Bir m/n rasyonel sayısını ondalık kesir olarak yazmak için payı paydaya bölmeniz gerekir. Bu durumda bölüm sonlu veya sonsuz ondalık kesir olarak yazılır.

Verilen sayıyı ondalık sayı olarak yazınız.

Çözüm. Her kesrin payını paydasına bölün: A) 6'yı 25'e bölün; B) 2'yi 3'e bölün; V) 1'i 2'ye bölün ve elde edilen kesri birliğe (bu karışık sayının tamsayı kısmı) ekleyin.

Paydaları asal bölenlerden başka hiçbir asal bölen içermeyen indirgenemez sıradan kesirler 2 Ve 5 , son ondalık kesir olarak yazılır.

İÇİNDE örnek 1 Ne zaman A) payda 25=5 5; Ne zaman V) payda 2 olduğundan son ondalık sayıları 0,24 ve 1,5 elde ettik. Ne zaman B) payda 3 olduğundan sonuç son ondalık sayı olarak yazılamaz.

Böyle sıradan bir kesri, bir sütuna bölmeden, paydası 2 ve 5 dışında başka bölenler içermeyen ondalık kesire dönüştürmek mümkün müdür? Hadi çözelim! Ondalık sayı olarak adlandırılan ve kesir çizgisi olmadan yazılan kesir hangisidir? Cevap: paydası 10 olan bir kesir; 100; 1000 vb. Ve bu sayıların her biri bir üründür eşit ikili ve beşlilerin sayısı. Aslında: 10=2 5; 100=2 5 2 5; 1000=2 5 2 5 2 5 vb.

Bu nedenle, indirgenemez bir sıradan kesirin paydasının ikiler ve beşlerin çarpımı olarak temsil edilmesi ve ardından ikiler ve beşlerin eşit olması için 2 ve (veya) 5 ile çarpılması gerekecektir. O zaman kesrin paydası 10 veya 100 veya 1000 vb.'ye eşit olacaktır. Kesrin değerinin değişmemesi için kesrin payını, paydanın çarpıldığı sayıyla çarpıyoruz.

Aşağıdaki kesirleri ondalık sayı olarak ifade edin:

Çözüm. Bu kesirlerin her biri indirgenemez. Her kesrin paydasını asal çarpanlara ayıralım.

20=2 2 5. Sonuç: Bir "beş" eksik.

8=2 2 2. Sonuç: Yeterli üç "beş" yok.

25=5 5. Sonuç: iki "ikili" eksik.

Yorum. Pratikte genellikle paydayı çarpanlara ayırmayı kullanmazlar, ancak sadece şu soruyu sorarlar: Sonucun sıfırlı bir birim (10 veya 100 veya 1000 vb.) olması için paydanın ne kadar çarpılması gerekir. Daha sonra pay aynı sayı ile çarpılır.

Yani, durumda A)(örnek 2) 20 sayısını 5 ile çarparak 100 elde edebilirsiniz, bu nedenle pay ve paydayı 5 ile çarpmanız gerekir.

Ne zaman B)(örnek 2) 8 sayısından 100 sayısı çalışmayacaktır ancak 125 ile çarpılarak 1000 sayısı elde edilecektir. Kesrin hem payı (3) hem de paydası (8) 125 ile çarpılır.

Ne zaman V)(örnek 2) 25 üzerinden 4 ile çarpıldığında 100 elde edilir. Bu, 8 payının da 4 ile çarpılması gerektiği anlamına gelir.

Bir veya daha fazla rakamın sürekli olarak aynı sırada tekrarlandığı sonsuz ondalık kesre ne ad verilir? periyodik ondalık kesir. Tekrarlanan rakamlar kümesine bu kesrin periyodu denir. Kısaltmak için, bir kesrin periyodu bir kez yazılır ve parantez içine alınır.

Ne zaman B)(örnek 1) tekrarlanan rakam birdir ve 6'ya eşittir. Dolayısıyla sonucumuz 0.66... ​​​​şöyle yazılacak: 0,(6) . Şunu okurlar: sıfır tamsayı, nokta içinde altı.

Virgül ile ilk nokta arasında bir veya daha fazla tekrarlanmayan rakam varsa, böyle bir periyodik kesir, karışık periyodik kesir olarak adlandırılır.

Paydası indirgenemez bir ortak kesir başkalarıyla birlikteçarpan çarpanı içerir 2 veya 5 , olur karışık periyodik kesir.

Sayıyı ondalık sayı olarak yazın.

Örneğin.$\frac(3)(10), 4 \frac(7)(100), \frac(11)(10000)$

Bu tür kesirler genellikle payda olmadan yazılır ve her basamağın değeri bulunduğu yere bağlıdır. Bu tür kesirler için tamsayı kısmı virgülle ayrılır ve virgülden sonra sıradan bir kesirin paydasındaki sıfır sayısı kadar rakam bulunmalıdır. Kesirli rakamlara ondalık basamaklar denir.

Örneğin.$\frac(21)(100)=0,21 ; 3 \frac(21)(100)=$3,21

Ondalık noktadan sonraki ilk ondalık basamak onda birliğe, ikinci yüzde birliğe, üçüncüsü binde birliğe vb. karşılık gelir.

Ondalık kesrin paydasındaki sıfırların sayısı, aynı kesrin payındaki basamak sayısından büyükse, ondalık noktadan sonra pay basamaklarının önüne gerekli sayıda sıfır eklenir.

Paydada dört sıfır ve payda iki rakam olduğundan, ondalık gösterimde paydan önce $4-2=2$ sıfır ekliyoruz.

Ondalık kesrin ana özelliği

Mülk

Sağdaki ondalık kesire birkaç sıfır eklerseniz ondalık kesrin değeri değişmeyecektir.

Örneğin.$12.034=12.0340=12.03400=12.034000=\ldots$

Yorum

Bu nedenle, ondalık sayının sonundaki sıfırlar dikkate alınmaz, bu nedenle çeşitli eylemler gerçekleştirilirken bu sıfırların üzeri çizilebilir / atılabilir.

Ondalık Karşılaştırma

İki ondalık sayıyı karşılaştırmak için (iki ondalık sayıdan hangisinin daha büyük olduğunu bulmak için), bunların tüm parçalarını, ardından onda birini, yüzde birini vb. karşılaştırmanız gerekir. Kesirlerden birinin tam kısmı diğer kesrin tam kısmından büyükse, ilk kesir daha büyük kabul edilir. Tamsayı kısımların eşitliği durumunda, onda biri daha fazla olan kesir daha büyüktür, vb.

Örnek

Egzersiz yapmak. Kesirleri karşılaştır $2,432$ ; 2,41 Dolar ve 1,234 Dolar

Çözüm.$1,234$ kesri en küçüktür çünkü tamsayı kısmı 1 ve $1'dir

Şimdi $2,432$ ve $1,234$ kesirlerini boyut olarak karşılaştıralım. Tamsayı kısımları birbirine eşittir ve 2'ye eşittir. Onuncuları karşılaştırın: $4=4$ . Yüzde birleri karşılaştırın: $3>1$ . Yani $2,432>2,41$ .

Aritmetikte bulunan birçok kesirden paydasında 10, 100, 1000 olanlar özel ilgiyi hak eder - genel olarak on'un herhangi bir kuvveti. Bu kesirlerin özel bir adı ve gösterimi vardır.

Ondalık sayı, paydası onun katı olan herhangi bir sayıdır.

Ondalık örnekler:

Bu tür kesirleri izole etmek neden gerekliydi? Neden kendi giriş formlarına ihtiyaçları var? Bunun en az üç nedeni var:

1. Ondalık sayıların karşılaştırılması çok daha kolaydır. Unutmayın: Sıradan kesirleri karşılaştırmak için bunları birbirinden çıkarmanız ve özellikle kesirleri ortak bir paydaya getirmeniz gerekir. Ondalık kesirlerde bunların hiçbiri gerekli değildir;
2. Hesaplamaların azaltılması. Ondalık sayılar kendi kurallarına göre toplanır ve çarpılır; biraz pratik yaparak onlarla sıradan olanlardan çok daha hızlı çalışabileceksiniz;
3. Kayıt kolaylığı. Sıradan kesirlerden farklı olarak ondalık sayılar netlik kaybı olmadan tek satırda yazılır.

Hesap makinelerinin çoğu yanıtları ondalık sayılarla da verir. Bazı durumlarda farklı bir kayıt formatı sorunlara neden olabilir. Mesela bir mağazada 2/3 ruble tutarında değişiklik talep ederseniz :)

Ondalık kesirleri yazma kuralları

Ondalık kesirlerin temel avantajı kullanışlı ve görsel bir gösterimdir. Yani:

Ondalık gösterim, tam sayı bölümünün kesirli bölümden normal bir nokta veya virgül kullanılarak ayrıldığı bir ondalık gösterim biçimidir. Bu durumda ayırıcının kendisine (nokta veya virgül) ondalık nokta adı verilir.

Örneğin, 0,3 (okuyun: “sıfır tamsayı, onda üç”); 7,25 (7 tam sayı, 25 yüzde birlik); 3,049 (3 tam sayı, 49 binde bir). Tüm örnekler önceki tanımdan alınmıştır.

Yazılı olarak virgül genellikle ondalık nokta olarak kullanılır. Burada ve aşağıda virgül site genelinde de kullanılacaktır.

Belirtilen biçimde isteğe bağlı bir ondalık kesir yazmak için üç basit adımı uygulamanız gerekir:

1. Payı ayrı ayrı yazın;
2. Paydadaki sıfır sayısı kadar virgül sola kaydırılır. Başlangıçta virgülün tüm rakamların sağında olduğunu varsayalım;
3. Ondalık nokta kaymışsa ve ondan sonra kaydın sonunda sıfırlar varsa, bunların üzeri çizilmelidir.

İkinci adımda payın kaydırmayı tamamlamak için yeterli rakamı olmadığı görülür. Bu durumda eksik pozisyonlar sıfırlarla doldurulur. Ve genel olarak herhangi bir sayının soluna sağlığa zarar vermeden herhangi bir sayıda sıfır atanabilir. Çirkin ama bazen işe yarar.

İlk bakışta bu algoritma oldukça karmaşık görünebilir. Aslında her şey çok çok basit - sadece biraz pratik yapmanız gerekiyor. Örneklere bir göz atın:

Görev. Her kesir için ondalık gösterimini belirtin:

İlk kesrin payı: 73. Ondalık noktayı bir işaret kaydırırız (çünkü payda 10'dur) - 7,3 elde ederiz.

İkinci kesrin payı: 9. Ondalık noktayı iki basamak kaydırırız (payda 100 olduğu için) - 0,09 elde ederiz. “.09” gibi garip bir gösterim bırakmamak için virgülden sonra bir sıfır ve ondan önce bir sıfır daha eklemek zorunda kaldım.

Üçüncü kesrin payı: 10029. Ondalık noktasını üç basamak kaydırırız (payda 1000 olduğu için) - 10.029 elde ederiz.

Son kesrin payı: 10500. Noktayı yine üç basamak kaydırırız - 10.500 elde ederiz. Sayının sonunda fazladan sıfırlar var. Üstlerini çizersek 10,5 elde ederiz.

Son iki örneğe dikkat edin: 10.029 ve 10.5 sayıları. Kurallara göre son örnekte olduğu gibi sağdaki sıfırların üzeri çizilmelidir. Ancak bunu hiçbir durumda sayının içindeki (başka rakamlarla çevrelenmiş) sıfırlarla yapmamalısınız. Bu yüzden 1,29 ve 1,5 değil, 10,029 ve 10,5 aldık.

Böylece ondalık kesirleri kaydetmenin tanımını ve şeklini bulduk. Şimdi sıradan kesirleri ondalık sayılara nasıl dönüştüreceğimizi öğrenelim - ve bunun tersi de geçerlidir.

Kesirlerden ondalık sayılara geçiş

a / b formunun basit bir sayısal kesirini düşünün. Bir kesrin temel özelliğini kullanabilir ve pay ve paydayı öyle bir sayıyla çarpabilirsiniz ki, alttaki onluk kuvveti elde edersiniz. Ancak bunu yapmadan önce lütfen aşağıdakileri okuyun:

Onun kuvvetine indirgenmeyen paydalar var. Bu tür kesirleri tanımayı öğrenin çünkü aşağıda açıklanan algoritmaya göre bunlarla çalışılamaz.

Bu kadar. Peki paydanın on'un kuvvetine indirgenip indirgenmediği nasıl anlaşılır?

Cevap basit: paydayı asal faktörlere ayırın. Açılımda sadece 2 ve 5 çarpanları varsa bu sayı on katına kadar indirilebilir. Başka sayılar varsa (3, 7, 11 - her neyse), on derecesini unutabilirsiniz.

Görev. Belirtilen kesirlerin ondalık sayı olarak gösterilip gösterilemeyeceğini kontrol edin:

Bu kesirlerin paydalarını yazıyoruz ve çarpanlara ayırıyoruz:

20 \u003d 4 5 \u003d 2 2 5 - yalnızca 2 ve 5 sayıları mevcuttur, bu nedenle kesir ondalık sayı olarak temsil edilebilir.

12 \u003d 4 3 \u003d 2 2 3 - "yasak" bir faktör 3 var. Kesir, ondalık sayı olarak gösterilemez.

640 \u003d 8 8 10 \u003d 2 3 2 3 2 5 \u003d 2 7 5. Her şey yolunda: 2 ve 5 sayıları dışında hiçbir şey yok. Kesir ondalık sayı olarak temsil edilir.

48 \u003d 6 8 \u003d 2 3 2 3 \u003d 2 4 3. Faktör 3 tekrar "ortaya çıktı", ondalık kesir olarak temsil edilemez.

Böylece paydayı bulduk - şimdi ondalık kesirlere geçiş için tüm algoritmayı ele alacağız:

1. Orijinal kesrin paydasını çarpanlara ayırın ve bunun genellikle ondalık sayı olarak temsil edilebildiğinden emin olun. Onlar. genişletmede yalnızca 2 ve 5 numaralı faktörlerin mevcut olduğunu kontrol edin, aksi takdirde algoritma çalışmaz;
2. Ayrıştırmada kaç tane ikili ve beşlinin bulunduğunu sayın (orada başka sayı olmayacak, hatırladınız mı?). İkili ve beşli sayıların eşit olması için böyle bir ek çarpan seçin.
3. Aslında, orijinal kesrin payını ve paydasını bu faktörle çarpın - istenen temsili elde ederiz, yani. payda onun kuvveti olacaktır.

Elbette ek faktör de sadece ikili ve beşli olarak ayrıştırılacaktır. Aynı zamanda hayatınızı zorlaştırmamak için mümkün olan tüm faktörler arasından bu tür en küçük faktörü seçmelisiniz.

Ve bir şey daha: Orijinal kesirde bir tamsayı kısmı varsa, bu kesri uygunsuz bir kesre dönüştürdüğünüzden emin olun ve ancak o zaman açıklanan algoritmayı uygulayın.

Görev. Bu sayıları ondalık sayıya dönüştürün:

İlk kesrin paydasını çarpanlarına ayıralım: 4 = 2 · 2 = 2 2 . Bu nedenle bir kesir ondalık sayı olarak gösterilebilir. Açılımda iki iki var ve beş yok, dolayısıyla ek faktör 5 2 = 25. İkili ve beşli sayısı buna eşit olacak. Sahibiz:

Şimdi ikinci kesirle ilgilenelim. Bunu yapmak için, 24 \u003d 3 8 \u003d 3 2 3'ün - genişlemede bir üçlü olduğunu, dolayısıyla kesirin ondalık sayı olarak temsil edilemeyeceğini unutmayın.

Son iki kesrin paydası sırasıyla 5 (bir asal sayı) ve 20 = 4 5 = 2 2 5'tir - her yerde yalnızca ikiler ve beşler mevcuttur. Aynı zamanda, ilk durumda, "tam mutluluk için" yeterli çarpan 2 yoktur ve ikincisinde - 5. Şunu elde ederiz:

Ondalık sayılardan sıradan sayılara geçiş

Ondalık gösterimden normale ters dönüşüm çok daha kolaydır. Hiçbir kısıtlama ve özel kontrol yoktur, bu nedenle her zaman ondalık kesri klasik "iki katlı" kesre dönüştürebilirsiniz.

Çeviri algoritması aşağıdaki gibidir:

1. Ondalık sayının sol tarafındaki tüm sıfırların yanı sıra ondalık noktanın da üzerini çizin. Bu istenen kesrin payı olacaktır. Önemli olan aşırıya kaçmamak ve diğer sayılarla çevrili iç sıfırların üzerini çizmemektir;
2. Orijinal ondalık kesirde virgülden sonra kaç basamak olduğunu hesaplayın. 1 sayısını alın ve karakterleri saydığınız kadar sağa sıfır ekleyin. Bu payda olacak;
3. Aslında payını ve paydasını bulduğumuz kesri yazın. Mümkünse azaltın. Orijinal kesirde bir tamsayı kısmı varsa, şimdi daha sonraki hesaplamalar için çok uygun olan uygunsuz bir kesir elde edeceğiz.

Görev. Ondalık sayıları sıradan sayıya dönüştürün: 0,008; 3.107; 2.25; 7,2008.

Soldaki sıfırları ve virgülleri çizeriz - aşağıdaki sayıları elde ederiz (bunlar pay olacaktır): 8; 3107; 225; 72008.

Ondalık noktadan sonraki birinci ve ikinci kesirlerde 3 ondalık basamak, ikincide - 2 ve üçüncüde - 4'e kadar ondalık basamak vardır. Paydaları alıyoruz: 1000; 1000; 100; 10000.

Son olarak pay ve paydaları sıradan kesirlerde birleştirelim:

Örneklerden görülebileceği gibi, ortaya çıkan kesir sıklıkla azaltılabilir. Bir kez daha, herhangi bir ondalık kesrin sıradan bir kesir olarak temsil edilebileceğini not ediyorum. Ters dönüşüm her zaman mümkün değildir.

kesirli sayı.

Kesirli bir sayının ondalık gösterimi$0$ ile $9$ arasında iki veya daha fazla rakamdan oluşan bir kümedir ve aralarında \textit (ondalık nokta) adı verilir.

örnek 1

Örneğin, 35,02$; 100,7$; 123$ \ 456,5$; 54,89 dolar.

Bir sayının ondalık gösteriminde en soldaki rakam, ondalık noktanın ilk $0$ rakamından hemen sonra olması durumu dışında sıfır olamaz.

Örnek 2

Örneğin, 0,357 ABD Doları; 0,064 dolar.

Genellikle ondalık noktanın yerini ondalık nokta alır. Örneğin, $35,02$; 100,7$; 123$ \ 456,5$; 54,89 dolar.

Ondalık tanımı

Tanım 1

Ondalık Sayılar ondalık gösterimle gösterilen kesirli sayılardır.

Örneğin, 121,05$; 67,9$; 345.6700 dolar.

Ondalık sayılar, paydaları $10$, $100$, $1\000$ vb. sayılar olan normal kesirlerin daha kompakt bir temsili için kullanılır. ve paydaları $10$, $100$, $1\000$ vb. olan karışık sayılar.

Örneğin, ortak kesir $\frac(8)(10)$ ondalık sayı olarak $0,8$ olarak ve karışık sayı $405\frac(8)(100)$ ondalık sayı olarak $405,08$ olarak yazılabilir.

Ondalık sayıları okuma

Normal kesirlere karşılık gelen ondalık sayılar sıradan kesirlerle aynı şekilde okunur, yalnızca önüne "sıfır tamsayılar" ifadesi eklenir. Örneğin, ortak kesir $\frac(25)(100)$ ("yirmi beş yüzde bir" olarak okunur) ondalık kesir $0,25$'a karşılık gelir ("sıfır nokta yirmi beş yüzde bir" olarak okunur).

Karışık sayılara karşılık gelen ondalık sayılar, karışık sayılarla aynı şekilde okunur. Örneğin, $43\frac(15)(1000)$ karışık sayısı $43.015$ ondalık kesirine karşılık gelir ("kırk üç virgül on beş binde bir" olarak okuyun).

Ondalık basamaklar

Ondalık gösterimde her basamağın değeri, konumuna bağlıdır. Onlar. ondalık kesirlerde de kavram yer alır deşarj.

Ondalık kesirlerde ondalık basamağa kadar olan rakamlara doğal sayılardaki rakamlarla aynı denir. Ondalık noktadan sonraki ondalık kesirlerdeki rakamlar tabloda listelenmiştir:

Resim 1.

Örnek 3

Örneğin, ondalık kesirde $56,328$, $5$ onlar basamağında, $6$ birler basamağında, $3$ onuncu basamağa, $2$ yüzüncü basamağa, $8$ bininci basamağa gelir.

Ondalık kesirlerdeki rakamlar kıdeme göre ayırt edilir. Ondalık kesirleri okurken soldan sağa doğru hareket ederler. kıdemli boşaltmak genç.

Örnek 4

Örneğin, $56.328$ ondalık sayının en anlamlı (en yüksek) basamağı onlar basamağıdır ve en az anlamlı (en düşük) basamak ise binler basamağıdır.

Ondalık kesir, bir doğal sayının rakamlarına genişletmeyle aynı şekilde rakamlara genişletilebilir.

Örnek 5

Örneğin, $37,851$ ondalık kesirini rakamlara genişletelim:

$37,851=30+7+0,8+0,05+0,001$

Ondalık sayıları sonlandır

Tanım 2

Ondalık sayıları sonlandır kayıtları sonlu sayıda karakter (rakam) içeren ondalık kesirler denir.

Örneğin, 0,138 ABD Doları; 5,34$; 56,123456$; 350.972,54 dolar.

Herhangi bir son ondalık kesir, ortak bir kesire veya karışık bir sayıya dönüştürülebilir.

Örnek 6

Örneğin, son ondalık kesir $7,39$ $7\frac(39)(100)$ kesirli sayısına karşılık gelir ve son ondalık kesir $0,5$ uygun kesir $\frac(5)(10)$'a (veya herhangi ona eşit olan kesir, örneğin $\frac(1)(2)$ veya $\frac(10)(20)$.

Sıradan bir kesri ondalık kesire dönüştürme

Paydaları $10, 100, \dots$ olan ortak kesirleri ondalık sayıya dönüştürün

Bazı sıradan kesirleri ondalık sayılara dönüştürmeden önce, ilk önce “hazırlanmaları” gerekir. Bu tür bir hazırlığın sonucu, paydaki basamak sayısı ve paydadaki sıfır sayısı aynı olmalıdır.

Ondalık kesirlere dönüştürmek için doğru sıradan kesirlerin "ön hazırlığının" özü, payın soluna, toplam basamak sayısı paydadaki sıfır sayısına eşit olacak kadar çok sayıda sıfır eklemektir.

Örnek 7

Örneğin, $\frac(43)(1000)$ ortak kesirini ondalık sayıya dönüştürmek için hazırlayalım ve $\frac(043)(1000)$ elde edelim. Ve $\frac(83)(100)$ normal kesirinin hazırlanmasına gerek yoktur.

Hadi formüle edelim Paydası $10$ veya $100$ veya $1\000$, $\dots$ olan uygun bir ortak kesri ondalık kesre dönüştürme kuralı:

$0$ yaz;

ondan sonra bir ondalık nokta koyun;

paydaki sayıyı yazın (gerekirse hazırlıktan sonra eklenen sıfırlarla birlikte).

Örnek 8

Doğru kesri $\frac(23)(100)$ ondalık sayıya dönüştürün.

Çözüm.

Payda, $2$ iki sıfır içeren $100$ sayısıdır. Pay, $2$ rakamlarını içeren $23$ sayısını içerir. bu, bu kesirin ondalık sayıya dönüştürülmesi için hazırlık yapılmasının gerekli olmadığı anlamına gelir.

$0$ yazalım, virgül koyalım ve paydan $23$ sayısını yazalım. Ondalık kesri $0,23$ olarak elde ederiz.

Cevap: $0,23$.

Örnek 9

Doğru kesri $\frac(351)(100000)$ ondalık sayı olarak yazın.

Çözüm.

Bu kesrin payı 3$ rakamına sahiptir ve paydadaki sıfır sayısı 5$'dır, dolayısıyla bu sıradan kesirin ondalık sayıya dönüştürülmeye hazırlanması gerekir. Bunu yapmak için payın soluna $5-3=2$ sıfır ekleyin: $\frac(00351)(100000)$.

Artık istenilen ondalık kesri oluşturabiliriz. Bunu yapmak için $0$ yazın, ardından virgül koyun ve paydan itibaren sayıyı yazın. Ondalık kesri 0,00351$ olarak alıyoruz.

Cevap: $0,00351$.

Hadi formüle edelim paydaları $10$, $100$, $\dots$ olan uygunsuz ortak kesirleri ondalık sayılara dönüştürme kuralı:

paydan bir sayı yazın;

Orijinal kesrin paydasındaki sıfır sayısı kadar sağdaki rakam sayısı kadar ondalık noktayla ayırın.

Örnek 10

Uygunsuz ortak kesir $\frac(12756)(100)$ ondalık sayıya dönüştürün.

Çözüm.

Sayıyı $12756$ payından yazalım, sonra sağdaki rakamları ondalık ayırıcı $2$ ile ayıralım, çünkü orijinal $2$ kesrinin paydası sıfırdır. Ondalık kesri $127.56$ olarak elde ederiz.

Bu materyali ondalık kesirler gibi önemli bir konuya ayıracağız. Öncelikle temel tanımları tanımlayalım, örnekler verelim ve ondalık gösterim kurallarının yanı sıra ondalık kesirlerin rakamlarının ne olduğu üzerinde duralım. Daha sonra ana türleri vurguluyoruz: sonlu ve sonsuz, periyodik ve periyodik olmayan kesirler. Son bölümde kesirli sayılara karşılık gelen noktaların koordinat ekseninde nasıl konumlandığını göstereceğiz.

Kesirli sayıların ondalık gösterimi nedir

Kesirli sayılar için ondalık gösterim olarak adlandırılan gösterim, hem doğal hem de kesirli sayılar için kullanılabilir. Aralarında virgül bulunan iki veya daha fazla sayıdan oluşan bir diziye benziyor.

Tam sayı kısmını kesirli kısımdan ayırmak için virgül gereklidir. Kural olarak, ondalık sayının son basamağı, virgül ilk sıfırdan hemen sonra olmadığı sürece asla sıfır değildir.

Ondalık gösterimde kesirli sayıların bazı örnekleri nelerdir? 34 , 21 , 0 , 35035044 , 0 , 0001 , 11 231 552 , 9 vb. olabilir.

Bazı ders kitaplarında virgül yerine nokta kullanımını bulabilirsiniz (5.67, 6789.1011 vb.) Bu seçenek eşdeğer kabul edilir, ancak İngilizce kaynaklar için daha tipiktir.

decimals'un tanımı

Yukarıdaki ondalık gösterim kavramına dayanarak, ondalık kesirlerin aşağıdaki tanımını formüle edebiliriz:

Tanım 1

Ondalık sayılar, ondalık gösterimdeki kesirli sayılardır.

Kesirleri neden bu formda yazmamız gerekiyor? Sıradan gösterimlere göre bize bazı avantajlar sağlar; örneğin, özellikle paydanın 1000, 100, 10 vb. veya karışık bir sayı olduğu durumlarda daha kompakt bir gösterim. Örneğin 6 10 yerine 0, 6, 25 10000 - 0, 0023, 512 3 100 - 512, 03 yerine belirtebiliriz.

Paydasında onlarca, yüzler, binlerce olan sıradan kesirlerin ondalık biçimde nasıl doğru şekilde temsil edileceği ayrı bir materyalde açıklanacaktır.

Ondalık sayılar nasıl doğru okunur

Ondalık kesirlerin kayıtlarını okumak için bazı kurallar vardır. Dolayısıyla, doğru sıradan eşdeğerlerine karşılık gelen ondalık kesirler neredeyse aynı şekilde okunur, ancak başına "onda sıfır" kelimeleri eklenir. Yani 14 100'e karşılık gelen 0, 14 girişi "sıfır noktası on dört yüzde bir" olarak okunur.

Ondalık kesir karışık bir sayıyla ilişkilendirilebiliyorsa bu sayıyla aynı şekilde okunur. Yani, 56 2 1000'e karşılık gelen 56.002 kesirimiz varsa, böyle bir girişi "elli altı nokta iki binde bir" olarak okuruz.

Ondalık gösterimde bir rakamın değeri, bulunduğu yere bağlıdır (tıpkı doğal sayılarda olduğu gibi). Yani ondalık kesirde 0, 7, yedi onda biri, 0, 0007'de on binde biri, 70.000, 345 kesirinde yedi onbinlik tam birim anlamına gelir. Dolayısıyla ondalık kesirlerde rakam rakamı kavramı da vardır.

Virgülden önce gelen rakamların adları doğal sayılarda bulunanlara benzer. Daha sonra gelenlerin isimleri tabloda açıkça sunulmaktadır:

Bir örnek verelim.

örnek 1

43, 098 ondalık sayımız var. Onlar basamağında dört, birler basamağında üç, onuncu basamakta sıfır, yüzüncü basamakta 9 ve bininci basamakta 8 vardır.

Ondalık kesirlerin rakamlarını kıdeme göre ayırmak gelenekseldir. Rakamları soldan sağa doğru hareket ettirirsek yüksek rakamlardan düşük rakamlara doğru gideceğiz. Yüzlerin onlarca kişiden daha yaşlı, milyonların ise yüzde birlerden daha genç olduğu ortaya çıktı. Yukarıda örnek olarak verdiğimiz son ondalık kesri alırsak, o zaman içinde en büyük veya en yüksek yüzler basamağı, en düşük veya en düşük ise 10 binde birler basamağı olacaktır.

Herhangi bir ondalık kesir ayrı basamaklara ayrıştırılabilir, yani toplam olarak temsil edilebilir. Bu işlem doğal sayılarla aynı şekilde gerçekleştirilir.

Örnek 2

56, 0455 kesrini rakamlara genişletmeye çalışalım.

Şunları yapabileceğiz:

56 , 0455 = 50 + 6 + 0 , 4 + 0 , 005 + 0 , 0005

Toplamanın özelliklerini hatırlarsak, bu kesri başka şekillerde de temsil edebiliriz; örneğin toplam 56 + 0, 0455 veya 56, 0055 + 0, 4 vb.

Sondaki ondalık sayılar nelerdir

Yukarıda bahsettiğimiz tüm kesirler sondaki ondalık sayılardır. Bu, virgülden sonraki basamak sayısının sonlu olduğu anlamına gelir. Tanımı alalım:

Tanım 1

Sondaki ondalık sayılar, virgülden sonra sonlu sayıda basamak içeren bir ondalık sayı türüdür.

Bu tür kesirlerin örnekleri 0, 367, 3, 7, 55, 102567958, 231032, 49 vb. olabilir.

Bu kesirlerden herhangi biri ya karışık bir sayıya (kesirli kısımlarının değeri sıfırdan farklıysa) ya da sıradan bir kesre (tamsayı kısmı sıfır ise) dönüştürülebilir. Bunun nasıl yapıldığına ayrı bir materyal ayırdık. Burada sadece birkaç örnek verelim: örneğin, son ondalık kesir olan 5, 63'ü 5 63 100 formuna getirebiliriz ve 0, 2, 2 10'a karşılık gelir (veya buna eşit başka bir kesir, örneğin, 4 20 veya 1 5 .)

Ancak bunun tersi süreç, yani. Sıradan bir kesrin ondalık biçimde yazılması her zaman gerçekleştirilemeyebilir. Dolayısıyla, 5 13, paydası 100, 10 vb. olan eşit bir kesirle değiştirilemez, bu da son ondalık kesrin işe yaramayacağı anlamına gelir.

Sonsuz ondalık kesirlerin ana türleri: periyodik ve periyodik olmayan kesirler

Yukarıda sonlu kesirlerin virgülden sonra sonlu sayıda rakamı olması nedeniyle bu şekilde adlandırıldığını belirtmiştik. Bununla birlikte, sonsuz da olabilir, bu durumda kesirlerin kendilerine de sonsuz denilecektir.

Tanım 2

Sonsuz ondalık sayılar, virgülden sonra sonsuz sayıda basamağa sahip olanlardır.

Açıkçası, bu tür sayılar tamamen yazılamıyor, bu yüzden bunların yalnızca bir kısmını belirtiyoruz ve sonra üç nokta koyuyoruz. Bu işaret, ondalık basamak dizisinin sonsuz bir devamını gösterir. Sonsuz ondalık sayılara örnek olarak 0, 143346732..., 3, 1415989032..., 153, 0245005..., 2, 66666666666..., 69, 748768152... verilebilir. vesaire.

Böyle bir kesirin "kuyruğunda", yalnızca görünüşte rastgele sayı dizileri değil, aynı karakterin veya karakter grubunun sürekli tekrarı da olabilir. Ondalık noktadan sonra değişen kesirlere periyodik denir.

Tanım 3

Periyodik ondalık kesirler, bir rakamın veya birkaç rakamdan oluşan bir grubun ondalık noktadan sonra tekrarlandığı sonsuz ondalık kesirlerdir. Tekrarlanan kısma kesrin periyodu denir.

Örneğin 3 kesri için 444444... . dönem 4 numara olacak ve 76 için 134134134134 ... - grup 134 olacak.

Periyodik bir kesirde izin verilen minimum karakter sayısı nedir? Periyodik kesirler için parantez içinde dönemin tamamının bir kez yazılması yeterli olacaktır. Yani kesir 3, 444444... . 3 , (4) , ve 76 , 134134134134 ... - 76 , (134) olarak yazmak doğru olacaktır.

Genel olarak, parantez içinde birden çok nokta bulunan girişler tamamen aynı anlama sahip olacaktır: örneğin, 0,677777 periyodik kesri 0,6 (7) ve 0,6 (77) ile aynıdır, vb. 0 , 67777 (7) , 0 , 67 (7777) ve diğer girişlere de izin verilir.

Hataları önlemek için gösterimde tekdüzelik getiriyoruz. Ondalık basamağa en yakın olan yalnızca bir noktayı (mümkün olan en kısa rakam dizisi) yazmayı ve onu parantez içine almayı kabul edelim.

Yani yukarıdaki kesir için 0, 6 (7) girişini ana kesir olarak ele alacağız ve örneğin 8, 9134343434 kesri durumunda 8, 91 (34) yazacağız.

Sıradan bir kesrin paydası 5 ve 2'ye eşit olmayan asal faktörler içeriyorsa, ondalık gösterime dönüştürüldüğünde onlardan sonsuz kesirler elde edilecektir.

Prensip olarak herhangi bir sonlu kesri periyodik kesir olarak yazabiliriz. Bunu yapmak için sağa sonsuz sayıda sıfır eklememiz yeterlidir. Kayıtlarda nasıl görünüyor? Diyelim ki son kesirimiz 45, 32. Periyodik formda 45, 32 (0) gibi görünecektir. Bu eylem mümkündür çünkü herhangi bir ondalık kesirin sağına sıfır eklemek bize sonuç olarak ona eşit bir kesir verir.

Ayrı olarak, 9 periyodu olan periyodik kesirler üzerinde durulmalıdır, örneğin 4, 89 (9), 31, 6 (9) . Bunlar periyodu 0 olan benzer kesirler için alternatif bir gösterimdir, dolayısıyla sıfır periyodu olan kesirlerle yazarken sıklıkla değiştirilirler. Aynı zamanda bir sonraki rakamın değerine bir eklenir ve parantez içinde (0) gösterilir. Ortaya çıkan sayıların eşitliğini, bunları sıradan kesirler olarak sunarak kontrol etmek kolaydır.

Örneğin, 8, 31 (9) kesri karşılık gelen 8, 32 (0) kesri ile değiştirilebilir. Veya 4 , (9) = 5 , (0) = 5 .

Sonsuz ondalık periyodik kesirler rasyonel sayılardır. Başka bir deyişle, herhangi bir periyodik kesir sıradan bir kesir olarak temsil edilebilir ve bunun tersi de geçerlidir.

Ayrıca virgülden sonra sonsuz tekrarlanan bir dizi bulunmayan kesirler de vardır. Bu durumda periyodik olmayan kesirler denir.

Tanım 4

Periyodik olmayan ondalık kesirler, ondalık noktadan sonra nokta içermeyen sonsuz ondalık kesirleri içerir; Tekrarlanan sayı grubu.

Bazen periyodik olmayan kesirler periyodik olanlara çok benzer görünür. Örneğin, 9 , 03003000300003 ... ilk bakışta bir nokta var gibi görünüyor, ancak ondalık basamakların ayrıntılı analizi bunun hala periyodik olmayan bir kesir olduğunu doğruluyor. Bu gibi rakamlara karşı çok dikkatli olmalısınız.

Periyodik olmayan kesirler irrasyonel sayılardır. Sıradan kesirlere dönüştürülmezler.

Ondalık sayılarla temel işlemler

Ondalık kesirlerle aşağıdaki işlemler yapılabilir: karşılaştırma, çıkarma, toplama, bölme ve çarpma. Her birini ayrı ayrı analiz edelim.

Ondalık sayıların karşılaştırılması, orijinal ondalık sayılara karşılık gelen sıradan kesirlerin karşılaştırılmasına indirgenebilir. Ancak sonsuz periyodik olmayan kesirler bu forma indirgenemez ve ondalık kesirleri sıradan kesirlere dönüştürmek çoğu zaman zahmetli bir iştir. Sorunu çözerken yapmamız gerekirse, karşılaştırma eylemini hızlı bir şekilde nasıl gerçekleştirebiliriz? Doğal sayıları karşılaştırdığımız gibi ondalık kesirleri de rakamlarla karşılaştırmak uygundur. Bu yönteme ayrı bir makale ayıracağız.

Bir ondalık kesiri diğerine eklemek için, doğal sayılarda olduğu gibi sütun ekleme yöntemini kullanmak uygundur. Periyodik ondalık kesirler eklemek için önce bunları sıradan olanlarla değiştirmeli ve standart şemaya göre saymalısınız. Sorunun koşullarına göre sonsuz periyodik olmayan kesirler eklememiz gerekiyorsa, önce bunları belirli bir rakama yuvarlamalı, sonra eklemeliyiz. Yuvarladığımız rakam ne kadar küçük olursa hesaplamanın doğruluğu o kadar yüksek olur. Sonsuz kesirlerde çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri için ön yuvarlama da gereklidir.

Ondalık kesirlerin farkını bulmak toplama işleminin tersidir. Aslında çıkarma işleminin yardımıyla, çıkarılmış kesirle toplamı bize indirgenmiş olanı verecek bir sayı bulabiliriz. Bu konuyu ayrı bir makalede daha ayrıntılı olarak konuşacağız.

Ondalık kesirlerin çarpımı doğal sayılarla aynı şekilde yapılır. Sütunla hesaplama yöntemi de buna uygundur. Periyodik kesirlerle yapılan bu eylemi, daha önce çalışılan kurallara göre sıradan kesirlerin çarpımına indirgeyebiliriz. Hatırladığımız gibi sonsuz kesirler sayılmadan önce yuvarlanmalıdır.

Ondalık sayıları bölme işlemi çarpma işleminin tersidir. Sorunları çözerken sütun sayımlarını da kullanırız.

Son ondalık sayı ile koordinat eksenindeki bir nokta arasında tam bir eşleşme ayarlayabilirsiniz. Eksen üzerinde gerekli ondalık kesre tam olarak karşılık gelecek bir noktanın nasıl işaretleneceğini bulalım.

Sıradan kesirlere karşılık gelen noktaların nasıl oluşturulacağını zaten inceledik ve ondalık kesirler bu forma indirgenebilir. Örneğin, sıradan bir kesir 14 10 1 , 4 ile aynıdır, dolayısıyla buna karşılık gelen nokta orijinden pozitif yönde tam olarak aynı uzaklıkta uzaklaştırılacaktır:

Ondalık kesri sıradan bir kesirle değiştirmeden yapabilir ve rakam genişletme yöntemini temel alabilirsiniz. Yani koordinatı 15, 4008 olacak bir noktayı işaretlememiz gerekirse, bu sayıyı öncelikle 15 + 0, 4 +, 0008 toplamı olarak temsil edeceğiz. Başlangıç ​​olarak, orijinden pozitif yönde 15 tam birim parça ayırıyoruz, sonra bir parçanın onda 4'ünü ve sonra bir parçanın onbinde 8'ini ayırıyoruz. Sonuç olarak, 15, 4008 kesirine karşılık gelen bir koordinat noktası elde edeceğiz.

Sonsuz bir ondalık kesir için, bu özel yöntemi kullanmak daha iyidir çünkü istediğiniz noktaya istediğiniz kadar yaklaşmanıza olanak tanır. Bazı durumlarda koordinat ekseninde sonsuz bir kesirin tam karşılığını oluşturmak mümkündür: örneğin, 2 = 1, 41421. . . ve bu kesir, koordinat ışınındaki, karenin köşegeninin uzunluğu kadar 0'dan uzakta, tarafı bir birim parçaya eşit olacak bir nokta ile ilişkilendirilebilir.

Eksen üzerinde bir nokta değil, ona karşılık gelen ondalık kesir bulursak, bu işleme segmentin ondalık ölçümü denir. Nasıl doğru yapılacağını görelim.

Koordinat ekseninde sıfırdan belirli bir noktaya gitmemiz gerektiğini (veya sonsuz kesir durumunda mümkün olduğu kadar yaklaşmamız gerektiğini) varsayalım. Bunu yapmak için, istenen noktaya ulaşana kadar koordinatların başlangıç ​​noktasından itibaren birim segmentleri kademeli olarak ayırıyoruz. Tüm bölümlerden sonra gerekirse yazışmaların mümkün olduğu kadar doğru olması için onda bir, yüzde bir ve daha küçük parçaları ölçeriz. Sonuç olarak, koordinat ekseninde belirli bir noktaya karşılık gelen ondalık bir kesir elde ettik.

Yukarıda M noktalı bir resim verdik. Tekrar bakın: Bu noktaya ulaşmak için sıfırdan bir birim parçayı ve onun onda dördünü ölçmeniz gerekir, çünkü bu nokta 1, 4 ondalık kesirine karşılık gelir.

Ondalık ölçüm sürecinde bir noktaya ulaşamazsak, bu, ona sonsuz bir ondalık kesirin karşılık geldiği anlamına gelir.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.