Zamena a= 28, b= 38, m= 32, σ= 4, dobijamo

R(28< X < 38)= F(1.5) F(1)

Prema tabeli vrijednosti funkcije F( X) nalazimo F(1.5) = 0.4332, F(1) = 0.3413.

Dakle, željena vjerovatnoća je:

P(28

Zadaci

6.1. Slučajna vrijednost X ravnomjerno raspoređeni u intervalu (-3;5). Nađi:

a) gustina distribucije f(x);

b) funkcije distribucije F(x);

c) numeričke karakteristike;

d) vjerovatnoća R(4<X<6).

6.2. Slučajna vrijednost X ravnomerno raspoređeni po segmentu. Nađi:

a) gustina distribucije f(x);

b) funkcija distribucije F(x);

c) numeričke karakteristike;

d) vjerovatnoća R(3≤X≤6).

6.3. Na autoputu je postavljen automatski semafor na kojem zeleno svijetli 2 minute, žuto 3 sekunde i crveno 30 sekundi itd. Auto se vozi autoputem u nasumično vrijeme. Nađite vjerovatnoću da automobil prođe semafor bez zaustavljanja.

6.4. Vozovi podzemne željeznice voze redovno u intervalima od 2 minute. Putnik ulazi na platformu u nasumično vrijeme. Kolika je vjerovatnoća da će putnik morati čekati više od 50 sekundi na voz? Pronađite matematičko očekivanje slučajne varijable X- vreme čekanja na voz.

6.5. Pronađite varijansu i standardnu ​​devijaciju eksponencijalne distribucije koju daje funkcija distribucije:

6.6. Kontinuirana slučajna varijabla X dato gustinom raspodjele vjerovatnoće:

a) Navedite zakon raspodjele razmatrane slučajne varijable.

b) Pronađite funkciju raspodjele F(x) i numeričke karakteristike slučajne varijable X.

6.7. Slučajna vrijednost X raspoređeno prema eksponencijalnom zakonu, dato gustinom raspodjele vjerovatnoće:

Xće uzeti vrijednost iz intervala (2.5;5).

6.8. Kontinuirana slučajna varijabla X distribuiran prema eksponencijalnom zakonu koji je dat funkcijom distribucije:

Pronađite vjerovatnoću da kao rezultat testa Xće uzeti vrijednost iz intervala .

6.9. Matematičko očekivanje i standardna devijacija normalno raspoređene slučajne varijable su 8 i 2, respektivno.

a) gustina distribucija f(x);

b) vjerovatnoća da će kao rezultat testa Xće uzeti vrijednost iz intervala (10;14).

6.10. Slučajna vrijednost X normalno raspoređeno sa prosječnom 3,5 i varijansom 0,04. Nađi:

a) gustina distribucije f(x);

b) vjerovatnoća da će kao rezultat testa Xće uzeti vrijednost iz intervala .

6.11. Slučajna vrijednost X distribuira normalno sa M(X) = 0 i D(X)= 1. Koji od događaja: | X|≤0,6 ili | X|≥0,6 ima veliku vjerovatnoću?

6.12. Slučajna vrijednost X distribuira normalno sa M(X) = 0 i D(X)= 1. Iz kojeg intervala (-0,5; -0,1) ili (1; 2) u jednom testu će poprimiti vrijednost s većom vjerovatnoćom?

6.13. Trenutna cijena po dionici može se modelirati korištenjem normalne distribucije sa M(X)= 10 dana jedinice i σ( X) = 0,3 den. jedinice Nađi:

a) verovatnoća da će trenutna cena akcije biti od 9,8 den. jedinice do 10,4 den. jedinice;

b) korištenjem "pravila tri sigme" za pronalaženje granica u kojima će biti trenutna cijena dionice.

6.14. Supstanca se vaga bez sistematskih grešaka. Slučajne greške vaganja podliježu normalnom zakonu sa standardnom devijacijom σ= 5r. Naći vjerovatnoću da u četiri nezavisna eksperimenta greška u tri vaganja neće premašiti 3 g u apsolutnoj vrijednosti.

6.15. Slučajna vrijednost X distribuira normalno sa M(X)= 12.6. Vjerovatnoća da slučajna varijabla padne u interval (11,4; 13,8) je 0,6826. Naći standardnu ​​devijaciju σ.

6.16. Slučajna vrijednost X distribuira normalno sa M(X) = 12 i D(X) = 36. Pronađite interval u kojem će, s vjerovatnoćom od 0,9973, slučajna varijabla pasti kao rezultat testa X.

6.17. Dio proizveden od strane automatske mašine smatra se neispravnim ako je došlo do odstupanja X njegov kontrolirani parametar od nominalne vrijednosti premašuje po modulu 2 mjerne jedinice. Pretpostavlja se da je slučajna varijabla X distribuira normalno sa M(X) = 0 i σ( X) = 0,7. Koliki procenat neispravnih delova mašina daje?

3.18. Parametar X dijelovi su normalno raspoređeni sa matematičkim očekivanjem od 2 jednakim nominalnoj vrijednosti i standardnom devijacijom od 0,014. Naći vjerovatnoću da će odstupanje X od nominalne vrijednosti po modulu neće prelaziti 1% nominalne vrijednosti.

Odgovori

u) M(X)=1, D(X)=16/3, σ( X)= 4/ , d)1/8.

u) M(X)=4,5, D(X) =2 , σ ( X)= , d)3/5.

6.3. 40/51.

6.4. 7/12, M(X)=1.

6.5. D(X) = 1/64, σ ( X)=1/8

6.6. M(X)=1 , D(X) =2 , σ ( X)= 1 .

6.7. P(2.5<X<5)=e -1 e -2 ≈0,2325 6.8. R(2≤ X≤5)=0,252.

b) R(10 < X < 14) ≈ 0,1574.

b) R(3,1 ≤ X ≤ 3,7) ≈ 0,8185.

6.11. |x|≥0,6.

6.12. (-0,5; -0,1).

6.13. a) R(9,8 ≤ H ≤ 10,4) ≈ 0,6562 6.14. 0,111.

b) (9.1; 10.9).

6.15. σ = 1.2.

6.16. (-6; 30).

6.17. 0,4 %.

Normalni zakon distribucije vjerovatnoće

Bez pretjerivanja, može se nazvati filozofskim zakonom. Promatrajući razne objekte i procese svijeta oko nas, često se susrećemo s činjenicom da nešto nije dovoljno, te da postoji norma:


Evo osnovnog pogleda funkcije gustine normalna raspodjela vjerovatnoće, i želim vam dobrodošlicu u ovu najzanimljiviju lekciju.

Koji se primjeri mogu navesti? Oni su samo tama. To je, na primjer, visina, težina ljudi (i ne samo), njihova fizička snaga, mentalne sposobnosti itd. postoji "masa" (na ovaj ili onaj način) i ima odstupanja u oba smjera.

To su različite karakteristike neživih predmeta (iste dimenzije, težina). Ovo je nasumično trajanje procesa, na primjer, vrijeme trke na sto metara ili transformacije smole u ćilibar. Iz fizike su mi pali na pamet molekuli zraka: među njima ima sporih, ima i brzih, ali većina se kreće „standardnim“ brzinama.

Zatim odstupimo od centra za još jednu standardnu ​​devijaciju i izračunamo visinu:

Označavanje tačaka na crtežu (zelena boja) i vidimo da je to sasvim dovoljno.

U završnoj fazi pažljivo crtamo graf i posebno pažljivo odražavaju to konveksnost / konkavnost! Pa, vjerovatno ste odavno shvatili da je apscisa osa horizontalna asimptota, i apsolutno je nemoguće „popeti se“ za njega!

Sa elektronskim dizajnom rješenja, graf je lako izgraditi u Excelu, a neočekivano za sebe, čak sam snimio i kratak video na ovu temu. Ali prvo, razgovarajmo o tome kako se oblik normalne krive mijenja ovisno o vrijednostima i .

Prilikom povećanja ili smanjenja "a" (sa nepromijenjenom "sigmom") graf zadržava svoj oblik i pomiče se desno/lijevo respektivno. Tako, na primjer, kada funkcija poprimi oblik a naš graf "pomiče" 3 jedinice ulijevo - tačno do početka:


Normalno raspoređena veličina sa nultim matematičkim očekivanjem dobila je potpuno prirodno ime - centriran; njegovu funkciju gustine – čak, a graf je simetričan oko y-ose.

U slučaju promjene "sigme" (sa konstantom "a"), graf "ostaje na mjestu", ali mijenja oblik. Kada se uveća, postaje niži i izdužen, poput hobotnice koja rasteže svoje pipke. I obrnuto, kada se graf smanjuje postaje uži i viši- ispada "iznenađena hobotnica." Da, u smanjiti"sigma" dva puta: prethodni grafikon se dva puta sužava i proteže prema gore:

Sve je u potpunosti u skladu sa geometrijske transformacije grafova.

Normalna distribucija sa jediničnom vrijednošću naziva se "sigma". normalizovano, i ako je također centriran(naš slučaj), onda se takva distribucija zove standard. Ima još jednostavniju funkciju gustoće, koja se već susrela u lokalna Laplaceova teorema: . Standardna distribucija je našla široku primjenu u praksi, a vrlo brzo ćemo konačno shvatiti njenu svrhu.

Sada pogledajmo film:

Da, sasvim tačno – nekako nezasluženo smo ostali u senci funkcija raspodjele vjerovatnoće. Pamtimo je definicija:
- vjerovatnoća da će slučajna varijabla poprimiti vrijednost MANJU od varijable, koja "pokreće" sve realne vrijednosti do "plus" beskonačnosti.

Unutar integrala se obično koristi drugo slovo kako ne bi bilo "preklapanja" s notacijom, jer je ovdje svakoj vrijednosti dodijeljena nepravilan integral , što je jednako nekom broj iz intervala.

Gotovo sve vrijednosti se ne mogu precizno izračunati, ali kao što smo upravo vidjeli, uz modernu računarsku snagu, to nije teško. Dakle, za funkciju standardne distribucije, odgovarajuća excel funkcija općenito sadrži jedan argument:

=NORMSDIST(z)

Jedan, dva - i gotovi ste:

Crtež jasno pokazuje implementaciju svega svojstva funkcije distribucije, a od tehničkih nijansi ovdje treba obratiti pažnju horizontalne asimptote i tačka pregiba.

Sada se prisjetimo jednog od ključnih zadataka teme, naime, saznati kako pronaći - vjerovatnoću da normalna slučajna varijabla će uzeti vrijednost iz intervala. Geometrijski, ova vjerovatnoća je jednaka području između normalne krive i x-ose u odgovarajućem dijelu:

ali svaki put samljeti približnu vrijednost je nerazumno, pa je stoga racionalnije koristiti "laka" formula:
.

! takođe pamti , šta

Ovdje možete ponovo koristiti Excel, ali postoji nekoliko značajnih "ali": prvo, nije uvijek pri ruci, a drugo, "gotove" vrijednosti će najvjerovatnije pokrenuti pitanja od nastavnika. Zašto?

O tome sam već više puta govorio: svojevremeno (i ne tako davno) običan kalkulator je bio luksuz, a „ručni“ način rješavanja problema koji se razmatra još uvijek je sačuvan u obrazovnoj literaturi. Njegova suština je da standardizovati vrijednosti "alfa" i "beta", odnosno reduciraju rješenje na standardnu ​​distribuciju:

Bilješka : funkciju je lako dobiti iz opšteg slučajakoristeći linearnu zamjene. Zatim i:

a od zamjene samo slijedi formula prijelaz sa vrijednosti proizvoljne distribucije na odgovarajuće vrijednosti standardne distribucije.

Zašto je ovo potrebno? Činjenica je da su vrijednosti savjesno izračunali naši preci i sažeti u posebnu tabelu, koja se nalazi u mnogim knjigama o terveru. Ali još češća je tabela vrijednosti, u kojoj smo se već pozabavili Laplaceov integralni teorem:

Ako imamo na raspolaganju tablicu vrijednosti Laplaceove funkcije , onda kroz to rješavamo:

Razlomke se tradicionalno zaokružuju na 4 decimale, kao što se radi u standardnoj tabeli. I za kontrolu Stavka 5 raspored.

Podsećam te na to , i kako bi se izbjegla zabuna uvek pod kontrolom, tabela ŠTA funkcija pred vašim očima.

Odgovori je potrebno dati kao postotak, tako da se izračunata vjerovatnoća mora pomnožiti sa 100 i dati rezultat sa smislenim komentarom:

- sa letom od 5 do 70 m, oko 15,87% granata će pasti

Treniramo samostalno:

Primjer 3

Prečnik ležajeva proizvedenih u fabrici je slučajna varijabla normalno raspoređena sa očekivanjem od 1,5 cm i standardnom devijacijom od 0,04 cm.Nađite verovatnoću da se veličina slučajno uzetog ležaja kreće od 1,4 do 1,6 cm.

U primjeru rješenja i ispod, koristit ću Laplaceovu funkciju kao najčešću opciju. Usput, imajte na umu da, prema formulaciji, ovdje možete uključiti krajeve intervala u razmatranje. Međutim, to nije kritično.

I već u ovom primjeru susreli smo se sa posebnim slučajem - kada je interval simetričan u odnosu na matematičko očekivanje. U takvoj situaciji, može se napisati u obliku i, koristeći neparnost Laplaceove funkcije, pojednostaviti radnu formulu:

Poziva se parametar delta odstupanje iz matematičkog očekivanja, a dvostruka nejednakost se može “upakovati” koristeći modul:

je vjerovatnoća da vrijednost slučajne varijable odstupa od matematičkog očekivanja za manje od .

Pa resenje koje stane u jedan red :)
je vjerovatnoća da se promjer nasumično uzetog ležaja razlikuje od 1,5 cm za najviše 0,1 cm.

Ispostavilo se da je rezultat ovog zadatka blizak jedinici, ali bih želio još više pouzdanosti - naime, otkriti granice u kojima je promjer skoro svi ležajevi. Postoji li neki kriterijum za ovo? Postoji! Na pitanje odgovara tzv

tri sigma pravilo

Njegova suština je u tome praktično pouzdan je činjenica da će normalno raspoređena slučajna varijabla uzeti vrijednost iz intervala .

Zaista, vjerovatnoća odstupanja od očekivanja je manja od:
ili 99,73%

Što se tiče "ležajeva" - radi se o 9973 komada promjera od 1,38 do 1,62 cm i samo 27 "podstandardnih" primjeraka.

U praktičnim istraživanjima, pravilo “tri sigme” se obično primjenjuje u suprotnom smjeru: ako statistički utvrdili da gotovo sve vrijednosti slučajna varijabla koja se proučava uklapaju se u interval od 6 standardnih devijacija, onda postoje dobri razlozi za vjerovanje da je ova vrijednost distribuirana prema normalnom zakonu. Provjera se vrši korištenjem teorije statističke hipoteze.

Nastavljamo da rješavamo teške sovjetske zadatke:

Primjer 4

Slučajna vrijednost greške vaganja distribuira se prema normalnom zakonu sa nultim matematičkim očekivanjem i standardnom devijacijom od 3 grama. Odrediti vjerovatnoću da će sljedeće vaganje biti izvršeno s greškom koja ne prelazi 5 grama u apsolutnoj vrijednosti.

Rješenje veoma jednostavno. Po uslovu, a to odmah konstatujemo pri sledećem vaganju (nešto ili neko) skoro 100% ćemo dobiti rezultat sa tačnošću od 9 grama. Ali u problemu postoji uže odstupanje i po formuli :

- vjerovatnoća da će sljedeće vaganje biti izvršeno s greškom koja ne prelazi 5 grama.

Odgovori:

Rešen problem se suštinski razlikuje od naizgled sličnog. Primjer 3 lekcija o ujednačena distribucija. Došlo je do greške zaokruživanje rezultata mjerenja, ovdje je riječ o slučajnoj grešci samih mjerenja. Takve greške nastaju zbog tehničkih karakteristika samog uređaja. (opseg dozvoljenih grešaka, u pravilu, naveden je u njegovom pasošu), a također i krivnjom eksperimentatora - kada, na primjer, "na oko" uzimamo očitanja sa strelice iste skale.

Između ostalih, postoje i tzv sistematično greške merenja. Već je nonrandom greške koje nastaju zbog neispravnog podešavanja ili rada uređaja. Tako, na primjer, neprilagođena podna vaga može dosljedno "dodavati" kilogram, a prodavač sustavno potencira kupce. Ili ne sistematski, jer možete kvariti. Međutim, u svakom slučaju, takva greška neće biti slučajna, a njeno očekivanje je drugačije od nule.

…Hitno razvijam kurs za obuku prodaje =)

Hajde da sami riješimo problem:

Primjer 5

Prečnik valjka je slučajna normalno raspoređena slučajna varijabla, njena standardna devijacija je mm. Odredite dužinu intervala, simetričnog u odnosu na matematičko očekivanje, u kojem će dužina prečnika perle pasti sa vjerovatnoćom.

Stavka 5* dizajn rasporeda pomoći. Napominjemo da matematičko očekivanje ovdje nije poznato, ali to ni najmanje ne ometa rješavanje problema.

I ispitni zadatak, koji toplo preporučujem za konsolidaciju gradiva:

Primjer 6

Normalno raspoređena slučajna varijabla je data svojim parametrima (matematičko očekivanje) i (standardna devijacija). Obavezno:

a) zapisati gustinu vjerovatnoće i shematski prikazati njen graf;
b) naći vjerovatnoću da će uzeti vrijednost iz intervala ;
c) naći vjerovatnoću da modul ne odstupa od više od ;
d) primjenom pravila "tri sigme" pronađite vrijednosti slučajne varijable.

Takvi problemi se nude posvuda, a tokom godina prakse uspio sam riješiti stotine i stotine njih. Obavezno vježbajte crtanje rukom i korištenje papirnih tabela ;)

Pa, analizirat ću primjer povećane složenosti:

Primjer 7

Gustina raspodjele vjerovatnoće slučajne varijable ima oblik . Find , matematičko očekivanje , varijansa , funkcija distribucije , gustina dijagrama i funkcije distribucije , find .

Rješenje: prije svega, obratimo pažnju da uvjet ne govori ništa o prirodi slučajne varijable. Samo po sebi prisustvo izlagača ne znači ništa: to može biti npr. demonstrativna ili generalno proizvoljno kontinuirana distribucija. I stoga, „normalnost“ distribucije još uvijek treba potkrijepiti:

Od funkcije utvrđeno na bilo koji realnu vrijednost, a može se svesti na oblik , tada se slučajna varijabla raspoređuje prema normalnom zakonu.

Predstavljamo. Za ovo odaberite cijeli kvadrat i organizovati trospratni razlomak:


Obavezno izvršite provjeru, vraćajući indikator u izvorni oblik:

što smo hteli da vidimo.

Na ovaj način:
- uključeno pravilo moći"štipanje". I ovdje možete odmah zapisati očigledne numeričke karakteristike:

Sada pronađimo vrijednost parametra. Budući da množitelj normalne distribucije ima oblik i , tada:
, iz koje izražavamo i zamjenjujemo u našu funkciju:
, nakon čega ćemo još jednom očima pregledati zapis i uvjeriti se da rezultirajuća funkcija ima oblik .

Nacrtajmo gustinu:

i dijagram funkcije distribucije :

Ako pri ruci nema Excela, pa čak ni običnog kalkulatora, onda se posljednji grafikon lako gradi ručno! U tom trenutku funkcija distribucije poprima vrijednost i evo

ZAKON DISTRIBUCIJE I KARAKTERISTIKE

RANDOM VRIJEDNOSTI

Slučajne varijable, njihova klasifikacija i metode opisa.

Slučajna vrijednost je veličina koja, kao rezultat eksperimenta, može poprimiti jednu ili drugu vrijednost, ali koja nije unaprijed poznata. Za slučajnu varijablu, dakle, mogu se specificirati samo vrijednosti, od kojih će jednu nužno uzeti kao rezultat eksperimenta. Ove vrijednosti će se nazivati ​​mogućim vrijednostima slučajne varijable. Budući da slučajna varijabla kvantitativno karakterizira slučajni rezultat eksperimenta, može se smatrati kvantitativnom karakteristikom slučajnog događaja.

Slučajne varijable se obično označavaju velikim slovima latinične abecede, na primjer, X..Y..Z, a njihove moguće vrijednosti odgovarajućim malim slovima.

Postoje tri tipa slučajnih varijabli:

diskretno; Kontinuirano; Miješano.

Diskretno naziva se takva slučajna varijabla čiji broj mogućih vrijednosti čini prebrojiv skup. Zauzvrat, prebrojiv skup je skup čiji se elementi mogu numerisati. Riječ "diskretno" dolazi od latinskog discretus, što znači "diskontinuiran, koji se sastoji od odvojenih dijelova".

Primjer 1. Diskretna slučajna varijabla je broj neispravnih dijelova X u seriji nfl. Zaista, moguće vrijednosti ove slučajne varijable su niz cijelih brojeva od 0 do n.

Primjer 2. Diskretna slučajna varijabla je broj hitaca prije prvog pogotka u metu. Ovdje, kao u primjeru 1, moguće vrijednosti se mogu numerisati, iako je u graničnom slučaju moguća vrijednost beskonačno veliki broj.

Kontinuirano naziva se slučajna varijabla, čije moguće vrijednosti kontinuirano ispunjavaju određeni interval numeričke ose, koji se ponekad naziva interval postojanja ove slučajne varijable. Dakle, na bilo kojem konačnom intervalu postojanja, broj mogućih vrijednosti kontinuirane slučajne varijable je beskonačno velik.

Primjer 3. Kontinuirana slučajna varijabla je potrošnja električne energije u preduzeću za mjesec dana.

Primjer 4. Kontinuirana slučajna varijabla je greška u mjerenju visine pomoću visinomjera. Neka se iz principa rada visinomera zna da greška leži u opsegu od 0 do 2 m. Dakle, interval postojanja ove slučajne varijable je interval od 0 do 2 m.

Zakon raspodjele slučajnih varijabli.

Slučajna varijabla se smatra potpuno specificiranom ako su njene moguće vrijednosti naznačene na numeričkoj osi i utvrđen zakon raspodjele.

Zakon raspodjele slučajne varijable naziva se relacija koja uspostavlja odnos između mogućih vrijednosti slučajne varijable i odgovarajućih vjerovatnoća.

Za slučajnu varijablu se kaže da je raspoređena prema datom zakonu ili podliježe datom zakonu distribucije. Određeni broj vjerovatnoća, funkcija distribucije, gustina vjerovatnoće, karakteristična funkcija se koriste kao zakoni distribucije.

Zakon raspodjele daje potpuni vjerojatni opis slučajne varijable. Prema zakonu distribucije, moguće je prije iskustva prosuditi koje će se moguće vrijednosti slučajne varijable pojavljivati ​​češće, a koje rjeđe.

Za diskretnu slučajnu varijablu, zakon raspodjele se može dati u obliku tabele, analitički (u obliku formule) i grafički.

Najjednostavniji oblik specificiranja zakona distribucije diskretne slučajne varijable je tabela (matrica), koja uzlaznim redoslijedom navodi sve moguće vrijednosti slučajne varijable i njihove odgovarajuće vjerovatnoće, tj.

Takva tabela se naziva nizom distribucije diskretne slučajne varijable. jedan

Događaji X 1 , X 2 ,..., X n , koji se sastoje u činjenici da će, kao rezultat testa, slučajna varijabla X uzeti vrijednosti x 1 , x 2 ,... x n, respektivno , su nedosljedni i jedini mogući (jer su u tabeli navedene sve moguće vrijednosti slučajne varijable), tj. formiraju kompletnu grupu. Stoga je zbir njihovih vjerovatnoća jednak 1. Dakle, za bilo koju diskretnu slučajnu varijablu

(Ova jedinica je nekako raspoređena među vrijednostima slučajne varijable, otuda i termin "distribucija").

Serija distribucije može se prikazati grafički ako su vrijednosti slučajne varijable nacrtane duž ose apscise, a njihove odgovarajuće vjerovatnoće duž ose ordinata. Veza dobijenih tačaka formira isprekidanu liniju, koja se naziva poligon ili poligon distribucije verovatnoće (slika 1).

Primjer Igra se lutrija: automobil od 5000 den. jedinica, 4 televizora od 250 den. jedinica, 5 videorekordera u vrednosti od 200 den. jedinice Ukupno je prodato 1000 karata po 7 den. jedinice Sastavite zakon o raspodjeli neto dobitaka koje je dobio učesnik lutrije koji je kupio jedan listić.

Rješenje. Moguće vrijednosti slučajne varijable X - neto dobici po listiću - su 0-7 = -7 den. jedinice (ako tiket nije dobio), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 den. jedinice (ako je ulaznicu osvojio videorekorder, TV ili auto). S obzirom da je od 1000 listića broj ne-dobitnika 990, a naznačeni dobici su 5, 4 i 1, i koristeći klasičnu definiciju vjerovatnoće, dobijamo.

Možemo izdvojiti najčešće zakone distribucije diskretnih slučajnih varijabli:

• Zakon binomne distribucije
• Poissonov zakon distribucije
• Geometrijski zakon raspodjele
• Hipergeometrijski zakon raspodjele

Za date distribucije diskretnih slučajnih varijabli izračunavanje vjerovatnoća njihovih vrijednosti, kao i numeričkih karakteristika (matematičko očekivanje, varijansa, itd.) vrši se prema određenim "formulama". Stoga je veoma važno poznavati ove vrste distribucija i njihova osnovna svojstva.

1. Zakon binomne distribucije.

Diskretna slučajna varijabla $X$ podliježe binomnoj raspodjeli vjerovatnoće ako uzima vrijednosti $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ sa vjerovatnoćama $P\left(X=k\right)= C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k)$. U stvari, slučajna varijabla $X$ je broj pojavljivanja događaja $A$ u $n$ nezavisnim pokusima. Zakon raspodjele vjerovatnoće za slučajnu varijablu $X$:

$\begin(niz)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \dots & n \\
\hline
p_i & P_n\lijevo(0\desno) & P_n\lijevo(1\desno) & \tačke & P_n\lijevo(n\desno) \\
\hline
\end(niz)$

Za takvu slučajnu varijablu, očekivanje je $M\left(X\right)=np$, varijansa je $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$.

Primjer . U porodici ima dvoje djece. Uz pretpostavku da su vjerovatnoće rođenja dječaka i djevojčice jednake $0,5$, pronađite zakon raspodjele slučajne varijable $\xi $ - broj dječaka u porodici.

Neka je slučajna varijabla $\xi $ broj dječaka u porodici. Vrijednosti koje $\xi:\ 0,\ ​​1,\ 2$ može uzeti. Vjerovatnoće ovih vrijednosti mogu se naći po formuli $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k )$, gdje je $n =2$ - broj nezavisnih pokušaja, $p=0,5$ - vjerovatnoća pojave događaja u seriji od $n$ pokušaja. Dobijamo:

$P\left(\xi =0\desno)=C^0_2\cdot (0.5)^0\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-0)=(0, 5)^2 =0,25;$

$P\left(\xi =1\desno)=C^1_2\cdot 0.5\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-1)=2\cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5;$

$P\left(\xi =2\desno)=C^2_2\cdot (0,5)^2\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-2)=(0, 5)^2=0,25.$

Tada je zakon raspodjele slučajne varijable $\xi $ korespondencija između vrijednosti $0,\ 1,\ 2$ i njihovih vjerovatnoća, tj.:

$\begin(niz)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0,25 & 0,5 & 0,25 \\
\hline
\end(niz)$

Zbir vjerovatnoća u zakonu raspodjele mora biti jednak $1$, tj. $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0,25+0,5+0, 25 =$1.

Očekivanje $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0.5=1$, varijansa $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\ cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5$, standardna devijacija $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0.5 )\približno 0.707 $.

2. Poissonov zakon distribucije.

Ako diskretna slučajna varijabla $X$ može uzeti samo nenegativne cjelobrojne vrijednosti $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ sa vjerovatnoćama $P\left(X=k\right)=((( \lambda )^k )\preko (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}

Komentar. Posebnost ove distribucije je u tome što na osnovu eksperimentalnih podataka nalazimo procjene $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$, ako su dobijene procjene bliske jedna drugoj, onda ćemo imaju razloga da tvrde da je slučajna varijabla podložna Poissonovom zakonu raspodjele.

Primjer . Primjeri slučajnih varijabli koje podliježu Poissonovom zakonu distribucije mogu biti: broj automobila koje će sutra servisirati benzinska pumpa; broj neispravnih artikala u proizvedenom proizvodu.

Primjer . Fabrika je poslala 500$ proizvoda u bazu. Vjerovatnoća oštećenja proizvoda u transportu je 0,002$. Naći zakon raspodjele slučajne varijable $X$ jednak broju oštećenih proizvoda; što je jednako $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$.

Neka je diskretna slučajna varijabla $X$ broj oštećenih stavki. Takva slučajna varijabla podliježe Poissonovom zakonu raspodjele sa parametrom $\lambda =np=500\cdot 0.002=1$. Vjerojatnosti vrijednosti su $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}

$P\lijevo(X=0\desno)=((1^0)\preko (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\lijevo(X=1\desno)=((1^1)\preko (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\lijevo(X=2\desno)=((1^2)\preko (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}

$P\lijevo(X=3\desno)=((1^3)\preko (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}

$P\lijevo(X=4\desno)=((1^4)\preko (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}

$P\lijevo(X=5\desno)=((1^5)\preko (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}

$P\lijevo(X=6\desno)=((1^6)\preko (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}

$P\levo(X=k\desno)=(((\lambda )^k)\preko (k}\cdot e^{-\lambda }$!}

Zakon distribucije slučajne varijable $X$:

$\begin(niz)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0,368; & 0,368 & 0,184 & 0,061 & 0,015 & 0,003 & 0,001 & ... & ((\lambda )^k)\preko (k}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\end(niz)$

Za takvu slučajnu varijablu, matematičko očekivanje i varijansa su međusobno jednake i jednake su parametru $\lambda $, tj. $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda =1 $.

3. Geometrijski zakon raspodjele.

Ako diskretna slučajna varijabla $X$ može uzeti samo prirodne vrijednosti $1,\ 2,\ \dots ,\ n$ sa vjerovatnoćama $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\) desno)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $, onda kažemo da takva slučajna varijabla $X$ podliježe geometrijskom zakonu distribucije vjerovatnoće. U stvari, čini se da je geometrijska distribucija Bernulijeva pokušaja do prvog uspjeha.

Primjer . Primjeri slučajnih varijabli koje imaju geometrijsku distribuciju mogu biti: broj hitaca prije prvog pogotka u metu; broj testova uređaja prije prvog kvara; broj bacanja novčića prije prvog heads up-a i tako dalje.

Matematičko očekivanje i varijansa slučajne varijable koja podliježe geometrijskoj distribuciji su $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right) /p^ 2$.

Primjer . Na putu kretanja ribe do mjesta mrijesta nalazi se brava od 4$. Vjerovatnoća da riba prođe kroz svaku bravu je $p=3/5$. Konstruirajte seriju distribucije slučajne varijable $X$ - broj brava koje je riba prošla prije prvog zaustavljanja na bravi. Pronađite $M\left(X\desno),\ D\left(X\right),\ \sigma \left(X\right)$.

Neka slučajna varijabla $X$ bude broj otvora koje je riba prošla prije prvog zaustavljanja na otvoru. Takva slučajna varijabla podliježe geometrijskom zakonu distribucije vjerovatnoće. Vrijednosti koje slučajna varijabla $X može uzeti su: 1, 2, 3, 4. Vjerovatnoće ovih vrijednosti se izračunavaju po formuli: $P\left(X=k\right)=pq^( k-1)$, gdje je: $ p=2/5$ - vjerovatnoća da će riba biti uhvaćena kroz prevodnicu, $q=1-p=3/5$ - vjerovatnoća da će riba proći kroz prevodnicu, $k=1, \ 2,\ 3,\ 4$.

$P\left(X=1\desno)=((2)\preko (5))\cdot (\left(((3)\preko (5))\desno))^0=((2)\ preko(5))=0.4;$

$P\left(X=2\desno)=((2)\preko (5))\cdot ((3)\preko (5))=((6)\preko (25))=0,24; $

$P\left(X=3\desno)=((2)\preko (5))\cdot (\left(((3)\preko (5))\desno))^2=((2)\ preko (5))\cdot ((9)\preko (25))=((18)\preko (125))=0,144;$

$P\left(X=4\desno)=((2)\preko (5))\cdot (\left(((3)\preko (5))\desno))^3+(\left(( (3)\preko (5))\desno))^4=((27)\preko (125))=0,216.$

$\begin(niz)(|c|c|)
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
P\lijevo(X_i\desno) & 0,4 & 0,24 & 0,144 & 0,216 \\
\hline
\end(niz)$

Očekivana vrijednost:

$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0.4+2\cdot 0.24+3\cdot 0.144+4\cdot 0.216=2.176.$

disperzija:

$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2=)0,4\cdot (\ lijevo(1-2,176\desno))^2+0,24\cdot (\left(2-2,176\desno))^2+0,144\cdot (\left(3-2,176\desno))^2+$

$+\ 0,216\cdot (\levo(4-2,176\desno))^2\približno 1,377.$

Standardna devijacija:

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1,377)\cca 1,173.$

4. Hipergeometrijski zakon raspodjele.

Ako postoji $N$ objekata, među kojima $m$ objekti imaju dato svojstvo. Nasumično, bez zamjene, izdvajaju se $n$ objekata, među kojima ima $k$ objekata koji imaju dato svojstvo. Hipergeometrijska distribucija omogućava procjenu vjerovatnoće da tačno $k$ objekata u uzorku imaju dato svojstvo. Neka slučajna varijabla $X$ bude broj objekata u uzorku koji imaju dato svojstvo. Tada su vjerovatnoće vrijednosti slučajne varijable $X$:

$P\levo(X=k\desno)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\preko (C^n_N))$

Komentar. Statistička funkcija HYPERGEOMET čarobnjaka za funkcije Excel $f_x$ omogućava vam da odredite vjerovatnoću da će određeni broj pokušaja biti uspješan.

$f_x\u $ statistički$\to $ HYPERGEOMET$\to $ uredu. Pojavit će se dijaloški okvir koji trebate popuniti. U grafikonu Broj_uspjeha_u_uzorku navedite vrijednost $k$. veličina uzorka jednako $n$. U grafikonu Broj_uspjeha_u_populaciji navedite vrijednost $m$. Population_size jednako $N$.

Matematičko očekivanje i varijansa diskretne slučajne varijable $X$ koja podliježe geometrijskom zakonu raspodjele su $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)=((nm\left) (1 -((m)\preko (N))\desno)\lijevo(1-((n)\preko (N))\desno))\preko (N-1))$.

Primjer . U kreditnom odjelu banke zaposleno je 5 specijalista sa višom finansijskom spremom i 3 specijalista sa višom pravnom spremom. Rukovodstvo banke je odlučilo da pošalje 3 stručnjaka na usavršavanje, birajući ih nasumično.

a) Napravite distribucijsku seriju broja specijalista sa višom finansijskom spremom koji se mogu uputiti na usavršavanje;

b) Pronađite numeričke karakteristike ove distribucije.

Neka je slučajna varijabla $X$ broj specijalista sa visokim finansijskim obrazovanjem među tri odabrana. Vrijednosti koje $X:0,\ 1,\ 2,\ 3$ može uzeti. Ova slučajna varijabla $X$ se distribuira prema hipergeometrijskoj distribuciji sa sljedećim parametrima: $N=8$ - veličina populacije, $m=5$ - broj uspjeha u populaciji, $n=3$ - veličina uzorka, $ k=0,\ 1, \ 2,\ 3$ - broj uspjeha u uzorku. Tada se vjerovatnoće $P\left(X=k\desno)$ mogu izračunati pomoću formule: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ preko C_( N)^(n) ) $. Imamo:

$P\left(X=0\desno)=((C^0_5\cdot C^3_3)\preko (C^3_8))=((1)\preko (56))\približno 0,018;$

$P\left(X=1\desno)=((C^1_5\cdot C^2_3)\preko (C^3_8))=((15)\preko (56))\približno 0,268;$

$P\left(X=2\desno)=((C^2_5\cdot C^1_3)\preko (C^3_8))=((15)\preko (28))\približno 0,536;$

$P\left(X=3\desno)=((C^3_5\cdot C^0_3)\preko (C^3_8))=((5)\preko (28))\približno 0,179.$

Zatim serija distribucije slučajne varijable $X$:

$\begin(niz)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0,018 & 0,268 & 0,536 & 0,179 \\
\hline
\end(niz)$

Izračunajmo numeričke karakteristike slučajne varijable $X$ koristeći opšte formule hipergeometrijske distribucije.

$M\left(X\desno)=((nm)\preko (N))=((3\cdot 5)\preko (8))=((15)\preko (8))=1,875.$

$D\lijevo(X\desno)=((nm\lijevo(1-((m)\preko (N))\desno)\lijevo(1-((n)\preko (N))\desno)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\preko (8))\desno)\cdot \left(1-((3)\over (8) ))\desno))\preko (8-1))=((225)\preko (448))\cca 0,502.$

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0,502)\približno 0,7085.$