Zadatak 1

Pronađite kosinus ugla između pravih $\frac(x+3)(5) =\frac(y-2)(-3) =\frac(z-1)(4) $ i $\left\( \begin(niz )(c) (x=2\cdot t-3) \\ (y=-t+1) \\ (z=3\cdot t+5) \end(niz)\right.$.

Neka su u prostoru date dvije linije: $\frac(x-x_(1) )(m_(1) ) =\frac(y-y_(1) )(n_(1) ) =\frac(z-z_( 1 ) )(p_(1) ) $ i $\frac(x-x_(2) )(m_(2) ) =\frac(y-y_(2) )(n_(2) ) =\frac(z - z_(2) )(p_(2) ) $. Biramo proizvoljnu tačku u prostoru i kroz nju povlačimo dvije pomoćne linije, paralelne sa podacima. Ugao između datih linija je bilo koji od ta dva susjedni uglovi formirana od pomoćnih linija. Kosinus jednog od uglova između pravih može se naći pomoću poznate formule $\cos \phi =\frac(m_(1) \cdot m_(2) +n_(1) \cdot n_(2) + p_(1) \cdot p_( 2) )(\sqrt(m_(1)^(2) +n_(1)^(2) +p_(1)^(2) ) \cdot \sqrt(m_(2) )^(2) +n_( 2)^(2) +p_(2)^(2) ) ) $. Ako je vrijednost $\cos \phi >0$, onda oštri ugao između redova ako je $\cos \phi

Kanonske jednadžbe prvog reda: $\frac(x+3)(5) =\frac(y-2)(-3) =\frac(z-1)(4) $.

Kanonske jednadžbe druge prave mogu se dobiti iz parametarskih:

\ \ \

Dakle, kanonske jednadžbe ove linije su: $\frac(x+3)(2) =\frac(y-1)(-1) =\frac(z-5)(3) $.

Računamo:

\[\cos \phi =\frac(5\cdot 2+\left(-3\right)\cdot \left(-1\right)+4\cdot 3)(\sqrt(5^(2) +\ lijevo(-3\desno)^(2) +4^(2) ) \cdot \sqrt(2^(2) +\left(-1\desno)^(2) +3^(2) ) ) = \frac(25)(\sqrt(50) \cdot \sqrt(14) ) \približno 0,9449.\]

Zadatak 2

Prva linija prolazi kroz date tačke $A\left(2,-4,-1\right)$ i $B\left(-3,5,6\right)$, druga prava prolazi kroz date tačke $ C\levo (1,-2,8\desno)$ i $D\left(6,7,-2\desno)$. Pronađite udaljenost između ovih linija.

Neka je neka prava okomita na prave $AB$ i $CD$ i siječe ih u tačkama $M$ i $N$ redom. Pod ovim uslovima, dužina segmenta $MN$ jednaka je udaljenosti između pravih $AB$ i $CD$.

Gradimo vektor $\overline(AB)$:

\[\overline(AB)=\left(-3-2\right)\cdot \bar(i)+\left(5-\left(-4\right)\right)\cdot \bar(j)+ \left(6-\left(-1\right)\right)\cdot \bar(k)=-5\cdot \bar(i)+9\cdot \bar(j)+7\cdot \bar(k ).\]

Neka segment koji predstavlja rastojanje između pravih prolazi kroz tačku $M\left(x_(M) ,y_(M) ,z_(M) \right)$ na pravoj $AB$.

Gradimo $\overline(AM)$ vektor:

\[\overline(AM)=\left(x_(M) -2\desno)\cdot \bar(i)+\left(y_(M) -\left(-4\right)\desno)\cdot \ bar(j)+\left(z_(M) -\left(-1\desno)\desno)\cdot \bar(k)=\] \[=\left(x_(M) -2\desno)\ cdot \bar(i)+\left(y_(M) +4\desno)\cdot \bar(j)+\left(z_(M) +1\desno)\cdot \bar(k).\]

Vektori $\overline(AB)$ i $\overline(AM)$ su isti, stoga su kolinearni.

Poznato je da ako su vektori $\overline(a)=x_(1) \cdot \overline(i)+y_(1) \cdot \overline(j)+z_(1) \cdot \overline(k)$ i $ \overline(b)=x_(2) \cdot \overline(i)+y_(2) \cdot \overline(j)+z_(2) \cdot \overline(k)$ su kolinearni, tada su njihove koordinate su proporcionalni, onda je $\frac(x_((\it 2)) )((\it x)_((\it 1)) ) =\frac(y_((\it 2)) )((\it y)_( (\it 1)) ) =\frac(z_((\it 2)) )((\it z)_((\it 1)) ) $.

$\frac(x_(M) -2)(-5) =\frac(y_(M) +4)(9) =\frac(z_(M) +1)(7) =m$, gdje je $m $ je rezultat dijeljenja.

Odavde dobijamo: $x_(M) -2=-5\cdot m$; $y_(M) +4=9\cdot m$; $z_(M) +1=7\cdot m$.

Konačno, dobijamo izraze za koordinate tačke $M$:

Gradimo $\overline(CD)$ vektor:

\[\overline(CD)=\left(6-1\desno)\cdot \bar(i)+\left(7-\left(-2\right)\right)\cdot \bar(j)+\ lijevo(-2-8\desno)\cdot \bar(k)=5\cdot \bar(i)+9\cdot \bar(j)-10\cdot \bar(k).\]

Neka segment koji predstavlja rastojanje između pravih prolazi kroz tačku $N\left(x_(N) ,y_(N) ,z_(N) \right)$ na pravoj $CD$.

Konstruišemo vektor $\overline(CN)$:

\[\overline(CN)=\left(x_(N) -1\desno)\cdot \bar(i)+\left(y_(N) -\left(-2\right)\right)\cdot \ bar(j)+\left(z_(N) -8\desno)\cdot \bar(k)=\] \[=\left(x_(N) -1\desno)\cdot \bar(i)+ \left(y_(N) +2\desno)\cdot \bar(j)+\left(z_(N) -8\desno)\cdot \bar(k).\]

Vektori $\overline(CD)$ i $\overline(CN)$ su isti, stoga su kolinearni. Primjenjujemo uvjet kolinearnih vektora:

$\frac(x_(N) -1)(5) =\frac(y_(N) +2)(9) =\frac(z_(N) -8)(-10) =n$ gdje je $n $ je rezultat podjele.

Odavde dobijamo: $x_(N) -1=5\cdot n$; $y_(N) +2=9\cdot n$; $z_(N) -8=-10\cdot n$.

Konačno, dobijamo izraze za koordinate tačke $N$:

Gradimo $\overline(MN)$ vektor:

\[\overline(MN)=\left(x_(N) -x_(M) \desno)\cdot \bar(i)+\left(y_(N) -y_(M) \desno)\cdot \bar (j)+\levo(z_(N) -z_(M) \desno)\cdot \bar(k).\]

Zamjenjujemo izraze za koordinate tačaka $M$ i $N$:

\[\overline(MN)=\left(1+5\cdot n-\left(2-5\cdot m\desno)\desno)\cdot \bar(i)+\] \[+\left(- 2+9\cdot n-\left(-4+9\cdot m\desno)\desno)\cdot \bar(j)+\left(8-10\cdot n-\left(-1+7\cdot) m\desno)\desno)\cdot \bar(k).\]

Nakon završetka koraka dobijamo:

\[\overline(MN)=\left(-1+5\cdot n+5\cdot m\desno)\cdot \bar(i)+\left(2+9\cdot n-9\cdot m\desno )\cdot \bar(j)+\left(9-10\cdot n-7\cdot m\desno)\cdot \bar(k).\]

Pošto su prave $AB$ i $MN$ okomite, skalarni proizvod odgovarajućih vektora jednak je nuli, tj. $\overline(AB)\cdot \overline(MN)=0$:

\[-5\cdot \left(-1+5\cdot n+5\cdot m\desno)+9\cdot \left(2+9\cdot n-9\cdot m\desno)+7\cdot \ lijevo(9-10\cdot n-7\cdot m\desno)=0;\] \

Nakon završetka koraka, dobijamo prvu jednačinu za određivanje $m$ i $n$: $155\cdot m+14\cdot n=86$.

Pošto su prave $CD$ i $MN$ okomite, skalarni proizvod odgovarajućih vektora jednak je nuli, tj. $\overline(CD)\cdot \overline(MN)=0$:

\ \[-5+25\cdot n+25\cdot m+18+81\cdot n-81\cdot m-90+100\cdot n+70\cdot m=0.\]

Nakon završetka koraka, dobijamo drugu jednačinu za određivanje $m$ i $n$: $14\cdot m+206\cdot n=77$.

Pronađite $m$ i $n$ rješavanjem sistema jednačina $\left\(\begin(array)(c) (155\cdot m+14\cdot n=86) \\ (14\cdot m+206\ cdot n =77) \end(niz)\desno.$.

Primjenjujemo Cramerovu metodu:

\[\Delta =\left|\begin(niz)(cc) (155) & (14) \\ (14) & (206) \end(niz)\right|=31734; \] \[\Delta _(m) =\left|\begin(niz)(cc) (86) & (14) \\ (77) & (206) \end(niz)\right|=16638; \] \[\Delta _(n) =\left|\begin(array)(cc) (155) & (86) \\ (14) & (77) \end(array)\right|=10731;\ ]\

Pronađite koordinate tačaka $M$ i $N$:

\ \

konačno:

Konačno, pišemo vektor $\overline(MN)$:

$\overline(MN)=\left(2.691-\left(-0.6215\right)\right)\cdot \bar(i)+\left(1.0438-0.7187\right)\cdot \bar (j)+\left (4,618-2,6701\desno)\cdot \bar(k)$ ili $\overline(MN)=3,3125\cdot \bar(i)+0,3251\cdot \bar(j)+1,9479\cdot \bar(k)$.

Udaljenost između linija $AB$ i $CD$ je dužina vektora $\overline(MN)$:$d=\sqrt(3.3125^(2) +0.3251^(2) +1.9479^( 2) ) \ cca 3.8565$ lin. jedinice

a. Neka su date dvije linije koje, kao što je naznačeno u poglavlju 1, čine različite pozitivne i negativni uglovi koji može biti ili oštar ili tup. Poznavajući jedan od ovih uglova, lako možemo pronaći bilo koji drugi.

Inače, za sve ove uglove numerička vrijednost tangente je ista, razlika može biti samo u predznaku

Jednačine linija. Brojevi su projekcije usmjeravajućih vektora prve i druge prave.Ugao između ovih vektora jednak je jednom od uglova formiranih pravim linijama. Stoga se problem svodi na određivanje ugla između vektora. Dobijamo

Radi jednostavnosti, možemo se dogovoriti oko kuta između dvije prave da bismo razumjeli akutni pozitivni ugao (kao, na primjer, na slici 53).

Tada će tangenta ovog ugla uvijek biti pozitivna. Dakle, ako se dobije znak minus na desnoj strani formule (1), onda ga moramo odbaciti, tj. zadržati samo apsolutnu vrijednost.

Primjer. Odredite ugao između linija

Po formuli (1) imamo

With. Ako se naznači koja je strana ugla njegov početak, a koja kraj, onda, računajući uvijek smjer ugla u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, možemo izvući nešto više iz formula (1). Kao što je lako vidjeti sa Sl. 53 znak dobijen na desnoj strani formule (1) će pokazati koji ugao - oštar ili tup - čini drugu liniju sa prvim.

(Zaista, sa slike 53 vidimo da je ugao između prvog i drugog vektora smjera ili jednak željenom kutu između linija, ili se od njega razlikuje za ±180°.)

d. Ako su prave paralelne, onda su i njihovi vektori pravca paralelni.Primjenom uvjeta paralelnosti dva vektora dobijamo!

Ovo je neophodan i dovoljan uslov da dve prave budu paralelne.

Primjer. Direktno

su paralelne jer

e. Ako su linije okomite, tada su i njihovi vektori pravca okomiti. Primjenom uvjeta okomitosti dva vektora dobijamo uvjet okomitosti dvije prave, tj.

Primjer. Direktno

okomito jer

U vezi sa uslovima paralelizma i okomitosti, rešićemo sledeća dva problema.

f. Kroz tačku nacrtajte pravu paralelnu datoj pravoj

Odluka se donosi ovako. Pošto je željena prava paralelna datoj, onda za njen usmjeravajući vektor možemo uzeti isti kao i data prava, tj. vektor sa projekcijama A i B. I tada će se napisati jednačina željene prave u obliku (§ 1)

Primjer. Jednačina prave koja prolazi kroz tačku (1; 3) paralelnu pravoj liniji

bit će sljedeći!

g. Povucite pravu kroz tačku okomitu na datu pravu

Ovdje više nije prikladno uzeti vektor sa projekcijama A i kao usmjeravajući vektor, već je potrebno osvojiti vektor okomit na njega. Projekcije ovog vektora se stoga moraju odabrati prema uslovu da su oba vektora okomita, tj.

Ovaj uslov se može ispuniti na beskonačan broj načina, jer ovdje postoji jedna jednačina sa dvije nepoznate. Ali najlakše je uzeti je. Tada će jednačina željene prave linije biti zapisana u obliku

Primjer. Jednadžba prave koja prolazi kroz tačku (-7; 2) u okomitoj liniji

će biti sljedeće (prema drugoj formuli)!

h. U slučaju kada su linije date jednačinama oblika

prepisujući ove jednačine drugačije, imamo

Ugao φ opšte jednačine A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 i A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, izračunava se po formuli:

Ugao φ između dve prave linije kanonske jednačine(x-x 1) / m 1 = (y-y 1) / n 1 i (x-x 2) / m 2 \u003d (y-y 2) / n 2, izračunava se po formuli:

Udaljenost od tačke do linije

Svaka ravan u prostoru može se predstaviti kao linearna jednačina pozvao opšta jednačina avion

Posebni slučajevi.

o Ako je u jednačini (8), tada ravan prolazi kroz početak.

o Sa (,) ravan je paralelna sa osom (osom, osom), respektivno.

o Kada je (,) ravan paralelna sa ravninom (ravan, ravan).

Rješenje: koristite (7)

Odgovor: opšta jednačina ravnine.

Primjer.

Ravan u pravougaonom koordinatnom sistemu Oxyz data je opštom jednačinom ravni . Zapišite koordinate svih normalnih vektora u ovoj ravni.

Znamo da su koeficijenti varijabli x, y i z u opštoj jednačini ravni odgovarajuće koordinate vektora normale te ravni. Dakle, vektor normale date ravni ima koordinate. Skup svih normalnih vektora može se dati kao.

Napišite jednačinu ravni ako u pravokutnom koordinatnom sistemu Oxyz u prostoru prolazi kroz tačku , a je normalni vektor ove ravni.

Predstavljamo dva rješenja za ovaj problem.

Od uslova koji imamo. Ove podatke zamjenjujemo u opštu jednačinu ravnine koja prolazi kroz tačku:

Napišite opštu jednačinu za ravan paralelnu koordinatnoj ravni Oyz i koja prolazi kroz tačku .

Ravan koja je paralelna koordinatnoj ravni Oyz može se dati općom nepotpunom jednačinom ravnine oblika . Od tačke pripada ravni po uslovu, tada koordinate ove tačke moraju zadovoljiti jednačinu ravni, odnosno jednakost mora biti tačna. Odavde nalazimo. Dakle, željena jednačina ima oblik.

Rješenje. Vektorski proizvod, po definiciji 10.26, ortogonan je na vektore p i q. Dakle, on je ortogonan na željenu ravan i vektor se može uzeti kao njegov normalni vektor. Pronađite koordinate vektora n:

to je . Koristeći formulu (11.1), dobijamo

Otvarajući zagrade u ovoj jednačini, dolazimo do konačnog odgovora.

odgovor: .

Prepišimo normalni vektor u formu i pronađemo njegovu dužinu:

prema gore navedenom:

Odgovori:

Paralelne ravni imaju isti vektor normale. 1) Iz jednačine nalazimo vektor normale ravni:.

2) Sastavljamo jednadžbu ravnine prema tački i vektoru normale:

Odgovori:

Vektorska jednadžba ravnine u prostoru

Parametrijska jednadžba ravni u prostoru

Jednadžba ravni koja prolazi kroz datu tačku okomita na dati vektor

Neka je pravougaoni Dekartov koordinatni sistem zadan u trodimenzionalnom prostoru. Hajde da formulišemo sledeći problem:

Napišite jednačinu za ravan koja prolazi dati poen M(x 0, y 0, z 0) okomito na dati vektor n = ( A, B, C} .

Rješenje. Neka P(x, y, z) je proizvoljna tačka u prostoru. Dot P pripada ravni ako i samo ako je vektor MP = {x − x 0, y − y 0, z − z 0) ortogonalno na vektor n = {A, B, C) (Sl. 1).

Nakon što smo napisali uslov ortogonalnosti za ove vektore (n, MP) = 0 u koordinatnom obliku, dobijamo:

Jednačina ravni za tri tačke

U vektorskom obliku

U koordinatama

Međusobni raspored aviona u prostoru

– opšte jednačine dva aviona. onda:

1) ako , tada se ravni poklapaju;

2) ako , tada su ravni paralelne;

3) ako ili , tada se ravnine seku i sistem jednačina

(6)

su jednadžbe linije presjeka datih ravnina.

Napišite parametarske jednačine za sljedeće linije:

Rješenje: Prave su date kanonskim jednadžbama i u prvoj fazi treba pronaći neku tačku koja pripada pravoj i njen vektor smjera.

a) Iz jednačina ukloniti tačku i vektor smjera: . Možete odabrati drugu tačku (kako to učiniti opisano je gore), ali je bolje uzeti najočitiju. Usput, da biste izbjegli greške, uvijek zamijenite njegove koordinate u jednačine.

Sastavimo parametarske jednačine ove prave linije:

Pogodnost parametarskih jednadžbi je u tome što je uz njihovu pomoć vrlo lako pronaći druge tačke prave. Na primjer, pronađimo tačku čije koordinate, recimo, odgovaraju vrijednosti parametra:

Dakle: b) Razmotrite kanonske jednačine . Izbor tačke ovde je jednostavan, ali podmukao: (pazite da ne pomešate koordinate!!!). Kako izvući vodeći vektor? Možete raspravljati s čim je ova ravna linija paralelna, ili možete koristiti jednostavan formalni trik: proporcija je “y” i “z”, tako da pišemo vektor smjera , i stavljamo nulu u preostali prostor: .

Sastavljamo parametarske jednadžbe prave linije:

c) Hajde da prepišemo jednačine u obliku , odnosno "Z" može biti bilo šta. A ako ih ima, neka, na primjer, . Dakle, tačka pripada ovoj pravoj. Za pronalaženje vektora smjera koristimo sljedeću formalnu tehniku: u početnim jednačinama postoje "x" i "y", au vektoru smjera na tim mjestima upisujemo nule: . Na preostalo mjesto stavljamo jedinica: . Umjesto jedan, bilo koji broj, osim nule, odgovara.

Zapisujemo parametarske jednačine prave:

Definicija. Ako su date dvije prave y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , tada će oštar ugao između ovih pravih biti definiran kao

Dvije prave su paralelne ako je k 1 = k 2 . Dvije prave su okomite ako je k 1 = -1/ k 2 .

Teorema. Prave linije Ax + Vy + C = 0 i A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 su paralelne kada su koeficijenti A 1 = λA, B 1 = λB proporcionalni. Ako je i S 1 = λS, tada se prave poklapaju. Koordinate tačke preseka dve prave nalaze se kao rešenje sistema jednačina ovih pravih.

Jednačina prave koja prolazi kroz datu tačku

Okomito na ovu liniju

Definicija. Prava koja prolazi kroz tačku M 1 (x 1, y 1) i okomita na pravu y = kx + b predstavljena je jednadžbom:

Udaljenost od tačke do linije

Teorema. Ako je data tačka M(x 0, y 0), tada je udaljenost do prave Ax + Vy + C \u003d 0 definirana kao

.

Dokaz. Neka je tačka M 1 (x 1, y 1) osnova okomice spuštene iz tačke M na datu pravu. Tada je rastojanje između tačaka M i M 1:

(1)

Koordinate x 1 i y 1 mogu se naći kao rješenje sistema jednadžbi:

Druga jednačina sistema je jednačina prave linije koja prolazi dati poen M 0 je okomito na datu pravu. Ako transformišemo prvu jednačinu sistema u oblik:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

tada, rješavanjem, dobijamo:

Zamjenom ovih izraza u jednačinu (1) nalazimo:

Teorema je dokazana.

Primjer. Odrediti ugao između pravih: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= p /4.

Primjer. Pokažite da su prave 3x - 5y + 7 = 0 i 10x + 6y - 3 = 0 okomite.

Rješenje. Nalazimo: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 * k 2 = -1, dakle, linije su okomite.

Primjer. Dati su vrhovi trougla A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Naći jednačinu za visinu povučenu iz vrha C.

Rješenje. Pronalazimo jednačinu stranice AB: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Željena jednadžba visine je: Ax + By + C = 0 ili y = kx + b. k = . Tada je y = . Jer visina prolazi kroz tačku C, tada njene koordinate zadovoljavaju ovu jednačinu: odakle je b = 17. Ukupno: .

Odgovor: 3x + 2y - 34 = 0.

Jednadžba prave koja prolazi kroz datu tačku u datom smjeru. Jednačina prave koja prolazi kroz dvije date tačke. Ugao između dvije linije. Uslov paralelnosti i okomitosti dvije prave. Određivanje tačke preseka dve prave

1. Jednačina prave koja prolazi kroz datu tačku A(x 1 , y 1) u datom pravcu, određenom nagibom k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Ova jednačina definira olovku linija koje prolaze kroz tačku A(x 1 , y 1), koji se naziva središte grede.

2. Jednačina prave koja prolazi kroz dvije tačke: A(x 1 , y 1) i B(x 2 , y 2) piše se ovako:

Nagib prave koja prolazi kroz dvije date tačke određuje se formulom

3. Ugao između pravih linija A i B je ugao za koji se prva prava linija mora rotirati A oko tačke preseka ovih linija u smeru suprotnom od kazaljke na satu dok se ne poklopi sa drugom linijom B. Ako su dvije linije date jednadžbama nagiba

y = k 1 x + B 1 ,

y = k 2 x + B 2 , (4)

tada je ugao između njih određen formulom

Treba napomenuti da se u brojiocu razlomka nagib prve prave oduzima od nagiba druge prave.

Ako su date jednadžbe prave linije opšti pogled

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)

ugao između njih određen je formulom

4. Uslovi za paralelizam dve prave:

a) Ako su prave date jednadžbama (4) sa nagibom, tada je neophodan i dovoljan uslov za njihov paralelizam jednakost njihovih nagiba:

k 1 = k 2 . (8)

b) Za slučaj kada su prave date jednačinama u opštem obliku (6), neophodan i dovoljan uslov za njihov paralelizam je da su koeficijenti na odgovarajućim strujnim koordinatama u njihovim jednačinama proporcionalni, tj.

5. Uslovi za okomitost dvije prave:

a) U slučaju kada su prave date jednačinama (4) sa nagibom, nužan i dovoljan uslov za njihovu okomitost je da faktori nagiba recipročne su veličine i suprotne po predznaku, tj.

Ovaj uslov se takođe može napisati u obliku

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Ako su jednadžbe pravih date u opštem obliku (6), onda je uslov za njihovu okomitost (neophodan i dovoljan) ispunjenje jednakosti

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Koordinate tačke preseka dve prave nalaze se rešavanjem sistema jednačina (6). Prave (6) se sijeku ako i samo ako

1. Napišite jednadžbe pravih koje prolaze kroz tačku M, od kojih je jedna paralelna, a druga okomita na datu pravu l.

UGAO IZMEĐU RAVNI

Razmotrimo dvije ravni α 1 i α 2 date respektivno jednadžbama:

Ispod ugao između dvije ravni mislimo na jedan od diedarskih uglova koji formiraju ove ravni. Očigledno je da je ugao između vektora normale i ravni α 1 i α 2 jednak jednom od naznačenih susednih diedarskih uglova ili . Zbog toga . Jer i , onda

.

Primjer. Odredite ugao između ravnina x+2y-3z+4=0 i 2 x+3y+z+8=0.

Uslov paralelnosti dve ravni.

Dvije ravni α 1 i α 2 su paralelne ako i samo ako su njihovi normalni vektori i paralelni, te stoga .

Dakle, dvije ravni su paralelne jedna s drugom ako i samo ako su koeficijenti na odgovarajućim koordinatama proporcionalni:

ili

Uslov okomitosti ravnina.

Jasno je da su dvije ravni okomite ako i samo ako su njihovi normalni vektori okomiti, i stoga, ili .

Na ovaj način, .

Primjeri.

DIREKTNO U PROSTOR.

VEKTORSKA JEDNAČINA DIRECT.

PARAMETRSKE JEDNAČINE DIRECT

Položaj prave linije u prostoru u potpunosti je određen specificiranjem bilo koje njene fiksne tačke M 1 i vektor paralelan ovoj pravoj.

Vektor paralelan pravoj liniji naziva se vođenje vektor ove linije.

Pa pusti pravo l prolazi kroz tačku M 1 (x 1 , y 1 , z 1) leži na pravoj liniji paralelnoj s vektorom .

Razmotrite proizvoljnu tačku M(x,y,z) na pravoj liniji. Iz slike se vidi da .

Vektori i su kolinearni, tako da postoji takav broj t, šta , gdje je množitelj t može uzeti bilo koju numeričku vrijednost ovisno o poziciji točke M na pravoj liniji. Faktor t naziva se parametar. Označavanje radijus vektora tačaka M 1 i M odnosno, kroz i , Dobijamo . Ova jednačina se zove vektor jednačina prave linije. Pokazuje da je svaka vrijednost parametra t odgovara radijus vektoru neke tačke M ležeći na pravoj liniji.

Ovu jednačinu zapisujemo u koordinatnom obliku. Obratite pažnju da, i odavde

Rezultirajuće jednačine se nazivaju parametarski pravolinijske jednačine.

Prilikom promjene parametra t promene koordinata x, y i z i tačka M kreće se pravolinijski.

DIREKTNE KANONIČKE JEDNAČINE

Neka M 1 (x 1 , y 1 , z 1) - tačka koja leži na pravoj liniji l, i je njegov vektor smjera. Opet, uzmite proizvoljnu tačku na pravoj liniji M(x,y,z) i razmotrimo vektor .

Jasno je da su vektori i kolinearni, tako da njihove odgovarajuće koordinate moraju biti proporcionalne, dakle

– kanonski pravolinijske jednačine.

Napomena 1. Imajte na umu da se kanonske jednadžbe prave mogu dobiti iz parametarskih jednačina eliminacijom parametra t. Zaista, iz parametarskih jednačina dobijamo ili .

Primjer. Napišite jednačinu prave linije na parametarski način.

Označite , dakle x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Napomena 2. Neka je prava okomita na jednu od koordinatnih osa, na primjer, os Ox. Tada je vektor smjera prave okomit Ox, Shodno tome, m=0. Shodno tome, parametarske jednačine prave imaju oblik

Eliminacija parametra iz jednačina t, dobijamo jednadžbe prave linije u obliku

Međutim, i u ovom slučaju pristajemo da formalno zapišemo kanonske jednačine prave u obliku . Dakle, ako je nazivnik jednog od razlomaka nula, onda to znači da je prava okomita na odgovarajuću koordinatnu os.

Slično, kanonske jednačine odgovara pravoj liniji okomitoj na osi Ox i Oy ili paralelne ose Oz.

Primjeri.

OPĆE JEDNAČINE PRAVA PRAVA KAO PRAVA presjeka DVIJE RAVNI

Kroz svaku pravu liniju u prostoru prolazi beskonačan broj ravnina. Bilo koja dva od njih, ukrštajući se, definiraju ga u prostoru. Prema tome, jednačine bilo koje dvije takve ravni, razmatrane zajedno, su jednačine ove prave.

Općenito, bilo koje dvije neparalelne ravni date općim jednačinama

odrediti njihovu liniju ukrštanja. Ove jednačine se nazivaju opšte jednačine ravno.

Primjeri.

Konstruirajte pravu liniju datu jednadžbama

Da bi se konstruisao prava, dovoljno je pronaći bilo koje dve njene tačke. Najlakši način je da izaberete tačke preseka prave sa koordinatnim ravnima. Na primjer, tačka preseka sa ravninom xOy dobijamo iz jednačina prave linije, pod pretpostavkom z= 0:

Rješavajući ovaj sistem, nalazimo poentu M 1 (1;2;0).

Slično, pod pretpostavkom y= 0, dobijamo tačku preseka prave sa ravninom xOz:

Od opštih jednačina prave linije može se preći na njene kanonske ili parametarske jednačine. Da biste to učinili, morate pronaći neku tačku M 1 na liniji i vektor smjera linije.

Koordinate tačaka M 1 dobijamo iz ovog sistema jednačina, dajući jednoj od koordinata proizvoljnu vrijednost. Da biste pronašli vektor smjera, imajte na umu da ovaj vektor mora biti okomit na oba normalna vektora i . Dakle, za vektor smjera prave linije l možeš uzeti vektorski proizvod normalni vektori:

.

Primjer. Dajte opće jednačine prave linije kanonskom obliku.

Pronađite tačku na pravoj liniji. Da bismo to učinili, proizvoljno biramo jednu od koordinata, na primjer, y= 0 i riješi sistem jednačina:

Vektori normale ravni koje definiraju pravu imaju koordinate Stoga će vektor smjera biti ravan

. shodno tome, l: .

UGAO IZMEĐU PRAVA

ugao između pravih u prostoru nazvat ćemo bilo koji od susjednih uglova formiranih od dvije prave povučene kroz proizvoljnu tačku paralelnu sa podacima.

Neka su u prostoru date dvije prave:

Očigledno, ugao φ između linija može se uzeti kao ugao između njihovih vektora smjera i . Budući da , onda prema formuli za kosinus kuta između vektora dobivamo