Keling, misol bilan boshlaylik. Sizning oldingizda urnada teng darajada ehtimol(1) ikkita oq shar, (2) bitta oq va bitta qora, (3) ikkita qora bo'lishi mumkin. Siz to'pni sudrab ketasiz va u oq bo'lib chiqadi. Hozir qanday baho berasiz? ehtimollik bu uchta variant (gipotezalar)? Shubhasiz, ikkita qora shar bilan gipoteza (3) ehtimoli = 0. Ammo qolgan ikkita gipotezaning ehtimolliklarini qanday hisoblash mumkin!? Bu Bayes formulasini yaratishga imkon beradi, bu bizning holatlarimizda shaklga ega (formulaning soni tekshirilayotgan gipoteza soniga to'g'ri keladi):

Eslatmani yoki formatida yuklab oling

X tasodifiy o'zgaruvchi (gipoteza) bo'lib, quyidagi qiymatlarni oladi: x 1- ikkita oq x 2- bitta oq, bitta qora; x 3- ikkita qora; da tasodifiy oʻzgaruvchi (hodisa) boʻlib, quyidagi qiymatlarni oladi: 1- oq to'p chizilgan va 2 da- qora shar chizilgan; P(x 1) to'p tortilishidan oldin birinchi gipoteza ehtimoli ( a priori ehtimollik yoki ehtimollik oldin tajriba) = 1/3; P(x 2)– to‘pni tortib olishdan oldingi ikkinchi gipoteza ehtimoli = 1/3; P(x 3)– to‘pni tortib olishdan oldin uchinchi gipoteza ehtimoli = 1/3; P(y 1|x 1)– agar birinchi gipoteza to‘g‘ri bo‘lsa (to‘plar oq) bo‘lsa, oq sharni chizishning shartli ehtimoli = 1; P(y 1|x 2) – oq to'pni chizish ehtimoli, agar ikkinchi gipoteza to'g'ri bo'lsa (bir to'p oq, ikkinchisi qora) = ½; P(y 1|x 3) – oq to'pni chizish ehtimoli, agar uchinchi gipoteza to'g'ri bo'lsa (ikkalasi ham qora) = 0; P(y 1)– oq sharni chizish ehtimoli = ½; P(y 2)– qora sharni chizish ehtimoli = ½; va nihoyat biz qidirayotgan narsa - P(x 1|1 da) – birinchi gipotezaning to'g'ri bo'lish ehtimoli (ikkala to'p ham oq), agar biz oq sharni chizgan bo'lsak ( a posteriori ehtimollik yoki ehtimollik keyin tajriba); P(x 2|1 da) – ikkinchi gipotezaning to'g'ri bo'lish ehtimoli (bir to'p oq, ikkinchisi qora), agar biz oq to'pni chiqargan bo'lsak.

Birinchi gipotezaning (ikkita oq shar) to'g'ri bo'lish ehtimoli, agar biz oq to'p chizganmiz:

Ikkinchi gipotezaning to'g'ri bo'lish ehtimoli (biri oq, ikkinchisi qora), agar biz oq to'pni chiqarsak:

Uchinchi gipotezaning (ikkita qora) to'g'ri bo'lish ehtimoli, agar biz oq to'p chizganmiz:

Bayes formulasi nima qiladi? Bu gipotezalarning a priori ehtimollari asosida imkon beradi - P(x 1), P(x 2), P(x 3)- va hodisalarning yuzaga kelish ehtimoli - P(y 1), P(y 2)- gipotezalarning orqa ehtimolini hisoblang, masalan, oq to'p chizilgan bo'lsa, birinchi gipoteza ehtimoli - P(x 1|1 da).

Keling, (1) formulaga qaytaylik. Birinchi gipotezaning dastlabki ehtimoli edi P(x 1) = 1/3. Ehtimollik bilan P(y 1) = 1/2 biz oq to'pni chizishimiz mumkin va ehtimollik bilan P(y 2) = 1/2- qora. Biz oqni tortib oldik. Birinchi gipoteza to'g'ri bo'lishi sharti bilan oq rangni chizish ehtimoli P(y 1|x 1) = 1. Bayes formulasida aytilishicha, oq rang chiqarilgandan beri birinchi gipotezaning ehtimoli 2/3 ga oshdi, ikkinchi gipotezaning ehtimoli hali ham 1/3 ga, uchinchi gipotezaning ehtimoli esa nolga aylandi.

Agar biz qora sharni chizsak, orqa ehtimolliklar nosimmetrik tarzda o'zgarishini tekshirish oson: P(x 1|y 2) = 0, P(x 2).|y 2) = 1/3, P(x 3|y 2) = 2/3.

Per Simon Laplas 1814 yilda chop etilgan maqolasida Bayes formulasi haqida shunday yozgan:

Bu hodisalardan sabablarga o'tish bilan shug'ullanadigan tasodifiy tahlil bo'limining asosiy tamoyilidir.

Nega Bayes formulasini tushunish juda qiyin!? Menimcha, chunki bizning odatiy yondashuvimiz sababdan ta'sirga qarab fikr yuritishdir. Misol uchun, urnada 36 ta shar bo'lsa, ulardan 6 tasi qora, qolganlari oq. Oq sharni chizish ehtimoli qanday? Bayes formulasi hodisalardan sabablarga (gipotezalarga) borish imkonini beradi. Agar bizda uchta gipoteza bo'lsa va voqea sodir bo'lgan bo'lsa, unda bu hodisa (muqobil emas) gipotezalarning dastlabki ehtimolliklariga qanday ta'sir qilgan? Bu ehtimolliklar qanday o'zgargan?

Men Bayesning formulasi faqat ehtimollar haqida emasligiga ishonaman. Bu idrok paradigmasini o'zgartiradi. Deterministik paradigmadan foydalanganda fikrlash poyezdi nima? Agar biror hodisa yuz bersa, uning sababi nimada? Agar baxtsiz hodisa, favqulodda vaziyat, harbiy mojaro bo'lsa. Ularning aybi kim yoki nima edi? Bayeslik kuzatuvchi qanday fikrda? Haqiqatning tuzilishi nimaga olib keldi berilgan bunday va bunday ko'rinishga ish ... Bayesian buni tushunadi aks holda natija boshqacha bo'lishi mumkin ...

(1) va (2) formulalardagi belgilarni biroz boshqacha joylashtiramiz:

Keling, ko'rgan narsalarimiz haqida yana gaplashaylik. Teng boshlang'ich (apriori) ehtimol bilan uchta farazdan biri to'g'ri bo'lishi mumkin. Teng ehtimollik bilan biz oq yoki qora to'pni chizishimiz mumkin. Biz oqni tortib oldik. Ushbu yangi qo'shimcha ma'lumotlardan kelib chiqqan holda, gipotezalarni baholashimiz qayta ko'rib chiqilishi kerak. Bayes formulasi buni raqamli ravishda bajarishga imkon beradi. Birinchi gipotezaning apriori ehtimoli (formula 7) edi P(x 1), oq to'p chiziladi, birinchi gipotezaning posterior ehtimoli bo'ladi P(x 1|1 da). Bu ehtimolliklar bir omil bilan farqlanadi.

Tadbir 1 gipotezani ozmi-koʻpmi tasdiqlaydigan yoki rad etadigan dalil deb ataladi x 1. Bu nisbat ba'zan dalillarning kuchi deb ataladi. Dalil qanchalik kuchli bo'lsa (koeffitsient birlikdan qanchalik farq qilsa), kuzatish fakti shunchalik katta bo'ladi. 1 oldingi ehtimolni o'zgartirsa, keyingi ehtimol oldingisidan shunchalik ko'p farq qiladi. Agar dalillar zaif bo'lsa (koeffitsient ~ 1), orqa tomon oldingisiga deyarli teng.

Sertifikat 1 V = 2 marta gipotezaning oldingi ehtimolini o'zgartirdi x 1(formula 4). Shu bilan birga, dalillar 1 gipoteza ehtimolini o'zgartirmadi x 2, uning kuchidan beri = 1 (formula 5).

Umuman olganda, Bayes formulasi quyidagi shaklga ega:

X tasodifiy o'zgaruvchi (bir-birini istisno qiluvchi farazlar to'plami) bo'lib, quyidagi qiymatlarni oladi: x 1, x 2, … , Xn. da tasodifiy o'zgaruvchi (bir-birini istisno qiladigan hodisalar to'plami) quyidagi qiymatlarni oladi: 1, 2 da, … , dan. Bayes formulasi gipotezaning posterior ehtimolini topish imkonini beradi Xi voqea sodir bo'lganda y j. Numerator gipotezaning apriori ehtimolining mahsulotidir Xi – P(xi) voqea sodir bo'lish ehtimoli y j agar gipoteza to'g'ri bo'lsa Xi – R(y j|xi). Maxrajda - hisoblagichdagi kabi, lekin barcha farazlar uchun ko'paytmalarning yig'indisi. Agar biz maxrajni hisoblasak, biz hodisaning umumiy ehtimolini olamiz daj(gipotezalardan biri to'g'ri bo'lsa) - R(y j) (1-3 formulalardagi kabi).

Yana bir bor dalillar haqida. Tadbir y j gipotezaning oldingi ehtimolini qayta ko'rib chiqish imkonini beruvchi qo'shimcha ma'lumot beradi Xi. Dalil kuchi - - numeratorda voqea sodir bo'lish ehtimolini o'z ichiga oladi y j agar gipoteza to'g'ri bo'lsa Xi. Maxraj - bu hodisaning umumiy ehtimoli daj(yoki voqea sodir bo'lish ehtimoli daj barcha gipotezalar bo'yicha o'rtacha). daj gipoteza uchun yuqorida xi barcha farazlar uchun o'rtacha ko'rsatkichdan ko'ra, u holda dalillar gipoteza qo'liga o'ynaydi xi, uning posterior ehtimolini oshiradi R(y j|xi). Voqea sodir bo'lish ehtimoli bo'lsa daj gipoteza uchun quyida xi barcha farazlar uchun o'rtacha ko'rsatkichdan ko'ra, keyin dalillar posterior ehtimollikni pasaytiradi R(y j|xi) Uchun farazlar xi. Voqea sodir bo'lish ehtimoli bo'lsa daj gipoteza uchun xi barcha gipotezalar uchun o'rtacha bilan bir xil bo'lsa, u holda dalillar posterior ehtimollikni o'zgartirmaydi R(y j|xi) Uchun farazlar xi.

Mana bir nechta misollar Bayes formulasi haqidagi tushunchangizni mustahkamlaydi deb umid qilaman.

2-masala. Ikki otuvchi bir nishonga mustaqil ravishda o'q uzadi, har biri bittadan o'q uzadi. Birinchi otishma uchun nishonga tegish ehtimoli 0,8, ikkinchisi uchun - 0,4. Otishmadan keyin nishonda bitta teshik topildi. Bu teshik birinchi otuvchiga tegishli bo'lish ehtimolini toping. .

Vazifa 3. Kuzatilayotgan ob'ekt ikki holatdan birida bo'lishi mumkin: H 1 = (ishlayotgan) va H 2 = (ishlamaydi). Bu holatlarning apriori ehtimolliklari R(N 1) = 0,7, R(N 2) = 0,3. Ob'ektning holati to'g'risida bir-biriga qarama-qarshi ma'lumot beruvchi ikkita ma'lumot manbasi mavjud; birinchi manba ob'ekt ishlamayotganligi haqida xabar beradi, ikkinchisi - u ishlayapti. Ma'lumki, birinchi manba 0,9 ehtimollik bilan to'g'ri ma'lumot beradi va 0,1 ehtimollik bilan - xato. Ikkinchi manba kamroq ishonchli: u 0,7 ehtimollik bilan to'g'ri ma'lumot beradi va 0,3 ehtimollik bilan - xato. Gipotezalarning posterior ehtimolliklarini toping. .

1-3 topshiriqlar E.S.Ventsel, L.A.Ovcharovlar darsligidan olingan. Ehtimollar nazariyasi va uning muhandislik tatbiqlari, 2.6-bo'lim Gipoteza teoremasi (Bayes formulasi).

4-masala kitobning 4.3-bo'limi Bayes teoremasidan olingan.

Ishning maqsadi: umumiy ehtimollik formulasi va Bayes formulasidan foydalangan holda ehtimollar nazariyasiga oid masalalarni yechish malakalarini shakllantirish.

Umumiy ehtimollik formulasi

Hodisa ehtimoli A, bu faqat mos kelmaydigan hodisalardan biri sodir bo'lganda paydo bo'lishi mumkin B x, B 2 ,..., B n, To'liq guruhni shakllantirish ushbu hodisalarning har birining ehtimolliklari va A hodisasining tegishli shartli ehtimolliklari yig'indisiga teng:

Bu formula deyiladi umumiy ehtimollik formulasi.

Gipotezalarning ehtimolligi. Bayes formulasi

Tadbirga ruxsat bering A mos kelmaydigan hodisalardan biri sodir bo'lganda paydo bo'lishi mumkin B b B 2 ,...,B p, to'liq guruhni shakllantirish. Ushbu hodisalarning qaysi biri sodir bo'lishi oldindan ma'lum bo'lmagani uchun, ular gipoteza deb ataladi. Voqea sodir bo'lish ehtimoli A umumiy ehtimollik formulasi bilan aniqlanadi:

Sinov o'tkazildi, natijada voqea sodir bo'ldi deb taxmin qiling A. Ular qanday o'zgarganligini aniqlash kerak (hodisa tufayli A allaqachon kelgan) gipotezalarning ehtimolliklari. Gipotezalarning shartli ehtimollari formula orqali topiladi

Ushbu formulada indeks / = 1.2

Bu formula Bayes formulasi deb ataladi (uni yaratgan ingliz matematigi nomi bilan; 1764 yilda nashr etilgan). Bayes formulasi test natijasi ma'lum bo'lgandan keyin gipotezalarning ehtimolligini qayta baholashga imkon beradi, natijada hodisa paydo bo'ldi. A.

Vazifa 1. Zavod ma'lum turdagi qismlarni ishlab chiqaradi, har bir qism 0,05 ehtimollik bilan nuqsonga ega. Qismni bitta inspektor tekshiradi; u 0,97 ehtimollik bilan nuqsonni aniqlaydi va agar nuqson topilmasa, u qismni tayyor mahsulotga o'tkazadi. Bundan tashqari, inspektor xatosi bo'lmagan qismni noto'g'ri rad etishi mumkin; buning ehtimoli 0,01 ga teng. Quyidagi hodisalarning ehtimolini toping: A - qism rad etiladi; B - qism rad etiladi, lekin noto'g'ri; C - qism nuqsonli tayyor mahsulotga o'tkazib yuboriladi.

Yechim

Gipotezalarni belgilaymiz:

H= (standart qism tekshirish uchun yuboriladi);

H= (nostandart qism tekshirish uchun yuboriladi).

Tadbir A =(qismi rad etiladi).

Muammoning shartidan biz ehtimolliklarni topamiz

P H (A) = 0,01; Pfi(A) = 0,97.

Umumiy ehtimollik formulasiga ko'ra, biz olamiz

Bir qismning xatolik tufayli rad etilishi ehtimoli

Qismning nuqsonli tayyor mahsulotga o'tkazib yuborilishi ehtimolini topamiz:

Javob:

Vazifa 2. Mahsulotning standartligi uchta tovar ekspertidan biri tomonidan tekshiriladi. Mahsulotning birinchi merchandayserga etib borishi ehtimoli 0,25, ikkinchisiga - 0,26 va uchinchisiga - 0,49. Birinchi merchandayser tomonidan mahsulotning standart sifatida tan olinishi ehtimoli 0,95, ikkinchisida - 0,98, uchinchisida - 0,97. Standart mahsulot ikkinchi inspektor tomonidan tekshirilishi ehtimolini toping.

Yechim

Keling, voqealarni belgilaylik:

L. =(tasdiqlash uchun mahsulot /-th tovar menejeriga boradi); / = 1, 2, 3;

B =(mahsulot standart sifatida tan olinadi).

Muammoning shartiga ko'ra, ehtimolliklar ma'lum:

Biz shartli ehtimollarni ham bilamiz

Bayes formulasidan foydalanib, biz standart mahsulot ikkinchi kontroller tomonidan tekshirilishi ehtimolini topamiz:

Javob:“0,263.

Vazifa 3. Ikki mashina umumiy konveyerga o'tadigan qismlarni ishlab chiqaradi. Birinchi mashinada nostandart qismni olish ehtimoli 0,06, ikkinchisida esa - 0,09. Ikkinchi mashinaning ishlashi birinchisidan ikki baravar ko'p. Konveyerdan nostandart qism olingan. Bu qismni ikkinchi mashina ishlab chiqarish ehtimolini toping.

Yechim

Keling, voqealarni belgilaylik:

A. =(yig'ish liniyasidan olingan qism i-chi mashina tomonidan ishlab chiqariladi); / = 1,2;

IN= (qabul qilingan qism nostandart bo'ladi).

Biz shartli ehtimollarni ham bilamiz

Umumiy ehtimollik formulasidan foydalanib, topamiz

Bayes formulasidan foydalanib, biz olingan nostandart qismni ikkinchi avtomat tomonidan ishlab chiqarish ehtimolini topamiz:

Javob: 0,75.

Vazifa 4. Ishonchliligi mos ravishda 0,8 va 0,9 bo'lgan ikkita tugundan iborat qurilma sinovdan o'tkaziladi. Tugunlar bir-biridan mustaqil ravishda muvaffaqiyatsizlikka uchraydi. Qurilma muvaffaqiyatsiz tugadi. Buni hisobga olgan holda, gipotezalarning ehtimolliklarini toping:

• a) faqat birinchi tugun nosoz;
• b) faqat ikkinchi tugun noto'g'ri;
• c) ikkala tugun ham noto'g'ri.

Yechim

Keling, voqealarni belgilaylik:

D = (7-tugun muvaffaqiyatsiz bo'lmaydi); i = 1,2;

D - mos keladigan qarama-qarshi hodisalar;

A= (sinov paytida qurilma muvaffaqiyatsiz bo'ladi).

Muammoning shartidan biz olamiz: P(D) = 0,8; P(L 2) = 0,9.

Qarama-qarshi hodisalarning ehtimollik xususiyatiga ko'ra

Tadbir A mustaqil hodisalar mahsuloti yig'indisiga teng

Mos kelmaydigan hodisalar ehtimolini qo‘shish teoremasidan va mustaqil hodisalar ehtimolini ko‘paytirish teoremasidan foydalanib, biz hosil bo‘lamiz.

Endi biz gipotezalarning ehtimolliklarini topamiz:

Javob:

Vazifa 5. Zavodda murvatlar uchta mashinada ishlab chiqariladi, ular murvatlarning umumiy sonining mos ravishda 25%, 30% va 45% ni ishlab chiqaradi. Mashina asboblarini ishlab chiqarishda nuqson mos ravishda 4%, 3% va 2% ni tashkil qiladi. Kiruvchi mahsulotdan tasodifiy olingan murvatning nuqsonli bo'lish ehtimoli qanday?

Yechim

Keling, voqealarni belgilaylik:

4 = (i-chi mashinada tasodifiy olingan murvat qilingan); i = 1, 2, 3;

IN= (tasodifiy olingan murvat nuqsonli bo'ladi).

Muammoning shartidan klassik ehtimollik formulasidan foydalanib, biz gipotezalarning ehtimolliklarini topamiz:

Bundan tashqari, klassik ehtimollik formulasidan foydalanib, biz shartli ehtimollarni topamiz:

Umumiy ehtimollik formulasidan foydalanib, topamiz

Javob: 0,028.

Vazifa 6. Elektron sxema 0,25 ehtimollik bilan uchta partiyadan biriga tegishli; 0,5 va 0,25. Tomonlarning har biri uchun sxemaning kafolat muddatidan tashqari ishlashi ehtimoli mos ravishda 0,1 ga teng; 0,2 va 0,4. Tasodifiy tanlangan sxemaning kafolat muddatidan tashqari ishlashi ehtimolini toping.

Yechim

Keling, voqealarni belgilaylik:

4 = (i-o'yindan tasodifiy olingan sxema); i = 1, 2, 3;

IN= (tasodifiy olingan sxema kafolat muddatidan keyin ishlaydi).

Muammoning shartiga ko'ra, gipotezalarning ehtimolliklari ma'lum:

Biz shartli ehtimollarni ham bilamiz:

Umumiy ehtimollik formulasidan foydalanib, topamiz

Javob: 0,225.

Vazifa 7. Qurilma ikkita blokni o'z ichiga oladi, ularning har birining xizmat ko'rsatish qobiliyati qurilmaning ishlashi uchun zarurdir. Ushbu bloklar uchun nosozliksiz ishlash ehtimoli mos ravishda 0,99 va 0,97 ni tashkil qiladi. Qurilma ishdan chiqqan. Ikkala birlikning muvaffaqiyatsiz bo'lish ehtimolini aniqlang.

Yechim

Keling, voqealarni belgilaylik:

D = (z-chi blok muvaffaqiyatsiz bo'ladi); i = 1,2;

A= (qurilma ishlamay qoladi).

Masalaning shartidan qarama-qarshi hodisalarning ehtimollik xossasiga ko'ra quyidagilarga erishamiz: DD) = 1-0,99 = 0,01; DD) = 1-0,97 = 0,03.

Tadbir A D yoki hodisalarning kamida bittasi bo'lgandagina sodir bo'ladi A 2 . Shuning uchun bu hodisa hodisalar yig'indisiga teng A= D + A 2 .

Qo'shma hodisalar ehtimoli uchun qo'shish teoremasi orqali biz olamiz

Bayes formulasidan foydalanib, biz ikkala blokning ishdan chiqishi tufayli qurilmaning ishdan chiqishi ehtimolini topamiz.

Javob:

Mustaqil hal qilish uchun vazifalar Vazifa 1. Televizion studiyaning omborida 1-sonli zavod tomonidan ishlab chiqarilgan kineskoplarning 70%; qolgan kineskoplar 2-sonli zavod tomonidan ishlab chiqarilgan. Kafolat muddati davomida kineskopning ishlamay qolishi ehtimoli 1-sonli zavodning kineskoplari uchun 0,8 va 2-sonli zavodning kineskoplari uchun 0,7. Kineskop kafolat muddatiga bardosh berdi. Uning 2-sonli zavod tomonidan ishlab chiqarilganligi ehtimolini toping.

Vazifa 2. Yig'ish uchun uchta avtomatik mashinaning qismlari keladi. Ma'lumki, 1-mashina 0,3%, 2-chi - 0,2%, 3-chi - 0,4% nuqsonlarni beradi. Agar 1-mashinadan 1000 ta, 2-dan 2000 ta, 3-dan esa 2500 ta detal olingan boʻlsa, yigʻish uchun nuqsonli qismni olish ehtimolini toping.

Vazifa 3. Ikkita mashina bir xil qismlarni ishlab chiqaradi. Birinchi mashinada ishlab chiqarilgan qismning standart bo'lish ehtimoli 0,8 ga, ikkinchisida esa 0,9 ga teng. Ikkinchi mashinaning ishlashi birinchisidan uch baravar ko'p. Ikkala mashinadan qismlarni qabul qiladigan konveyerdan standart qismning tasodifiy olinishi ehtimolini toping.

Vazifa 4. Kompaniya rahbari uchta transport kompaniyasidan ikkitasi xizmatidan foydalanishga qaror qildi. Birinchi, ikkinchi va uchinchi firmalar uchun tovarlarni o'z vaqtida yetkazib bermaslik ehtimoli mos ravishda 0,05; 0,1 va 0,07. Ushbu ma'lumotlarni yuk tashish xavfsizligi to'g'risidagi ma'lumotlar bilan taqqoslab, menejer tanlov adolatli degan xulosaga keldi va uni qur'a tashlashga qaror qildi. Yuborilgan yukni o'z vaqtida yetkazib berish ehtimolini toping.

Vazifa 5. Qurilma ikkita blokni o'z ichiga oladi, ularning har birining xizmat ko'rsatish qobiliyati qurilmaning ishlashi uchun zarurdir. Ushbu bloklar uchun nosozliksiz ishlash ehtimoli mos ravishda 0,99 va 0,97 ni tashkil qiladi. Qurilma ishdan chiqqan. Ikkinchi blokning ishlamay qolish ehtimolini aniqlang.

Vazifa 6. Yig'ish sexi qismlarni uchta mashinadan oladi. Birinchi mashina nikohning 3% ni, ikkinchisi - 1% va uchinchisi - 2% ni beradi. Agar har bir mashinadan mos ravishda 500, 200, 300 ta detal olingan bo'lsa, nosoz qismning yig'ilishga tushish ehtimolini aniqlang.

Vazifa 7. Omborga uchta korxonadan mahsulot qabul qilinadi. Bundan tashqari, birinchi firmaning ishlab chiqarishi 20%, ikkinchisi - 46% va uchinchisi - 34% ni tashkil qiladi. Ma'lumki, birinchi firma uchun nostandart mahsulotlarning o'rtacha ulushi 5%, ikkinchisi uchun - 2% va uchinchisi uchun - 1%. Tasodifiy tanlangan mahsulot standart bo'lib chiqsa, ikkinchi kompaniya tomonidan ishlab chiqarilgan bo'lish ehtimolini toping.

Vazifa 8. Bir nuqson tufayli zavodni ishlab chiqarishda nikoh A 5% ni tashkil qiladi va asosida rad etilganlar orasida A mahsulotlar 10% hollarda nuqson bor R. Va nuqsonsiz mahsulotlarda A, nuqson R 1% hollarda uchraydi. Kamchilikka duch kelish ehtimolini toping R barcha mahsulotlarda.

Vazifa 9. Korxonada 10 ta yangi va 5 ta avval ta’mirda bo‘lgan eski avtomobil mavjud. Yangi mashina uchun to'g'ri ishlash ehtimoli 0,94, eskisi uchun - 0,91. Tasodifiy tanlangan mashinaning to'g'ri ishlashi ehtimolini toping.

Vazifa 10. Ikkita sensor umumiy aloqa kanaliga signal yuboradi va ularning birinchisi ikkinchisiga qaraganda ikki barobar ko'p signal yuboradi. Birinchi sensordan buzilgan signalni olish ehtimoli 0,01, ikkinchisidan - 0,03. Umumiy aloqa kanalida buzilgan signalni qabul qilish ehtimoli qanday?

11-topshiriq. Mahsulotlarning beshta partiyasi mavjud: 8 donadan iborat uchta partiya, ulardan 6 tasi standart va 2 tasi nostandart va ikkita partiyasi 10 dona, shundan 7 tasi standart va 3 tasi nostandart. Partiyalardan biri tasodifiy tanlanadi va bu partiyadan tafsilot olinadi. Tanlangan qismning standart bo'lish ehtimolini aniqlang.

12-topshiriq. Montajchi birinchi zavoddan o'rtacha 50% qismlarni, ikkinchi zavoddan 30% va uchinchi zavoddan 20% oladi. Birinchi zavodning bir qismi mukammal sifatga ega bo'lish ehtimoli 0,7; ikkinchi va uchinchi zavodlarning qismlari uchun mos ravishda 0,8 va 0,9. Tasodifiy ravishda olingan ishtirok a'lo sifatli bo'lib chiqdi. Bu qismning birinchi zavod tomonidan ishlab chiqarilganligi ehtimolini toping.

13-topshiriq. Avtomobillarni bojxona ko‘rigidan o‘tkazish ikki nafar inspektor tomonidan amalga oshiriladi. O'rtacha 100 ta mashinadan 45 tasi birinchi inspektordan o'tadi. Ko‘rikdan o‘tishda bojxona qoidalariga rioya qilgan avtomashinaning ushlanmaslik ehtimoli birinchi inspektor uchun 0,95, ikkinchisi uchun 0,85 ni tashkil qiladi. Bojxona qoidalariga rioya qilgan avtomobilning ushlanmaslik ehtimolini toping.

14-topshiriq. Qurilmani yig'ish uchun zarur bo'lgan qismlar ikkita avtomatik mashinadan keladi, ularning ishlashi bir xil. Agar avtomatlardan biri standartni o'rtacha 3%, ikkinchisi esa 2% buzgan bo'lsa, standart qismning yig'ilishga kirish ehtimolini hisoblang.

15-topshiriq. Og'ir atletika bo'yicha murabbiy ushbu vazn toifasida jamoaviy kredit olish uchun sportchi 200 kg og'irlikdagi shtangani surishi kerakligini hisoblab chiqdi. Ivanov, Petrov va Sidorovlar jamoadan joy olishadi. Ivanov mashg'ulotlar davomida 7 ta holatda bunday og'irlikni ko'tarishga urinib ko'rdi va 3 tasini ko'tardi. Petrov 13 tadan 6 marta ko'tardi, Sidorov esa shtangani muvaffaqiyatli boshqarish uchun 35% imkoniyatga ega. Murabbiy tasodifiy tarzda jamoaga bitta sportchini tanlaydi.

• a) Tanlangan sportchining jamoa ochkolarini keltirish ehtimolini toping.
• b) Jamoa hech qanday ochko olmadi. Sidorovning gapirish ehtimolini toping.

16-topshiriq. Oq qutida 12 ta qizil va 6 ta ko'k shar bor. Qora rangda - 15 qizil va 10 ko'k to'p. Zar tashla. Agar ballar soni 3 ga karrali bo'lsa, oq qutidan tasodifiy to'p olinadi. Agar boshqa har qanday nuqtalar soni tushib qolsa, qora qutidan tasodifiy to'p olinadi. Qizil sharning paydo bo'lish ehtimoli qanday?

17-topshiriq. Ikkita qutida radio trubkalari mavjud. Birinchi qutida 12 ta chiroq mavjud, ulardan 1 tasi nostandart; ikkinchisida 10 ta chiroq mavjud, ulardan 1 tasi nostandart. Birinchi qutidan tasodifiy chiroq olindi va ikkinchisiga o'tkazildi. Ikkinchi qutidan tasodifiy chizilgan chiroqning nostandart bo'lish ehtimolini toping.

18-topshiriq. Oq to'p ikkita to'pni o'z ichiga olgan idishga tashlanadi, shundan so'ng bitta to'p tasodifiy tortiladi. Agar to'plarning dastlabki tarkibi (rang bo'yicha) bo'yicha barcha mumkin bo'lgan taxminlar bir xil bo'lsa, chizilgan to'pning oq bo'lish ehtimolini toping.

19-topshiriq. Standart qism 3 ta bir xil qismdan iborat qutiga tashlanadi va keyin bir qism tasodifiy chiziladi. Dastlabki qutidagi standart qismlar soni haqidagi barcha taxminlar bir xil ehtimolga ega bo'lsa, standart qism chizilgan bo'lish ehtimolini toping.

Vazifa 20. Radioaloqa sifatini oshirish uchun ikkita radio qabul qiluvchidan foydalaniladi. Har bir qabul qiluvchi tomonidan signalni qabul qilish ehtimoli 0,8 ga teng va bu hodisalar (qabul qiluvchi tomonidan signalni qabul qilish) mustaqildir. Har bir qabul qiluvchi uchun radioaloqa seansi vaqtida nosozliksiz ishlash ehtimoli 0,9 ga teng bo'lsa, signalni qabul qilish ehtimolini aniqlang.

Sibir davlat telekommunikatsiya va informatika universiteti

Oliy matematika kafedrasi

fan: "Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika"

"Umumiy ehtimollik formulasi va Bayes (Bayes) formulasi va ularning qo'llanilishi"

Bajarildi:

Rahbar: professor B.P. Zelentsov

Novosibirsk, 2010 yil

Kirish 3

1. Umumiy ehtimollik formulasi 4-5

2. Bayes formulasi (Bayes) 5-6

3. 7-11 yechimlari bilan bog’liq masalalar

4. Bayes formulasini qo'llashning asosiy yo'nalishlari (Bayes) 11

Xulosa 12

Adabiyot 13

Kirish

Ehtimollar nazariyasi matematikaning klassik tarmoqlaridan biridir. Bu uzoq tarixga ega. Fanning bu sohasiga asos solgan buyuk matematiklar. Men, masalan, Fermat, Bernoulli, Paskalni nomlayman.
Keyinchalik, ehtimollar nazariyasining rivojlanishi ko'plab olimlarning ishlarida aniqlandi.
Mamlakatimiz olimlari ehtimollar nazariyasiga katta hissa qo'shgan:
P.L.Chebishev, A.M.Lyapunov, A.A.Markov, A.N.Kolmogorov. Ehtimoliy va statistik usullar endi ilovalarga chuqur kiritilgan. Ular fizika, muhandislik, iqtisodiyot, biologiya va tibbiyotda qo'llaniladi. Ularning roli, ayniqsa, kompyuter texnikasining rivojlanishi bilan bog'liq holda ortdi.

Masalan, fizik hodisalarni o'rganish uchun kuzatishlar yoki tajribalar o'tkaziladi. Ularning natijalari odatda ba'zi kuzatilgan miqdorlarning qiymatlari sifatida qayd etiladi. Tajribalarni takrorlashda biz ularning natijalarida tarqoqlikni topamiz. Misol uchun, ma'lum sharoitlarni (harorat, namlik va boshqalar) saqlagan holda bir xil miqdordagi o'lchovlarni bir xil qurilma bilan takrorlash orqali biz kamida bir oz farq qiladigan, ammo baribir bir-biridan farq qiladigan natijalarga erishamiz. Hatto bir nechta o'lchovlar ham keyingi o'lchov natijasini aniq taxmin qilish imkonini bermaydi. Shu ma'noda o'lchov natijasi tasodifiy miqdor deyiladi. Tasodifiy o'zgaruvchining yanada aniq misoli - yutuqli lotereya chiptasining raqami. Tasodifiy o'zgaruvchilarning boshqa ko'plab misollarini keltirish mumkin. Shunga qaramay, baxtsiz hodisalar dunyosida ma'lum naqshlar topiladi. Bunday qonuniyatlarni o'rganishning matematik apparati ehtimollar nazariyasi bilan ta'minlangan.
Shunday qilib, ehtimollik nazariyasi tasodifiy hodisalar va ular bilan bog'liq tasodifiy o'zgaruvchilarning matematik tahlili bilan shug'ullanadi.

1. Umumiy ehtimollik formulasi.

Bir guruh tadbirlar bo'lsin H 1 ,H 2 ,..., H n, u quyidagi xususiyatlarga ega:

1) barcha hodisalar juftlik bilan mos kelmaydi: H i

2) ularning birlashuvi W elementar natijalar makonini tashkil qiladi:

Bunday holda, biz buni aytamiz H 1 , H 2 ,...,H n shakl voqealarning to'liq guruhi. Bunday hodisalar ba'zan deyiladi farazlar.

Mayli A- ba'zi voqea: AÌW (8-rasmda ko'rsatilgan Venn diagrammasi). Keyin bor umumiy ehtimollik formulasi:

P(A) = P(A/H 1)P(H 1) + P(A/H 2)P(H 2) + ...+P(A/H n)P(H n) =

Isbot. Shubhasiz: A=

P(A) = P(

Buni ko'paytirish teoremasi bilan hisobga olsak P(

Misol. Do'konda uchta zavod tomonidan ishlab chiqarilgan elektr lampalar sotiladi, birinchi zavodning ulushi - 30%, ikkinchisi - 50%, uchinchisi - 20%. Ularning mahsulotlarida nikoh mos ravishda 5%, 3% va 2% ni tashkil qiladi. Do'konda tasodifiy tanlangan chiroqning nuqsonli bo'lish ehtimoli qanday?

Tadbirga ruxsat bering H 1 - tanlangan chiroq birinchi zavodda ishlab chiqariladi, H ikkinchisida 2 H 3 - uchinchi zavodda. Shubhasiz:

P(H 1) = 3/10, P(H 2) = 5/10, P(H 3) = 2/10.

Tadbirga ruxsat bering A tanlangan chiroq nuqsonli bo'lib chiqqanligidan iborat; A/H i da ishlab chiqarilgan lampalardan nuqsonli chiroq tanlanganidan iborat hodisani anglatadi i th zavod. Muammoning holatidan quyidagicha:

P (A/ H 1) = 5/10; P(A/ H 2) = 3/10; P(A/ H 3) = 2/10

Umumiy ehtimollik formulasiga ko'ra, biz olamiz

2. Bayes formulasi (Bayes)

Mayli H 1 ,H 2 ,...,H n- hodisalarning to'liq guruhi va AÌ W - bu qandaydir hodisa. Keyin shartli ehtimollik formulasiga muvofiq

Bu yerga P(H k/A) hodisaning shartli ehtimoli (gipoteza) H k yoki ehtimollik H k sodir bo'lishi sharti bilan amalga oshiriladi A sodir bo'ldi.

Ehtimollarni ko'paytirish teoremasiga ko'ra, (1) formulaning numeratori quyidagicha ifodalanishi mumkin.

P = P = P(A/H k)P(H k)

(1) formulaning maxrajini ifodalash uchun umumiy ehtimollik formulasidan foydalanish mumkin

P(A)

Endi (1) dan formulani olish mumkin Bayes formulasi:

Bayes formulasi bo'yicha gipotezani amalga oshirish ehtimoli hisoblanadi H k voqea bo'lishi sharti bilan A sodir bo'ldi. Bayes formulasi ham deyiladi gipotezaning ehtimollik formulasi. Ehtimollik P(H k) gipotezaning oldingi ehtimolligi deyiladi H k, va ehtimollik P(H k/A) posterior ehtimollikdir.

Teorema. Sinovdan so'ng gipoteza ehtimoli sinovdan oldin gipotezaning ehtimolligining sinov paytida sodir bo'lgan hodisaning tegishli shartli ehtimoliga ko'paytmasiga teng bo'lib, ushbu hodisaning umumiy ehtimoliga bo'linadi.

Misol. Elektr lampalar haqida yuqoridagi muammoni ko'rib chiqing, faqat muammoning savolini o'zgartiring. Xaridorga ushbu do'kondan elektr chiroq sotib olishiga ruxsat bering va u nuqsonli bo'lib chiqdi. Ushbu lampaning ikkinchi zavodda ishlab chiqarilganligi ehtimolini toping. Qiymat P(H 2) = 0,5 bu holda, bu sotib olingan chiroq ikkinchi zavodda ishlab chiqarilgan hodisaning apriori ehtimoli. Xarid qilingan chiroqning nuqsonli ekanligi haqida ma'lumot olganimizdan so'ng, biz ushbu hodisaning orqa ehtimolini hisoblash orqali ushbu chiroqni ikkinchi zavodda ishlab chiqarish imkoniyati haqidagi taxminimizni to'g'rilashimiz mumkin.

Bu holat uchun Bayes formulasini yozamiz

Ushbu formuladan biz quyidagilarni olamiz: P(H 2 /A) = 15/34. Ko'rinib turibdiki, olingan ma'lumotlar bizni qiziqtirgan hodisaning ehtimoli apriori ehtimoldan past bo'lishiga olib keldi.

3. Yechimlar bilan bog‘liq muammolar.

Vazifa 1. Do‘konga uchta korxonadan yangi mahsulotlar kelib tushdi. Ushbu mahsulotlarning foizli tarkibi quyidagicha: 20% - birinchi korxona mahsuloti, 30% - ikkinchi korxona mahsuloti, 50% - uchinchi korxona mahsuloti; Bundan tashqari, birinchi korxona mahsulotining 10 foizi yuqori navli mahsulot, ikkinchi korxonada - 5 foiz va uchinchisida - eng yuqori navli mahsulotning 20 foizi. Tasodifiy sotib olingan yangi mahsulot eng yuqori sifatga ega bo'lish ehtimolini toping.

Yechim. tomonidan belgilang IN orqali premium mahsulot sotib olinadi voqea

Biz umumiy ehtimollik formulasini qo'llashimiz mumkin va bizning yozuvimizda:

Ushbu qiymatlarni umumiy ehtimollik formulasiga almashtirib, biz kerakli ehtimollikni olamiz:

Vazifa 2. Uchta otuvchidan biri otishma chizig'iga chaqiriladi va ikkita o'q uzadi. Birinchi otuvchi uchun bitta o'q bilan nishonga tegish ehtimoli 0,3, ikkinchisi uchun - 0,5; uchinchisi uchun - 0,8. Maqsadga tegmadi. O‘qlarni birinchi otgan otishma ehtimolini toping.

signal va shovqin. Nima uchun ba'zi bashoratlar amalga oshadi, boshqalari esa Kumush Neyt emas

Bayes teoremasining oddiy matematikasi

Agar Bayes teoremasining falsafiy asoslari hayratlanarli darajada chuqur bo'lsa, unda uning matematikasi hayratlanarli darajada sodda. Uning asosiy shaklida, bu faqat uchta ma'lum o'zgaruvchi va bitta noma'lum algebraik ifodadir. Biroq, bu oddiy formula bashoratlarni tushunishga olib kelishi mumkin.

Bayes teoremasi shartli ehtimollik bilan bevosita bog'liq. Boshqacha qilib aytganda, bu sizga nazariya yoki gipoteza ehtimolini hisoblash imkonini beradi, Agar qandaydir voqea sodir bo'ladi. Tasavvur qiling-a, siz sherik bilan yashayapsiz va uyga xizmat safaridan qaytganingizdan so'ng, garderobingizda notanish ichki kiyimni topasiz. Sizni qiziqtirgandirsiz: sherigingiz sizni aldash ehtimoli qanday? Vaziyat siz ichki kiyim topasiz; gipoteza sizni aldash ehtimolini baholashdan manfaatdor ekanligingizdir. Xoh ishoning, xoh ishonmang, Bayes teoremasi sizga bu kabi savollarga javob berishi mumkin, agar siz uchta xususiyatni bilsangiz (yoki buni qadrlasangiz).

Avvalo, siz ichki kiyimning paydo bo'lish ehtimolini baholashingiz kerak. gipotezaning to'g'riligi uchun shart sifatida - ya'ni o'zgartirish sharti bilan.

Bu muammoni hal qilish uchun, faraz qilaylik, siz ayolsiz, sherigingiz esa erkak, bahs mavzusi esa külot. Agar u sizni aldayotgan bo'lsa, boshqa odamlarning külotlari sizning garderobingizga qanday kirib borishini tasavvur qilish oson. Ammo, agar u sizni aldayotgan bo'lsa ham (yoki ayniqsa, agar) siz undan ehtiyot bo'lishingizni kutishingiz mumkin. Aytaylik, agar u sizni aldasa, külot paydo bo'lishining 50% ehtimoli bor.

Ikkinchidan, siz ichki kiyimning paydo bo'lish ehtimolini baholashingiz kerak gipoteza noto'g'ri bo'lishi sharti bilan.

Agar eringiz sizni aldayotgani yo'q, garderobingizda külotlarning paydo bo'lishi uchun boshqa, ko'proq begunoh tushuntirishlar bo'lishi kerak. Ulardan ba'zilari juda yoqimsiz bo'lishi mumkin (masalan, bu o'zining külotlari bo'lishi mumkin). Ehtimol, uning yuki boshqa birovning yuki bilan adashtirib yuborilgan. Ehtimol, negadir siz ishonadigan ba'zi qiz do'stlaringiz uning uyida begunoh tunab qolishgan. Panties siz uchun sovg'a bo'lishi mumkin edi, u yig'ishni unutgan. Ushbu nazariyalarning hech biri kamchiliklarsiz emas, garchi ba'zida "it mening uy vazifamni yedi" degan tushuntirishlar haqiqat bo'lib chiqadi. Siz ularning umumiy ehtimolini 5% deb baholaysiz.

Sizga kerak bo'lgan uchinchi va eng muhim narsa - Bayesiyaliklar nima deb atashadi oldingi ehtimollik(yoki oddiygina a priori). Uning xiyonati ehtimolini qanday baholadingiz bundan oldin Ichki kiyimni qanday topdingiz? Albatta, bu külotlar sizning ko'rish sohangizda paydo bo'lgandan so'ng, hozir ob'ektiv baholashni davom ettirishingiz qiyin (ideal holda, siz dalillarni o'rganishni boshlashdan oldin bu ehtimolni taxmin qilasiz). Ammo ba'zida bunday hodisalarning ehtimolini empirik tarzda baholash mumkin. Misol uchun, bir qator tadqiqotlar shuni ko'rsatdiki, har qanday tasodifiy yilda turmush qurgan sheriklarning taxminan 4 foizi o'z turmush o'rtog'ini aldashadi (570), shuning uchun biz bu raqamni apriori ehtimollik sifatida qabul qilamiz.

Agar siz ushbu qiymatlarning barchasini baholagan bo'lsangiz, unda siz Bayes teoremasini baholash uchun qo'llashingiz mumkin posterior ehtimollik. Aynan shu raqam bizni eng ko'p qiziqtiradi - agar biz birovning ichki kiyimini topsak, bizni aldash ehtimoli qanchalik katta?

Hisoblash va uni amalga oshirishga imkon beruvchi oddiy algebraik formula Jadvalda keltirilgan. 8.2.

8.2-jadval. Bayes teoremasi bo'yicha xiyonat ehtimolini hisoblash misoli

Ma'lum bo'lishicha, xiyonat qilish ehtimoli hali ham juda kichik - 29%. Bu teskari tuyulishi mumkin: külotlar etarlicha kuchli dalil emasmi? Ehtimol, bu natija siz uning xiyonat qilish ehtimolining juda past apriori qiymatidan foydalanganingiz bilan bog'liq.

Garchi begunoh odam külotlarning paydo bo'lishi uchun aybdor odamga qaraganda ancha kamroq asosli tushuntirishlarga ega bo'lishi mumkin bo'lsa-da, siz dastlab ular begunoh deb taxmin qilgansiz va bu tenglama natijasiga katta ta'sir ko'rsatdi.

Biror narsaga apriori ishonchimiz komil bo'lsa, yangi dalillar paydo bo'lganda ham, biz juda moslashuvchan bo'lishimiz mumkin. Bunday vaziyatlarning klassik misollaridan biri 40 yoshdan oshgan ayollarda ko'krak bezi saratonini aniqlashdir. Yaxshiyamki, 40 yoshdan oshgan ayolda ko'krak bezi saratoni bilan kasallanish ehtimoli juda past, taxminan 1,4% (571). Biroq, uning mamogrammasida ijobiy natija ehtimoli qanday?

Tadqiqot shuni ko'rsatadiki, agar ayolda bo'lsa ham Yo'q saraton, mammogramma noto'g'ri 10% hollarda mavjudligini ko'rsatadi (572). Boshqa tomondan, agar u saraton kasalligiga chalingan bo'lsa, mamogramma buni taxminan 75% hollarda aniqlaydi (573). Ushbu statistik ma'lumotlarni ko'rganingizdan so'ng, siz ijobiy mamogramma natijasi narsalar juda yomon ekanligini anglatishi mumkin. Biroq, bu raqamlar yordamida Bayes hisob-kitobi boshqacha xulosaga olib keladi: 40 yoshdan oshgan ayolda ko'krak bezi saratoni bilan kasallanish ehtimoli. agar u ijobiy mamogrammaga ega bo'lsa, hali ham 10% atrofida. Bunday holda, tenglamani hisoblashning bu natijasi juda ko'p yosh ayollarda ko'krak saratoni borligi bilan bog'liq. Shuning uchun ko'plab klinisyenler ayollarga 50 yoshgacha muntazam mamogrammalarni boshlamaslikni tavsiya qiladi, shundan so'ng ko'krak bezi saratonining apriori ehtimoli sezilarli darajada oshadi (574).

Bunday muammolar, shubhasiz, murakkab. Yaqinda Amerikaning statistik savodxonligi bo'yicha o'tkazilgan so'rov davomida ularga ko'krak bezi saratoni misoli keltirildi. Va ma'lum bo'lishicha, ularning atigi 3 foizi ehtimollik qiymatlarini to'g'ri hisoblay olgan (575). Ba'zan, biroz sekinlashib, muammoni tasavvur qilishga urinish orqali (8.2-rasmda ko'rsatilganidek), biz o'zimizning aniq bo'lmagan taxminlarimizni osongina tekshirishimiz mumkin. Vizualizatsiya bizga katta rasmni osonroq ko'rishga yordam beradi - ko'krak saratoni yosh ayollarda juda kam uchraydi, chunki mamogrammaning ijobiy natijasi hech narsani anglatmaydi.

Guruch. 8.2. Mamogramma misolida Bayes teoremasi uchun kirish ma'lumotlarining grafik tasviri

Biroq, biz odatda eng so'nggi yoki eng mavjud ma'lumotlarga e'tibor qaratamiz va katta rasm yo'qola boshlaydi. Bob Vulgaris kabi aqlli o'yinchilar bizning fikrlashimizdagi bu kamchiliklardan mohirona foydalanishni o'rgandilar. Voulgaris qisman Leykersga yaxshi pul tikdi, chunki bukuvchilar Leykersning dastlabki bir necha o'yinlarini haddan tashqari oshirib o'tkazishdi va jamoaning chempion bo'lish ehtimolini 4:1 dan 65:1 ga o'zgartirdi. Yulduz futbolchilaridan biri jarohat olgan taqdirda yaxshi jamoa bo'lishi mumkin. Bayes teoremasi bizdan bunday muammolar haqida ko'proq o'ylashni talab qiladi. Bu bizning instinktiv taxminlarimiz juda qo'pol bo'lgan holatlarni aniqlash uchun juda foydali bo'lishi mumkin.

Lekin men bizning aprior umidlarimiz har doim yangi dalillarga ustunlik qiladi yoki Bayes teoremasi har doim mantiqsiz ko'rinadigan natijalarga olib keladi, deb aytmoqchi emasman. Ba'zida yangi dalillar biz uchun shunchalik muhimki, u hamma narsadan ustun turadi va biz deyarli bir zumda o'z fikrimizni o'zgartirishimiz va deyarli nolga teng deb o'ylagan voqeaga to'liq ishonch hosil qilishimiz mumkin.

Keling, quyuqroq misolni olaylik, 11 sentyabr hujumlarini. Ko'pchiligimiz, o'sha kuni ertalab uyg'onganimizda, terrorchilar samolyotlarni Manxettendagi osmono'par binolarga qulashi ehtimoli deyarli nolga teng. Biroq, birinchi samolyot Jahon Savdo Markaziga qulaganidan so'ng, terrorchilik hujumining aniq ehtimolini tan oldik. Samolyot ikkinchi minoraga qulagandan keyin hujumga uchraganiga endi shubha qilmaymiz. Bayes teoremasi bu natijani ko'rsatishga qodir.

Aytaylik, birinchi samolyot minoraga urilishidan oldin, Manxettenning ko'p qavatli uylarida terakt sodir bo'lish ehtimoli haqidagi hisob-kitoblarimiz 20 mingda atigi 1 imkoniyat yoki 0,005% edi. Biroq, samolyotning Jahon Savdo Markazi minorasi bilan noto'g'ri to'qnashishi ehtimoli juda past ekanligini ham hisobga olishimiz kerak edi. Bu ko'rsatkichni empirik tarzda hisoblash mumkin. 11-sentabr voqealaridan 25 000 kun oldin, Manxetten ustidan parvozlar amalga oshirilgan, faqat ikkita holat (576) bo'lgan: 1945 yilda Empire State Building bilan to'qnashuv va Uoll-strit 40-da joylashgan minora bilan to'qnashuv. 1946. Shuning uchun bunday hodisaning ehtimoli har qanday tasodifiy kunda taxminan 12500 ta imkoniyat edi. Agar bu raqamlar Bayes teoremasidan foydalangan holda hisoblansa (8.3a-jadval), u holda birinchi samolyot binoga urilgan paytda terrorchilik hujumi ehtimoli 0,005 dan 38% gacha oshgan.

8.3a-jadval.

Biroq, Bayes teoremasining g'oyasi shundaki, biz ehtimollik hisoblarimizni bir marta o'zgartirmaymiz. Biz buni har doim yangi dalillar paydo bo'lganda qilamiz. Shunday qilib, birinchi samolyotning to'qnashuvidan keyin terroristik hujumning keyingi ehtimoli 38% ga teng bo'ladi. a priori ikkinchisi bilan to'qnashuv ehtimoli.

Va agar ikkinchi samolyot Jahon Savdo Markazi minorasiga urilganidan keyin qayta hisob-kitob qilsangiz, terroristik hujumning 99,99% ehtimoli bu hodisaning deyarli aniqligi bilan almashtirilganini ko'rasiz. Nyu-Yorkdagi yorqin quyoshli kunda bitta voqea sodir bo'lishi ehtimoldan yiroq edi, lekin ikkinchisi sodir bo'lmasligi deyarli mumkin emas edi (8.3b-jadval), biz to'satdan va katta dahshat bilan tushundik.

8.3b-jadval. Bayes teoremasi yordamida terrorchilik hujumi ehtimolini hisoblash misoli

Men ataylab juda qiyin vaziyatlarni misol sifatida tanladim - terroristik hujumlar, saraton, zino - chunki men Bayesian tafakkurini qo'llash mumkin bo'lgan muammolar ko'lamini ko'rsatmoqchiman. Bayes teoremasi sehrli formula emas. Uning eng oddiy formulasi, biz ushbu kitobda taqdim etamiz, qo'shish, ayirish, bo'lish va ko'paytirish uchun oddiy arifmetik amallardan foydalanadi. Ammo bu bizga foydali natija berishi uchun biz unga ma'lumot, xususan, oldingi ehtimollik hisoblarimiz bilan ta'minlashimiz kerak.

Biroq, Bayes teoremasi bizni tasodifning ko'rinishi sifatida ko'rib chiqishni istamaydigan masalalarga kelganda ham, dunyoda sodir bo'lish ehtimoli haqida o'ylashga majbur qiladi. Bu dunyoni ichimizdagidek idrok etishimizni talab qilmaydi, metafizik jihatdan noaniq: Laplas sayyoralarning orbitalaridan tortib eng kichik molekulalarning harakatigacha bo'lgan hamma narsa Nyuton qoidalari bilan tartibga solingan deb hisoblardi. Shunga qaramay, u Bayes teoremasini ishlab chiqishda muhim rol o'ynadi. Aksincha, bu teorema bilan bog'liqligini aytish mumkin epistemologik noaniqlik - bizning bilimimiz chegaralari.

ODDIY ARIFMETIKA (Rossiya va MDH davlatlari) Y. Byali 18 noyabr - Belarus Oliy Kengashida boʻlinish: 75 deputat Lukashenkoga impichment eʼlon qilish talabini imzoladi, 80 deputat esa prezident kursiga sodiqligini eʼlon qildi. - Kurs bilan kelishmovchilik belgisi sifatida Lukashenko iste'foga chiqdi

PAYTI MATEMATIKA Denis Tukmakov Men bekatda avtobus kutib turdim va bugun bizdan talab qilingan oliy matematika darsligidagi paragrafni tushunishga behuda urindim. "Kechirasiz, bu qo'llanmaning muallifi kim?" Degan savolni eshitib, sinus qiymatlari haqida biror narsa o'qiyotgan edim. I