Harmonik salınım, argümana bağımlılığın sinüs veya kosinüs fonksiyonu karakterine sahip olduğu, herhangi bir miktardaki periyodik değişim olgusudur. Örneğin, bir miktar uyumlu bir şekilde salınır ve zamanla aşağıdaki gibi değişir:

burada x değişen miktarın değeridir, t zamandır, geri kalan parametreler sabittir: A salınımların genliğidir, ω salınımların döngüsel frekansıdır, salınımların tam fazıdır, salınımların başlangıç ​​fazıdır.

Diferansiyel formda genelleştirilmiş harmonik salınım

(Bu diferansiyel denklemin önemsiz olmayan herhangi bir çözümü, döngüsel frekansa sahip harmonik bir salınımdır)

Titreşim türleri

Sistem denge konumundan çıkarıldıktan sonra sistemin iç kuvvetlerinin etkisi altında serbest titreşimler meydana gelir. Serbest salınımların harmonik olması için, salınım sisteminin doğrusal olması (doğrusal hareket denklemleriyle tanımlanır) ve içinde enerji kaybının olmaması gerekir (ikincisi zayıflamaya neden olur).

Zorlanmış titreşimler, harici bir periyodik kuvvetin etkisi altında meydana gelir. Harmonik olmaları için salınım sisteminin doğrusal olması (doğrusal hareket denklemleriyle tanımlanır) ve dış kuvvetin kendisinin zaman içinde harmonik bir salınım olarak değişmesi (yani bu kuvvetin zamana bağımlılığının sinüzoidal olması) yeterlidir. .

Harmonik Denklem

dalgalanan S değerinin t zamanına bağımlılığını verir; bu açık biçimde serbest harmonik salınımların denklemidir. Ancak titreşim denklemi genellikle bu denklemin diferansiyel formda farklı bir temsili olarak anlaşılır. Kesinlik için denklem (1)'i şu şekilde alalım:

Zamana göre iki kez türevini alalım:

Aşağıdaki ilişkinin geçerli olduğu görülebilir:

buna serbest harmonik salınımların denklemi denir (diferansiyel formda). Denklem (1), diferansiyel denklem (2)'nin bir çözümüdür. Denklem (2) ikinci dereceden bir diferansiyel denklem olduğundan, tam bir çözüm elde etmek için iki başlangıç ​​koşuluna ihtiyaç vardır (yani, denklem (1)'de yer alan A ve   sabitlerinin belirlenmesi); örneğin, salınım sisteminin t = 0'daki konumu ve hızı.

Matematiksel bir sarkaç, ağırlıksız, uzayamaz bir iplik üzerinde veya tekdüze bir yerçekimi kuvvetleri alanında ağırlıksız bir çubuk üzerinde bulunan maddi bir noktadan oluşan mekanik bir sistem olan bir osilatördür. Serbest düşme ivmesi g ile düzgün bir yerçekimi alanında hareketsiz olarak asılı duran l uzunluğundaki matematiksel bir sarkacın küçük doğal salınımlarının periyodu şuna eşittir:

ve sarkacın genliğine ve kütlesine bağlı değildir.

Fiziksel bir sarkaç, bu cismin kütle merkezi olmayan bir noktaya veya kuvvetlerin hareket yönüne dik sabit bir eksene göre herhangi bir kuvvet alanında salınan katı bir cisim olan bir osilatördür. bu cismin kütle merkezinden geçiyor.

Salınımlar zaman içinde belirli bir tekrarlanabilirlik ile karakterize edilen hareketlere veya süreçlere denir. Salınımlar çevredeki dünyada yaygındır ve çok farklı bir yapıya sahip olabilir. Bunlar mekanik (sarkaç), elektromanyetik (salınım devresi) ve diğer titreşim türleri olabilir.
Özgür, veya sahip olmak Kendi haline bırakılan bir sistemin dış bir etkiyle dengeden çıkarılmasından sonra oluşan salınımlara salınımlar denir. Bir örnek, bir iplik üzerinde asılı duran bir topun salınımıdır.

Özel rol salınımlı süreçlerde salınımların en basit biçimine sahiptir - harmonik titreşimler. Harmonik salınımlar, çeşitli doğadaki salınımların incelenmesine yönelik birleşik bir yaklaşımın temelini oluşturur, çünkü doğada ve teknolojide bulunan salınımlar genellikle harmoniklere yakındır ve farklı bir formun periyodik süreçleri, harmonik salınımların üst üste binmesi olarak temsil edilebilir.

Harmonik titreşimler yasaya göre salınım miktarının zamanla değiştiği bu tür salınımlara denir sinüs veya kosinüs.

Harmonik Denklemşu forma sahiptir:

burada bir - titreşim genliği (sistemin denge konumundan en büyük sapmasının büyüklüğü); -dairesel (döngüsel) frekans. Kosinüsün periyodik olarak değişen argümanına denir salınım aşaması . Salınım fazı, salınım miktarının belirli bir t zamanında denge konumundan yer değiştirmesini belirler. φ sabiti t = 0 anındaki faz değerini temsil eder ve denir. salınımın başlangıç ​​aşaması . Başlangıç ​​aşamasının değeri referans noktasının seçimiyle belirlenir. X değeri -A'dan +A'ya kadar değişen değerler alabilir.

Salınım sisteminin belirli durumlarının tekrarlandığı T zaman aralığı, salınım periyodu denir . Kosinüs, 2π periyoduna sahip periyodik bir fonksiyondur, bu nedenle, T süresi boyunca, salınım fazı 2π'ye eşit bir artış alacaktır, harmonik salınımlar gerçekleştiren sistemin durumu tekrarlanacaktır. Bu T zaman periyoduna harmonik salınım periyodu denir.

Harmonik salınımların periyodu eşittir : T = 2π/ .

Birim zamandaki salınım sayısına denir titreşim frekansı ν.
Harmonik frekans şuna eşittir: ν = 1/T. Frekans birimi hertz(Hz) - saniyede bir salınım.

Dairesel frekans = 2π/T = 2πν 2π saniyedeki salınım sayısını verir.

Grafiksel olarak harmonik salınımlar x'in t'ye bağımlılığı olarak gösterilebilir (Şekil 1.1.A) ve dönen genlik yöntemi (vektör diyagramı yöntemi)(Şekil 1.1.B) .

Dönen genlik yöntemi, harmonik titreşim denkleminde yer alan tüm parametreleri görselleştirmenize olanak tanır. Aslında, eğer genlik vektörü A x eksenine φ açısıyla yerleştirildiğinde (bkz. Şekil 1.1.B), bu durumda x eksenine izdüşümü şuna eşit olacaktır: x = Acos(φ). φ açısı başlangıç ​​fazıdır. Eğer vektör A salınımların dairesel frekansına eşit bir açısal hızla dönmeye başlarsa, vektörün ucunun izdüşümü x ekseni boyunca hareket edecek ve -A ile +A arasında değişen değerler alacak ve bu izdüşümün koordinatı kanuna göre zaman içinde değişiklik:
.

Böylece, vektörün uzunluğu harmonik salınımın genliğine eşittir, vektörün ilk andaki yönü, x ekseni ile salınımların başlangıç ​​fazına φ eşit bir açı oluşturur ve yön açısındaki değişiklik zamanla harmonik salınımların fazına eşittir. Genlik vektörünün bir tam dönüş yaptığı süre, harmonik salınımların T periyoduna eşittir. Saniyedeki vektör devir sayısı salınım frekansına ν eşittir.

Birleşik Devlet Sınavı kodlayıcısının konuları: harmonik titreşimler; salınımların genliği, periyodu, frekansı, fazı; serbest titreşimler, zorlanmış titreşimler, rezonans.

Salınımlar - Bunlar, sistemin durumunda zamanla tekrarlanan değişikliklerdir. Salınım kavramı çok geniş bir olgu yelpazesini kapsamaktadır.

Mekanik sistemlerin titreşimleri veya mekanik titreşimler- bu, bir cismin veya cisimler sisteminin, zaman içinde tekrarlanabilen ve denge konumu yakınında meydana gelen mekanik hareketidir. Denge konumu dış etkilerle karşılaşmadan süresiz olarak kalabileceği bir sistemin durumudur.

Örneğin sarkacın yönü değiştirilip serbest bırakılırsa salınmaya başlayacaktır. Denge konumu sarkacın sapma olmadığı durumdaki konumudur. Sarkaç, eğer rahatsız edilmezse, istenildiği kadar bu konumda kalabilir. Sarkaç salınırken denge konumundan birçok kez geçer.

Saptırılan sarkaç serbest bırakıldıktan hemen sonra hareket etmeye başladı, denge konumunu geçti, karşı uç konuma ulaştı, orada bir an durdu, ters yönde hareket etti, tekrar denge konumunu geçip geri döndü. Bir şey oldu tam kapasite ile çalışmak. Daha sonra bu işlem periyodik olarak tekrarlanacaktır.

Vücut salınımı genliği denge konumundan en büyük sapmanın büyüklüğüdür.

Salınım periyodu - bu tam bir salınımın zamanıdır. Vücudun bir süre boyunca dört genlik bir yol kat ettiğini söyleyebiliriz.

Salınım frekansı dönemin tersidir: . Frekans hertz (Hz) cinsinden ölçülür ve bir saniyede kaç tane tam salınımın meydana geldiğini gösterir.

Harmonik titreşimler.

Salınım yapan cismin konumunun tek bir koordinat tarafından belirlendiğini varsayacağız. Denge konumu değere karşılık gelir. Bu durumda mekaniğin asıl görevi herhangi bir zamanda cismin koordinatını veren fonksiyonu bulmaktır.

Salınımların matematiksel açıklaması için periyodik fonksiyonların kullanılması doğaldır. Bu tür pek çok fonksiyon vardır, ancak bunlardan ikisi (sinüs ve kosinüs) en önemlileridir. Pek çok iyi özelliğe sahiptirler ve çok çeşitli fiziksel olaylarla yakından ilişkilidirler.

Sinüs ve kosinüs fonksiyonları birbirlerinden argümanı kaydırarak elde edildiği için kendimizi bunlardan yalnızca biriyle sınırlayabiliriz. Kesinlik için kosinüs kullanacağız.

Harmonik titreşimler- bunlar harmonik yasasına göre koordinatın zamana bağlı olduğu salınımlardır:

(1)

Bu formülde yer alan büyüklüklerin anlamını bulalım.

Pozitif bir değer, koordinatın en büyük modül değeridir (kosinüs modülünün maksimum değeri birliğe eşit olduğundan), yani denge konumundan en büyük sapmadır. Bu nedenle - salınımların genliği.

Kosinüs argümanı denir faz tereddüt. Faz değerine eşit olan değere başlangıç ​​fazı denir. Başlangıç ​​aşaması vücudun başlangıç ​​koordinatına karşılık gelir: .

Miktar denir döngüsel frekans. Salınım periyodu ve frekansı ile bağlantısını bulalım. Bir tam salınım, radyana eşit bir faz artışına karşılık gelir:

(2)

(3)

Döngüsel frekans rad/s (saniyedeki radyan) cinsinden ölçülür.

(2) ve (3) ifadelerine uygun olarak, harmonik yasasını (1) yazmanın iki biçimini daha elde ederiz:

Harmonik salınımlar sırasında koordinatın zamana bağımlılığını ifade eden fonksiyon (1) grafiği, Şekil 2'de gösterilmektedir. 1.

(1) tipinin harmonik yasası en genel niteliktedir. Örneğin, sarkaç üzerinde aynı anda iki başlangıç ​​hareketinin gerçekleştirildiği durumlara yanıt verir: bir miktar saptırıldı ve ona belirli bir başlangıç ​​hızı verildi. Bu eylemlerden birinin gerçekleştirilmediği iki önemli özel durum vardır.

Sarkacın sapmasına izin verin, ancak başlangıç ​​hızı bildirilmedi (başlangıç ​​hızı olmadan serbest bırakıldı). Bu durumda koyabileceğimiz açıktır. Kosinüs yasasını elde ederiz:

Bu durumda harmonik salınımların grafiği Şekil 2'de gösterilmektedir. 2.

Pirinç. 2. Kosinüs Yasası

Şimdi sarkacın sapmadığını, ancak denge konumundan itibaren başlangıç ​​hızının ona çarpma yoluyla aktarıldığını varsayalım. Bu durumda koyabilirsiniz. Sinüs yasasını elde ederiz:

Salınım grafiği Şekil 2'de gösterilmektedir. 3.

Pirinç. 3. Sinüs kanunu

Harmonik titreşimlerin denklemi.

Genel harmonik yasasına (1) dönelim. Bu eşitliğin türevini alalım:

. (4)

Şimdi ortaya çıkan eşitliğin türevini alıyoruz (4):

. (5)

Koordinat için ifadeyi (1) ve ivme projeksiyonu için ifadeyi (5) karşılaştıralım. İvme projeksiyonunun koordinattan yalnızca bir faktör kadar farklı olduğunu görüyoruz:

. (6)

Bu orana denir harmonik denklem. Ayrıca bu biçimde yeniden yazılabilir:

. (7)

Matematiksel açıdan bakıldığında denklem (7) diferansiyel denklem. Diferansiyel denklemlerin çözümleri fonksiyonlardır (sıradan cebirdeki gibi sayılar değil).
Yani şu kanıtlanabilir:

Denklemin (7) çözümü, (1) formunun keyfi olan herhangi bir fonksiyonudur;

Başka hiçbir fonksiyon bu denklemin çözümü değildir.

Başka bir deyişle, (6), (7) bağıntıları döngüsel frekanstaki harmonik salınımları ve yalnızca onları tanımlar. Başlangıç ​​koşullarından - koordinat ve hızın başlangıç ​​değerlerinden - iki sabit belirlenir.

Yaylı sarkaç.

Yaylı sarkaç yatay veya dikey yönde salınabilen bir yaya bağlı bir yüktür.

Yay sarkacının küçük yatay salınımlarının periyodunu bulalım (Şekil 4). Yayın deformasyon miktarı boyutlarından çok daha azsa salınımlar küçük olacaktır. Küçük deformasyonlar için Hooke yasasını kullanabiliriz. Bu salınımların harmonik olmasına yol açacaktır.

Sürtünmeyi ihmal ediyoruz. Yükün bir kütlesi vardır ve yay sertliği eşittir.

Koordinat yayın deforme olmadığı denge konumuna karşılık gelir. Sonuç olarak yay deformasyonunun büyüklüğü yükün koordinat modülüne eşittir.

Pirinç. 4. Yaylı sarkaç

Yatay yönde yüke yalnızca yayın elastik kuvveti etki eder. Eksen üzerine izdüşümdeki yük için Newton'un ikinci yasası şu şekildedir:

. (8)

Eğer (yük şekildeki gibi sağa kaydırılırsa), elastik kuvvet ters yönde yönlendirilir ve . Tam tersi, eğer , o zaman . ve işaretleri her zaman zıttır, dolayısıyla Hooke yasası şu şekilde yazılabilir:

Daha sonra ilişki (8) şu şekli alır:

(6) formundaki harmonik salınımların bir denklemini elde ettik;

Yay sarkacının döngüsel salınım frekansı bu nedenle şuna eşittir:

. (9)

Buradan ve ilişkiden yay sarkacının yatay salınım periyodunu buluyoruz:

. (10)

Bir yayın üzerine bir yük asarsanız, dikey yönde salınan bir yay sarkacı elde edersiniz. Bu durumda salınım periyodu için formülün (10) geçerli olduğu gösterilebilir.

Matematiksel sarkaç.

Matematik sarkaç ağırlıksız, uzamayan bir iplik üzerinde asılı duran küçük bir gövdedir (Şek. 5). Matematiksel bir sarkaç, yerçekimi alanında dikey bir düzlemde salınabilir.

Pirinç. 5. Matematiksel sarkaç

Matematiksel bir sarkacın küçük salınımlarının periyodunu bulalım. İpliğin uzunluğu . Hava direncini ihmal ediyoruz.

Sarkaç için Newton'un ikinci yasasını yazalım:

ve onu eksene yansıtın:

Sarkaç şekildeki gibi bir pozisyon alırsa (örn.), o zaman:

Sarkaç denge pozisyonunun diğer tarafındaysa (yani), o zaman:

Yani sarkacın herhangi bir konumu için elimizde:

. (11)

Sarkaç denge konumunda hareketsiz olduğunda eşitlik sağlanır. Küçük salınımlar için sarkacın denge konumundan sapmaları küçük olduğunda (ipliğin uzunluğuyla karşılaştırıldığında), yaklaşık eşitlik sağlanır. Bunu formül (11)'de kullanalım:

Bu, (6) formundaki harmonik salınımların bir denklemidir;

Bu nedenle, matematiksel bir sarkacın salınımlarının döngüsel frekansı şuna eşittir:

. (12)

Dolayısıyla matematiksel bir sarkacın salınım periyodu:

. (13)

Formül (13)'ün yükün kütlesini içermediğini lütfen unutmayın. Yaylı sarkacın aksine, matematiksel sarkacın salınım periyodu kütlesine bağlı değildir.

Serbest ve zorlanmış titreşimler.

Sistemin bunu yaptığını söylüyorlar. serbest titreşimler, eğer bir kez denge konumundan çıkarılırsa ve daha sonra kendi başına bırakılırsa. Periyodik harici yok
Bu durumda sistem herhangi bir etki yaşamaz ve sistemde salınımları destekleyen iç enerji kaynakları bulunmaz.

Yukarıda tartışılan yayın salınımları ve matematiksel sarkaçlar serbest salınımlara örnektir.

Serbest titreşimlerin meydana geldiği frekansa denir doğal frekans salınım sistemi. Böylece formül (9) ve (12), yayın ve matematiksel sarkaçların salınımlarının doğal (döngüsel) frekanslarını verir.

Sürtünmenin olmadığı ideal bir durumda, serbest salınımlar sönümsüzdür, yani sabit bir genliğe sahiptirler ve süresiz olarak sürerler. Gerçek salınımlı sistemlerde sürtünme her zaman mevcuttur, dolayısıyla serbest titreşimler yavaş yavaş yok olur (Şekil 6).

Zorlanmış titreşimler- bunlar, zamanla periyodik olarak değişen bir dış kuvvetin (sözde itici güç) etkisi altındaki bir sistem tarafından yapılan salınımlardır.

Sistemin salınımlarının doğal frekansının eşit olduğunu ve itici gücün harmonik yasasına göre zamana bağlı olduğunu varsayalım:

Bir süre sonra zorunlu salınımlar oluşur: Sistem, zorunlu ve serbest salınımların üst üste binmesi olan karmaşık bir hareket yapar. Serbest salınımlar yavaş yavaş yok olur ve kararlı bir durumda sistem, aynı zamanda harmonik olduğu ortaya çıkan zorunlu salınımlar gerçekleştirir. Kararlı durum zorlanmış salınımların frekansı, frekansla çakışır
zorlama kuvveti (bir dış kuvvet, olduğu gibi, frekansını sisteme dayatır).

Belirlenen zorlanmış salınımların genliği, itici kuvvetin frekansına bağlıdır. Bu bağımlılığın grafiği Şekil 2'de gösterilmektedir. 7.

Pirinç. 7. Rezonans

Rezonansın frekansın yakınında meydana geldiğini görüyoruz - zorunlu salınımların genliğinde bir artış olgusu. Rezonans frekansı, sistemin salınımlarının doğal frekansına yaklaşık olarak eşittir ve bu eşitlik, sistemdeki sürtünme ne kadar az olursa o kadar doğru bir şekilde yerine getirilir. Sürtünmenin yokluğunda, rezonans frekansı salınımların doğal frekansı ile çakışır ve salınımların genliği sonsuza kadar artar.

Matematiksel bir ifadeleri var. Özellikleri, karmaşıklığı salınım sürecinin karmaşıklığı, sistemin özellikleri ve meydana geldikleri ortam, yani salınım sürecini etkileyen dış faktörler tarafından belirlenen bir dizi trigonometrik denklem ile karakterize edilir.

Örneğin mekanikte harmonik bir salınım şu şekilde karakterize edilen bir harekettir:

Basit karakter;

Eşitsizlik;

Fiziksel bir bedenin zamana bağlı olarak sinüzoidal veya kosinüs yörüngesi boyunca meydana gelen hareketi.

Bu özelliklere dayanarak harmonik titreşimler için şu şekilde bir denklem verebiliriz:

x = A cos ωt veya x = A sin ωt formu, burada x koordinat değeridir, A titreşim genlik değeridir, ω katsayıdır.

Bu harmonik titreşim denklemi, kinematik ve mekanikte dikkate alınan tüm harmonik titreşimler için temeldir.

Bu formülde trigonometrik fonksiyonun işareti altında olan ωt göstergesine faz denir ve belirli bir genlikte belirli bir anda salınan malzeme noktasının konumunu belirler. Döngüsel dalgalanmalar dikkate alındığında bu gösterge 2l'ye eşittir, zaman döngüsü içindeki miktarı gösterir ve w ile gösterilir. Bu durumda, harmonik salınımların denklemi, onu döngüsel (dairesel) frekansın büyüklüğünün bir göstergesi olarak içerir.

Düşündüğümüz harmonik salınımların denklemi, daha önce de belirtildiği gibi, bir dizi faktöre bağlı olarak farklı biçimler alabilir. Örneğin, işte bu seçenek. Serbest harmonik salınımları dikkate almak için bunların hepsinin sönümlemeyle karakterize olduğu gerçeği dikkate alınmalıdır. Farklı ülkelerde bu fenomen kendini farklı şekillerde gösterir: Hareket eden bir cismin durdurulması, elektrik sistemlerindeki radyasyonun durdurulması. Salınım potansiyelindeki azalmayı gösteren en basit örnek, bunun termal enerjiye dönüşmesidir.

Söz konusu denklem şu şekildedir: d²s/dt² + 2β x ds/dt + ω²s = 0. Bu formülde: s, belirli bir sistemin özelliklerini karakterize eden salınım miktarının değeridir, β sönümü gösteren bir sabittir katsayısı, ω döngüsel frekanstır.

Böyle bir formülün kullanılması, doğrusal sistemlerdeki salınımlı süreçlerin tanımına tek bir bakış açısıyla yaklaşmamıza ve salınımlı süreçleri bilimsel ve deneysel düzeyde tasarlamamıza ve simüle etmemize olanak tanır.

Örneğin, tezahürlerinin son aşamasında harmonik olmaktan çıktıkları, yani onlar için frekans ve periyot kategorilerinin anlamsız hale geldiği ve formüle yansıtılmadığı bilinmektedir.

Harmonik salınımları incelemenin klasik yolu, en basit haliyle, harmonik salınımların aşağıdaki diferansiyel denklemiyle tanımlanan bir sistemdir: ds/dt + ω²s = 0. Ancak salınım süreçlerinin çeşitliliği, doğal olarak, çok sayıda harmonik salınımın olduğu gerçeğine yol açar. osilatör sayısı. Ana türlerini listeliyoruz:

Yaylı osilatör, elastik bir yay üzerinde asılı duran, belirli bir m kütlesine sahip sıradan bir yüktür. F = - kx formülüyle tanımlanan harmonik tipini gerçekleştirir.

Fiziksel osilatör (sarkaç) - belirli bir kuvvetin etkisi altında statik bir eksen etrafında salınım hareketleri gerçekleştiren katı bir gövde;

- (pratik olarak doğada bulunmaz). Belirli bir kütleye sahip, sert, ağırlıksız bir ip üzerinde asılı duran, salınan bir fiziksel gövde içeren bir sistemin ideal bir modelini temsil eder.

Fiziksel olarak tamamen farklı birçok sistemi inceledik ve hareket denklemlerinin aynı forma indirgendiğinden emin olduk.

Fiziksel sistemler arasındaki farklılıklar yalnızca miktarın farklı tanımlarında ortaya çıkar ve değişkenin farklı fiziksel anlamlarında X: bu bir koordinat, açı, yük, akım vb. olabilir. Bu durumda, denklemin (1.18) yapısından da anlaşılacağı gibi, miktarın her zaman ters zaman boyutuna sahip olduğuna dikkat edin.

Denklem (1.18) sözde harmonik titreşimler.

Harmonik titreşim denklemi (1.18), ikinci dereceden doğrusal bir diferansiyel denklemdir (değişkenin ikinci türevini içerdiğinden) X). Denklemin doğrusallığı şu anlama gelir:

eğer bir işlevi varsa x(t) bu denklemin bir çözümü ise fonksiyon Cx(t) aynı zamanda onun çözümü olacak ( C– keyfi sabit);

eğer işlevler x 1(t) Ve x 2(t) bu denklemin çözümleri, o zaman bunların toplamı x 1 (t) + x 2 (t) aynı denklemin çözümü de olacaktır.

İkinci dereceden bir denklemin iki bağımsız çözüme sahip olduğunu söyleyen bir matematik teoremi de kanıtlanmıştır. Doğrusallık özelliklerine göre diğer tüm çözümler doğrusal kombinasyonları halinde elde edilebilir. Bağımsız fonksiyonların ve denklemi (1.18) karşıladığını doğrudan türev alarak doğrulamak kolaydır. Bu, bu denklemin genel çözümünün şu şekilde olduğu anlamına gelir:

Nerede C1,C2- keyfi sabitler. Bu çözüm başka bir biçimde sunulabilir. Değeri girelim

ve açıyı ilişkilere göre belirleyin:

Daha sonra genel çözüm (1.19) şu şekilde yazılır:

Trigonometri formüllerine göre parantez içindeki ifade şuna eşittir:

Sonunda geldik Harmonik titreşim denkleminin genel çözümü gibi:

Negatif olmayan değer A isminde titreşim genliği, - salınımın başlangıç ​​aşaması. Kosinüs argümanının tamamı (kombinasyon) denir salınım aşaması.

(1.19) ve (1.23) ifadeleri tamamen eşdeğerdir, dolayısıyla basitlik açısından bunlardan herhangi birini kullanabiliriz. Her iki çözüm de zamanın periyodik fonksiyonlarıdır. Aslında sinüs ve kosinüs bir periyotla periyodiktir . Bu nedenle harmonik salınım yapan bir sistemin çeşitli durumları bir süre sonra tekrarlanır. T* salınım fazının katları olan bir artış aldığı sırada :

Şunu takip ediyor

Bu zamanların en azı

isminde salınım periyodu (Şekil 1.8) ve - onun dairesel (döngüsel) sıklık.

Pirinç. 1.8.

Onlar da kullanıyor sıklık dalgalanmalar

Buna göre dairesel frekans, başına salınım sayısına eşittir. saniye

Yani eğer sistem zamanında T değişkenin değeri ile karakterize edilir x(t), bu durumda değişken bir süre sonra aynı değere sahip olacaktır (Şekil 1.9), yani

Aynı anlam doğal olarak zamanla tekrarlanacaktır. 2T, ZT vesaire.

Pirinç. 1.9. Salınım periyodu

Genel çözüm iki keyfi sabit içerir ( C 1, C 2 veya A, A), değerleri iki ile belirlenmelidir başlangıç ​​koşulları. Genellikle (zorunlu olmasa da) rolleri değişkenin başlangıç ​​değerleri tarafından oynanır. x(0) ve onun türevi.

Bir örnek verelim. Harmonik salınımlar denkleminin çözümü (1.19) bir yay sarkacının hareketini tanımlasın. Keyfi sabitlerin değerleri sarkacı dengeden çıkarma şeklimize bağlıdır. Mesela yayı belli bir mesafeye çektik ve topu başlangıç ​​hızı olmadan serbest bıraktı. Bu durumda

Değiştirme t = 0(1.19)'da sabitin değerini buluyoruz C2

Çözüm böylece şöyle görünür:

Yükün hızını zamana göre türev alarak buluruz

Burada değiştirme T = 0, sabiti bulun C1:

Nihayet

(1.23) ile karşılaştırırsak şunu buluruz: salınımların genliğidir ve başlangıç ​​aşaması sıfırdır: .

Şimdi sarkacın dengesini başka bir şekilde bozalım. Yüke, başlangıç ​​​​hızını elde edecek, ancak çarpma sırasında pratik olarak hareket etmeyecek şekilde vuralım. Daha sonra başka başlangıç ​​koşullarımız var:

çözümümüz şuna benziyor

Yükün hızı yasaya göre değişecektir:

Burada yerine koyalım: