Distribucije vjerojatnosti slučajnih varijabli ; karakterizira funkcija distribucije

gdje je parametar oblika krivulje distribucije, parametar skale, parametar pomaka. Porodica raspodjela (*) je dobila ime po W. Weibullu, koji ju je prvi upotrijebio za aproksimaciju eksperimentalnih podataka o vlačnoj čvrstoći čelika tijekom ispitivanja na zamor i predložio metode za procjenu parametara raspodjele (*). V. r. pripada asimptotici distribucija treće vrste ekstremnih pojmova varijantne serije. Široko se koristi za opisivanje obrazaca kvarova kugličnih ležajeva, vakuumskih uređaja, elektronskih komponenti. V. posebni slučajevi rijeke. su eksponencijalna (p=1) i Rayleighova (p=2) raspodjela. Krive funkcije distribucije (*) ne pripadaju porodici Pearsonovih distribucija. Postoje pomoćne tablice za izračunavanje Weibullove funkcije distribucije (vidi ). Kada je kvantil nivoa q jednak

gdje je gama funkcija; varijacija, asimetrija i kurtozis ne zavise od , što olakšava njihovo tabeliranje i kreiranje pomoćnih tabela za dobijanje procjena parametara. Kod V. r. je unimodalno, jednako , i funkcija opasnosti od kvara se ne smanjuje. Za , funkcija je monotono opadajuća. Možete graditi ovako. pozvao Weibullov papir vjerovatnoće (vidi ). Na njemu se pretvara u pravu liniju, kada slika ima konkavnost, a kada konveksnost. Procjene parametara V. r. kvantilna metoda dovodi do jednadžbi koje su mnogo jednostavnije od metode maksimalne vjerovatnoće. Asimptotika zgloba efikasnost procene parametara i (at ) kvantilnom metodom je maksimalna (i jednaka 0,64) at. koristeći kvantile nivoa 0,24 i 0,93. Funkcija distribucije (*) je dobro aproksimirana funkcijom distribucije lognormalne distribucije

( - funkcija distribucije normalizirane distribucije,):

Lit:Weibull W., Statistička teorija čvrstoće materijala, Stockh., 1939; Gnedenko B. V., Belyaev Yu. K., Solovyov A. D., Matematičke metode u teoriji pouzdanosti, M., 1965; Johnson L., Statistička obrada eksperimenata zamora, Amst., 1964; Kramer G. Matematičke metode statistike, trans. s engleskog, 2. izd., M, 1975. Yu. K. Belyaev, E. V. Chepurin.

Matematička enciklopedija. - M.: Sovjetska enciklopedija. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Pogledajte šta je "WEIBULL DISTRIBUTION" u drugim rječnicima:

distribucija- 3.38 alokacija (alokacija): Postupak koji se koristi u projektovanju sistema (objekta) i ima za cilj distribuciju zahteva za vrednostima karakteristika objekta među komponentama i podsistemima u skladu sa utvrđenim kriterijumom. ... ..

Weibullova distribucija- 1.48. Weibullova distribucija; distribucija ekstremnih vrijednosti tipa III Distribucija vjerovatnoće kontinuirane slučajna varijabla X sa funkcijom raspodjele: gdje je x ³ a; y = (x a)/b; i parametri ¥< a < +¥, k >0, b > 0. Napomena... Rječnik-priručnik pojmova normativne i tehničke dokumentacije

Gustoća vjerovatnoće Funkcija distribucije Notacija (((notacija))) Faktor skale parametara ... Wikipedia

Weibullova distribucija

Weibullova distribucija s dva parametra je fleksibilnija od eksponencijalne distribucije, koja se može posmatrati kao poseban slučaj prvo. Weibullova gustina

Kod 1/t0 = i m = 1, jednačina (8) se pretvara u eksponencijalnu gustinu raspodjele. Vrijednost 1/t0 određuje skalu, a m - asimetriju (oblik) distribucije.

Nakon integracije (8) od 0 do t, dobijamo funkciju raspodjele F(t) jednaku Q(t):

shodno tome,

Odnos gustine (8) i verovatnoće (10) daje stopu kvara

Glavni dijagrami Weibullove distribucije prikazani su na Sl.4.

Dvoparametarska Weibullova distribucija ima izuzetnu fleksibilnost u aproksimaciji empirijske distribucije i stoga se široko koristi u praktičnim primjenama teorije pouzdanosti. Koristi se za opisivanje zakona pouzdanosti, kako u području uhodavanja, tako i u analizi procesa starenja i habanja.

Srednje vrijeme između kvarova u Weibullovoj distribuciji određuje se iz uvjeta i jednako je

Sl.3.4. Weibullove raspodjele

gdje je - gama - funkcija;

Normalna distribucija

Dvoparametarska normalna (Gausova) raspodjela se izuzetno široko koristi u praktičnim problemima teorije pouzdanosti. Parametri ove distribucije su - očekivanu vrijednost slučajna varijabla i - standardna devijacija. Gustoća normalne distribucije određena je ovisnošću

Funkcija distribucije F(x) (slika 3.5) prema normalnom zakonu određena je integralom gustine f(x) sa granicama integracije od - do +.

Slučajna varijabla t, kao iu svim problemima pouzdanosti, ima značenje vremena rada objekta i stoga je definirana na pozitivnoj poluosi brojeva, a normalni zakon, kao što je već napomenuto, definiran je na cijeloj numeričkoj osi od - do +. S tim u vezi, u teoriji pouzdanosti razmatra se skraćeni normalni zakon, čija se gustina određuje množenjem (3.13) sa konstantnim faktorom

gdje su a, b lijeva i desna granica skraćene distribucije.

F(a),F(b) - vrijednosti funkcija raspodjele normalnog zakona na lijevoj i desnoj granici skraćenja.

Značenje konstantnog faktora c postaje jasno kada se uzme u obzir grafik normalne gustine distribucije prikazan na Sl.6.

Sl.5.

Poznato je da površina ispod krivulje gustine raspodjele uvijek treba biti jednaka jedinici, odnosno u ovom slučaju. Kao što je prikazano na slici 6, da bi se osigurao ovaj uslov, kriva gustine skraćenog normalnog zakona mora se pomeriti gore i desno množenjem prvobitne gustine normalnog zakona sa konstantnim faktorom. Shodno tome, mijenjat će se glavni parametri: matematičko očekivanje i standardna devijacija. Proračuni pokazuju da sa omjerom /< 0.5 (коэффициент вариации) постоянный множитель c для усечённо- нормального закона близок к единице. Поэтому во многих практических задачах теории надёжности пользуются параметрами нормального закона распределения случайной наработки объекта до отказа. При этом математическое ожидание отождествляют со средней наработкой до отказа Т0.

Fig.6.

Vjerovatnoća rada bez otkaza pod normalnom distribucijom je jednaka

Vjerovatnoća kvara se izračunava po formuli (na s 1)

Stopa otkaza određena je omjerom gustine i vjerovatnoće rada bez otkaza

Integrali u izrazima (14)…(16) nisu izraženi u terminima elementarne funkcije. Obično su predstavljeni kroz integral vjerovatnoće parametra

za koje su stolovi napravljeni.

Uzimajući u obzir (17), vjerovatnoća rada bez otkaza prema normalnom zakonu određena je formulom

Pitanja za predavanje:

Uvod

Modeli pouzdanosti tehničkih sistema

Zakoni raspodjele radnog vremena

Uvod

Kvantitativne metode proučavanja tehničkih objekata, posebno u fazama njihovog projektovanja i stvaranja, uvek zahtevaju izgradnju matematičkih modela procesa i pojava. Matematički model se obično shvata kao međusobno povezani skup analitičkih i logičkih izraza, kao i početnih i graničnih uslova koji odražavaju, uz određenu aproksimaciju, stvarne procese funkcionisanja objekta. Matematički model je informacijski analog objekta punog opsega, uz pomoć kojeg možete dobiti znanje o projektu koji se kreira. Sposobnost predviđanja se smatra definitivnim svojstvom modela. Sve ovo se u potpunosti odnosi na matematičke modele pouzdanosti.

Matematički model pouzdanosti shvata se kao takav analitički predstavljen sistem koji daje pune informacije o pouzdanosti objekta. Prilikom izgradnje modela, proces promjene pouzdanosti na određeni način se pojednostavljuje i shematizira. Od velikog broja faktora koji djeluju na objekt punog opsega, izdvajaju se glavni, čija promjena može uzrokovati primjetne promjene u pouzdanosti. Odnosi između sastavnih delova sistema mogu se predstaviti analitičkim zavisnostima takođe uz određene aproksimacije. Kao rezultat toga, zaključci dobiveni na temelju proučavanja modela pouzdanosti objekta sadrže izvjesnu nesigurnost.

Što se model uspješnije odabere, što bolje odražava karakteristične karakteristike funkcionisanja objekta, to će se preciznije procijeniti njegova pouzdanost i dobiti razumne preporuke za donošenje odluka.

1. Modeli pouzdanosti tehničkih sistema

Trenutno postoje opšti principi za konstruisanje matematičkih modela pouzdanosti. Model se gradi samo za određeni objekat, tačnije za grupu objekata istog tipa, uzimajući u obzir karakteristike njihovog budućeg rada. Mora ispunjavati sljedeće zahtjeve:

Model treba da uzme u obzir maksimalan broj faktora koji utiču na pouzdanost objekta;

Model bi trebao biti dovoljno jednostavan da se, koristeći tipične računske alate, dobiju indikatori pouzdanosti izlaza u zavisnosti od promjene ulaznih faktora.

Nedosljednost ovih zahtjeva ne dozvoljava da se u potpunosti formalizira konstrukcija modela, što proces kreiranja modela u određenoj mjeri čini kreativnim.

Postoji mnogo klasifikacija modela pouzdanosti, od kojih je jedna prikazana na slici 11.

Fig.1. Klasifikacija modela pouzdanosti

Kao što slijedi sa slike 1, svi modeli se mogu podijeliti u dvije velike grupe: modeli pouzdanosti objekata i modeli elemenata. Modeli pouzdanosti elemenata imaju više fizičkog sadržaja i specifičniji su za elemente određenog dizajna. Ovi modeli koriste karakteristike čvrstoće materijala, uzimaju u obzir opterećenja koja djeluju na konstrukciju, razmatraju utjecaj radnih uvjeta na rad elemenata. U proučavanju ovih modela dobija se formalizovan opis procesa nastanka kvarova u zavisnosti od odabranih faktora.

Modeli pouzdanosti objekata kreiraju se za formalizovani opis sa stanovišta pouzdanosti procesa njihovog funkcionisanja kao procesa interakcije elemenata koji čine dati objekat. U takvom modelu interakcija elemenata se odvija samo kroz najznačajnije veze koje utiču na ukupnu pouzdanost objekta.

Postoje parametriski modeli pouzdanosti objekata i modeli u smislu kvarova elemenata. Parametarski modeli sadrže funkcije slučajnih parametara elemenata, što omogućava da se na izlazu modela dobije željeni pokazatelj pouzdanosti objekta. Zauzvrat, parametri elemenata mogu biti funkcije radnog vremena objekta.

Modeli kreirani u smislu kvarova elemenata su najformalizovaniji i glavni su u analizi pouzdanosti složenih tehničkih sistema. Neophodan uslov za kreiranje ovakvih modela je jasan opis znakova kvara svakog elementa sistema. Model odražava uticaj kvara pojedinog elementa na pouzdanost sistema.

Prema principima implementacije modela razlikuju se u analitičkim, statističkim i kombinovanim (inače funkcionalno – statističkim).

Analitički modeli sadrže analitičke zavisnosti između parametara koji karakterišu pouzdanost sistema i izlaznog indikatora pouzdanosti. Da bi se dobile takve zavisnosti, potrebno je ograničiti broj značajnih faktora i značajno pojednostaviti fizičku sliku procesa promene pouzdanosti. Kao rezultat toga, analitički modeli mogu sa dovoljnom preciznošću opisati samo relativno jednostavne probleme promjene indikatora pouzdanosti sistema. Sa usložnjavanjem sistema i povećanjem broja faktora koji utiču na pouzdanost, statistički modeli dolaze do izražaja.

Metoda statističkog modeliranja omogućava rješavanje višedimenzionalnih problema velike složenosti u kratkom vremenu i sa prihvatljivom tačnošću. Sa razvojem računarske tehnologije, mogućnosti ove metode se šire.

Kombinovana metoda, koja omogućava kreiranje funkcionalno-statističkih modela, ima još veće mogućnosti. U takvim modelima se kreiraju analitički modeli za elemente, a sistem u cjelini se modelira u statističkom modusu.

Izbor jednog ili drugog matematičkog modela ovisi o ciljevima proučavanja pouzdanosti objekta, o dostupnosti početnih informacija o pouzdanosti elemenata, o poznavanju svih faktora koji utiču na promjenu pouzdanosti, o spremnosti analitičkog aparata za opisivanje procesa nagomilavanja štete i kvarova i mnogih drugih razloga. Na kraju, odabir modela vrši istraživač.

3. OSNOVNI MATEMATIČKI MODELI KOJI SE NAJČEŠĆE KORISTE U PRORAČUNIMA POUZDANOSTI

3.1. Weibullova distribucija

Iskustvo rada sa velikim brojem elektronskih uređaja i značajnom količinom elektromehaničke opreme pokazuje da ih karakterišu tri tipa zavisnosti stope otkaza od vremena (slika 3.1), što odgovara tri perioda životnog veka ovih uređaja.

Lako je uočiti da je ova figura slična slici. 2.3, budući da je graf funkcije l (t) odgovara Weibullovom zakonu. Ova tri tipa zavisnosti stope otkaza od vremena mogu se dobiti korišćenjem dvoparametarske Weibullove distribucije za probabilistički opis slučajnog vremena do otkaza. Prema ovoj raspodjeli, gustina vjerovatnoće momenta kvara

, (3.1)

gdje d - parametar oblika (određen odabirom kao rezultat obrade eksperimentalnih podataka, d > 0); l - parametar skale, .

Stopa neuspjeha je određena izrazom

(3.2)

Vjerovatnoća produženja rada

, (3.3)

i srednje vrijeme do neuspjeha

. (3.4)

Imajte na umu da sa parametrom d = 1, Weibullova raspodjela postaje eksponencijalna, a pri d = 2 - u Rayleighovu raspodjelu.

Za d< 1, stopa kvara se monotono smanjuje (period uhodavanja), a monotono raste (period habanja), vidi sl. 3.1. Dakle, odabirom parametra d moguće je dobiti, na svakoj od tri sekcije, takvu teorijsku krivu l (t), koja se usko poklapa sa eksperimentalnom krivom, i tada se na osnovu poznate pravilnosti može izvršiti proračun potrebnih pokazatelja pouzdanosti.

Weibullova distribucija je dovoljno bliska za brojne mehaničke objekte (na primjer, kuglični ležajevi), može se koristiti za ubrzano testiranje objekata u prisilnom načinu rada.

3.2. Eksponencijalna distribucija

Kao što je navedeno u sek. 3.1 Eksponencijalna distribucija vjerovatnoće rada bez greške je poseban slučaj Weibullove distribucije kada parametar oblika d = 1. Ova distribucija je jednoparametarska, odnosno jedan parametar je dovoljan za pisanje izračunatog izraza l = const . Za ovaj zakon vrijedi i obrnuta izjava: ako je stopa kvara konstantna, tada je vjerovatnoća rada bez otkaza kao funkcija vremena podložna eksponencijalnom zakonu:

. (3.5)

Srednje vrijeme rada bez otkaza po eksponencijalnom zakonu distribucije intervala neometanog rada izražava se formulom:

. (3.6)

Zamjena u izrazu (3.5) količine l vrijednost 1 / T 1 , dobijamo . (3.7)

Imajte na umu da će vjerovatnoća rada bez greške u intervalu koji prelazi prosječno vrijeme T 1 s eksponencijalnom distribucijom biti manja od 0,368:

P (T 1) = 0,368 (slika 3.2).

Trajanje perioda normalnog rada prije početka starenja može biti znatno kraće od T 1 , odnosno vremenski interval za koji je prihvatljiva upotreba eksponencijalnog modela često je manji od prosječnog vremena rada izračunatog za ovaj model. Ovo se lako može opravdati korištenjem varijanse vremena neprekidnog rada. Kao što znate, ako je za slučajnu varijablu t data gustina vjerovatnoće f(t) i određena je prosječna vrijednost (matematičko očekivanje) T 1, tada se varijansa vremena rada nalazi pomoću izraza:

(3.8)

a za eksponencijalnu distribuciju, respektivno, jednaka je:

. (3.9)

Nakon nekih transformacija dobijamo:

. (3.10) Dakle, najvjerovatnije vrijednosti radnog vremena, grupisane u blizini T 1 , leže u rasponu, odnosno u rasponu od t = 0 do t = 2T 1 . Kao što vidite, objekat može raditi i za mali vremenski i vremenski period t = 2T 1 , zadržavajući l = konst. Ali vjerovatnoća rada bez greške na intervalu 2T 1 je izuzetno niska: .

Važno je napomenuti da ako je objekt radio, pretpostavimo vrijeme t bez odbijanja, štednja l = const, tada će dalja raspodjela vremena rada biti ista kao u vrijeme prvog uključivanja l = konst.

Dakle, isključivanje zdravog objekta na kraju intervala i njegovo ponovno uključivanje u istom intervalu više puta će dovesti do krivulje u obliku pile (vidi sliku 3.3).

Druge distribucije nemaju navedeno svojstvo. Iz navedenog slijedi naizgled paradoksalan zaključak: budući da uređaj ne stari (ne mijenja svoja svojstva) tokom cijelog vremena t, nije preporučljivo provoditi preventivno održavanje ili zamjenu uređaja kako bi se spriječili iznenadni kvarovi koji su podložni eksponencijalnom zakon. Naravno, ovaj zaključak ne sadrži nikakav paradoks, jer pretpostavka o eksponencijalnoj distribuciji intervala trajanja znači da uređaj ne stari. S druge strane, očito je da što je duže vrijeme u kojem je uređaj uključen, to je više različitih nasumičnih uzroka koji mogu uzrokovati kvar uređaja. Ovo je vrlo važno za rad uređaja, kada je potrebno odabrati intervale u kojima treba provoditi preventivno održavanje kako bi se održala visoka pouzdanost uređaja. Ovo pitanje je detaljno razmotreno u radu.

Model eksponencijalne distribucije se često koristi za apriornu analizu, jer omogućava, uz ne baš složene proračune, dobijanje jednostavnih odnosa za različite opcije za sistem koji se kreira. U fazi aposteriori analize (eksperimentalni podaci) treba provjeriti usklađenost eksponencijalnog modela s rezultatima testa. Konkretno, ako se tokom obrade rezultata testa pokaže da je , onda je to dokaz eksponencijalnosti analizirane zavisnosti.

U praksi se to često dešava l№ const, međutim, iu ovom slučaju se može koristiti u ograničenom vremenskom periodu. Ova pretpostavka je opravdana činjenicom da se u ograničenom vremenskom periodu varijabilna stopa kvara može bez velike greške zamijeniti prosječnom vrijednošću:

l(t)"lcp(t) = konst.

3.3. Rayleighova distribucija

Gustina vjerovatnoće u Rayleighovom zakonu (vidi sliku 3.4) ima sljedeći oblik

¦ , (3.11)

gdje je d* - Parametar Rayleigh distribucije (jednak modu ove distribucije). Ne treba ga brkati sa standardnom devijacijom: .

Stopa neuspjeha je:

Karakteristična karakteristika Rayleighove raspodjele je ravna linija grafa l (t) počevši od porijekla.

Vjerovatnoća neispravnog rada objekta u ovom slučaju određena je izrazom

. (3.12)

MTBF

. (3.13)

3.4. Normalna distribucija (Gausova raspodjela)

normalan zakon distribuciju karakteriše gustina verovatnoće oblika

, (3.14)

gdje je m x , s x - matematičko očekivanje i standardna devijacija slučajne varijable x.

Prilikom analize pouzdanosti električnih instalacija u obliku slučajne varijable, osim vremena, često se pojavljuju i vrijednosti struje, električnog napona i drugi argumenti. Normalni zakon je zakon sa dva parametra, za pisanje kojeg morate znati m x i s x .

Vjerovatnoća rada bez kvara određena je formulom

, (3.15)

a stopa neuspjeha - prema formuli

Na sl. Prikazane su 3,5 krive l (t), P(t) i ¦ (t) za slučaj s t<< m t , karakteristika elemenata koji se koriste u sistemima automatskog upravljanja.

Ovaj priručnik prikazuje samo najčešće zakone distribucije slučajne varijable. Poznati su brojni zakoni koji se takođe koriste u proračunima pouzdanosti: gama distribucija, -distribucija, Maksvelova distribucija, Erlangova distribucija itd.

Treba napomenuti da ako je nejednakost s t<< m t nije ispunjen, onda treba koristiti skraćenu normalnu distribuciju.

Razuman izbor vrste praktične distribucije vremena do otkaza zahteva veliki broj kvarova sa objašnjenjem fizičkih procesa koji se dešavaju u objektima pre otkaza.

U visokopouzdanim elementima električnih instalacija, tokom eksploatacije ili ispitivanja pouzdanosti, samo mali dio prvobitno dostupnih objekata pokvari. Stoga, vrijednost numeričkih karakteristika pronađenih kao rezultat obrade eksperimentalnih podataka jako ovisi o vrsti očekivane distribucije vremena do otkaza. Kao što je prikazano u , s različitim zakonima vremena do otkaza, vrijednosti srednjeg vremena do otkaza, izračunate iz istih početnih podataka, mogu se razlikovati stotinama puta. Stoga, pitanju izbora teorijskog modela za raspodjelu vremena do otkaza treba posvetiti posebnu pažnju uz odgovarajući dokaz aproksimacije teorijske i eksperimentalne distribucije (vidi odjeljak 8).

3.5. Primjeri korištenja zakona distribucije u proračunima pouzdanosti

Odredimo indikatore pouzdanosti za najčešće korištene zakone distribucije za vrijeme nastanka kvarova.

3.5.1. Određivanje pokazatelja pouzdanosti sa zakonom eksponencijalne distribucije

Primjer . Neka objekt ima eksponencijalnu distribuciju vremena nastanka kvarova sa stopom otkaza l \u003d 2,5 H 10 -5 1 / h.

Potrebno je izračunati glavne pokazatelje pouzdanosti objekta koji se ne može obnoviti za t = 2000 sati.

Rješenje.

q (2000) = 1 - P(2000) = 1 - 0,9512 = 0,0488.

1. Koristeći izraz (2.5), vjerovatnoća rada bez otkaza u vremenskom intervalu od 500 h do 2500 h, pod uslovom da je objekat radio bez kvara 500 h, jednaka je

.

1. MTBF

h.

3.5.2. Određivanje mjera pouzdanosti u Rayleigh-ovoj distribuciji

Primjer. Parametar distribucije d* = 100 h.

Potrebno je odrediti za t = 50 h vrijednosti P(t), Q(t), l (t), T 1 .

Rješenje.

Koristeći formule (3.11), (3.12), (3.13), dobijamo

3.5.3. Određivanje indikatora šeme u Gausovoj raspodeli

Primjer. Električno kolo je sastavljeno od tri standardna otpornika spojena u seriju: ;

(u % se postavlja vrijednost odstupanja otpora od nominalne vrijednosti).

Potrebno je odrediti ukupni otpor kruga, uzimajući u obzir odstupanja parametara otpornika.

Rješenje.

Poznato je da u masovnoj proizvodnji istog tipa elemenata, gustina distribucije njihovih parametara je u skladu sa normalnim zakonom. Koristeći pravilo 3 s (tri sigma), iz početnih podataka određujemo opsege u kojima se nalaze vrijednosti otpora otpornika: ;

shodno tome,

Kada su vrijednosti parametara elementa normalno raspoređene, a elementi su nasumično odabrani prilikom kreiranja kruga, rezultirajuća vrijednost R e je funkcionalna varijabla, također raspoređena po normalnom zakonu, a disperzija rezultirajuće vrijednosti, u našem slučaju, određena je izrazom

Budući da je rezultirajuća vrijednost R e distribuirati prema normalnom zakonu, zatim, koristeći pravilo 3 s , napiši

gdje su nazivni pasoški parametri otpornika.

Na ovaj način

Or

Ovaj primjer pokazuje da kako se broj serijski povezanih elemenata povećava, rezultirajuća greška se smanjuje. Posebno, ako je ukupna greška svih pojedinačnih elemenata jednaka± 600 Ohm, onda je ukupna rezultirajuća greška± 374 oma. U složenijim krugovima, na primjer, u oscilatornim krugovima koji se sastoje od induktiviteta i kapacitivnosti, odstupanje induktivnosti ili kapacitivnosti od zadatih parametara povezano je s promjenom rezonantne frekvencije, a mogući raspon njene promjene može se osigurati pomoću metoda slična proračunu otpornika.

3.5.4. Primjer određivanja pokazatelja pouzdanosti objekta koji se ne može popraviti prema eksperimentalnim podacima

Primjer. Test je obuhvatio N o = 1000 uzoraka iste vrste nepovratne opreme, kvarovi su zabilježeni svakih 100 sati.

Potrebno je odrediti u vremenskom intervalu od 0 do 1500 sati. Broj kvarova u odgovarajućem intervalu prikazan je u tabeli. 3.1. Tabela 3.1
Početni podaci i rezultati proračuna

Broj i-ti interval	,h	PCS.		.1/h
1	0 -100	50	0,950
2	100 -200	40	0,910	0,430
3	200 -300	32	0,878	0,358
4	300 - 400	25	0,853	0,284
5	400 - 500	20	0,833	0,238
6	500 - 600	17	0,816	0,206
7	600 -700	16	0,800	0,198
8	700 - 800	16	0,784	0,202
9	800 - 900	15	0,769	0,193
10	900 -1000	14	0,755	0,184
11	1000 -1100	15	0,740	0,200
12	1100 -1200	14	0,726	0,191
13	1200 -1300	14	0,712	0,195
14	1300 -1400	13	0,699	0,184
15	1400 -1500	14	0,685	0,202 č

Rješenje..

Srednje vrijeme do otkaza, podložno kvarovima svih N o objekata, određeno je izrazom

, gdje je tj vrijeme kvara j-tog objekta (j uzima vrijednosti od 0 do No). U ovom eksperimentu, od N o = 1000 objekata, svi objekti nisu uspjeli. Stoga se prema dobivenim eksperimentalnim podacima može naći samo približna vrijednost srednjeg vremena do otkaza. U skladu sa zadatkom koristimo formulu iz: za r J N o, (3.16)

gdje je tj vrijeme do otkazivanja j-tog objekta (j uzima vrijednosti
od 1 do r); r je broj evidentiranih kvarova (u našem slučaju r = 315); tr - vrijeme rada do r-tog (poslednjeg) kvara. Iz grafikona se može vidjeti da nakon perioda uhodavanja tі 600 h, stopa otkaza postaje konstantna. Pod pretpostavkom da u budućnosti l je konstantan, onda je period normalnog rada povezan sa eksponencijalnim modelom vremena do otkaza testiranog tipa objekata. Zatim srednje vrijeme do neuspjeha

h.

Dakle, od dvije procjene srednjeg vremena do otkaza
= 3831 h i T 1 = 5208 h, morate odabrati onaj koji je konzistentniji sa stvarnom distribucijom kvarova. U ovom slučaju, može se pretpostaviti da ako su svi objekti testirani do kvara, odnosno r = N o, da se kompletira graf na Sl. 3.6 i odrediti vrijeme kada l počinje da se povećava, zatim za interval normalnog rada ( l = const) treba srednje vrijeme do otkaza T 1 = 5208 sati.

U zaključku, za ovaj primjer, napominjemo da je definicija srednjeg vremena do otkaza po formuli (2.7), kada je r<< N о, дает грубую ошибку. В нашем примере

h.

Ako umjesto N o stavimo broj neuspjelih objekata
r = 315, onda dobijamo

h.

U potonjem slučaju, predmeti koji nisu uspjeli tijekom testa u količini od N oko - r = 1000-315 = 685 kom. generalno, nisu uključeni u procjenu, odnosno prosječno vrijeme do kvara utvrđeno je samo za 315 objekata. Ove greške su prilično česte u praktičnim proračunima.

Ova distribucija se najčešće koristi u proučavanju stopa otkaza za periode sagorevanja i starenja. Na primjeru raspodjele vijeka trajanja izolacije pojedinih elemenata električne mreže detaljno su razmotreni fizički procesi koji dovode do starenja i kvara izolacije i opisani Weibullovom distribucijom.

Pouzdanost najčešćih elemenata električnih mreža, kao što su energetski transformatori i kablovski vodovi, u velikoj mjeri je određena pouzdanošću izolacije čija se "snaga" mijenja tokom rada. Glavna karakteristika izolacije elektromehaničkih proizvoda je njena električna čvrstoća, koja je, u zavisnosti od uslova rada i vrste proizvoda, određena mehaničkom čvrstoćom, elastičnošću, što isključuje stvaranje zaostalih deformacija, pukotina, raslojavanja pod uticajem mehaničkog opterećenja, tj. nehomogenosti.

Homogenost i čvrstoća izolacione strukture i njena visoka toplotna provodljivost isključuju pojavu pojačanog lokalnog zagrevanja, što neminovno dovodi do povećanja stepena nehomogenosti električne čvrstoće. Uništavanje izolacije tokom rada elementa nastaje uglavnom kao rezultat zagrijavanja strujama opterećenja i temperaturnih utjecaja vanjskog okruženja.

Uzimajući u obzir dva glavna faktora (termičko starenje i mehaničko naprezanje) koji utječu na vijek trajanja izolacije, koji su također usko povezani, možemo zaključiti da i pojave zamora u izolaciji i njeno termičko starenje u velikoj mjeri ovise o kvaliteti izrade. materijala električnog proizvoda, od homogenosti izolacijskog materijala, što osigurava izostanak lokalnog grijanja (pošto je teško pretpostaviti da će sva izolacija propasti, odnosno doći će do kvara na cijelom izolacijskom području).

Mikropukotine, raslojavanja i druge nehomogenosti materijala su nasumično raspoređene u odnosu na njihov položaj i veličinu po cijelom volumenu (površini) izolacije. Pod utjecajem promjenjivih nepovoljnih uvjeta kako toplinske tako i elektrodinamičke prirode, povećavaju se nehomogenosti materijala: na primjer, mikropukotina se širi duboko u izolaciju i, ako se napon slučajno poveća, može uzrokovati slom izolacije. Uzrok kvara može biti čak i mala nehomogenost materijala.

Prirodno je pretpostaviti da je broj štetnih učinaka (termičkih ili elektromehaničkih) koji uzrokuju kvar izolacije funkcija koja se smanjuje ovisno o veličini nehomogenosti. Ovaj broj je minimalan za najveću nehomogenost (pukotine, delaminacije, itd.).

Stoga, broj štetnih učinaka koji određuju vijek trajanja izolacije mora biti u skladu sa zakonom raspodjele minimalne slučajne varijable iz skupa nezavisnih slučajnih varijabli koje odgovaraju nehomogenostima različitih veličina:

gdje je G i - vrijeme neometanog rada cijele izolacije; T i, - vrijeme rada / "-te sekcije (/" \u003d 1.2, P).

Dakle, da bi se odredio zakon distribucije za vrijeme rada takvog objekta kao što je izolacija elementa električne mreže, potrebno je pronaći zakon distribucije za minimalno vrijeme rada za ukupno sve dionice. Najveći interes je slučaj kada zakoni raspodjele radnog vremena pojedinih sekcija imaju različit karakter, ali je oblik zakona raspodjele isti, tj. nema izraženih razlika između regiona.

Sa stanovišta pouzdanosti, dijelovi takvog sistema odgovaraju serijskoj vezi. Funkcija distribucije vremena rada takvog sistema od P parcele povezane u seriju:

Razmotrimo opći slučaj gdje je distribucija P(g) ima takozvani "prag osjetljivosti", tj. garantirano je da element neće uspjeti u vremenskom intervalu (0, /o) (u posebnom slučaju, /o može biti jednako 0). Očigledno je da je funkcija R(1c + D/) > 0 je uvijek neopadajuća funkcija argumenta.

Za sistem možete dobiti asimptotski zakon distribucije radnog vremena:

Ako distribucija nema prag osjetljivosti / 0 , tada će zakon raspodjele imati oblik

gdje With- neki konstantni koeficijent, With> 0; a je Weibullov eksponent.

Ovaj zakon se zove Weibullova distribucija.Često se koristi u aproksimaciji distribucije radnog vremena za sistem sa konačnim brojem serijski (u smislu pouzdanosti) povezanih elemenata (produžni kablovski vodovi sa značajnim brojem spojnica, itd.).

Gustoća distribucije vremena neprekidnog rada

Kada je \u003d 1, gustina distribucije se pretvara u običnu eksponencijalnu funkciju (slika 3.3).

Za stopu otkaza pri gustini distribucije prema Weibullovom zakonu dobijamo

Stopa neuspjeha za ovaj zakon, ovisno o parametru distribucije a, može rasti, ostati konstantna (eksponencijalni zakon) i opadati (slika 3.4).

Za a = 2, funkcija raspodjele vremena neprekidnog rada poklapa se sa Rayleighovim zakonom, a za a » 1, prilično je dobro aproksimirana normalnim zakonom raspodjele u blizini srednjeg vremena neprekidnog rada.

Rice. 3.3.

Rice. 3.4.

Kao što se može vidjeti sa sl. 3.3 i 3.4, zakon eksponencijalne distribucije je poseban slučaj Weibullovog zakona za a = 1 (A. = const).

Weibullov zakon je vrlo zgodan za proračune, ali zahtijeva empirijski odabir parametara A. i a za postojeću zavisnost A. (/).

Matematičko očekivanje (srednje vrijeme) produženja rada i varijanse u distribuciji prema Weibullovom zakonu:

gdje je G(x) gama funkcija određena iz tabele G(.g) (vidi Dodatak 2); With- neki konstantni koeficijent koji određuje vjerovatnoću pojave to elementarna šteta na vremenskom intervalu (0, /)