POGLAVLJE I.

OSNOVNI KONCEPTI.

§jedanaest. SUSJEDNI I VERTIKALNI UGLOVI.

1. Susedni uglovi.

Ako produžimo stranu nekog ugla izvan njegovog vrha, dobićemo dva ugla (slika 72): / Sunce i / SVD, u kojem je jedna strana BC zajednička, a druge dvije AB i BD čine pravu liniju.

Dva ugla kojima je jedna strana zajednička, a druga dva čine pravu liniju nazivaju se susjedni uglovi.

Susedni uglovi se mogu dobiti i na ovaj način: ako povučemo zrak iz neke tačke na pravoj liniji (koja ne leži na datoj pravoj liniji), onda dobijamo susedne uglove.
Na primjer, / ADF i / FDV - susjedni uglovi (Sl. 73).

Susedni uglovi mogu imati širok izbor položaja (Sl. 74).

Susjedni uglovi se zbrajaju u pravi ugao, dakle umma dva susjedna ugla je 2d.

Dakle, pravi ugao se može definisati kao ugao jednak njegovom susednom uglu.

Znajući vrijednost jednog od susjednih uglova, možemo pronaći vrijednost drugog susjednog ugla.

Na primjer, ako je jedan od susjednih uglova 3/5 d, tada će drugi ugao biti jednak:

2d- 3 / 5 d= l 2 / 5 d.

2. Vertikalni uglovi.

Ako produžimo stranice ugla izvan njegovog vrha, dobićemo vertikalni uglovi. Na crtežu 75, uglovi EOF i AOC su vertikalni; uglovi AOE i COF su takođe vertikalni.

Dva ugla se nazivaju vertikalnim ako su stranice jednog ugla produžeci stranica drugog ugla.

Neka / 1 = 7 / 8 d(Sl. 76). Pored njega / 2 će biti jednako 2 d- 7 / 8 d, odnosno 1 1/8 d.

Na isti način možete izračunati koliko je jednako / 3 i / 4.
/ 3 = 2d - 1 1 / 8 d = 7 / 8 d; / 4 = 2d - 7 / 8 d = 1 1 / 8 d(Sl. 77).

Vidimo to / 1 = / 3 i / 2 = / 4.

Možete riješiti još nekoliko istih problema i svaki put dobijete isti rezultat: vertikalni uglovi su međusobno jednaki.

Međutim, da bismo bili sigurni da su vertikalni uglovi uvijek međusobno jednaki, nije dovoljno uzeti u obzir pojedinačne numeričke primjere, jer zaključci izvedeni iz pojedinih primjera ponekad mogu biti pogrešni.

Valjanost svojstva vertikalnih uglova potrebno je provjeriti rasuđivanjem, dokazivanjem.

Dokaz se može izvesti na sledeći način (slika 78):

/ a +/ c = 2d;
/ b+/ c = 2d;

(pošto je zbir susjednih uglova 2 d).

/ a +/ c = / b+/ c

(pošto je lijeva strana ove jednakosti jednaka 2 d, a njegova desna strana je također jednaka 2 d).

Ova jednakost uključuje isti ugao With.

Ako smo iz jednake vrijednosti oduzmi jednako, onda će ostati jednako. Rezultat će biti: / a = / b, tj. vertikalni uglovi su međusobno jednaki.

Kada smo razmatrali pitanje vertikalnih uglova, prvo smo objasnili koji se uglovi nazivaju vertikalni, tj. definicija vertikalni uglovi.

Zatim smo donijeli sud (tvrdnju) o jednakosti vertikalnih uglova i dokazom smo se uvjerili u valjanost ovog suda. Takve presude, čija valjanost mora biti dokazana, nazivaju se teoreme. Dakle, u ovom dijelu smo dali definiciju vertikalnih uglova, a takođe smo naveli i dokazali teoremu o njihovom svojstvu.

U budućnosti, prilikom proučavanja geometrije, stalno ćemo se morati susresti sa definicijama i dokazima teorema.

3. Zbir uglova koji imaju zajednički vrh.

Na crtežu 79 / 1, / 2, / 3 i / 4 nalaze se na istoj strani prave linije i imaju zajednički vrh na ovoj pravoj liniji. Sve u svemu, ovi uglovi čine pravi ugao, tj.
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2d.

Na crtežu 80 / 1, / 2, / 3, / 4 i / 5 imaju zajednički vrh. Zbir ovih uglova je puni ugao, tj. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d.

Vježbe.

1. Jedan od susjednih uglova je 0,72 d. Izračunajte ugao koji formiraju simetrale ovih susjednih uglova.

2. Dokazati da simetrale dva susedna ugla čine pravi ugao.

3. Dokažite da ako su dva ugla jednaka, onda su i njihovi susjedni uglovi jednaki.

4. Koliko parova susjednih uglova ima na crtežu 81?

5. Može li se par susjednih uglova sastojati od dva oštra ugla? iz dva tupa ugla? iz pravog i tupog ugla? iz pravog i oštrog ugla?

6. Ako je jedan od susednih uglova pravi, šta se onda može reći o vrednosti ugla koji je uz njega?

7. Ako u preseku dve prave postoji jedan pravi ugao, šta se onda može reći o veličini ostala tri ugla?

Geometrija je veoma mnogostruka nauka. Razvija logiku, maštu i inteligenciju. Naravno, zbog svoje složenosti i ogromnog broja teorema i aksioma, školarcima se to ne sviđa uvijek. Osim toga, postoji potreba da se njihovi zaključci stalno dokazuju korištenjem općeprihvaćenih standarda i pravila.

Susedni i vertikalni uglovi su sastavni deo geometrije. Sigurno ih mnogi školarci jednostavno obožavaju iz razloga što su njihova svojstva jasna i lako dokaziva.

Formiranje uglova

Svaki ugao se formira presekom dve prave ili povlačenjem dve zrake iz jedne tačke. Mogu se nazvati ili jednim slovom ili tri, koje sukcesivno označavaju točke konstrukcije ugla.

Uglovi se mjere u stepenima i mogu se (u zavisnosti od njihove vrijednosti) nazvati drugačije. Dakle, postoji pravi ugao, oštar, tup i raspoređen. Svako od naziva odgovara određenoj mjeri stepena ili njenom intervalu.

Oštar ugao je ugao čija mjera ne prelazi 90 stepeni.

Tup ugao je ugao veći od 90 stepeni.

Ugao se naziva pravim kada je njegova mjera 90.

U slučaju kada je formirana od jedne kontinuirane prave linije, a njena mjera stepena je 180, naziva se raspoređena.

Uglovi koji imaju zajedničku stranu, čija se druga stranica nastavlja jedna na drugu, nazivaju se susjedni. Mogu biti oštri ili tupi. Presjek prave formira susjedne uglove. Njihova svojstva su sljedeća:

1. Zbir takvih uglova će biti jednak 180 stepeni (postoji teorema koja to dokazuje). Dakle, jedan od njih se može lako izračunati ako je drugi poznat.
2. Iz prve tačke slijedi da susjedni uglovi ne mogu biti formirani od dva tupa ili dva oštra ugla.

Zahvaljujući ovim svojstvima, uvek se može izračunati stepen stepena nekog ugla s obzirom na vrednost drugog ugla, ili barem odnos između njih.

Vertikalni uglovi

Uglovi čije su stranice nastavci jedna na drugu nazivaju se vertikalni. Bilo koja od njihovih sorti može djelovati kao takav par. Vertikalni uglovi su uvek jednaki jedan drugom.

Nastaju kada se linije sijeku. Zajedno s njima uvijek su prisutni susjedni uglovi. Ugao može biti i susjedan za jedan i okomit za drugi.

Prilikom prelaska proizvoljne linije uzima se u obzir još nekoliko vrsta uglova. Takva prava se naziva sekansa i ona formira odgovarajuće jednostrane i poprečne uglove. One su jedna drugoj jednake. Oni se mogu posmatrati u svjetlu osobina koje imaju vertikalni i susjedni uglovi.

Stoga se čini da je tema uglova prilično jednostavna i razumljiva. Sva njihova svojstva je lako zapamtiti i dokazati. Rješavanje problema nije teško sve dok uglovi odgovaraju brojčanoj vrijednosti. Već dalje, kada počne proučavanje grijeha i cos, morat ćete zapamtiti mnoge složene formule, njihove zaključke i posljedice. Do tada možete samo uživati ​​u lakim zagonetkama u kojima morate pronaći susjedne kutove.

Uglovi kod kojih je jedna strana zajednička, a druge strane leže na istoj pravoj liniji (na slici su uglovi 1 i 2 susedni). Rice. do čl. Susedni uglovi... Velika sovjetska enciklopedija

SUSJEDNI UGLOVI- uglovi koji imaju zajednički vrh i jednu zajedničku stranu, a druge dvije njihove strane leže na istoj pravoj liniji... Velika politehnička enciklopedija

Vidi ugao... Veliki enciklopedijski rječnik

SUSJEDNI UGLOVI, dva ugla čiji je zbir 180°. Svaki od ovih uglova nadopunjuje drugi do punog ugla... Naučno-tehnički enciklopedijski rečnik

Vidi ugao. * * * SUSJEDNI UGLOVI SUSJEDNI UGLOVI, vidi Ugao (vidi UGAO) … enciklopedijski rječnik

- (uglovi susjedni) oni koji imaju zajednički vrh i zajedničku stranu. Uglavnom, ovaj naziv označava takve S. uglove, čije druge dvije strane leže u suprotnim smjerovima jedne prave linije povučene kroz vrh... Enciklopedijski rječnik F.A. Brockhaus i I.A. Efron

Vidi ugao... Prirodna nauka. enciklopedijski rječnik

Dvije linije se seku, stvarajući par vertikalnih uglova. Jedan par se sastoji od uglova A i B, drugi od C i D. U geometriji se dva ugla nazivaju vertikalnim ako su nastali presekom dva ... Wikipedia

Par komplementarnih uglova koji se međusobno nadopunjuju do 90 stepeni Komplementarni ugao je par uglova koji se međusobno nadopunjuju do 90 stepeni. Ako su dva komplementarna ugla susjedna (to jest, imaju zajednički vrh i razdvojeni su samo ... ... Wikipedia

Par komplementarnih uglova koji se međusobno nadopunjuju do 90 stepeni Komplementarni uglovi su par uglova koji se međusobno nadopunjuju do 90 stepeni. Ako su dva dodatna ugla c ... Wikipedia

Knjige

• O dokazu u geometriji, Fetisov A.I. Jednom, na samom početku školske godine Morao sam da čujem razgovor između dve devojke. Najstariji od njih prešao je u šesti razred, najmlađi - u peti. Djevojčice su podijelile svoje utiske o nastavi, ...
• Geometrija. 7. razred. Kompleksna sveska za kontrolu znanja, I. S. Markova, S. P. Babenko. U priručniku su predstavljeni kontrolni i mjerni materijali (KMI) iz geometrije za sprovođenje tekuće, tematske i završne kontrole znanja učenika 7. razreda. Sadržaj vodiča…

Dva ugla se nazivaju susjednim ako imaju jednu zajedničku stranu, a druge strane ovih uglova su komplementarne zrake. Na slici 20, uglovi AOB i BOC su susjedni.

Zbir susjednih uglova je 180°

Teorema 1. Zbir susjednih uglova je 180°.

Dokaz. OB zraka (vidi sliku 1) prolazi između stranica razvijenog ugla. Zbog toga ∠ AOB + ∠ BOC = 180°.

Iz teoreme 1 proizilazi da ako su dva ugla jednaka, onda su i uglovi susedni njima jednaki.

Vertikalni uglovi su jednaki

Dva ugla se nazivaju vertikalnim ako su strane jednog ugla komplementarne zrake stranica drugog. Uglovi AOB i COD, BOD i AOC, formirani na preseku dve prave, su vertikalni (slika 2).

Teorema 2. Vertikalni uglovi su jednaki.

Dokaz. Razmotrimo vertikalne uglove AOB i COD (vidi sliku 2). Ugao BOD je susedan svakom od uglova AOB i COD. Prema teoremi 1, ∠ AOB + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

Stoga zaključujemo da je ∠ AOB = ∠ COD.

Posljedica 1. Ugao pored pravog ugla je pravi ugao.

Razmotrimo dvije prave linije AC i BD koje se seku (slika 3). Formiraju četiri ugla. Ako je jedan od njih pravi (ugao 1 na slici 3), onda su i ostali uglovi pravi (uglovi 1 i 2, 1 i 4 su susedni, uglovi 1 i 3 su vertikalni). U ovom slučaju se kaže da se ove prave sijeku pod pravim uglom i nazivaju se okomite (ili međusobno okomite). Okomitost pravih AC i BD označava se na sljedeći način: AC ⊥ BD.

Simetrala okomitog segmenta je prava okomita na ovaj segment i koja prolazi kroz njegovu sredinu.

AN - okomito na pravu

Razmotrimo pravu a i tačku A koja ne leži na njoj (slika 4). Povežite tačku A segmentom sa tačkom H pravom linijom a. Segment AH se naziva okomom povučenom iz tačke A na pravu a ako su prave AN i a okomite. Tačka H naziva se osnova okomice.

Kvadrat za crtanje

Sljedeća teorema je tačna.

Teorema 3. Iz bilo koje tačke koja ne leži na pravoj, može se povući okomita na ovu pravu, i štaviše, samo jednu.

Za crtanje okomice iz tačke na pravu liniju na crtežu koristi se kvadrat za crtanje (slika 5).

Komentar. Izjava teoreme obično se sastoji od dva dijela. Jedan dio govori o tome šta je dato. Ovaj dio se naziva uvjetom teoreme. Drugi dio govori o tome šta treba dokazati. Ovaj dio se zove zaključak teoreme. Na primjer, uvjet teoreme 2 su vertikalni uglovi; zaključak - ovi uglovi su jednaki.

Bilo koja teorema može se detaljno izraziti riječima tako da njen uvjet počinje riječju “ako”, a zaključak riječju “onda”. Na primjer, teorema 2 može se detaljno izreći na sljedeći način: "Ako su dva ugla vertikalna, onda su jednaki."

Primjer 1 Jedan od susjednih uglova je 44°. Čemu je drugi jednak?

Rješenje. Meru stepena drugog ugla označimo sa x, tada prema teoremi 1.
44° + x = 180°.
Rješavajući rezultirajuću jednadžbu, nalazimo da je x \u003d 136 °. Dakle, drugi ugao je 136°.

Primjer 2 Neka COD ugao na slici 21 bude 45°. Šta su uglovi AOB i AOC?

Rješenje. Uglovi COD i AOB su vertikalni, pa su prema teoremi 1.2 jednaki, tj. ∠ AOB = 45°. Ugao AOC je susedan uglu COD, prema teoremu 1.
∠ AOC = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.

Primjer 3 Pronađite susjedne uglove ako je jedan od njih 3 puta veći.

Rješenje. Meru stepena manjeg ugla označimo sa x. Tada će mjera stepena većeg ugla biti Zx. Pošto je zbir susjednih uglova 180° (Teorema 1), onda je x + 3x = 180°, odakle je x = 45°.
Dakle, susjedni uglovi su 45° i 135°.

Primjer 4 Zbir dva vertikalna ugla je 100°. Pronađite vrijednost svakog od četiri ugla.

Rješenje. Neka uslovu zadatka odgovara slika 2. Vertikalni uglovi COD prema AOB su jednaki (teorema 2), što znači da su i njihove mjere stepena jednake. Prema tome, ∠ COD = ∠ AOB = 50° (njihov zbir je 100° po uslovu). Ugao BOD (također ugao AOC) graniči sa uglom COD, i, prema tome, prema teoremi 1
∠ BOD = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.

Pitanje 1. Koji se uglovi nazivaju susjednim?
Odgovori. Dva ugla se nazivaju susjednim ako imaju jednu zajedničku stranu, a druge strane ovih uglova su komplementarne poluprave.
Na slici 31, uglovi (a 1 b) i (a 2 b) su susjedni. Imaju zajedničku stranu b, a stranice a 1 i a 2 su dodatne poluprave.

Pitanje 2. Dokažite da je zbir susjednih uglova 180°.
Odgovori. Teorema 2.1. Zbir susjednih uglova je 180°.
Dokaz. Neka su ugao (a 1 b) i ugao (a 2 b) dati susedni uglovi (vidi sliku 31). Greda b prolazi između stranica a 1 i a 2 razvijenog ugla. Dakle, zbir uglova (a 1 b) i (a 2 b) jednak je razvijenom uglu, odnosno 180°. Q.E.D.

Pitanje 3. Dokažite da ako su dva ugla jednaka, onda su i uglovi koji su im susjedni jednaki.
Odgovori.

Iz teoreme 2.1 Iz toga slijedi da ako su dva ugla jednaka, onda su i uglovi koji su im susjedni jednaki.
Recimo da su uglovi (a 1 b) i (c 1 d) jednaki. Moramo dokazati da su uglovi (a 2 b) i (c 2 d) također jednaki.
Zbir susjednih uglova je 180°. Iz ovoga slijedi da je a 1 b + a 2 b = 180° i c 1 d + c 2 d = 180°. Dakle, a 2 b \u003d 180 ° - a 1 b i c 2 d \u003d 180 ° - c 1 d. Pošto su uglovi (a 1 b) i (c 1 d) jednaki, dobijamo da je a 2 b = 180 ° - a 1 b = c 2 d. Svojstvom tranzitivnosti znaka jednakosti slijedi da je a 2 b = c 2 d. Q.E.D.

Pitanje 4. Koji ugao se naziva pravi (oštar, tup)?
Odgovori. Ugao jednak 90° naziva se pravi ugao.
Ugao manji od 90° naziva se oštar ugao.
Ugao veći od 90° i manji od 180° naziva se tupim uglom.

Pitanje 5. Dokažite da je ugao koji se nalazi pored pravog ugla pravi ugao.
Odgovori. Iz teoreme o zbiru susednih uglova sledi da je ugao pored pravog ugla pravi ugao: x + 90° = 180°, x= 180° - 90°, x = 90°.

Pitanje 6. Koji su vertikalni uglovi?
Odgovori. Dva ugla se nazivaju vertikalnim ako su stranice jednog ugla komplementarne poluprave stranica drugog.

Pitanje 7. Dokažite da su vertikalni uglovi jednaki.
Odgovori. Teorema 2.2. Vertikalni uglovi su jednaki.
Dokaz. Neka su (a 1 b 1) i (a 2 b 2) dati vertikalni uglovi (slika 34). Ugao (a 1 b 2) graniči sa uglom (a 1 b 1) i sa uglom (a 2 b 2). Odavde, teoremom o zbiru susednih uglova, zaključujemo da svaki od uglova (a 1 b 1) i (a 2 b 2) nadopunjuje ugao (a 1 b 2) do 180°, tj. uglovi (a 1 b 1) i (a 2 b 2) su jednaki. Q.E.D.

Pitanje 8. Dokažite da ako je u presjeku dvije prave jedan od uglova pravi, onda su i ostala tri ugla prava.
Odgovori. Pretpostavimo da se prave AB i CD seku u tački O. Pretpostavimo da je ugao AOD 90°. Pošto je zbir susednih uglova 180°, dobijamo da je AOC = 180°-AOD = 180°- 90°=90°. Ugao COB je okomit u odnosu na AOD ugao, tako da su jednaki. To jest, ugao COB = 90°. COA je okomita u odnosu na BOD, tako da su jednaki. To jest, ugao BOD = 90°. Dakle, svi uglovi su jednaki 90 °, odnosno svi su u redu. Q.E.D.

Pitanje 9. Koje se prave nazivaju okomiti? Koji znak se koristi za označavanje okomitosti linija?
Odgovori. Dvije prave se nazivaju okomiti ako se sijeku pod pravim uglom.
Okomitost linija se označava sa \(\perp\). Unos \(a\perp b\) glasi: "Prava a je okomita na pravu b".

Pitanje 10. Dokazati da se kroz bilo koju tačku prave može povući prava okomita na nju, i to samo jednu.
Odgovori. Teorema 2.3. Kroz svaku liniju možete nacrtati pravu okomitu na nju, i to samo jednu.
Dokaz. Neka je a data prava i A - dati poen na njoj. Označite sa a 1 jednu od poluprava pravom linijom a sa početnom tačkom A (slika 38). Od poluprave a 1 odvojiti ugao (a 1 b 1) jednak 90°. Tada će pravac koji sadrži zraku b 1 biti okomit na pravu a.

Pretpostavimo da postoji još jedna prava koja takođe prolazi kroz tačku A i okomita je na pravu a. Označimo sa c 1 polupravu ove prave koja leži u istoj poluravni sa zrakom b 1 .
Uglovi (a 1 b 1) i (a 1 c 1), po 90°, položeni su u jednoj poluravni od poluprave a 1 . Ali od poluprave a 1, u ovoj poluravni može se izdvojiti samo jedan ugao jednak 90°. Dakle, ne može postojati druga prava koja prolazi kroz tačku A i okomita na pravu a. Teorema je dokazana.

Pitanje 11.Šta je okomita na pravu?
Odgovori. Okomita na datu pravu je odsječak okomit na datu pravu, čiji je jedan od krajeva u tački presjeka. Ovaj kraj segmenta se zove osnovu okomito.

Pitanje 12. Objasnite šta je dokaz kontradikcijom.
Odgovori. Metoda dokaza koju smo koristili u teoremi 2.3 naziva se dokazom kontradiktorno. Ovaj način dokaza sastoji se u tome da prvo postavimo pretpostavku suprotnu od onoga što je navedeno u teoremi. Zatim, rasuđivanjem, oslanjajući se na aksiome i dokazane teoreme, dolazimo do zaključka koji je u suprotnosti ili sa uslovom teoreme, ili sa jednom od aksioma, ili sa prethodno dokazanom teoremom. Na osnovu toga zaključujemo da je naša pretpostavka bila pogrešna, što znači da je tvrdnja teoreme tačna.

Pitanje 13.Šta je simetrala ugla?
Odgovori. Simetrala ugla je zraka koja dolazi iz vrha ugla, prolazi između njegovih stranica i dijeli ugao na pola.