Razmotrimo matricu A veličine .

A=
Odaberite k redova i k kolona u njemu (
).

Definicija 26:Minor k-ti red matrice A naziva se determinanta kvadratna matrica, koji je rezultat datog odabira u njemu.

k redova i k kolona.

Definicija 27:rang matrica se naziva najvećim od nultih redova njenih minora, r(A).

Definicija 28: Poziva se maloljetnik čiji je red isti kao i njegov rang osnovni mol.

izjava:

1. Rang se izražava kao cijeli broj.(
)

2.r=0,
kada je A nula.

Elementarne transformacije matrica.

Elementarne transformacije matrica uključuju sljedeće:

1) množenje svih elemenata bilo kojeg reda (kolone) matrice istim brojem.

2) dodavanje elemenata bilo kog reda (kolone) matrice odgovarajućih elemenata drugog reda (kolone) pomnoženih istim brojem;

3) permutacija redova (kolona) matrice;

4) odbacivanje nultog reda (kolone);

5) zamena redova matrice odgovarajućim kolonama.

Definicija 29: Matrice dobijene jedna od druge, pod elementarnim transformacijama, nazivaju se ekvivalentne matrice, označene sa "~"

Glavno svojstvo ekvivalentnih matrica: Rangovi ekvivalentnih matrica su jednaki.

Primjer 18: Izračunaj r(A),

Rješenje: Pomnožite prvi red korak po korak sa (-4)(-2)

(-7), a zatim dodajte u drugi, treći i četvrti red redom.

~

zamijenite drugi i četvrti red
pomnožite drugi red sa (-2) i dodajte četvrtom redu; dodajte drugi i treći red.

dodajte treći i četvrti red.

~
odbaciti nulti red

~
r(A)=3
rang originalne matrice

jednako tri.

Definicija 30: Matricu A nazivamo matricom koraka ako su svi elementi glavne dijagonale 0, a elementi ispod glavne dijagonale su nula.

Rečenica:

1) rang matrice koraka jednak je broju njenih redova;

2) bilo koja matrica se može svesti na stepenasti oblik uz pomoć elementarnih transformacija.

Primjer 19: Na kojim vrijednostima  matrice
ima rang jednak jedan?

Rješenje: Rang je jednak jedan ako je determinanta drugog reda jednaka nuli, tj.

§6. Sistemi linearnih jednačina opšteg oblika.

sistem pregleda
---(9) se naziva sistem opšte forme.

Definicija 31: Za dva sistema se kaže da su ekvivalentna (ekvivalentna) ako je svako rješenje prvog sustava rješenje drugog i obrnuto.

U sistemu (1) matrica A=
će se zvati glavna matrica sistema, i =
prošireni matrični sistem

Teorema. Kronecker-Cappelli

Da bi sistem (9) bio konzistentan, potrebno je i dovoljno da rang glavne matrice sistema bude jednak rangu proširene matrice, tj. r(A)=r( )

Teorema 1. Ako je rang matrice zajedničkog sistema jednak broju nepoznanica, onda sistem ima jedinstveno rješenje.

Teorema 2. Ako je rang matrice zajedničkog sistema manji od broja nepoznatih, onda sistem ima beskonačan broj rješenja.

Pravilo za rješavanje proizvoljnog sistema linearnih jednačina:

1) pronaći rangove glavne i proširene matrice sistema. Ako a
, onda je sistem nekonzistentan.

2) Ako
=r, onda je sistem konzistentan. Naći neki osnovni mol reda r. Nazvat ćemo osnovni minor, na osnovu kojeg je određen rang matrice.

Nepoznate čiji koeficijenti ulaze u osnovni minor nazivaju se glavnim (osnovnim) i lijevo lijevo, dok se preostale nepoznanice nazivaju slobodnim i prenose na desnu stranu jednačine.

3) Pronađite izraze glavnih nepoznanica u terminima slobodnih. Dobijeno je opšte rešenje sistema.

Primjer 20: Istražite sistem i, u slučaju njegove kompatibilnosti, pronađite ili jedinstveno ili generalno rješenje

Rješenje: 1) prema T. Kronecker-Capelliju nalazimo rangove proširene i osnovne matrice sistema:

~
~

~
~
rang glavne matrice je dva

2) pronađite rang proširene matrice
~
~
~

3) zaključak:
=2, onda je sistem konzistentan.

Ali

sistem je neodređen i ima beskonačan broj rješenja.

4) Osnovne nepoznanice i , budući da pripadaju osnovnom molu, i - besplatno nepoznato.

Neka =c, gdje je c bilo koji broj.

5) Poslednja matrica odgovara sistemu

6) Odgovor:

7) Provjera: u bilo kojoj od jednačina originalnog sistema, gdje su prisutne sve nepoznanice, zamjenjujemo pronađene vrijednosti.

Neka je data neka matrica:

.

Odaberite u ovoj matrici proizvoljne linije i proizvoljnim stupcima
. Zatim determinanta reda, sastavljena od matričnih elemenata
koji se nalazi na raskrsnici odabranih redova i kolona naziva se manjim matrica -tog reda
.

Definicija 1.13. Matrix rang
je najveći red različitog od nule minor ove matrice.

Da bi se izračunao rang matrice, treba uzeti u obzir sve njene minore najmanjeg reda i, ako je barem jedan od njih različit od nule, preći na razmatranje minora najvišeg reda. Ovaj pristup određivanju ranga matrice naziva se granična metoda (ili metoda graničnih minora).

Zadatak 1.4. Metodom graničnih minora odredite rang matrice
.

.

Uzmite u obzir graničenje prvog reda, na primjer,
. Zatim prelazimo na razmatranje neke granice drugog reda.

Na primjer,
.

Konačno, analizirajmo granice trećeg reda.

.

Na ovaj način, najviši red minor koji nije nula je 2, dakle
.

Prilikom rješavanja zadatka 1.4 može se primijetiti da su nizovi graničnih minora drugog reda različiti od nule. U tom smislu dolazi do sljedećeg pojma.

Definicija 1.14. Osnovni minor matrice je bilo koji minor različit od nule čiji je red jednak rangu matrice.

Teorema 1.2.(Osnovna mala teorema). Osnovni redovi (osnovni stupci) su linearno nezavisni.

Imajte na umu da su redovi (stupci) matrice linearno zavisni ako i samo ako se barem jedan od njih može predstaviti kao linearna kombinacija ostalih.

Teorema 1.3. Broj linearno nezavisnih redova matrice jednak je broju linearno nezavisnih kolona matrice i jednak je rangu matrice.

Teorema 1.4.(Neophodan i dovoljan uslov da determinanta bude jednaka nuli). Da bi determinanta -th red jednaka nuli, potrebno je i dovoljno da njegovi redovi (kolone) budu linearno zavisni.

Izračunavanje ranga matrice na osnovu njene definicije je previše glomazno. Ovo postaje posebno važno za matrice visokog reda. S tim u vezi, u praksi se rang matrice izračunava na osnovu primjene teorema 10.2 - 10.4, kao i upotrebe koncepata ekvivalencije matrice i elementarnih transformacija.

Definicija 1.15. Dvije matrice
i nazivaju se ekvivalentnim ako su im rangovi jednaki, tj.
.

Ako matrice
i su ekvivalentni, a zatim označite
 .

Teorema 1.5. Rang matrice se ne mijenja od elementarnih transformacija.

Nazvat ćemo elementarne transformacije matrice
bilo koja od sljedećih radnji na matrici:

Zamjena redova kolonama i stupaca odgovarajućim redovima;

Permutacija redova matrice;

Precrtavanje linije čiji su svi elementi jednaki nuli;

Množenje bilo kojeg niza brojem koji nije nula;

Dodavanje elemenata jednog reda odgovarajućih elemenata drugog reda pomnoženih istim brojem
.

Korolar teoreme 1.5. Ako je matrica
dobijeno iz matrice koristeći konačan broj elementarnih transformacija, zatim matrice
i su ekvivalentni.

Prilikom izračunavanja ranga matrice, treba je svesti na trapezoidni oblik korištenjem konačnog broja elementarnih transformacija.

Definicija 1.16. Trapezoidnim ćemo nazvati takav oblik reprezentacije matrice kada u graničnom minoru najvećeg reda različitog od nule svi elementi ispod dijagonalnih nestanu. Na primjer:

.

Evo
, matrični elementi
okrenuti na nulu. Tada će oblik reprezentacije takve matrice biti trapezoidan.

U pravilu se matrice svode na trapezoidni oblik korištenjem Gaussovog algoritma. Ideja Gaussovog algoritma je da se množenjem elemenata prvog reda matrice sa odgovarajućim faktorima postižu da se svi elementi prvog stupca nalaze ispod elementa.
, okrenuo bi se na nulu. Zatim, množenjem elemenata drugog stupca sa odgovarajućim množiocima, postižemo da se svi elementi drugog stupca nalaze ispod elementa
, okrenuo bi se na nulu. Dalje postupite na sličan način.

Zadatak 1.5. Odredite rang matrice svođenjem na trapezoidni oblik.

.

Za praktičnost primjene Gaussovog algoritma, možete zamijeniti prvi i treći red.








.

Očigledno ovdje
. Međutim, da bi se rezultat doveo u elegantniji oblik, mogu se nastaviti dalje transformacije preko stupaca.










.

Rang matrice je važan numerička karakteristika. Najtipičniji problem koji zahtijeva pronalaženje ranga matrice je provjera kompatibilnosti sistema linearnih algebarskih jednadžbi. U ovom članku ćemo dati koncept ranga matrice i razmotriti metode za njegovo pronalaženje. Radi bolje asimilacije gradiva, detaljno ćemo analizirati rješenja nekoliko primjera.

Navigacija po stranici.

Određivanje ranga matrice i potrebnih dodatnih pojmova.

Prije davanja definicije ranga matrice, treba dobro razumjeti pojam minora, a pronalaženje minora matrice podrazumijeva sposobnost izračunavanja determinante. Stoga preporučujemo, ako je potrebno, podsjetiti na teoriju članka, metode za pronalaženje matrične determinante, svojstva determinante.

Uzmite matricu A reda. Neka je k neki prirodni broj koji ne prelazi najmanji od brojeva m i n , tj. .

Definicija.

Manji k-ti red matrica A je determinanta kvadratne matrice reda, sastavljena od elemenata matrice A, koji se nalaze u prethodno odabranih k redova i k kolona, ​​a lokacija elemenata matrice A je sačuvana.

Drugim riječima, ako izbrišemo (p–k) redove i (n–k) stupce u matrici A, i formiramo matricu od preostalih elemenata, čuvajući raspored elemenata matrice A, tada je determinanta rezultirajuće matrice ​minor reda k matrice A.

Pogledajmo definiciju matričnog minora koristeći primjer.

Razmotrite matricu .

Zapišimo nekoliko minora prvog reda ove matrice. Na primjer, ako odaberemo treći red i drugi stupac matrice A, tada naš izbor odgovara umanju prvog reda . Drugim riječima, da bismo dobili ovaj minor, precrtali smo prvi i drugi red, kao i prvi, treći i četvrti stupac iz matrice A, a od preostalog elementa napravili determinantu. Ako odaberemo prvi red i treći stupac matrice A, onda ćemo dobiti minor .

Ilustrujmo postupak za dobijanje razmatranih maloletnika prvog reda
i .

Dakle, minori prvog reda matrice su sami elementi matrice.

Pokažimo nekoliko minora drugog reda. Odaberite dva reda i dvije kolone. Na primjer, uzmite prvi i drugi red i treći i četvrti stupac. Sa ovim izborom, imamo maloljetnicu drugog reda . Ovaj minor se također može formirati brisanjem trećeg reda, prvog i drugog stupca iz matrice A.

Drugi minor drugog reda matrice A je .

Ilustrujmo konstrukciju ovih minora drugog reda
i .

Slično se mogu naći i minori trećeg reda matrice A. Pošto u matrici A postoje samo tri reda, biramo ih sve. Ako odaberemo prve tri kolone za ove redove, onda ćemo dobiti minor trećeg reda

Takođe se može konstruisati brisanjem poslednje kolone matrice A.

Još jedan maloljetnik trećeg reda je

dobijeno brisanjem treće kolone matrice A.

Evo crteža koji prikazuje konstrukciju ovih minora trećeg reda
i .

Za datu matricu A, nema minora reda većeg od trećeg, budući da .

Koliko minora k-tog reda matrice A reda postoji?

Broj minora reda k može se izračunati kao , gdje i - broj kombinacija od p do k i od n do k, respektivno.

Kako konstruisati sve minore reda k matrice A reda p na n?

Potreban nam je skup brojeva redova matrice i skup brojeva kolona. Snimanje svega kombinacije p elemenata po k(oni će odgovarati odabranim redovima matrice A kada se konstruiše minor reda k). Svakoj kombinaciji brojeva redova uzastopno dodajemo sve kombinacije od n elemenata po k brojeva kolona. Ovi skupovi kombinacija brojeva redova i brojeva kolona matrice A pomoći će da se sastave svi minori reda k.

Uzmimo primjer.

Primjer.

Pronađite sve minore drugog reda matrice.

Rješenje.

Budući da je redoslijed originalne matrice 3 puta 3, tada će ukupni minori drugog reda biti .

Zapišimo sve kombinacije brojeva reda 3 do 2 matrice A: 1, 2; 1, 3 i 2, 3. Sve kombinacije brojeva kolone 3 sa 2 su 1, 2; 1, 3 i 2, 3.

Uzmite prvi i drugi red matrice A. Odabirom prve i druge kolone za ove redove, prve i treće kolone, druge i treće kolone, dobijamo, redom, manje vrijednosti

Za prvi i treći red, sa sličnim izborom kolona, ​​imamo

Ostaje dodati prvi i drugi, prvi i treći, drugi i treći stupac u drugi i treći red:

Dakle, svih devet minora drugog reda matrice A je pronađeno.

Sada možemo prijeći na određivanje ranga matrice.

Definicija.

Matrix rang je najviši red nenulte matrice minor.

Rang matrice A je označen kao Rank(A). Također možete vidjeti oznake Rg(A) ili Rang(A) .

Iz definicija ranga matrice i minora matrice možemo zaključiti da je rang nulte matrice jednak nuli, a rang nenulte matrice je najmanje jedan.

Pronalaženje ranga matrice po definiciji.

Dakle, prva metoda za pronalaženje ranga matrice je metod manjeg brojanja. Ova metoda se zasniva na određivanju ranga matrice.

Trebamo pronaći rang matrice A reda .

Ukratko opišite algoritam rješavanje ovog problema metodom popisivanja maloljetnika.

Ako postoji barem jedan element matrice koji nije nula, tada je rang matrice najmanje jednak jedan (pošto postoji minor prvog reda koji nije jednak nuli).

Zatim iteriramo preko minora drugog reda. Ako su svi minori drugog reda jednaki nuli, tada je rang matrice jednak jedan. Ako postoji barem jedan minor drugog reda različit od nule, tada prelazimo na nabrajanje minora trećeg reda, a rang matrice je najmanje jednak dva.

Slično, ako su svi minori trećeg reda nula, tada je rang matrice dva. Ako postoji barem jedan minor trećeg reda različit od nule, tada je rang matrice najmanje tri, i prelazimo na nabrajanje minora četvrtog reda.

Imajte na umu da rang matrice ne može premašiti najmanji od p i n.

Primjer.

Pronađite rang matrice .

Rješenje.

Pošto je matrica različita od nule, njen rang nije manji od jedan.

Minor drugog reda je različit od nule, stoga je rang matrice A najmanje dva. Prelazimo na popis maloljetnika trećeg reda. Svi oni stvari.

Svi minori trećeg reda jednaki su nuli. Dakle, rang matrice je dva.

odgovor:

Rang(A) = 2.

Određivanje ranga matrice metodom rubnih minora.

Postoje i druge metode za pronalaženje ranga matrice koje vam omogućavaju da dobijete rezultat uz manje računskog rada.

Jedna od ovih metoda je fringing minor metoda.

Hajde da se pozabavimo pojam graničnog maloljetnika.

Kaže se da manji M ok (k+1)-tog reda matrice A okružuje manji M reda k matrice A ako matrica koja odgovara manjem M ok "sadrži" matricu koja odgovara molu M .

Drugim riječima, matrica koja odgovara obrubljenom minoru M dobija se iz matrice koja odgovara graničnom minoru M ok brisanjem elemenata jednog reda i jedne kolone.

Na primjer, razmotrite matricu i uzeti maloljetnika drugog reda. Zapišimo sve granične maloljetnike:

Metoda graničenja minora opravdana je sljedećom teoremom (njegovu formulaciju iznosimo bez dokaza).

Teorema.

Ako su svi minori koji se graniče sa minorom k-tog reda matrice A reda p sa n jednaki nuli, tada su svi minori reda (k + 1) matrice A jednaki nuli.

Dakle, za pronalaženje ranga matrice nije potrebno nabrojati sve minore koji se dovoljno graniče. Broj minora koji graniči s minorom k-tog reda matrice A reda nalazi se po formuli . Imajte na umu da nema više minora koji se graniče sa minorom k-tog reda matrice A nego što ima minora (k + 1)-tog reda matrice A. Stoga je u većini slučajeva korištenje metode graničenja maloljetnika isplativije od jednostavnog nabrajanja svih maloljetnika.

Nastavimo sa pronalaženjem ranga matrice metodom rubnih minora. Ukratko opišite algoritam ovu metodu.

Ako je matrica A različita od nule, tada uzimamo bilo koji element matrice A koji je različit od nule kao minor prvog reda. Smatramo da su granični maloljetnici. Ako su svi jednaki nuli, tada je rang matrice jednak jedan. Ako postoji barem jedan granični minor različit od nule (njen red je jednak dva), onda prelazimo na razmatranje njegovih graničnih minora. Ako su svi nula, onda je Rank(A) = 2. Ako je barem jedan granični minor različit od nule (njegov red je jednak tri), onda smatramo njegove granične minore. I tako dalje. Kao rezultat, Rank(A) = k ako su svi granični minori (k + 1)-og reda matrice A jednaki nuli, ili Rank(A) = min(p, n) ako postoji nenula minor graniči s minorom reda (min( p, n) – 1) .

Analizirajmo metodu graničnih minora za pronalaženje ranga matrice koristeći primjer.

Primjer.

Pronađite rang matrice metodom graničnih maloljetnika.

Rješenje.

Pošto je element a 1 1 matrice A različit od nule, uzimamo ga kao minor prvog reda. Počnimo tražiti granični minor koji nije nula:

Pronađen je granični minor drugog reda različit od nule. Nabrojimo njegove granične maloljetnike (njihove stvari):

Svi minori koji se graniče sa minorom drugog reda jednaki su nuli, stoga je rang matrice A jednak dva.

odgovor:

Rang(A) = 2.

Primjer.

Pronađite rang matrice uz pomoć graničnih maloljetnika.

Rješenje.

Kao nenulti minor prvog reda, uzimamo element a 1 1 = 1 matrice A. Ivica drugog reda nije jednako nuli. Ovaj minor omeđen je maloletnikom trećeg reda
. Pošto nije jednaka nuli i za nju ne postoji granični minor, rang matrice A je jednak tri.

odgovor:

Rang(A) = 3.

Određivanje ranga pomoću elementarnih transformacija matrice (Gaussovom metodom).

Razmotrite još jedan način za pronalaženje ranga matrice.

Sljedeće matrične transformacije nazivaju se elementarnim:

• permutacija redova (ili stupaca) matrice;
• množenje svih elemenata bilo kojeg reda (kolone) matrice proizvoljnim brojem k koji je različit od nule;
• dodajući elementima bilo kojeg reda (kolone) odgovarajuće elemente drugog reda (kolone) matrice, pomnožene proizvoljnim brojem k.

Matrica B se naziva ekvivalentnom matrici A, ako se B dobije iz A uz pomoć konačnog broja elementarnih transformacija. Ekvivalentnost matrica označava se simbolom "~", odnosno piše se A ~ B.

Pronalaženje ranga matrice pomoću elementarnih matričnih transformacija zasniva se na izjavi: ako je matrica B dobijena iz matrice A korištenjem konačnog broja elementarnih transformacija, tada je Rank(A) = Rank(B) .

Valjanost ove tvrdnje proizlazi iz svojstava determinante matrice:

• Kada se redovi (ili stupci) matrice permutiraju, njena determinanta mijenja predznak. Ako je jednako nuli, onda kada se permutiraju redovi (kolone), ostaje jednako nuli.
• Prilikom množenja svih elemenata bilo kojeg reda (stupca) matrice sa proizvoljnim brojem k različitim od nule, determinanta rezultirajuće matrice jednaka je determinanti originalne matrice, pomnoženoj s k. Ako je determinanta izvorne matrice jednaka nuli, tada će nakon množenja svih elemenata bilo kojeg retka ili stupca brojem k, determinanta rezultirajuće matrice također biti jednaka nuli.
• Dodavanje elementima određenog reda (kolone) matrice odgovarajućih elemenata drugog reda (kolone) matrice, pomnoženih određenim brojem k, ne mijenja njenu determinantu.

Suština metode elementarnih transformacija je da dovedemo matricu, čiji rang treba da nađemo, do trapeza (u konkretnom slučaju, do gornjeg trokuta) koristeći elementarne transformacije.

čemu služi? Rang matrica ove vrste je vrlo lako pronaći. Jednako je broju redova koji sadrže najmanje jedan element koji nije nulti. A budući da se rang matrice ne mijenja tokom elementarnih transformacija, rezultirajuća vrijednost će biti rang originalne matrice.

Dajemo ilustracije matrica od kojih jednu treba dobiti nakon transformacije. Njihov oblik zavisi od reda matrice.

Ove ilustracije su šabloni u koje ćemo transformisati matricu A.

Hajde da opišemo algoritam metoda.

Pretpostavimo da treba da pronađemo rang nenulte matrice A reda (p može biti jednako n).

Dakle, . Pomnožimo sve elemente prvog reda matrice A sa . U ovom slučaju, dobijamo ekvivalentnu matricu, označimo je A (1) :

Elementima drugog reda rezultirajuće matrice A (1) dodajemo odgovarajuće elemente prvog reda, pomnožene sa . Elementima trećeg reda dodajte odgovarajuće elemente prvog reda, pomnožene sa . I tako dalje do p-te linije. Dobijamo ekvivalentnu matricu, označimo je A (2) :

Ako su svi elementi rezultirajuće matrice u redovima od drugog do p-tog jednaki nuli, tada je rang ove matrice jednak jedan, a samim tim i rang originalne matrice jednak je jedan .

Ako postoji barem jedan element različit od nule u redovima od drugog do p-tog, nastavljamo s transformacijama. Štaviše, postupamo na potpuno isti način, ali samo s dijelom matrice A označenim na slici (2)

Ako je , tada preuređujemo redove i (ili) stupce matrice A (2) tako da "novi" element postane različit od nule.

Bilo koja matrica A red m×n može se posmatrati kao zbirka m vektori reda ili n vektori stupaca.

rang matrice A red m×n je maksimalni broj linearno nezavisnih vektora stupaca ili vektora reda.

Ako je rang matrice A jednaki r, tada piše:

Pronalaženje ranga matrice

Neka A matrica proizvoljnog reda m× n. Da se pronađe rang matrice A primijeniti Gaussovu metodu eliminacije na to.

Imajte na umu da ako se u nekoj fazi eliminacije pokaže da je vodeći element jednak nuli, tada mijenjamo ovaj niz nizom u kojem je vodeći element različit od nule. Ako se ispostavi da nema tog reda, prelazimo na sljedeću kolonu i tako dalje.

Nakon pomaka naprijed Gaussove eliminacije, dobijamo matricu čiji su elementi ispod glavne dijagonale jednaki nuli. Osim toga, mogu postojati nulti vektori reda.

Broj vektora reda koji nisu nula bit će rang matrice A.

Pogledajmo sve ovo na jednostavnim primjerima.

Primjer 1

Pomnožimo prvi red sa 4 i dodamo drugom redu i pomnožimo prvi red sa 2 i dodamo trećem redu imamo:

Pomnožite drugi red sa -1 i dodajte ga trećem redu:

Dobili smo dva reda različita od nule i stoga je rang matrice ​​2.

Primjer 2

Pronađite rang sljedeće matrice:

Pomnožite prvi red sa -2 i dodajte drugom redu. Slično, postavite elemente trećeg i četvrtog reda prve kolone na nulu:

Resetujmo elemente trećeg i četvrtog reda druge kolone dodavanjem odgovarajućih redova u drugi red pomnožene brojem -1.

U svakoj matrici mogu biti pridružena dva ranga: rang reda (rang sistema redova) i rang kolone (rang sistema kolona).

Teorema

Rang reda matrice jednak je rangu njenog stupca.

Matrix rang

Definicija

Matrix rang$A$ je rang njegovog sistema redova ili kolona.

Označeno sa $\operatorname(rang) A$

U praksi se za pronalaženje ranga matrice koristi sljedeća izjava: rang matrice je jednak broju redova koji nisu nula nakon što je matrica svedena na stepenasti oblik.

Elementarne transformacije nad redovima (kolonama) matrice ne mijenjaju njen rang.

Rang matrice koraka jednak je broju njenih redova koji nisu nula.

Primjer

Vježbajte. Pronađite rang matrice $ A=\left(\begin(array)(cccc)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (4) & (8) & (18) & ( 7) \ \ (10) & (18) & (40) & (17) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(niz)\desno) $

Rješenje. Koristeći elementarne transformacije nad njenim redovima, reduciramo matricu $A$ na oblik koraka. Da biste to učinili, prvo oduzmite druga dva od trećeg reda:

$$ A \sim \left(\begin(array)(cccc)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (4) & (8) & (18) & (7) \\ (2) & (2) & (4) & (3) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(niz)\desno) $$

Od drugog reda oduzimamo četvrti red, pomnožen sa 4; od trećeg - dvije četvrtine:

$$ A \sim \left(\begin(array)(rrrr)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (-20) & (-50) & (-5 ) \\ (0) & (-12) & (-30) & (-3) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(niz)\desno) $$

Dodamo prvih pet u drugi red, a tri trećine u treći:

$$ A \sim \left(\begin(array)(cccc)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(niz)\desno) $$

Zamijenite prvi i drugi red:

$$ A \sim \left(\begin(array)(cccc)(0) & (0) & (0) & (0) \\ (0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(niz)\desno) $$

$$ A \sim \left(\begin(array)(cccc)(1) & (7) & (17) & (3) \\ (0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (0) & (0) & (0) & (0)\end(niz)\desno) \Strelica desno \operatorname(rang) A=2 $$

Odgovori.$ \operatorname(rank) A=2 $

Metoda male granice

Druga metoda za pronalaženje ranga matrice temelji se na ovoj teoremi - metoda male granice. Suština ove metode je pronalaženje maloljetnika, počevši od nižih redova i prelazeći na više. Ako je minor $n$-tog reda različit od nule, a svi minori $n+1$-ti jednaki su nuli, tada će rang matrice biti jednak $n$.

Primjer

Vježbajte. Pronađite rang matrice $ A=\left(\begin(array)(rrrr)(1) & (2) & (-1) & (-2) \\ (2) & (4) & (3) & (0 ) \\ (-1) & (-2) & (6) & (6)\end(niz)\desno) $ koristeći metodu manjeg obrubljivanja.

Rješenje. Minori minimalnog reda su minori prvog reda, koji su jednaki elementima matrice $A$. Uzmimo, na primjer, minor $ M_(1)=1 \neq 0 $ . nalazi se u prvom redu i prvoj koloni. Ograničavajući ga drugim redom i drugom kolonom, dobijamo minor $ M_(2)^(1)=\left| \begin(niz)(ll)(1) & (2) \\ (2) & (4)\end(niz)\right|=0 $ ; razmotrimo još jedan minor drugog reda, za ovo graničimo s minorom $M_1$ uz pomoć drugog reda i treće kolone, tada imamo minor $ M_(2)^(2)=\left| \begin(array)(rr)(1) & (-1) \\ (2) & (3)\end(array)\right|=5 \neq 0 $ , odnosno rang matrice je ​najmanje dva. Zatim, razmatramo minore trećeg reda koji okružuju minor $ M_(2)^(2) $. Postoje dva takva minora: kombinacija trećeg reda sa drugom kolonom ili sa četvrtom kolonom. Izračunavamo ove maloljetnike.