Sada kada smo naučili kako sabirati i množiti pojedinačne razlomke, možemo razmotriti složenije strukture. Na primjer, što ako se zbrajanje, oduzimanje i množenje razlomaka javljaju u jednom zadatku?

Prije svega, trebate pretvoriti sve razlomke u nepravilne. Zatim uzastopno izvodimo tražene radnje - istim redoslijedom kao i za obične brojeve. naime:

1. Prvo se izvodi eksponencijacija - oslobodite se svih izraza koji sadrže eksponente;
2. Zatim - dijeljenje i množenje;
3. Poslednji korak je sabiranje i oduzimanje.

Naravno, ako u izrazu postoje zagrade, redoslijed radnji se mijenja - prvo se mora uzeti u obzir sve što je unutar zagrada. I zapamtite o nepravilnim razlomcima: trebate odabrati cijeli dio samo kada su sve druge radnje već završene.

Prevedemo sve razlomke iz prvog izraza u nepravilne, a zatim izvršimo sljedeće radnje:

Sada pronađimo vrijednost drugog izraza. Ne postoje razlomci s cijelim dijelom, ali postoje zagrade, pa prvo vršimo sabiranje, pa tek onda dijeljenje. Imajte na umu da je 14 = 7 2 . onda:

Konačno, razmotrite treći primjer. Ovdje postoje zagrade i diploma - bolje ih je računati zasebno. S obzirom da je 9 = 3 3 , imamo:

Obratite pažnju na posljednji primjer. Da biste razlomak podigli na stepen, morate zasebno podići brojnik na ovaj stepen, a posebno imenitelj.

Možete odlučiti drugačije. Ako se prisjetimo definicije stepena, problem će se svesti na uobičajeno množenje razlomaka:

Višespratni razlomci

Do sada smo razmatrali samo "čiste" razlomke, kada su brojnik i imenilac obični brojevi. Ovo je u skladu sa definicijom brojčanog razlomka datom u prvoj lekciji.

Ali šta ako se složeniji objekt stavi u brojnik ili nazivnik? Na primjer, drugi brojčani razlomak? Takve konstrukcije se javljaju prilično često, posebno kada se radi sa dugim izrazima. Evo nekoliko primjera:

Postoji samo jedno pravilo za rad s višekatnim frakcijama: morate ih se odmah riješiti. Uklanjanje "dodatnih" podova je prilično jednostavno, ako se sjetite da frakcijska traka znači standardnu ​​operaciju dijeljenja. Stoga se bilo koji razlomak može prepisati na sljedeći način:

Koristeći ovu činjenicu i slijedeći proceduru, lako možemo svesti bilo koji višekatni dio na običan. Pogledajte primjere:

Zadatak. Pretvorite višekatne razlomke u uobičajene:

U svakom slučaju, prepisujemo glavni razlomak, zamjenjujući liniju podjele znakom podjele. Također zapamtite da se bilo koji cijeli broj može predstaviti kao razlomak sa nazivnikom 1. To jest, 12 = 12/1; 3 = 3/1. Dobijamo:

U posljednjem primjeru, razlomci su smanjeni prije konačnog množenja.

Specifičnosti rada sa višekatnim frakcijama

Postoji jedna suptilnost u višekatnim razlomcima koje se uvijek moraju zapamtiti, inače možete dobiti pogrešan odgovor, čak i ako su svi proračuni bili tačni. Pogledaj:

1. U brojiocu je poseban broj 7, au nazivniku - razlomak 12/5;
2. Brojilac je razlomak 7/12, a imenilac je jedini broj 5.

Dakle, za jednu ploču dobili smo dvije potpuno različite interpretacije. Ako računate, odgovori će također biti drugačiji:

Kako biste osigurali da se zapis uvijek čita nedvosmisleno, koristite jednostavno pravilo: linija podjele glavnog razlomka mora biti duža od ugniježđene linije. Po mogućnosti nekoliko puta.

Ako slijedite ovo pravilo, tada bi gornji razlomci trebali biti napisani na sljedeći način:

Da, vjerovatno je ružan i zauzima previše prostora. Ali ćete tačno računati. Konačno, nekoliko primjera gdje se razlomci na više nivoa zaista pojavljuju:

Zadatak. Pronađite vrijednosti izraza:

Dakle, poradimo na prvom primjeru. Pretvorimo sve razlomke u nepravilne, a zatim izvršimo operacije sabiranja i dijeljenja:

Uradimo isto sa drugim primjerom. Pretvorite sve razlomke u nepravilne i izvršite potrebne operacije. Da ne bih dosadio čitaocu, izostaviću neke očigledne kalkulacije. Imamo:

Zbog činjenice da brojnik i nazivnik glavnih razlomaka sadrže zbrojeve, pravilo za pisanje višekatnih razlomaka se automatski poštuje. Također, u posljednjem primjeru smo namjerno ostavili broj 46/1 u obliku razlomka kako bismo izvršili dijeljenje.

Također napominjem da u oba primjera razlomka zapravo zamjenjuje zagrade: prvo smo pronašli zbir, a tek onda - količnik.

Neko će reći da je prijelaz na nepravilne razlomke u drugom primjeru bio očito suvišan. Možda je to tako. Ali na taj način se osiguravamo od grešaka, jer sljedeći put primjer može biti mnogo komplikovaniji. Odaberite za sebe što je važnije: brzina ili pouzdanost.

Materijal ovog članka je opći pogled na transformaciju izraza koji sadrže razlomke. Ovdje ćemo razmotriti osnovne transformacije koje su karakteristične za izraze sa razlomcima.

Navigacija po stranici.

Frakcijski izrazi i frakcijski izrazi

Za početak, razjasnimo s kakvom transformacijom izraza ćemo se baviti.

Naslov članka sadrži frazu koja je sama po sebi razumljiva " izrazi sa razlomcima". Odnosno, u nastavku ćemo govoriti o transformaciji numeričkih izraza i izraza s varijablama, u čijem zapisu postoji barem jedan razlomak.

Odmah napominjemo da nakon objavljivanja članka " Transformacija razlomaka: opći pogled" više nas ne zanimaju pojedinačni razlomci. Dakle, dalje ćemo razmatrati zbrojeve, razlike, proizvode, parcijalne i još mnogo toga složeni izrazi sa korijenima, stepenima, logaritmima, koji su ujedinjeni samo prisustvom barem jednog razlomka.

I hajde da pričamo o tome frakcioni izrazi. Ovo nije isto što i izrazi sa razlomcima. Izrazi sa razlomcima - više opšti koncept. Nije svaki izraz sa razlomcima frakcijski izraz. Na primjer, izraz nije frakcijski izraz, iako sadrži razlomak, on je cjelobrojni racionalni izraz. Dakle, nemojte izraz sa razlomcima zvati frakcijskim izrazom, a da niste potpuno sigurni da jeste.

Osnovne identične transformacije izraza s razlomcima

Primjer.

Pojednostavite izraz .

Rješenje.

U tom slučaju možete otvoriti zagrade, što će dati izraz , koji sadrži slične članove i , kao i −3 i 3 . Nakon njihovog smanjenja, dobijamo razlomak.

Hajde da pokažemo kratke forme unosi rješenja:

odgovor:

.

Rad sa pojedinačnim razlomcima

Izrazi o kojima govorimo razlikuju se od ostalih izraza uglavnom po prisutnosti razlomaka. A prisutnost frakcija zahtijeva alate za rad s njima. U ovom odlomku ćemo razgovarati o transformaciji pojedinačnih razlomaka uključenih u zapis ovog izraza, au sljedećem ćemo preći na izvođenje operacija sa razlomcima koji čine originalni izraz.

Sa bilo kojim razlomkom koji jeste sastavni dio originalni izraz, možete izvršiti bilo koju od konverzija navedenih u članku o konverziji razlomaka. Odnosno, možete uzeti poseban razlomak, raditi s njegovim brojnikom i nazivnikom, smanjiti ga, dovesti ga na novi nazivnik itd. Jasno je da će ovom transformacijom odabrani razlomak biti zamijenjen razlomkom koji mu je identično jednak, a originalni izraz će biti zamijenjen izrazom koji je njemu identično jednak. Pogledajmo primjer.

Primjer.

Pretvorite izraz s razlomkom na jednostavniji oblik.

Rješenje.

Započnimo transformaciju radom sa razlomkom. Prvo otvorite zagrade i dajte slične pojmove u brojiocu razlomka: . Sada se postavlja zagrada zajedničkog faktora x u brojiocu i naknadno smanjenje algebarskog razlomka: . Ostaje samo zamijeniti dobiveni rezultat umjesto razlomka u izvornom izrazu, koji daje .

odgovor:

.

Izvođenje radnji sa razlomcima

Deo procesa pretvaranja izraza sa razlomcima je često obavezan radnje sa razlomcima. Izvode se u skladu sa prihvaćenom procedurom za izvođenje radnji. Također je vrijedno imati na umu da se bilo koji broj ili izraz uvijek može predstaviti kao razlomak sa nazivnikom 1.

Primjer.

Pojednostavite izraz .

Rješenje.

Problemu se može pristupiti iz različitih uglova. U kontekstu teme koja se razmatra, ići ćemo izvođenjem radnji s razlomcima. Počnimo s množenjem razlomaka:

Sada zapisujemo proizvod kao razlomak sa nazivnikom 1, nakon čega oduzimamo razlomke:

Po želji i potrebi, još uvijek se može riješiti iracionalnosti u nazivniku , na kojoj možete završiti transformaciju.

odgovor:

Primena svojstava korena, stepena, logaritma, itd.

Klasa izraza sa razlomcima je veoma široka. Takvi izrazi, osim samih razlomaka, mogu sadržavati korijene, stupnjeve s različitim eksponentima, module, logaritme, trigonometrijske funkcije itd. Naravno, kada se konvertuju, primenjuju se odgovarajuća svojstva.

Primjenjivo na razlomke, vrijedi istaknuti svojstvo korijena razlomka, svojstvo razlomka do stepena, svojstvo modula količnika i svojstvo logaritma razlike .

Radi jasnoće dajemo nekoliko primjera. Na primjer, u izrazu Možda bi bilo korisno, na osnovu svojstava stepena, zamijeniti prvi razlomak stepenom, što nam dalje omogućava da izraz predstavimo kao kvadratnu razliku. Prilikom pretvaranja logaritamskog izraza moguće je zamijeniti logaritam razlomka razlikom logaritama, što nam dalje omogućava da donesemo slične pojmove i time pojednostavimo izraz: . Pretvaranje trigonometrijskih izraza može zahtijevati zamjenu omjera sinusa i kosinusa istog ugla tangentom. Možda će također biti potrebno prijeći s polovice argumenta koristeći odgovarajuće formule na cijeli argument, čime ćete se riješiti argumenta razlomaka, na primjer, .

Primjena svojstava korijena, stupnjeva itd. transformacija izraza je detaljnije obrađena u člancima:

• Transformacija iracionalnih izraza korištenjem svojstava korijena,
• Transformacija izraza korištenjem svojstava potencija,
• Pretvaranje logaritamskih izraza koristeći svojstva logaritama,
• Pretvaranje trigonometrijskih izraza.

Iz kursa algebre školski program Hajdemo na pojedinosti. U ovom članku ćemo detaljno proučiti posebnu vrstu racionalnih izraza − racionalne razlomke, a također analizirati koja je karakteristika identična transformacije racionalnih razlomaka zauzmi mjesto.

Odmah napominjemo da se racionalni razlomci u smislu u kojem ih definiramo u nastavku nazivaju algebarskim razlomcima u nekim udžbenicima algebre. Odnosno, u ovom članku ćemo razumjeti istu stvar pod racionalnim i algebarskim razlomcima.

Kao i obično, počinjemo s definicijom i primjerima. Zatim, razgovarajmo o dovođenju racionalnog razlomka na novi nazivnik i o promjeni predznaka članova razlomka. Nakon toga ćemo analizirati kako se vrši redukcija razlomaka. Konačno, zadržimo se na predstavljanju racionalnog razlomka kao sume nekoliko razlomaka. Sve informacije će biti pružene primjerima sa detaljnim opisima rješenja.

Navigacija po stranici.

Definicija i primjeri racionalnih razlomaka

Racionalni razlomci se izučavaju na časovima algebre u 8. razredu. Koristićemo definiciju racionalnog razlomka, koja je data u udžbeniku algebre za 8. razred Yu. N. Makarycheva i drugih.

AT ovu definiciju nije precizirano da li polinomi u brojniku i nazivniku racionalnog razlomka moraju biti polinomi standardnog oblika ili ne. Stoga ćemo pretpostaviti da racionalni razlomci mogu sadržavati i standardne i nestandardne polinome.

Evo nekoliko primjeri racionalnih razlomaka. Dakle, x/8 i - racionalni razlomci. I razlomci i ne uklapaju se u zvučnu definiciju racionalnog razlomka, jer u prvom od njih brojilac nije polinom, a u drugom i brojnik i imenilac sadrže izraze koji nisu polinomi.

Pretvaranje brojnika i nazivnika racionalnog razlomka

Brojilac i nazivnik bilo kog razlomka su samodovoljni matematički izrazi, u slučaju racionalnih razlomaka su polinomi, u konkretnom slučaju monomi i brojevi. Dakle, sa brojicom i nazivnikom racionalnog razlomka, kao i sa svakim izrazom, mogu se izvršiti identične transformacije. Drugim riječima, izraz u brojniku racionalnog razlomka može se zamijeniti izrazom koji mu je identično jednak, baš kao i nazivnik.

U brojniku i nazivniku racionalnog razlomka mogu se izvršiti identične transformacije. Na primjer, u brojniku možete grupirati i smanjiti slične članove, a u nazivniku se proizvod nekoliko brojeva može zamijeniti njegovom vrijednošću. A budući da su brojnik i nazivnik racionalnog razlomka polinomi, moguće je s njima izvršiti transformacije karakteristične za polinome, na primjer, svođenje na standardni oblik ili reprezentaciju kao proizvod.

Radi jasnoće, razmotrite rješenja nekoliko primjera.

Primjer.

Pretvori racionalni razlomak tako da je brojilac polinom standardnog oblika, a nazivnik proizvod polinoma.

Rješenje.

Svođenje racionalnih razlomaka na novi nazivnik uglavnom se koristi kada se zbrajaju i oduzimaju racionalni razlomci.

Mijenjanje znakova ispred razlomka, kao i u brojniku i nazivniku

Osnovno svojstvo razlomka može se koristiti za promjenu predznaka članova razlomka. Zaista, množenje brojnika i nazivnika racionalnog razlomka sa -1 je jednako promjeni njihovih predznaka, a rezultat je razlomak koji je identično jednak datom. Takva transformacija se mora često koristiti kada se radi s racionalnim razlomcima.

Dakle, ako istovremeno promijenite predznake brojnika i nazivnika razlomka, dobit ćete razlomak jednak izvornom. Ova izjava odgovara jednakosti.

Uzmimo primjer. Racionalni razlomak se može zamijeniti identično jednakim razlomkom s obrnutim predznacima brojnika i nazivnika oblika.

Kod razlomaka se može izvršiti još jedna identična transformacija u kojoj se predznak mijenja ili u brojniku ili u nazivniku. Hajdemo preko odgovarajućeg pravila. Ako znak razlomka zamijenite sa predznakom brojnika ili nazivnika, dobit ćete razlomak koji je identično jednak originalu. Pisana izjava odgovara jednakosti i .

Ove jednakosti nije teško dokazati. Dokaz se zasniva na svojstvima množenja brojeva. Dokažimo prvi od njih: . Uz pomoć sličnih transformacija dokazuje se i jednakost.

Na primjer, razlomak se može zamijeniti izrazom ili .

Da zaključimo ovaj pododjeljak, predstavljamo još dvije korisne jednakosti i . To jest, ako promijenite predznak samo brojioca ili samo nazivnika, tada će razlomak promijeniti svoj predznak. Na primjer, i .

Razmatrane transformacije, koje omogućavaju promjenu predznaka pojmova razlomka, često se koriste pri transformaciji razlomno racionalnih izraza.

Redukcija racionalnih razlomaka

Sljedeća transformacija racionalnih razlomaka, nazvana redukcija racionalnih razlomaka, zasniva se na istom osnovnom svojstvu razlomka. Ova transformacija odgovara jednakosti , gdje su a , b i c neki polinomi, a b i c su različiti od nule.

Iz gornje jednakosti postaje jasno da redukcija racionalnog razlomka podrazumijeva oslobađanje od zajedničkog faktora u brojniku i nazivniku.

Primjer.

Smanjite racionalni razlomak.

Rješenje.

Zajednički faktor 2 je odmah vidljiv, hajde da ga smanjimo (prilikom pisanja zgodno je precrtati zajedničke faktore po kojima se redukcija vrši). Imamo . Budući da je x 2 = x x i y 7 = y 3 y 4 (pogledajte ako je potrebno), jasno je da je x zajednički faktor brojnika i nazivnika rezultirajućeg razlomka, poput y 3 . Smanjimo ovim faktorima: . Ovo završava redukciju.

Iznad smo izvršili redukciju racionalnog razlomka sekvencijalno. I bilo je moguće izvršiti redukciju u jednom koraku, odmah smanjujući razlomak za 2·x·y 3 . U ovom slučaju rješenje bi izgledalo ovako: .

odgovor:

.

Prilikom redukcije racionalnih razlomaka, glavni problem je što zajednički faktor brojnika i nazivnika nije uvijek vidljiv. Štaviše, ne postoji uvijek. Da biste pronašli zajednički faktor ili se uvjerili da on ne postoji, morate rastaviti brojnik i imenilac racionalnog razlomka. Ako nema zajedničkog faktora, tada se originalni racionalni razlomak ne treba smanjivati, u suprotnom se vrši redukcija.

U procesu smanjenja racionalnih razlomaka mogu se pojaviti različite nijanse. Glavne suptilnosti s primjerima i detaljima razmatraju se u članku redukcija algebarskih razlomaka.

Zaključujući razgovor o redukciji racionalnih razlomaka, napominjemo da je ova transformacija identična, a glavna poteškoća u njenoj implementaciji leži u faktorizaciji polinoma u brojniku i nazivniku.

Predstavljanje racionalnog razlomka kao zbir razlomaka

Sasvim specifična, ali u nekim slučajevima vrlo korisna je transformacija racionalnog razlomka, koja se sastoji u njegovom predstavljanju kao zbir nekoliko razlomaka, odnosno zbir cjelobrojnog izraza i razlomka.

Racionalni razlomak, u čijem brojiocu se nalazi polinom, koji je zbir više monoma, uvijek se može zapisati kao zbir razlomaka sa istim nazivnicima, u čijim se brojiocima nalaze odgovarajući monomi. Na primjer, . Ovaj prikaz se objašnjava pravilom sabiranja i oduzimanja algebarskih razlomaka sa istim nazivnicima.

Općenito, svaki racionalni razlomak se može predstaviti kao zbir razlomaka na mnogo različitih načina. Na primjer, razlomak a/b se može predstaviti kao zbir dva razlomka - proizvoljnog razlomka c/d i razlomka jednakog razlici između razlomaka a/b i c/d. Ova izjava je tačna, budući da je jednakost . Na primjer, racionalni razlomak se može predstaviti kao zbir razlomaka na različite načine: Originalni razlomak predstavljamo kao zbir cjelobrojnog izraza i razlomka. Nakon što brojilac podijelimo sa nazivnikom kolonom, dobijamo jednakost . Vrijednost izraza n 3 +4 za bilo koji cijeli broj n je cijeli broj. A vrijednost razlomka je cijeli broj ako i samo ako je njegov nazivnik 1, −1, 3 ili −3. Ove vrijednosti odgovaraju vrijednostima n=3, n=1, n=5 i n=−1 respektivno.

odgovor:

−1 , 1 , 3 , 5 .

Bibliografija.

• algebra: udžbenik za 8 ćelija. opšte obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - 16. ed. - M. : Education, 2008. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. 7. razred. U 14 sati Prvi dio. Udžbenik za učenike obrazovne institucije/ A. G. Mordkovich. - 13. izdanje, Rev. - M.: Mnemosyne, 2009. - 160 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01198-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. 8. razred. U 14 sati Prvi dio. Udžbenik za studente obrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich. - 11. izdanje, izbrisano. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (priručnik za polaznike tehničkih škola): Proc. dodatak.- M.; Više škola, 1984.-351 str., ilustr.

U školi VIII tipa učenici se upoznaju sa sledećim transformacijama razlomaka: izražavanje razlomka u većim razlomcima (6. razred), izražavanje nepravog razlomka celim ili mešovitim brojem (6. razred), izražavanje razlomaka u jednakim delovima (7. razred), izraz mješovitog broja kao nepravi razlomak (7. razred).

Nepravilan izraz razlomakaili mešoviti broj

I Proučavanje ovog materijala treba započeti sa zadatkom: uzmite 2 sašivena kruga i svaki od njih podijelite na 4 jednaka dijela, izbrojite broj četvrtih dijelova (slika 25). Nadalje, predlaže se da se ovaj iznos zapiše kao razlomak (t) Zatim se četvrti dijelovi dodaju jedan drugom i učenici su uvjereni da je ispalo

1. krug. shodno tome, -t= jedan . Dodaje na četiri četvrtine - uzastopno više -t, a učenici zapisuju: t=1, -7=1 6 2 7 3 8 9

Nastavnik skreće pažnju učenicima da su u svim razmatranim slučajevima uzeli nepravi razlomak, a kao rezultat transformacije dobili su ili cijeli ili mješoviti broj, odnosno nepravilan razlomak su izrazili cijelim brojem. ili mešoviti broj. Zatim, moramo nastojati osigurati da učenici samostalno odrede koju aritmetičku operaciju ova transformacija može izvršiti. Živopisni primjeri koji vode do odgovora

četiri . 8 0 5 .1 7 .3 „ L

na pitanje su: -2-=! i t = 2, 4" = 1t i t T " YV °D : to

Da biste izrazili nepravilan razlomak kao cijeli ili mješoviti broj, trebate podijeliti brojilac razlomka sa nazivnikom, napisati količnik kao cijeli broj, ostatak upisati u brojilac i ostaviti nazivnik isti. Pošto je pravilo glomazno, uopšte nije neophodno da ga učenici pamte. Oni bi trebali biti u stanju da dosljedno govore o radnjama prilikom izvođenja ove transformacije.

Prije upoznavanja učenika sa izražavanjem nepravilnog razlomka cijelim ili mješovitim brojem, preporučljivo je s njima ponoviti dijeljenje cijelog broja cijelim brojem sa ostatkom.

Konsolidacija nove transformacije za studente je olakšana rješavanjem problema vitalne i praktične prirode, na primjer:

„U vazi je devet četvrtina narandže. Škol| Mogu li se dodati cijele narandže iz ovih udjela? Koliko će četvrtina ostati?"

“Za proizvodnju poklopaca za kutije, svaki list kartice

35 se isječe na 16 jednakih dijelova. Imam -^. Koliko golova!

Izrezati listove kartona? Koliko šesnaestina rezanja! od sljedećeg komada? itd.

Izraz cjelobrojnog i mješovitog brojanepravilan razlomak

Uvodu učenika u ovu novu transformaciju trebalo bi da prethodi rešavanje problema, na primer:

„2 komada tkanine, jednake dužine, u obliku kvadrata. > iseći na 4 jednaka dela. Iz svakog takvog dijela bila je sašivena maramica. Koliko si maramica dobila? I Zapis: 2= - 1 4^-, 2= -% ]

jesi li dobio vino? Zapišite: bilo je 1 * krug, postao je * krug, što znači

Stoga, na osnovu vizualne i praktične osnove, razmatramo niz primjera. U primjerima koji se razmatraju od učenika se traži da uporede originalni broj (mješoviti ili cijeli) i broj koji je ispao nakon konverzije (nepravilan razlomak).

Da bi se učenici upoznali sa pravilom izražavanja celine i mešovitog broja nepravilnim razlomkom, potrebno im je skrenuti pažnju na upoređivanje nazivnika mešovitog broja i nepravilnog razlomka, kao i na to kako se dobija brojilac, za primjer:

1 2"=?, 1 = 2", plus ^, ukupno ^ 3 ^=?, 3=-^-, plus ^, ukupno

bit će -^-. Kao rezultat, formulirano je pravilo: tako da je mješoviti broj

izraženo kao nepravilan razlomak, potrebno je nazivnik pomnožiti cijelim brojem, umnošku dodati brojilac i zapisati zbir kao brojilac, a imenilac ostaviti nepromijenjen.

Prvo, treba da vježbate učenike da izraze jedinicu kao nepravilan razlomak, zatim bilo koji drugi cijeli broj sa nazivnikom, a tek onda mješoviti broj:

Osnovno svojstvo razlomka 1

[koncept nepromjenjivosti razlomka dok raste

1 smanjenje njegovih članova, odnosno brojilac i imenilac, učenici škole VIII tipa teško asimiliraju. Ovaj koncept se mora uvesti na vizuelnom i didaktičkom materijalu,

Zašto je važno da učenici ne samo da posmatraju aktivnosti nastavnika, već i da aktivno rade sa didaktičkim materijalom i na osnovu zapažanja i praktičnih aktivnosti dolaze do određenih zaključaka, generalizacija.

Na primjer, učitelj uzima cijelu repu, dijeli je na 2 jednake osvete i pita: „Šta si dobio kada si cijelu repu podijelio

na pola? (2 polovine.) Prikaži * repa. Hajde da sečemo (odvojimo)

pola repe na još 2 jednaka dijela. Šta ćemo dobiti? -y. napišimo:

tt \u003d - m - Usporedimo brojnike i nazivnike ovih razlomaka. U koje vreme

puta se brojilac povećao? Koliko se puta povećao imenilac? Koliko puta su se povećali i brojnik i imenilac? Da li se razlomak promijenio? Zašto se nije promenilo? Koje su bile dionice: veće ili manje? Da li se broj povećao ili smanjio

Zatim svi učenici podijele krug na 2 jednaka dijela, svaka polovina se podijeli na još 2 jednaka dijela, svaka četvrtina se dalje podijeli na

2 jednaka dijela itd. i zapišite: "o ^ A ^ tg ^ tgg i t - L- Zatim utvrđuju koliko su se puta povećali brojnik i imenilac razlomka, da li se razlomak promijenio. Zatim crtaju odsječak i podijeli ga redom sa 3, 6, 12 jednakih dijelova i zapiši:

1 21 4 Kada se uporede razlomci -^ i -^, -^ i -^, nalazi se da

brojilac i nazivnik razlomka r se povećavaju za isti broj puta, razlomak se od ovoga ne mijenja.

Nakon razmatranja brojnih primjera, učenike treba zamoliti da odgovore na pitanje: „Hoće li se razlomak promijeniti ako je brojilac?“ , u nastavi za nivelisanje za djecu sa poteškoćama u učenju matematike. U ovom udžbeniku paragrafi koji daju metodologiju proučavanja ovog materijala,

označeno zvjezdicom (*).

Slični primjeri daju se kada se razmatra smanjenje brojnika i nazivnika za isti broj puta (brojioci i nazivnik se dijele istim brojem). Na primjer, cr>"

( 4 \ podijeljeno na 8 jednakih dijelova, uzmite 4 osmine kruga I -o-]

povećavši udjele, uzimaju četvrtu, biće ih 2. Nakon povećanja udjela

4 2 1 uzmi drugu. Bit će 1 : ~th = -d--%- Uporediti pratilac!I

brojioce i nazivnike ovih razlomaka, odgovarajući na pitanja: „U<>koliko puta se brojilac i imenilac smanjuju? Hoće li se razlomak promijeniti?

Dobra prednost su pruge, podeljene na 12, 6, 3 jednaka dela (Sl. 26).

H

12 6 3 Sl. 26

Ovaj generalizovani materijal je poznat iz školski kurs matematike. Ovdje gledamo razlomke. opšti pogled s brojevima, potencijama, korijenima, logaritmima, trigonometrijskim funkcijama ili drugim objektima. Razmatrat će se osnovne transformacije razlomaka, bez obzira na njihovu vrstu.

Šta je razlomak?

Postoji još nekoliko definicija.

Definicija 2

Horizontalna kosa crta koja razdvaja A i B naziva se razlomak ili frakciona linija.

Definicija 3

Izraz iznad crte razlomka se zove brojilac i ispod - nazivnik.

Od običnih razlomaka do općih razlomaka

Upoznavanje sa razlomkom se dešava u 5. razredu, kada prođu obični razlomci. Iz definicije se vidi da su brojilac i imenilac prirodni brojevi.

Primjer 1

Na primjer 1 5 , 2 6 , 12 7 , 3 1 , koji se može napisati kao 1 / 5 , 2 / 6 , 12 / 7 , 3 / 1 .

Nakon proučavanja operacija s običnim razlomcima, bavimo se razlomcima koji nemaju jedan prirodan broj u nazivniku, već izraze s prirodnim brojevima.

Primjer 2

Na primjer, 1 + 3 5 , 9 - 5 16 , 2 7 9 12 .

Kada je riječ o razlomcima, gdje postoje slova ili doslovni izrazi, to se piše na sljedeći način:

a + b c , a - b c , a c b d .

Definicija 4

Popravite pravila za sabiranje, oduzimanje, množenje običnih razlomaka a c + b c = a + b c , a c - b c = a - b c , a b v d = a c b d

Za izračunavanje često je potrebno doći do prijevoda mešoviti brojevi u obične razlomke. Kada cijeli broj označimo kao a, tada razlomak ima oblik b / c, dobijamo razlomak oblika a · c + b c, iz čega je jasan izgled takvih razlomaka 2 · 11 + 3 11 , 5 · 2 + 1 2 i tako dalje.

Prava razlomka se smatra znakom podjele. Dakle, zapis se može konvertovati na drugi način:

1: a - (2 b + 1) \u003d 1 a - 2 b + 1, 5 - 1, 7 3: 2 3 - 4: 2 = 5 - 1, 7 3 2 3 - 4: 2 , gdje je količnik 4:2 može se zamijeniti razlomkom, tada ćemo dobiti izraz oblika

5 - 1 , 7 3 2 3 - 4 2

Proračuni s racionalnim razlomcima zauzimaju posebno mjesto u matematici, jer brojilac i nazivnik mogu sadržavati ne samo numeričke vrijednosti, već i polinome.

Primjer 3

Na primjer, 1 x 2 + 1 , x y - 2 y 2 0 , 5 - 2 x + y 3 .

Racionalni izrazi se smatraju razlomcima opšteg oblika.

Primjer 4

Na primjer, x x + 1 4 x 2 x 2 - 1 2 x 3 + 3 , 1 + x 2 y (x - 2) 1 x + 3 x 1 + 2 - x 4 x 5 + 6x.

Proučavanje korijena, potencija s racionalnim eksponentima, logaritma, trigonometrijske funkcije kaže da se njihova primjena pojavljuje u datim razlomcima oblika:

Primjer 5

a n b n , 2 x + x 2 3 x 1 3 - 12 x , 2 x 2 + 3 3 x 2 + 3 , ln (x - 3) ln e 5 , cos 2 α - sin 2 α 1 - 1 cos 2 α .

Razlomci se mogu kombinovati, odnosno imaju oblik x + 1 x 3 log 3 sin 2 x + 3, lg x + 2 lg x 2 - 2 x + 1.

Vrste konverzija razlomaka

Za niz identičnih transformacija razmatra se nekoliko tipova:

Definicija 5

• transformacija specifična za rad sa brojiocem i nazivnikom;
• promjena predznaka prije razlomka;
• redukcija na zajednički nazivnik i redukcija razlomaka;
• prikaz razlomka kao sume polinoma.

Pretvaranje izraza u brojnik i nazivnik

Sa identično jednakim izrazima, imamo da je rezultujući razlomak identično jednak originalu.

Ako je dat razlomak oblika A/B, tada su A i B neki izrazi. Tada, prilikom zamjene, dobijamo razlomak oblika A 1 / B 1 . Potrebno je dokazati jednakost A / A 1 = B / B 1 za bilo koju vrijednost varijabli koje zadovoljavaju ODZ.

Imamo to A i A 1 i B i B1 identično jednake, onda su i njihove vrijednosti jednake. Iz toga slijedi da za bilo koju vrijednost A/B i A 1 / B 1 razlomci će biti jednaki.

Ova konverzija olakšava rad sa razlomcima ako trebate zasebno pretvoriti brojnik i nazivnik.

Primjer 6

Na primjer, uzmimo razlomak oblika 2 / 18, koji pretvaramo u 2 2 · 3 · 3. Da bismo to učinili, razlažemo nazivnik na jednostavne faktore. Razlomak x 2 + x y x 2 + 2 x y + y 2 = x x + y (x + y) 2 ima brojnik oblika x 2 + x y, znači da je potrebno zamijeniti sa x (x + y) , koji će se dobiti stavljanjem u zagrade zajedničkog faktora x . Imenilac datog razlomka x 2 + 2 x y + y 2 srušiti po skraćenoj formuli množenja. Tada dobijamo da je njegov identično jednak izraz (x + y) 2 .

Primjer 7

Ako je dat razlomak oblika sin 2 3 φ - π + cos 2 3 φ - π φ φ 5 6, tada je za pojednostavljenje potrebno zamijeniti brojilac sa 1 prema formuli, a nazivnik dovesti u oblik φ 11 12. Tada dobijamo da je 1 φ 11 12 jednako datom razlomku.

Promjena predznaka ispred razlomka, u njegovom brojiocu, nazivniku

Konverzije razlomaka su također zamjena znakova ispred razlomka. Pogledajmo neka pravila:

Definicija 7

• pri promjeni predznaka brojila dobivamo razlomak koji je jednak datom, a doslovno izgleda kao _ - A - B \u003d A B, gdje su A i B neki izrazi;
• pri promjeni predznaka ispred razlomka i prije brojnika dobijamo da - - A B = A B ;
• pri zamjeni predznaka ispred razlomka i njegovog nazivnika dobijamo da je - A - B = A B .

Dokaz

Znak minus se u većini slučajeva tretira kao faktor predznaka - 1, a kosa crta je podjela. Odavde dobijamo da - A - B = - 1 · A: - 1 · B . Grupisanjem faktora imamo to

1 A: - 1 B = ((- 1) : (- 1) A: B = = 1 A: B = A: B = A B

Nakon dokazivanja prve tvrdnje, opravdavamo ostatak. Dobijamo:

A B = (- 1) (((- 1) A) : B) = (- 1 - 1) A: B = = 1 (A: B) = A: B = A B - A - B = (- 1) (A: - 1 B) = ((- 1) : (- 1)) (A: B) == 1 (A: B) = A: B = A B

Razmotrite primjere.

Primjer 8

Kada je potrebno razlomak 3/7 pretvoriti u oblik - 3 - 7, - - 3 7, - 3 - 7, onda se slično izvodi sa razlomkom oblika - 1 + x - x 2 2 2 3 - ln (x 2 + 3) x + sin 2 x 3 x .

Transformacije se izvode na sljedeći način:

1) - 1 + x - x 2 2 2 3 - ln (x 2 + 3) x + sin 2 x 3 x = = - (- 1 + x - x 2) - 2 2 3 - ln x 2 + 3 x + sin 2 x 3 x = = 1 - x + x 2 - 2 2 3 + ln (x 2 + 3) x - s i n 2 x 3 x 2) - 1 + x - x 2 2 2 3 - ln (x 2 + 3) x + sin 2 x 3 x = = - - (- 1 + x - x 2) 2 2 3 - ln (x 2 + 3) x + sin 2 x 3 x = = - 1 - x + x 2 2 2 3 - ln (x 2 + 3) x + sin 2 x 3 x 3) - 1 + x - x 2 2 2 3 - ln (x 2 + 3) x + sin 2 x 3 x = = - - 1 + x - x 2 - 2 2 3 - ln (x 2 + 3) x + sin 2 x 3 x = = - - 1 + x - x 2 - 2 2 3 + ln (x 2 + 3) x - sin 2 x 3 x

Dovođenje razlomka na novi nazivnik

Kada smo proučavali obične razlomke, dotakli smo se osnovnog svojstva razlomaka, koje vam omogućava da množite, podijelite brojnik i nazivnik istim prirodnim brojem. To se može vidjeti iz jednakosti a · m b · m = a b i a: m b: m = a b , gdje su a , b , m prirodni brojevi.

Ova jednakost vrijedi za sve vrijednosti a, b, m i sve a osim b ≠ 0 i m ≠ 0. Odnosno, dobijamo da ako se brojilac razlomka A/B sa A i C, koji su neki izrazi, pomnoži ili podeli izrazom M, koji nije jednak 0, onda dobijamo razlomak koji je identično jednak početni. Dobijamo da je A · M B · M = A B i A: M B: M = A B .

Ovo pokazuje da se transformacije zasnivaju na 2 transformacije: redukcija na zajednički nazivnik, redukcija.

Kada se svodi na zajednički imenilac, množenje se vrši istim brojem ili izrazom, brojnikom i imeniocem. To jest, prelazimo na rješavanje identičnog jednakog pretvorenog razlomka.

Razmotrite primjere.

Primjer 9

Ako uzmemo razlomak x + 1 0, 5 x 3 i pomnožimo sa 2, dobićemo da će novi nazivnik biti 2 x 0, 5 x 3 = x 3, a izraz će dobiti oblik 2 x + 1 x 3.

Primjer 10

Da bi se razlomak 1 - x 2 x 2 3 1 + ln x sveo na drugi imenilac oblika 6 x 1 + ln x 3, brojilac i imenilac moraju se pomnožiti sa 3 x 1 3 (1 + ln x) 2. Kao rezultat, dobijamo razlomak 3 x 1 3 1 + ln x 2 1 - x 6 x (1 + ln x) 3

Takva transformacija kao što je oslobađanje od iracionalnosti u nazivniku je također primjenjiva. Eliminiše prisustvo korena u nazivniku, što pojednostavljuje proces rešavanja.

Smanjenje frakcije

Glavno svojstvo je transformacija, odnosno njegova direktna redukcija. Kada se smanji, dobijamo pojednostavljeni razlomak. Pogledajmo primjer:

Primjer 11

Ili razlomak oblika x 3 x 3 x 2 (2 x 2 + 1 + 3) x 3 x 3 2 x 2 + 1 + 3 3 + 1 3 x, gdje se smanjenje vrši pomoću x 3 , x 3 , 2 x 2 + 1 + 3 ili izraz kao što je x 3 x 3 2 x 2 + 1 + 3 . Tada dobijamo razlomak x 2 3 + 1 3 x

Smanjenje frakcija je jednostavno kada su uobičajeni faktori odmah vidljivi. U praksi se to ne dešava često, pa je prvo potrebno izvršiti neke transformacije izraza ove vrste. Postoje slučajevi kada je potrebno pronaći zajednički faktor.

Ako postoji razlomak oblika x 2 2 3 (1 - cos 2 x) 2 sin x 2 cos x 2 2 x 1 3, tada je potrebno primijeniti trigonometrijske formule i svojstva potencija da bi se moglo pretvoriti razlomak u oblik x 1 3 x 2 1 3 sin 2 x sin 2 x x 1 3 . Ovo će omogućiti smanjenje za x 1 3 · sin 2 x .

Predstavljanje razlomka kao sume

Kada brojnik ima algebarski zbir izraza kao što je A 1 , A 2 , … , A n, a nazivnik je označen B, tada se ovaj razlomak može predstaviti kao A 1 / B , A 2 / B , … , A n / B.

Definicija 8

Da biste to učinili, popravite ovo A 1 + A 2 + . . . + A n B = A 1 B + A 2 B + . . . + A n B .

Ova transformacija se bitno razlikuje od zbrajanja razlomaka sa istim eksponentima. Razmotrimo primjer.

Primjer 12

Dat je razlomak oblika sin x - 3 x + 1 + 1 x 2, koji ćemo predstaviti kao algebarski zbir razlomaka. Da biste to učinili, zamislite kao sin x x 2 - 3 x + 1 x 2 + 1 x 2 ili sin x - 3 x + 1 x 2 + 1 x 2 ili sin x x 2 + - 3 x + 1 + 1 x 2.

Svaki razlomak koji ima oblik A / B predstavlja se kao zbir razlomaka na bilo koji način. Izraz A u brojiocu može se smanjiti ili povećati za bilo koji broj ili izraz A 0 koji će omogućiti da se dođe do A + A 0 B - A 0 B .

Dekompozicija razlomka na najjednostavniji je poseban slučaj za pretvaranje razlomka u zbir. Najčešće se koristi u složenim proračunima za integraciju.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter