(Obratite pažnju na dodatni odjeljak od 06.04.2017. na kraju članka.)

Računovodstvo i kontrola! Oni stariji od 40 godina trebali bi dobro zapamtiti ovaj slogan iz doba izgradnje socijalizma i komunizma u našoj zemlji.

Ali bez dobro uspostavljenog računovodstva nemoguće je efikasno funkcionisanje ni države, ni regiona, ni preduzeća, ni domaćinstva u bilo kojoj društveno-ekonomskoj formaciji društva! Za izradu prognoza i planova aktivnosti i razvoja potrebni su početni podaci. Gdje ih odvesti? Samo jedan pouzdan izvor je tvoje statistički računovodstveni podaci prethodnih vremenskih perioda.

Uzimati u obzir rezultate svojih aktivnosti, prikupljati i evidentirati informacije, obraditi i analizirati podatke, primjenjivati ​​rezultate analize za donošenje ispravnih odluka u budućnosti, po mom razumijevanju, svaka zdrava osoba bi trebala. To nije ništa drugo do akumulacija i racionalno korišćenje njegov životno iskustvo. Ako ne vodite evidenciju važnih podataka, onda vi određenom periodu vremenom ćete ih zaboraviti i, počevši ponovo da se bavite ovim problemima, ponovo ćete praviti iste greške koje ste učinili kada ste se prvi put bavili ovim.

“Sjećam se da smo prije 5 godina pravili i do 1000 komada takvih proizvoda mjesečno, a sada jedva skupimo i 700!” Otvaramo statistiku i vidimo da prije 5 godina nije napravljeno ni 500 komada...

“Koliko košta kilometar vašeg automobila, uzimajući u obzir sve troškovi?" Otvaramo statistiku - 6 rubalja / km. Put na posao - 107 rubalja. Jeftinije od taksija (180 rubalja) više od jedan i po puta. A bilo je trenutaka kada je taksi bio jeftiniji...

„Koliko je vremena potrebno za izradu metalnih konstrukcija za ugaoni komunikacioni toranj visok 50 m?“ Otvaramo statistiku - i za 5 minuta odgovor je spreman...

“Koliko će koštati renoviranje sobe u stanu?” Podižemo staru evidenciju, usklađujemo inflaciju u proteklim godinama, uzimamo u obzir da smo zadnji put kupovali materijale 10% jeftinije od tržišne i - već znamo procijenjenu cijenu...

Vođenje evidencije o vašim profesionalna aktivnost, uvek ćete biti spremni da odgovorite na šefovo pitanje: „Kada!!!???“. Vođenje evidencije o domaćinstvu olakšava planiranje velikih kupovina, odmora i drugih troškova u budućnosti poduzimanjem odgovarajućih radnji za zaradu dodatnog novca ili smanjenje nebitnih troškova danas.

U ovom članku ću na jednostavnom primjeru pokazati kako se prikupljeni statistički podaci mogu obraditi u Excel-u za dalju upotrebu u predviđanju budućih perioda.

Aproksimacija statističkih podataka u Excelu analitičkom funkcijom.

U proizvodnom pogonu se izrađuju građevinske metalne konstrukcije od lima i profilnih metalnih proizvoda. Stranica radi stabilno, narudžbe su iste vrste, broj radnika neznatno varira. Postoje podaci o proizvodnji proizvoda za prethodnih 12 mjeseci io količini valjanog metala prerađenog u ovim vremenskim periodima po grupama: limovi, I-grede, kanali, uglovi, okrugle cijevi, pravougaoni profili, okrugli valjani proizvodi. Nakon preliminarne analize početnih podataka, nastala je pretpostavka da ukupna mjesečna proizvodnja metalnih konstrukcija značajno ovisi o broju kutova u narudžbi. Provjerimo ovu pretpostavku.

Prije svega, nekoliko riječi o aproksimaciji. Tražit ćemo zakon – analitičku funkciju, odnosno funkciju dato jednačinom, koji bolje od ostalih opisuje ovisnost ukupne proizvodnje metalnih konstrukcija o broju kutnih šipki u izvršenim narudžbama. Ovo je aproksimacija, a pronađena jednačina se zove aproksimirajuća funkcija za originalnu funkciju, datu u obliku tabele.

1. Uključujemo Excel i postavljamo tabelu sa statističkim podacima na list.

2. Zatim gradimo i formatiramo dijagram raspršenja, u kojem postavljamo vrijednosti argumenata duž X osi - broj obrađenih uglova u tonama. Na osi Y iscrtavamo vrijednosti izvorne funkcije - ukupnu proizvodnju metalnih konstrukcija mjesečno, datu tablicom.

3. “Pređite” mišem preko bilo koje tačke na grafikonu i kliknite desnim tasterom miša da biste pozvali kontekstni meni (kao što kaže jedan od mojih dobrih prijatelja, kada radite u nepoznatom programu, kada ne znate šta da radite, zar ne -klikni češće...). U padajućem izborniku odaberite "Dodaj liniju trenda...".

4. U prozoru "Trend line" koji se pojavi, na kartici "Type" odaberite "Linear".

6. Na grafikonu se pojavila ravna linija, aproksimirajući našu tabelarnu zavisnost.

Pored same linije, vidimo jednačinu ove linije i, što je najvažnije, vidimo vrijednost parametra R 2 - veličinu pouzdanosti aproksimacije! Što je njena vrijednost bliža 1, odabrana funkcija točnije aproksimira tabelarne podatke!

7. Mi gradimo linije trenda koristeći stepene, logaritamske, eksponencijalne i polinomske aproksimacije na isti način kao što smo izgradili linearnu liniju trenda.

Polinom drugog stepena najbolje od svih odabranih funkcija aproksimira naše podatke, ima maksimalni koeficijent pouzdanosti R 2 .

Međutim, želim da vas upozorim! Ako uzmete polinome viših stupnjeva, vjerovatno ćete dobiti još bolje rezultate, ali krive će izgledati zamršeno... Ovdje je važno shvatiti da tražimo funkciju koja ima fizičko značenje. Šta to znači? To znači da nam je potrebna aproksimirajuća funkcija koja će dati adekvatne rezultate ne samo unutar razmatranog raspona vrijednosti X, već i izvan njega, odnosno da će odgovoriti na pitanje: „Kakav će biti izlaz metalnih konstrukcija ako se broj uglova obrađenih mjesečno je manje od 45 i više od 168 tona! Stoga ne preporučujem da se zanosite polinomima visokog stepena i pažljivo birajte parabolu (polinom drugog stepena)!

Dakle, trebamo odabrati funkciju koja ne samo da dobro interpolira tabelarne podatke unutar raspona vrijednosti X=45…168, već i omogućava adekvatnu ekstrapolaciju izvan ovog raspona. Ja biram u ovom slučaju logaritamsku funkciju, iako možete odabrati linearnu, kao najjednostavniju. U primjeru koji se razmatra, prilikom odabira linearne aproksimacije u excelu, greške će biti veće nego kod odabira logaritamske, ali ne mnogo.

8. Uklanjamo sve linije trenda iz polja grafikona, osim logaritamske funkcije. Da biste to učinili, desnom tipkom miša kliknite nepotrebne linije i odaberite "Obriši" u padajućem kontekstnom izborniku.

9. Na kraju, dodajemo trake grešaka u tabelarne podatke. Da biste to uradili, kliknite desnim tasterom miša na bilo koju tačku na grafikonu i izaberite "Format serije podataka..." u kontekstualnom meniju i konfigurišite podatke na kartici "Y-greške" kao što je prikazano na slici ispod.

10. Zatim desnom tipkom miša kliknemo na bilo koju od linija raspona grešaka, u kontekstnom izborniku odaberemo "Format traka grešaka..." i u prozoru "Format traka grešaka" na kartici "Prikaz", prilagodimo boju i debljinu od linija.

Svi drugi objekti grafikona formatirani su na isti način.excel!

Konačni rezultat grafikona predstavljen je na sljedećem snimku ekrana.

Rezultati.

Rezultat svih prethodnih radnji bila je rezultirajuća formula za aproksimirajuću funkciju y=-172,01*ln (x)+1188,2. Znajući to, kao i broj uglova u mesečnom skupu radova, moguće je sa velikim stepenom verovatnoće (± 4% - vidi trake grešaka) predvideti ukupnu proizvodnju metalnih konstrukcija za mesec! Na primjer, ako je u mjesečnom planu 140 tona uglova, onda će ukupna proizvodnja, pod svim ostalim jednakim uslovima, najvjerovatnije biti 338 ± 14 tona.

Da bi se povećala pouzdanost aproksimacije, trebalo bi da postoji mnogo statističkih podataka. Dvanaest parova vrijednosti nije dovoljno.

Iz prakse ću reći da pronalaženje aproksimativne funkcije sa koeficijentom pouzdanosti R 2 >0,87 treba smatrati dobrim rezultatom. Odličan rezultat - na R 2 >0,94.

U praksi može biti teško izdvojiti jedan najvažniji odlučujući faktor (u našem primjeru, masa uglova recikliranih za mjesec dana), ali ako pokušate, uvijek ga možete pronaći u svakom konkretnom zadatku! Naravno, ukupna mjesečna proizvodnja zaista ovisi o stotinama faktora, koji zahtijevaju značajne inpute rada od onih koji određuju stope i drugih stručnjaka koje treba uzeti u obzir. Samo će rezultat i dalje biti približan! Pa da li se isplati snositi troškove kada postoji mnogo jeftinije matematičko modeliranje!

U ovom članku sam dotaknuo samo vrh ledenog brega koji se zove prikupljanje, obrada i praktična upotreba statističkih podataka. Bez obzira da li sam uspeo ili ne, izazivam vaše interesovanje za ovu temu, nadam se da ću naučiti iz komentara i ocene članka na pretraživačima.

Dotaknuto pitanje aproksimacije funkcije jedne varijable ima široku praktičnu primjenu u različitim sferama života. Ali rješenje problema aproksimacije funkcije ima mnogo veću primjenu nekoliko nezavisnih varijable…. Pročitajte o ovome i više u sljedećim blog postovima.

Pretplatite se na najave članaka u prozoru koji se nalazi na kraju svakog članka ili u prozoru na vrhu stranice.

Nemoj zaboraviti potvrditi pretplate klikom na link u pismu koje će vam stići na navedenu poštu (može doći u fascikli « Neželjena pošta » )!!!

Sa zanimanjem ću čitati vaše komentare, dragi čitaoci! Pisati!

P.S. (06.04.2017.)

Vrlo precizna i lijepa zamjena tabelarnih podataka jednostavnom jednadžbom.

Niste zadovoljni dobijenom preciznošću aproksimacije (R 2<0,95) или вид и набор функций, предлагаемые MS Excel?

Da li dimenzije izraza i oblik linije aproksimirajućeg polinoma visokog stepena nisu prijatni za oko?

Pogledajte stranicu " " za precizniji i kompaktniji rezultat uklapanja vaših tabličnih podataka i kako biste naučili jednostavnu tehniku ​​rješavanja problema visoke preciznosti aproksimacije funkcijom jedne varijable.

Koristeći predloženi algoritam akcija, pronađena je vrlo kompaktna funkcija koja daje najveću tačnost aproksimacije: R 2 =0,9963!!!

Aproksimacija nelinearne funkcije

x 0 /12 /6 /4 /3 5/12 /2

y 0,5 0,483 0,433 0,354 0,25 0,129 0

Pošto je interval cijepanja funkcije jednak, izračunavamo sljedeće koeficijente nagiba odgovarajućih dijelova funkcije koja se aproksimira:

1. Građevinski blokovi za formiranje segmenata aproksimirajuće funkcije

Formiranje vremenske funkcije

Interval promjene:

Vrijeme cikličkog ponovnog pokretanja: T = 1s

Sada modelirajmo funkciju:

Aproksimacija

Slika 3.1 – Šema za rješavanje jednačine

Slika 3.2 - Blok dijagram formiranja nelinearne funkcije

Tako se automatski formira lijeva strana jednačine. U ovom slučaju se uslovno smatra da je najveći izvod x// poznat, pošto su članovi desne strane jednačine poznati i mogu se povezati na ulaze Y1 (slika 3.1). Operativno pojačalo U3 djeluje kao inverter +x signala. Za simulaciju x// potrebno je u kolo uvesti još jedno subsumirajuće pojačalo, na čije je ulaze potrebno primijeniti signale koji simuliraju desnu stranu jednačine (3.2).

Skala svih varijabli se izračunava, uzimajući u obzir da je maksimalna vrijednost mašinske varijable iza apsolutne vrijednosti 10 V:

Mx = 10 / xmax; Mx/ = 10 / x/max; Mx// = 10 / x //max;

My = 10 / ymax. (3.3)

Vremenska skala je Mt = T / tmax = 1, pošto se simulacija problema izvodi u realnom vremenu.

Koeficijenti prijenosa se izračunavaju za svaki ulaz integrirajućih pojačala.

Za U1 pojačalo, koeficijenti prijenosa su iza formula:

K11 = Mx/b/(MyMt); K12 = Mx/ a2 / (MxMt);

K13 = Mx/ a1 / (MxMt). (3.4)

Za pojačalo U2:

K21 = Mx/ / (Mx/ Mt), (3,5)

i za pojačalo U3:

K31 = 1. (3.6)

Naponi početnih uslova izračunavaju se pomoću formula:

ux/ (0) = Mx/ x/ (0) (-1); ux(0)= Mxx(0) (+1). (3.7)

Desna strana jednačine (3.2) predstavljena je nelinearnom funkcijom, koja je data linearnom aproksimacijom. U tom slučaju potrebno je provjeriti da greška aproksimacije ne prelazi navedenu vrijednost. Blok dijagram formiranja nelinearne funkcije prikazan je na slici 3.2.

Opis dijagrama strujnog kola

Generatorska jedinica vremenske funkcije (F) je napravljena u obliku jednog (da formira t) ili dva serijski povezana (da formira t2) integrirajuća pojačala sa nultim početnim uvjetima.

U ovom slučaju, kada se signal U primeni na ulaz prvog integratora, na njegovom izlazu dobijamo:

u1(t)= - K11 = - K11Et. (3.8)

Postavljanjem K11E=1, imamo u1(t)= t.

Na izlazu drugog integratora dobijamo:

u2(t)= K21 = K11K21Et2 / 2 (3.9)

Postavljajući K11K21E/2 = 1, imamo u2(t)= t2.

Blokovi za formiranje segmenata aproksimirajuće funkcije implementirani su u obliku diodnih blokova nelinearnih funkcija (DBNF), čija je ulazna vrijednost funkcija vremena t ili t2. Dat je postupak za izračunavanje i konstruisanje DBNF-a.

Sabirač (SAD) segmenata aproksimirajuće funkcije je implementiran kao diferencijalno finalno pojačalo.

Početni uslovi za integratore kola za modeliranje uvode se pomoću čvora sa promjenjivom strukturom (slika 3.3). Ova shema može raditi na dva načina:

a) integracija - kada je ključ K u poziciji 1. U ovom slučaju, početni signal kola se s dovoljnom tačnošću opisuje jednadžbom idealnog integratora:

u1(t)= - (1 / RC) . (3.10)

Ovaj način se koristi prilikom modeliranja zadatka. Da biste provjerili ispravnost izbora parametara R i C integratora, provjerite vrijednost početnog napona integratora u funkciji vremena i korisnog vremena integracije unutar dozvoljene greške?

Vrijednost početnog napona integratora

U(t)= - KYE (1 - e - T / [(Ky+1)RC) (3.11)

tokom vremena simulacije T kada se integriše ulazni signal E pomoću operacionog pojačala sa pojačanjem Ky bez povratne petlje, ne smije premašiti vrijednost mašinske varijable (10 V).

Vrijeme integracije

Ti \u003d 2RC (Ku + 1)? Uadd (3.12)

za odabrane parametre kola ne bi trebalo biti manje od vremena simulacije T.

b) postavljanje početnih uslova se implementira kada je ključ K postavljen na poziciju 2. Ovaj način se koristi kada se priprema krug za modeliranje za proces rješenja. U ovom slučaju, početni signal kola je opisan jednadžbom:

u0(t)= - (R2 /R1) E (3.13)

gdje je u0(t) vrijednost početnih uslova.

Da bi se smanjilo vrijeme formiranja početnih uvjeta i osigurao pouzdan rad, parametri kola moraju zadovoljiti uvjet: R1C1 = R2C.

Napravite kompletnu šemu proračuna. U ovom slučaju treba koristiti konvencije date u pododjeljku 3.1.

Koristeći kapacitet ulaznih i izvornih podataka, konstruirajte šematske dijagrame blokova B1 i B2 i povežite ih sa PC blokom.

Neka se kao rezultat mjerenja u toku eksperimenta dobije tabelarno zadavanje neke funkcije f(x), izražavajući odnos između dva geografska parametra:

Naravno, primjenom metode interpolacije moguće je pronaći formulu koja analitički izražava ovu zavisnost. Međutim, podudarnost vrijednosti dobivene analitičke specifikacije funkcije na interpolacijskim čvorovima s dostupnim empirijskim podacima često ne znači podudarnost ponašanja izvorne i interpolirajuće funkcije u cijelom intervalu promatranja. Osim toga, tabelarna zavisnost geografskih pokazatelja uvijek se dobija kao rezultat mjerenja različitim instrumentima koji imaju određenu i ne uvijek dovoljno malu grešku mjerenja. Zahtjev da se vrijednosti aproksimirajuće i aproksimirajuće funkcije u čvorovima točno poklapaju je tim više neopravdan ako vrijednosti funkcije f(x), dobiveni kao rezultat mjerenja su sami po sebi približni.

Zadatak aproksimacije funkcije jedne varijable od samog početka nužno uzima u obzir prirodu ponašanja izvorne funkcije u cijelom intervalu promatranja. Formulacija zadatka je sljedeća. Funkcija y= f(x) dato tabelom (1). Potrebno je pronaći funkciju datog tipa:

koji je na tačkama x 1 , x 2 , …, x n uzima vrijednosti što je moguće bliže tablici y 1 , y 2 , …, y n .

U praksi se tip aproksimirajuće funkcije najčešće određuje poređenjem tipa aproksimativne grafike funkcije y= f(x) sa grafovima funkcija poznatih istraživaču, date analitički (najčešće elementarne funkcije jednostavne forme). Naime, prema tabeli (1) konstruisan je dijagram raspršenja f(x), zatim se crta glatka kriva, koja najbolje odražava prirodu lokacije tačaka. Prema tako dobijenoj krivulji, oblik aproksimirajuće funkcije se uspostavlja na kvalitativnom nivou.

Razmotrite sliku 6.

Slika 6 prikazuje tri situacije:

• Na grafikonu (a) odnos X i at blizu linearnog; prava linija je ovde blizu tačaka posmatranja, a ove potonje odstupaju od nje samo kao rezultat relativno malih slučajnih uticaja.
• Na grafikonu (b) stvarni odnos između vrijednosti X i at je opisan nelinearnom funkcijom, i bez obzira koju pravu liniju povučemo, odstupanje tačaka posmatranja od nje će biti značajno i neslučajno. Istovremeno, nacrtana grana parabole prilično dobro odražava prirodu odnosa između veličina.
• Na grafikonu (c) postoji jasna veza između varijabli X i at nedostaje; koju god formulu relacije odabrali, rezultati njene parametrizacije ovdje će biti neuspješni. Konkretno, obje odabrane linije su podjednako loše za donošenje zaključaka o očekivanim vrijednostima varijable at po varijabilnim vrijednostima X.

Treba napomenuti da se striktna funkcionalna ovisnost za tablicu početnih podataka rijetko uočava, jer svaka od veličina koja u njoj učestvuje može ovisiti o mnogim slučajnim faktorima. Međutim, formula (2) (naziva se empirijska formula ili jednačina regresije at na X) je zanimljiv jer vam omogućava da pronađete vrijednosti funkcije f za netabelarne vrijednosti X, "uglađivanje" rezultata mjerenja količine at, tj. tokom celog intervala promene X. Opravdanje za takav pristup u konačnici je određeno praktičnom korisnošću rezultirajuće formule.

Kroz postojeći „oblak“ tačaka uvek možete pokušati da nacrtate liniju utvrđenog tipa, koja je u izvesnom smislu najbolja među svim linijama ovog tipa, odnosno „najbliža“ tačkama posmatranja u njihovim totalitet. Da bismo to učinili, prvo definiramo koncept blizine prave određenom skupu tačaka na ravni. Mjere takve bliskosti mogu biti različite. Međutim, svaka razumna mjera očito mora biti povezana s udaljenosti od tačaka posmatranja do dotične linije (dato jednadžbom y=F(x)).

Pretpostavimo da je aproksimirajuća funkcija F(x) u tačkama x 1, x 2, ..., x n stvar y 1 , y 2 , ..., y n. Često se kao kriterijum bliskosti koristi minimum zbira kvadrata razlika opažanja zavisne varijable. y i i teorijske vrijednosti izračunate regresijskom jednadžbom y i. Ovdje se to smatra y i i x i su poznati podaci opservacije, i F- jednadžba regresijske linije sa nepoznatim parametrima (formule za njihov proračun će biti date u nastavku). Metoda procjene parametara aproksimirajuće funkcije, koja minimizira zbir kvadrata odstupanja opažanja zavisne varijable od vrijednosti željene funkcije, naziva se najmanje kvadrati (LSM) ili Metoda najmanjeg kvadrata (LS).

Dakle, problem aproksimacije funkcije f sada se može formulirati na sljedeći način: za funkciju f datoj tablicom (1), pronađite funkciju F određenog oblika tako da je zbir kvadrata F najmanji.

Razmotrimo metodu za pronalaženje aproksimativne funkcije u opšti pogled na primjeru aproksimirajuće funkcije sa tri parametra:

(3)

Neka F(x i , a, b, c) = y i , i=1, 2, ..., n. Zbir kvadrata razlika odgovarajućih vrijednosti f i F izgledat će ovako:

Ovaj zbir je funkcija F (a, b, c) tri varijable (parametri a, b i c). Problem je pronaći njegov minimum. Koristimo neophodan ekstremni uslov:

Dobijamo sistem za određivanje nepoznatih parametara a, b, c.

(5)

Nakon što je riješio ovaj sistem od tri jednačine sa tri nepoznanice u odnosu na parametre a, b, c, dobijamo specifičan oblik željene funkcije F(x, a, b, c). Kao što se može vidjeti iz razmatranog primjera, promjena broja parametara neće dovesti do narušavanja suštine samog pristupa, već će se izraziti samo u promjeni broja jednačina u sistemu (5).

Prirodno je očekivati ​​da će vrijednosti pronađene funkcije F(x, a, b, c) u tačkama x 1, x 2, ..., x n, će se razlikovati od vrijednosti u tabeli y 1 , y 2 , ..., y n. Vrijednosti razlike y i -F(x i ,a, b, c)=e i (i=1, 2, ..., n) nazivaju se odstupanja izmjerenih vrijednosti y od onih izračunatih po formuli (3). Za pronađenu empirijsku formulu (2), u skladu sa originalnom tablicom (1), može se, dakle, pronaći

zbir kvadrata odstupanja, koji bi, u skladu sa metodom najmanjih kvadrata, za dati tip aproksimativne funkcije (i pronađene vrijednosti parametara) trebao biti najmanji. Od dvije različite aproksimacije iste tablične funkcije, slijedeći metodu najmanjih kvadrata, najboljom treba smatrati onu za koju zbir (4) ima najmanju vrijednost.

U eksperimentalnoj praksi, kao aproksimirajuće funkcije, ovisno o prirodi dijagrama raspršenja fČesto se koriste aproksimativne funkcije sa dva parametra:

Očigledno, kada se uspostavi oblik aproksimirajuće funkcije, problem se svodi samo na pronalaženje vrijednosti parametara.

Razmotrimo najčešće empirijske zavisnosti u praktičnim istraživanjima.

3.3.1. Linearna funkcija (linearna regresija). Polazna tačka za analizu zavisnosti je obično evaluacija linearne zavisnosti varijabli. Treba, međutim, uzeti u obzir da "najbolja" prava linija prema metodi najmanjih kvadrata uvijek postoji, ali ni najbolja nije uvijek dovoljno dobra. Ako je u stvarnosti ovisnost y=f(x) je kvadratna, onda je nijedna linearna funkcija ne može adekvatno opisati, iako među svim takvim funkcijama nužno postoji "najbolja". Ako količine X i at uopšte nije povezano, takođe uvek možemo pronaći "najbolju" linearnu funkciju y=ax+b za dati skup zapažanja, ali u ovom slučaju specifične vrijednosti a i b određene su samo slučajnim odstupanjima varijabli i same će se jako razlikovati za različite uzorke iz iste opće populacije.

Razmotrimo sada formalnije problem procjene koeficijenata linearne regresije. Pretpostavimo da je odnos između x i y je linearna i željena aproksimirajuća funkcija će se tražiti u obliku:

Nađimo parcijalne derivate u odnosu na parametre:

Zamenimo dobijene relacije u sistem oblika (5):

ili, dijeleći svaku jednačinu sa n:

Hajde da uvedemo notaciju:

(7)

Tada će konačni sistem izgledati ovako:

(8)

Koeficijenti ovog sistema M x , M y , M xy , M x 2 su brojevi koji se u svakom konkretnom aproksimacijskom problemu mogu lako izračunati korištenjem formula (7), gdje je x i , y i- vrijednosti iz tabele (1). Rješavajući sistem (8), dobijamo vrijednosti parametara a i b, a samim tim i specifičan oblik linearne funkcije (6).

Neophodan uslov za odabir linearne funkcije kao željene empirijske formule je omjer:

3.3.2. Kvadratna funkcija (kvadratna regresija). Tražit ćemo aproksimirajuću funkciju u obliku kvadratnog trinoma:

Nalazimo parcijalne derivate:

Sastavimo sistem oblika (5):

Nakon jednostavnih transformacija dobija se sistem od tri linearne jednadžbe sa tri nepoznate a, b, c. Koeficijenti sistema, kao iu slučaju linearne funkcije, izražavaju se samo kroz poznate podatke iz tabele (1):

(10)

Ovdje se koristi notacija (7), kao i

Rješenje sistema (10) daje vrijednost parametara a, b i With za aproksimirajuću funkciju (9).

Kvadratna regresija se primjenjuje ako su svi izrazi u obliku y 2 -2y 1 + y 0 , y 3 -2 y 2 + y 1 , y 4 -2 y 3 + y 2 itd. malo različiti jedno od drugog.

3.3.3. Funkcija snage (geometrijska regresija). Sada pronađimo aproksimirajuću funkciju u obliku:

(11)

Pod pretpostavkom da su u originalnoj tablici (1) vrijednosti argumenta i vrijednosti funkcije pozitivne, uzimamo logaritam jednakosti (11) pod uvjetom a>0:

Od funkcije F je aproksimacija za funkciju f, funkcija lnFće biti aproksimativno za funkciju lnf. Hajde da uvedemo novu varijablu u=lnx; tada, kako slijedi iz (12), lnFće biti funkcija od u: F(u).

Označite

Sada jednakost (12) poprima oblik:

one. problem se sveo na pronalaženje aproksimativne funkcije u obliku linearne. U praksi, da bismo pronašli željenu aproksimirajuću funkciju u obliku funkcije stepena (pod pretpostavkama gore navedenim), potrebno je učiniti sljedeće:

1. prema ovoj tabeli (1), kreirati novu tabelu uzimajući logaritam vrednosti x i y u originalnoj tabeli;

2. prema novoj tabeli pronaći parametre ALI i AT aproksimirajuća funkcija oblika (14);

3. Koristeći oznaku (13), pronađite vrijednosti parametara a i m i zamijenimo ih u izraz (11).

Neophodan uslov za izbor funkcije stepena kao željene empirijske formule je omjer:

3.3.4. Eksponencijalna funkcija . Neka originalna tabela (1) bude takva da je preporučljivo tražiti funkciju aproksimacije u obliku eksponencijalne funkcije:

Uzmimo logaritam jednakosti (15):

(16)

Nakon usvajanja zapisa (13), prepisujemo (16) u obliku:

(17)

Dakle, da biste pronašli aproksimirajuću funkciju u obliku (15), potrebno je uzeti logaritam vrijednosti funkcije u originalnoj tablici (1) i, uzimajući ih u obzir zajedno s početnim vrijednostima argumenta, konstruirati aproksimirajuća funkcija oblika (17) za novu tablicu. Nakon toga, u skladu s notacijom (13), ostaje dobiti vrijednosti željenih parametara a i b i zamijenimo ih u formulu (15).

Neophodan uslov za izbor eksponencijalne funkcije kao željene empirijske formule je omjer:

.

3.3.5. Frakcijska linearna funkcija. Tražit ćemo aproksimirajuću funkciju u obliku:

(18)

Jednakost (18) se može prepisati na sljedeći način:

Iz posljednje jednakosti slijedi da bi se pronašle vrijednosti parametara a i b prema datoj tabeli (1), potrebno je sastaviti novu tabelu, u kojoj vrednosti argumenata ostaju iste, a vrednosti funkcije se zamenjuju recipročnim vrednostima, nakon čega se za rezultujuću tabelu pronalazi aproksimirajuća funkcija forme ax+b. Pronađene vrijednosti parametara a i b zamijeniti u formulu (18).

Neophodan uslov za izbor linearno-frakcione funkcije kao željene empirijske formule je relacija:

.

3.3.6. Logaritamska funkcija. Neka aproksimirajuća funkcija izgleda ovako:

Lako je vidjeti da je za prelazak na linearnu funkciju dovoljno izvršiti zamjenu lnx=u. Iz ovoga slijedi da bi se pronašle vrijednosti a i b potrebno je uzeti logaritam vrijednosti argumenta u originalnoj tablici (1) i, uzimajući u obzir dobivene vrijednosti u sprezi s originalnim vrijednostima funkcije, pronaći aproksimirajuću funkciju u obliku linearni za tako dobijenu novu tablicu. Odds a i b pronađene funkcije, zamijenite je u formulu (19).

Neophodan uslov za odabir logaritamske funkcije kao željene empirijske formule je omjer:

.

3.3.7. Hiperbola. Ako dijagram raspršenja, izgrađen prema tabeli (1), daje granu hiperbole, aproksimirajuća funkcija se može tražiti u obliku.

Među raznim metodama predviđanja, nemoguće je ne izdvojiti aproksimaciju. Uz njegovu pomoć možete napraviti približne proračune i izračunati planirane pokazatelje zamjenom originalnih objekata jednostavnijim. U Excel-u postoji i mogućnost korištenja ove metode za predviđanje i analizu. Pogledajmo kako se ova metoda može primijeniti u navedenom programu s ugrađenim alatima.

Naziv ove metode potiče od latinska reč proxima – “najbliži” To je aproksimacija pojednostavljivanjem i izglađivanjem poznatih indikatora, poređajući ih u trend koji je njegova osnova. Ali ovu metodu može se koristiti ne samo za predviđanje, već i za proučavanje postojećih rezultata. Uostalom, aproksimacija je, u stvari, pojednostavljenje početnih podataka, a pojednostavljena verzija je lakša za proučavanje.

Glavni alat pomoću kojeg se u Excelu vrši izglađivanje je izrada linije trenda. Suština je da se na osnovu postojećih pokazatelja upotpunjuje graf funkcije za buduća razdoblja. Glavna svrha linije trenda, kao što možete pretpostaviti, je pravljenje prognoza ili identifikacija opšteg trenda.

Ali može se izgraditi korištenjem jedne od pet vrsta aproksimacije:

• Linear;
• eksponencijalni;
• logaritamski;
• polinom;
• Snaga.

Razmotrimo svaku od opcija detaljnije zasebno.

Metoda 1: Linearno zaglađivanje

Prije svega, razmotrimo najjednostavniju verziju aproksimacije, naime korištenje linearne funkcije. Zadržat ćemo se na tome detaljnije, budući da ćemo navesti opće točke karakteristične za druge metode, naime, crtanje i neke druge nijanse, na kojima se nećemo zadržavati prilikom razmatranja sljedećih opcija.

Prije svega, napravimo graf na osnovu kojeg ćemo provesti postupak izglađivanja. Da bismo napravili grafikon, uzmimo tabelu u kojoj su mjesečno prikazani trošak jedinice proizvodnje koju proizvede preduzeće i odgovarajuća dobit u datom periodu. Grafička funkcija, koji ćemo izgraditi, prikazaće zavisnost povećanja profita od smanjenja troškova proizvodnje.

Zaglađivanje koje se koristi u ovom slučaju opisano je sljedećom formulom:

U našem konkretnom slučaju, formula ima sljedeći oblik:

y=-0,1156x+72,255

Vrijednost pouzdanosti aproksimacije je jednaka 0,9418 , što je prilično prihvatljiv rezultat koji karakteriše izglađivanje kao pouzdano.

Metoda 2: Eksponencijalna aproksimacija

Pogledajmo sada eksponencijalni tip aproksimacije u Excelu.

Opšti oblik funkcije izglađivanja je sljedeći:

gdje e je osnova prirodni logaritam.

U našem konkretnom slučaju formula je imala sljedeći oblik:

y=6282,7*e^(-0,012*x)

Metoda 3: logaritamsko izglađivanje

Sada je red da razmotrimo metodu logaritamske aproksimacije.

Generalno, formula za izglađivanje izgleda ovako:

gdje ln je prirodni logaritam. Otuda i naziv metode.

U našem slučaju formula ima sljedeći oblik:

y=-62,81ln(x)+404,96

Metoda 4: Polinomsko izglađivanje

Došlo je vrijeme da se razmotri metoda polinomskog izglađivanja.

Formula koja opisuje ovu vrstu zaglađivanja poprimila je sljedeći oblik:

y=8E-08x^6-0,0003x^5+0,3725x^4-269,33x^3+109525x^2-2E+07x+2E+09

Metoda 5: izglađivanje snage

U zaključku, razmotrite metodu aproksimacije moći u Excelu.

Ova metoda se efikasno koristi u slučajevima intenzivne promjene podataka o funkciji. Važno je napomenuti da je ova opcija primjenjiva samo ako funkcija i argument nemaju negativne ili nulte vrijednosti.

Opća formula koja opisuje ovu metodu je sljedeća:

U našem konkretnom slučaju to izgleda ovako:

y = 6E+18x^(-6.512)

Kao što vidite, kada smo koristili specifične podatke koje smo koristili za primjer, metoda polinomske aproksimacije sa polinomom šestog stepena pokazala je najviši nivo pouzdanosti ( 0,9844 ), najniži nivo povjerenja u linearna metoda (0,9418 ). Ali to uopće ne znači da će isti trend biti i kada se koriste drugi primjeri. Ne, nivo efikasnosti gore navedenih metoda može značajno varirati, u zavisnosti od specifičnog tipa funkcije za koju će se izgraditi linija trenda. Dakle, ako je odabrana metoda najefikasnija za ovu funkciju, to uopće ne znači da će biti optimalna i u nekoj drugoj situaciji.

Ako ne možete odmah odrediti, na osnovu gore navedenih preporuka, koja je vrsta aproksimacije prikladna konkretno za vaš slučaj, onda ima smisla isprobati sve metode. Nakon što nacrtate liniju trenda i pogledate njen nivo pouzdanosti, možete odabrati najbolju opciju.

Često je potrebno imati analitičke izraze za strujno-naponske karakteristike nelinearnih elemenata. Ovi izrazi mogu samo približno predstavljati CVC, budući da fizički zakoni koji upravljaju odnosom između napona i struja u nelinearnim uređajima nisu analitički izraženi.

Zadatak aproksimativnog analitičkog prikaza funkcije date grafički ili tablicom vrijednosti, u datim granicama promjene njenog argumenta (nezavisne varijable) naziva se aproksimacija. U ovom slučaju, kao prvo, bira se aproksimirajuća funkcija, odnosno funkcija kojom je data zavisnost približno predstavljena, i, drugo, odabir kriterijuma za procenu „blizine“ ove zavisnosti i funkcije koja aproksimira to.

Kao aproksimirajuće funkcije najčešće se koriste algebarski polinomi, neke frakcione racionalne, eksponencijalne i transcendentalne funkcije ili skup linearnih funkcija (pravolinijski segmenti).

Pretpostavljamo da je CVC nelinearnog elementa i= zabava(u) dato grafički, tj. definisano u svakoj tački intervala Umin≤i≤U max , i jednoznačna je kontinuirana funkcija varijable i. Tada se problem analitičkog predstavljanja strujno-naponske karakteristike može smatrati aproksimacijskim problemom datu funkcijuξ(h) odabranom aproksimirajućom funkcijom f(x).

O blizini aproksimacije f(x) i aproksimirano ξ( X) funkcije ili, drugim riječima, greška aproksimacije, obično se prosuđuje po najvećoj apsolutnoj vrijednosti razlike između ovih funkcija u intervalu aproksimacije a≤ X≤ b, odnosno po veličini

∆=max‌‌│ f(x)- ξ( x)│

Često se kriterijum blizine bira kao srednja kvadratna vrednost razlike između navedenih funkcija u intervalu aproksimacije.

Ponekad, pod blizinom dvije funkcije f( x)i ξ( x) shvatiti slučajnost u dati poen

x= Ho same funkcije i P+ 1 njihovih derivata.

Najčešći način da se analitička funkcija aproksimira datoj je interpolacija(metoda izabranih tačaka) kada su funkcije f( x)i ξ( x) na odabranim tačkama (na zla interpolacije) X k , k= 0, 1, 2, ..., P.

Greška aproksimacije se može postići što je manja, što je veći broj varijabilnih parametara uključenih u aproksimirajuću funkciju, tj., na primjer, što je veći stupanj aproksimirajućeg polinoma ili što veći broj segmenata linije sadrži aproksimirajuću linearno prekinutu funkciju . U isto vrijeme, naravno, raste obim proračuna, kako u rješavanju aproksimacijskog problema, tako iu kasnijoj analizi nelinearnog kola. Jednostavnost ove analize, uz karakteristike aproksimirane funkcije unutar intervala aproksimacije, jedan je od najvažnijih kriterija pri odabiru tipa aproksimirajuće funkcije.

U problemima aproksimacije strujno-naponskih karakteristika elektronskih i poluvodičkih uređaja obično nije potrebno težiti visokoj preciznosti njihove reprodukcije zbog značajnog širenja karakteristika uređaja od uzorka do uzorka i značajnog uticaja destabilizujućih faktora na njih. , na primjer, temperatura u poluvodičkim uređajima. U većini slučajeva dovoljno je "ispravno" reproducirati opći prosjek karaktera ovisnosti i= f(u) u svom radnom intervalu. Da bi se mogla analitički izračunati kola sa nelinearnim elementima, potrebno je imati matematičke izraze za karakteristike elemenata. Ove karakteristike su obično eksperimentalne, tj. dobiveni kao rezultat mjerenja odgovarajućih elemenata, a zatim se na osnovu toga formiraju referentni (tipični) podaci. Postupak matematičkog opisa neke date funkcije u matematici se naziva aproksimacija ove funkcije. Postoji nekoliko tipova aproksimacije: po odabranim tačkama, po Tejloru, po Čebiševu, itd. Na kraju, potrebno je dobiti matematički izraz koji, uz neke date zahteve, zadovoljava prvobitnu funkciju aproksimacije.

Razmislite najjednostavniji način: metoda odabranih tačaka ili čvorova interpolacije polinoma stepena.

Potrebno je odrediti koeficijente polinoma. Za to odaberite (n+1) tačke na datoj funkciji i sastavlja se sistem jednačina:

Iz ovog sistema se nalaze koeficijenti a 0 , a 1 , a 2 , …, a n.

U odabranim tačkama aproksimirajuća funkcija će se poklopiti s originalnom, u ostalim točkama će se razlikovati (jako ili ne - ovisi o polinomu snage).

Možete koristiti eksponencijalni polinom:

Drugi metod: Metoda Taylor aproksimacije . U ovom slučaju se bira jedna tačka u kojoj će se originalna funkcija poklapati sa aproksimativnom, ali se postavlja dodatni uslov da se i derivacije u ovoj tački poklapaju.

Butterworth Approximation: bira se najjednostavniji polinom:

U tom slučaju možete odrediti maksimalno odstupanje ε na krajevima raspona.

Aproksimacija prema Čebiševu: je zakon stepena, uspostavlja podudarnost u nekoliko tačaka i minimizira maksimalno odstupanje aproksimativne funkcije od originalne. U teoriji aproksimacije funkcija dokazano je da je najveća apsolutna devijacija polinoma f(x) stepen P od kontinuirana funkcija ξ( X) će biti minimalno moguće ako je u intervalu aproksimacije a≤ X≤ b razlika

f( x) - ξ( X) ne manje od n + 2 puta uzima svoj uzastopno naizmjenični granični maksimum f(x) - ξ( X) = L > 0 i najmanji f(x) - ξ( X) = -L vrijednosti (Chebyshevov kriterij).

U mnogim primijenjenim problemima koristi se polinomska aproksimacija po kriteriju srednje kvadratne blizine, kada se parametri aproksimirajuće funkcije f(x) biraju se iz uslova minimizacije u intervalu aproksimacije a≤ X≤ b devijacija funkcije na kvadrat f(x) date kontinuirane funkcije ξ( X), odnosno iz uslova:

Λ= 1/b-a∫ a [ f(x)- ξ( x)] 2 dx= min. (7)

U skladu s pravilima za pronalaženje ekstrema, rješenje problema se svodi na rješavanje sistema linearnih jednadžbi, koji se formira kao rezultat izjednačavanja na nulu prvih parcijalnih izvoda funkcije Λ za svaki od traženih koeficijenata a k aproksimirajući polinom f(x), odnosno jednačine

dΛ ∕da 0=0; dΛ ∕da 1=0; dΛ ∕da 2=0, . . . , dΛ ∕da n=0. (8)

Dokazano je da i ovaj sistem jednačina ima jedinstveno rješenje. U najjednostavnijim slučajevima pronalazi se analitički, au opštem slučaju numerički.

Čebišev je ustanovio da sljedeća jednakost treba vrijediti za maksimalna odstupanja:

U inženjerskoj praksi tzv po komadima linearna aproksimacija je opis date krive segmentima pravih linija.

Unutar svakog od linearizovanih odseka strujno-naponske karakteristike, sve metode analize oscilacija u linearnom električna kola. Jasno je da nego više linearizovanim presecima, data strujno-naponska karakteristika se deli, što se tačnije može aproksimirati i što je veća količina proračuna tokom analize oscilacija u kolu.

U mnogim primijenjenim problemima analize oscilacija u nelinearnim otporničkim kolima, aproksimirana strujno-naponska karakteristika u aproksimacijskom intervalu se s dovoljnom tačnošću predstavlja sa dva ili tri pravolinijska segmenta.

Takva aproksimacija strujno-naponskih karakteristika u većini slučajeva daje sasvim zadovoljavajuće rezultate analize oscilacija u nelinearnom otpornom kolu sa efektima "male" veličine na nelinearni element, tj. kada su trenutne vrijednosti struje u nelinearnom elementu se mijenjaju u maksimalno dozvoljenim granicama od I= 0 do I = I max