(matrica) \\\end(matrix) \right]$; $C=\left[ \begin(matrix)0 & 1 \\ 1 & 0 \\\end(matrix) \right]$.

Odluka. Prvo, zapišimo dimenzije matrica:

\;\ B=\lijevo[ 4\puta 2 \desno];\ C=\lijevo[ 2\puta 2 \desno]\]

Dobijamo da se matrica $A$ može upariti samo sa matricom $B$, pošto je broj kolona u $A$ 4, a samo $B$ ima ovaj broj redova. Stoga možemo pronaći proizvod:

\\cdot \left[ \begin(niz)(*(35)(r)) 0 & 1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 3 \\ 4 & 0 \\\end(niz) \right]=\ lijevo[ \begin(niz)(*(35)(r))-10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end(niz) \desno]\]

Predlažem da čitalac sam izvede međukorake. Samo ću napomenuti da je bolje unaprijed odrediti veličinu rezultirajuće matrice, čak i prije bilo kakvih izračuna:

\\cdot \lijevo[ 4\puta 2 \desno]=\lijevo[ 2\puta 2 \desno]\]

Drugim riječima, jednostavno uklanjamo "prijelazne" koeficijente koji su osiguravali konzistentnost matrica.

Koje su druge opcije moguće? Svakako je moguće pronaći $B\cdot A$, pošto je $B=\left[ 4\times 2 \right]$, $A=\left[ 2\times 4 \right]$, pa je uređeni par $\ left(B ;A \right)$ je konzistentan, a dimenzija proizvoda će biti:

\\cdot \lijevo[ 2\puta 4 \desno]=\lijevo[ 4\puta 4 \desno]\]

Ukratko, izlaz će biti matrica $\left[ 4\times 4 \right]$, čije je koeficijente lako izračunati:

\\cdot \left[ \begin(niz)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \\\end(niz) \right]=\ lijevo[ \begin(array)(*(35)(r))1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\kraj (niz) \desno]\]

Očigledno, također možete upariti $C\cdot A$ i $B\cdot C$, i to je to. Stoga jednostavno zapisujemo rezultirajuće proizvode:

Bilo je lako. :)

Odgovor: $AB=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end(array) \right]$; $BA=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\end(niz) \desno]$; $CA=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & -2 \\\end(array) \right]$; $BC=\left[ \begin(niz)(*(35)(r))1 & 0 \\ 0 & 2 \\ 3 & 0 \\ 0 & 4 \\\end(niz) \right]$.

Općenito, toplo preporučujem da sami obavite ovaj zadatak. I još jedan sličan zadatak koji je u domaćem zadatku. Ove naizgled jednostavne misli pomoći će vam da razradite sve ključne korake u množenju matrice.

Ali priča se tu ne završava. Pređimo na specijalne slučajeve množenja. :)

Vektori redova i vektori kolona

Jedna od najčešćih matričnih operacija je množenje matricom koja ima jedan red ili jedan stupac.

Definicija. Vektor kolone je $\left[ m\times 1 \right]$ matrica, tj. koji se sastoji od nekoliko redova i samo jedne kolone.

Vektor reda je matrica veličine $\left[ 1\puts n \right]$, tj. koji se sastoji od jednog reda i nekoliko kolona.

U stvari, sa ovim objektima smo se već sreli. Na primjer, običan trodimenzionalni vektor iz stereometrije $\overrightarrow(a)=\left(x;y;z \right)$ nije ništa drugo nego vektor reda. Sa teorijske tačke gledišta, gotovo da nema razlike između redova i kolona. Morate biti oprezni samo pri koordinaciji sa okolnim matricama množenja.

Zadatak 5. Pomnožite:

\[\left[ \begin(niz)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\end(niz) \desno] \cdot \left[ \begin(niz)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\end(niz) \desno]\]

Odluka. Imamo proizvod konzistentnih matrica: $\left[ 3\times 3 \right]\cdot \left[ 3\times 1 \right]=\left[ 3\times 1 \right]$. Pronađite ovaj komad:

\[\left[ \begin(niz)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\end(niz) \desno] \cdot \left[ \begin(niz)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\end(niz) \right]=\left[ \begin(niz)(*(35 )(r)) 2\cdot 1+\left(-1 \desno)\cdot 2+3\cdot \left(-1 \right) \\ 4\cdot 1+2\cdot 2+0\cdot 2 \ \ -1\cdot 1+1\cdot 2+1\cdot \left(-1 \right) \\\end(niz) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r) ) -3 \\ 8 \\ 0 \\\kraj (niz) \desno]\]

Odgovor: $\left[ \begin(array)(*(35)(r))-3 \\ 8 \\ 0 \\\end(array) \right]$.

Zadatak 6. Izvršite množenje:

\[\left[ \begin(niz)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\end(niz) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35) (r)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\end(niz) \desno]\]

Odluka. Opet je sve konzistentno: $\left[ 1\times 3 \right]\cdot \left[ 3\times 3 \right]=\left[ 1\times 3 \right]$. Radom smatramo:

\[\left[ \begin(niz)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\end(niz) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35) (r)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\end(niz) \right]=\left[ \begin(niz)(*(35)( r))5 & -19 & 5 \\\end(niz) \desno]\]

Odgovor: $\left[ \begin(matrix) 5 & -19 & 5 \\\end(matrix) \right]$.

Kao što vidite, kada množite vektor reda i vektor kolone kvadratnom matricom, izlaz je uvijek red ili stupac iste veličine. Ova činjenica ima mnogo primjena, od rješavanja linearne jednačine na sve vrste koordinatnih transformacija (koje se na kraju svode i na sisteme jednačina, ali da ne pričamo o tužnim stvarima).

Mislim da je ovde sve bilo očigledno. Pređimo na završni dio današnje lekcije.

Eksponencijacija matrice

Među svim operacijama množenja posebnu pažnju zaslužuje eksponencijaciju - to je kada isti objekt pomnožimo sam po sebi nekoliko puta. Matrice nisu izuzetak, one se takođe mogu podići na različite stepene.

Takvi radovi su uvijek koordinirani:

\\cdot \lijevo[ n\puta n \desno]=\lijevo[ n\puta n \desno]\]

I oni su označeni na isti način kao i obični stepeni:

\[\begin(align) & A\cdot A=((A)^(2)); \\ & A\cdot A\cdot A=((A)^(3)); \\ & \underbrace(A\cdot A\cdot \ldots \cdot A)_(n)=((A)^(n)). \\ \end(poravnati)\]

Na prvi pogled, sve je jednostavno. Pogledajmo kako to izgleda u praksi:

Zadatak 7. Podignite matricu na navedenu snagu:

$((\left[ \begin(matrica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))$

Odluka. OK, gradimo. Prvo kvadrirajmo:

\[\begin(poravnaj) & ((\left[ \begin(matrica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrica) \desno])^(2))=\left[ \begin(matrica ) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrica) \desno]\cdot \left[ \begin(matrica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrica) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1\cdot 1+1\cdot 0 & 1\cdot 1+1\cdot 1 \\ 0\cdot 1+1\cdot 0 & 0\cdot 1+1\cdot 1 \\\end(niz) \desno]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \ \\end(niz) \desno] \end(poravnati)\]

\[\begin(poravnati) & ((\left[ \begin(matrica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrica) \desno])^(3))=((\left[ \begin (matrica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrica) \desno])^(3))\cdot \left[ \begin(matrica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end( matrica) \desno]= \\ & =\left[ \begin(niz)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \\\end(niz) \desno]\cdot \left[ \begin(matrica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrica) \desno]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\kraj (niz) \desno] \end(poravnanje)\]

To je sve.:)

Odgovor: $\left[ \begin(matrix)1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]$.

Problem 8. Podignite matricu na specificiranu snagu:

\[((\left[ \begin(matrica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrica) \right])^(10))\]

Odluka. Samo nemojte sad plakati zbog činjenice da je „diploma previsoka“, „svet nije fer“ i „nastavnici su potpuno izgubili banku“. U stvari, sve je jednostavno:

\[\begin(poravnati) & ((\left[ \begin(matrica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrica) \desno])^(10))=((\left[ \begin (matrica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrica) \desno])^(3))\cdot ((\left[ \begin(matrica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ kraj(matrica) \desno])^(3))\cdot ((\lijevo[ \početak(matrica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\kraj(matrica) \desno])^(3))\ cdot \left[ \begin(matrica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrica) \right]= \\ & =\left(\left[ \begin(matrica) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrica) \desno]\cdot \left[ \begin(matrica) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrica) \desno] \desno)\cdot \left(\left[ \begin(matrica) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrica) \desno]\cdot \left[ \begin(matrica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrica) \right ] \desno)= \\ & =\left[ \begin(matrica) 1 & 6 \\ 0 & 1 \\\end(matrica) \desno]\cdot \left[ \begin(matrica) 1 & 4 \\ 0 & 1 \\\end(matrica) \desno]= \\ & =\left[ \begin(matrica) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\end(matrica) \right] \end(align)\ ]

Imajte na umu da smo u drugom redu koristili asocijativnost množenja. Zapravo, koristili smo ga u prethodnom zadatku, ali tamo je bilo implicitno.

Odgovor: $\left[ \begin(matrix) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]$.

Kao što vidite, nema ništa komplikovano u podizanju matrice na stepen. Posljednji primjer se može sažeti:

\[((\left[ \begin(matrica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(n))=\left[ \begin(array)(*(35) (r)) 1 & n \\ 0 & 1 \\\kraj (niz) \desno]\]

Ovu činjenicu je lako dokazati matematička indukcija ili direktno množenje. Međutim, daleko od uvijek je moguće uhvatiti takve obrasce prilikom podizanja na stepen. Stoga, budite oprezni: često je lakše i brže pomnožiti nekoliko matrica "praznih" nego tamo tražiti neke obrasce.

Općenito, nemojte tražiti više značenje tamo gdje ga nema. U zaključku, razmotrite eksponencijaciju matrice veća veličina- koliko $\lijevo[ 3\puta 3 \desno]$.

Problem 9. Podignite matricu na specificiranu snagu:

\[((\left[ \begin(matrica) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrica) \right])^(3))\]

Odluka. Nemojmo tražiti uzorke. Radimo "kroz":

\[((\left[ \begin(matrica) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrica) \desno])^(3))=(( \left[ \begin(matrica) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrica) \desno])^(2))\cdot \left[ \begin (matrica)0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrica) \desno]\]

Počnimo s kvadriranjem ove matrice:

\[\begin(poravnati) & ((\left[ \begin(matrica) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrica) \desno])^( 2))=\left[ \begin(matrica) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrica) \right]\cdot \left[ \begin(matrix ) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrica) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r )) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\end(niz) \desno] \end(align)\]

A sada ga kockicemo:

\[\begin(poravnati) & ((\left[ \begin(matrica) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrica) \desno])^( 3))=\left[ \begin(niz)(*(35)(r)) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\end(niz) \desno] \cdot \left[ \begin(matrica) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrica) \right]= \\ & =\left[ \begin( niz)(*(35)(r)) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\end(niz) \desno] \end(poravnati)\]

To je sve. Problem riješen.

Odgovor: $\left[ \begin(matrix) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\end(matrix) \right]$.

Kao što vidite, količina proračuna je postala veća, ali značenje se nije nimalo promijenilo. :)

Ova lekcija se može završiti. Sljedeći put ćemo razmotriti inverznu operaciju: potražit ćemo originalne množitelje koristeći postojeći proizvod.

Kao što ste verovatno već pretpostavili, pričaćemo o inverznoj matrici i metodama za njeno pronalaženje.