Krug- geometrijska figura koja se sastoji od svih tačaka ravnine koje se nalaze na datoj udaljenosti od date tačke.

Ova tačka (O) se zove centar kruga.
Radijus kruga je segment koji povezuje centar sa tačkom na kružnici. Svi radijusi imaju istu dužinu (po definiciji).
Akord Segment koji spaja dvije tačke na kružnici. Tetiva koja prolazi središtem kruga naziva se prečnika. Središte kružnice je središte bilo kojeg prečnika.
Bilo koje dvije tačke na kružnici dijele ga na dva dijela. Svaki od ovih dijelova se zove kružni luk. Luk se zove polukrug ako je segment koji spaja njegove krajeve prečnik.
Dužina jediničnog polukruga je označena sa π .
Zbroj mjera stepena dva kružna luka sa zajedničkim krajevima je 360º.
Zove se dio ravni omeđen kružnicom okolo.
kružni sektor- dio kružnice omeđen lukom i dva radijusa koji povezuju krajeve luka sa središtem kruga. Poziva se luk koji ograničava sektor sektorski luk.
Zovu se dva kruga koji imaju zajednički centar koncentrična.
Zovu se dvije kružnice koje se sijeku pod pravim uglom ortogonalno.

Međusobni raspored prave i kružnice

1. Ako je udaljenost od središta kruga do prave linije manja od polumjera kružnice ( d), tada prava i kružnica imaju dvije zajedničke tačke. U ovom slučaju, linija se poziva secant u odnosu na krug.
2. Ako je udaljenost od središta kružnice do prave jednaka polumjeru kružnice, tada prava i kružnica imaju samo jednu zajedničku točku. Takva linija se zove tangenta na kružnicu, a njihova zajednička tačka se zove dodirna tačka između prave i kružnice.
3. Ako je udaljenost od središta kružnice do prave veća od polumjera kružnice, tada prava i kružnica nemaju zajedničkih tačaka
.

Centralni i upisani uglovi

Centralni ugao je ugao sa vrhom u centru kružnice.
Upisani ugao Ugao čiji vrh leži na kružnici i čije stranice sijeku kružnicu.

Teorema upisanog ugla

Upisani ugao se meri polovinom luka koji preseče.

• Posljedica 1.
  Upisani uglovi koji savijaju isti luk su jednaki.


• Posljedica 2.
  Upisani ugao koji siječe polukrug je pravi ugao.

Teorema o proizvodu segmenata tetiva koje se seku.

Ako se dvije tetive kružnice sijeku, onda je proizvod segmenata jedne tetive jednak proizvodu segmenata druge tetive.

Osnovne formule

• Obim:

• Dužina luka:

• Prečnik:

• Dužina luka:

• Površina kruga:

• Područje kružnog sektora:

Kružna jednačina

• U pravougaonom koordinatnom sistemu, jednačina za kružnicu poluprečnika r centriran na tačku C(x o; y o) ima oblik:

• Jednačina za kružnicu poluprečnika r sa središtem na početku je:

Hajde da prvo shvatimo razliku između kruga i kruga. Da biste vidjeli ovu razliku, dovoljno je razmotriti koje su obje brojke. Ovo je beskonačan broj tačaka u ravni, koji se nalaze na jednakoj udaljenosti od jedne centralne tačke. Ali, ako se krug sastoji i od unutrašnjeg prostora, onda on ne pripada krugu. Ispostavilo se da je krug i kružnica koja ga ograničava (o-kružnost (g)nost) i nebrojen broj tačaka koje se nalaze unutar kruga.

Za bilo koju tačku L koja leži na kružnici vrijedi jednakost OL=R. (Dužina segmenta OL jednaka je poluprečniku kružnice).

Segment koji spaja dvije tačke na kružnici je akord.

Tetiva koja prolazi direktno kroz centar kružnice je prečnika ovaj krug (D) . Prečnik se može izračunati pomoću formule: D=2R

Obim izračunato po formuli: C=2\pi R

Područje kruga: S=\pi R^(2)

luk kružnice naziva se onaj njegov dio, koji se nalazi između dvije njegove tačke. Ove dvije tačke definiraju dva luka kružnice. Akord CD savija dva luka: CMD i CLD. Isti akordi savijaju iste lukove.

Centralni ugao je ugao između dva poluprečnika.

dužina luka može se pronaći pomoću formule:

1. Koristeći diplome: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
2. Koristeći radijansku mjeru: CD = \alpha R

Prečnik koji je okomit na tetivu prepolovi tetivu i lukove koje obuhvata.

Ako se tetive AB i CD kružnice sijeku u tački N, tada su proizvodi segmenata tetiva razdvojenih tačkom N jednaki jedan drugom.

AN\cdot NB = CN \cdot ND

Tangenta na kružnicu

Tangenta na kružnicu Uobičajeno je da se zove prava linija koja ima jednu zajedničku tačku sa kružnicom.

Ako prava ima dvije zajedničke tačke, zove se secant.

Ako nacrtate polumjer u tački kontakta, on će biti okomit na tangentu kružnice.

Nacrtajmo dvije tangente iz ove tačke u našu kružnicu. Ispada da će segmenti tangenti biti jednaki jedan drugom, a središte kruga će se nalaziti na simetrali ugla sa vrhom u ovoj tački.

AC=CB

Sada crtamo tangentu i sekansu na kružnicu iz naše tačke. Dobijamo da će kvadrat dužine tangentnog segmenta biti jednak proizvodu cijelog sekansnog segmenta po njegovom vanjskom dijelu.

AC^(2) = CD \cdot BC

Možemo zaključiti: umnožak cjelobrojnog segmenta prvog sekansa po vanjskom dijelu jednak je proizvodu cjelobrojnog segmenta drugog sekansa po vanjskom dijelu.

AC \cdot BC = EC \cdot DC

Uglovi u krugu

Mere stepena centralnog ugla i luka na koji se oslanja su jednake.

\angle COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)

Upisani ugao je ugao čiji je vrh na kružnici i čije stranice sadrže tetive.

Možete ga izračunati znajući veličinu luka, jer je jednaka polovini ovog luka.

\ugao AOB = 2 \ugao ADB

Na osnovu prečnika, upisan ugao, ravan.

\ugao CBD = \ugao CED = \ugao CAD = 90^ (\circ)

Upisani uglovi koji se oslanjaju na isti luk su identični.

Upisani uglovi zasnovani na istoj tetivi su identični ili je njihov zbir jednak 180^ (\circ) .

\ugao ADB + \ugao AKB = 180^ (\circ)

\ugao ADB = \ugao AEB = \ugao AFB

Na istom krugu su vrhovi trouglova sa identičnim uglovima i datom bazom.

Ugao sa vrhom unutar kruga i koji se nalazi između dvije tetive identičan je polovini zbroja ugaonih veličina lukova kružnice koji se nalaze unutar zadanog i vertikalnog ugla.

\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \left (\cup DmC + \cup AlB \right)

Ugao s vrhom izvan kruga i smješten između dvije sekante identičan je polovini razlike ugaonih veličina lukova kružnice koji se nalaze unutar kuta.

\ugao M = \ugao CBD - \ugao ACB = \frac(1)(2) \lijevo (\cup DmC - \cup AlB \desno)

Upisan krug

Upisan krug je kružnica tangenta na stranice poligona.

U tački u kojoj se sijeku simetrale uglova poligona nalazi se njegov centar.

Krug ne može biti upisan u svaki poligon.

Površina poligona s upisanim krugom nalazi se po formuli:

S=pr,

p je poluperimetar poligona,

r je poluprečnik upisane kružnice.

Iz toga slijedi da je polumjer upisane kružnice:

r = \frac(S)(p)

Zbroji dužina suprotnih strana bit će identični ako je krug upisan u konveksni četverokut. I obrnuto: kružnica je upisana u konveksni četverokut ako su zbroji dužina suprotnih strana u njemu identični.

AB+DC=AD+BC

Moguće je upisati krug u bilo koji od trouglova. Samo jedan singl. U tački u kojoj se sijeku simetrale unutrašnjih uglova figure, ležat će centar ove upisane kružnice.

Radijus upisane kružnice izračunava se po formuli:

r = \frac(S)(p) ,

gdje je p = \frac(a + b + c)(2)

Opisani krug

Ako kružnica prolazi kroz svaki vrh poligona, onda se takav krug naziva opisano oko poligona.

Središte opisane kružnice bit će u tački sjecišta simetrala okomitih stranica ove figure.

Radijus se može naći izračunavanjem kao poluprečnik kružnice koja je opisana oko trokuta definisanog sa bilo koja 3 vrha poligona.

Postoji sljedeći uvjet: kružnica se može opisati oko četverougla samo ako je zbir njegovih suprotnih uglova jednak 180^( \circ) .

\ugao A + \ugao C = \ugao B + \ugao D = 180^ (\circ)

U blizini bilo kojeg trougla moguće je opisati krug, i to jedan jedini. Središte takvog kruga nalazit će se u tački gdje se sijeku okomite simetrale stranica trokuta.

Radijus opisane kružnice može se izračunati po formulama:

R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)

R = \frac(abc)(4S)

a, b, c su dužine stranica trokuta,

S je površina trokuta.

Ptolomejev teorem

Konačno, razmotrite Ptolomejev teorem.

Ptolomejev teorem kaže da je proizvod dijagonala identičan zbiru proizvoda suprotnih strana upisanog četverokuta.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD

Ovaj članak sadrži minimalni skup informacija o krugovima potrebnim za uspjeh polaganje ispita matematike.

obim naziva se skup tačaka koje se nalaze na istoj udaljenosti od date tačke, koja se naziva središte kružnice.

Za bilo koju tačku koja leži na kružnici vrijedi jednakost (dužina segmenta jednaka je polumjeru kružnice.

Segment koji spaja dvije tačke na kružnici naziva se akord.

Tetiva koja prolazi središtem kruga naziva se prečnika krugovi () .

Obim:

Površina kruga:

Luk kružnice:

Zove se dio kružnice zatvoren između dvije njegove tačke arc krugovima. Dvije tačke na kružnici definiraju dva luka. Tetiva podvlači dva luka: i . Jednaki akordi spojite jednake lukove.

Ugao između dva poluprečnika naziva se centralni ugao :

Da bismo pronašli dužinu luka, pravimo proporciju:

a) ugao je dat u stepenima:

b) ugao je dat u radijanima:

Prečnik okomit na tetivu , dijeli ovaj tetivu i lukove koje oduzima na pola:

Ako a akordi i kružnice se seku u tački , tada su proizvodi odsječaka tetiva na koje su podijeljeni točkom jednaki jedan drugom:

Tangenta na kružnicu.

Prava linija koja ima jednu zajedničku tačku sa kružnicom naziva se tangenta u krug. Prava koja ima dvije zajedničke tačke sa kružnicom naziva se secant.

Tangenta na kružnicu je okomita na poluprečnik povučen u tačku tangente.

Ako su dvije tangente povučene iz date tačke na kružnicu, onda tangentni segmenti su međusobno jednaki a središte kružnice leži na simetrali ugla sa vrhom u ovoj tački:

Ako su tangenta i sekansa povučene iz date tačke u kružnicu, onda kvadrat dužine tangentnog segmenta jednak je umnošku cijelog sekansnog segmenta na njegov vanjski dio :

Posljedica: proizvod cijelog segmenta jedne sekante po vanjskom dijelu jednak je umnošku cijelog segmenta druge sekante po vanjskom dijelu:

Uglovi u krugu.

Mera stepena centralnog ugla jednaka je stepenu mere luka na koji se oslanja:

Zove se ugao čiji vrh leži na kružnici i čije stranice sadrže tetive upisani ugao . Upisani ugao se meri polovinom luka koji preseče:

∠∠

Upisani ugao zasnovan na prečniku je pravi ugao:

∠∠∠

Upisani uglovi koji savijaju isti luk su :

Upisani uglovi koji podvlače istu tetivu su jednaki ili je njihov zbir jednak

∠∠

Vrhovi trokuta sa datom osnovom i jednakim uglovima na vrhu leže na istoj kružnici:

Ugao između dvije tetive (ugao sa vrhom unutar kruga) jednak je polovini zbira ugaonih veličina lukova kružnice zatvorenih unutar datog ugla i unutar vertikalnog ugla.

∠ ∠∠(⌣ ⌣ )

Ugao između dvije sekante (ugao sa vrhom izvan kruga) jednak je polurazlici ugaonih veličina lukova kružnice zatvorene unutar ugla.

∠ ∠∠(⌣ ⌣ )

Upisan krug.

Krug se zove upisan u poligon ako dodirne njegove strane. Centar upisane kružnice leži u tački preseka simetrala ugla mnogougla.

Ne može se svaki poligon upisati u krug.

Površina poligona koji sadrži krug može se pronaći pomoću formule

ovdje je poluperimetar poligona, poluprečnik upisane kružnice.

Odavde radijus upisane kružnice jednaki

Ako je kružnica upisana u konveksni četverokut, tada su zbroji dužina suprotnih strana . Obrnuto, ako su u konveksnom četverokutu zbroji dužina suprotnih strana jednaki, tada se u četverokut može upisati kružnica:

Svaki trougao može biti upisan u krug, i to samo jedan. Središte upisane kružnice leži u presjeku simetrala unutrašnjih uglova trougla.

Radijus upisane kružnice je jednako . Evo

opisan krug.

Krug se zove opisano oko poligona ako prolazi kroz sve vrhove poligona. Središte opisane kružnice leži u tački presjeka simetrala okomitih stranica mnogougla. Radijus se izračunava kao poluprečnik kružnice opisane oko trokuta definisanog sa bilo koja tri vrha datog poligona:

Krug se može opisati oko četverokuta ako i samo ako je zbir njegovih suprotnih uglova jednak .

U blizini bilo kojeg trougla moguće je opisati krug, osim toga, samo jedan. Njegovo središte leži u tački presjeka simetrala okomitih stranica trokuta:

Poluprečnik opisane kružnice izračunato po formulama:

Gdje je dužina stranica trougla, njegova površina.

Ptolomejev teorem

U upisanom četverokutu proizvod dijagonala jednak je zbroju proizvoda njegovih suprotnih strana:

Predavanje: Krug i krug

Krug je zatvorena kriva, čije su sve tačke na istoj udaljenosti od centra.

AT Svakodnevni život Vidjeli ste krug više puta. To je ono što opisuje sat i sekundarna kazaljka, to je oblik kruga koji ima gimnastički obruč.

Sada zamislite da ste nacrtali krug na komadu papira i željeli ga ukrasiti.

Dakle, sav ukrašeni prostor, omeđen krugom, je krug.

Centar je tačka koja je jednako udaljena od svih tačaka na kružnici. Središte kruga i kruga označeno je slovom O.

Radijus je udaljenost od centra do kružnice (R).

Prečnik je prava kroz centar koja spaja sve tačke kružnice (d). Štaviše, prečnik je jednak dvama radijusima: d = 2R.

Tetiva je segment koji spaja bilo koje dvije tačke na kružnici. Prečnik je poseban slučaj tetive.

Da biste pronašli obim kruga, koristite formulu:

l=2 πR

Imajte na umu da obim i površina zavise samo od radijusa date kružnice.

Površina kruga može se pronaći pomoću sljedeće formule:

S=πR 2 .

Želeo bih da vam skrenem pažnju na broj "Pi". Ova vrijednost je pronađena samo pomoću kruga. Da bi se to postiglo, njegova dužina je podijeljena na dva polumjera i tako je dobijen broj "Pi".

Ako je krug podijeljen na neke dijelove s dva radijusa, tada će se takvi dijelovi zvati sektori. Svaki sektor ima svoju mjeru stepena - mjeru stepena luka na kojem počiva.

Da biste pronašli dužinu luka, morate koristiti formulu:

2. Koristeći radijansku mjeru:

Ako vrh nekog ugla leži na centru kružnice, a njegove zrake sijeku krug, onda se takav ugao naziva centralnim.

Ako se neka dva tetiva sijeku u nekom trenutku, tada su njihovi segmenti proporcionalni:

I krug - geometrijske figure, međusobno povezani. postoji granična polilinija (kriva) krug,

Definicija. Krug je zatvorena kriva, čija je svaka tačka jednako udaljena od tačke koja se naziva središte kružnice.

Za konstruiranje kruga bira se proizvoljna tačka O, uzima se kao središte kruga, a šestarom se povlači zatvorena linija.

Ako je tačka O centra kružnice povezana sa proizvoljnim tačkama na kružnici, tada će svi rezultujući segmenti biti jednaki jedni drugima, a takvi se segmenti nazivaju radijusi, skraćeno latinski mali ili veliko slovo"er" ( r ili R). U krugu ima onoliko poluprečnika koliko ima tačaka u obimu.

Odsječak koji spaja dvije tačke kruga i prolazi kroz njegovo središte naziva se prečnik. Prečnik sastoji se od dva radijusi leži na istoj pravoj liniji. Prečnik je označen latiničnim malim ili velikim slovom "de" ( d ili D).

Pravilo. Prečnik krug je jednak dvama njegovim radijusi.

d = 2r
D=2R

Obim se izračunava po formuli i zavisi od poluprečnika (prečnika) kruga. Formula sadrži broj ¶, koji pokazuje koliko je puta obim kruga veći od njegovog prečnika. Broj ¶ ima beskonačan broj decimalnih mjesta. Za proračune je prihvaćeno ¶ = 3,14.

Obim kruga je označen latiničnim velikim slovom "ce" ( C). Obim kruga je proporcionalan njegovom prečniku. Formule za izračunavanje obima kružnice po poluprečniku i prečniku:

C = ¶d
C = 2r

• Primjeri
• Dato: d = 100 cm.
• Opseg: C=3.14*100cm=314cm
• Dato: d = 25 mm.
• Opseg: C=2*3.14*25=157mm

Sekansa kružnice i luka kružnice

Bilo koja sekansa (prava linija) siječe krug u dvije tačke i dijeli ga na dva luka. Veličina luka kružnice ovisi o udaljenosti između centra i sekante i mjeri se duž zatvorene krivulje od prve točke presjeka sekansa sa kružnicom do druge.

lukovi krugovi su podeljeni secant na veliki i mali ako sekansa ne poklapa sa prečnikom, i na dva jednaka luka ako sekansa prolazi duž prečnika kružnice.

Ako sekansa prolazi kroz središte kruga, tada je njegov segment, koji se nalazi između točaka presjeka s kružnicom, promjer kruga ili najveća tetiva kruga.

Što se sekansa nalazi dalje od centra kružnice, to je manja mera stepena manjeg luka kružnice i što je veća - veći je luk kružnice, a segment sekante, tzv. akord, smanjuje se kako se sekansa udaljava od centra kruga.

Definicija. Krug je dio ravni koji leži unutar kruga.

Centar, poluprečnik, prečnik kružnice istovremeno su centar, poluprečnik i prečnik odgovarajućeg kruga.

Budući da je krug dio ravni, jedan od njegovih parametara je površina.

Pravilo. Površina kruga ( S) jednak je proizvodu kvadrata polumjera ( r2) na broj ¶.

• Primjeri
• Zadato: r = 100 cm
• Površina kruga:
• S = 3,14 * 100 cm * 100 cm = 31 400 cm 2 ≈ 3m 2
• Dato: d = 50 mm
• Površina kruga:
• S \u003d ¼ * 3,14 * 50 mm * 50 mm = 1 963 mm 2 ≈ 20 cm 2

Ako su dva poluprečnika nacrtana u krug različite tačke krug, tada se formiraju dva dijela kruga koji se nazivaju sektori. Ako je tetiva nacrtana u krugu, tada se dio ravnine između luka i tetive naziva kružni segment.