Formulirajte svojstvo tangente na kružnicu. Tangentna linija. Teorema o lukovima skupljenim jednakim tetivama

Definicija. Tangenta na kružnicu je prava linija u ravni koja ima tačno jednu zajedničku tačku sa kružnicom.

Evo nekoliko primjera:

Krug sa centrom O dodiruje pravu liniju l u tački A

S bilo kojeg mjesta M Izvan kruga mogu se povući tačno dvije tangente

razlika između tangente l, secant BC i direktno m, koji nema zajedničkih tačaka sa kružnicom

Ovo bi mogao biti kraj, ali praksa pokazuje da nije dovoljno samo zapamtiti definiciju - potrebno je naučiti vidjeti tangente na crtežima, znati njihova svojstva i, osim toga, vježbati korištenje ovih svojstava prilikom rješavanja stvarnih problema . Danas ćemo se baviti svim ovim.

Osnovna svojstva tangenti

Da biste riješili bilo koji problem, morate znati četiri ključna svojstva. Dva od njih su opisana u bilo kojoj priručniku / udžbeniku, ali posljednja dva su nekako zaboravljena, ali uzalud.

1. Segmenti tangenti povučeni iz jedne tačke su jednaki

Malo više, već smo govorili o dvije tangente povučene iz jedne tačke M. Dakle:

Segmenti tangenti na kružnicu, povučeni iz jedne tačke, jednaki su.

Segmenti AM i BM jednaka

2. Tangenta je okomita na poluprečnik povučen do tačke kontakta

Pogledajmo ponovo gornju sliku. Nacrtajmo poluprečnike OA i OB, nakon čega nalazimo da su uglovi OAM i OBM- ravno.

Poluprečnik povučen do tačke tangente je okomit na tangentu.

Ova činjenica se može koristiti bez dokaza u bilo kojem problemu:

Poluprečnici povučeni do tačke tangente su okomiti na tangente

Usput, imajte na umu: ako crtate segment OM, tada dobijamo dva jednaka trokuta: OAM i OBM.

3. Odnos između tangente i sekanse

Ali ovo je ozbiljnija činjenica i većina školaraca to ne zna. Razmotrimo tangentu i sekansu koje prolaze kroz istu zajedničku tačku M. Naravno, sekansa će nam dati dva segmenta: unutar kruga (segment BC- naziva se i akord) i spolja (tako se zove - vanjski dio MC).

Proizvod cijelog sekansa po vanjskom dijelu jednak je kvadratu tangentnog segmenta

Odnos između sekanse i tangente

4. Ugao između tangente i tetive

Još naprednija činjenica koja se često koristi za rješavanje složenih problema. Toplo preporučujem da ga uzmete na brod.

Ugao između tangente i tetive jednak je upisanom uglu zasnovanom na ovoj tetivi.

Odakle dolazi tačka B? U stvarnim problemima obično "iskoči" negdje u stanju. Stoga je važno naučiti prepoznati ovu konfiguraciju na crtežima.

Ponekad i dalje važi :)

Koncept tangente na kružnicu

Krug ima tri moguća međusobna položaja u odnosu na pravu liniju:

Ako je udaljenost od središta kružnice do prave manja od polumjera, tada linija ima dvije točke presjeka s kružnicom.

Ako je udaljenost od središta kružnice do prave jednaka polumjeru, tada linija ima dvije točke sjecišta s kružnicom.

Ako je udaljenost od središta kružnice do prave linije veća od polumjera, tada prava linija ima dvije točke presjeka s kružnicom.

Sada uvodimo koncept tangente na kružnicu.

Definicija 1

Tangenta na kružnicu je prava linija koja sa njom ima jednu tačku preseka.

Zajednička tačka kružnice i tangente naziva se tačka tangente (slika 1).

Slika 1. Tangenta na kružnicu

Teoreme vezane za koncept tangente na kružnicu

Teorema 1

Teorema o svojstvu tangente: Tangenta na kružnicu je okomita na poluprečnik povučen do tačke tangente.

Dokaz.

Zamislite krug sa centrom $O$. Nacrtajmo tangentu $a$ u tački $A$. $OA=r$ (slika 2).

Dokažimo da je $a\bot r$

Teoremu ćemo dokazati metodom "kontradikcijom". Pretpostavimo da tangenta $a$ nije okomita na poluprečnik kružnice.

Slika 2. Ilustracija teoreme 1

To jest, $OA$ je koso na tangentu. Budući da je okomica na pravu $a$ uvijek manja od nagiba na istu pravu, udaljenost od centra kružnice do prave je manja od polumjera. Kao što znamo, u ovom slučaju prava ima dve tačke preseka sa kružnicom. Što je u suprotnosti sa definicijom tangente.

Dakle, tangenta je okomita na polumjer kružnice.

Teorema je dokazana.

Teorema 2

Obratiti teoremu o svojstvu tangente: Ako je prava koja prolazi kroz kraj poluprečnika kružnice okomita na poluprečnik, tada je ova prava tangenta na ovu kružnicu.

Dokaz.

Prema uslovu zadatka imamo da je poluprečnik okomit povučen iz centra kružnice na datu pravu. Stoga je udaljenost od središta kruga do prave linije jednaka dužini polumjera. Kao što znamo, u ovom slučaju krug ima samo jednu tačku preseka sa ovom pravom. Po definiciji 1, dobijamo da je data prava tangenta na kružnicu.

Teorema je dokazana.

Teorema 3

Segmenti tangenti na kružnicu, povučeni iz jedne tačke, jednaki su i čine jednake uglove sa pravom koja prolazi kroz ovu tačku i središtem kružnice.

Dokaz.

Neka je data kružnica sa centrom u tački $O$. Iz tačke $A$ (koja leži na svim kružnicama) povučene su dvije različite tangente. Od dodirne tačke $B$ i $C$ respektivno (slika 3).

Dokažimo da je $\ugao BAO=\ugao CAO$ i da je $AB=AC$.

Slika 3. Ilustracija teoreme 3

Prema teoremi 1, imamo:

Prema tome, trouglovi $ABO$ i $ACO$ su pravougli trouglovi. Pošto je $OB=OC=r$, a hipotenuza $OA$ zajednička, ovi trokuti su jednaki po hipotenuzi i kraku.

Otuda dobijamo da je $\ugao BAO=\ugao CAO$ i $AB=AC$.

Teorema je dokazana.

Primjer zadatka o konceptu tangente na kružnicu

Primjer 1

Dat je krug sa centrom $O$ i poluprečnikom $r=3\ cm$. Tangenta $AC$ ima tangentnu tačku $C$. $AO=4\cm$. Pronađite $AC$.

Rješenje.

Prvo, oslikajmo sve na slici (slika 4).

Slika 4

Pošto je $AC$ tangenta, a $OC$ poluprečnik, onda prema teoremi 1 dobijamo $\ugao ACO=(90)^(()^\circ )$. Ispostavilo se da je trougao $ACO$ pravougaonog oblika, što znači da, prema Pitagorinoj teoremi, imamo:

\[(AC)^2=(AO)^2+r^2\] \[(AC)^2=16+9\] \[(AC)^2=25\] \

\[(\Large(\text(centralni i upisani uglovi)))\]

Definicije

Centralni ugao je ugao čiji vrh leži u centru kružnice.

Upisani ugao je ugao čiji vrh leži na kružnici.

Mera stepena luka kružnice je stepenasta mera centralnog ugla koji leži na njemu.

Teorema

Mjera upisanog ugla je polovina mjere luka koji seče.

Dokaz

Dokaz ćemo provesti u dvije faze: prvo, dokazati valjanost tvrdnje za slučaj kada jedna od stranica upisanog ugla sadrži prečnik. Neka je tačka $B$ vrh upisanog ugla $ABC$, a $BC$ prečnik kružnice:

Trokut $AOB$ je jednakokračan, $AO = OB$ , $\ugao AOC$ je vanjski, tada $\ugao AOC = \ugao OAB + \ugao ABO = 2\ugao ABC$, gdje $\ugao ABC = 0,5\cdot\ugao AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AC)$.

Sada razmotrite proizvoljan upisani ugao $ABC$ . Nacrtajte prečnik kruga $BD$ iz vrha upisanog ugla. Moguća su dva slučaja:

1) prečnik je presekao ugao na dva ugla $\ugao ABD, \ugao CBD$ (za svaki od kojih je teorema tačna kao što je gore dokazano, dakle važi i za originalni ugao, koji je zbir ovih dva i, prema tome, jednak je polovini zbira lukova na koje se oslanjaju, odnosno jednak je polovini luka na koji se oslanja). Rice. jedan.

2) prečnik nije presekao ugao na dva ugla, onda imamo još dva nova upisana ugla $\ugao ABD, \ugao CBD$ čija stranica sadrži prečnik, dakle, za njih je tačna teorema, onda je važi i za originalni ugao (koji je jednak razlici ova dva ugla, što znači da je jednak polurazlici lukova na kojima počivaju, odnosno jednak je polovini luka na kojem se nalaze odmara). Rice. 2.

Posljedice

1. Upisani uglovi zasnovani na istom luku su jednaki.

2. Upisani ugao zasnovan na polukrugu je pravi ugao.

3. Upisani ugao jednak je polovini centralnog ugla na osnovu istog luka.

\[(\Veliki(\tekst(tangenta na kružnicu)))\]

Definicije

Postoje tri vrste relativnu poziciju prava linija i krug:

1) prava $a$ siječe kružnicu u dvije tačke. Takva prava se naziva sekansa. U ovom slučaju, udaljenost $d$ od centra kružnice do prave linije je manja od polumjera $R$ kružnice (slika 3).

2) prava $b$ siječe kružnicu u jednoj tački. Takva prava linija naziva se tangenta, a njihova zajednička tačka $B$ naziva se tangentna tačka. U ovom slučaju $d=R$ (slika 4).

Teorema

1. Tangenta na kružnicu je okomita na poluprečnik povučen do tačke kontakta.

2. Ako prava prolazi kroz kraj poluprečnika kružnice i okomita je na ovaj poluprečnik, tada je tangenta na kružnicu.

Posljedica

Segmenti tangenti povučeni iz jedne tačke na kružnicu su jednaki.

Dokaz

Nacrtajte dvije tangente $KA$ i $KB$ na kružnicu iz tačke $K$:

Dakle $OA\perp KA, OB\perp KB$ kao radijusi. Pravougli trougao $\trougao KAO$ i $\trougao KBO$ su jednaki po kraku i hipotenuzi, dakle $KA=KB$ .

Posljedica

Središte kružnice $O$ leži na simetrali ugla $AKB$ formiranog od dvije tangente povučene iz iste tačke $K$ .

\[(\Large(\text(Teoreme vezane za uglove)))\]

Teorema o kutu između sekanti

Ugao između dvije sekute povučene iz iste tačke jednak je polurazlici stepenastih mjera većeg i manjeg luka koje seče.

Dokaz

Neka je $M$ tačka iz koje se povlače dvije sekante kao što je prikazano na slici:

Hajde da to pokažemo $\ugao DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))$.

$\ugao DAB$ je vanjski ugao trougla $MAD$ , tada $\ugao DAB = \ugao DMB + \ugao MDA$, gdje $\ugao DMB = \ugao DAB - \ugao MDA$, ali su uglovi $\ugao DAB$ i $\ugao MDA$ upisani, tada $\ugao DMB = \ugao DAB - \ugao MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))$, što je trebalo dokazati.

Teorema ugla između tetiva koje se sijeku

Ugao između dvije tetive koje se ukrštaju jednak je polovini zbroja stepeni stepena lukova koje seku: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\desno)\]

Dokaz

$\ugao BMA = \ugao CMD$ kao okomito.

Iz trougla $AMD$: $\ugao AMD = 180^\circ - \ugao BDA - \ugao CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)$.

Ali $\ugao AMD = 180^\circ - \ugao CMD$, odakle to zaključujemo \[\ugao CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ osmijeh\preko (CD)).\]

Teorema o uglu između tetive i tangente

Ugao između tangente i tetive koja prolazi kroz tačku tangente jednak je polovini stepena mjere luka oduzetog tetivom.

Dokaz

Neka prava $a$ dodiruje kružnicu u tački $A$ , $AB$ bude tetiva ove kružnice, $O$ njeno središte. Neka prava koja sadrži $OB$ siječe $a$ u tački $M$ . Dokažimo to $\ugao BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over(AB)$.

Označite $\ugao OAB = \alpha$ . Budući da su $OA$ i $OB$ polumjeri, tada $OA = OB$ i $\ugao OBA = \ugao OAB = \alfa$. Na ovaj način, $\buildrel\smile\over(AB) = \ugao AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)$.

Pošto je $OA$ poluprečnik povučen do tačke tangente, onda je $OA\perp a$ , tj. $\ugao OAM = 90^\circ$, dakle, $\ugao BAM = 90^\circ - \ugao OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)$.

Teorema o lukovima skupljenim jednakim tetivama

Jednaki tetivi savijaju jednake lukove, manje polukrugove.

I obrnuto: jednaki lukovi se skupljaju jednakim tetivama.

Dokaz

1) Neka $AB=CD$ . Dokažimo da su manji polukrugovi luka .

Na tri strane, dakle $\ugao AOB=\ugao COD$ . Ali pošto $\ugao AOB, \ugao COD$ - centralni uglovi na osnovu lukova $\buildrel\smile\over(AB), \buildrel\smile\over(CD)$ odnosno, onda $\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)$.

2) Ako $\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)$, onda $\trokut AOB=\trokut COD$ duž dvije strane $AO=BO=CO=DO$ i ugla između njih $\ugao AOB=\ugao COD$ . Stoga, $AB=CD$ .

Teorema

Ako polumjer prepolovi tetivu, onda je ona okomita na nju.

Obratno je također istinito: ako je radijus okomit na tetivu, tada ga tačka presjeka dijeli na pola.

Dokaz

1) Neka $AN=NB$ . Dokažimo da je $OQ\perp AB$ .

Uzmimo u obzir $\trougao AOB$ : jednakokrak je, jer $OA=OB$ – radijusi kruga. Jer $ON$ je medijan povučen do baze, onda je to i visina, dakle $ON\perp AB$ .

2) Neka $OQ\perp AB$ . Dokažimo da je $AN=NB$ .

Slično, $\trougao AOB$ je jednakokračan, $ON$ je visina, pa je $ON$ medijan. Prema tome, $AN=NB$ .

\[(\Large(\text(Teoreme vezane za dužine segmenata)))\]

Teorema o proizvodu segmenata tetiva

Ako se dvije tetive kružnice sijeku, onda je proizvod segmenata jedne tetive jednak proizvodu segmenata druge tetive.

Dokaz

Neka se tetive $AB$ i $CD$ sijeku u tački $E$ .

Razmotrimo trouglove $ADE$ i $CBE$ . U ovim trouglovima, uglovi $1$ i $2$ su jednaki, jer su upisani i oslanjaju se na isti luk $BD$ , a uglovi $3$ i $4$ jednake su kao i vertikalne. Trokuti $ADE$ i $CBE$ su slični (prema kriteriju sličnosti prvog trougla).

Onda $\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)$, odakle $AE\cdot BE = CE\cdot DE$ .

Teorema tangente i sekanse

Kvadrat tangentnog segmenta jednak je proizvodu sekansa i njegovog vanjskog dijela.

Dokaz

Neka tangenta prolazi kroz tačku $M$ i dodirne kružnicu u tački $A$ . Neka sekansa prolazi kroz tačku $M$ i siječe kružnicu u tačkama $B$ i $C$ tako da $MB< MC$ . Покажем, что $MB\cdot MC = MA^2$ .

Razmotrimo trouglove $MBA$ i $MCA$ : $\ugao M$ je općenito, $\ugao BCA = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB)$. Prema teoremi ugla između tangente i sekante, $\ugao BAM = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB) = \ugao BCA$. Dakle, trokuti $MBA$ i $MCA$ su slični u dva ugla.

Iz sličnosti trokuta $MBA$ i $MCA$ imamo: $\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)$, što je ekvivalentno $MB\cdot MC = MA^2$ .

Posljedica

Umnožak sekanse povučene iz tačke $O$ i njenog vanjskog dijela ne ovisi o izboru sekante povučene iz točke $O$ .

Prisjetimo se slučajeva međusobnog rasporeda prave i kružnice.

Zadana je kružnica sa centrom O i polumjerom r. Prava P, udaljenost od centra do prave, odnosno okomite OM, jednaka je d.

Slučaj 1- udaljenost od središta kruga do prave linije je manja od polumjera kružnice:

Dokazali smo da u slučaju kada je rastojanje d manje od poluprečnika kružnice r, prava i kružnica imaju samo dve zajedničke tačke (slika 1).

Rice. 1. Ilustracija slučaja 1

Slučaj dva- udaljenost od središta kruga do prave je jednaka polumjeru kružnice:

Dokazali smo da je u ovom slučaju zajednička tačka jedinstvena (slika 2).

Rice. 2. Ilustracija slučaja 2

Slučaj 3- udaljenost od središta kruga do prave je veća od polumjera kružnice:

Dokazali smo da u ovom slučaju krug i prava nemaju zajedničke tačke (slika 3).

Rice. 3. Ilustracija slučaja 3

U ovoj lekciji zanima nas drugi slučaj, kada prava i kružnica imaju jednu zajedničku tačku.

definicija:

Prava koja ima jednu zajedničku tačku sa kružnicom naziva se tangenta na kružnicu, zajednička tačka se naziva dodirna tačka između prave i kružnice.

Prava p je tangenta, tačka A je dodirna tačka (slika 4).

Rice. 4. Tangenta

Teorema:

Tangenta na kružnicu je okomita na poluprečnik povučen do tačke kontakta (slika 5).

Rice. 5. Ilustracija za teoremu

dokaz:

Naprotiv, neka OA nije okomita na pravu p. U ovom slučaju, spustimo okomicu iz tačke O na pravu p, što će biti rastojanje od centra kružnice do prave:

Iz pravokutnog trokuta možemo reći da je hipotenuza OH manja od kraka OA, odnosno da prava i kružnica imaju dvije zajedničke tačke, prava p je sekansa. Tako smo dobili kontradikciju, što znači da je teorema dokazana.

Rice. 6. Ilustracija za teoremu

Obrnuta teorema je također tačna.

Teorema:

Ako prava linija prolazi kroz kraj poluprečnika koji leži na kružnici i okomita je na ovaj poluprečnik, onda je to tangenta.

dokaz:

Kako je prava okomita na polumjer, udaljenost OA je udaljenost od prave do centra kružnice i jednaka je polumjeru: . Odnosno, iu ovom slučaju, kao što smo prethodno tvrdili, prava i kružnica imaju jedinu zajedničku tačku - to je tačka A, tako da je prava p tangenta na kružnicu po definiciji (slika 7).

Rice. 7. Ilustracija za teoremu

Direktna i inverzna teorema se mogu kombinovati na sledeći način (slika 8):

Dat je krug sa centrom O, prava p, poluprečnik OA

Rice. 8. Ilustracija za teoremu

Teorema:

Prava je tangenta na kružnicu ako i samo ako je polumjer povučen do točke dodira okomit na nju.

Ova teorema znači da ako je prava tangentna, tada je polumjer povučen do točke dodira okomit na nju, i obrnuto, iz okomitosti OA i p slijedi da je p tangentna, odnosno prava i kružnica imaju jednu zajedničku tačku.

Razmotrimo dvije tangente povučene iz iste tačke na kružnicu.

Teorema:

Segmenti tangenti na kružnicu povučeni iz jedne tačke su jednaki i čine jednake uglove sa pravom linijom povučenom kroz ovu tačku i središte kružnice.

Dat je krug, centar O, tačka A izvan kruga. Iz tačke A su povučene dve tangente, tačke B i C su tangentne tačke. Potrebno je dokazati da su i uglovi 3 i 4 jednaki.

Rice. 9. Ilustracija za teoremu

dokaz:

Dokaz se zasniva na jednakosti trouglova . Objasniti jednakost trouglova. Oni su pravougaoni, jer je poluprečnik povučen do tačke kontakta okomit na tangentu. Dakle, uglovi i su pravi i jednaki u . Noge OB i OS su jednake, jer su poluprečnik kružnice. Hipotenuza AO - obična.

Dakle, trokuti su jednaki u smislu jednakosti kateta i hipotenuze. Iz ovoga je očito da su kraci AB i AC također jednaki. Također, uglovi nasuprot jednakih strana su jednaki, što znači da su uglovi i , jednaki.

Teorema je dokazana.

Dakle, upoznali smo se s konceptom tangente na kružnicu, u sljedećoj lekciji ćemo razmotriti mjeru stepena luka kružnice.

Bibliografija

Aleksandrov A.D. itd. Geometrija 8. razred. - M.: Obrazovanje, 2006.
Butuzov V.F., Kadomcev S.B., Prasolov V.V. Geometrija 8. - M.: Prosvjeta, 2011.
Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometrija 8 razred. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.

Univer.omsk.su ().
Oldskola1.narod.ru ().
School6.aviel.ru ().

Zadaća

Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. et al., Geometrija 7-9, br.634-637, str. 168.

bodova $x_0\in \mathbb(R)$ , i u njemu se može razlikovati: $f \in \mathcal(D)(x_0)$ . Tangenta na graf funkcije $f$ u tački $x_0$ naziva se graf linearne funkcije, date jednadžbom $y = f(x_0) + f"(x_0)(x-x_0),\quad x\in \mathbb(R)$ .

Ako je funkcija

f

ima u tački

x_0

beskonačni derivat

f"(x_0) = \pm\infty,

tada je tangentna linija u ovoj tački vertikalna linija data jednadžbom

x = x_0.

Komentar

Iz definicije direktno slijedi da graf tangentne linije prolazi kroz tačku $(x_0,f(x_0))$ . Ugao $\alpha$ između tangente na krivulju i x-ose zadovoljava jednačinu

$\operatorname(tg)\,\alpha = f"(x_0)=k,$

gdje $\operatorname(tg)$ označava tangentu i $\operatorname (k)$ - koeficijent nagiba tangente. Derivat u tački $x_0$ je jednako ugaoni koeficijent tangenta na graf funkcije $y = f(x)$ na ovom mjestu.

Tangenta kao granični položaj sekante

Neka $f\dvotočka U(x_0) \to \R$ i $x_1\u U(x_0).$ Zatim ravna linija koja prolazi kroz tačke $(x_0,f(x_0))$ i $(x_1,f(x_1))$ dato jednačinom

$y = f(x_0) + \frac(f(x_1) - f(x_0))(x_1 - x_0)(x-x_0).$

Ova linija prolazi kroz tačku $(x_0,f(x_0))$ za bilo koga $x_1\u U(x_0),$ i njegov ugao nagiba $\alpha(x_1)$ zadovoljava jednačinu

$\operatorname(tg)\,\alpha(x_1) = \frac(f(x_1) - f(x_0))(x_1 - x_0).$

Zbog postojanja derivacije funkcije $f$ u tački $x_0,$ prelazeći do granice na $x_1\do x_0,$ shvatamo da postoji granica

$\lim\limits_(x_1 \to x_0) \operatorname(tg)\,\alpha(x_1) = f"(x_0),$

i zbog kontinuiteta tangente luka i graničnog ugla

$\alpha = \operatorname(arctg)\,f"(x_0).$

Prava koja prolazi kroz tačku $(x_0,f(x_0))$ i ima granični ugao nagiba koji zadovoljava $\operatorname(tg)\,\alpha = f"(x_0),$ je dato tangentnom jednadžbom:

$y \u003d f (x_0) + f "(x_0) (x-x_0).$

Tangenta na kružnicu

Prava linija koja ima jednu zajedničku tačku sa kružnicom i koja leži u istoj ravni s njom naziva se tangenta na kružnicu.

Svojstva

Tangenta na kružnicu je okomita na poluprečnik povučen do tačke kontakta.
Segmenti tangenti na kružnicu povučeni iz jedne tačke su jednaki i čine jednake uglove sa pravom koja prolazi kroz ovu tačku i središtem kružnice.
Dužina segmenta tangente povučene u krug jediničnog poluprečnika, uzeta između tačke tangente i tačke preseka tangente sa zrakom povučenom iz centra kružnice, je tangenta ugla između ove zrake i smjer od centra kružnice do točke dodira. "Tangens" od lat. tangente- "tangenta".

Varijacije i generalizacije

Jednostrane polutangente

Ako postoji pravi izvod $f"_+(x_0)< \infty,$ onda desna polutangenta na graf funkcije $f$ u tački $x_0$ zove greda

y = f(x_0) + f"_+(x_0)(x - x_0),\quad x \geqslant x_0.

Ako postoji lijeva derivacija $f"_-(x_0)< \infty,$ onda lijeva polutangenta na graf funkcije $f$ u tački $x_0$ zove greda

y = f(x_0) + f"_-(x_0)(x - x_0),\quad x \leqslant x_0.

Ako postoji beskonačan desni izvod $f"_+(x_0) = +\infty\; (-\infty),$ $f$ u tački $x_0$ zove greda

x = x_0, \;  y \geqslant f(x_0)\;  (y\leqslant f(x_0)).

Ako postoji beskonačan levi izvod $f"_-(x_0) = +\infty\; (-\infty),$ zatim desna polutangenta na graf funkcije $f$ u tački $x_0$ zove greda

x = x_0, \;  y \leqslant f(x_0)\;  (y\geqslant f(x_0)).

vidi takođe

Normalno, binormalno

Napišite recenziju na članak "Tangentna linija"

Književnost

Toponogov V. A. Diferencijalna geometrija krivulja i površina. - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 9785891552135.
// Enciklopedijski rječnik Brockhausa i Efrona: u 86 svezaka (82 sveska i 4 dodatna). - St. Petersburg. , 1890-1907.

Izvod koji karakteriše tangentnu liniju

- Na mestima! - viknuo je mladi oficir na vojnike okupljene oko Pjera. Ovaj mladi oficir, po svemu sudeći, obavljao je svoj položaj po prvi ili drugi put, pa se stoga i prema vojnicima i prema komandantu ophodio posebno jasno i jednolično.
Nestalna paljba topova i pušaka pojačavala se po cijelom polju, posebno lijevo, gdje su bili Bagrationovi bljeskovi, ali se zbog dima pucnjeva s mjesta gdje je Pjer bio gotovo nemoguće bilo šta vidjeti. Štaviše, zapažanja o tome kako je, takoreći, porodični (odvojen od svih ostalih) krug ljudi koji su bili na bateriji, apsorbirala su svu Pjerovu pažnju. Njegovo prvo nesvjesno radosno uzbuđenje, izazvano prizorom i zvucima bojnog polja, sada je zamijenjeno, posebno nakon prizora ovog usamljenog vojnika kako leži na livadi, drugim osjećajem. Sjedeći sada na padini jarka, promatrao je lica oko sebe.
Do deset sati već je dvadeset ljudi bilo odneseno iz baterije; dva pištolja su polomljena, sve više granata je pogađalo bateriju i letelo, zujanje i zviždanje, dalekometni meci. Ali ljudi koji su bili na bateriji kao da to nisu primijetili; sa svih strana čuli su se veseli razgovori i šale.
- Chinenko! - viknuo je vojnik na granatu koja se približavala. - Ne ovdje! U pješadiju! - dodao je drugi uz smeh, primetivši da je granata preletela i pogodila redove pokrivača.
- Šta, prijatelju? - nasmejao se drugi vojnik čučećem seljaku pod letećom kuglom.
Nekoliko vojnika se okupilo kod bedema, gledajući šta se dešava ispred.
“I skinuli su lanac, vidite, vratili su se”, rekli su, pokazujući preko okna.
„Gledajte svoja posla“, viknuo im je stari podoficir. - Vratili su se, što znači da ima posla. - I podoficir, uhvativši jednog od vojnika za rame, gurnuo ga je kolenom. Čuo se smeh.
- Prebaci na petu pušku! viknu s jedne strane.
“Zajedno, prijateljski, u burlatskom”, čuli su se veseli povici onih koji su mijenjali puške.
„Aj, skoro sam srušio šešir našem gospodaru“, nasmijao se šaljivdžija crvenog lica Pjeru, pokazujući zube. „Oh, nespretno“, prekorno je dodao lopti koja je pala u volan i nogu čoveka.
- Pa vi lisice! drugi se smijao migoljavim milicionerima koji su ulazili u bateriju za ranjenike.
- Al nije ukusna kaša? Ah, vrane, zaljuljale se! - vikali su na miliciju, koja je oklevala pred vojnikom sa odsečenom nogom.
„Tako nešto, mali“, oponašali su seljaci. - Ne vole strast.
Pjer je primijetio kako se nakon svakog udarca, nakon svakog poraza, sve više rasplamsava opći preporod.
Kao iz nadolazećeg grmljavinskog oblaka, sve češće su na licima svih ovih ljudi bljesnule sve jače i jače (kao da se odbijaju od onoga što se dešavalo) munje skrivene, rasplamsane vatre.
Pjer nije gledao napred na bojnom polju i nije ga zanimalo šta se tamo dešava: bio je potpuno zaokupljen razmišljanjem o ovoj, sve gorućoj vatri, koja je na isti način (osjećao je) rasplamsala u njegovoj duši.
U deset sati povukli su se vojnici pešadije, koji su bili ispred baterije u žbunju i uz reku Kamenku. Iz baterije se vidjelo kako su trčali nazad, noseći ranjenike na puškama. Neki general sa svojom pratnjom uđe u humku i, nakon razgovora s pukovnikom, ljutito pogledavši Pjera, ponovo siđe dole, naredivši da pješadijski pokrov, koji je stajao iza baterije, legne kako bi što manje bio izložen pucnjavi. Nakon toga, u redovima pešadije, desno od baterije, čuo se bubanj, povici komandovanja, a iz baterije se videlo kako se pješadijski redovi kreću napred.
Pjer je pogledao preko okna. Jedno lice mu je posebno privuklo pažnju. Bio je to oficir koji je, bledog mladog lica, hodao unatrag, noseći spušteni mač, i s nelagodom gledajući oko sebe.
Redovi pješadijskih vojnika nestajali su u dimu, čuo se njihov dugotrajan krik i česta pucnjava. Nekoliko minuta kasnije, odatle su prošle gomile ranjenika i nosila. Granate su još češće počele udarati u bateriju. Nekoliko ljudi je ležalo neočišćeno. U blizini topova vojnici su se kretali užurbanije i življe. Niko više nije obraćao pažnju na Pjera. Jednom ili dvaput ljutito su ga vikali jer je na putu. Viši oficir, namrštenog lica, krupnim, brzim koracima prelazio je od jednog pištolja do drugog. Mladi oficir, još više pocrveneo, još revnosnije je komandovao vojnicima. Vojnici su pucali, okretali se, punili i radili svoj posao sa velikom snagom. Poskakali su putem, kao na oprugama.