U nastavku je dato nekoliko kriterijuma za linearnu zavisnost i, shodno tome, linearnu nezavisnost sistema vektora.

Teorema. (Neophodan i dovoljan uslov za linearnu zavisnost vektora.)

Sistem vektora je zavisan ako i samo ako je jedan od vektora sistema linearno izražen u terminima ostalih vektora ovog sistema.

Dokaz. Need. Neka je sistem linearno zavisan. Zatim, po definiciji, predstavlja nulti vektor na netrivijalan način, tj. postoji netrivijalna kombinacija ovog sistema vektora jednaka nultom vektoru:

pri čemu barem jedan od koeficijenata ove linearne kombinacije nije jednak nuli. Neka , .

Podijelite oba dijela prethodne jednakosti ovim koeficijentom koji nije nula (tj. pomnožite sa:

Označiti: , gdje .

one. jedan od vektora sistema je linearno izražen u terminima ostalih vektora ovog sistema, itd.

Adekvatnost. Neka je jedan od vektora sistema linearno izražen u terminima drugih vektora ovog sistema:

Pomaknimo vektor desno od ove jednakosti:

Pošto je koeficijent vektora , onda imamo netrivijalnu reprezentaciju nule sistemom vektora , što znači da je ovaj sistem vektora linearno zavisan, itd.

Teorema je dokazana.

Posljedica.

1. Sistem vektora u vektorskom prostoru je linearno nezavisan ako i samo ako nijedan od vektora sistema nije linearno izražen u terminima drugih vektora ovog sistema.

2. Sistem vektora koji sadrži nulti vektor ili dva jednaka vektora je linearno zavisan.

Dokaz.

1) Nužnost. Neka je sistem linearno nezavisan. Pretpostavimo suprotno i postoji sistemski vektor koji je linearno izražen kroz druge vektore ovog sistema. Zatim, prema teoremi, sistem je linearno zavisan i dolazimo do kontradikcije.

Adekvatnost. Neka nijedan od vektora sistema ne bude izražen u terminima drugih. Pretpostavimo suprotno. Neka je sistem linearno zavisan, ali onda iz teoreme proizilazi da postoji sistemski vektor koji je linearno izražen kroz druge vektore ovog sistema i opet dolazimo do kontradikcije.

2a) Neka sistem sadrži nulti vektor. Pretpostavimo radi određenosti da je vektor :. Zatim jednakost

one. jedan od vektora sistema je linearno izražen u terminima ostalih vektora ovog sistema. Iz teoreme slijedi da je takav sistem vektora linearno zavisan, itd.

Imajte na umu da se ova činjenica može dokazati direktno iz linearno zavisnog sistema vektora.

Budući da , sljedeća jednakost je očigledna

Ovo je netrivijalan prikaz nultog vektora, što znači da je sistem linearno zavisan.

2b) Neka sistem ima dva jednaka vektora. Neka za . Zatim jednakost

One. prvi vektor je linearno izražen u terminima ostalih vektora istog sistema. Iz teoreme slijedi da ovaj sistem linearno zavisna, itd.

Slično prethodnoj, ova tvrdnja se takođe može dokazati direktno iz definicije linearno zavisnog sistema.Tada ovaj sistem netrivijalno predstavlja nulti vektor

odakle sledi linearna zavisnost sistemi.

Teorema je dokazana.

Posljedica. Sistem koji se sastoji od jednog vektora je linearno nezavisan ako i samo ako je ovaj vektor različit od nule.

Skup definicija w naziva se linearni prostor i njegov element. -vektori ako:

* zakon je postavljen (+) prema kat. bilo koja dva elementa x, y iz w pridružena su elementu pod nazivom. njihov zbir [x + y]

* dat je zakon (* na broju a), prema kojem se element x iz w i a poredi sa elementom iz w, koji se naziva proizvod x i a [ax];

* završeno

sljedeće zahtjeve (ili aksiome):

Trag c1. nulti vektor (ctv 0 1 i 0 2 . po a3: 0 2 + 0 1 = 0 2 i 0 1 + 0 2 = 0 1 . prema a1 0 1 + 0 2 = 0 2 + 0 1 => 0 1 = 0 2.)

c2. .(ctv, a4)

c3. 0 vec.(a7)

c4. a(broj)*0=0.(a6,c3)

c5. x (*) -1 = 0 vektor, suprotno od x, tj. (-1) x = -x. (a5,a6)

c6. Akcija oduzimanja je definirana u w: vektor x naziva se razlika vektora b i a ako je x + a = b, i označava se x = b - a.

Broj n pozvao dimenzija lin. pr-a L , ako je u L postoji sistem n lin. neoženjen vektori i bilo koji sistem od n+1 vektor - lin. zavisan. dim L= n. Prostor L naziva se n-dimenzionalnim.

Uređeni skup od n linija. neoženjen vektori n dimenzionalno nezavisni. razmaci - osnovu

Teorema. Svaki vektor X može biti predstavljen jedini način u obliku linija Kombinacije baznih vektora

Neka je (1) osnova n-dimenzionalne linije. pr-va V, tj. skup linearno nezavisnih vektora. Skup vektora će biti lin. zavisan, jer njima n+ 1.

One. postoje brojevi koji nisu svi jednaki nuli u isto vrijeme, što je osim toga (inače (1) su linearno zavisne).

Onda gdje je dekompozicija vektora x u bazi(1) .

Ovaj izraz je jedinstven, jer ako postoji drugi izraz (**)

oduzimanje od (*) jednakosti (**),

dobijamo

Jer su linearno nezavisni, onda . Chtd

Teorema. Ako - lin. nezavisni vektori prostora V i svaki vektor x iz V mogu se predstaviti kroz , tada ovi vektori čine osnovu V

Doc-in: (1) -lin.independent =>ostaje doc-th, to za lin.dependent. Prema konv. Svaki vektor a je izražen u terminima (1): , uzmite u obzir , rang≤n => među kolonama ne više od n su linearno neovisne, ali m > n=> m stupaca su linearno zavisne => s=1, n

To jest, vektori su linearno zavisni

Dakle, prostor V je n-dimenzionalan i (1) njegova baza

№4Def. Podskup L lin. pr-va V se zove lin. ref. ovog prostora ako je, s obzirom na operacije (+) i (*a) date u V, podprostor L linearni prostor

Teorema Skup l vektora u prostoru V je lin. Podprostor ovog prostora izvodi

(dovoljno) neka su (1) i (2) zadovoljene, jer zbog činjenice da je L subprosto V, ostaje dokazati da su svi aksiomi lin zadovoljeni. pr-va.

(-x): -x+x=0 d. a(x + y) = ax + ay;

(a-b) i (e-h) slijedi iz valjanosti za V dokazujemo (c)

(potreba) Neka je L lin. podprostor ovog prostora, onda (1) i (2) vrijede zbog definicije linija. pr-va

Def. Kolekcija svih vrsta linija. kombinacije nekih elemenata (x j) lin. pr-va se naziva linearna ljuska

Teorema proizvoljan skup svih linija. kombinacije vektora V s djelovanjem. koeficijent je lin. pod-V (linearna ljuska dati sistem vektora lin. pr. je linijska podrška ovog pr. )

ODA.Neprazan podskup L vektora linija. pr-va V se zove lin. podprostor ako:

a) zbir svih vektora iz L pripada L

b) proizvod svakog vektora iz L za bilo koji broj pripada L

Zbir dva podprostoraLje opet podprostorL

1) Neka je y 1 + y 2 (L 1 + L 2)<=>y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x’ 1 + x’ 2, gdje je (x 1, x’ 1) L 1, (x 2, x’ 2) L 2. y 1 +y 2 =(x 1 +x 2)+(x' 1 +x' 2)=(x 1 +x' 1)+(x 2 +x' 2), gdje je (x 1 +x' 1 ) L 1 , (x 2 +x' 2) L 2 => prvi uslov linearnog podprostora je zadovoljen.

ay 1 =ax 1 +ax 2, gdje je (ax 1) L 1, (ax 2) L 2 => jer (y 1 +y 2) (L 1 +L 2) , (ly 1) (L 1 +L 2) => uslovi su ispunjeni => L 1 +L 2 je linearni podprostor.

Raskrsnica dvije pod.L 1 iL 2 lin. pr-vaL je također pod. ovaj prostor.

Razmotrimo dva proizvoljna vektora x,y koji pripadaju presjeku podprostora, i dva proizvoljna broja a,b:.

Prema def. postavite raskrsnice:

=> po definiciji podprostora linearnog prostora:,.

T.K.Vector sjekira + by pripada skupu L 1 i postavite L 2, onda pripada, po definiciji, presjeku ovih skupova. Na ovaj način:

ODA.Kažu da je V direktan zbir njegovih rekvizita. ako i b) ova dekompozicija je jedinstvena

b") Pokažimo da je b) ekvivalentno b')

Sa b) tačno b’)

Bilo koji (M, N) od seku samo duž nultog vektora

Neka je ∃z ∈

Fer. obrnutoL=

kontradikcija

Teorema To (*) je neophodno i dovoljno za uniju baza ( činio osnovu prostora

(Obavezno neka (*) i vektori budu baze podskupova. i postoji ekspanzija u ; x se dekomponuje prema bazi L, da bi se potvrdilo da ( čine bazu, potrebno je dokazati njihovu linearnu nezavisnost, svi sadrže 0 0=0+…+0. Zbog jedinstvenosti proširenja 0 u : => zbog linearne nezavisnosti baze => ( – baza

(Ext.) Neka ( formira osnovu L jedinstvena dekompozicija (**) postoji barem jedna dekompozicija. Na osnovu jedinstvenosti (*) => jedinstvenost (**)

Komentar. Dimenzija direktnog zbira jednaka je zbiru dimenzija podprostora

Bilo koja nedegenerirana kvadratna matrica može poslužiti kao prijelazna matrica s jedne baze na drugu

Neka n-dimenzionalni linearni prostor V ima dvije baze i

(1) =A , gdje ovdje elementi * i ** nisu brojevi, ali ćemo određene operacije na numeričkoj matrici proširiti na takve redove.

Jer inače bi vektori ** bili linearno zavisni

Nazad. Ako su tada kolone A linearno nezavisne => čine osnovu

Koordinate i povezane omjerom , gdje elementi prelazne matrice

Neka je poznata ekspanzija elemenata "nove" osnove u smislu "stare" osnove

Zatim jednakosti

Ali ako je linearna kombinacija linearno nezavisnih elemenata jednaka 0 onda je =>

Osnovni teorem linearne zavisnosti

Ako a (*) je linearno izraženo u terminima (**) ondan<= m

Dokazati indukcijom na m

m=1: sistem (*) sadrži 0 i lin. glava - nemoguće

neka je tačno za m=k-1

dokazaćemo za m=k

može se ispostaviti da 1) , tj. in-ry (1) su lin.comb. lin. u jarku (2)Sistem (1) je dio linije.nezav. sistemi (*). Jer u sistemu (2) postoji samo k-1 vektora, tada uz pretpostavku indukcije dobijamo k+1

Neka L je linearni prostor iznad polja R . Neka A1, a2, ... , an (*) konačan sistem vektora iz L . Vector AT = a1× A1 + a2× A2 + … + an× An (16) zvao Linearna kombinacija vektora ( *), ili recimo vektor AT linearno izraženo kroz sistem vektora (*).

Definicija 14. Sistem vektora (*) se zove linearno zavisna , ako i samo ako postoji nenulti skup koeficijenata a1, a2, … , takav da je a1× A1 + a2× A2 + … + an× An = 0. Ako je a1× A1 + a2× A2 + … + an× An = 0 Û a1 = a2 = … = an = 0, tada se poziva sistem (*). linearno nezavisna.

Svojstva linearne zavisnosti i nezavisnosti.

10. Ako sistem vektora sadrži nulti vektor, onda je on linearno zavisan.

Zaista, ako je u sistemu (*) vektor A1 = 0, Zatim 1× 0 + 0× A2 + ... + 0 × An = 0 .

20. Ako sistem vektora sadrži dva proporcionalna vektora, onda je on linearno zavisan.

Neka A1 = L×a2. Zatim 1× A1 –l× A2 + 0× A3 + … + 0× ALI N= 0.

30. Konačan sistem vektora (*) za n ³ 2 je linearno zavisan ako i samo ako je barem jedan od njegovih vektora linearna kombinacija ostalih vektora ovog sistema.

Þ Neka je (*) linearno zavisna. Tada postoji skup koeficijenata a1, a2, … , različit od nule, takav da je a1× A1 + a2× A2 + … + an× An = 0 . Bez gubitka opštosti, možemo pretpostaviti da je a1 ¹ 0. Tada postoji A1 = ×a2× A2 + … + ×chan× ALI N. Dakle, vektor A1 je linearna kombinacija preostalih vektora.

Ü Neka je jedan od vektora (*) linearna kombinacija ostalih. Možemo pretpostaviti da je ovo prvi vektor, tj. A1 = B2 A2+ … + bn ALI N, dakle (–1)× A1 + b2 A2+ … + bn ALI N= 0 , tj. (*) je linearno zavisna.

Komentar. Koristeći posljednju osobinu, može se definirati linearna zavisnost i nezavisnost beskonačnog sistema vektora.

Definicija 15. Vektorski sistem A1, a2, ... , an , … (**) se poziva linearno zavisna, Ako je barem jedan od njegovih vektora linearna kombinacija nekog konačnog broja drugih vektora. U suprotnom, sistem (**) se poziva linearno nezavisna.

40. Konačan sistem vektora je linearno nezavisan ako i samo ako nijedan od njegovih vektora ne može biti linearno izražen u terminima njegovih drugih vektora.

50. Ako je sistem vektora linearno nezavisan, onda je i bilo koji njegov podsistem linearno nezavisan.

60. Ako je neki podsistem datog sistema vektora linearno zavisan, onda je i cijeli sistem linearno zavisan.

Neka su data dva sistema vektora A1, a2, ... , an , … (16) i V1, v2, … , vs, … (17). Ako se svaki vektor sistema (16) može predstaviti kao linearna kombinacija konačnog broja vektora sistema (17), onda kažemo da je sistem (17) linearno izražen kroz sistem (16).

Definicija 16. Dva sistema vektora se nazivaju ekvivalentan , ako je svaki od njih linearno izražen u terminima drugog.

Teorema 9 (osnovna teorema o linearnoj zavisnosti).

Neka i su dva konačna sistema vektora iz L . Ako je prvi sistem linearno nezavisan i linearno izražen u terminima drugog, onda N£s.

Dokaz. Pretvarajmo se to N> S. Prema teoremi

joint. Pošto je broj jednačina veći od broja nepoznatih, sistem ima beskonačno mnogo rješenja. Prema tome, ima različitu od nule x10, x20, …, xN0. Za ove vrijednosti vrijedit će jednakost (18), što je u suprotnosti sa činjenicom da je sistem vektora linearno nezavisan. Dakle, naša pretpostavka je pogrešna. shodno tome, N£s.

Posljedica. Ako su dva ekvivalentna sistema vektora konačna i linearno nezavisna, onda sadrže isti broj vektora.

Definicija 17. Sistem vektora se naziva Maksimalni linearno nezavisni sistem vektora linearni prostor L , ako je linearno nezavisan, ali mu dodaje bilo koji vektor iz L nije uključen u ovaj sistem, postaje linearno zavisan.

Teorema 10. Bilo koja dva konačna maksimalna linearno nezavisna sistema vektora iz L Sadrži isti broj vektora.

Dokaz proizilazi iz činjenice da su svaka dva maksimalna linearno nezavisna sistema vektora ekvivalentna .

Lako je dokazati da je bilo koji linearno nezavisan sistem vektora prostora L može se kompletirati do maksimalnog linearno nezavisnog sistema vektora ovog prostora.

primjeri:

1. U skupu svih kolinearnih geometrijskih vektora, svaki sistem koji se sastoji od jednog vektora različitog od nule je maksimalno linearno nezavisan.

2. U skupu svih komplanarnih geometrijskih vektora, bilo koja dva nekolinearna vektora čine maksimalni linearno nezavisan sistem.

3. U skupu svih mogućih geometrijskih vektora trodimenzionalnog euklidskog prostora, svaki sistem od tri nekoplanarna vektora je maksimalno linearno nezavisan.

4. U skupu svih polinoma, stepen je najviše N Sa realnim (kompleksnim) koeficijentima, sistem polinoma 1, x, x2, …, xn Maksimalno je linearno nezavisna.

5. U skupu svih polinoma sa realnim (kompleksnim) koeficijentima, primjeri maksimalnog linearno nezavisnog sistema su

a) 1, x, x2, … , xn, … ;

b) 1, (1 - x), (1 - x)2, … , (1 - x)N, …

6. Skup matrica dimenzija M´ N je linearni prostor (pogledajte). Primer maksimalnog linearno nezavisnog sistema u ovom prostoru je sistem matrica E11= , E12 \u003d, ..., EMn = .

Neka je zadan sistem vektora C1, c2, ... , up (*). Poziva se podsistem vektora iz (*). Maksimalno linearno nezavisno Podsistem sistemi ( *) , ako je linearno nezavisan, ali kada mu se doda bilo koji drugi vektor ovog sistema, postaje linearno zavisan. Ako je sistem (*) konačan, onda bilo koji od njegovih maksimalnih linearno nezavisnih podsistema sadrži isti broj vektora. (Dokaz sami.) Poziva se broj vektora u maksimalnom linearno nezavisnom podsistemu sistema (*). rang Ovaj sistem. Očigledno, ekvivalentni sistemi vektora imaju iste rangove.