Ako su linije paralelne, onda su njihove projekcije istog imena su paralelne.

Ako se prave linije sijeku, onda su njihove projekcije istog imena presecati međusobno u tačkama koje su projekcije tačke preseka ovih pravih.

Prelazak pravih linija ne seku i ne paralelno među sobom, iako se njihove projekcije mogu ukrštati ili biti paralelne.

Točke sjecišta ovih projekcija ne leže na istoj komunikacijskoj liniji. jedan bod 1 v meč dva boda 1 n i 1" n. Ove tačke leže na istoj okomici na ravan V(Sl.2.9a, b, c).

Rice. 2.9. Međusobni položaj segmenata na dijagramu:

A) paralelno b) ukrštanje; c) prelaz

2.3.1. Konkursne tačke

Tačke koje leže na istoj okomiti na ravan projekcije nazivaju se nadmetanje u odnosu na ovu ravan (sl. 2.10a, b).

Konkurentne tačke određuju vidljivost geometrijskih slika na dijagramu. Vidljiva na datoj projekciji uvijek će biti jedna od konkurentskih tačaka koja leži dalje dalje od ove ravni projekcije, dakle bliže posmatraču. bodova ALI i AT su frontalno konkurentni. Tačka će biti vidljiva na ravni frontalne projekcije ALI, jer dalje je od aviona V i bliže posmatraču. bodova ALI i OD su horizontalno konkurentni. Tačka će također biti vidljiva na ravni horizontalne projekcije ALI, jer to je van aviona H dalje od tačke OD.

Rice. 2.10. Konkurentne tačke: a) u dimetriji; b) na dijagramu

2.4. Plane Angle Projections

Dvije linije koje se seku čine ravan ugao.

Ako se ugao nalazi u ravnini koja je paralelna ravnini projekcija, tada se na nju projektuje u punoj veličini.

Općenito, ravan ugao čije stranice nisu paralelne s ravninom projekcije se projektuje na ovu ravan sa izobličenjem.

2.4.1. Teorema projekcije pravog ugla

Da bi se pravi ugao projektovao ortogonalno u formu pravi ugao, potrebno je i dovoljno da barem jedna njegova strana bude paralelno sa ravninom projekcije, a drugi je nije okomito na ovu ravan(Sl.2.11a, b).

Rice. 2.11. Projekcije pravog ugla na parceli:

A) na ravni frontalne projekcije; b) na horizontalnoj ravni projekcije

Dokaz: Neka imamo pravi ugao u prostoru TI. Projektujte to na avion H ortogonalno. Pretpostavimo da je strana AB dati ugao je paralelan sa ravninom H. Tada imamo:  TI= 90˚; AB || H; aa n H. Dokažimo da je  AT n ALI n OD n= 90º (Sl.2.12).  ALI n AB= 90°, jer figure aa n BB n- pravougaonik. Dakle, prava linija AB okomito na ravan projektovanja Q okomito na dvije prave ove ravni ( ABAC; ABaa n). Zbog toga ABQ, ali ALI n AT n || AB odavde i ALI n AT n Q, što znači da  AT n ALI n OD n= 90º.

Slika 2.12 Projekcija pod pravim uglom

zadatak: Odredite udaljenost od tačke ALI prema prednjoj strani (Sl.2.13).

Rješenje. Pravi ugao između željene okomice i prednje strane sunce projektovan u punoj veličini na ravan V. Prirodna veličina okomice AK može se pronaći metodom pravokutnog trougla.

Rice. 2.13. Određivanje udaljenosti od tačke A do fronta BC

Ako dvije prave leže na ravni, onda su moguća tri različita slučaja njihovog međusobnog rasporeda: 1) prave se sijeku (tj. imaju jednu zajedničku tačku), 2) prave su paralelne i ne poklapaju se, 3) prave podudaraju.

Hajde da saznamo kako da saznamo koji od ovih slučajeva se dešava ako su linije date njihovim jednačinama

Ako se prave sijeku, odnosno imaju jednu zajedničku tačku, tada koordinate ove tačke moraju zadovoljiti obje jednačine (15). Stoga je za pronalaženje koordinata točke presjeka pravih potrebno zajedno riješiti njihove jednadžbe. U tu svrhu prvo eliminišemo nepoznati x, za šta prvu jednačinu pomnožimo sa , a drugu sa A, i oduzmemo prvu od druge. imat će:

Da bismo eliminisali nepoznato y iz jednadžbi (15), pomnožimo prvu od njih sa, a drugu sa i oduzmemo drugu od prve. Dobijamo:

Ako tada iz jednačina (15) i (15") dobijemo rješenje sistema (15):

Formule (16) daju koordinate x, y tačke preseka dve prave.

Dakle, ako se tada prave sijeku. Ako onda formule (16) nemaju smisla. Kako su linije raspoređene u ovom slučaju? Lako je vidjeti da su u ovom slučaju prave paralelne. Zaista, iz uvjeta slijedi da (ako , tada su linije paralelne s Oy osi i, prema tome, paralelne jedna s drugom).

Dakle, ako su tada prave paralelne. Uvjet koji se razmatra može se zapisati u obliku da možemo reći da ako su u jednadžbama linija odgovarajući koeficijenti na trenutnim koordinatama proporcionalni, onda su prave paralelne.

Konkretno, paralelne prave se mogu poklapati. Hajde da saznamo koji je analitički kriterijum za podudarnost linija. Da biste to učinili, razmotrite jednačine (15) i ). Ako su slobodni članovi ovih jednačina oba jednaka nuli, tj.

tj. koeficijenti nepoznanica i slobodnih članova jednačina (15) su proporcionalni. U ovom slučaju, jedna od jednačina sistema se dobija iz druge množenjem svih njenih članova nekim zajedničkim faktorom, tj. jednačine (15) su ekvivalentne. Stoga se razmatrane paralelne prave poklapaju.

Ako je barem jedan od slobodnih članova jednadžbi (15) i ) različit od nule (ili ili

tada jednačine (15) i (15"), a time i jednačine (15), neće imati rješenja (najmanje jedna od jednakosti (15) ili (15") će biti nemoguća). U ovom slučaju, paralelne prave se neće poklapati.

Dakle, uslov (neophodan i dovoljan) za podudarnost dve linije je proporcionalnost odgovarajućih koeficijenata njihovih jednačina:

Primer 1. Naći tačku preseka pravih linija

Zajedno rješavajući jednačine, pomnožite drugu sa 3.

Prave linije i organizacija prostora

Prave linije - jednostavno, ali vrlo
ekspresivni element:
linija deli ravan na
pojedinac
dijelovi;
-linija pomaže da se ujedinimo
kompozicija
u cjelinu;
linija, više od
pravougaonik
utiče na ritam
kompozicije.

Frontalne i duboke kompozicije iz linija
i pravougaonici

čak i najjednostavnijim sredstvima
može postići emocionalno
slike

Linija nije „mršavljena
pravougaonik", i nezavisni
Linija slikovnog elementa u prilogu
ekspresivnost cele kompozicije. AT
radi tamo gdje je linija točno kroz (od ruba do ruba
plahta), izgleda da izdrži
slikovno djelovanje izvan okvira i
čini kompoziciju otvorenom, otvorenom
i zanimljivije.
tanak, dug i
ravne linije su izrezane
po vladaru

radi
gore
njihov
kompozicije,
tražiti razlike u veličini planova,
jer stvara slikovitost
polifonija, intonacijsko bogatstvo i,
shodno tome, veća ekspresivnost
kompozicije.

ZADACI
Prave linije - element planarne organizacije
kompozicije.
1. Lokacija i međusobni presek 3-4 prave
različite debljine postižu skladnu artikulaciju
razmaci (koristite linije kroz).
2. Napravite kompoziciju sa 2-3 pravougaonika i 3-4 prave linije
linije koje svojim rasporedom povezuju elemente u
jedinstvenu kompozicionu celinu. Kreirajte: a) frontalni
sastav; b) duboka kompozicija.
3. Od proizvoljnog broja elemenata napravite zanimljiv
kompozicija.
Ritmički ređajući elemente na ravni, postići
emocionalno-figurativni utisak (na primjer, "let", sužavanje, "usporavanje" itd.).
Zadaci se mogu obavljati na računaru.

ODNOS PRAVA.

Ugao između dve prave, uslovi za paralelnost i okomitost dve prave, presek pravih, rastojanje od date tačke do date prave.

Ugao između pravih linija u ravni se smatra manjim (oštrim) od ove dvije susjedni uglovi formirane ovim linijama.

Ako su linije l 1 i l 2 date jednadžbama sa faktori nagiba y = k 1 x + b 1 i y = k 2 x + b 2, tada se ugao φ između njih izračunava po formuli

Uslov paralelizma za prave l 1 i l 2 ima oblik

i uslov njihove okomitosti

k 1 = - (ili k 1 k 2 = - 1)

Ako su date linije l 1 i l 2 opšte jednačine A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 i A 2 x + B 2 y + C 2 = 0,

tada se vrijednost φ ugla između njih izračunava po formuli

tg φ=

njihovi ugaoni paralelizmi

(ili A 1 B 2 -A 2 B 1 \u003d 0)

Uslov za njihovu okomitost

A 1 A 2 + B 1 B 2 \u003d 0

Za pronalaženje zajedničkih tačaka pravih l 1 i l 2 potrebno je riješiti sistem

jednačine

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, y = k 1 x + b 1

ili

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, y = k 2 x + b 2

pri čemu:

Ako a
, tada postoji jedna tačka preseka linija;

Ako a
- prave l 1 i l 2 nemaju zajedničku tačku, odnosno paralelne;

Ako a
-prave imaju beskonačan broj tačaka, tj. poklapaju se

Udaljenost d od točke M 0 (x 0; y 0) do prave linije Ax + Vy + C = 0 je dužina okomice spuštene iz ove točke na pravu liniju.

Udaljenost d je određena formulom

d=

Udaljenost od tačke M 0 (x 0; y 0) do prave x cos + y sin - p=0 se izračunava po formuli

d=

PRIMJER: pronađite ugao između linija:

1) y=2x-3 i y=
;

2) 2x-3y+10=0 i 5x – y+4=0;

3) y=
i 8x+6y+5=0;

4) y=5x+1 i y=5x-2;

=arctg
);

Zadaci za praktične vježbe:

1. Pronađite ugao između linija:

1) y=0,5x-3 i y=2x-2;

2) 2x-3y-7=0 i 2x-y+5=0;

3) y=x+6 i 3x-2y-8=0;

4) y= 7x -1 i y=7x+1;

1) 3x+5y-9=0 i 10x-6y+4=0

2) 2x+5y-2=0 i x+y+4=0;

3) 2y=x-1 i 4y-2x+2=0;

4) x+8=0 i 2x-3=0;

5)
=1 i y=x+2;

6) x+y=0 i x-y=0

7) y+3=0 i 2x+y-1=0;

8) y=3-6x i 12x+2y-5=0;

9) 2x+3y=8 i x-y-3=0

10) x-y-1=0 i x+y+2=0

3. Na kojim vrijednostima sljedeći parovi pravih su: a) paralelni; b) su okomite.

1) 2x-3y+4=0 i x-6y+7=0;

2) x-4y+1=0 i -2x+y+2=0;

3) 4x+y-6=0 i 3x+ y-2=0;

4) x- y+5=0 i 2x+3y+3=0;

4. Kroz tačku presjeka linija 3x-2y + 5 \u003d 0; x+2y-9=0 prava linija je povučena paralelna sa pravom 2x+y+6=0. Napišite njegovu jednačinu.

5. Naći jednačinu prave koja prolazi kroz tačku A (-1; 2):

a) paralelno s pravom linijom y = 2x-7;

b) okomito na pravu x+3y-2=0.

6. Odrediti dužinu visine VD u trouglu sa vrhovima A (4; -3); B (-2; 6) i C (5; 4).

7. Date su jednačine stranica trougla: x+3y-3=0, 3x-11y-29=0 i 3x-y+11=0.

Pronađite vrhove ovog trougla.

Zadaci za samostalno rješavanje

1. Pronađite oštri ugao između redova:

1) y = 3x i y = - x

2) 2x-3y+6=0 i 3x-y-3=0

4) 3x+4y-12=0 i 15x-8y-45=0

2. Istražite relativnu poziciju sljedećih parova linija:

1) 2x-3y+4=0 i 10x+3y-6=0

2) 3x-4y+12=0 i 4x+3y-6=0

3) 25x+20y-8=0 i 5x+4y+4=0

4) 4x+5y-8=0 i 3x-2y+4=0

5) y=3x+4 i y=-3x+2

3. Naći jednačinu prave koja prolazi kroz tačku B (2;-3)

a) paralelno sa pravom linijom koja spaja tačke M 1 (-4; 0) i M 2 (2; 2);

b) okomito na pravu x-y=0.

4. Napišite jednadžbu prave linije koja sadrži visinu VD u trokutu sa vrhovima

A (-3; 2), B (5; -2), C (0; 4)

5. Pronađite površinu trokuta koji čine prave 2x+y+4=0, x+7y-11=0 i 3x-5y-7=0.

6. Kroz tačku presjeka pravih 3x + 2y-4 = 0 i x-5y + 8 = 0, povlače se linije od kojih jedna prolazi kroz ishodište, a druga je paralelna s osom Ox. Napišite njihove jednačine.

7. Dat je četverougao ABCD sa vrhovima A (3; 5); U (6;6); C (5; 3); D (1; 1). Nađi:

a) koordinate tačke preseka dijagonala;

b) ugao između dijagonala .

8. Dati su vrhovi trougla A (2; -2), B (3; 5), C (6; 1). Nađi:

1) dužine stranica AC i BC;

2) jednačine pravih na kojima leže stranice BC i AC;

3) jednačina prave linije na kojoj leži visina povučena iz B;

4) dužinu ove visine;

5) jednačina prave na kojoj leži medijana povučena iz tačke A;

6) dužina ove medijane;

7) jednačina prave na kojoj leži simetrala ugla C;

8) težište trougla;

9) površina trougla;

10) ugao C;

Odgovori na zadatke za samostalno rješavanje:

1. 1) 63 0 ; 2) 37,9 0 ; 3) 31,3 0 ; 4) 81,2 0 . 2. 1) paralelno;

2) okomito; 3) paralelno; 4) seku; 5) seku;

3. a) x-3y-11=0; b) x + y + 1 = 0; 4. 3x+2y-11=0; 5. 13; 6. 7x-y=0 i 17y-28=0; 7. a)(4;4);

b); 8. 1) -5;5 2) 4x+3y-27=0,3x-4y-14=0; 3) 4x+3y-27=0; 4) 5; 5) 2x-y-6=0; 6) ; 7) x+7y-13=0; 8) (;); 9); 10)

Ako kroz datu povučemo paralelne prave AB i C D ravni okomite na horizontalnu ravan projekcija, tada će ove dvije ravni biti paralelne, a u njihovom presjeku sa ravninom H dobiće se dvije međusobno paralelne prave A"B" i C"D", koje su ortogonalne projekcije podataka pravih AB i CD na horizontalnoj ravni projekcija (sl. 25).

Slično, mogu se dobiti ortogonalne projekcije datih linija na frontalnu ravan V.

Na složenom crtežu paralelne su projekcije istoimenih paralelnih linija: A"B"C"D" i A""B""C""D"" (Sl. 25).

linije koje se seku

Prave koje se međusobno sijeku imaju zajedničku tačku, na primjer, segmenti AB i CD seku u tački To. Seku se projekcije linija koje se seku, a njihove presečne tačke ( K" i K"") leže na istoj liniji komunikacije - okomito na osu x(Sl. 26).

Ukrštene linije

To su prave koje nisu paralelne i ne seku. Na složenom crtežu projekcije linija koje se seku (ravne AB i CD) mogu se presecati, ali tačke preseka ( 1 ,2 i 3 ,4 ) leže na različitim komunikacionim linijama (Sl. 27). Točke preseka istoimenih projekcija kosih linija odgovaraju u prostoru dvema tačkama: u jednom slučaju - 1 i 2 , au drugom 3 i 4 nalazi se na pravim linijama. Na crtežu, tačka preseka horizontalnih projekcija linija odgovara dve frontalne projekcije tačaka 1 "" i 2 "". Slično - sa tačkama 3 i 4 .