Ikki o‘zgaruvchili funksiyalarning qisman hosilalari.
Tushuncha va yechimlar misollari

Ushbu darsda biz ikkita o'zgaruvchining funktsiyasi bilan tanishishni davom ettiramiz va, ehtimol, eng keng tarqalgan tematik vazifa - topishni ko'rib chiqamiz. birinchi va ikkinchi tartibli qisman hosilalari, shuningdek, funktsiyaning umumiy differentsiali. Sirtqi ta'lim talabalari, qoida tariqasida, 1-kursda 2-semestrda qisman hosilalarga duch kelishadi. Bundan tashqari, mening kuzatishlarimga ko'ra, qisman hosilalarni topish vazifasi deyarli har doim imtihonda topiladi.

Quyidagi materialni samarali o'rganish uchun siz zarur bir o‘zgaruvchining funksiyasining “odatiy” hosilalarini ozmi-ko‘pmi ishonch bilan topa olish. Derivativlarni to'g'ri ishlashni darslarda o'rganishingiz mumkin hosilani qanday topish mumkin? va Murakkab funktsiyaning hosilasi. Bizga elementar funktsiyalarning hosilalari jadvali va differentsiatsiya qoidalari kerak, agar u bosma shaklda bo'lsa, eng qulaydir. Ma'lumotnomani sahifada topishingiz mumkin Matematik formulalar va jadvallar.

Keling, ikkita o'zgaruvchining funksiyasi tushunchasini tezda takrorlaylik, men o'zimni minimal darajada cheklashga harakat qilaman. Ikki o'zgaruvchining funksiyasi odatda sifatida yoziladi, o'zgaruvchilar chaqiriladi mustaqil o'zgaruvchilar yoki argumentlar.

Misol: - ikkita o'zgaruvchining funksiyasi.

Ba'zan belgi qo'llaniladi. Harf o'rniga harf qo'llaniladigan vazifalar ham mavjud.

Geometrik nuqtai nazardan, ikkita o'zgaruvchining funktsiyasi ko'pincha uch o'lchovli fazoning yuzasi (tekislik, silindr, shar, paraboloid, giperboloid va boshqalar). Ammo, aslida, bu allaqachon ko'proq analitik geometriya va bizda kun tartibida matematik tahlil bor, uni universitet o'qituvchim hech qachon mening "otim" deb yozishga ruxsat bermagan.

Birinchi va ikkinchi tartiblarning qisman hosilalarini topish masalasiga murojaat qilamiz. Bir necha chashka qahva ichgan va tasavvur qilib bo'lmaydigan darajada qiyin materialga tayyor bo'lganlar uchun yaxshi xabarim bor: qisman hosilalari bir oʻzgaruvchining funksiyasining “oddiy” hosilalari bilan deyarli bir xil..

Qisman hosilalar uchun barcha differentsiallash qoidalari va elementar funksiyalarning hosilalari jadvali amal qiladi. Faqat bir nechta kichik farqlar bor, biz hozir bilib olamiz:

... ha, aytmoqchi, men ushbu mavzu uchun yaratdim Kichik pdf kitob, bu sizga bir necha soat ichida "qo'lingizni to'ldirish" imkonini beradi. Ammo, saytdan foydalanib, siz, albatta, natijaga erishasiz - ehtimol biroz sekinroq:

1-misol

Funksiyaning birinchi va ikkinchi tartibli qisman hosilalarini toping

Birinchidan, biz birinchi tartibning qisman hosilalarini topamiz. Ulardan ikkitasi bor.

Belgilash:
yoki - "x" ga nisbatan qisman hosila
yoki - "y" ga nisbatan qisman hosila

dan boshlaylik. "X" ga nisbatan qisman hosilani topsak, o'zgaruvchi doimiy (doimiy son) hisoblanadi..

Amalga oshirilgan harakatlar bo'yicha sharhlar:

(1) Qisman hosilani topishda birinchi qiladigan ishimiz xulosa chiqarishdir hammasi tire ostidagi qavs ichida funksiya subscript bilan.

Diqqat muhim! Yechim jarayonida subscripts YO'qotmaydi. Bunday holda, agar siz biron bir joyda "zarba" chizsangiz, o'qituvchi, hech bo'lmaganda, uni vazifaning yoniga qo'yishi mumkin (e'tiborsizlik uchun darhol ballning bir qismini tishlab oling).

(2) Farqlash qoidalaridan foydalaning , . Bu kabi oddiy misol uchun ikkala qoida ham bir bosqichda qo'llanilishi mumkin. Birinchi muddatga e'tibor bering: beri doimiy deb hisoblanadi va hosila belgisidan istalgan doimiyni olish mumkin, keyin biz uni qavslardan chiqaramiz. Ya'ni, bu vaziyatda oddiy raqamdan yaxshiroq emas. Endi uchinchi muddatga qaraylik: bu erda, aksincha, olib tashlash uchun hech narsa yo'q. Bu doimiy bo'lgani uchun u ham doimiydir va bu ma'noda oxirgi atama - "etti" dan yaxshiroq emas.

(3) Biz jadvalli hosilalardan foydalanamiz va .

(4) Biz javobni soddalashtiramiz yoki men aytmoqchi bo'lganimdek, "birlashtiramiz".

Endi . "y" ga nisbatan qisman hosilani topsak, u holda o'zgaruvchidoimiy (doimiy son) hisoblanadi.

(1) Biz bir xil farqlash qoidalaridan foydalanamiz , . Birinchi hadda hosila belgisidan tashqari doimiyni chiqaramiz, ikkinchi hadda esa hech narsani chiqarib bo'lmaydi, chunki u allaqachon doimiydir.

(2) Biz elementar funksiyalarning hosilalari jadvalidan foydalanamiz. Jadvaldagi barcha "X" ni "Y" ga aqliy ravishda o'zgartiring. Ya'ni, bu jadval teng darajada amal qiladi (va haqiqatan ham deyarli har qanday harf uchun). Xususan, biz foydalanadigan formulalar quyidagicha ko'rinadi: va .

Qisman hosilalarning ma'nosi nima?

Ularning mohiyatida 1-tartibli qisman hosilalar o'xshaydi "oddiy" hosila:

- bu funktsiyalari, xarakterlovchi o'zgarish darajasi o'qlar yo'nalishi bo'yicha va mos ravishda ishlaydi. Masalan, funktsiya "ko'tarilish" va "qiyaliklarning" tikligini tavsiflaydi yuzalar abscissa o'qi yo'nalishi bo'yicha va funktsiya bizga bir xil sirtning ordinata o'qi yo'nalishidagi "relyefi" haqida gapiradi.

! Eslatma : bu erda ko'rsatmalarga ishora qiladi paralleldir koordinata o'qlari.

Yaxshiroq tushunish uchun keling, tekislikning ma'lum bir nuqtasini ko'rib chiqamiz va undagi funktsiyaning ("balandlik") qiymatini hisoblaymiz:
- va endi siz shu erda ekanligingizni tasavvur qiling (Juda yuzada).

Berilgan nuqtada "x" ga nisbatan qisman hosilani hisoblaymiz:

"X" hosilasining salbiy belgisi bizga bu haqda gapirib beradi tushayotgan x o'qi yo'nalishidagi nuqtada ishlaydi. Boshqacha qilib aytganda, biz kichik-kichik qilsak (cheksiz) o'qning uchiga qadam qo'ying (ushbu o'qga parallel), keyin sirtning qiyalik bo'ylab pastga tushing.

Endi biz y o'qi yo'nalishi bo'yicha "er" ning tabiatini bilib olamiz:

"y" ga nisbatan hosila ijobiy, shuning uchun eksa bo'ylab bir nuqtada funktsiya ortadi. Agar bu juda oddiy bo'lsa, bu erda biz yuqoriga ko'tarilishni kutmoqdamiz.

Bundan tashqari, bir nuqtada qisman hosila xarakterlanadi o'zgarish darajasi tegishli yo‘nalishda faoliyat yuritadi. Olingan qiymat qanchalik katta bo'lsa modul- sirt qanchalik tik bo'lsa va aksincha, u nolga qanchalik yaqin bo'lsa, sirt tekisroq bo'ladi. Demak, bizning misolimizda abscissa o'qi yo'nalishidagi "qiyalik" ordinata o'qi yo'nalishidagi "tog'" dan tikroqdir.

Ammo bu ikkita shaxsiy yo'l edi. Biz turgan joydan shunisi aniqki, (va umuman berilgan sirtning istalgan nuqtasidan) biz boshqa yo'nalishda harakat qilishimiz mumkin. Shunday qilib, bizga sirtning "landshafti" haqida ma'lumot beradigan umumiy "navigatsiya jadvali" ni tuzishga qiziqish mavjud. iloji bo'lsa har bir nuqtada ushbu funktsiya doirasi barcha mavjud usullarda. Bu va boshqa qiziqarli narsalar haqida keyingi darslardan birida gaplashaman, ammo hozircha masalaning texnik tomoniga qaytaylik.

Biz oddiy qo'llaniladigan qoidalarni tizimlashtiramiz:

1) orqali farqlansak, o‘zgaruvchi doimiy hisoblanadi.

2) differensiatsiya bo'yicha amalga oshirilganda, keyin doimiy hisoblanadi.

3) Elementar funktsiyalarning hosilalari qoidalari va jadvali har qanday o'zgaruvchi (yoki boshqa) uchun amal qiladi va farqlash amalga oshiriladi.

Ikkinchi qadam. Ikkinchi tartibli qisman hosilalarni topamiz. Ulardan to'rttasi bor.

Belgilash:
yoki - "x" ga nisbatan ikkinchi hosila
yoki - "y" ga nisbatan ikkinchi hosila
yoki - aralashgan hosila "x by y"
yoki - aralashgan hosilasi "X bilan Y"

Ikkinchi lotin bilan hech qanday muammo yo'q. gapirish oddiy til, ikkinchi hosila birinchi hosilaning hosilasidir.

Qulaylik uchun men allaqachon topilgan birinchi darajali qisman hosilalarni qayta yozaman:

Avval aralash hosilalarni topamiz:

Ko'rib turganingizdek, hamma narsa oddiy: biz qisman lotinni olamiz va uni yana farqlaymiz, lekin bu holda, allaqachon "y" bilan.

Xuddi shunday:

Amaliy misollarda siz quyidagi tenglikka e'tibor qaratishingiz mumkin:

Shunday qilib, ikkinchi tartibli aralash hosilalar orqali biz birinchi tartibning qisman hosilalarini to'g'ri topganimizni tekshirish juda qulaydir.

Biz "x" ga nisbatan ikkinchi hosilani topamiz.
Ixtirolar yo'q, biz qabul qilamiz va uni yana "X" bilan farqlang:

Xuddi shunday:

Shuni ta'kidlash kerakki, topishda siz ko'rsatishingiz kerak e'tiborni kuchaytirdi, chunki ularni sinash uchun mo''jizaviy tenglik yo'q.

Ikkinchi hosilalar ham keng amaliy qo'llanilishini topadi, xususan, ular topish masalasida qo'llaniladi ikki o'zgaruvchili funktsiyaning ekstremasi. Ammo hamma narsaning o'z vaqti bor:

2-misol

Nuqtadagi funksiyaning birinchi tartibli qisman hosilalarini hisoblang. Ikkinchi tartibli hosilalarni toping.

Bu o'z-o'zini hal qilish uchun misol (dars oxiridagi javoblar). Agar siz ildizlarni farqlashda qiynalsangiz, darsga qayting hosilani qanday topish mumkin? Umuman olganda, tez orada siz xuddi shunday hosilalarni tezda qanday topishni o'rganasiz.

Biz qo'limizni yanada murakkab misollar bilan to'ldiramiz:

3-misol

Buni tekshiring. kuyish umumiy farq birinchi buyurtma.

Yechish: Birinchi tartibli qisman hosilalarni topamiz:

Pastki belgiga e'tibor bering: "x" yonida uning doimiy ekanligini qavs ichida yozish taqiqlanmaydi. Ushbu belgi yangi boshlanuvchilar uchun yechimni boshqarishni osonlashtirish uchun juda foydali bo'lishi mumkin.

Qo'shimcha sharhlar:

(1) hosila belgisidan tashqaridagi barcha konstantalarni chiqaramiz. Bunda, va, va, demak, ularning hosilasi doimiy son hisoblanadi.

(2) Ildizlarni qanday qilib to'g'ri ajratishni unutmang.

(1) hosila belgisidan barcha konstantalarni chiqaramiz, bu holda konstanta .

(2) Asosiy ostida biz ikkita funktsiyaning mahsulotiga egamiz, shuning uchun biz mahsulotni farqlash qoidasidan foydalanishimiz kerak. .

(3) Bu murakkab funktsiya ekanligini unutmang (garchi murakkab bo'lganlarning eng oddiyi bo'lsa ham). Biz tegishli qoidadan foydalanamiz: .

Endi biz ikkinchi tartibli aralash hosilalarni topamiz:

Bu shuni anglatadiki, barcha hisob-kitoblar to'g'ri.

Keling, umumiy differentsialni yozamiz. Ko'rib chiqilayotgan vazifa kontekstida ikkita o'zgaruvchining funktsiyasining umumiy differentsialligi nima ekanligini aytishning ma'nosi yo'q. Ushbu farqni ko'pincha amaliy masalalarda yozib qo'yish kerakligi muhimdir.

Jami birinchi tartibli differensial Ikki o'zgaruvchining funktsiyalari quyidagi shaklga ega:

Ushbu holatda:

Ya'ni, formulada siz shunchaki ahmoqona birinchi tartibning allaqachon topilgan qisman hosilalarini almashtirishingiz kerak. Differensial piktogramma va shu va shunga o'xshash holatlarda, agar iloji bo'lsa, numeratorlarda yozish yaxshidir:

Va o'quvchilarning takroriy iltimosiga binoan, ikkinchi tartibli to'liq differentsial.

Bu shunday ko'rinadi:

2-tartibdagi "bitta harfli" hosilalarni EHTIYOT bilan toping:

va "yirtqich hayvonni" yozing, ehtiyotkorlik bilan kvadratlarni, mahsulotni "biriktiring" va aralash hosilani ikki baravar oshirishni unutmang:

Agar biror narsa qiyin bo'lib tuyulsa, yaxshi, farqlash texnikasini olganingizdan so'ng, hosilalarga keyinroq qaytishingiz mumkin:

4-misol

Funksiyaning birinchi tartibli qisman hosilalarini toping . Buni tekshiring. Birinchi tartibdagi to‘liq differensialni yozing.

Murakkab funktsiyalarga ega bo'lgan bir qator misollarni ko'rib chiqing:

5-misol

Funksiyaning birinchi tartibli qisman hosilalarini toping.

Yechim:

6-misol

Funksiyaning birinchi tartibli qisman hosilalarini toping .
Umumiy farqni yozing.

Bu o'z-o'zini hal qilish uchun misol (dars oxirida javob). Men to'liq yechimni e'lon qilmayman, chunki bu juda oddiy.

Ko'pincha yuqoridagi barcha qoidalar birgalikda qo'llaniladi.

7-misol

Funksiyaning birinchi tartibli qisman hosilalarini toping .

(1) Biz yig'indini farqlash qoidasidan foydalanamiz

(2) Bu holda birinchi atama doimiy hisoblanadi, chunki ifodada "x" ga bog'liq bo'lgan hech narsa yo'q - faqat "y". Bilasizmi, kasrni nolga aylantirish har doim yoqimli). Ikkinchi muddat uchun biz mahsulotni farqlash qoidasini qo'llaymiz. Aytgancha, bu ma'noda, agar uning o'rniga funktsiya berilsa, hech narsa o'zgarmas edi - bu erda muhim Ikki funktsiyaning mahsuloti, Ularning har biri o'ziga bog'liq "X", va shuning uchun siz mahsulotni farqlash qoidasidan foydalanishingiz kerak. Uchinchi muddat uchun biz farqlash qoidasini qo'llaymiz murakkab funktsiya.

(1) Numerator va maxrajdagi birinchi atama "y" ni o'z ichiga oladi, shuning uchun siz qismni farqlash uchun qoidadan foydalanishingiz kerak: . Ikkinchi atama FAQAT "x" ga bog'liq, ya'ni u doimiy hisoblanadi va nolga aylanadi. Uchinchi atama uchun biz murakkab funksiyani differentsiallash qoidasidan foydalanamiz.

Darsning oxiriga qadar jasorat bilan erishgan o'quvchilar uchun men sizga eski Mehmatov latifasini aytib beraman:

Bir marta funksiyalar maydonida yovuz lotin paydo bo'ldi va u qanday qilib hammani farqlash uchun ketdi. Barcha funktsiyalar har tomonga tarqaladi, hech kim burilishni xohlamaydi! Va faqat bitta funktsiya hech qayerdan qochib qutula olmaydi. Loyixa unga yaqinlashadi va so'raydi:

— Nega mendan qochmayapsiz?

- Ha. Lekin menga farqi yo'q, chunki men "x kuchiga e"man va siz menga hech narsa qila olmaysiz!

Bunga yovuz hosila makkor tabassum bilan javob beradi:

- Bu erda siz noto'g'risiz, men sizni "y" bilan farqlayman, shuning uchun siz uchun nol bo'ling.

Kim hazilni tushundi, u lotinlarni o'zlashtirdi, hech bo'lmaganda "troyka" uchun).

8-misol

Funksiyaning birinchi tartibli qisman hosilalarini toping .

Bu o'z-o'zidan bajariladigan misol. To'liq yechim va muammoning namunaviy dizayni dars oxirida.

Xo'sh, bu deyarli hammasi. Nihoyat, matematiklarni yana bir misol bilan xursand qilmasdan ilojim yo'q. Bu hatto havaskorlar haqida ham emas, har kimning matematik tayyorgarlik darajasi har xil - qiyinroq vazifalar bilan raqobat qilishni yaxshi ko'radigan odamlar (va unchalik kam emas) bor. Garchi ushbu darsdagi oxirgi misol hisob-kitoblar nuqtai nazaridan unchalik murakkab emas.

Funktsiya berilgan bo'lsin. X va y mustaqil o'zgaruvchilar bo'lganligi sababli, ulardan biri o'zgarishi mumkin, ikkinchisi esa o'zgarishsiz qoladi. y qiymatini o'zgarmagan holda x mustaqil o'zgaruvchini oshiramiz. Keyin z o'sishni oladi, bu z ning x ga qisman o'sishi deb ataladi va bilan belgilanadi. Shunday qilib, .

Xuddi shunday, y ga nisbatan z ning qisman o'sishini olamiz: .

z funktsiyasining umumiy o'sishi tenglik bilan aniqlanadi.

Agar chegara mavjud bo'lsa, u x o'zgaruvchiga nisbatan nuqtadagi funksiyaning qisman hosilasi deyiladi va belgilardan biri bilan belgilanadi:

.

Bir nuqtada x ga nisbatan qisman hosilalar odatda belgilar bilan belgilanadi .

y o'zgaruvchiga nisbatan qisman hosilasi xuddi shunday tarzda aniqlanadi va belgilanadi:

Shunday qilib, bir nechta (ikki, uch yoki undan ortiq) o'zgaruvchining funksiyasining qisman hosilasi qolgan mustaqil o'zgaruvchilar qiymatlarining doimiyligini hisobga olgan holda ushbu o'zgaruvchilardan birining funktsiyasi hosilasi sifatida aniqlanadi. Shuning uchun funktsiyaning qisman hosilalari bitta o'zgaruvchili funktsiyaning hosilalarini hisoblash formulalari va qoidalariga muvofiq topiladi (bu holda mos ravishda x yoki y doimiy qiymat hisoblanadi).

Qisman hosilalar birinchi tartibli qisman hosilalar deb ham ataladi. Ularni funktsiyalari sifatida ko'rib chiqish mumkin. Bu funktsiyalar qisman hosilalarga ega bo'lishi mumkin, ular ikkinchi tartibli qisman hosilalar deb ataladi. Ular quyidagicha ta'riflanadi va belgilanadi:

; ;

; .

Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning 1 va 2-tartibdagi differentsiallari.

Funksiyaning umumiy differensiali (2.5-formula) birinchi tartibli differentsial deyiladi.

Umumiy differentsialni hisoblash formulasi quyidagicha:

(2.5) yoki , qayerda,

funksiyaning qisman differentsiallari.

Funktsiya ikkinchi tartibli uzluksiz qisman hosilalarga ega bo'lsin. Ikkinchi tartibli differensial formula bilan aniqlanadi. Keling, topamiz:

Bu yerdan: . Ramziy ma'noda shunday yoziladi:

.

ANIQSIZ INTEGRAL.

Funksiyaning antihosilasi, noaniq integral, xossalari.

F(x) funksiya chaqiriladi ibtidoiy berilgan f(x) funksiya uchun, agar F"(x)=f(x) bo'lsa, yoki qaysi bir xil bo'lsa, dF(x)=f(x)dx bo'lsa.

Teorema. Agar chekli yoki cheksiz uzunlikdagi qandaydir (X) oraliqda aniqlangan f(x) funksiya bitta F(x) anti hosilaga ega bo'lsa, u ham cheksiz ko'p anti hosilaga ega bo'ladi; ularning barchasi F(x)+C ifodasida joylashgan, bu erda C ixtiyoriy doimiydir.

Qaysidir oraliqda yoki chekli yoki cheksiz uzunlikdagi ba'zi bir segmentda aniqlangan f(x) funksiya uchun barcha antiderivativlar to'plami deyiladi. noaniq integral f(x) funksiyadan [yoki f(x)dx ifodasidan ] va belgisi bilan belgilanadi.

Agar F(x) f(x) ning antiderivativlaridan biri bo'lsa, unda antiderivativ teorema bo'yicha

, bu erda C ixtiyoriy doimiydir.

Antiderivativning ta'rifi bo'yicha F "(x)=f(x) va demak, dF(x)=f(x) dx. (7.1) formulada f(x) integrand deb ataladi va f( x) dx integraliy ifoda deyiladi.

Har bir qisman hosila (ustun x va tomonidan y) ikkita o'zgaruvchining funktsiyasi - bu bir o'zgaruvchining funktsiyasining boshqa o'zgaruvchining qat'iy qiymati bilan oddiy hosilasi:

(qaerda y= const),

(qaerda x= const).

Shuning uchun qisman hosilalar dan hisoblanadi bir o'zgaruvchining funksiyalarining hosilalarini hisoblash formulalari va qoidalari, boshqa o'zgaruvchini doimiy (doimiy) deb hisoblagan holda.

Agar sizga misollar tahlili va buning uchun zarur bo'lgan minimal nazariya kerak bo'lmasa, lekin sizga faqat muammoingizni hal qilish kerak bo'lsa, unda davom eting. onlayn qisman lotin kalkulyatori .

Agar konstanta funktsiyaning qayerda ekanligini kuzatishga e'tibor qaratish qiyin bo'lsa, u holda siz misolning qoralama yechimida o'zgarmas qiymatga ega bo'lgan o'zgaruvchi o'rniga istalgan raqamni almashtirishingiz mumkin - u holda siz qisman hosilani oddiy deb tezda hisoblashingiz mumkin. bir o'zgaruvchining funksiyasining hosilasi. Tugatishda faqat doimiyni (belgilangan qiymatga ega o'zgaruvchini) o'z joyiga qaytarishni unutmaslik kerak.

Yuqorida tavsiflangan qisman hosilalarning xossasi qisman hosila ta'rifidan kelib chiqadi, uni imtihon savollarida topish mumkin. Shuning uchun quyida keltirilgan ta'rif bilan tanishish uchun siz nazariy ma'lumotnomani ochishingiz mumkin.

Funksiyaning uzluksizligi tushunchasi z= f(x, y) nuqtada bir o'zgaruvchining funksiyasi uchun ushbu tushunchaga o'xshash tarzda aniqlanadi.

Funktsiya z = f(x, y) agar nuqtada uzluksiz deyiladi

Farq (2) funktsiyaning umumiy o'sishi deb ataladi z(har ikkala argumentni oshirish orqali olinadi).

Funktsiyaga ruxsat bering z= f(x, y) va nuqta

Funktsiya o'zgarsa z argumentlardan faqat bittasi o'zgarganda paydo bo'ladi, masalan, x, boshqa argumentning belgilangan qiymati bilan y, keyin funksiya oshiriladi

funktsiyaning qisman o'sishi deyiladi f(x, y) yoqilgan x.

Funktsiya o'zgarishini hisobga olgan holda z argumentlardan faqat bittasining o'zgarishiga qarab, biz aslida bitta o'zgaruvchining funksiyasiga o'tamiz.

Agar cheklangan chegara mavjud bo'lsa

u holda funksiyaning qisman hosilasi deyiladi f(x, y) dalil bilan x va belgilardan biri bilan belgilanadi

(4)

Qisman o'sish xuddi shunday aniqlanadi z yoqilgan y:

va qisman hosila f(x, y) yoqilgan y:

(6)

1-misol

Yechim. Biz "x" o'zgaruvchisiga nisbatan qisman hosilani topamiz:

(y qat'iy);

Biz "y" o'zgaruvchisiga nisbatan qisman hosilani topamiz:

(x belgilangan).

Ko'rib turganingizdek, o'zgaruvchining qay darajada aniqlanganligi muhim emas: bu holda, biz qisman topadigan o'zgaruvchiga ega bo'lgan omil (odatiy hosiladagi kabi) bo'lgan ba'zi bir raqamdir. hosila. Agar o'zgarmas o'zgaruvchi biz qisman hosila topadigan o'zgaruvchiga ko'paytirilmasa, u holda bu yolg'iz doimiy, oddiy hosiladagi kabi qanchalik darajada bo'lishidan qat'i nazar, yo'qoladi.

2-misol Funktsiya berilgan

Qisman hosilalarni toping

(x bo'yicha) va (y bo'yicha) va nuqtadagi qiymatlarini hisoblang LEKIN (1; 2).

Yechim. Belgilangan vaqtda y birinchi hadning hosilasi quvvat funksiyasining hosilasi sifatida topiladi ( bir o'zgaruvchining hosilaviy funktsiyalari jadvali):

.

Belgilangan vaqtda x birinchi hadning hosilasi ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasi sifatida, ikkinchisi esa doimiyning hosilasi sifatida topiladi:

Endi biz ushbu qisman hosilalarning qiymatlarini nuqtada hisoblaymiz LEKIN (1; 2):

Siz qisman hosilalar bilan masalalarning yechimini tekshirishingiz mumkin onlayn qisman lotin kalkulyatori .

3-misol Funksiyalarning qisman hosilalarini toping

Yechim. Bir qadamda biz topamiz

(y x, go'yo sinus argumenti 5 ga teng x: xuddi shu tarzda, funksiya belgisidan oldin 5 paydo bo'ladi);

(x belgilangan va bu holda bir omil hisoblanadi y).

Siz qisman hosilalar bilan masalalarning yechimini tekshirishingiz mumkin onlayn qisman lotin kalkulyatori .

Uch yoki undan ortiq o'zgaruvchining funksiyasining qisman hosilalari xuddi shunday aniqlanadi.

Agar har bir qiymat to'plami ( x; y; ...; t) to‘plamdan mustaqil o‘zgaruvchilar D ma'lum bir qiymatga mos keladi u ko'pchilikdan E, keyin u o‘zgaruvchilar funksiyasi deyiladi x, y, ..., t va belgilang u= f(x, y, ..., t).

Uch yoki undan ortiq o'zgaruvchining funktsiyalari uchun geometrik talqin mavjud emas.

Bir nechta o'zgaruvchilar funksiyasining qisman hosilalari ham mustaqil o'zgaruvchilardan faqat bittasi o'zgaradi, qolganlari esa o'zgarmas bo'ladi degan faraz ostida aniqlanadi va hisoblanadi.

4-misol Funksiyalarning qisman hosilalarini toping

.

Yechim. y va z belgilangan:

x va z belgilangan:

x va y belgilangan:

O'zingiz qisman hosilalarni toping va keyin echimlarni ko'ring

5-misol

6-misol Funksiyaning qisman hosilalarini toping.

Bir nechta o'zgaruvchili funktsiyaning qisman hosilasi bir xil bo'ladi bir o'zgaruvchining funksiyasining hosilasi sifatidagi mexanik ma'no, argumentlardan biridagi oʻzgarishga nisbatan funksiyaning oʻzgarish tezligi.

8-misol oqim miqdori P yo'lovchilar temir yo'llar funksiya sifatida ifodalanishi mumkin

qayerda P- yo'lovchilar soni; N- tegishli punktlar aholisi soni; R- nuqtalar orasidagi masofa.

Funksiyaning qisman hosilasi P yoqilgan R ga teng

yo'lovchilar oqimining kamayishi nuqtalardagi bir xil miqdordagi aholi uchun mos keladigan nuqtalar orasidagi masofaning kvadratiga teskari proportsional ekanligini ko'rsatadi.

Qisman hosila P yoqilgan N ga teng

yo'lovchilar oqimining o'sishi aholi sonining ikki barobariga mutanosib ekanligini ko'rsatadi aholi punktlari nuqtalar orasidagi masofa bir xil.

Siz qisman hosilalar bilan masalalarning yechimini tekshirishingiz mumkin onlayn qisman lotin kalkulyatori .

To'liq differentsial

Qisman hosila va mos keladigan mustaqil o'zgaruvchining ko'paytmasi qisman differentsial deb ataladi. Qisman farqlar quyidagicha ifodalanadi:

Barcha mustaqil o'zgaruvchilarga nisbatan qisman differentsiallarning yig'indisi umumiy differentsialni beradi. Ikki mustaqil o'zgaruvchining funktsiyasi uchun umumiy differentsial tenglik bilan ifodalanadi

(7)

9-misol Funksiyaning to‘liq differentsialini toping

Yechim. Formuladan foydalanish natijasi (7):

Ayrim sohaning har bir nuqtasida to‘liq differentsialga ega bo‘lgan funksiya shu sohada differentsiallanuvchi deyiladi.

Jami differentsialni o'zingiz toping va keyin yechimni ko'ring

Xuddi bitta o'zgaruvchining funksiyasidagi kabi, ma'lum bir mintaqadagi funktsiyaning differentsialligi uning ushbu mintaqadagi uzluksizligini anglatadi, lekin aksincha emas.

Funksiyaning differentsiallanishi uchun yetarli shartni isbotsiz shakllantiraylik.

Teorema. Agar funktsiya z= f(x, y) uzluksiz qisman hosilalarga ega

ma'lum bir mintaqada, u holda bu mintaqada differensiallanadi va uning differensialligi (7) formula bilan ifodalanadi.

Ko'rsatish mumkinki, xuddi bitta o'zgaruvchili funktsiyada funksiyaning differentsial o'sishining asosiy chiziqli qismi bo'lgani kabi, bir nechta o'zgaruvchili funktsiyada ham to'liq differentsial bo'ladi. mustaqil o'zgaruvchilarning o'sishiga nisbatan asosiy, chiziqli, funktsiyaning umumiy o'sishining bir qismi.

Ikki o'zgaruvchili funktsiya uchun funktsiyaning umumiy o'sishi shaklga ega

(8)

bu yerda a va b va uchun cheksiz kichikdir.

Yuqori tartibli qisman hosilalar

Qisman hosilalar va funksiyalar f(x, y) o'zlari bir xil o'zgaruvchilarning ba'zi funktsiyalari bo'lib, o'z navbatida, turli o'zgaruvchilarga nisbatan hosilalarga ega bo'lishi mumkin, ular yuqori tartibli qisman hosilalar deb ataladi.

Xulosa qilib aytadigan bo'lsak, qisman hosilalarni topish va bitta o'zgaruvchining funksiyasining "oddiy" hosilalarini topish o'rtasidagi farq nima:

1) qisman hosila topilganda, keyin o'zgaruvchan doimiy deb hisoblanadi.

2) qisman hosila topilganda, keyin o'zgaruvchan doimiy deb hisoblanadi.

3) hosilaviy elementar funktsiyalar qoidalari va jadvali har qanday o'zgaruvchi uchun amal qiladi va amal qiladi ( , yoki boshqa) farqlash amalga oshiriladi.

Ikkinchi qadam. Ikkinchi tartibli qisman hosilalarni topamiz. Ulardan to'rttasi bor.

Belgilar:

Yoki - "x" ga nisbatan ikkinchi hosila

Yoki - "y" ga nisbatan ikkinchi hosila

Yoki - aralashgan"x y ga nisbatan" hosilasi

Yoki - aralashgan"x ga nisbatan" hosilasi

Ikkinchi lotin tushunchasi haqida hech qanday murakkab narsa yo'q. Oddiy qilib aytganda, Ikkinchi hosila birinchi hosilaning hosilasidir.

Aniqlik uchun men allaqachon topilgan birinchi darajali qisman hosilalarni qayta yozaman:

Avval aralash hosilalarni topamiz:

Ko'rib turganingizdek, hamma narsa oddiy: biz qisman lotinni olamiz va uni yana farqlaymiz, lekin bu holda, allaqachon "y" bilan.

Xuddi shunday:

Amaliy misollar uchun, agar barcha qisman hosilalar uzluksiz bo'lsa, quyidagi tenglik bajariladi:

Shunday qilib, ikkinchi tartibli aralash hosilalar orqali biz birinchi tartibning qisman hosilalarini to'g'ri topganimizni tekshirish juda qulaydir.

Biz "x" ga nisbatan ikkinchi hosilani topamiz.

Ixtirolar yo'q, biz qabul qilamiz va uni yana "X" bilan farqlang:

Xuddi shunday:

Shuni ta'kidlash kerakki, topishda siz ko'rsatishingiz kerak e'tiborni kuchaytirdi, chunki tekshirish uchun mo''jizaviy tenglik yo'q.

2-misol

Funksiyaning birinchi va ikkinchi tartibli qisman hosilalarini toping

Bu o'z-o'zini hal qilish uchun misol (dars oxirida javob).

Ba'zi tajribalar bilan, 1, 2-sonli misollardagi qisman hosilalar siz tomonidan og'zaki hal qilinadi.

Keling, murakkabroq misollarga o'tamiz.

3-misol

Buni tekshiring. Birinchi tartibdagi to‘liq differensialni yozing.

Yechish: Birinchi tartibli qisman hosilalarni topamiz:

Pastki belgiga e'tibor bering: "x" yonida uning doimiy ekanligini qavs ichida yozish taqiqlanmaydi. Ushbu belgi yangi boshlanuvchilar uchun yechimni boshqarishni osonlashtirish uchun juda foydali bo'lishi mumkin.

Qo'shimcha sharhlar:

(1) hosila belgisidan tashqaridagi barcha konstantalarni chiqaramiz. Bunda, va, va, demak, ularning hosilasi doimiy son hisoblanadi.

(2) Ildizlarni qanday qilib to'g'ri ajratishni unutmang.

(1) hosila belgisidan barcha konstantalarni chiqaramiz, bu holda konstanta .

(2) Asosiy ostida biz ikkita funktsiyaning mahsulotiga egamiz, shuning uchun biz mahsulotni farqlash qoidasidan foydalanishimiz kerak. .

(3) Bu murakkab funktsiya ekanligini unutmang (garchi murakkab bo'lganlarning eng oddiyi bo'lsa ham). Biz tegishli qoidadan foydalanamiz: .

Endi biz ikkinchi tartibli aralash hosilalarni topamiz:

Bu shuni anglatadiki, barcha hisob-kitoblar to'g'ri.

Keling, umumiy differentsialni yozamiz. Ko'rib chiqilayotgan vazifa kontekstida ikkita o'zgaruvchining funktsiyasining umumiy differentsialligi nima ekanligini aytishning ma'nosi yo'q. Ushbu farqni ko'pincha amaliy masalalarda yozib qo'yish kerakligi muhimdir.

Ikki o'zgaruvchili funktsiyaning to'liq birinchi tartibli differentsiali quyidagi ko'rinishga ega:

.

Ushbu holatda:

Ya'ni, formulada siz shunchaki topilgan birinchi tartibning qisman hosilalarini almashtirishingiz kerak. Differensial piktogramma va shu va shunga o'xshash holatlarda, agar iloji bo'lsa, numeratorlarda yozish yaxshidir:

4-misol

Funksiyaning birinchi tartibli qisman hosilalarini toping . Buni tekshiring. Birinchi tartibdagi to‘liq differensialni yozing.

Bu o'z-o'zidan bajariladigan misol. To'liq yechim va muammoning namunaviy dizayni dars oxirida.

Murakkab funktsiyalarni o'z ichiga olgan bir qator misollarni ko'rib chiqing.

5-misol

(1) Biz murakkab funktsiyani differentsiallash qoidasini qo'llaymiz . Darsdan Murakkab funktsiyaning hosilasi juda muhim bir narsani esdan chiqarmaslik kerak: biz sinusni (tashqi funktsiyani) jadvalga muvofiq kosinusga aylantirsak, bizda investitsiyalar (ichki funktsiya) mavjud. o'zgarmaydi.

(2) Bu yerda ildizlarning xossasidan foydalanamiz: , doimiyni hosila belgisidan chiqarib, ildizni farqlash uchun zarur shaklda ifodalaymiz.

Xuddi shunday:

Birinchi tartibning umumiy differentsialini yozamiz:

6-misol

Funksiyaning birinchi tartibli qisman hosilalarini toping .

Umumiy farqni yozing.

Bu o'z-o'zini hal qilish uchun misol (dars oxirida javob). Men to'liq yechimni e'lon qilmayman, chunki bu juda oddiy.

Ko'pincha yuqoridagi barcha qoidalar birgalikda qo'llaniladi.

7-misol

Funksiyaning birinchi tartibli qisman hosilalarini toping.

(1) Biz yig'indini farqlash qoidasidan foydalanamiz.

(2) Bu holda birinchi atama doimiy hisoblanadi, chunki ifodada "x" ga bog'liq bo'lgan hech narsa yo'q - faqat "y".

(Bilasizmi, kasrni nolga aylantirish har doim yoqimli.)

Ikkinchi muddat uchun biz mahsulotni farqlash qoidasini qo'llaymiz. Aytgancha, agar uning o'rniga funksiya berilsa, algoritmda hech narsa o'zgarmas edi - bu erda bizda bo'lishi muhim. Har biri "x" ga bog'liq bo'lgan ikkita funktsiyaning mahsuloti, shuning uchun siz mahsulotni farqlash qoidasidan foydalanishingiz kerak. Uchinchi muddat uchun biz murakkab funktsiyani differentsiallash qoidasini qo'llaymiz.

Aniq funktsiyalarning yuqori tartibli hosilalarini hisoblash misollari ko'rib chiqiladi. n-tartibli hosilalarni hisoblash uchun foydali formulalar berilgan.

Yuqori tartibli hosilalarning ta'rifi

Bu erda y o'zgaruvchisi x o'zgaruvchisiga aniq bog'liq bo'lgan holatni ko'rib chiqamiz:
.
Funktsiyani x o'zgaruvchisiga nisbatan farqlash, biz birinchi tartibli hosila yoki shunchaki hosila olamiz:
.
Natijada, biz yangi funktsiyani olamiz, bu funktsiyaning hosilasidir. Ushbu yangi funktsiyani x o'zgaruvchisiga nisbatan farqlash orqali biz ikkinchi tartibli hosilani olamiz:
.
Funktsiyani farqlash orqali biz uchinchi tartibli hosilani olamiz:
.
Va hokazo. Dastlabki funktsiyani n marta farqlab, biz n-tartibli hosila yoki n-chi hosilani olamiz:
.

Hosilalarni belgilash mumkin shtrixlar, rim raqamlari, qavs ichidagi arab raqamlari yoki differentsiallardan kasrlar. Masalan, uchinchi va to'rtinchi tartibli hosilalarni quyidagicha belgilash mumkin:
;
.

Quyida yuqori tartibli hosilalarni hisoblashda foydali bo'lishi mumkin bo'lgan formulalar keltirilgan.

n-tartibli hosilalar uchun foydali formulalar

Ayrim elementar funksiyalarning hosilalari:
;
;
;
;
.

Funktsiyalar yig'indisining hosilasi:
,
doimiylar qayerda.

Leybnits formulasi ikki funksiya hosilasining hosilasi:
,
qayerda
binomial koeffitsientlardir.

1-misol

Quyidagi funksiyaning birinchi va ikkinchi hosilalarini toping:
.

Birinchi tartibning hosilasini topamiz. Biz doimiyni hosila belgisidan chiqaramiz va hosilalar jadvalidan formulani qo'llaymiz:
.
Biz murakkab funktsiyani differentsiallash qoidasini qo'llaymiz:
.
Bu yerda .
Biz murakkab funktsiyani differentsiallash qoidasini qo'llaymiz va topilgan hosilalardan foydalanamiz:
.
Bu yerda .

.
Ikkinchi tartibli hosilani topish uchun birinchi tartibli hosilaning, ya'ni funksiyaning hosilasini topishimiz kerak:
.
Belgilar bilan chalkashmaslik uchun biz ushbu funktsiyani harf bilan belgilaymiz:
(P1.1) .
Keyin ikkinchi tartib hosilasi asl funktsiyadan funktsiyaning hosilasi:
.

Funktsiyaning hosilasini topamiz. Logarifmik hosila bilan buni qilish osonroq. Biz logarifm qilamiz (A1.1):
.
Endi biz farqlaymiz:
(P1.2) .
Lekin bu doimiy. Uning hosilasi nolga teng. ning hosilasini allaqachon topdik. Qolgan hosilalarni kompleks funksiyani differentsiallash qoidasiga ko‘ra topamiz.
;
;
.
(A1.2) o'rniga:

.
Bu yerdan
.

;
.

2-misol

Uchinchi tartib hosilasini toping:
.

Birinchi tartibning hosilasini topamiz. Buning uchun hosila belgisidan doimiyni chiqaramiz, ishlatamiz hosilaviy jadval va murojaat qiling murakkab funksiyaning hosilasini topish qoidasi .

.
Bu yerda .
Shunday qilib, biz birinchi tartibli hosilani topdik:
.

Ikkinchi tartibning hosilasini topamiz. Buning uchun ning hosilasini topamiz. Kasr hosilasi uchun formulani qo'llaymiz.
.
Ikkinchi tartibli hosila:
.

Endi biz qidirayotganimizni topamiz uchinchi tartib hosilasi. Buning uchun biz farqlaymiz.
;
;

.

Uchinchi tartib hosilasi
.

3-misol

Quyidagi funksiyaning oltinchi hosilasini toping:
.

Qavslarni ochsangiz, asl funktsiya darajali polinom ekanligi aniq bo'ladi. Uni polinom sifatida yozamiz:
,
qayerda - doimiy koeffitsientlar.

Keyingi murojaat qiling n-formula quvvat funksiyasining hosilasi:
.
Oltinchi tartibli hosila uchun (n = 6 ) bizda ... bor:
.
Bundan ko'rinib turibdiki, da. Bizda:
.

Funktsiyalar yig'indisining hosilasi uchun formuladan foydalanamiz:

.
Shunday qilib, asl funktsiyaning oltinchi hosilasini topish uchun biz faqat eng yuqori darajadagi ko'phadning koeffitsientini topishimiz kerak. Biz uni asl funktsiya yig'indilari mahsulotidagi eng yuqori darajalarni ko'paytirish orqali topamiz:

.
Bu yerdan. Keyin
.

4-misol

Funktsiyaning n-chi hosilasini toping
.

5-misol

Quyidagi funksiyaning n-chi hosilasini toping:
,
qaerda va doimiylar.

Ushbu misolda hisob-kitoblar murakkab raqamlar yordamida qulay tarzda amalga oshiriladi. Bizda qandaydir murakkab funktsiya bo'lsin
(P5.1) ,
bu yerda va haqiqiy x o‘zgaruvchining funksiyalari;
- xayoliy birlik, .
(A.1) n marta differensiatsiya qilsak, bizda:
(P5.2) .
Ba'zan funktsiyaning n-chi hosilasini topish osonroq. Keyin funksiyalarning n-chi hosilalari va n-chi hosilaning haqiqiy va xayoliy qismlari sifatida aniqlanadi:
;
.

Keling, misolimizni hal qilish uchun ushbu texnikadan foydalanamiz. Funktsiyani ko'rib chiqing
.
Mana biz murojaat qildik Eyler formulasi
,
va yozuvni kiritdi
.
U holda asl funktsiyaning n-chi hosilasi quyidagi formula bilan aniqlanadi:
.

Funktsiyaning n-chi hosilasini toping
.
Buning uchun formulani qo'llang:
.
Bizning holatda
.
Keyin
.

Shunday qilib, biz kompleks funktsiyaning n-chi hosilasini topdik:
,
qayerda.
Funktsiyaning haqiqiy qismini topamiz.
Buning uchun kompleks sonni eksponensial shaklda ifodalaymiz:
,
qayerda;
; .
Keyin
;

.

Misol yechim
.

Mayli,.
Keyin;
.
Da ,
,
,
.
Va biz kosinusning n-chi hosilasi uchun formulani olamiz:
.

,
qayerda
; .