Temmuz 2020'de NASA, Mars'a bir sefer başlattı. Uzay aracı, keşif gezisinin tüm kayıtlı üyelerinin adlarını içeren bir elektronik taşıyıcıyı Mars'a teslim edecek.

Katılımcı kayıtları açılmıştır. Mars'a biletinizi bu bağlantıdan alın.

Bu gönderi sorununuzu çözdüyse veya yalnızca beğendiyseniz, bağlantısını sosyal ağlarda arkadaşlarınızla paylaşın.

Bu kod seçeneklerinden biri kopyalanıp web sayfası kodunuza, tercihen etiketler arasına veya etiketin hemen sonrasına yapıştırılmalıdır. İlk seçeneğe göre MathJax daha hızlı yüklenir ve sayfayı daha az yavaşlatır. Ancak ikinci seçenek, MathJax'in en son sürümlerini otomatik olarak izler ve yükler. İlk kodu eklerseniz, periyodik olarak güncellenmesi gerekecektir. İkinci kodu yapıştırırsanız, sayfalar daha yavaş yüklenir, ancak MathJax güncellemelerini sürekli izlemenize gerek kalmaz.

MathJax'e bağlanmanın en kolay yolu Blogger veya WordPress'tir: site kontrol panelinde, üçüncü taraf JavaScript kodunu eklemek için tasarlanmış bir widget ekleyin, yukarıdaki yükleme kodunun birinci veya ikinci sürümünü içine kopyalayın ve widget'ı daha yakına yerleştirin. şablonun başlangıcı (bu arada, MathJax betiği eşzamansız olarak yüklendiğinden bu hiç gerekli değildir). Bu kadar. Şimdi MathML, LaTeX ve ASCIIMathML biçimlendirme sözdizimini öğrenin ve matematik formüllerini web sayfalarınıza yerleştirmeye hazırsınız.

Başka bir Yılbaşı Gecesi... soğuk hava ve pencere camında kar taneleri... Bütün bunlar beni tekrar yazmaya sevk etti... fraktallar ve Wolfram Alpha'nın onlar hakkında bildikleri. Bu vesileyle iki boyutlu fraktal yapı örneklerinin yer aldığı ilginç bir yazı var. Burada üç boyutlu fraktalların daha karmaşık örneklerini ele alacağız.

Bir fraktal, detayları orijinal şeklin kendisi ile aynı şekle sahip olan geometrik bir şekil veya gövde olarak görsel olarak temsil edilebilir (açıklanabilir) (her ikisinin de bir küme, bu durumda bir dizi nokta olduğu anlamına gelir). Yani, detayları göz önüne alındığında, büyütüldüğünde, büyütme olmadan aynı şekli göreceğimiz, kendine benzer bir yapıdır. Sıradan bir geometrik şekil söz konusu olduğunda (bir fraktal değil), yakınlaştırıldığında, orijinal şeklin kendisinden daha basit bir şekle sahip olan detayları göreceğiz. Örneğin, yeterince yüksek bir büyütmede, bir elipsin bir kısmı düz bir çizgi parçası gibi görünür. Bu fraktallarda olmaz: Onlardaki herhangi bir artışla, her artışta tekrar tekrar tekrarlanacak olan aynı karmaşık şekli tekrar göreceğiz.

Fraktal biliminin kurucusu Benoit Mandelbrot, Fraktallar ve Bilim Sanatı adlı makalesinde şöyle yazmıştır: "Fraktallar, genel biçimleri kadar ayrıntılarında da karmaşık olan geometrik şekillerdir. bütünün boyutuna büyütüldüğünde, bütün gibi veya tam olarak veya belki de hafif bir deformasyonla görünecektir.

Tanım . İki değişkenli bir fonksiyonun uç noktaları bu fonksiyonun minimum ve maksimum noktalarıdır. Fonksiyonun uç noktalardaki değerlerine denir. iki değişkenli bir fonksiyonun uç noktaları .

Tanım . Nokta P(X 0 , y 0 ) denir z = z(X, y) , fonksiyonun bu noktadaki değeri, komşuluğundaki noktalardan büyükse. Fonksiyonun maksimum noktadaki değerine denir. iki değişkenli bir fonksiyonun maksimumu .

Tanım . Nokta P(X 0 , y 0 ) denir iki değişkenli bir fonksiyonun maksimum noktası z = z(X, y) , fonksiyonun bu noktadaki değeri, komşuluğundaki noktalardan büyükse. Maksimum noktada fonksiyon değeri iki değişkenli bir fonksiyonun maksimumu denir .

Teorem (iki değişkenli bir fonksiyonun uç noktası için gerekli bir kriter). Eğer nokta P(X 0 , y 0 ) - iki değişkenli bir fonksiyonun uç noktası z = z(X, y) , o zaman fonksiyonun bu noktada ("x" ve "y" ye göre) ilk kısmi türevleri sıfıra eşittir veya yoktur:

Tanım . İki değişkenli bir fonksiyonun birinci kısmi türevinin sıfıra eşit olduğu noktaya ne ad verilir? sabit noktalar .

Tanım . İki değişkenli bir fonksiyonun birinci kısmi türevinin sıfıra eşit olduğu veya bulunmadığı noktaya ne ad verilir? kritik noktalar .

Tek değişkenli bir fonksiyon durumunda olduğu gibi, iki değişkenli bir fonksiyonun uç noktasının varlığı için gerekli koşul yeterli değildir. Fonksiyonun birinci kısmi türevinin sıfıra eşit olduğu veya hiç olmadığı pek çok fonksiyon vardır, ancak karşılık gelen noktalarda ekstremumlar yoktur. Her uç nokta kritik noktadır, ancak her kritik nokta uç nokta değildir .

İki değişkenli bir fonksiyonun uç noktasının varlığı için yeterli bir kriter. Noktada P Bu noktanın yakınında, fonksiyonun toplam artışı işaret değiştirmiyorsa, iki değişkenli bir fonksiyonun bir uç noktası vardır. Kritik noktada birinci toplam diferansiyel sıfıra eşit olduğundan, fonksiyonun artışı ikinci toplam diferansiyeli belirler.

Toplam diferansiyelin uygulanmasının en iyi anlaşılması, bu dersin ikinci noktasını izleyen iki değişkenli bir fonksiyonun ekstremumunu bulmak için algoritmanın 3. ve 4. adımlarını çalışmak ve uygulamakla elde edilecektir.

İki değişkenli bir fonksiyonun uç noktalarının yerel doğası. Fonksiyon tanım alanının herhangi bir kısmındaki iki değişkenli bir fonksiyonun maksimumu, tanımın tüm alanındaki maksimum olmak zorunda değildir, tıpkı herhangi bir bölümdeki minimumun tanım alanının tamamında minimum olmaması gibi. Denizin kıyı bölgesindeki alandaki dalgaların yüksekliğini düşünelim (alan alandan daha küçüktür). Daha sonra bu bölümde en yüksek dalga yüksekliğini (en azından görsel olarak) düzeltebiliriz. Ancak rüzgarın daha büyük bir dalga yüksekliğine neden olduğu başka bir bölümde minimum dalga yüksekliğini sabitliyoruz. Bu, birinci bölümdeki maksimum dalga yüksekliğinin, ikinci bölümdeki minimum dalga yüksekliğinden daha az olabileceği anlamına gelir. Bu nedenle, tek değişkenli bir fonksiyonun ekstremum durumunda olduğu gibi, bu kavramı açıklığa kavuşturmak ve ekstremumdan iki değişkenli bir fonksiyonun yerel ekstremumları olarak bahsetmek gerekir.

En ilgi çekici olanı, iki değişkenli bir fonksiyonun ekstremumunu bulmak için algoritmadır, çünkü ilk olarak, bir değişkenli bir fonksiyonun ekstremumunu bulmak için algoritmadan farklıdır ve ikincisi, onunla analoji yoluyla bir algoritma oluşturulabilir. üç değişkenli bir fonksiyon bulmak için. Özellikle determinantların hesaplanması gerekecektir.

Yani, iki değişkenli bir fonksiyonun ekstremumunu bulmak için algoritma.

İki değişkenli bir fonksiyon verildiğinde.

Adım 2. Bu türevlerin eşitliklerinden sıfıra bir denklem sistemi oluşturuyoruz (sıfıra eşitlikleri, bir ekstremumun varlığının gerekli bir işaretidir):

Bu denklem sisteminin çözümleri, olası bir ekstremum - kritik noktaların noktalarıdır.

Adım 3. 2. adımda bulunan kritik nokta olsun. Bu noktada iki değişkenli fonksiyonun bir uç noktası olduğundan emin olmak için, ikinci dereceden kısmi türevleri buluruz.

1. adımda bulunan birinci dereceden kısmi türevlerin kısmi türevleri olarak.

Adım 4. Adım 3'te bulunan ikinci dereceden kısmi türevleri harf gösterimlerine atarız:

Adım 4. Determinantı bulun:

, yani bulunan kritik noktada ekstremum yoktur,

ve , yani bulunan kritik noktada iki değişkenin minimum fonksiyonu vardır,

ve , yani bulunan kritik noktada, iki değişkenli maksimum bir fonksiyon vardır.

Y \u003d x 3 - 3x 2 fonksiyonunun grafiğine dönelim. x = 0 noktasının komşuluğunu düşünün, yani bu noktayı içeren bir aralık. x \u003d 0 noktasının öyle bir komşuluğu olması mantıklıdır ki, y \u003d x 3 - 3x 2 işlevi bu mahalledeki en büyük değeri x \u003d 0 noktasında alır. 1; 1) 0'a eşit olan en büyük değeri, fonksiyon x=0 noktasında alır. x=0 noktasına bu fonksiyonun maksimum noktası denir.

Benzer şekilde, x \u003d 2 noktasına x 3 - 3x 2 fonksiyonunun minimum noktası denir, çünkü bu noktada fonksiyonun değeri x \u003d 2 noktasının yakınındaki başka bir noktadaki değerinden büyük değildir. , örneğin mahalle (1.5; 2.5).

Bu nedenle, x 0 noktası, x 0 noktasının bir komşuluğu varsa f (x) fonksiyonunun maksimum noktası olarak adlandırılır - öyle ki f (x) ≤ f (x 0) eşitsizliği bundan tüm x için tatmin olur komşu.

Örneğin, x 0 \u003d 0 noktası, f (x) \u003d 1 - x 2 fonksiyonunun maksimum noktasıdır, çünkü f (0) \u003d 1 ve f (x) ≤ 1 eşitsizliği tüm değerler için doğrudur ​​x'in.

f(x) fonksiyonunun minimum noktasına, x 0 noktasının böyle bir komşuluğu varsa, f (x) ≥ f (x 0) eşitsizliğinin bu komşuluktaki tüm x'ler için karşılanacağı şekilde x 0 noktası denir.

Örneğin, x 0 \u003d 2 noktası, f (x) \u003d 3 + (x - 2) 2 fonksiyonunun minimum noktasıdır, çünkü f (2) \u003d 3 ve f (x) ≥ 3 tüm x için .

Uç noktalar minimum noktalar ve maksimum noktalar olarak adlandırılır.

x 0 noktasının bir komşuluğunda tanımlanan ve bu noktada türevi olan f(x) fonksiyonuna dönelim.

x 0, türevlenebilir bir f (x) fonksiyonunun uç noktasıysa, o zaman f "(x 0) \u003d 0. Bu ifadeye Fermat teoremi denir.

Fermat teoreminin net bir geometrik anlamı vardır: uç noktada, teğet x eksenine ve dolayısıyla eğimine paraleldir
f"(x 0) sıfırdır.

Örneğin, f (x) \u003d 1 - 3x 2 işlevi, x 0 \u003d 0 noktasında bir maksimuma sahiptir, türevi f "(x) \u003d -2x, f "(0) \u003d 0'dır.

f (x) \u003d (x - 2) 2 + 3 fonksiyonunun x 0 \u003d 2, f "(x) \u003d 2 (x - 2), f "(2) \u003d 0 noktasında minimum değeri vardır .

Eğer f "(x 0) \u003d 0 ise, bunun x 0'ın mutlaka f (x) fonksiyonunun uç noktası olduğunu iddia etmek için yeterli olmadığını unutmayın.

Örneğin, f (x) \u003d x 3 ise, o zaman f "(0) \u003d 0. Ancak, x \u003d 0 noktası bir uç nokta değildir, çünkü x 3 işlevi tüm gerçek eksende artar.

Bu nedenle, türevlenebilir bir fonksiyonun uç noktaları yalnızca denklemin kökleri arasında aranmalıdır.
f "(x) \u003d 0, ancak bu denklemin kökü her zaman bir uç nokta değildir.

Durağan noktalar, bir fonksiyonun türevinin sıfıra eşit olduğu noktalardır.

Dolayısıyla x 0 noktasının uç nokta olabilmesi için durağan bir nokta olması gerekir.

Durağan bir noktanın uç nokta olması için yeterli koşulları göz önünde bulundurun, örn. durağan bir noktanın bir fonksiyonun minimum veya maksimum noktası olduğu koşullar.

Durağan noktanın solundaki türev pozitif ve sağdaki türev ise negatiftir, yani türev bu noktadan geçerken "+" işaretini "-" işaretine değiştirirse, bu durağan nokta maksimum noktadır.

Nitekim bu durumda fonksiyon, durağan noktanın solunda artar, sağında ise azalır, yani. bu nokta maksimum noktadır.

Türev durağan bir noktadan geçerken "-" işaretini "+" işaretine değiştirirse, bu durağan nokta bir minimum noktadır.

Türev durağan bir noktadan geçerken işaret değiştirmiyorsa, yani türev, durağan noktanın solunda ve sağında pozitif veya negatif ise, bu nokta bir uç nokta değildir.

Sorunlardan birini ele alalım. f (x) \u003d x 4 - 4x 3 fonksiyonunun uç noktalarını bulun.

Çözüm.

1) Türevi bulun: f "(x) \u003d 4x 3 - 12x 2 \u003d 4x 2 (x - 3).

2) Sabit noktaları bulun: 4x 2 (x - 3) \u003d 0, x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 3.

3) Aralık yöntemini kullanarak, f "(x) \u003d 4x 2 (x - 3) türevinin x\u003e 3 için pozitif, x için negatif olduğunu tespit ederiz.< 0 и при 0 < х < 3.

4) x 1 \u003d 0 noktasından geçerken türevin işareti değişmediğinden bu nokta bir uç nokta değildir.

5) Türev x 2 \u003d 3 noktasından geçerken "-" işaretini "+" işaretine değiştirir. Bu nedenle x 2 \u003d 3 minimum noktadır.

site, malzemenin tamamen veya kısmen kopyalanmasıyla, kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Bir fonksiyon ve onun özelliklerinin incelenmesi, modern matematiğin kilit bölümlerinden birini işgal eder. Herhangi bir işlevin ana bileşeni, yalnızca özelliklerini değil, aynı zamanda bu işlevin türevinin parametrelerini de gösteren grafiklerdir. Bu hassas konuya bir göz atalım. Peki bir fonksiyonun maksimum ve minimum noktalarını bulmanın en iyi yolu nedir?

Bir şekilde başka bir niceliğin değerlerine bağlı olan herhangi bir değişkene işlev denilebilir. Örneğin, f(x 2) işlevi ikinci derecedendir ve tüm x kümesi için değerleri belirler. Diyelim ki x = 9, o zaman fonksiyonumuzun değeri 9 2 = 81'e eşit olacaktır.

İşlevler çeşitli türlerde gelir: mantıksal, vektör, logaritmik, trigonometrik, sayısal ve diğerleri. Lacroix, Lagrange, Leibniz ve Bernoulli gibi seçkin beyinler çalışmalarına katıldılar. Yazıları, işlevleri incelemenin modern yollarında bir siper görevi görür. Minimum noktaları bulmadan önce, fonksiyonun anlamını ve türevini anlamak çok önemlidir.

Tüm fonksiyonlar değişkenlerine bağlıdır, bu da değerlerini istedikleri zaman değiştirebilecekleri anlamına gelir. Grafikte bu, y ekseni boyunca alçalan veya yükselen bir eğri olarak gösterilecektir (bu, grafiğin dikeyi boyunca "y" sayılarının tamamıdır). Ve böylece bir maksimum ve minimum fonksiyon noktasının tanımı bu "salınımlar" ile bağlantılıdır. Bu ilişkinin ne olduğunu açıklayalım.

Herhangi bir fonksiyonun türevi, ana özelliklerini incelemek ve fonksiyonun ne kadar hızlı değiştiğini (yani, "x" değişkenine bağlı olarak değerini değiştirdiğini) hesaplamak için çizilir. Fonksiyonun arttığı anda türevinin grafiği de artacaktır ancak fonksiyon her an azalmaya başlayabilir ve ardından türevinin grafiği azalacaktır. Türevin eksiden artıya gittiği noktalara minimum noktalar denir. Minimum noktaları nasıl bulacağınızı bilmek için daha iyi anlamalısınız.

Tanım ve fonksiyonlar, genel olarak türevin tanımı şu şekilde ifade edilebilir: bu, fonksiyonun değişim oranını gösteren değerdir.

Birçok öğrenci için onu tanımlamanın matematiksel yolu karmaşık görünüyor, ama aslında her şey çok daha basit. Herhangi bir fonksiyonun türevini bulmak için sadece standart planı takip etmek gereklidir. Aşağıda, türev kurallarını uygulamadan ve türev tablosunu ezberlemeden bir fonksiyonun minimum noktasını nasıl bulacağınız açıklanmaktadır.

Matematik okul müfredatında bir fonksiyonun minimum noktasını iki şekilde bulmak mümkündür. Grafiği kullanarak ilk yöntemi zaten analiz ettik, ancak türevin sayısal değeri nasıl belirlenir? Bunu yapmak için, türevin özelliklerini açıklayan ve "x" gibi değişkenleri sayılara dönüştürmeye yardımcı olan birkaç formül öğrenmeniz gerekecek. Aşağıdaki yöntem evrenseldir, bu nedenle hemen hemen her tür fonksiyona (hem geometrik hem de logaritmik) uygulanabilir.

Bir fonksiyonun ve onun türevinin incelenmesindeki en temel bileşen, türev alma kurallarının bilgisidir. Yalnızca onların yardımıyla hantal ifadeleri ve büyük karmaşık işlevleri dönüştürmek mümkündür. Onları tanıyalım, birçoğu var, ancak hem güç hem de logaritmik fonksiyonların düzenli özelliklerinden dolayı hepsi çok basit.

Minimum noktaların nasıl bulunacağını daha önce tartışmıştık, ancak bir fonksiyonun maksimum noktaları kavramı var. Minimum, fonksiyonun eksiden artıya gittiği noktaları gösteriyorsa, maksimum noktalar x ekseninde fonksiyonun türevinin artıdan zıt - eksiye değiştiği noktalardır.

Yukarıda açıklanan yöntemi kullanarak bulabilirsiniz, yalnızca işlevin azalmaya başladığı, yani türevin sıfırdan küçük olacağı alanları gösterdikleri dikkate alınmalıdır.

Matematikte, her iki kavramı da "uç noktalar" ifadesiyle değiştirerek genelleştirmek gelenekseldir. Görev bu noktaları belirlemeyi istediğinde, bu, bu fonksiyonun türevini hesaplamak ve minimum ve maksimum noktaları bulmak gerektiği anlamına gelir.

Bir fonksiyonun uç noktası, fonksiyonun tanım alanında, fonksiyonun değerinin minimum veya maksimum değer aldığı noktadır. Bu noktalardaki fonksiyon değerlerine fonksiyonun ekstremum (minimum ve maksimum) adı verilir.

Tanım . Nokta X 1 işlev kapsamı F(X) denir fonksiyonun maksimum noktası, fonksiyonun bu noktadaki değeri, fonksiyonun kendisine yeterince yakın, sağında ve solunda bulunan noktalardaki değerlerinden büyükse (yani eşitsizlik F(X 0 ) > F(X 0 + Δ X) X 1 maks.

Tanım . Nokta X 2 işlev kapsamı F(X) fonksiyonun bu noktadaki değeri, fonksiyonun kendisine yeterince yakın, sağında ve solunda bulunan noktalardaki değerlerinden küçükse (yani eşitsizlik) fonksiyonun minimum noktası olarak adlandırılır. F(X 0 ) < F(X 0 + Δ X)). Bu durumda fonksiyonun şu noktada sahip olduğu söylenir. X en az 2

noktayı söyleyelim X 1 - fonksiyonun maksimum noktası F(X) . Daha sonra aralıkta kadar X 1 fonksiyon artıyor, yani fonksiyonun türevi sıfırdan büyük ( F "(X) > 0 ) ve sonraki aralıkta X 1 fonksiyon azalıyor, bu nedenle fonksiyonun türevi sıfırdan küçük ( F "(X) < 0 ). Тогда в точке X 1

Şu noktayı da varsayalım X 2 - fonksiyonun minimum noktası F(X) . Daha sonra aralıkta kadar X 2 fonksiyon azalıyor ve fonksiyonun türevi sıfırdan küçük ( F "(X) < 0 ), а в интервале после X 2 fonksiyon artıyor ve fonksiyonun türevi sıfırdan büyük ( F "(X) > 0). Bu durumda da noktada X 2 fonksiyonun türevi sıfırdır veya yoktur.

Fermat teoremi (bir fonksiyonun ekstremumunun varlığı için gerekli bir kriter). Eğer nokta X 0 - fonksiyon uç noktası F(X) , o zaman bu noktada fonksiyonun türevi sıfıra eşittir ( F "(X) = 0 ) veya yok.

Tanım . Bir fonksiyonun türevinin sıfıra eşit olduğu veya bulunmadığı noktalara ne ad verilir? kritik noktalar .

Örnek 1. Fonksiyonu ele alalım.

Noktada X= 0 fonksiyonun türevi sıfıra eşittir, dolayısıyla nokta X= 0 kritik noktadır. Ancak, fonksiyonun grafiğinde de görülebileceği gibi, tanım alanının tamamında artar, yani nokta X= 0, bu fonksiyonun uç noktası değildir.

Bu nedenle, bir noktadaki bir fonksiyonun türevinin sıfıra eşit olması veya olmaması koşulları, bir ekstremum için gerekli koşullardır, ancak yeterli değildir, çünkü bu koşulların sağlandığı başka fonksiyon örnekleri verilebilir, ancak fonksiyon karşılık gelen noktada bir ekstremum yoktur. Bu nedenle, belirli bir kritik noktada bir ekstremum olup olmadığına ve hangisinin - maksimum veya minimum olduğuna karar vermek için yeterli işarete sahip olmak gerekir.

Teorem (bir fonksiyonun ekstremumunun varlığı için yeterli ilk kriter). Kritik nokta X 0 F(X) , fonksiyonun türevi bu noktadan geçerken işaret değiştiriyorsa ve işaret "artı"dan "eksi"ye değişiyorsa maksimum nokta, "eksi"den "artı"ya geçiyorsa minimum nokta .

noktaya yakın ise X 0 , solunda ve sağında, türev işaretini korur, bu, fonksiyonun noktanın bazı komşuluklarında ya sadece azaldığı ya da sadece arttığı anlamına gelir. X 0 . Bu durumda, noktada X 0 ekstremum yoktur.

Bu yüzden, fonksiyonun uç noktalarını belirlemek için aşağıdakileri yapmanız gerekir :

Örnek 2. Bir fonksiyonun uç noktalarını bulun .

Çözüm. Fonksiyonun türevini bulalım:

Kritik noktaları bulmak için türevi sıfıra eşitleyin:

.

Herhangi bir "x" değeri için payda sıfıra eşit olmadığından, payı sıfıra eşitleriz:

Bir kritik nokta var X= 3 Bu nokta ile sınırlanan aralıklarda türevin işaretini belirleriz:

eksi sonsuzdan 3 - eksi işaretine kadar, yani fonksiyon azalır,

3 ila artı sonsuza kadar - artı işareti, yani işlev artar.

yani nokta X= 3 minimum noktadır.

Minimum noktada fonksiyonun değerini bulun:

Böylece fonksiyonun uç noktası bulunur: (3; 0) ve minimum noktasıdır.

Teorem (bir fonksiyonun ekstremumunun varlığı için ikinci yeterli kriter). Kritik nokta X 0, fonksiyonun uç noktasıdır F(X) , fonksiyonun bu noktadaki ikinci türevi sıfıra eşit değilse ( F ""(X) ≠ 0 ), üstelik ikinci türev sıfırdan büyükse ( F ""(X) > 0 ), maksimum nokta ve ikinci türev sıfırdan küçükse ( F ""(X) < 0 ), то точкой минимума.

Açıklama 1. Eğer bir noktada X 0 hem birinci hem de ikinci türev kaybolursa, bu noktada ikinci yeterli işaret temelinde bir ekstremumun varlığını yargılamak imkansızdır. Bu durumda, fonksiyonun uç noktası için ilk yeterli kriteri kullanmanız gerekir.

Açıklama 2. Bir fonksiyonun uç noktası için ikinci yeterli kriter, birinci türev durağan noktada olmadığında da uygulanamaz (bu durumda ikinci türev de yoktur). Bu durumda, fonksiyonun ekstremumu için ilk yeterli kriteri kullanmak da gereklidir.

Yukarıdaki tanımlardan, bir fonksiyonun ekstremumunun yerel nitelikte olduğu anlaşılmaktadır - bu, fonksiyonun en yakın değerlerle karşılaştırıldığında en büyük ve en küçük değeridir.

Kazançlarınızı bir yıllık bir zaman aralığında değerlendirdiğinizi varsayalım. Mayıs ayında 45.000 ruble ve Nisan'da 42.000 ruble ve Haziran'da 39.000 ruble kazandıysanız, Mayıs kazançları, en yakın değerlere kıyasla kazanç fonksiyonunun maksimum değeridir. Ancak Ekim'de 71.000 ruble, Eylül'de 75.000 ruble ve Kasım'da 74.000 ruble kazandınız, bu nedenle Ekim kazançları, yakın değerlerle karşılaştırıldığında kazanç fonksiyonunun minimumudur. Ve Nisan-Mayıs-Haziran değerleri arasında maksimumun Eylül-Ekim-Kasım aylarındaki minimumdan daha az olduğunu rahatlıkla görebilirsiniz.

Genel olarak konuşursak, bir fonksiyonun bir aralıkta birkaç uç noktası olabilir ve fonksiyonun herhangi bir minimumunun herhangi bir maksimumdan daha büyük olduğu ortaya çıkabilir. Yani, yukarıdaki şekilde gösterilen fonksiyon için, .

Yani, fonksiyonun maksimum ve minimum değerlerinin, söz konusu segmentin tamamında sırasıyla maksimum ve minimum değerleri olduğu düşünülmemelidir. Maksimum noktasında, fonksiyon yalnızca maksimum noktaya yeterince yakın tüm noktalarda sahip olduğu değerlere kıyasla en büyük değere ve minimum noktada, yalnızca bu değerlere kıyasla en küçük değere sahiptir. tüm noktalarda minimum noktaya yeterince yakın olması.

Bu nedenle, yukarıda verilen bir fonksiyonun uç noktaları kavramını geliştirebilir ve minimum noktaları yerel minimum noktalar ve maksimum noktaları - yerel maksimum noktalar olarak adlandırabiliriz.

Örnek 3

Çözüm: Fonksiyon tam sayı doğrusu üzerinde tanımlı ve süreklidir. türevi ayrıca tüm sayı satırında da bulunur. Bu nedenle, bu durumda, yalnızca , yani kritik noktalar olarak hizmet eder. , nereden ve . Kritik noktalar ve fonksiyonun tüm alanını üç monotonluk aralığına bölün: . Her birinde bir kontrol noktası seçiyoruz ve bu noktadaki türevin işaretini buluyoruz.

Aralık için referans noktası şöyle olabilir: buluruz. Aralıkta bir nokta alarak, elde ederiz ve aralıkta bir nokta alarak, elde ederiz. Yani, ve aralıklarında ve aralığında . Bir ekstremumun ilk yeterli işaretine göre, noktada bir ekstremum yoktur (çünkü türev aralığındaki işaretini korur) ve fonksiyonun noktasında bir minimum vardır (türev geçerken eksiden artıya işaret değiştirdiğinden) bu noktadan). İşlevin karşılık gelen değerlerini bulun: , ve . Aralıkta fonksiyon azalır, çünkü bu aralıktadır ve aralıkta artar, çünkü bu aralıktadır.

Grafiğin yapısını netleştirmek için, koordinat eksenleriyle kesişme noktalarını buluruz. Fonksiyon grafiğinin kökleri ve yani iki noktası (0; 0) ve (4; 0) bulunan bir denklem elde ettiğimizde. Alınan tüm bilgileri kullanarak bir grafik oluşturuyoruz (örneğin başına bakın).

Hesaplamalar sırasında kendi kendini kontrol etmek için çevrimiçi türev hesaplayıcıyı kullanabilirsiniz.

Örnek 4. Fonksiyonun uç noktasını bulun ve grafiğini oluşturun.

Fonksiyonun alanı, nokta dışında tüm sayı doğrusudur, yani. .

Çalışmayı kısaltmak için bu fonksiyonun çift olduğu gerçeğini kullanabiliriz, çünkü . Bu nedenle grafiği eksene göre simetriktir. Oy ve çalışma sadece aralık için yapılabilir.

türevi bulma ve işlevin kritik noktaları:

1) ;

2) ,

ancak fonksiyon bu noktada bir kesintiye uğrar, bu nedenle bir uç nokta olamaz.

Böylece, verilen fonksiyonun iki kritik noktası vardır: ve . Fonksiyonun paritesini hesaba katarak, sadece ekstremumun ikinci yeterli işareti ile noktayı kontrol ederiz. Bunu yapmak için ikinci türevi buluruz. ve işaretini şu noktada belirleyin: elde ederiz. ve , fonksiyonun minimum noktası olduğundan, .

Fonksiyonun grafiğinin daha eksiksiz bir resmini elde etmek için tanım alanının sınırları üzerindeki davranışını bulalım:

(burada sembol arzuyu gösterir) X sağda sıfıra ve X pozitif kalır; benzer şekilde aspirasyon anlamına gelir X solda sıfıra ve X negatif kalır). Böylece, eğer , o zaman . Sonra, buluruz

,

onlar. eğer , öyleyse .

Fonksiyonun grafiğinin eksenlerle kesişme noktası yoktur. Resim örneğin başındadır.

Hesaplamalar sırasında kendi kendini kontrol etmek için çevrimiçi türev hesaplayıcıyı kullanabilirsiniz.

Örnek 8. Fonksiyonun ekstremumunu bulun.

Çözüm. Fonksiyonun etki alanını bulun. Eşitsizliğin sağlanması gerektiğinden, .

Fonksiyonun birinci türevini bulalım.