7.sınıf matematik dersinde ilk kez tanışırlar. iki değişkenli denklemler ancak bunlar yalnızca iki bilinmeyenli denklem sistemleri bağlamında incelenir. Bu nedenle, denklemin katsayılarına onları sınırlayan belirli koşulların getirildiği bir takım problemler gözden kayboluyor. Ayrıca USE materyallerinde ve giriş sınavlarında bu tür problemlerle giderek daha sık karşılaşılsa da “Doğal veya tamsayılarda denklem çözme” gibi problem çözme yöntemleri de göz ardı ediliyor.

Hangi denkleme iki değişkenli denklem denir?

Yani örneğin 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 veya xy = 12 denklemleri iki değişkenli denklemlerdir.

2x - y = 1 denklemini düşünün. X = 2 ve y = 3'te gerçek bir eşitliğe dönüşür, dolayısıyla bu değişken değer çifti, söz konusu denklemin çözümüdür.

Böylece, iki değişkenli herhangi bir denklemin çözümü, sıralı çiftler (x; y) kümesidir, bu denklemin gerçek bir sayısal eşitliğe dönüştürdüğü değişkenlerin değerleri.

İki bilinmeyenli bir denklem şunları yapabilir:

A) tek bir çözümü var.Örneğin, x 2 + 5y 2 = 0 denkleminin tek bir çözümü vardır (0; 0);

B) birden fazla çözümü var.Örneğin, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0'ın 4 çözümü vardır: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; -2);

v) hiçbir çözümü yok.Örneğin x 2 + y 2 + 1 = 0 denkleminin çözümü yoktur;

G) sonsuz sayıda çözümü var.Örneğin, x + y = 3. Bu denklemin çözümleri toplamı 3 olan sayılar olacaktır. Bu denklemin çözüm kümesi (k; 3 - k) şeklinde yazılabilir; burada k herhangi bir gerçek sayıdır.

İki değişkenli denklemleri çözmenin ana yöntemleri, ifadeleri çarpanlara ayırmaya, tam kareyi vurgulamaya, ikinci dereceden denklemin özelliklerini kullanmaya, sınırlı ifadelere ve değerlendirme yöntemlerine dayalı yöntemlerdir. Denklem, kural olarak, bilinmeyenleri bulmak için bir sistemin elde edilebileceği bir forma dönüştürülür.

çarpanlara ayırma

örnek 1

Denklemi çözün: xy - 2 = 2x - y.

Çözüm.

Faktoring amacıyla terimleri gruplandırıyoruz:

(xy + y) - (2x + 2) = 0. Her parantezden ortak faktörü çıkarın:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y - 2) = 0. Elimizde:

y = 2, x herhangi bir gerçek sayıdır veya x = -1, y herhangi bir gerçek sayıdır.

Böylece, cevap (x; 2), x € R ve (-1; y), y € R formundaki tüm çiftlerdir.

Negatif olmayan sayıların sıfıra eşitliği

Örnek 2

Denklemi çözün: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Çözüm.

Gruplandırma:

(9x 2 - 12x + 4) + (4y 2 - 12y + 9) = 0. Artık her parantez kare fark formülü kullanılarak daraltılabilir.

(3x - 2) 2 + (2y - 3) 2 = 0.

Negatif olmayan iki ifadenin toplamı yalnızca 3x - 2 = 0 ve 2y - 3 = 0 ise sıfırdır.

Yani x = 2/3 ve y = 3/2.

Cevap: (2/3; 3/2).

Evrim metodu

Örnek 3

Denklemi çözün: (x 2 + 2x + 2) (y 2 - 4y + 6) = 2.

Çözüm.

Her parantez içinde tam kareyi seçin:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Tahmin parantez içindeki ifadelerin anlamı.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 ve (y - 2) 2 + 2 ≥ 2 ise denklemin sol tarafı her zaman en az 2 olur. Eşitlik şu durumlarda mümkündür:

(x + 1) 2 + 1 = 1 ve (y - 2) 2 + 2 = 2, yani x = -1, y = 2.

Cevap: (-1; 2).

İkinci dereceden iki değişkenli denklemleri çözmek için başka bir yöntemle tanışalım. Bu yöntem, denklemin şu şekilde kabul edilmesidir: bazı değişkenlere göre kare.

Örnek 4

Denklemi çözün: x 2 - 6x + y - 4√y + 13 = 0.

Çözüm.

Denklemi x'e göre ikinci dereceden bir denklem olarak çözelim. Diskriminantı bulalım:

D = 36 - 4(y - 4√y + 13) = -4y + 16√y - 16 = -4(√y - 2) 2 . Denklemin çözümü yalnızca D = 0 olduğunda, yani y = 4 olduğunda olacaktır. Y'nin değerini orijinal denklemde yerine koyarız ve x = 3 olduğunu buluruz.

Cevap: (3; 4).

Genellikle iki bilinmeyenli denklemlerde değişkenlere ilişkin kısıtlamalar.

Örnek 5

Denklemi tam sayılarla çözün: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Çözüm.

Denklemi x 2 = -5y 2 + 20x + 2 şeklinde yeniden yazalım. Ortaya çıkan denklemin sağ tarafı 5'e bölündüğünde 2 kalanını verir. Dolayısıyla x 2, 5'e bölünemez. Ancak karesi 5'e bölünemeyen bir sayının kalanını 1 veya 4 verir. Dolayısıyla eşitlik mümkün değildir ve çözüm yoktur.

Cevap: Kök yok.

Örnek 6

Denklemi çözün: (x 2 - 4|x| + 5) (y 2 + 6y + 12) = 3.

Çözüm.

Her parantez içindeki tam kareleri seçelim:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Denklemin sol tarafı her zaman 3'ten büyük veya eşittir. Eşitlik |x| ise mümkündür. – 2 = 0 ve y + 3 = 0. Böylece x = ± 2, y = -3 olur.

Cevap: (2; -3) ve (-2; -3).

Örnek 7

Denklemi karşılayan her negatif tam sayı (x; y) çifti için
x 2 - 2xy + 2y 2 + 4y = 33, (x + y) toplamını hesaplayın. En küçük miktarı cevaplayın.

Çözüm.

Tam kareleri seçin:

(x 2 - 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x - y) 2 + (y + 2) 2 = 37. x ve y tam sayı olduğundan kareleri de tam sayıdır. 1 + 36'yı topladığımızda iki tam sayının kareleri toplamı 37'ye eşit olur. Dolayısıyla:

(x - y) 2 = 36 ve (y + 2) 2 = 1

(x - y) 2 = 1 ve (y + 2) 2 = 36.

Bu sistemleri çözüp x ve y'nin negatif olduğunu dikkate alarak şu çözümleri buluyoruz: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Cevap: -17.

İki bilinmeyenli denklemleri çözerken zorluk yaşıyorsanız umutsuzluğa kapılmayın. Biraz pratik yaparak her denklemde ustalaşabileceksiniz.

Sormak istediğiniz bir şey var mı? İki değişkenli denklemleri nasıl çözeceğinizi bilmiyor musunuz?
Bir öğretmenin yardımını almak için - kayıt olun.
İlk ders ücretsiz!

site, malzemenin tamamen veya kısmen kopyalanmasıyla, kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Köşeli parantezleri açtıktan ve benzer terimleri indirgedikten sonra şu şekli alan, bilinmeyenli bir denklem

balta + b = 0 a ve b rasgele sayılar olmak üzere, Doğrusal Denklem bilinmeyen biriyle Bugün bu doğrusal denklemleri nasıl çözeceğimizi anlayacağız.

Örneğin, tüm denklemler:

2x + 3 \u003d 7 - 0,5x; 0,3x = 0; x / 2 + 3 \u003d 1/2 (x - 2) - doğrusal.

Denklemi gerçek bir eşitliğe dönüştüren bilinmeyenin değerine denir. karar veya denklemin kökü .

Örneğin, 3x + 7 \u003d 13 denkleminde bilinmeyen x yerine 2 sayısını değiştirirsek, doğru eşitliği elde ederiz 3 2 + 7 \u003d 13. Dolayısıyla, x \u003d 2 değeri çözümdür veya denklemin kökü.

Ve x \u003d 3 değeri, 3 2 + 7 ≠ 13 olduğundan, 3x + 7 \u003d 13 denklemini gerçek bir eşitliğe dönüştürmez. Bu nedenle, x \u003d 3 değeri bir çözüm veya denklemin kökü değildir.

Herhangi bir lineer denklemin çözümü, formdaki denklemlerin çözümüne indirgenir.

eksen + b = 0.

Denklemin solundaki serbest terimi sağa kaydırıyoruz, b'nin önündeki işareti tersine çevirerek şunu elde ediyoruz:

a ≠ 0 ise, o zaman x = – b/a .

örnek 1 3x + 2 =11 denklemini çözün.

Denklemin solundaki 2'yi sağa kaydırıyoruz, 2'nin önündeki işareti tersine değiştirirken şunu elde ediyoruz:
3x \u003d 11 - 2.

çıkarma işlemini yapalım o zaman
3x = 9.

X'i bulmak için, çarpımı bilinen bir faktöre bölmeniz gerekir, yani,
x = 9:3.

Yani x = 3 değeri denklemin çözümü veya köküdür.

Cevap: x = 3.

a = 0 ve b = 0 ise, o zaman 0x \u003d 0 denklemini elde ederiz. Bu denklemin sonsuz sayıda çözümü vardır, çünkü herhangi bir sayıyı 0 ile çarptığımızda 0 elde ederiz, ancak b de 0'dır. Bu denklemin çözümü herhangi bir sayıdır.

Örnek 2 5(x - 3) + 2 = 3 (x - 4) + 2x - 1 denklemini çözün.

Parantezleri genişletelim:
5x - 15 + 2 \u003d 3x - 12 + 2x - 1.

5x - 3x - 2x \u003d - 12 - 1 + 15 - 2.

İşte benzer üyeler:
0x = 0.

Cevap: x herhangi bir sayıdır.

a = 0 ve b ≠ 0 ise, o zaman 0x = - b denklemini elde ederiz. Bu denklemin çözümü yoktur, çünkü herhangi bir sayıyı 0 ile çarptığımızda 0 elde ederiz, ancak b ≠ 0 olur.

Örnek 3 x + 8 = x + 5 denklemini çözün.

Bilinmeyenleri içeren terimleri sol tarafta, serbest terimleri sağ tarafta toplayalım:
x - x \u003d 5 - 8.

İşte benzer üyeler:
0x = - 3.

Cevap: çözüm yok.

Açık Şekil 1 lineer denklemi çözme şeması gösterilmiştir

Tek değişkenli denklemleri çözmek için genel bir şema oluşturalım. Örnek 4'ün çözümünü ele alalım.

Örnek 4 denklemi çözelim

1) Denklemin tüm terimlerini paydaların en küçük ortak katı olan 12 ile çarpın.

2) İndirgemeden sonra şunu elde ederiz:
4 (x - 4) + 3 2 (x + 1) - 12 = 6 5 (x - 3) + 24x - 2 (11x + 43)

3) Bilinmeyen ve ücretsiz üyeler içeren üyeleri ayırmak için parantezleri açın:
4x - 16 + 6x + 6 - 12 \u003d 30x - 90 + 24x - 22x - 86.

4) Bir bölümde bilinmeyenleri içeren terimleri, diğerinde ise serbest terimleri gruplandırıyoruz:
4x + 6x - 30x - 24x + 22x \u003d - 90 - 86 + 16 - 6 + 12.

5) İşte benzer üyeler:
- 22x = - 154.

6) - 22 ile bölersek elde ederiz
x = 7.

Gördüğünüz gibi, denklemin kökü yedi.

Genel olarak, böyle denklemler aşağıdaki gibi çözülebilir:

a) denklemi bir tamsayı biçimine getirmek;

b) açık parantezler;

c) denklemin bir bölümünde bilinmeyeni içeren terimleri ve diğerinde serbest terimleri gruplandırmak;

d) benzer üyeler getirmek;

e) benzer terimleri getirdikten sonra elde edilen aх = b formundaki bir denklemi çözün.

Ancak, bu şema her denklem için gerekli değildir. Birçok daha basit denklemi çözerken, birinciden değil, ikinciden başlamak gerekir ( Örnek. 2), üçüncü ( Örnek. 13) ve hatta örnek 5'teki gibi beşinci aşamadan itibaren.

Örnek 5 2x = 1/4 denklemini çözün.

Bilinmeyen x \u003d 1/4: 2'yi buluyoruz,
x = 1/8 .

Ana durum sınavında karşılaşılan bazı doğrusal denklemlerin çözümünü düşünün.

Örnek 6 2 (x + 3) = 5 - 6x denklemini çözün.

2x + 6 = 5 - 6x

2x + 6x = 5 - 6

Cevap: - 0.125

Örnek 7 Denklemi çözün - 6 (5 - 3x) \u003d 8x - 7.

– 30 + 18x = 8x – 7

18x - 8x = - 7 +30

Cevap: 2.3

Örnek 8 Denklemi çözün

3(3x - 4) = 4 7x + 24

9x - 12 = 28x + 24

9x - 28x = 24 + 12

Örnek 9 f (x + 2) = 3 7's ise f(6)'yı bulun

Çözüm

f(6)'yı bulmamız gerektiğinden ve f(x + 2)'yi bildiğimizden,
o zaman x + 2 = 6.

x + 2 = 6 doğrusal denklemini çözüyoruz,
x \u003d 6 - 2, x \u003d 4 elde ederiz.

x = 4 ise o zaman
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

Cevap: 27.

Hala sorularınız varsa, denklemlerin çözümü ile daha kapsamlı bir şekilde ilgilenmek istiyorsanız, PROGRAM'daki derslerime kaydolun. Sana yardım etmekten memnun olacağım!

TutorOnline ayrıca öğretmenimiz Olga Alexandrovna'nın hem lineer denklemleri hem de diğerlerini anlamanıza yardımcı olacak yeni bir eğitim videosunu izlemenizi tavsiye ediyor.

site, malzemenin tamamen veya kısmen kopyalanmasıyla, kaynağa bir bağlantı gereklidir.

1. Sistemin ikame yöntemiyle çözümü.
2. Sistem denklemlerinin terim terim toplanması (çıkarılması) yoluyla sistemin çözümü.

Denklem sistemini çözmek için ikame yöntemi basit bir algoritma izlemeniz gerekir:
1. İfade ediyoruz. Herhangi bir denklemden bir değişkeni ifade ederiz.
2. Değiştir. Ortaya çıkan değeri ifade edilen değişken yerine başka bir denklemde değiştiririz.
3. Ortaya çıkan denklemi tek değişkenle çözüyoruz. Sisteme çözüm buluyoruz.

Çözmek için dönem dönem ekleme (çıkarma) yöntemiyle sistem gerek:
1. Aynı katsayıları yapacağımız bir değişken seçin.
2. Denklemleri topluyor veya çıkarıyoruz, sonuçta tek değişkenli bir denklem elde ediyoruz.
3. Ortaya çıkan doğrusal denklemi çözüyoruz. Sisteme çözüm buluyoruz.

Sistemin çözümü fonksiyonun grafiklerinin kesişim noktalarıdır.

Örnekleri kullanarak sistemlerin çözümünü ayrıntılı olarak ele alalım.

Örnek 1:

Yerine koyma yöntemiyle çözelim

2x+5y=1 (1 denklem)
x-10y=3 (2. denklem)

1. Ekspres
İkinci denklemde katsayısı 1 olan bir x değişkeninin olduğu görülmekte, dolayısıyla x değişkenini ikinci denklemden ifade etmenin en kolay olduğu ortaya çıkmaktadır.
x=3+10y

2. İfade ettikten sonra birinci denklemde x değişkeni yerine 3 + 10y yazıyoruz.
2(3+10y)+5y=1

3. Ortaya çıkan denklemi tek değişkenle çözüyoruz.
2(3+10y)+5y=1 (açık parantez)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Denklem sisteminin çözümü grafiklerin kesişim noktalarıdır, dolayısıyla x ve y'yi bulmamız gerekiyor çünkü kesişim noktası x ve y'den oluşuyor.X'i bulalım, ifade ettiğimiz ilk paragrafta y'yi oraya yazıyoruz.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

İlk etapta noktaları yazmak gelenekseldir, x değişkenini, ikinci sıraya da y değişkenini yazarız.
Cevap: (1; -0,2)

Örnek #2:

Terim terim toplama (çıkarma) yaparak çözelim.

3x-2y=1 (1 denklem)
2x-3y=-10 (2. denklem)

1. Bir değişken seçin, diyelim ki x'i seçtik. İlk denklemde x değişkeninin katsayısı 3, ikincisinde - 2'dir. Katsayıları aynı yapmamız gerekiyor, bunun için denklemleri çarpma veya herhangi bir sayıya bölme hakkımız var. İlk denklemi 2, ikincisini 3 ile çarpıyoruz ve toplam 6 katsayısını elde ediyoruz.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. X değişkeninden kurtulmak için ilk denklemden ikinciyi çıkarın.Doğrusal denklemi çözün.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6.4

3. x'i bulun. Bulunan y'yi herhangi bir denklemde, diyelim ki ilk denklemde yerine koyarız.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Kesişme noktası x=4,6 olacaktır; y=6.4
Cevap: (4.6; 6.4)

Sınavlara ücretsiz hazırlanmak ister misiniz? çevrimiçi öğretmen ücretsiz. Şaka yapmıyorum.