Parcijalni izvod funkcija dviju varijabli.
Koncept i primjeri rješenja

U ovoj lekciji nastavit ćemo upoznavanje s funkcijom dvije varijable i razmotriti, možda, najčešći tematski zadatak - pronalaženje parcijalne derivacije prvog i drugog reda, kao i totalni diferencijal funkcije. Vanredni studenti se, po pravilu, suočavaju sa parcijalnim derivatima u 1. godini u 2. semestru. Štaviše, prema mojim zapažanjima, zadatak pronalaženja parcijalnih izvoda gotovo se uvijek nalazi na ispitu.

Kako biste efikasno proučili sljedeći materijal, vi neophodno biti u stanju da više ili manje pouzdano pronađe "uobičajene" derivate funkcije jedne varijable. U lekcijama možete naučiti kako pravilno rukovati izvedenicama Kako pronaći derivat? i Derivat složene funkcije. Potrebna nam je i tabela izvedenica elementarnih funkcija i pravila diferencijacije, najpogodnije je ako je pri ruci u štampanom obliku. Referentni materijal možete pronaći na stranici Matematičke formule i tabele.

Hajde da brzo ponovimo koncept funkcije dve varijable, pokušaću da se ograničim na minimum. Funkcija dvije varijable se obično piše kao , pri čemu se varijable pozivaju nezavisne varijable ili argumentima.

Primjer: - funkcija dvije varijable.

Ponekad se koristi notacija. Postoje i zadaci u kojima se umjesto slova koristi slovo.

Sa geometrijske tačke gledišta, funkcija dvije varijable je najčešće površina trodimenzionalnog prostora (ravan, cilindar, lopta, paraboloid, hiperboloid itd.). Ali, u stvari, ovo je već više analitička geometrija, a na dnevnom redu imamo matematičku analizu, koju mi profesor nikad nije dao da otpišem je moj „konj“.

Prelazimo na pitanje pronalaženja parcijalnih izvoda prvog i drugog reda. Imam dobre vijesti za one od vas koji su popili nekoliko šoljica kafe i raspoloženi za nezamislivo težak materijal: parcijalni derivati su skoro isti kao i "obični" derivati funkcije jedne varijable.

Za parcijalne derivacije vrijede sva pravila diferencijacije i tablica izvoda elementarnih funkcija. Postoji samo nekoliko malih razlika koje ćemo sada upoznati:

... da, usput, za ovu temu jesam kreirao mala pdf knjiga, što će vam omogućiti da "napunite ruku" za samo par sati. Ali, koristeći stranicu, vi ćete, naravno, dobiti i rezultat - samo možda malo sporije:

Primjer 1

Naći parcijalne izvode prvog i drugog reda funkcije

Prvo, nalazimo parcijalne izvode prvog reda. Ima ih dvoje.

Notacija:
ili - parcijalni izvod u odnosu na "x"
ili - djelomični izvod u odnosu na "y"

Počnimo sa . Kada pronađemo parcijalni izvod u odnosu na "x", tada se varijabla smatra konstantom (konstantnim brojem).

Komentari na preduzete radnje:

(1) Prva stvar koju radimo kada pronađemo parcijalni izvod je da zaključimo sve funkcija u zagradama ispod crtice sa indeksom.

Pažnja važna! Subscripts NE GUBE u toku rješenja. U ovom slučaju, ako negdje bez crtanja nacrtate „šlog“, onda ga učitelj barem može staviti pored zadatka (odmah odgristi dio bodova zbog nepažnje).

(2) Koristite pravila diferencijacije , . Za jednostavan primjer kao što je ovaj, oba pravila se mogu primijeniti u istom koraku. Obratite pažnju na prvi pojam: od smatra se konstantom, a svaka konstanta se može izvući iz predznaka derivacije, onda ga vadimo iz zagrada. Odnosno, u ovoj situaciji nije ništa bolji od običnog broja. Pogledajmo sada treći pojam: ovdje, naprotiv, nema šta da se izvadi. Pošto je konstanta, ona je i konstanta, i u tom smislu nije ništa bolja od posljednjeg pojma – „sedam“.

(3) Koristimo tablične derivate i .

(4) Mi pojednostavljujemo, ili, kako ja volim da kažem, "kombinujemo" odgovor.

Sad . Kada nađemo parcijalni izvod u odnosu na "y", tada je varijablasmatra se konstantnim (konstantnim brojem).

(1) Koristimo ista pravila diferencijacije , . U prvom članu vadimo konstantu izvan znaka derivacije, u drugom se ne može ništa izvaditi jer je već konstanta.

(2) Koristimo tablicu izvoda elementarnih funkcija. Mentalno promijenite u tabeli sve "X" u "Y". Odnosno, ova tabela je jednako važeća za (i zaista za skoro svako slovo). Konkretno, formule koje koristimo izgledaju ovako: i .

Šta je značenje parcijalnih izvoda?

U svojoj osnovi parcijalni derivati 1. reda liče "obični" derivat:

- ovo je funkcije, koji karakterišu stopa promjene funkcionira u smjeru osi i respektivno. Tako, na primjer, funkcija karakteriše strmine "uspona" i "padina" površine u smjeru ose apscise, a funkcija nam govori o "reljefu" iste površine u smjeru ose ordinate.

! Bilješka : ovdje se odnosi na upute koje su paralelne koordinatne ose.

Radi boljeg razumijevanja, razmotrimo određenu tačku ravnine i izračunamo vrijednost funkcije (“visine”) u njoj:
- a sada zamislite da ste ovdje (NA SAMOJ površini).

Izračunavamo parcijalni izvod u odnosu na "x" u datoj tački:

Negativni predznak derivata "X" nam govori o tome silazno funkcionira u tački u smjeru x-ose. Drugim riječima, ako napravimo mali-mali (beskonačno malo) korak prema vrhu ose (paralelno sa ovom osom), a zatim se spustite niz padinu površine.

Sada saznajemo prirodu "terena" u smjeru y-ose:

Izvod u odnosu na "y" je pozitivan, dakle, u tački duž ose, funkcija povećava. Ako je sasvim jednostavno, onda nas čeka uspon uzbrdo.

Osim toga, parcijalni izvod u tački karakterizira stopa promjene funkcioniše u relevantnom pravcu. Što je veća rezultujuća vrijednost modulo- što je površina strmija, i obrnuto, što je bliža nuli, to je površina ravnija. Dakle, u našem primjeru, "nagib" u smjeru ose apscise je strmiji od "planine" u smjeru ose ordinate.

Ali to su bila dva privatna puta. Sasvim je jasno da od tačke na kojoj se nalazimo, (i općenito iz bilo koje tačke date površine) možemo krenuti u nekom drugom pravcu. Stoga postoji interes za sastavljanje opće "navigacijske karte" koja bi nam govorila o "pejzažu" površine. ako je moguće u svakoj tački opseg ove funkcije na sve dostupne načine. O ovome i drugim zanimljivostima govoriću u jednoj od narednih lekcija, ali za sada, vratimo se tehničkoj strani problema.

Sistematiziramo osnovna primijenjena pravila:

1) Kada razlikujemo po , tada se varijabla smatra konstantom.

2) Kada se diferencijacija vrši prema, tada se smatra konstantom.

3) Pravila i tabela izvoda elementarnih funkcija važe i važe za svaku varijablu (ili bilo koju drugu) u odnosu na koju se vrši diferencijacija.

Drugi korak. Nalazimo parcijalne derivate drugog reda. Ima ih četiri.

Notacija:
ili - drugi izvod u odnosu na "x"
ili - drugi derivat u odnosu na "y"
ili - mješovito izvod "x po y"
ili - mješovito izvedenica "Y sa X"

Sa drugom izvodom nema problema. razgovor običan jezik, drugi izvod je derivat prvog izvoda.

Radi praktičnosti, prepisat ću parcijalne derivate prvog reda koji su već pronađeni:

Prvo nalazimo mješovite derivate:

Kao što vidite, sve je jednostavno: uzimamo parcijalni izvod i ponovo ga diferenciramo, ali u ovom slučaju već sa "y".

Slično:

U praktičnim primjerima možete se usredotočiti na sljedeću jednakost:

Dakle, preko mješovitih izvoda drugog reda vrlo je zgodno provjeriti da li smo pravilno pronašli parcijalne izvode prvog reda.

Nalazimo drugi izvod u odnosu na "x".
Nema izuma, pretpostavljamo i ponovo ga razlikovati sa "X":

Slično:

Treba napomenuti da kada pronađete , morate pokazati povećana pažnja, pošto ne postoje čudesne jednakosti koje bi ih testirale.

Drugi derivati također nalaze široku praktičnu primjenu, posebno se koriste u problemu pronalaženja ekstremi funkcije dvije varijable. Ali sve ima svoje vreme:

Primjer 2

Izračunajte parcijalne izvode prvog reda funkcije u točki . Pronađite derivate drugog reda.

Ovo je primjer za samostalno rješavanje (odgovori na kraju lekcije). Ako imate poteškoća s razlikovanjem korijena, vratite se na lekciju Kako pronaći derivat? Općenito, vrlo brzo ćete naučiti kako pronaći slične derivate u hodu.

Punimo ruku složenijim primjerima:

Primjer 3

Provjerite to. burn totalni diferencijal prva narudžba.

Rješenje: Nalazimo parcijalne izvode prvog reda:

Obratite pažnju na indeks: pored "x" nije zabranjeno pisati u zagradama da je to konstanta. Ova oznaka može biti vrlo korisna za početnike kako bi se lakše snašli u rješenju.

Dalji komentari:

(1) Izvodimo sve konstante izvan predznaka izvoda. U ovom slučaju, i , i, stoga, njihov proizvod se smatra konstantnim brojem.

(2) Ne zaboravite kako pravilno razlikovati korijene.

(1) Sve konstante uzimamo iz predznaka derivacije, u ovom slučaju konstanta je .

(2) Pod prostim brojem imamo proizvod dvije funkcije, stoga trebamo koristiti pravilo diferencijacije proizvoda .

(3) Ne zaboravite da je to složena funkcija (iako najjednostavnija od složenih). Koristimo odgovarajuće pravilo: .

Sada nalazimo mješovite derivate drugog reda:

To znači da su svi proračuni tačni.

Napišimo ukupni diferencijal. U kontekstu zadatka koji se razmatra, nema smisla reći koliki je ukupni diferencijal funkcije dvije varijable. Važno je da ovaj diferencijal vrlo često treba zapisati u praktičnim problemima.

Totalni diferencijal prvog reda funkcije dvije varijable ima oblik:

U ovom slučaju:

Odnosno, u formuli trebate samo glupo samo zamijeniti već pronađene parcijalne derivate prvog reda. Diferencijalne ikone iu ovoj i sličnim situacijama, ako je moguće, bolje je pisati brojiocima:

I na ponovljeni zahtjev čitalaca, puni diferencijal drugog reda.

izgleda ovako:

PAŽLJIVO pronađite "jednoslovne" izvedenice 2. reda:

i zapišite "čudovište", pažljivo "pričvršćujući" kvadrate, proizvod i ne zaboravljajući udvostručiti mješoviti derivat:

U redu je ako se nešto činilo teškim, uvijek se kasnije možete vratiti na derivate, nakon što naučite tehniku diferencijacije:

Primjer 4

Pronađite parcijalne izvode prvog reda funkcije . Provjerite to. Napišite ukupni diferencijal prvog reda.

Razmotrimo niz primjera sa složenim funkcijama:

Primjer 5

Pronađite parcijalne izvode prvog reda funkcije .

Rješenje:

Primjer 6

Pronađite parcijalne izvode prvog reda funkcije .
Zapišite ukupni diferencijal.

Ovo je primjer za samostalno rješavanje (odgovor na kraju lekcije). Neću objavljivati kompletno rješenje jer je prilično jednostavno.

Često se sva gore navedena pravila primjenjuju u kombinaciji.

Primjer 7

Pronađite parcijalne izvode prvog reda funkcije .

(1) Koristimo pravilo diferenciranja zbira

(2) Prvi član se u ovom slučaju smatra konstantom, jer u izrazu nema ničega što zavisi od "x" - samo "y". Znate, uvijek je lijepo kada se razlomak može pretvoriti u nulu). Za drugi termin primjenjujemo pravilo diferencijacije proizvoda. Inače, u tom smislu se ništa ne bi promijenilo da se umjesto nje zada funkcija - to je ovdje bitno proizvod dvije funkcije, SVAKO zavisi od toga "X", te stoga morate koristiti pravilo diferencijacije proizvoda. Za treći član primjenjujemo pravilo diferencijacije složena funkcija.

(1) Prvi član i u brojniku i u nazivniku sadrži "y", stoga morate koristiti pravilo za razlikovanje količnika: . Drugi član zavisi SAMO od "x", što znači da se smatra konstantom i pretvara se u nulu. Za treći član koristimo pravilo diferencijacije kompleksne funkcije.

Za one čitaoce koji su hrabro stigli skoro do kraja lekcije, ispričat ću vam staru Mekhmatovljevu anegdotu za detant:

Jednom se u prostoru funkcija pojavio zli derivat i kako je sve razlikovao. Sve funkcije se raspršuju u svim smjerovima, nitko se ne želi okretati! I samo jedna funkcija ne bježi nigdje. Izvod mu prilazi i pita:

"Zašto ne bježiš od mene?"

- Ha. Ali nije me briga, jer ja sam "e na stepen x", a ti mi ništa ne možeš!

Na šta zli derivat sa podmuklim osmehom odgovara:

- Tu grešiš, ja ću te razlikovati po "y", pa ti neka bude nula.

Ko je shvatio šalu, savladao je derivate, bar za "trojku").

Primjer 8

Pronađite parcijalne izvode prvog reda funkcije .

Ovo je "uradi sam" primjer. Kompletno rješenje i primjer dizajna problema nalaze se na kraju lekcije.

Pa, to je skoro sve. Konačno, ne mogu a da ne obradujem matematičare još jednim primjerom. Ne radi se čak ni o amaterima, svi imaju različit nivo matematičke obuke - ima ljudi (i ne tako rijetkih) koji vole da se takmiče sa težim zadacima. Iako, posljednji primjer u ovoj lekciji nije toliko komplikovan koliko glomazan u smislu proračuna.

Neka je data funkcija. Kako su x i y nezavisne varijable, jedna od njih se može mijenjati dok druga ostaje nepromijenjena. Hajde da povećamo nezavisnu varijablu x, a da vrijednost y ostane nepromijenjena. Tada će z dobiti inkrement, koji se naziva djelimično povećanje z za x i označava se sa . Dakle, .

Slično, dobijamo parcijalni prirast z u odnosu na y: .

Ukupni prirast funkcije z određen je jednakošću .

Ako postoji granica, onda se naziva parcijalni izvod funkcije u tački u odnosu na varijablu x i označava se jednim od simbola:

Parcijalne derivacije u odnosu na x u tački obično se označavaju simbolima .

Parcijalni izvod u odnosu na varijablu y definiran je i označen na sličan način:

Dakle, parcijalni izvod funkcije nekoliko (dvije, tri ili više) varijabli definira se kao derivacija funkcije jedne od ovih varijabli, podložna konstantnosti vrijednosti preostalih nezavisnih varijabli. Zbog toga se parcijalni izvod funkcije pronalaze prema formulama i pravilima za izračunavanje izvoda funkcije jedne varijable (u ovom slučaju, x ili y se smatraju konstantnom vrijednošću).

Parcijalni derivati se također nazivaju parcijalni derivati prvog reda. One se mogu smatrati funkcijama . Ove funkcije mogu imati parcijalne izvode, koje se nazivaju parcijalne derivacije drugog reda. Oni su definisani i označeni na sledeći način:

; ;

; .

Diferencijali 1. i 2. reda funkcije dvije varijable.

Ukupni diferencijal funkcije (formula 2.5) naziva se diferencijal prvog reda.

Formula za izračunavanje ukupnog diferencijala je sljedeća:

(2.5) ili , gdje ,

parcijalni diferencijali funkcije .

Neka funkcija ima kontinuirane parcijalne izvode drugog reda. Diferencijal drugog reda određuje se formulom . Hajde da ga pronađemo:

Odavde: . Simbolično je napisano ovako:

NEODREĐENI INTEGRAL.

Antiderivat funkcije, neodređeni integral, svojstva.

Poziva se funkcija F(x). primitivno za datu funkciju f(x), ako je F"(x)=f(x), ili, što je isto, ako je dF(x)=f(x)dx.

Teorema. Ako funkcija f(x), definirana u nekom intervalu (X) konačne ili beskonačne dužine, ima jedan antiderivat, F(x), tada ima i beskonačno mnogo antiderivata; svi su sadržani u izrazu F(x)+C, gdje je C proizvoljna konstanta.

Skup svih antiderivata za datu funkciju f(x), definiranu u nekom intervalu ili na nekom segmentu konačne ili beskonačne dužine, naziva se neodređeni integral iz funkcije f(x) [ili iz izraza f(x)dx ] i označava se simbolom .

Ako je F(x) jedan od antiderivata za f(x), onda prema teoremi o antiderivatu

, gdje je C proizvoljna konstanta.

Po definiciji antiderivata F"(x)=f(x) i, prema tome, dF(x)=f(x) dx. U formuli (7.1), f(x) se naziva integrand, a f( x) dx se naziva izraz integranda.

Svaki parcijalni derivat (preko x i po y) funkcije dvije varijable je običan izvod funkcije jedne varijable s fiksnom vrijednošću druge varijable:

(gde y= const),

(gde x= const).

Dakle, parcijalni derivati se računaju iz formule i pravila za izračunavanje izvoda funkcija jedne varijable, dok drugu varijablu smatramo konstantom (konstantom).

Ako vam nije potrebna analiza primjera i minimalna teorija potrebna za to, već vam je potrebno samo rješenje vašeg problema, onda prijeđite na online kalkulator parcijalnih derivata .

Ako je teško usredotočiti se na praćenje gdje se konstanta nalazi u funkciji, onda možete zamijeniti bilo koji broj u nacrtu rješenja primjera umjesto varijable s fiksnom vrijednošću - tada možete brzo izračunati parcijalni izvod kao običan derivat funkcije jedne varijable. Potrebno je samo da ne zaboravite da vratite konstantu (promenljivu sa fiksnom vrednošću) na njeno mesto kada završite.

Gore opisano svojstvo parcijalnih izvoda proizlazi iz definicije parcijalnog izvoda, koje se može naći u ispitnim pitanjima. Stoga, da biste se upoznali sa definicijom u nastavku, možete otvoriti teorijsku referencu.

Koncept kontinuiteta funkcije z= f(x, y) u tački definira se slično ovom konceptu za funkciju jedne varijable.

Funkcija z = f(x, y) se naziva kontinuiranim u tački ako

Razlika (2) naziva se ukupni prirast funkcije z(dobija se povećanjem oba argumenta).

Neka funkcija z= f(x, y) i tačka

Ako se funkcija promijeni z javlja se kada se promijeni samo jedan od argumenata, na primjer, x, sa fiksnom vrijednošću drugog argumenta y, tada će funkcija biti povećana

naziva se djelomično povećanje funkcije f(x, y) uključeno x.

S obzirom na promjenu funkcije z ovisno o promjeni samo jednog od argumenata, zapravo prelazimo na funkciju jedne varijable.

Ako postoji konačna granica

tada se naziva parcijalni izvod funkcije f(x, y) argumentom x i označava se jednim od simbola

(4)

Slično je definiran i parcijalni prirast z on y:

i parcijalni derivat f(x, y) uključeno y:

(6)

Primjer 1

Rješenje. Nalazimo parcijalni izvod u odnosu na varijablu "x":

(y fiksno);

Nalazimo parcijalni izvod u odnosu na varijablu "y":

(x fiksno).

Kao što vidite, nije bitno u kojoj meri je varijabla fiksna: u ovom slučaju je samo neki broj koji je faktor (kao u slučaju uobičajenog izvoda) sa varijablom pomoću koje nalazimo parcijalni derivat. Ako se fiksna varijabla ne pomnoži s promjenljivom prema kojoj nalazimo parcijalni izvod, tada ova usamljena konstanta, bez obzira u kojoj mjeri, kao u slučaju običnog izvoda, nestaje.

Primjer 2 Zadata funkcija

Pronađite parcijalne derivate

(po x) i (po y) i izračunajte njihove vrijednosti u tački ALI (1; 2).

Rješenje. Na fiksni y derivacija prvog člana nalazi se kao derivacija funkcije stepena ( tablica derivacijskih funkcija jedne varijable):

Na fiksni x izvod prvog člana nalazi se kao izvod eksponencijalne funkcije, a drugog - kao izvod konstante:

Sada izračunavamo vrijednosti ovih parcijalnih izvoda u tački ALI (1; 2):

Rješenje zadataka s parcijalnim derivatima možete provjeriti na online kalkulator parcijalnih derivata .

Primjer 3 Pronađite parcijalne derivate funkcija

Rješenje. U jednom koraku nalazimo

(y x, kao da je argument sinusa 5 x: na isti način, 5 se pojavljuje ispred znaka funkcije);

(x je fiksna i u ovom slučaju je faktor u y).

Rješenje zadataka s parcijalnim derivatima možete provjeriti na online kalkulator parcijalnih derivata .

Parcijalni izvod funkcije od tri ili više varijabli definiraju se slično.

Ako svaki skup vrijednosti ( x; y; ...; t) nezavisne varijable iz skupa D odgovara jednoj specifičnoj vrijednosti u od mnogih E, onda u naziva se funkcija varijabli x, y, ..., t i označiti u= f(x, y, ..., t).

Za funkcije od tri ili više varijabli ne postoji geometrijska interpretacija.

Također se definiraju i izračunavaju parcijalni derivati funkcije više varijabli pod pretpostavkom da se mijenja samo jedna od nezavisnih varijabli, dok su ostale fiksne.

Primjer 4 Pronađite parcijalne derivate funkcija

Rješenje. y i z popravljeno:

x i z popravljeno:

x i y popravljeno:

Nađite sami parcijalne izvode, a zatim pogledajte rješenja

Primjer 5

Primjer 6 Pronađite parcijalne izvode funkcije.

Parcijalni izvod funkcije nekoliko varijabli ima isto mehaničko značenje kao derivacija funkcije jedne varijable, je brzina kojom se funkcija mijenja u odnosu na promjenu jednog od argumenata.

Primjer 8 količina protoka P putnika željeznice može se izraziti kao funkcija

gdje P- broj putnika, N- broj stanovnika odgovarajućih punktova, R– udaljenost između tačaka.

Parcijalni izvod funkcije P on R jednak

pokazuje da je smanjenje protoka putnika obrnuto proporcionalno kvadratu udaljenosti između odgovarajućih tačaka za isti broj stanovnika u tačkama.

Parcijalni derivat P on N jednak

pokazuje da je povećanje protoka putnika proporcionalno dvostrukom broju stanovnika naselja sa istim rastojanjem između tačaka.

Rješenje zadataka s parcijalnim derivatima možete provjeriti na online kalkulator parcijalnih derivata .

Puni diferencijal

Proizvod parcijalnog izvoda i prirasta odgovarajuće nezavisne varijable naziva se parcijalni diferencijal. Parcijalni diferencijali se označavaju na sljedeći način:

Zbir parcijalnih diferencijala nad svim nezavisnim varijablama daje ukupni diferencijal. Za funkciju dvije nezavisne varijable, ukupni diferencijal je izražen jednakošću

(7)

Primjer 9 Pronađite pun diferencijal funkcije

Rješenje. Rezultat korištenja formule (7):

Funkcija koja ima totalni diferencijal u svakoj tački neke domene naziva se diferencijabilna u toj domeni.

Sami pronađite ukupni diferencijal i onda vidite rješenje

Kao iu slučaju funkcije jedne varijable, diferencijabilnost funkcije u određenom području implicira njen kontinuitet u ovoj regiji, ali ne i obrnuto.

Formulirajmo bez dokaza dovoljan uslov za diferencijabilnost funkcije.

Teorema. Ako je funkcija z= f(x, y) ima kontinuirane parcijalne izvode

u datom regionu, onda je on diferencibilan u ovom regionu i njegov diferencijal se izražava formulom (7).

Može se pokazati da je, baš kao što je u slučaju funkcije jedne varijable, diferencijal funkcije glavni linearni dio prirasta funkcije, tako je i u slučaju funkcije više varijabli ukupni diferencijal glavni, linearan u odnosu na inkremente nezavisnih varijabli, dio ukupnog prirasta funkcije.

Za funkciju od dvije varijable, ukupni prirast funkcije ima oblik

(8)

gdje su α i β beskonačno male za i .

Parcijalni derivati višeg reda

Parcijalne derivacije i funkcije f(x, y) su same neke funkcije istih varijabli i, zauzvrat, mogu imati derivate u odnosu na različite varijable, koje se nazivaju parcijalnim derivatima višeg reda.

Da rezimiramo, koja je razlika između pronalaženja parcijalnih izvoda i pronalaženja "običnih" izvoda funkcije jedne varijable:

1) Kada nađemo parcijalni izvod, onda varijabla smatra konstantom.

2) Kada nađemo parcijalni izvod, onda varijabla smatra konstantom.

3) Pravila i tabela izvedenih elementarnih funkcija su važeća i primjenjiva za bilo koju varijablu ( , ili neki drugi) u odnosu na koje se vrši diferencijacija.

Drugi korak. Nalazimo parcijalne derivate drugog reda. Ima ih četiri.

Oznake:

Ili - drugi izvod u odnosu na "x"

Ili - drugi derivat u odnosu na "y"

Ili - mješovito izvod "u odnosu na x y"

Ili - mješovito derivat "u odnosu na x"

Nema ništa komplikovano u konceptu druge izvedenice. jednostavnim riječima, Drugi izvod je derivat prvog izvoda.

Radi jasnoće, prepisat ću parcijalne derivate prvog reda koji su već pronađeni:

Prvo nalazimo mješovite derivate:

Kao što vidite, sve je jednostavno: uzimamo parcijalni izvod i ponovo ga diferenciramo, ali u ovom slučaju već sa "y".

Slično:

Za praktične primjere, kada su sve parcijalne derivacije kontinuirane, vrijedi sljedeća jednakost:

Dakle, preko mješovitih izvoda drugog reda vrlo je zgodno provjeriti da li smo pravilno pronašli parcijalne izvode prvog reda.

Nalazimo drugi izvod u odnosu na "x".

Nema izuma, pretpostavljamo i ponovo ga razlikovati sa "X":

Slično:

Treba napomenuti da kada pronađete , morate pokazati povećana pažnja, pošto nema čudesnih jednakosti za provjeru.

Primjer 2

Naći parcijalne izvode prvog i drugog reda funkcije

Ovo je primjer za samostalno rješavanje (odgovor na kraju lekcije).

Uz malo iskustva, parcijalne izvedenice iz primjera br. 1, 2 ćete riješiti usmeno.

Pređimo na složenije primjere.

Primjer 3

Provjerite to. Napišite ukupni diferencijal prvog reda.

Rješenje: Nalazimo parcijalne izvode prvog reda:

Obratite pažnju na indeks: pored "x" nije zabranjeno pisati u zagradama da je to konstanta. Ova oznaka može biti vrlo korisna za početnike kako bi se lakše snašli u rješenju.

Dalji komentari:

(1) Izvodimo sve konstante izvan predznaka izvoda. U ovom slučaju, i , i, stoga, njihov proizvod se smatra konstantnim brojem.

(2) Ne zaboravite kako pravilno razlikovati korijene.

(1) Sve konstante uzimamo iz predznaka derivacije, u ovom slučaju konstanta je .

(2) Pod prostim brojem imamo proizvod dvije funkcije, stoga trebamo koristiti pravilo diferencijacije proizvoda .

(3) Ne zaboravite da je to složena funkcija (iako najjednostavnija od složenih). Koristimo odgovarajuće pravilo: .

Sada nalazimo mješovite derivate drugog reda:

To znači da su svi proračuni tačni.

Ukupni diferencijal prvog reda funkcije dvije varijable ima oblik:

U ovom slučaju:

Odnosno, u formuli trebate samo zamijeniti već pronađene parcijalne derivate prvog reda. Diferencijalne ikone iu ovoj i sličnim situacijama, ako je moguće, bolje je pisati brojiocima:

Primjer 4

Pronađite parcijalne izvode prvog reda funkcije . Provjerite to. Napišite ukupni diferencijal prvog reda.

Ovo je "uradi sam" primjer. Kompletno rješenje i primjer dizajna problema nalaze se na kraju lekcije.

Razmotrite niz primjera koji uključuju složene funkcije.

Primjer 5

(1) Primjenjujemo pravilo diferencijacije kompleksne funkcije . Sa lekcije Derivat složene funkcije treba imati na umu vrlo važnu stvar: kada sinus (vanjsku funkciju) pretvorimo u kosinus prema tabeli, tada imamo investiciju (unutarnju funkciju) se ne mijenja.

(2) Ovdje koristimo svojstvo korijena: , uzimamo konstantu iz predznaka derivacije i predstavljamo korijen u obliku potrebnom za diferencijaciju.

Slično:

Zapisujemo ukupni diferencijal prvog reda:

Primjer 6

Pronađite parcijalne izvode prvog reda funkcije .

Zapišite ukupni diferencijal.

Ovo je primjer za samostalno rješavanje (odgovor na kraju lekcije). Neću objavljivati kompletno rješenje jer je prilično jednostavno.

Često se sva gore navedena pravila primjenjuju u kombinaciji.

Primjer 7

Pronađite parcijalne izvode prvog reda funkcije .

(1) Koristimo pravilo diferenciranja zbira.

(2) Prvi član se u ovom slučaju smatra konstantom, jer u izrazu nema ničega što zavisi od "x" - samo "y".

(Znate, uvijek je lijepo kada razlomak možete pretvoriti u nulu.)

Za drugi termin primjenjujemo pravilo diferencijacije proizvoda. Usput, ništa se ne bi promijenilo u algoritmu da se umjesto nje zada funkcija - važno je da ovdje imamo proizvod dvije funkcije, od kojih SVAKA ovisi o "x", tako da morate koristiti pravilo diferencijacije proizvoda. Za treći član primjenjujemo pravilo diferencijacije složene funkcije.

Razmatraju se primjeri izračunavanja izvoda eksplicitnih funkcija višeg reda. Date su korisne formule za izračunavanje izvoda n-tog reda.

Sadržaj

Definicija derivata višeg reda

Ovdje razmatramo slučaj kada varijabla y eksplicitno zavisi od varijable x:
.
Diferencirajući funkciju u odnosu na varijablu x, dobijamo izvod prvog reda, ili samo izvod:
.
Kao rezultat, dobijamo novu funkciju, koja je derivacija funkcije. Diferencirajući ovu novu funkciju u odnosu na varijablu x, dobijamo izvod drugog reda:
.
Diferencirajući funkciju, dobijamo derivaciju trećeg reda:
.
I tako dalje. Diferencirajući originalnu funkciju n puta, dobijamo izvod n-tog reda ili n-ti izvod:
.

Derivati se mogu označiti potezi, rimski brojevi, arapski brojevi u zagradama ili razlomci iz diferencijala. Na primjer, derivati trećeg i četvrtog reda mogu se označiti na sljedeći način:
;
.

Ispod su formule koje mogu biti korisne u izračunavanju derivata višeg reda.

Korisne formule za derivate n-tog reda

Derivati nekih elementarnih funkcija:
;
;
;
;
.

Derivat zbira funkcija:
,
gdje su konstante.

Leibnizova formula derivacija proizvoda dviju funkcija:
,
gdje
su binomni koeficijenti.

Primjer 1

Pronađite prvi i drugi izvod sljedeće funkcije:
.

Nalazimo derivaciju prvog reda. Konstantu uzimamo iz predznaka derivacije i primjenjujemo formulu iz tabele derivacija:
.
Primjenjujemo pravilo diferencijacije kompleksne funkcije:
.
Evo.
Primjenjujemo pravilo diferencijacije kompleksne funkcije i koristimo pronađene derivacije:
.
Evo.

.
Da bismo pronašli izvod drugog reda, moramo pronaći izvod izvoda prvog reda, odnosno funkcije:
.
Kako ne bismo bili zbunjeni s notacijom, ovu funkciju označavamo slovom:
(P1.1) .
Onda derivat drugog reda iz originalne funkcije je derivacija funkcije:
.

Nalazimo derivaciju funkcije. To je lakše učiniti s logaritamskim izvodom. We logaritam (A1.1):
.
Sada razlikujemo:
(P1.2) .
Ali to je konstanta. Njegov izvod je nula. Već smo pronašli derivat od . Ostale derivacije nalazimo prema pravilu diferencijacije kompleksne funkcije.
;
;
.
Zamjena u (A1.2):

.
Odavde
.

;
.

Primjer 2

Pronađite izvod trećeg reda:
.

Nalazimo derivaciju prvog reda. Da bismo to učinili, uzimamo konstantu iz predznaka derivacije, koristimo tabela derivata i prijavite se pravilo za pronalaženje derivacije kompleksne funkcije .

.
Evo.
Dakle, pronašli smo izvod prvog reda:
.

Nalazimo derivaciju drugog reda. Da bismo to učinili, nalazimo derivaciju od . Primjenjujemo formulu za derivaciju razlomka.
.
Izvod drugog reda:
.

Sada nalazimo ono što tražimo derivat trećeg reda. Da bismo to učinili, razlikujemo.
;
;

.

Izvod trećeg reda je
.

Primjer 3

Pronađite šesti izvod sljedeće funkcije:
.

Ako otvorite zagrade, bit će jasno da je originalna funkcija polinom stepena . Zapisujemo to kao polinom:
,
gdje - konstantni koeficijenti.

Sljedeća prijava n-ta formula izvod funkcije stepena:
.
Za izvod šestog reda (n = 6 ) imamo:
.
Iz ovoga je jasno da na . kada imamo:
.

Koristimo formulu za derivaciju zbira funkcija:

.
Dakle, da bismo pronašli šesti izvod originalne funkcije, potrebno je samo pronaći koeficijent polinoma na najvišem stepenu. Nalazimo ga množenjem najviših potencija u umnošku sume originalne funkcije:

.
Odavde. Onda
.

Primjer 4

Naći n-ti izvod funkcije
.

Rješenje >>>

Primjer 5

Pronađite n-tu derivaciju sljedeće funkcije:
,
gdje i su konstante.

U ovom primjeru, proračuni se praktično izvode pomoću kompleksnih brojeva. Neka imamo neku složenu funkciju
(P5.1) ,
gdje su i funkcije realne varijable x;
- imaginarna jedinica, .
Diferencirajući (A.1) n puta, imamo:
(P5.2) .
Ponekad je lakše pronaći n-ti izvod funkcije. Tada su n-ti izvodi funkcija i definirani kao realni i imaginarni dijelovi n-te derivacije:
;
.

Koristimo ovu tehniku da riješimo naš primjer. Razmotrite funkciju
.
Ovdje smo se prijavili Ojlerova formula
,
i uveo notaciju
.
Tada je n-ti izvod originalne funkcije određen formulom:
.

Naći n-ti izvod funkcije
.
Da biste to učinili, primijenite formulu:
.
U našem slučaju
.
Onda
.

Dakle, pronašli smo n-ti izvod kompleksne funkcije:
,
gdje .
Nađimo pravi dio funkcije.
Da bismo to učinili, predstavljamo kompleksni broj u eksponencijalnom obliku:
,
gdje ;
; .
Onda
;

.

Primjer rješenja
.

Neka , .
Onda ;
.
u ,
,
,
.
I dobijamo formulu za n-tu derivaciju kosinusa:
.

,
gdje
; .