Varijacijska serija. Poligon i histogram.

Raspon distribucije- predstavlja uređenu raspodjelu jedinica proučavane populacije u grupe prema određenom varijabilnom atributu.

Ovisno o osobinama na kojima se formira niz distribucije, postoje atributivne i varijacione rang distribucije:

§ Redovi distribucije izgrađeni u rastućem ili opadajućem redosledu vrednosti kvantitativno svojstvo pozvao varijacijski.

Varijaciona serija distribucije sastoji se od dva stupca:

Prva kolona sadrži kvantitativne vrijednosti varijabilne karakteristike koje se nazivaju opcije i označeni su. Diskretna varijanta - izražena kao cijeli broj. Opcija intervala je u rasponu od i do. U zavisnosti od vrste varijanti, moguće je konstruisati diskretni ili intervalni varijacioni niz.
Druga kolona sadrži broj određene opcije, izraženo u terminima frekvencija ili frekvencija:

Frekvencije- ovo su apsolutni brojevi koji pokazuju koliko se puta u zbiru pojavljuje data vrijednost karakteristike, koji označavaju . Zbir svih frekvencija treba da bude jednak broju jedinica cjelokupne populacije.

Frekvencije() su frekvencije izražene kao procenat ukupnog broja. Zbir svih frekvencija izražen u procentima mora biti jednak 100% u razlomcima od jedan.

Grafička slika distributivni rangovi

Distribucijske serije su vizualizirane pomoću grafičkih slika.

Serija distribucije je prikazana kao:

§ Poligon

§ Histogrami

§ Kumulira

Poligon

Prilikom konstruiranja poligona na horizontalnoj osi (os apscisa), iscrtavaju se vrijednosti varijabilnog atributa, a na vertikalna osa(y-osa) - frekvencije ili frekvencije.

1. Poligon na sl. 6.1 je izgrađen prema mikro-popisu stanovništva Rusije 1994. godine.

trakasti grafikon

Da biste konstruirali histogram duž apscise, označite vrijednosti granica intervala i na njihovoj osnovi konstruirajte pravokutnike čija je visina proporcionalna frekvencijama (ili frekvencijama).

Na sl. 6.2. prikazuje histogram distribucije stanovništva Rusije 1997. prema starosne grupe.

Fig.1. Distribucija stanovništva Rusije po starosnim grupama

empirijska funkcija distribucije, svojstva.

Neka se zna statistička distribucija frekvencije kvantitativne osobine X. Označimo brojem opažanja u kojima je uočena vrijednost osobine manja od x i kroz n ukupan broj zapažanja. Očigledno, relativna učestalost događaja X

Empirijska funkcija distribucije (funkcija distribucije uzorka) je funkcija koja za svaku vrijednost x određuje relativnu frekvenciju događaja X

Za razliku od empirijske funkcije distribucije uzorka, funkcija raspodjele populacije naziva se teorijska funkcija distribucije. Razlika između ovih funkcija je u tome što teorijska funkcija određuje vjerovatnoću događaja X

Kako n raste, relativna frekvencija događaja X

Osnovna svojstva

Neka elementarni ishod bude fiksan. Tada je funkcija distribucije diskretne distribucije data sljedećom funkcijom vjerovatnoće:

gdje , a - broj elemenata uzorka jednak . Konkretno, ako su svi elementi uzorka različiti, onda .

Matematičko očekivanje ove distribucije je:

.

Dakle, srednja vrednost uzorka je teorijska sredina distribucije uzorka.

Slično, varijansa uzorka je teorijska varijansa distribucije uzorka.

Slučajna varijabla ima binomnu distribuciju:

Funkcija distribucije uzorka je nepristrasna procjena funkcije distribucije:

.

Varijanca funkcije distribucije uzorka ima oblik:

.

Prema jakom zakonu velikih brojeva, funkcija raspodjele uzorka gotovo sigurno konvergira teorijskoj funkciji distribucije:

gotovo sigurno u .

Funkcija raspodjele uzorka je asimptotski normalna procjena teorijske funkcije raspodjele. Ako onda

Po distribuciji na .

Predavanje 13

Neka je poznata statistička distribucija učestalosti kvantitativne osobine X. Označimo brojem opažanja kod kojih je uočena vrijednost osobine manja od x, a sa n ukupan broj opažanja. Očigledno, relativna učestalost događaja X< x равна и является функцией x. Так как эта функция находится эмпирическим (опытным) путем, то ее называют эмпирической.

Empirijska funkcija distribucije(funkcija distribucije uzorkovanja) je funkcija koja za svaku vrijednost x određuje relativnu frekvenciju događaja X< x. Таким образом, по определению ,где - число вариант, меньших x, n – объем выборки.

Za razliku od empirijske funkcije distribucije uzorka, naziva se funkcija raspodjele populacije teorijska funkcija raspodjele. Razlika između ovih funkcija je u tome što teorijska funkcija definira vjerovatnoća događaji X< x, тогда как эмпирическая – relativna frekvencija isti događaj.

Kako n raste, relativna frekvencija događaja X< x, т.е. стремится по вероятности к вероятности этого события. Иными словами

Svojstva empirijske funkcije distribucije:

1) Vrijednosti empirijske funkcije pripadaju intervalu

2) - neopadajuća funkcija

3) Ako - najmanja opcija, onda = 0 na , ako - najveća opcija, onda =1 na .

Empirijska funkcija distribucije uzorka služi za procjenu teorijske funkcije distribucije populacije.

Primjer. Izgradimo empirijsku funkciju prema distribuciji uzorka:

Nađimo veličinu uzorka: 12+18+30=60. Najmanja opcija je 2, dakle =0 za x £ 2. Vrijednost x<6, т.е. , наблюдалось 12 раз, следовательно, =12/60=0,2 при 2< x £6. Аналогично, значения X < 10, т.е. и наблюдались 12+18=30 раз, поэтому =30/60 =0,5 при 6< x £10. Так как x=10 – наибольшая варианта, то =1 при x>10. Dakle, željena empirijska funkcija ima oblik:

Najvažnija svojstva statističkih procjena

Neka se zahtijeva proučavanje nekog kvantitativnog atributa opće populacije. Pretpostavimo da je iz teorijskih razmatranja to bilo moguće utvrditi koji distribucija ima atribut i potrebno je procijeniti parametre po kojima je određena. Na primjer, ako je ispitivana osobina normalno raspoređena u općoj populaciji, tada je potrebno procijeniti matematičko očekivanje i standardnu ​​devijaciju; ako atribut ima Poissonovu distribuciju, tada je potrebno procijeniti parametar l.

Obično su dostupni samo uzorci podataka, kao što su vrijednosti osobina iz n nezavisnih opservacija. Uzimajući u obzir nezavisne slučajne varijable, možemo to reći pronaći statističku procjenu nepoznatog parametra teorijske distribucije znači pronaći funkciju promatranih slučajnih varijabli, što daje približnu vrijednost procijenjenog parametra. Na primjer, da bi se procijenilo matematičko očekivanje normalne distribucije, ulogu funkcije igra aritmetička sredina

Da bi statističke procjene dale ispravne aproksimacije procijenjenih parametara, one moraju zadovoljiti određene zahtjeve, među kojima su najvažniji zahtjevi nepristrasnost i solventnost procjene.

Neka je statistička procjena nepoznatog parametra teorijske distribucije. Neka se procjena nađe na osnovu uzorka veličine n. Ponovimo eksperiment, tj. izdvajamo iz opšte populacije drugi uzorak iste veličine i na osnovu njegovih podataka dobijamo drugačiju procenu od . Ponavljajući eksperiment mnogo puta, dobijamo različite brojeve. Rezultat se može posmatrati kao slučajna varijabla, a brojevi kao njene moguće vrijednosti.

Ako procjena daje aproksimaciju u izobilju, tj. svaki broj je veći od prave vrijednosti, onda je, kao posljedica toga, matematičko očekivanje (srednja vrijednost) slučajne varijable veće od:. Slično, ako procjenjuje sa nedostatkom, zatim .

Stoga bi korištenje statističke procjene, čije matematičko očekivanje nije jednako procijenjenom parametru, dovelo do sistematskih (jednoznačnih) grešaka. Ako je, naprotiv, , onda to garantuje protiv sistematskih grešaka.

nepristrasan naziva se statistička procjena, čije je matematičko očekivanje jednako procijenjenom parametru za bilo koju veličinu uzorka.

Displaced naziva se procjena koja ne zadovoljava ovaj uslov.

Nepristranost procjene još ne garantuje dobru aproksimaciju za procijenjeni parametar, jer moguće vrijednosti mogu biti veoma raštrkano oko svoje srednje vrednosti, tj. varijansa može biti značajna. U ovom slučaju, procjena pronađena iz podataka jednog uzorka, na primjer, može se pokazati značajno udaljenom od prosječne vrijednosti, a time i od samog procijenjenog parametra.

efikasan naziva se statistička procjena koja, za datu veličinu uzorka n, ima najmanju moguću varijaciju .

Kada se razmatraju uzorci velikog volumena, potrebne su statističke procjene solventnost .

Bogati naziva se statistička procjena, koja, kao n®¥, teži vjerovatnoći procijenjenom parametru. Na primjer, ako varijansa nepristrasnog procjenitelja teži nuli kao n®¥, onda se i takav estimator ispostavi da je konzistentan.

Naučite šta je empirijska formula. U hemiji, ESP je najjednostavniji način da se opiše jedinjenje – u suštini, to je lista elemenata koji čine jedinjenje s obzirom na njihov procenat. Treba napomenuti da ova jednostavna formula ne opisuje red atoma u jedinjenju, jednostavno ukazuje od kojih se elemenata sastoji. Na primjer:

• Jedinjenje koje se sastoji od 40,92% ugljika; 4,58% vodonika i 54,5% kiseonika, imaće empirijsku formulu C 3 H 4 O 3 (primer kako pronaći ESP ovog jedinjenja biće reči u drugom delu).

Određivanje empirijske funkcije distribucije

Neka je $X$ slučajna varijabla. $F(x)$ - funkcija distribucije date slučajne varijable. Provešćemo $n$ eksperimente na datoj slučajnoj promenljivoj pod istim nezavisnim uslovima. U ovom slučaju dobijamo niz vrijednosti $x_1,\ x_2\ $, ... ,$\ x_n$, koji se naziva uzorak.

Definicija 1

Svaka vrijednost $x_i$ ($i=1,2\ $, ... ,$ \ n$) naziva se varijanta.

Jedna od procjena teorijske funkcije raspodjele je empirijska funkcija raspodjele.

Definicija 3

Empirijska funkcija distribucije $F_n(x)$ je funkcija koja za svaku vrijednost $x$ određuje relativnu frekvenciju događaja $X \

gdje je $n_x$ broj opcija manji od $x$, $n$ je veličina uzorka.

Razlika između empirijske funkcije i teorijske je u tome što teorijska funkcija određuje vjerovatnoću događaja $X

Svojstva empirijske funkcije distribucije

Razmotrimo sada nekoliko osnovnih svojstava funkcije distribucije.

Opseg funkcije $F_n\left(x\right)$ je segment $$.

$F_n\left(x\right)$ je neopadajuća funkcija.

$F_n\left(x\right)$ je lijeva kontinuirana funkcija.

$F_n\left(x\right)$ je konstantna funkcija po komadima i raste samo u tačkama vrijednosti slučajne varijable $X$

Neka je $X_1$ najmanja, a $X_n$ najveća varijanta. Tada je $F_n\left(x\right)=0$ za $(x\le X)_1$ i $F_n\left(x\right)=1$ za $x\ge X_n$.

Hajde da uvedemo teoremu koja povezuje teorijske i empirijske funkcije.

Teorema 1

Neka je $F_n\left(x\right)$ empirijska funkcija raspodjele i $F\left(x\right)$ teorijska funkcija raspodjele općeg uzorka. Tada vrijedi jednakost:

\[(\mathop(lim)_(n\to \infty ) (|F)_n\left(x\right)-F\left(x\right)|=0\ )\]

Primjeri problema za pronalaženje empirijske funkcije raspodjele

Primjer 1

Neka distribucija uzorka ima sljedeće podatke, zabilježene pomoću tabele:

Slika 1.

Pronađite veličinu uzorka, sastavite empirijsku funkciju distribucije i nacrtajte je.

Veličina uzorka: $n=5+10+15+20=50$.

Prema svojstvu 5, imamo da je za $x\le 1$ $F_n\left(x\right)=0$, a za $x>4$ $F_n\left(x\right)=1$.

$x vrijednost

$x vrijednost

$x vrijednost

Dakle, dobijamo:

Slika 2.

Slika 3

Primjer 2

Iz gradova centralnog dela Rusije nasumično je odabrano 20 gradova za koje su dobijeni podaci o cenama prevoza u javnom prevozu: 14, 15, 12, 12, 13, 15, 15, 13, 15, 12, 15 , 14, 15, 13 , 13, 12, 12, 15, 14, 14.

Sastavite empirijsku funkciju distribucije ovog uzorka i izgradite njegov graf.

Vrijednosti uzorka pišemo uzlaznim redoslijedom i izračunavamo učestalost svake vrijednosti. Dobijamo sledeću tabelu:

Slika 4

Veličina uzorka: $n=20$.

Prema svojstvu 5, imamo da je za $x\le 12$ $F_n\left(x\right)=0$, a za $x>15$ $F_n\left(x\right)=1$.

$x vrijednost

$x vrijednost

$x vrijednost

Dakle, dobijamo:

Slika 5

Nacrtajmo empirijsku distribuciju:

Slika 6

Originalnost: $92,12\%$.

Kao što je poznato, zakon raspodjele slučajne varijable može se specificirati na različite načine. Diskretna slučajna varijabla se može specificirati korištenjem distribucijske serije ili integralne funkcije, a kontinuirana slučajna varijabla može se specificirati korištenjem integralne ili diferencijalne funkcije. Razmotrimo selektivne analoge ove dvije funkcije.

Neka postoji uzorak skupa vrijednosti neke slučajne varijable volumena i svakoj varijanti iz ovog skupa je dodeljena njena frekvencija. Neka dalje je neki realan broj, i je broj vrijednosti uzorka slučajne varijable
, manji .Onda broj je učestalost vrijednosti uočenih u uzorku X, manji , one. učestalost pojavljivanja događaja
. Kada se promeni x u opštem slučaju, vrednost će se takođe promeniti . To znači da je relativna frekvencija je funkcija argumenta . A budući da se ova funkcija nalazi prema uzorku podataka dobivenih kao rezultat eksperimenata, naziva se uzorak ili empirijski.

Definicija 10.15. Empirijska funkcija distribucije(funkcija distribucije uzorkovanja) naziva se funkcija
, definirajući za svaku vrijednost x relativna učestalost događaja
.

(10.19)

Za razliku od empirijske funkcije distribucije uzorka, funkcija distribucije F(x) opšte populacije naziva se teorijska funkcija raspodjele. Razlika između njih je u teorijskoj funkciji F(x) određuje vjerovatnoću događaja
, a empirijski je relativna učestalost istog događaja. Iz Bernoullijeve teoreme slijedi

,
(10.20)

one. na slobodi vjerovatnoća
i relativnu frekvenciju događaja
, tj.
malo različiti jedno od drugog. Ovo već implicira svrsishodnost upotrebe empirijske funkcije distribucije uzorka za približan prikaz teorijske (integralne) funkcije raspodjele opće populacije.

Funkcija
i
imaju ista svojstva. Ovo dolazi iz definicije funkcije.

Svojstva
:

Primjer 10.4. Konstruirajte empirijsku funkciju za datu distribuciju uzorka:

Rješenje: Pronađite veličinu uzorka n= 12+18+30=60. Najmanja opcija
, Shodno tome,
at
. Značenje
, naime
posmatrano 12 puta, dakle:

=
at
.

Značenje x< 10, naime
i
posmatrano 12+18=30 puta, dakle,
=
at
. At

.

Željena empirijska funkcija distribucije:

=

Raspored
prikazano na sl. 10.2

R
je. 10.2

test pitanja

1. Koji su glavni problemi koje rješava matematička statistika? 2. Opća i uzorkovana populacija? 3. Definirajte veličinu uzorka. 4. Koji se uzorci nazivaju reprezentativnim? 5. Greške u reprezentativnosti. 6. Glavne metode uzorkovanja. 7. Koncepti frekvencije, relativne frekvencije. 8. Koncept statističke serije. 9. Zapišite Sturgesovu formulu. 10. Formulirajte koncepte raspona uzorka, medijana i moda. 11. Frekvencije poligona, histogram. 12. Koncept bodovne procjene populacije uzorka. 13. Pristrasna i nepristrasna procjena bodova. 14. Formulirajte koncept srednje vrijednosti uzorka. 15. Formulirajte koncept varijanse uzorka. 16. Formulirajte koncept standardne devijacije uzorka. 17. Formulirajte koncept koeficijenta varijacije uzorka. 18. Formulirajte koncept uzorka geometrijske sredine.