Kako pronaći jednadžbu normale na graf funkcije u datoj tački?

U ovoj lekciji ćemo naučiti kako pronaći jednačinu normale funkcionalna grafika u jednom trenutku i razmotriti brojne primjere koji se odnose na ovaj problem. Da biste dobro razumjeli gradivo, morate razumjeti geometrijsko značenje izvedenice i moći ćete ih pronaći barem na nivou sljedećih članaka:

Kako pronaći derivat? Derivat kompleksne funkcije i .

Ove lekcije će omogućiti "lukama" da se brzo snalaze u temi i poboljšaju svoje vještine razlikovanja gotovo od nule. U suštini, detaljan nastavak paragrafa na tangentna jednačina 3. članak sa gornje liste. Zašto nastavak? Normalna jednačina je usko povezana sa tangentnom jednačinom. Između ostalog, razmatrat ću probleme o tome kako konstruirati jednadžbe ovih pravih u situacijama kada je funkcija postavljen implicitno ili parametarski .

Ali prvo, osvježimo svoja sjećanja: ako je funkcija diferencibilan u nekom trenutku (tj. ako postoji krajnji derivacija), onda se jednadžba tangente na graf funkcije u tački može naći po sljedećoj formuli:

Ovo je najčešći slučaj sa kojim smo se već susreli na lekciji. Najjednostavniji problemi sa izvedenicama . Međutim, stvar nije ograničena na ovo: ako postoji beskonačan izvod u tački: , tada će tangenta biti paralelna s osi i njena jednadžba će poprimiti oblik . Primjer pripravnosti: funkcija s derivacijom koja ide u beskonačnost blizu kritična tačka . Odgovarajuća tangenta je izražena jednadžbom: (y-osa).

Ako izvod ne postoji (na primjer, derivat u tački), tada, naravno, ne postoji i zajednička tangenta .

Kako razlikovati posljednja dva slučaja, reći ću malo kasnije, ali za sada se vratimo na glavne tokove današnje lekcije:

Šta je normalno? normalno na graf funkcije u tački se poziva ravno prolazeći kroz datu tačku okomito na tangentu na graf funkcije u ovoj tački (jasno je da tangenta mora postojati). Ukratko, normala je prava linija okomita na tangentu koja prolazi kroz tačku tangente.

Kako pronaći normalnu jednačinu? Od kurs analitičke geometrije vrlo jednostavan algoritam se sam po sebi sugerira: nalazimo tangentna jednačina i predstaviti ga u opšti pogled . Dalje "ukloni" normalni vektor i sastaviti normalnu jednačinu za tačku i vektor smjera.

Ova metoda se može koristiti, ali u matematičkoj analizi uobičajeno je koristiti gotovu formulu zasnovanu na odnos koeficijenata nagiba okomitih linija . Ako postoji krajnji i različito od nule derivacija, onda se jednadžba normale na graf funkcije u tački izražava sljedećom jednačinom:

Svakako ćemo razmotriti specijalne slučajeve kada je jednako nuli ili beskonačnosti, ali prvo "uobičajene" primjere:

Primjer 1

Sastaviti jednadžbe tangente i normale na graf krivulje u tački čija je apscisa .

U praktičnim zadacima često je potrebno pronaći i tangentu. Međutim, ovo je samo pri ruci - biće bolje imati "punu ruku" =)

Rješenje: Prvi dio zadatka je dobro poznat, tangentnu jednačinu sastavit ćemo po formuli:

U ovom slučaju:

Hajde da nađemo derivat :
Evo u prvom koraku uzeo konstantu iz predznaka derivacije , na drugom - polovno pravilo diferencijacije složene funkcije .

Sada izračunajmo derivat u tački :

Primljeno konačan broj i prija. Zamjena u formuli:

Pomjerimo ga na vrh lijeve strane, otvorimo zagrade i predstavimo jednadžbu tangente u opšti pogled : Drugi dio zadatka nije ništa teži. Normalnu jednačinu sastavit ćemo po formuli: Riješiti se trospratni snimak i sjetiti se jednadžbe: je željena jednačina.

Odgovori:

Ovdje možete izvršiti djelomičnu provjeru. Prvo, koordinate tačke moraju zadovoljiti svaku jednačinu:

- istinska jednakost.

- istinska jednakost.

i drugo, normalni vektori mora biti ortogonalna. Ovo se lako provjerava korištenjem tačkasti proizvod : , što je trebalo provjeriti.

Alternativno, umjesto normalnih vektora, možete koristiti vektori pravca linija .

! Ova provjera se ispostavi da je beskorisna ako je izvod i/ili izvod u tački pronađen pogrešno. to " slaba karika» zadaci - budite izuzetno oprezni!

Prema uslovu, crtež nije bio potreban, ali radi kompletnosti:
Smiješno je, ali u stvari se pokazalo da je to bila potpuna provjera, jer je crtež napravljen prilično precizno =) Usput, funkcija definira gornji luk elipsa .

Sljedeći zadatak za samostalno rješenje:

Primjer 2

Sastaviti jednadžbe tangente i normale na graf funkcije u tački.

Primjer završnog zadatka na kraju lekcije.

Pogledajmo sada dva posebna slučaja:

1) Ako je izvod u tački jednak nuli: , tada će jednačina tangente biti pojednostavljena: To jest, tangenta će biti paralelna sa osom.

Shodno tome, normala će proći kroz tačku paralelnu sa osom, što znači da će njena jednadžba poprimiti oblik .

2) Ako derivacija u tački postoji, ali je beskonačna: , tada će, kao što je navedeno na samom početku članka, tangenta postati okomita: . A pošto normala prolazi kroz tačku paralelnu osi, tada će njena jednadžba biti izražena na "zrcalni" način:

jednostavno je:

Primjer 3

Sastaviti jednadžbe tangente i normale na parabolu u tački . Napravite crtež.

Nisam dodao zahtjev da se dovrši crtež - ovako je zadatak formuliran u originalu. Iako je ovo retkost.

Rješenje: sastaviti jednadžbu tangente. U ovom slučaju

Čini se da su kalkulacije beznačajne, ali više je nego realno zabuniti se u znakovima:

Na ovaj način:

Pošto je tangenta paralelna sa osom (Slučaj #1), tada će normala koja prolazi kroz istu tačku biti paralelna sa y-osom:

Crtanje je, naravno, dodatni problem, ali dobra provjera analitičkog rješenja:

Odgovori: ,

U školskom predmetu matematike uobičajena je pojednostavljena definicija tangente, koja se formuliše otprilike ovako: "Tangensa na graf funkcije je prava linija koja ima jednu zajedničku tačku sa ovim grafom". Kao što vidite, u opštem slučaju ova izjava je netačna. Prema geometrijsko značenje izvedenice , zelena linija je tangenta, a ne plava linija.

Sljedeći primjer posvećen je istom slučaju #1 kada:

Primjer 4

Napišite jednadžbu tangente i normale na krivu u tački .

Kratko rješenje i odgovor na kraju lekcije

Slučaj broj 2, u kojem se rijetko javlja u praksi, pa se početnici ne mogu previše brinuti i s lakoćom preskočiti peti primjer. Informacije u kurzivu namijenjene su naprednim čitaocima koji su upoznati definicije derivacije i tangente i takođe imaju iskustva pronalaženje derivacije po definiciji :

Primjer 5

Naći jednadžbe tangente i normale na graf funkcije u tački

Rješenje : ukritična tačka derivirani imenilac nestaje, te se stoga jednostrani derivati ​​moraju ovdje izračunati koristeći definiciju izvedenice (vidi kraj člankaDerivat po definiciji ):
Obe derivacije su beskonačne, stoga postoji zajednička vertikalna tangenta u tački: Pa, očigledno je da je normala x-osa. Formalno prema formuli: Za bolje razumijevanje problema, dat ću crtež: Odgovori :

Drago mi je što niste otišli da surfate internetom, jer sva zabava tek počinje! Da biste savladali materijal sljedećeg pasusa, morate biti u stanju pronaći derivat implicitno datu funkciju :

Kako pronaći tangentnu jednačinu i normalnu jednačinu ako je funkcija data implicitno?

Tangentne i normalne formule ostaju iste, ali se tehnika rješenja mijenja:

Primjer 6

Naći jednadžbe tangente i normale na krivu u tački .

Rješenje: sudeći po jednačini, ovo je neka vrsta Linija 3. reda , koji - nas sada uopšte ne zanima.

U jednadžbi postoji zlonamjerni softver, a time i izgledi za izražavanje funkcije eksplicitno izgleda veoma maglovito.

Ali to nije potrebno! Postoji mnogo pametnije rešenje. Sastavit ćemo tangentnu jednadžbu koristeći istu formulu.

Iz uvjeta su poznate vrijednosti, usput, ne škodi provjeriti da li zaista zadovoljavaju predloženu jednadžbu: Dobija se tačna jednakost, što znači da je sve u redu sa tačkom.

Ostaje izračunati. Prvo, koristeći standardnu ​​šemu, nalazimo derivat funkcije definirane implicitno :

Prepišimo rezultat s prikladnijom notacijom za naš problem:

U drugom koraku zamjenjujemo pronađeni izraz derivacije:

To je to!

Ostaje da se pažljivo pozabavimo jednadžbom:

Napišimo normalnu jednačinu:

Odgovori:

Spremni! I u početku je izgledalo teško. Iako je derivat ovdje, naravno, ranjivo mjesto. Sličica za samostalno rješenje:

Primjer 7

Naći jednačinu normale na pravu u tački

Već dovoljno da izbrusimo tangentu =)

U ovom slučaju, lako je saznati šta je krug centar u tački radijusa i čak izraziti željenu funkciju . Ali zašto?! Na kraju krajeva, pronaći derivat od implicitna funkcija mnogo lakše! Ona je ovde skoro najprimitivnija.

Kratko rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Kako pronaći tangentnu jednačinu i normalnu jednačinu ako je funkcija zadana parametarski?

Još lakše. Ali za to morate vježbati pronalaženje izvod parametarski definisane funkcije . I tako - skoro besplatno:

Primjer 8

Sastaviti jednadžbe tangente i normale na cikloidu nacrtana u točki za koju .

Crtež cikloide se može naći na stranici S i V ako je linija postavljena parametarski (Dešava se da je ovaj članak nastao ranije). Čak pokazuje i tačku kontakta.

Rješenje: apscisa i ordinata tačke tangente izračunavaju se direktno iz parametarskih jednačina krive:

Hajde da nađemo 1. izvod parametarski definirane funkcije :

I izračunajte njegovu vrijednost na:

Tangentnu jednačinu sastavit ćemo prema uobičajenoj formuli, prilagođenoj za nešto drugačiju notaciju:

Normalna jednačina:

Odgovori:

U zaključku, predlažem da se upoznate s još jednom zanimljivom linijom:

Primjer 9

Napišite jednadžbu za normalnu na polukubičnu parabolu nacrtanu u točki za koju .

Ovo je "uradi sam" primjer. Podsjećam vas da se grafovi parametarski zadanih funkcija mogu graditi, na primjer, koristeći moj izračunati geometrijski raspored .

Pa, naša lekcija je došla do kraja i nadam se da vam prezentirani materijal nije bio tangencijalan, već normalno =)

Hvala na pažnji i sretno!

Rješenja i odgovori:

Primjer 2:Rješenje U ovom slučaju: Na ovaj način: Normalnu jednačinu sastavljamo po formuli : Odgovori :

Primjer 4:Rješenje : sastavit ćemo jednadžbu tangente po formuli: U ovom zadatku:
Na ovaj način: U tački je tangenta paralelna s osi, pa je odgovarajuća normalna jednačina: Odgovori :

Primjer 7:Rješenje : u ovom problemu: . Nađimo derivat: Ili: Zamjena u izvedenom izrazu: Potrebna normalna jednačina: Odgovori :

Primjer 9:Rješenje : u ovom slučaju: Nađimo izvod i izračunajmo njegovu vrijednost na: Normalna jednačina: Odgovori :

Preuzeto sa http://www.mathprofi.ru

Definicija: normala na krivulju y = ¦ (x) u tački M 0 je prava linija koja prolazi kroz tačku M 0 i okomita na tangentu u tački M 0 na ovu krivu.

Napišimo jednačinu tangente i normale, znajući jednačinu krive i koordinate tačke M 0 . Tangenta ima nagib k \u003d t g = ¦, (x 0). Iz analitičke geometrije je poznato da prava linija ima jednačinu y-y 0 = k(x - x 0).

Dakle, jednadžba tangente: y - y 0 \u003d ¦, (x 0) (x - x 0); (jedan)

Nagib normale K n \u003d (budući da su okomiti), ali onda normalna jednadžba:

y-y 0 \u003d (-1 / ¦, (x 0) (x - x 0); (2)

Ako izvod ne postoji u nekoj tački, tada ne postoji ni tangenta u toj tački.

Na primjer, funkcija ¦(x)=|x| u tački x=0 nema izvod.

lim D x ®0 (D y/ D x)= lim D x ®0 (| D x|/ D x)=

Jednostrane granice postoje, ali lim D x ®0 (D y / D x) ne postoji

Tangenta također.

Takva tačka se naziva tačka ugla grafa.

§četiri. Odnos između kontinuiteta i diferencijabilnosti funkcije.

Sljedeća teorema o diferencijabilnoj funkciji vrijedi.

Teorem: ako funkcija y \u003d ¦ (x) ima konačan izvod u tački x 0, tada je funkcija kontinuirana u ovoj tački.

dokaz:

Jer u tački x 0 nalazi se izvod ¦, (x 0), tj. postoji granica

lim D x ®0 (D y/ D x)= ¦ , (x 0), zatim D y/ D x= ¦ , (x 0)+ , gdje je

B.m.v., ovisno o D x. Za D x®0, ®0, jer \u003d (D y / D x) - ¦, (x 0) ®0 na D x®0

Odavde imamo: D y \u003d ¦, (x 0) D x + D x.

Ali onda

Beskonačno mali inkrement argumenta odgovara beskonačno malom inkrementu funkcije, tako da je ¦(x) kontinuirano u tački x 0 .

Važno je shvatiti da obrnuta teorema nije tačna!

Nije svaka kontinuirana funkcija diferencibilna.

Dakle, ¦(x) =|x| je kontinuiran u tački x 0 =0, grafik je puna linija, ali ¦ , (0) ne postoji.

§5. Derivati ​​konstantne, sinusne, kosinusne i eksponencijalne funkcije.

1. y = ¦ (x) \u003d c; y, = (c), = 0; (jedan)

dokaz:

a) u bilo kojoj tački x ¦(x) = c

b) dajemo x prirast D x, x + D x, vrijednost funkcije ¦ (x + D x) = c;

c) ¦ (x + D x) - ¦ (x) \u003d c - c \u003d 0;

d) D y / D x \u003d 0 / D x \u003d 0

e) lim D x ®0 (D y / D x) = lim D x ®0 0 = 0

2. y = sin x; y, = (sin x), = cos x; (2)

dokaz:

a) u bilo kojoj tački x ¦ (x) = sin x;

b) neka x povećava D x, x + D x, vrijednost funkcije

Derivatne aplikacije.

5.1.Geometrijsko značenje izvedenice:

Razmotrimo graf funkcije y= f (x).

Slika 1 pokazuje to za bilo koje dvije tačke A i B graf funkcije: , gdje je α nagib sekanse AB.

Dakle, odnos razlike je jednak nagibu sekante. Ako popravimo tačku A i pomerite tačku prema njoj B, zatim opada beskonačno i približava se 0, a sekansa AB prilazi tangenti AC.

Stoga je granica omjera razlike jednaka nagibu tangente u tački A, tj. . Ovo implicira: Derivat funkcije u tački x 0 jednak je nagibu tangente na graf funkcije y = f(x) u ovoj tački, tj. .

1. Tangenta na graf funkcije u tački (x 0; f (x 0) je granična pozicija sekansa (AC).

Tangentna jednadžba : y – f(x 0) =

2. Prava okomita na tangentu (AC) u tački (x 0; f (x 0) naziva se normala na graf funkcije.

Normalna jednačina: y – f(x 0) =

zadatak: Sastaviti jednadžbe tangente i normale nacrtane na grafiku funkcije y=10x-x u tački sa apscisom jednakom x 0 =2.

Rješenje:

1. Pronađite ordinatu dodirne tačke: f(h 0)= f(2)=10∙2–2 2 =16,

2. Pronađite nagib tangente: f "(x) \u003d (10x-x)" \u003d 10-2x, \u003d f"(2)=10–2∙2=6

3. Sastavite tangentnu jednačinu: y–16 = 6 ∙ (x-2), y–16 = 6x–12, y–6x–4 = 0 – jednačina tangente,

4. Sastavite jednačinu normale: y -16 =, 6y -96 = -x + 2, 6y + x -98 = 0 - jednačina normale.

5.2. fizičko značenje derivat:

Definicija. Brzina tijela jednaka je prvom izvodu puta u odnosu na vrijeme:

5.3. Mehaničko značenje izvedenice:

Definicija. Ubrzanje tijela jednako je prvom izvodu brzine s obzirom na vrijeme ili drugom izvodu puta u odnosu na vrijeme:

zadatak: Odrediti brzinu i ubrzanje tačke koja se kreće po zakonu u trenutku t=4c.

Rješenje:

1. Pronađite zakon brzine: v= S"=

2. Pronađite brzinu u trenutku t = 4c: v(t)= v(4)=2∙4 2 +8∙4=64 jedinica/sek

3. Nalazimo zakon ubrzanja: a=v′=

4. Pronađite ubrzanje u trenutku t = 4c: a(t)= a( 4)=4∙4+8=24jedinica/sek 2

ODJELJAK 1.3. Diferencijal funkcija i njegova primjena u aproksimativnim proračunima. Koncept diferencijala funkcija

diferencijalna funkcija y \u003d ƒ (x) u tački x naziva se glavni dio njegovog prirasta, jednak umnošku derivacije funkcije i prirasta argumenta, i označava se du (ili dƒ (x)): dy \u003d ƒ "(x)∙∆h(1).

Diferencijal du se također naziva diferencijal prvog reda. Nađimo diferencijal nezavisne varijable x, odnosno diferencijal funkcije y=x.

Pošto je y"=x"=1, onda prema formuli (1) imamo dy=dx=∆x, tj. diferencijal nezavisne varijable jednak je prirastu ove varijable: dx=∆x.

Stoga se formula (1) može napisati na sljedeći način: dy \u003d ƒ "(x) ∙ dx(2) drugim riječima, diferencijal funkcije jednak je proizvodu izvoda ove funkcije i diferencijala nezavisne varijable.

Iz formule (2) slijedi jednakost dy / dx \u003d ƒ "(x).

Primjer 1: Naći diferencijal funkcije ƒ(x)=3x 2 -sin(l+2x).

Rješenje: Prema formuli dy \u003d ƒ "(x) dx, nalazimo dy = (3x 2 -sin (l + 2x))" dx = (6x-2cos (l + 2x)) dx.

Primjer 2: Pronađite diferencijal drugog reda funkcije: y = x 3 –7x.

Rješenje:

ODJELJAK 1.4. Primitivno. Neodređeni integral. Metode za izračunavanje neodređenog integrala.

Definicija1. Funkcija F(x) se naziva antiderivatom za funkciju f(x) na nekom intervalu, čiji je diferencijal jednak izrazu f(x)dx. Primjer: f (x) = 3x 2 3x 2 dx F (x) = x 3.

Međutim, diferencijal funkcije ne odgovara jednom antiderivatu, već njihovom skupu. Razmotrimo primjer: F 1 (x) = x 3, F 2 (x) = x 3 + 4, F 3 (x) = x 3 - 2, općenito F (x) + C, gdje je C proizvoljna konstanta . To znači da za funkciju f(x)=3x2 postoji mnogo antiderivata koji se međusobno razlikuju po konstantnom članu.

Definicija2. Skup svih antiderivativnih funkcija f(x) na nekom intervalu naziva se neodređenim integralom funkcija f(x) na tom intervalu i označava se simbolom ∫f(x)dx .

Ovaj simbol glasi: "integral f(x) nad dx", dakle po definiciji:

∫ (x)dx = F(x)+C.

Simbol ∫ naziva se znakom integrala, f(x) je integrand, f(x)dx je integrand, x je varijabla integracije, F(x) je neki antiderivat,

C je konstantan.

Glavna svojstva neodređenog integrala:

1. Diferencijal neodređenog integrala jednak je integrandu, tj.

d ∫ f(x)dx = f(x)dx.

2. Neodređeni integral diferencijala funkcije jednak je ovoj funkciji dodanoj proizvoljnoj konstanti: ∫ d F(x) = F(x) + C

3. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka integrala: ∫ kf(x)dx = k ∫ f(x)dx , k-konst.

4. Neodređeni integral algebarskog zbira funkcija jednak je zbiru integrali svakog od njih: ∫ (f 1 (x)+f 2 (x)-f 3 (x))dx = ∫ f 1 (x)dx + ∫ f 2 (x)dx – ∫f 3 (x)dx .

Razmotrimo krivu čija jednačina ima oblik

Jednačina tangente na datu krivu u tački ima oblik:

Normala na krivu u datoj tački je prava linija koja prolazi kroz datu tačku i okomita na tangentu u toj tački.

Jednačina normale na datu krivu u tački ima oblik:

(35)

Dužina tangentnog segmenta zatvorenog između tačke tangente i ose apscise naziva se dužina tangente, naziva se projekcija ovog segmenta na x-osu subtangenta .

Dužina normalnog segmenta zatvorenog između tačke tangente i ose apscise naziva se normalna dužina, naziva se projekcija ovog segmenta na x-osu subnormalno.

Primjer 17

Napišite jednadžbe tangente i normale na krivu u tački čija je apscisa jednaka.

Rješenje:

Nađimo vrijednost funkcije u tački:

Nađimo derivaciju date funkcije u tački

odgovor: Tangentna jednadžba:

Normalna jednačina: .

Primjer 18

Napišite jednadžbe za tangentu i normalu, dužinu tangente i subtangente, dužinu normale i subnormale za elipsu

u tački za koju.

Rješenje:

Nađimo kao derivaciju funkcije parametarski date formulom (10):

Pronađite koordinate dodirne tačke : i vrijednost derivacije u dodirnoj tački:

Jednačina tangente se nalazi po formuli (34):

Naći koordinate tačke preseka tangente sa osom:

Dužina tangente jednaka je dužini segmenta:

Po definiciji, subtangens je jednak

Gdje je kut ugao između tangente i ose. Dakle, da li je nagib tangente jednak

Dakle, subtangens je jednak

Normalnu jednačinu nalazimo po formuli (35):

Pronađite koordinate točke presjeka normale sa osom:

Dužina normale jednaka je dužini segmenta:

Po definiciji, subnormalno je jednako

Gdje je ugao ugao između normale i ose. Dakle, je nagib normale jednak

Dakle, subnormalno je:

odgovor: Tangentna jednadžba:

Normalna jednačina:

Dužina tangente ; subtangent;

Normalna dužina ; subnormalno

Zadaci 7. Napišite tangente i normalne jednačine:

1. Na parabolu u tački čija apscisa

2. Na kružnicu u tačkama preseka sa x-osom

3. Na cikloidu u tački za koju

4. U kojim tačkama krive tangentna paralelna:

a) Osa Ox; b) ravno

.

10. Intervali monotonosti funkcije. Ekstremi funkcije.

Uvjet monotonosti funkcije:

Da se funkcija koja se diferencira ne bi povećala, potrebno je i dovoljno da derivacija bude nepozitivna u svim tačkama koje joj pripadaju.

Da se funkcija koja se diferencira po ne bi smanjila, potrebno je i dovoljno da derivacija bude nenegativna u svim tačkama koje joj pripadaju.

Intervali na kojima derivacija funkcije zadržava određeni predznak nazivaju se intervali. monotonija funkcije

Primjer 19

Naći intervale monotonosti funkcije .

Rješenje:

Nađimo derivaciju funkcije .

Nađimo intervale konstantnosti dobijene derivacije. Za ovo

faktoriziramo rezultujući kvadratni trinom:

Predznak rezultirajućeg izraza ispitujemo metodom intervala.

Dakle, prema (36), (37), dobijamo da data funkcija raste za i opada za.

odgovor: Zadana funkcija raste i opada za.

Definicija Funkcija ima u točki lokalni maksimum (minimum), ako postoji susjedstvo tačke takvo da je uvjet

Poziva se lokalni minimum ili maksimum funkcije lokalni ekstrem.

Neophodan uslov za postojanje ekstremuma.

Neka je funkcija definirana u nekom susjedstvu tačke. Ako funkcija ima ekstrem u tački, onda je derivacija u tački ili nula ili ne postoji.

Tačka se zove kritična tačka funkcije ako je izvod u tački nula ili ne postoji.

Dovoljni uslovi za prisustvo ekstremuma na kritičnoj tački.

Neka tačka bude kritična.

Prvi dovoljan uslov za ekstrem je:

Neka je funkcija neprekidna u nekom susjedstvu tačke i diferencijabilna u svakoj tački.

Tačka je lokalni maksimum ako, prilikom prolaska

Derivat funkcije mijenja predznak iz plusa u minus.

Tačka je lokalni minimum ako, prilikom prolaska

Izvod funkcije mijenja predznak iz minusa u plus.

Primjer 20

Pronađite ekstreme funkcije .

Rješenje:

Nađimo derivaciju date funkcije

Izjednačavajući brojilac i imenilac u rezultirajućem izvodu sa nulom, nalazimo kritične tačke:

Predznak derivacije istražujemo metodom intervala.

Sa slike se vidi da prilikom prolaska kroz tačku derivacija menja predznak sa plusa na minus. Dakle, u tački postoji lokalni maksimum.

Prilikom prolaska kroz tačku, derivacija mijenja predznak iz minusa u plus.

Dakle, poenta je lokalni minimum.

Prilikom prolaska kroz tačku derivacija ne mijenja predznak. Dakle, kritična tačka nije ekstremum date funkcije.

odgovor:- lokalni maksimum, - lokalni minimum.

Drugi dovoljan uslov za ekstrem je:

Ako su prve derivacije funkcije u tački jednake nuli, a a-ti izvod funkcije u tački je različit od nule, tada je tačka ekstremum funkcije, i, štaviše,

tada je lokalni minimum

tada je lokalni maksimum.

Primjer 21

Nađite ekstreme funkcije koristeći drugi izvod.

Rješenje:

Nađimo prvi izvod date funkcije

Nađimo kritične tačke funkcije:

Ne razmatramo tačku, jer je funkcija definirana samo u lijevom susjedstvu.

Nađimo drugi izvod

Mi nalazimo

Dakle, na osnovu (39), zaključujemo da je at lokalni maksimum.

odgovor: je lokalni maksimum.

Zadaci 8.

Ispitajte uzlazne i silazne funkcije:

Istražite ekstreme funkcije:

Tangenta je prava linija , koji dodiruje graf funkcije u jednoj tački i čije su sve tačke na najmanjoj udaljenosti od grafa funkcije. Dakle, tangenta prolazi tangentu na graf funkcije pod određenim uglom i nekoliko tangenta ne može proći kroz tačku tangente pod različitim uglovima. Tangentne jednadžbe i jednadžbe normale na graf funkcije kompajliraju se pomoću izvoda.

Jednačina tangente je izvedena iz jednačine prave linije .

Izvodimo jednadžbu tangente, a zatim i jednadžbu normale na graf funkcije.

y = kx + b .

U njemu k- ugaoni koeficijent.

Odavde dobijamo sledeći unos:

y - y 0 = k(x - x 0 ) .

Vrijednost derivata f "(x 0 ) funkcije y = f(x) u tački x0 jednak nagibu k=tg φ tangenta na graf funkcije povučen kroz tačku M0 (x 0 , y 0 ) , gdje y0 = f(x 0 ) . Ovo je šta geometrijskog smisla derivat .

Dakle, možemo zamijeniti k na f "(x 0 ) i dobijete sljedeće jednadžba tangente na graf funkcije :

y - y 0 = f "(x 0 )(x - x 0 ) .

U zadacima za sastavljanje jednadžbe tangente na graf funkcije (a uskoro ćemo prijeći na njih) potrebno je jednadžbu dobivenu iz gornje formule dovesti na opšta jednačina prave linije. Da biste to učinili, trebate prenijeti sva slova i brojeve na lijevu stranu jednačine, a na desnoj ostaviti nulu.

Sada o normalnoj jednadžbi. Normalno je prava linija koja prolazi kroz tačku tangente do grafika funkcije okomita na tangentu. Normalna jednačina :

(x - x 0 ) + f "(x 0 )(y - y 0 ) = 0

Da biste zagrijali prvi primjer, od vas se traži da ga sami riješite, a zatim pogledate rješenje. S razlogom se nadamo da ovaj zadatak neće biti "hladan tuš" za naše čitatelje.

Primjer 0. Sastaviti jednadžbu tangente i jednadžbu normale na graf funkcije u tački M (1, 1) .

Primjer 1 Sastaviti jednadžbu tangente i jednadžbu normale na graf funkcije ako je apscisa dodirne točke .

Nađimo derivaciju funkcije:

Sada imamo sve što treba zamijeniti u unos dat u teorijskoj referenci da bi se dobila jednačina tangente. Dobijamo

U ovom primjeru imali smo sreće: ispostavilo se da je nagib jednak nuli, pa odvojeno dovedite jednadžbu na opšti pogled nije trebalo. Sada možemo napisati normalnu jednačinu:

Na slici ispod: graf funkcije u tamnocrvenoj boji, tangent u zelenoj boji, normala u narandžastoj boji.

Sljedeći primjer također nije kompliciran: funkcija je, kao i u prethodnom, također polinom, ali koeficijent nagiba neće biti jednak nuli, pa će se dodati još jedan korak - dovođenje jednačine u opći oblik.

Primjer 2

Rješenje. Nađimo ordinatu dodirne tačke:

Nađimo derivaciju funkcije:

.

Nađimo vrijednost derivacije u tački kontakta, odnosno nagib tangente:

Sve dobivene podatke zamjenjujemo u "praznu formulu" i dobivamo tangentnu jednadžbu:

Dovodimo jednačinu u opći oblik (sakupljamo sva slova i brojeve osim nule na lijevoj strani, a ostavljamo nulu na desnoj strani):

Sastavljamo jednačinu normale:

Primjer 3 Sastaviti jednadžbu tangente i jednadžbu normale na graf funkcije ako je apscisa dodirne točke .

Rješenje. Nađimo ordinatu dodirne tačke:

Nađimo derivaciju funkcije:

.

Nađimo vrijednost derivacije u tački kontakta, odnosno nagib tangente:

.

Pronalazimo jednačinu tangente:

Prije nego što jednačinu dovedete u opći oblik, trebate je malo "kombinirati": pomnožite član po član sa 4. Ovo radimo i dovodimo jednačinu u opći oblik:

Sastavljamo jednačinu normale:

Primjer 4 Sastaviti jednadžbu tangente i jednadžbu normale na graf funkcije ako je apscisa dodirne točke .

Rješenje. Nađimo ordinatu dodirne tačke:

.

Nađimo derivaciju funkcije:

Nađimo vrijednost derivacije u tački kontakta, odnosno nagib tangente:

.

Dobijamo tangentnu jednačinu:

Dovodimo jednačinu u opći oblik:

Sastavljamo jednačinu normale:

Uobičajena greška pri pisanju jednadžbi tangente i normale je da se ne primijeti da je funkcija data u primjeru složena i da se njen izvod izračuna kao izvod jednostavne funkcije. Sljedeći primjeri su već složene funkcije(odgovarajuća lekcija će se otvoriti u novom prozoru).

Primjer 5 Sastaviti jednadžbu tangente i jednadžbu normale na graf funkcije ako je apscisa dodirne točke .

Rješenje. Nađimo ordinatu dodirne tačke:

Pažnja! Ova funkcija- kompleksno, budući da argument tangente (2 x) je sama po sebi funkcija. Stoga derivaciju funkcije nalazimo kao derivaciju kompleksne funkcije.