Lavozim xususiyatlariga qo'shimcha ravishda - tasodifiy o'zgaruvchining o'rtacha, tipik qiymatlari - har biri taqsimotning u yoki bu xususiyatini tavsiflovchi bir qator xususiyatlardan foydalaniladi. Bunday xususiyatlar sifatida ko'pincha lahzalar deb ataladigan narsalar qo'llaniladi.

Moment tushunchasi mexanikada massalarning taqsimlanishini (statik momentlar, inersiya momentlari va boshqalar) tasvirlash uchun keng qo‘llaniladi. Tasodifiy miqdor taqsimotining asosiy xossalarini tasvirlash uchun ehtimollar nazariyasida aynan bir xil usullardan foydalaniladi. Ko'pincha amalda ikki turdagi moment qo'llaniladi: boshlang'ich va markaziy.

Uzluksiz tasodifiy miqdorning s-tartibining boshlang'ich momenti quyidagi shaklning yig'indisiga teng:

. (5.7.1)

Shubhasiz, bu ta'rif mexanikada s tartibining boshlang'ich momentining ta'rifiga to'g'ri keladi, agar massalar x o'qidagi nuqtalarda to'plangan bo'lsa.

Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X uchun s-tartibning boshlang'ich momenti integraldir

. (5.7.2)

Oldingi n ° da kiritilgan asosiy pozitsiya xarakteristikasi ekanligini tekshirish oson kutilgan qiymat- tasodifiy o'zgaruvchining birinchi boshlang'ich momentidan boshqa narsa emas.

Kutish belgisidan foydalanib, ikkita formulani (5.7.1) va (5.7.2) bittaga birlashtira olamiz. Darhaqiqat, (5.7.1) va (5.7.2) formulalar tuzilishi jihatidan (5.6.1) va (5.6.2) formulalarga to'liq o'xshaydi, farqi shundaki, ularning o'rniga va mos ravishda mavjud. Shuning uchun ham uzluksiz, ham uzluksiz miqdorlar uchun amal qiladigan --tartibning boshlang'ich momentining umumiy ta'rifini yozishimiz mumkin:

, (5.7.3)

bular. tasodifiy miqdorning th darajasining boshlang'ich momenti bu tasodifiy miqdorning th darajasining matematik kutilishidir.

Markaziy momentning ta'rifini berishdan oldin biz "markazlashtirilgan tasodifiy o'zgaruvchi" ning yangi tushunchasini kiritamiz.

Bo'lsin tasodifiy qiymat matematik kutish bilan. Qiymatga mos keladigan markazlashtirilgan tasodifiy o'zgaruvchi tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilganidan og'ishidir:

Keyinchalik, biz hamma joyda berilgan tasodifiy o'zgaruvchiga mos keladigan markazlashtirilgan tasodifiy miqdorni yuqoridagi belgi bilan bir xil harf bilan belgilashga rozi bo'lamiz.

Markazlashtirilgan tasodifiy miqdorning matematik kutilishi nolga teng ekanligini tekshirish oson. Haqiqatan ham, uzluksiz miqdor uchun

xuddi shunday doimiy miqdor uchun.

Tasodifiy o'zgaruvchini markazlashtirish, ko'rinib turibdiki, boshlang'ichni o'rta, "markaziy" nuqtaga ko'chirishga teng bo'lib, uning abtsissasi matematik kutishga teng.

Markazlashtirilgan tasodifiy miqdorning momentlari markaziy momentlar deyiladi. Ular mexanikada tortishish markazi haqidagi momentlarga o'xshash.

Shunday qilib, tasodifiy miqdorning s tartibining markaziy momenti mos keladigan markazlashtirilgan tasodifiy o'zgaruvchining th kuchining matematik kutilishidir:

, (5.7.6)

va uzluksiz uchun - integral

. (5.7.8)

Keyinchalik, berilgan momentning qaysi tasodifiy o'zgaruvchiga tegishli ekanligiga shubha bo'lmagan hollarda, biz qisqalik uchun oddiy va o'rniga va yozamiz.

Shubhasiz, har qanday tasodifiy o'zgaruvchi uchun birinchi tartibning markaziy momenti nolga teng:

, (5.7.9)

chunki markazlashtirilgan tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi har doim nolga teng.

Keling, turli tartiblarning markaziy va boshlang'ich momentlarini bog'laydigan munosabatlarni chiqaraylik. Biz faqat uzluksiz miqdorlar uchun hosilani amalga oshiramiz; chekli yig‘indilarni integrallar bilan, ehtimollarni esa ehtimollik elementlari bilan almashtirsak, aynan bir xil munosabatlar uzluksiz miqdorlar uchun amal qilishini tekshirish oson.

Ikkinchi markaziy nuqtani ko'rib chiqing:

Xuddi shunday, uchinchi markaziy daqiqada biz quyidagilarni olamiz:

Boshqalar uchun ifodalar. shunga o'xshash tarzda olish mumkin.

Shunday qilib, har qanday tasodifiy o'zgaruvchining markaziy momentlari uchun formulalar amal qiladi:

(5.7.10)

Umuman olganda, momentlarni faqat kelib chiqishi (boshlang'ich momentlar) yoki matematik kutish (markaziy momentlar) bo'yicha emas, balki ixtiyoriy nuqtaga nisbatan ham ko'rib chiqish mumkin:

. (5.7.11)

Biroq, markaziy momentlar boshqalardan ustunlikka ega: birinchi markaziy moment, biz ko'rganimizdek, har doim nolga teng, va undan keyingi ikkinchi markaziy moment, ushbu ma'lumot doirasi uchun minimal qiymatga ega. Keling, buni isbotlaylik. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi uchun (5.7.11) formula quyidagi ko'rinishga ega:

. (5.7.12)

Keling, ushbu ifodani o'zgartiramiz:

Shubhasiz, bu qiymat qachon minimal darajaga etadi, ya'ni. nuqtaga nisbatan moment olinganda.

Barcha momentlardan birinchi boshlang'ich moment (kutish) va ikkinchi markaziy moment ko'pincha tasodifiy o'zgaruvchining xarakteristikasi sifatida ishlatiladi.

Ikkinchi markaziy moment tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi deb ataladi. Ushbu xususiyatning o'ta muhimligini hisobga olgan holda, boshqa jihatlar qatorida, biz uning uchun maxsus belgini kiritamiz:

Markaziy momentning ta'rifiga ko'ra

, (5.7.13)

bular. tasodifiy X ning dispersiyasi - mos keladigan markazlashtirilgan o'zgaruvchining kvadratining matematik kutilishi.

(5.7.13) ifodadagi uning ifoda qiymatini almashtirsak, bizda ham shunday bo'ladi:

. (5.7.14)

To'g'ridan-to'g'ri dispersiyani hisoblash uchun quyidagi formulalar qo'llaniladi:

, (5.7.15)

(5.7.16)

Tegishli ravishda uzluksiz va uzluksiz miqdorlar uchun.

Tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi dispersiyaning o'ziga xos xususiyati, tasodifiy o'zgaruvchi qiymatlarining uning matematik kutilishi atrofida tarqalishi. “Tarqoqlik” so‘zining o‘zi “tarqalish” degan ma’noni anglatadi.

Agar biz taqsimotning mexanik talqiniga murojaat qilsak, dispersiya og'irlik markaziga nisbatan berilgan massa taqsimotining inersiya momentidan boshqa narsa emas (matematik kutish).

Tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi tasodifiy o'zgaruvchining kvadratining o'lchamiga ega; Tarqalishning vizual tavsifi uchun o'lchami tasodifiy o'zgaruvchiga to'g'ri keladigan kattalikdan foydalanish qulayroqdir. Buning uchun dispersiyaning kvadrat ildizini oling. Olingan qiymat tasodifiy o'zgaruvchining standart og'ishi (aks holda - "standart") deb ataladi. O'rtacha kvadrat og'ish quyidagi bilan belgilanadi:

, (5.7.17)

Yozuvlarni soddalashtirish uchun biz tez-tez standart og'ish va dispersiya uchun qisqartirilgan belgidan foydalanamiz: va . Bu xususiyatlar qaysi tasodifiy o'zgaruvchiga tegishli ekanligiga shubha bo'lmasa, biz ba'zan x y belgisini o'tkazib yuboramiz va oddiygina va yozamiz. "Standart og'ish" so'zlari ba'zan s.c.o harflari bilan qisqartiriladi.

Amalda, ko'pincha tasodifiy o'zgaruvchining ikkinchi boshlang'ich momenti (formulalarning ikkinchisi (5.7.10)) bo'yicha dispersiyani ifodalovchi formuladan foydalaniladi. Yangi belgida u quyidagicha ko'rinadi:

Matematik kutish va dispersiya (yoki standart og'ish) tasodifiy o'zgaruvchining eng ko'p qo'llaniladigan xarakteristikalaridir. Ular taqsimotning eng muhim xususiyatlarini tavsiflaydi: uning joylashuvi va tarqalish darajasi. Tarqatishning batafsil tavsifi uchun yuqori tartibli momentlar qo'llaniladi.

Uchinchi markaziy moment taqsimotning assimetriyasini (yoki "qiyshiqligini") tavsiflash uchun xizmat qiladi. Agar taqsimot matematik kutishga nisbatan nosimmetrik bo'lsa (yoki mexanik talqinda massa og'irlik markaziga nisbatan nosimmetrik taqsimlangan bo'lsa), unda g'alati tartibdagi barcha momentlar (agar ular mavjud bo'lsa) nolga teng bo'ladi. Darhaqiqat, jami

taqsimot qonuniga nisbatan simmetrik va toq bo'lgan taqsimot bilan har bir musbat a'zo unga mutlaq qiymatda teng bo'lgan salbiy hadga mos keladi, shuning uchun butun yig'indi nolga teng bo'ladi. Xuddi shu narsa integral uchun ham aniq

,

toq funksiyaning simmetrik chegaralarida integral sifatida nolga teng.

Shuning uchun taqsimot assimetriyasining xarakteristikasi sifatida g'alati momentlardan istalganini tanlash tabiiydir. Ulardan eng oddiyi uchinchi markaziy momentdir. U tasodifiy o'zgaruvchining kubining o'lchamiga ega: o'lchovsiz xarakteristikani olish uchun uchinchi moment standart og'ish kubiga bo'linadi. Olingan qiymat "assimetriya koeffitsienti" yoki oddiygina "assimetriya" deb ataladi; biz uni belgilaymiz:

Shaklda. 5.7.1 ikkita egri taqsimotni ko'rsatadi; ulardan biri (I egri chiziq) ijobiy assimetriyaga ega (); ikkinchisi (II egri chiziq) manfiy ().

To'rtinchi markaziy moment "sovuqlik" deb ataladigan narsani tavsiflash uchun xizmat qiladi, ya'ni. cho'qqi yoki tekis tepalik taqsimoti. Ushbu tarqatish xususiyatlari kurtoz deb ataladigan narsa yordamida tasvirlangan. Tasodifiy o'zgaruvchining kurtozisi - bu miqdor

3 raqami nisbatdan chiqariladi, chunki tabiatda juda muhim va keng tarqalgan normal taqsimot qonuni uchun (bu bilan keyinroq batafsil tanishamiz). Shunday qilib, normal taqsimot uchun kurtoz nolga teng; oddiy egri chiziqlardan ko'ra ko'proq uchli egri chiziqlar ijobiy kurtozga ega; egri chiziqlar ko'proq tekis - salbiy kurtoz bilan.

Shaklda. 5.7.2 taqdim etadi: normal taqsimot(I egri chiziq), musbat kurtoz bilan taqsimlash (egri II) va salbiy kurtoz bilan taqsimlash (egri III).

Yuqorida ko'rib chiqilgan boshlang'ich va markaziy momentlarga qo'shimcha ravishda, amalda ba'zan formulalar bilan aniqlangan mutlaq momentlar (boshlang'ich va markaziy) deb nomlanadi.

Shubhasiz, hatto buyruqlarning mutlaq momentlari oddiy daqiqalarga to'g'ri keladi.

Mutlaq momentlardan birinchi mutlaq markaziy moment ko'pincha ishlatiladi.

, (5.7.21)

o'rtacha arifmetik og'ish deb ataladi. Dispersiya va standart og'ish bilan bir qatorda, o'rtacha arifmetik og'ish ba'zan dispersiya xarakteristikasi sifatida ishlatiladi.

Matematik kutish, rejim, median, boshlang'ich va markaziy momentlar, xususan, dispersiya, standart og'ish, egrilik va kurtoz tasodifiy o'zgaruvchilarning eng ko'p qo'llaniladigan raqamli xarakteristikalaridir. Ko'pgina amaliy masalalarda tasodifiy o'zgaruvchining to'liq tavsifi - taqsimot qonuni kerak emas yoki olinmaydi. Bunday hollarda, ular yordam bilan tasodifiy o'zgaruvchining taxminiy tavsifi bilan chegaralanadi. Raqamli xarakteristikalar, ularning har biri taqsimotning o'ziga xos xususiyatini ifodalaydi.

Ko'pincha raqamli xususiyatlar bitta taqsimotni boshqasiga almashtirishni taxmin qilish uchun ishlatiladi va odatda ular bir nechta muhim fikrlar o'zgarishsiz qolishi uchun bu almashtirishni amalga oshirishga harakat qilishadi.

1-misol. Bitta tajriba o'tkaziladi, buning natijasida hodisa yuzaga kelishi yoki paydo bo'lmasligi mumkin, ehtimollik ga teng. Tasodifiy o'zgaruvchi ko'rib chiqiladi - hodisaning sodir bo'lish soni (hodisaning xarakterli tasodifiy o'zgaruvchisi ). Uning xususiyatlarini aniqlang: matematik kutish, dispersiya, standart og'ish.

Yechim. Miqdorlarni taqsimlash seriyasi quyidagi shaklga ega:

voqea sodir bo'lmasligi ehtimoli qayerda.

(5.6.1) formula bo'yicha biz qiymatning matematik kutilishini topamiz:

Qiymatning dispersiyasi (5.7.15) formula bilan aniqlanadi:

(Biz o'quvchini ikkinchi boshlang'ich moment bo'yicha dispersiyani ifodalash orqali bir xil natijani olishga taklif qilamiz).

2-misol. Nishonga uchta mustaqil o'q uzildi; har bir zarbani urish ehtimoli 0,4 ga teng. tasodifiy o'zgaruvchisi xitlar soni. Miqdorning xususiyatlarini aniqlang - matematik kutish, dispersiya, s.k.o., assimetriya.

Yechim. Miqdorlarni taqsimlash seriyasi quyidagi shaklga ega:

Biz miqdorning raqamli xususiyatlarini hisoblaymiz:

E'tibor bering, xuddi shu xususiyatlarni teoremalardan foydalanib, oddiyroq hisoblash mumkin raqamli xususiyatlar funktsiyalari (10-bobga qarang).

Ta'rif.Tarqalish (tarqalish) Diskret tasodifiy o'zgaruvchi tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilganidan kvadrat og'ishining matematik kutilishi deb ataladi:

Misol. Yuqoridagi misol uchun biz topamiz

Tasodifiy o'zgaruvchining matematik taxmini:

Kvadrat og'ishning mumkin bo'lgan qiymatlari:

; ;

Dispersiya quyidagicha:

Biroq, amalda, dispersiyani hisoblashning bu usuli noqulay, chunki tasodifiy o'zgaruvchining ko'p sonli qiymatlari uchun noqulay hisob-kitoblarga olib keladi. Shuning uchun boshqa usul qo'llaniladi.

Farqni hisoblash

Teorema. Dispersiya X tasodifiy o'zgaruvchining kvadratining matematik kutilishi va uning matematik kutilmasining kvadrati o'rtasidagi farqga teng.:

Isbot. Matematik kutish va matematik kutish kvadrati doimiy qiymatlar ekanligini hisobga olib, biz yozishimiz mumkin:

Keling, ushbu formulani yuqoridagi misolga qo'llaymiz:

Dispersiya xususiyatlari

1) dispersiya doimiy qiymat nolga teng:

2) Doimiy koeffitsientni dispersiya belgisidan kvadratga ajratib olish mumkin:

.

3) Ikki mustaqil tasodifiy miqdorlar yig‘indisining dispersiyasi ushbu o‘zgaruvchilarning dispersiyalari yig‘indisiga teng:

4) Ikki mustaqil tasodifiy miqdorlar farqining dispersiyasi ushbu oʻzgaruvchilarning dispersiyalari yigʻindisiga teng:

Bu tenglikning haqiqiyligi 2-xususiyatdan kelib chiqadi.

Teorema. Har birida hodisaning ro‘y berish ehtimoli doimiy bo‘lgan n ta mustaqil sinovda A hodisasining ro‘y berish sonining dispersiyasi, sodir bo‘lish ehtimoli va hodisa ehtimoli bo‘yicha sinovlar sonining ko‘paytmasiga teng. har bir sinovda sodir bo'lmaydi:

Misol. Zavodda mahsulotning 96 foizi birinchi nav, 4 foizi ikkinchi nav ishlab chiqariladi. 1000 ta element tasodifiy tanlanadi. Mayli X- ushbu namunadagi birinchi navdagi mahsulotlar soni. Tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini, matematik kutilmasini va dispersiyasini toping.

Shunday qilib, taqsimot qonunini binomial deb hisoblash mumkin.

Misol. Diskret tasodifiy miqdorning dispersiyasini toping X- voqea sodir bo'lgan holatlar soni LEKIN ikkita mustaqil sudda, agar har bir sud jarayonida ushbu hodisaning yuzaga kelish ehtimoli teng bo'lsa va ma'lum bo'lsa.

Chunki tasodifiy qiymat X binomial qonun bo'yicha taqsimlanadi, keyin

Misol. Mustaqil testlar hodisaning bir xil yuzaga kelishi ehtimoli bilan amalga oshiriladi LEKIN har bir sinovda. Voqea sodir bo'lish ehtimolini toping LEKIN agar uchta mustaqil sinovda hodisaning sodir bo'lish sonining dispersiyasi 0,63 bo'lsa.

Binom qonunining dispersiya formulasiga ko'ra, biz quyidagilarni olamiz:

;

Misol. To'rtta mustaqil ishlaydigan qurilmadan iborat qurilma sinovdan o'tkazilmoqda. Qurilmalarning har birining ishdan chiqish ehtimoli mos ravishda tengdir ; ; . Muvaffaqiyatsiz qurilmalar sonining matematik kutilishi va farqini toping.

Muvaffaqiyatsiz qurilmalar sonini tasodifiy o'zgaruvchi sifatida olib, biz ushbu tasodifiy o'zgaruvchining 0, 1, 2, 3 yoki 4 qiymatlarini olishi mumkinligini ko'ramiz.

Ushbu tasodifiy o'zgaruvchining taqsimot qonunini tuzish uchun mos keladigan ehtimollarni aniqlash kerak. Qabul qilaylik.

1) Birorta ham qurilma ishlamay qoldi:

2) Qurilmalardan biri muvaffaqiyatsiz tugadi.

Matematik kutish tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlari qaysi nuqta atrofida guruhlanganligini ko'rsatadi. Shuningdek, tasodifiy miqdorning matematik kutishga nisbatan o'zgaruvchanligini o'lchash imkoniyatiga ega bo'lish kerak. Yuqoridagilar shuni ko'rsatadi M[(X- a) 2 ] minimal darajaga etadi a da a = M(X). Shuning uchun, aniq qabul qilish tabiiydir M[(X-M(X)) 2].

Ta'rif 5. Tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi X raqam chaqirdi

Tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasining bir qator xususiyatlarini o'rnatamiz, ular doimiy ravishda ehtimollik-statistik qarorlar qabul qilish usullarida qo'llaniladi.

Bayonot 8. Mayli X- tasodifiy qiymat, a va b- ba'zi raqamlar Y = aX + b. Keyin D(Y) = a 2 D(X).

3 va 5-bandlardan kelib chiqqan holda, M(Y) = aM(X) + b. Natijada , D(Y) = M[(Y - M(Y)) 2 ] = M[(aX + b - aM(X) - b) 2 ] = M[ a 2 (X - M(X)) 2 ]. O'zgarmas koeffitsientni yig'indining belgisidan chiqarish mumkin bo'lgani uchun, demak M[ a 2 (X - M(X)) 2 ] = a 2 M[(X - M(X)) 2 ] = a 2 D(X).

8-bayonda, xususan, mos yozuvlar nuqtasi va o'lchov birligining o'zgarishi bilan kuzatishlar natijasining dispersiyasi qanday o'zgarishi ko'rsatilgan. Bu siljish va o'lchov parametrlarining boshqa qiymatlariga o'tishda hisoblash formulalarini o'zgartirish qoidasini beradi.

Bayonot 9. Agar tasodifiy o'zgaruvchilar X va Da mustaqil, keyin ularning yig'indisining dispersiyasi X+Y dispersiyalarning yig'indisiga teng: D(X+ Y) = D(X) + D(Y).

Buni isbotlash uchun biz identifikatsiyadan foydalanamiz

(X + Y - (M (X) + M (Y)) 2 \u003d (X - M (X)) 2

+ 2(X–M(X))(U–M(U)) + (U–M(U)) 2 ,

Bu esa taniqli elementar algebra formulasidan kelib chiqadi (a+ b) 2 = a 2 + 2 ab + b 2 almashtirganda a = X- M(X) va b = Y- M(Y). Bu 3 va 5-bandlardan va dispersiyaning ta'rifidan kelib chiqadi

D(X+ Y) = D(X) + D(Y) + 2 M((X-M(X))(Y-M(Y))).

6-taklifga ko'ra, X va Y ning mustaqilligi mustaqillikni anglatadi X-M(X) va Da-M(Da). 7-tasdiq shuni anglatadi

M((X–M(X))(Y–M(Y))))=M(X–M(X))M(U–M(U)).

Chunki M(X–M(X))= 0 (3-taklifga qarang), keyin oxirgi tenglikning o'ng tomoni 0 ga teng bo'ladi, bundan oldingi ikkita tenglikni hisobga olgan holda, 9-taklifning xulosasi keladi.

Bayonot 10. Mayli X 1 , X 2 ,…, X k juftlik mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilardir (ya'ni. X i va Xj mustaqil, agar ). Mayli Y k- ularning yig'indisi, Y k = X 1 + X 2 +…+ X k. U holda yig'indining matematik kutilishi atamalarning matematik kutishlari yig'indisiga teng bo'ladi, M(Y k) = M(X 1 )+ M(X 2 )+…+M(X k), yig'indining dispersiyasi shartlarning dispersiyalari yig'indisiga teng; D(Y k) = D(X 1 )+ D(X 2 )+…+ D(X k).

10-bayonotda tuzilgan munosabatlar namunaviy xususiyatlarni o'rganishda asosiy hisoblanadi, chunki tanlovga kiritilgan kuzatishlar yoki o'lchovlar natijalari odatda matematik statistika, qarorlar nazariyasi va ekonometrikada mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilarning realizatsiyasi sifatida ko'rib chiqiladi.

Har qanday raqamli tasodifiy o'zgaruvchilar to'plami (nafaqat mustaqil bo'lganlar) uchun ularning yig'indisining matematik kutilishi ularning matematik taxminlari yig'indisiga teng. Bu tasdiq 5-taklifning umumlashtirilishidir. Qattiq isbot matematik induksiya usuli bilan osonlik bilan amalga oshiriladi.

Dispersiya formulasini chiqarishda D(Y k) yig'ish belgisining quyidagi xususiyatidan foydalanamiz:

Keling, qo'ying a i = X i – M(X i), olamiz

Keling, yig'indining matematik kutilishi matematik taxminlar yig'indisiga teng ekanligidan foydalanamiz:

9-bayonning isbotida ko'rsatilganidek, ko'rib chiqilayotgan tasodifiy o'zgaruvchilarning juftlik mustaqilligidan kelib chiqadiki. Binobarin, faqat bilan shartlar i= j, va ular tengdir D(X i).

Tasodifiy o'zgaruvchilarning 8-10-bandlarda olingan matematik kutish va dispersiya kabi xarakteristikasining fundamental xususiyatlari doimiy ravishda real hodisa va jarayonlarning deyarli barcha ehtimollik-statistik modellarida qo'llaniladi.

9-misol Bir voqeani ko'rib chiqing LEKIN va tasodifiy o'zgaruvchi X shundayki , agar , va aks holda, ya'ni. agar . Keling, buni ko'rsataylik M(X) = P(A),D(X) = P(A)( 1 – P(A)).

Matematik kutish uchun (5) formuladan foydalanamiz. Tasodifiy qiymat X ikkita qiymatni oladi - 0 va 1, ehtimollik bilan 1 qiymati P(A) va 1 ehtimollik bilan 0 qiymati - P(A), va shuning uchun M(X) = 1x P(A) + 0X ( 1- P(A)) = P(A). Xuddi shunday (X – M(X)) 2 = (1 – P(A)) 2 ehtimollik bilan P(A) va (X – M(X)) 2 = (0 – P(A)) 2 ehtimollik bilan 1 - P(A), va shuning uchun D(A) = ( 1 – P(A)) 2 P(A) + (P(A)) 2 ( 1 – P(A)) . Umumiy omilni chiqarib tashlasak, biz buni olamiz D(A) = P(A)( 1 – P(A)).

10-misol O'ylab ko'ring k mustaqil testlar, ularning har birida ba'zi hodisalar LEKIN kelishi mumkin yoki kelmasligi mumkin. Biz tasodifiy o'zgaruvchilarni kiritamiz X 1 , X 2 ,…, X k quyidagicha: = 1 bo'lsa i test hodisasi LEKIN sodir bo'ldi, aks holda = 0. Keyin tasodifiy o'zgaruvchilar X 1 , X 2 ,…, X k juftlikdan mustaqil (7-misolga qarang). 9-misolda ko'rsatilganidek, M(X i) = p, D(X i) = p( 1 – p) , qayerda p = P(A). Ba'zan R"muvaffaqiyat ehtimoli" deb ataladi - agar voqea sodir bo'lsa LEKIN"muvaffaqiyat" deb baholanadi.

dispersiya Tasodifiy o'zgaruvchining (tarqalishi) - tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilganidan kvadrat og'ishining matematik kutilishi:

Farqni hisoblash uchun siz biroz o'zgartirilgan formuladan foydalanishingiz mumkin

chunki M(X), 2 va
doimiy qiymatlardir. Shunday qilib,

4.2.2. Dispersiya xususiyatlari

Mulk 1. Doimiy qiymatning dispersiyasi nolga teng. Darhaqiqat, ta'rifga ko'ra

Mulk 2. Doimiy koeffitsientni dispersiya belgisidan kvadratga ajratib olish mumkin.

Isbot

Markazlashtirilgan Tasodifiy o'zgaruvchi - bu tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilganidan chetga chiqishi:

Markazlashtirilgan qiymat o'zgartirish uchun qulay bo'lgan ikkita xususiyatga ega:

Mulk 3. Agar tasodifiy o'zgaruvchilar X va Y mustaqil, keyin

Isbot. Belgilamoq
. Keyin.

Ikkinchi muddatda tasodifiy o'zgaruvchilarning mustaqilligi va markazlashtirilgan tasodifiy o'zgaruvchilarning xususiyatlari tufayli

4.5-misol. Agar a a va b doimiy, keyin D (aX+b)= D(aX)+D(b)=
.

4.2.3. Standart og'ish

Tasodifiy o'zgaruvchining tarqalishining xarakteristikasi sifatida dispersiya bitta kamchilikka ega. Agar, masalan, X- o'lchov xatosi o'lchamga ega MM, u holda dispersiya o'lchovga ega bo'ladi
. Shuning uchun, ko'pincha boshqa tarqalish xususiyatidan foydalanish afzallik beriladi - standart og'ish , bu dispersiyaning kvadrat ildiziga teng

Standart og'ish tasodifiy o'zgaruvchining o'zi bilan bir xil o'lchamga ega.

4.6-misol. Mustaqil sinovlar sxemasida hodisa ro'y berish sonining o'zgarishi

Ishlab chiqarilgan n mustaqil sinovlar va har bir sinovda sodir bo'lgan voqea ehtimoli R. Biz, avvalgidek, voqea sodir bo'lgan sonini bildiramiz X individual tajribalarda hodisaning sodir bo'lish soni orqali:

Tajribalar mustaqil bo'lgani uchun tasodifiy o'zgaruvchilar tajribalar bilan bog'liq mustaqil. Va mustaqillik sharofati bilan bizda ... bor

Ammo tasodifiy o'zgaruvchilarning har biri taqsimot qonuniga ega (3.2-misol)

va
(4.4-misol). Shunday qilib, dispersiyaning ta'rifi bo'yicha:

qayerda q=1- p.

Natijada, biz bor
,

Voqea sodir bo'lish sonining standart og'ishi n mustaqil tajribalar
.

4.3. Tasodifiy o'zgaruvchilar momentlari

Ko'rib chiqilganlardan tashqari, tasodifiy o'zgaruvchilar ko'plab boshqa raqamli xususiyatlarga ega.

Boshlanish momenti k X (
) matematik kutish deyiladi k bu tasodifiy o'zgaruvchining kuchi.

Markaziy nuqta k- tartibli tasodifiy o'zgaruvchi X kutish deyiladi k mos markazlashtirilgan miqdorning th kuchi.

Birinchi tartibning markaziy momenti har doim nolga teng ekanligini tushunish oson, ikkinchi tartibning markaziy momenti dispersiyaga teng, chunki .

Uchinchi tartibning markaziy momenti tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanishining assimetriyasi haqida fikr beradi. Ikkinchidan yuqori tartibli momentlar nisbatan kamdan-kam qo'llaniladi, shuning uchun biz faqat ular haqidagi tushunchalar bilan cheklanamiz.

4.4. Tarqatish qonunlarini topishga misollar

Tasodifiy o'zgaruvchilarning taqsimot qonunlarini va ularning sonli xarakteristikalarini topish misollarini ko'rib chiqing.

4.7-misol.

Nishonga uchta zarba berish bilan nishonga zarbalar soni uchun taqsimot qonunini tuzing, agar har bir o'q bilan urish ehtimoli 0,4 bo'lsa. Integral funktsiyani toping F(X) diskret tasodifiy o'zgaruvchining natijada taqsimlanishi uchun X va uning grafigini chizing. Matematik taxminni toping M(X) , dispersiya D(X) va standart og'ish
(X) tasodifiy o'zgaruvchi X.

Yechim

1) Diskret tasodifiy miqdor X- uchta zarba bilan nishonga zarbalar soni - to'rtta qiymatni olishi mumkin: 0, 1, 2, 3 . U ularning har birini qabul qilish ehtimolini biz Bernulli formulasidan topamiz: n=3,p=0,4,q=1- p=0,6 va m=0, 1, 2, 3:

Mumkin bo'lgan qiymatlarning ehtimolliklarini oling X:;

Tasodifiy miqdorni taqsimlashning kerakli qonunini tuzamiz X:

Nazorat: 0,216+0,432+0,288+0,064=1.

Olingan tasodifiy miqdorning taqsimot poligonini quramiz X. Buning uchun to‘rtburchak koordinatalar sistemasida (0; 0,216), (1; 0,432), (2; 0,288), (3; 0,064) nuqtalarni belgilang. Keling, bu nuqtalarni chiziq segmentlari bilan bog'laymiz, natijada siniq chiziq kerakli taqsimot poligonidir (4.1-rasm).

2) Agar x bo'lsa 0, keyin F(X)=0. Darhaqiqat, noldan kichik qiymatlar uchun qiymat X qabul qilmaydi. Shuning uchun, hamma uchun X0 , ta'rifdan foydalanib F(X), olamiz F(X)=P(X< x) =0 (mumkin bo'lmagan hodisaning ehtimoli sifatida).

Agar 0 , keyin F(X) =0,216. Darhaqiqat, bu holatda F(X)=P(X< x) = =P(- < X 0)+ P(0< X< x) =0,216+0=0,216.

Agar, masalan, X=0,2, keyin F(0,2)=P(X<0,2) . Ammo voqea ehtimoli X<0,2 равна 0,216, так как случайная величинаX faqat bitta holatda 0,2 dan kam qiymatni oladi, ya'ni 0 0,216 ehtimollik bilan.

Agar 1 , keyin

Haqiqatan ham, X 0,216 ehtimollik bilan 0 qiymatini va 0,432 ehtimollik bilan 1 qiymatini qabul qilishi mumkin; shuning uchun, qaysi biri bo'lishidan qat'i nazar, ushbu qadriyatlardan biri, X 0,648 ehtimollik bilan (mos kelmaydigan hodisalarning ehtimollarini qo'shish teoremasi bo'yicha) qabul qilishi mumkin.

Agar 2 , keyin, shunga o'xshash bahslashib, biz olamiz F(X)=0,216+0,432 + + 0,288=0,936. Darhaqiqat, masalan, X=3. Keyin F(3)=P(X<3) hodisaning ehtimolini ifodalaydi X<3 – стрелок сделает меньше трех попаданий, т.е. ноль, один или два. Применяя теорему сложения вероятностей, получим указанное значение функцииF(X).

Agar a x>3, keyin F(X)=0,216+0,432+0,288+0,064=1. Haqiqatan ham, voqea X
ishonchli va uning ehtimoli birga teng, va X>3 - imkonsiz. Sharti bilan; inobatga olgan holda

F(X)=P(X< x) =P(X 3) + P(3< X< x) , biz ko'rsatilgan natijani olamiz.

Shunday qilib, X tasodifiy o'zgaruvchining kerakli integral taqsimot funktsiyasi olinadi:

F(x) =

uning grafigi rasmda ko'rsatilgan. 4.2.

3) Diskret tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi barcha mumkin bo'lgan qiymatlar mahsuloti yig'indisiga teng. X ularning ehtimoli bo'yicha:

M(X)=0=1,2.

Ya'ni, o'rtacha hisobda uchta zarba bilan nishonga bitta zarba bo'ladi.

Dispersiyani dispersiya ta'rifidan hisoblash mumkin D(X)= M(X- M(X)) yoki formuladan foydalaning D(X)= M(X
, bu esa maqsadga tezroq olib keladi.

Tasodifiy miqdorning taqsimlanish qonunini yozamiz X :

uchun matematik taxminni toping X:

M(X ) = 04
= 2,16.

Istalgan farqni hisoblaymiz:

D(X) = M(X ) – (M(X)) = 2,16 – (1,2)= 0,72.

O'rtacha kvadrat og'ish formula bo'yicha topiladi

(X) =
= 0,848.

Interval ( M- ; M+ ) = (1,2-0,85; 1,2+0,85) = (0,35; 2,05) - tasodifiy o'zgaruvchining eng ehtimoliy qiymatlari oralig'i X, 1 va 2 qiymatlari unga tushadi.

4.8-misol.

Uzluksiz tasodifiy miqdorning differentsial taqsimot funksiyasi (zichlik funksiyasi) berilgan X:

f(x) =

1) Doimiy parametrni aniqlang a.

2) integral funksiyani toping F(x) .

3) Funksiya grafiklarini tuzish f(x) va F(x) .

4) Ehtimollarning ikkita usulini toping P(0,5< X 1,5) va P(1,5< X<3,5) .

5). Matematik taxminni toping M(X), dispersiya D(X) va standart og'ish
tasodifiy o'zgaruvchi X.

Yechim

1) Xususiyatiga ko'ra differentsial funktsiya f(x) shartni qondirishi kerak
.

Berilgan funksiya uchun bu noto'g'ri integralni hisoblaylik f(x) :

Ushbu natijani tenglikning chap tomoniga almashtirsak, biz buni olamiz a=1. uchun sharoitda f(x) parametrni o'zgartiring a 1 da:

2) topish F(x) formuladan foydalaning

.

Agar x
, keyin
, Binobarin,

Agar 1
keyin

Agar x>2 bo'lsa

Demak, kerakli integral funksiya F(x) kabi ko'rinadi:

3) funksiyalar grafiklarini tuzamiz f(x) va F(x) (4.3 va 4.4-rasmlar).

4) Berilgan oraliqda tasodifiy o'zgaruvchiga tegish ehtimoli (a,b) formula bo'yicha hisoblanadi
, agar funktsiya ma'lum bo'lsa f(x), va formula bo'yicha P(a < X < b) = F(b) – F(a), funktsiya ma'lum bo'lsa F(x).

Keling, topamiz
ikkita formuladan foydalanib, natijalarni solishtiring. Shart bo'yicha a=0,5;b=1,5; funktsiyasi f(X) 1-bandda ko'rsatilgan). Shunday qilib, formula bo'yicha kerakli ehtimollik:

Xuddi shu ehtimollikni b) formula bo'yicha 2) paragrafda olingan o'sish orqali hisoblash mumkin. integral funktsiya F(x) bu oraliqda:

Chunki F(0,5)=0.

Xuddi shunday, biz topamiz

chunki F(3,5)=1.

5) Matematik kutilmani topish M(X) formuladan foydalaning
Funktsiya f(x) 1-band qarorida berilgan), u (1,2] oraliqdan tashqari nolga teng:

Uzluksiz tasodifiy miqdorning dispersiyasi D(X) tengligi bilan belgilanadi

, yoki ekvivalent tenglik

.

Uchun topish D(X) biz oxirgi formuladan foydalanamiz va barcha mumkin bo'lgan qiymatlarni hisobga olamiz f(x) (1,2] oralig'iga tegishli:

Standart og'ish
=
=0,276.

Tasodifiy o'zgaruvchining eng mumkin bo'lgan qiymatlari oralig'i X teng

(M-
,M+
) = (1,58-0,28; 1,58+0,28) = (1,3; 1,86).

Matematik kutish tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlari qaysi raqamli o'lchov bo'yicha guruhlanganligini ko'rsatadi. Shu bilan birga, tasodifiy miqdorning matematik kutishga nisbatan o'zgaruvchanligini (o'zgaruvchanligini) o'lchash imkoniyatiga ega bo'lish ham kerak. O'zgaruvchanlikning bunday ko'rsatkichi tasodifiy o'zgaruvchi va uning matematik kutilishi o'rtasidagi farq kvadratining matematik kutilishi, ya'ni M [(X) - M [X]) 2].

Ta'rif. tasodifiy o'zgaruvchining x dispersiyasi soni 14 DX] = M [(XM [X]) 2], (3.30)

yoki DX] = ±f(x t) o(*,-M[X]) 2.

3.26-rasmda taqsimotni hisoblash uchun formulalar ko'rsatilgan - statistik ehtimollik fx;) - shuningdek ko'rsatkichlar: matematik kutish M [X](E9 katak) va dispersiya D [X] (G9 katak).

14 Biz ushbu ta'rifni tanlov dispersiyasi ta'rifi bilan solishtirishni taklif qilamiz

Guruch. 3.26. m [x] ni hisoblash uchun formulalar va 0 [X] 3.27-rasmdagi jadvalda matematik kutishni hisoblash natijalari ko'rsatilgan m [x] va dispersiya 0 [X] 3.14-misolga muvofiq, shuningdek taqsimot gistogrammasi m [x]= 4.00 (E9 hujayra) va dispersiya 0 [X] = 1.00 (B9 hujayra).

Matematik kutish tasodifiy o'zgaruvchining qiymatini ko'rsatadi x 4.00 qiymati atrofida guruhlangan bo'lib, ularning soni jami 50% ni tashkil qiladi. Biroq, boshqa ma'lumotlarni bir xil qiymat atrofida guruhlash mumkin.

Guruch. 3.27. A / [X] = 4.00 va £> [X] = 1.00 bilan taqsimlanish jadvali va gistogrammasi

3.28-rasmdan ko'rinib turibdiki, [x] = 4,00 matematik kutish uchun dispersiya £> [X] = 2,32 3.28-rasmdagi ma'lumotlarga qaraganda ikki baravar katta. 3.27. Tegishli gistogramma ham sezilarli o'zgaruvchanlikni ko'rsatadi.

Guruch. 3.28. M[X]=4,00 va £>[X]=2,32 bilan taqsimlanish jadvali va gistogrammasi

Biz rasmdagi jadval va grafiklarni solishtirishni taklif qilamiz. 3.27 va 3.28 va xulosalar chiqaring. Xususiyatlari dispersiya Ehtimoliy statistik usullarda doimiy ravishda qo'llaniladigan tasodifiy o'zgaruvchilar:

o agar x- tasodifiy o'zgaruvchi, a va b - ba'zi raqamlar, B = ax + b, keyin

D= a 2 D[X] (3.31)

(bu shkala parametri sifatida a soni dispersiyaga sezilarli ta'sir ko'rsatadi, b soni esa - siljish parametri dispersiya qiymatiga ta'sir qilmaydi);

o agar X 1, X 2, X n juft boʻlmagan mustaqil tasodifiy miqdorlar boʻlsa (yaʼni X t va X i F j uchun mustaqil boʻlsa), u holda yigʻindining dispersiyasi dispersiyalarning yigʻindisiga teng boʻladi.

D = D + D + ... + D. (3.32)

Kutish (3.25) va dispersiya (3.32) o'rtasidagi bog'liqlik namunaviy xususiyatlarni o'rganishda muhim ahamiyatga ega, chunki namunaviy kuzatishlar yoki o'lchovlar natijalari matematik statistika, mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilarning realizatsiyasi sifatida.

O'zgaruvchanlikning yana bir ko'rsatkichi tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi bilan chambarchas bog'liq - standart og'ish.

Ta'rif. X tasodifiy o'zgaruvchining standart og'ishi integral sondir

SD [X]= +VD[X]. (3.33)

Shunday qilib, standart og'ish tarqalishi bilan aniq bog'liq.

Statistik tadqiqotlar nazariyasi va amaliyotida maxsus funktsiyalar - tasodifiy o'zgaruvchilarning xarakteristikasi bo'lgan momentlar (boshlang'ich va markaziy) deb ataladigan funktsiyalar ham muhim rol o'ynaydi.

Ta'rif. Tasodifiy miqdorning k-tartibining boshlang'ich momenti x Bu miqdorning k darajali matematik kutilishi deyiladi:

~ K=M. 15 (3.34)

Ta'rif. Tasodifiy miqdorning k-darajali markaziy momenti x Bu x qiymatining matematik kutilganidan chetlanishning k-darajali matematik kutilishi deyiladi:

m = m k, bu erda a = M[X].

Tasodifiy o'zgaruvchilar momentlarini belgilash uchun biz variatsion qator momentlari bilan bir xil harflardan foydalanamiz, lekin qo'shimcha ~ belgisi bilan ("tilde").

Diskret momentlarni hisoblash uchun formulalar (qiymatlarni oladi X va ehtimollik bilan p) va uzluksiz (ehtimollik zichligi bilan / x)) tasodifiy

qiymatlari jadvalda keltirilgan. 3.4.

3.4-jadval

Tasodifiy o'zgaruvchilar momentlarini hisoblash formulalari

Variatsion satrlarga kelsak, diskret tasodifiy o'zgaruvchilarning momentlari o'xshash ma'noga ega:

Birinchi boshlanish momenti(¿= 1) tasodifiy miqdor Heh uni Matematik kutish:

~ 1 = M [X] = s. (3.36)

Ikkinchi markaziy moment(¿= 2) x tasodifiy miqdorning 0 [X] dispersiyasini aniqlaydi:

V d(chi - a) 2 g. u \u003d TsH] \u003d (T 2. (3.37)

Uchinchi markaziy daqiqa(¿= 3) x tasodifiy miqdor taqsimotining assimetriyasini tavsiflaydi:

P

Asimmetriya koeffitsienti va tasodifiy o'zgaruvchining x taqsimoti quyidagi ko'rinishga ega:

G \u003d ~ X (chi "a) 3 R va = A. (3,38)

To'rtinchi markaziy moment(¿= 4) tasodifiy miqdor taqsimotining keskinligini tavsiflaydi.

Nazariy va namunaviy momentlarning qiymatlarini taqqoslash asosida tasodifiy o'zgaruvchilar taqsimoti parametrlari baholanadi (masalan, 4 va 5-bo'limlarga qarang).

Yuqorida ta'kidlanganidek, matematik statistikada ko'rsatkichlarning ikkita parallel chizig'i qo'llaniladi: birinchisi amaliyot bilan bog'liq (bular namunaviy ko'rsatkichlar), ikkinchisi nazariyaga asoslanadi (bular ehtimollik modelining ko'rsatkichlari). Ushbu ko'rsatkichlarning nisbati jadvalda keltirilgan. 3.5.

3.5-jadval

Empirik tanlama ko'rsatkichlari va ehtimollik modeli o'rtasidagi bog'liqlik

3.5-jadvalning davomi

Demak, tavsiflovchi statistikaning maqsadi namunaviy empirik ma'lumotlar to'plamini ko'rsatkichlar tizimiga - real hayot ob'ektlari bilan bog'liq bo'lgan statistik ma'lumotlarga aylantirishdir. Shunday qilib, psixologlar, o'qituvchilar va boshqa mutaxassislar real sohada ishlaydi, ularning ob'ektlari shaxslar, shaxslar guruhlari, jamoalar bo'lib, ularning xususiyatlari empirik ko'rsatkichlardir. Shu bilan birga, tadqiqotning asosiy maqsadi yangi bilimlarni olishdir va bilim nazariy modellarning xarakteristikalari shaklida ideal shaklda mavjud. Bu real ob'ektlarning empirik ko'rsatkichlaridan nazariy model ko'rsatkichlariga to'g'ri o'tish muammosini keltirib chiqaradi. Ushbu o'tish umumiy uslubiy yondashuvlarni va qat'iy matematik asoslarni tahlil qilishni talab qiladi. Bu erda asosiy imkoniyat katta sonlar qonuni bilan ochiladi, uning nazariy asoslanishi Yakob Bernulli (1654-1705), Pafnutiy Lvovich Chebishev (1821-1894) va 19-asrning boshqa matematiklari tomonidan berilgan.

Savol. Vazifa.

1. Tasodifiy miqdor tushunchasini kengaytiring.

2. Diskret va uzluksiz tasodifiy miqdorlarning farqi nimada?

3. Ehtimollar fazosi qanday elementlardan iborat?

4. Diskret tasodifiy miqdorning taqsimoti qanday quriladi?

5. Zichlik funksiyasi A (x) va taqsimot funksiyasi B (x) qanday bog‘langan?

6. Integralning geometrik talqinini keltiring B(co) = | L(x) cx = 1.