Uz karakteristike položaja - prosječne, tipične vrijednosti slučajne varijable - koriste se brojne karakteristike, od kojih svaka opisuje jedno ili drugo svojstvo distribucije. Kao takve karakteristike najčešće se koriste tzv. momenti.

Koncept momenta se široko koristi u mehanici za opisivanje raspodjele masa (statički momenti, momenti inercije, itd.). Potpuno iste metode se koriste u teoriji vjerovatnoće za opisivanje osnovnih svojstava distribucije slučajne varijable. U praksi se najčešće koriste dvije vrste momenata: početni i centralni.

Početni trenutak s-tog reda diskontinuirane slučajne varijable je zbir oblika:

. (5.7.1)

Očigledno, ova definicija se poklapa sa definicijom početnog momenta reda s u mehanici, ako su mase koncentrisane u tačkama na x-osi.

Za kontinuiranu slučajnu varijablu X, početni moment s-tog reda je integral

. (5.7.2)

Lako je provjeriti da je glavna karakteristika položaja uvedena u prethodnom br očekivanu vrijednost- nije ništa drugo do prvi početni trenutak slučajne varijable.

Koristeći znak očekivanja, možemo kombinirati dvije formule (5.7.1) i (5.7.2) u jednu. Zaista, formule (5.7.1) i (5.7.2) su po strukturi potpuno slične formulama (5.6.1) i (5.6.2), s tom razlikom što umjesto i postoje, respektivno, i . Stoga možemo napisati opštu definiciju početnog momenta th reda, koja vrijedi i za diskontinuirane i za kontinuirane količine:

, (5.7.3)

one. početni trenutak th reda slučajne varijable je matematičko očekivanje th stepena ove slučajne varijable.

Prije nego što damo definiciju centralnog momenta, uvodimo novi koncept "centrirane slučajne varijable".

Neka bude slučajna vrijednost sa matematickim ocekivanjem. Centrirana slučajna varijabla koja odgovara vrijednosti je odstupanje slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja:

U nastavku ćemo se svugdje složiti da centriranu slučajnu varijablu koja odgovara datoj slučajnoj varijabli označimo istim slovom sa ikonicom na vrhu.

Lako je provjeriti da je matematičko očekivanje centrirane slučajne varijable jednako nuli. Zaista, za diskontinuiranu količinu

slično za kontinuiranu količinu.

Centriranje slučajne varijable je, očigledno, jednako pomeranju ishodišta u srednju, "centralnu" tačku, čija je apscisa jednaka matematičkom očekivanju.

Momenti centrirane slučajne varijable nazivaju se centralni momenti. Oni su analogni trenucima o centru gravitacije u mehanici.

Dakle, središnji moment reda s slučajne varijable je matematičko očekivanje th stepena odgovarajuće centrirane slučajne varijable:

, (5.7.6)

a za kontinuirano - integralno

. (5.7.8)

U nastavku, u slučajevima kada nema sumnje o tome kojoj slučajnoj varijabli pripada dati trenutak, radi kratkoće ćemo pisati jednostavno i umjesto i .

Očigledno, za bilo koju slučajnu varijablu, centralni moment prvog reda jednak je nuli:

, (5.7.9)

budući da je matematičko očekivanje centrirane slučajne varijable uvijek nula.

Izvedemo relacije koje povezuju centralne i početne momente različitih redova. Izvođenje ćemo izvršiti samo za diskontinuirane količine; lako je provjeriti da potpuno iste relacije vrijede za kontinuirane veličine, ako konačne sume zamijenimo integralima, a vjerovatnoće elementima vjerovatnoće.

Uzmite u obzir drugu centralnu tačku:

Slično, za treći centralni trenutak dobijamo:

Izrazi za itd. može se dobiti na sličan način.

Dakle, za centralne momente bilo koje slučajne varijable vrijede formule:

(5.7.10)

Uopšteno govoreći, momenti se mogu razmatrati ne samo u odnosu na ishodište (početni momenti) ili matematičko očekivanje (centralni momenti), već iu odnosu na proizvoljnu tačku:

. (5.7.11)

Međutim, središnji momenti imaju prednost u odnosu na sve ostale: prvi centralni moment, kao što smo vidjeli, uvijek je jednak nuli, a drugi centralni moment koji slijedi, za ovaj referentni okvir, ima minimalnu vrijednost. Dokažimo to. Za diskontinuiranu slučajnu varijablu na , formula (5.7.11) ima oblik:

. (5.7.12)

Hajde da transformišemo ovaj izraz:

Očigledno, ova vrijednost dostiže svoj minimum kada , tj. kada se uzme trenutak u odnosu na tačku .

Od svih momenata, kao karakteristike slučajne varijable najčešće se koriste prvi početni moment (očekivanje) i drugi centralni moment.

Drugi centralni moment naziva se varijansa slučajne varijable. S obzirom na izuzetnu važnost ove karakteristike, između ostalog, za nju uvodimo posebnu oznaku:

Prema definiciji centralnog momenta

, (5.7.13)

one. varijansa slučajne varijable X je matematičko očekivanje kvadrata odgovarajuće centrirane varijable.

Zamjenjujući u izrazu (5.7.13) vrijednost njegovog izraza, također imamo:

. (5.7.14)

Za direktno izračunavanje varijanse koriste se sljedeće formule:

, (5.7.15)

(5.7.16)

Odnosno za diskontinuirane i kontinuirane količine.

Disperzija slučajne varijable je karakteristika disperzije, disperzija vrijednosti slučajne varijable oko njenog matematičkog očekivanja. Sama riječ "disperzija" znači "raspršivanje".

Ako se okrenemo mehaničkom tumačenju raspodjele, onda disperzija nije ništa drugo do moment inercije date raspodjele mase u odnosu na centar gravitacije (matematičko očekivanje).

Varijanca slučajne varijable ima dimenziju kvadrata slučajne varijable; Za vizuelnu karakterizaciju raspršenja, pogodnije je koristiti veličinu čija se dimenzija poklapa s onom slučajne varijable. Da biste to učinili, uzmite kvadratni korijen disperzije. Rezultirajuća vrijednost naziva se standardna devijacija (inače - "standard") slučajne varijable. Srednja kvadratna devijacija će biti označena sa:

, (5.7.17)

Da bismo pojednostavili zapise, često ćemo koristiti skraćenu notaciju za standardnu ​​devijaciju i varijansu: i . U slučaju kada nema sumnje na koju se slučajnu varijablu odnose ove karakteristike, ponekad ćemo izostaviti znak x y i i pisati jednostavno i . Riječi "standardna devijacija" ponekad će biti skraćene slovima s.c.o.

U praksi se često koristi formula koja izražava varijansu slučajne varijable u smislu njenog drugog početnog momenta (druga od formula (5.7.10)). U novoj notaciji to će izgledati ovako:

Matematičko očekivanje i varijansa (ili standardna devijacija) su najčešće korištene karakteristike slučajne varijable. Oni karakterišu najvažnije karakteristike distribucije: njen položaj i stepen disperzije. Za detaljniji opis distribucije koriste se momenti višeg reda.

Treći središnji momenat služi za karakterizaciju asimetrije (ili "iskrivljenosti") distribucije. Ako je raspodjela simetrična u odnosu na matematičko očekivanje (ili, u mehaničkom tumačenju, masa je raspoređena simetrično u odnosu na centar gravitacije), tada su svi momenti neparnog reda (ako postoje) jednaki nuli. Zaista, ukupno

sa distribucijom koja je simetrična u odnosu na zakon raspodjele i neparna, svakom pozitivnom članu odgovara negativan član koji mu je jednak u apsolutnoj vrijednosti, tako da je cijeli zbir jednak nuli. Isto je očigledno i za integral

,

koji je jednak nuli kao integral u simetričnim granicama neparne funkcije.

Stoga je prirodno odabrati bilo koji od neparnih momenata kao karakteristiku asimetrije raspodjele. Najjednostavniji od njih je treći centralni momenat. Ima dimenziju kocke slučajne varijable: da bi se dobila bezdimenzionalna karakteristika, treći momenat se dijeli sa kockom standardne devijacije. Rezultirajuća vrijednost se naziva "koeficijent asimetrije" ili jednostavno "asimetrija"; označit ćemo ga:

Na sl. 5.7.1 prikazuje dvije iskrivljene distribucije; jedna od njih (kriva I) ima pozitivnu asimetriju (); druga (kriva II) je negativna ().

Četvrti centralni momenat služi za karakterizaciju takozvane "hladnoće", tj. vršna ili ravna distribucija. Ova svojstva distribucije su opisana korišćenjem takozvanog kurtosisa. Kurtozis slučajne varijable je količina

Od omjera se oduzima broj 3 jer je za vrlo važan i u prirodi rasprostranjen zakon normalne raspodjele (koji ćemo kasnije detaljnije upoznati). Dakle, za normalnu distribuciju, eksces je nula; krive koje su šiljatije od normalnih krivih imaju pozitivan eksces; krive su više ravnih vrhova - negativnim ekscesom.

Na sl. 5.7.2 prikazuje: normalnu distribuciju (kriva I), distribuciju sa pozitivnim kurtozom (kriva II) i distribuciju sa negativnom kurtozom (kriva III).

Pored početnih i centralnih momenata o kojima je gore bilo reči, u praksi se ponekad koriste i takozvani apsolutni momenti (početni i centralni), definisani formulama

Očigledno, apsolutni momenti parnih redova poklapaju se sa običnim momentima.

Od apsolutnih momenata najčešće se koristi prvi apsolutni centralni moment.

, (5.7.21)

zove se aritmetička srednja devijacija. Uz disperziju i standardnu ​​devijaciju, aritmetička srednja devijacija se ponekad koristi kao karakteristika disperzije.

Matematičko očekivanje, mod, medijan, početni i centralni momenti i, posebno, varijansa, standardna devijacija, skewness i kurtosis su najčešće korištene numeričke karakteristike slučajnih varijabli. U mnogim praktičnim problemima, potpuna karakterizacija slučajne varijable - zakon raspodjele - ili nije potrebna ili se ne može dobiti. U ovim slučajevima, oni su ograničeni na približan opis slučajne varijable uz pomoć. Numeričke karakteristike, od kojih svaka izražava neko karakteristično svojstvo distribucije.

Vrlo često se numeričke karakteristike koriste za aproksimaciju zamjene jedne distribucije drugom, a obično pokušavaju izvršiti tu zamjenu tako da nekoliko važnih tačaka ostane nepromijenjeno.

Primjer 1. Izvodi se jedan eksperiment, kao rezultat kojeg se može pojaviti ili ne mora pojaviti događaj čija je vjerovatnoća jednaka . Razmatra se slučajna varijabla - broj pojavljivanja događaja (karakteristična slučajna varijabla događaja). Odrediti njegove karakteristike: matematičko očekivanje, varijansu, standardnu ​​devijaciju.

Rješenje. Serija raspodjele količine ima oblik:

gdje je vjerovatnoća da se događaj neće dogoditi.

Prema formuli (5.6.1) nalazimo matematičko očekivanje vrijednosti:

Disperzija vrijednosti određena je formulom (5.7.15):

(Pozivamo čitaoca da dobije isti rezultat izražavanjem varijanse u terminima drugog početnog momenta).

Primjer 2. Tri nezavisna hica se ispaljuju u metu; vjerovatnoća da ćete pogoditi svaki metak je 0,4. slučajna varijabla je broj pogodaka. Odrediti karakteristike veličine - matematičko očekivanje, disperzija, s.c.o., asimetrija.

Rješenje. Serija raspodjele količine ima oblik:

Izračunavamo numeričke karakteristike količine:

Imajte na umu da se iste karakteristike mogu mnogo jednostavnije izračunati korištenjem teorema na numeričke karakteristike funkcije (vidi poglavlje 10).

Definicija.disperzija (raspršenje) Diskretna slučajna varijabla naziva se matematičko očekivanje kvadratnog odstupanja slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja:

Primjer. Za gornji primjer nalazimo

Matematičko očekivanje slučajne varijable je:

Moguće vrijednosti kvadratne devijacije:

; ;

Disperzija je:

Međutim, u praksi je ova metoda izračunavanja varijanse nezgodna, jer dovodi do glomaznih proračuna za veliki broj vrijednosti slučajne varijable. Stoga se koristi druga metoda.

Izračun varijance

Teorema. Varijanca je jednaka razlici između matematičkog očekivanja kvadrata slučajne varijable X i kvadrata njenog matematičkog očekivanja:

Dokaz. Uzimajući u obzir činjenicu da su matematičko očekivanje i kvadrat matematičkog očekivanja konstantne vrijednosti, možemo napisati:

Primijenimo ovu formulu na gornji primjer:

Svojstva disperzije

1) Disperzija konstantna vrijednost jednako nuli:

2) Konstantni faktor se može izvući iz znaka disperzije kvadriranjem:

.

3) Varijanca zbira dvije nezavisne slučajne varijable jednaka je zbroju varijansi ovih varijabli:

4) Varijanca razlike dvije nezavisne slučajne varijable jednaka je zbiru varijansi ovih varijabli:

Valjanost ove jednakosti proizlazi iz svojstva 2.

Teorema. Varijanca broja pojavljivanja događaja A u n nezavisnih pokušaja, u svakom od kojih je vjerovatnoća nastanka događaja konstantna, jednaka je umnošku broja pokušaja sa vjerovatnoćom nastanka i vjerovatnoćom događaja ne pojavljuje u svakom ispitivanju:

Primjer. Fabrika proizvodi 96% proizvoda prvog razreda i 4% proizvoda drugog razreda. 1000 stavki se bira nasumično. Neka X- broj proizvoda prvog razreda u ovom uzorku. Naći zakon raspodjele, matematičko očekivanje i varijansu slučajne varijable.

Dakle, zakon raspodjele se može smatrati binomnim.

Primjer. Pronađite varijansu diskretne slučajne varijable X– broj pojavljivanja događaja ALI u dva nezavisna pokusa, ako su vjerovatnoće pojave ovog događaja u svakom ogledu jednake i poznato je da

Jer slučajna vrijednost X raspoređeno prema binomskom zakonu, dakle

Primjer. Nezavisni testovi se izvode sa istom vjerovatnoćom nastanka događaja ALI u svakom testu. Pronađite vjerovatnoću da se neki događaj dogodi ALI ako je varijansa broja pojavljivanja događaja u tri nezavisna ispitivanja 0,63.

Prema formuli disperzije binomnog zakona dobijamo:

;

Primjer. Testira se uređaj koji se sastoji od četiri uređaja koji nezavisno rade. Vjerojatnosti kvara svakog od uređaja su jednake ; ; . Pronađite matematičko očekivanje i varijansu broja neispravnih uređaja.

Uzimajući broj neispravnih uređaja kao slučajnu varijablu, vidimo da ova slučajna varijabla može poprimiti vrijednosti 0, 1, 2, 3 ili 4.

Da bi se napravio zakon raspodjele za ovu slučajnu varijablu, potrebno je odrediti odgovarajuće vjerovatnoće. Hajde da prihvatimo.

1) Nijedan uređaj nije pokvario:

2) Jedan od uređaja nije uspio.

Matematičko očekivanje pokazuje oko koje tačke su grupisane vrednosti slučajne varijable. Također je neophodno biti u stanju izmjeriti varijabilnost slučajne varijable u odnosu na matematičko očekivanje. Gore navedeno to pokazuje M[(X- a) 2 ] dostiže minimum a at a = M(X). Stoga je prirodno uzeti kao indikator varijabilnosti slučajne varijable upravo M[(X-M(X)) 2].

Definicija 5. Varijanca slučajne varijable X nazvao broj

Uspostavimo niz svojstava disperzije slučajne varijable koja se stalno koriste u vjerovatno-statističkim metodama odlučivanja.

Izjava 8. Neka X- slučajna vrijednost, a i b- neki brojevi Y = sjekira + b. Onda D(Y) = a 2 D(X).

Kao što slijedi iz izjava 3 i 5, M(Y) = aM(X) + b. Shodno tome , D(Y) = M[(Y - M(Y)) 2 ] = M[(sjekira + b - aM(X) - b) 2 ] = M[ a 2 (X - M(X)) 2 ]. Pošto se konstantni faktor može izvaditi iz predznaka zbira, onda M[ a 2 (X - M(X)) 2 ] = a 2 M[(X - M(X)) 2 ] = a 2 D(X).

Izjava 8 pokazuje, posebno, kako se varijansa rezultata posmatranja mijenja sa promjenom referentne tačke i mjerne jedinice. Daje pravilo za transformaciju proračunskih formula u prijelazu na druge vrijednosti parametara pomaka i skale.

Izjava 9. Ako su slučajne varijable X i At su nezavisni, onda varijansa njihovog zbira X+Y jednak je zbiru varijansi: D(X+ Y) = D(X) + D(Y).

Da bismo to dokazali, koristimo identitet

(X + Y - (M (X) + M (Y)) 2 \u003d (X - M (X)) 2

+ 2(X–M(X))(U–M(U)) + (U–M(U)) 2 ,

što slijedi iz poznate formule elementarne algebre (a+ b) 2 = a 2 + 2 ab + b 2 prilikom zamene a = X- M(X) i b = Y- M(Y). Iz iskaza 3 i 5 i definicije varijanse proizlazi da

D(X+ Y) = D(X) + D(Y) + 2 M((X-M(X))(Y-M(Y))).

Prema Propoziciji 6, nezavisnost X i Y implicira nezavisnost X-M(X) i At-M(At). Tvrdnja 7 to implicira

M((X–M(X))(Y–M(Y)))=M(X–M(X))M(U–M(U)).

Zbog M(X–M(X))= 0 (vidi tvrdnju 3), tada je desna strana posljednje jednakosti jednaka 0, odakle, uzimajući u obzir dvije prethodne jednakosti, slijedi zaključak tvrdnje 9.

Izjava 10. Neka X 1 , X 2 ,…, X k su po parovima nezavisne slučajne varijable (tj. X i i Xj su nezavisni ako ). Neka Y k- njihov zbir, Y k = X 1 + X 2 +…+ X k. Tada je matematičko očekivanje sume jednako zbroju matematičkih očekivanja članova, M(Y k) = M(X 1 )+ M(X 2 )+…+M(X k), varijansa sume jednaka je zbiru varijansi termina, D(Y k) = D(X 1 )+ D(X 2 )+…+ D(X k).

Relacije formulisane u tvrdnji 10 su glavne u proučavanju karakteristika uzorka, budući da se rezultati posmatranja ili merenja uključeni u uzorak u matematičkoj statistici, teoriji odlučivanja i ekonometriji obično posmatraju kao realizacije nezavisnih slučajnih varijabli.

Za bilo koji skup numeričkih slučajnih varijabli (ne samo nezavisnih), matematičko očekivanje njihovog zbira jednako je zbiru njihovih matematičkih očekivanja. Ova tvrdnja je generalizacija Propozicije 5. Rigorozni dokaz se lako izvodi metodom matematičke indukcije.

Prilikom izvođenja formule za varijansu D(Y k) koristimo sljedeće svojstvo simbola sumiranja:

Hajde da stavimo a i = X i – M(X i), dobijamo

Koristimo sada činjenicu da je matematičko očekivanje sume jednako zbroju matematičkih očekivanja:

Kao što je prikazano u dokazu tvrdnje 9, iz parove nezavisnosti razmatranih slučajnih varijabli slijedi da je za . Shodno tome, samo uslovi sa i= j, i jednaki su D(X i).

Osnovna svojstva takvih karakteristika slučajnih varijabli kao što su matematičko očekivanje i varijansa dobijena u tvrdnjama 8-10 stalno se koriste u gotovo svim vjerovatno-statističkim modelima realnih pojava i procesa.

Primjer 9 Razmotrite događaj ALI i slučajna varijabla X takav da , ako , i inače, tj. ako . Hajde da to pokažemo M(X) = P(A),D(X) = P(A)( 1 – P(A)).

Koristimo formulu (5) za matematičko očekivanje. Slučajna vrijednost X uzima dvije vrijednosti - 0 i 1, vrijednost 1 sa vjerovatnoćom P(A) i vrijednost 0 sa vjerovatnoćom 1 – P(A), i zbog toga M(X) = 1x P(A) + 0X ( 1- P(A)) = P(A). Slično (X – M(X)) 2 = (1 – P(A)) 2 sa vjerovatnoćom P(A) i (X – M(X)) 2 = (0 – P(A)) 2 sa vjerovatnoćom 1 - P(A), i zbog toga D(A) = ( 1 – P(A)) 2 P(A) + (P(A)) 2 ( 1 – P(A)) . Uzimajući zajednički faktor, dobijamo to D(A) = P(A)( 1 – P(A)).

Primjer 10 Razmislite k nezavisni testovi, u svakom od kojih neki događaj ALI može ili ne mora doći. Uvodimo slučajne varijable X 1 , X 2 ,…, X k kako slijedi: = 1 ako je in i th test događaj ALI se dogodilo, i = 0 u suprotnom. Zatim slučajne varijable X 1 , X 2 ,…, X k su neovisni u parovima (vidi primjer 7). Kao što je prikazano u primjeru 9, M(X i) = str, D(X i) = str( 1 – str) , gdje str = P(A). Ponekad R nazvana "vjerovatnoća uspjeha" - ako se dogodi neki događaj ALI smatra "uspehom".

disperzija (rasipanje) slučajne varijable je matematičko očekivanje kvadratnog odstupanja slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja:

Da biste izračunali varijansu, možete koristiti malo izmijenjenu formulu

jer M(X), 2 i
su konstantne vrijednosti. Na ovaj način,

4.2.2. Svojstva disperzije

Nekretnina 1. Disperzija konstantne vrijednosti je nula. Zaista, po definiciji

Nekretnina 2. Konstantni faktor se može izvući iz znaka disperzije kvadraturom.

Dokaz

Centrirano slučajna varijabla je odstupanje slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja:

Centrirana vrijednost ima dva svojstva koja su pogodna za transformaciju:

Nekretnina 3. Ako su slučajne varijable X i Y nezavisni, dakle

Dokaz. Označite
. Onda.

U drugom terminu, zbog nezavisnosti slučajnih varijabli i svojstava centriranih slučajnih varijabli

Primjer 4.5. Ako a a i b su konstantne, onda D (aX+b)= D(aX)+D(b)=
.

4.2.3. Standardna devijacija

Disperzija, kao karakteristika širenja slučajne varijable, ima jedan nedostatak. ako npr. X– greška mjerenja ima dimenziju MM, tada varijansa ima dimenziju
. Stoga se često preferira korištenje druge karakteristike raspršivanja - standardna devijacija , što je jednako kvadratnom korijenu varijanse

Standardna devijacija ima istu dimenziju kao i sama slučajna varijabla.

Primjer 4.6. Varijanca broja pojavljivanja događaja u šemi nezavisnih ispitivanja

Proizvedeno n nezavisnih ispitivanja i vjerovatnoća da će se događaj dogoditi u svakom ispitivanju je R. Izražavamo, kao i ranije, broj pojavljivanja događaja X kroz broj pojavljivanja događaja u pojedinačnim eksperimentima:

Budući da su eksperimenti nezavisni, slučajne varijable su povezane s eksperimentima nezavisni. I to na osnovu nezavisnosti imamo

Ali svaka od slučajnih varijabli ima zakon distribucije (primjer 3.2)

i
(primjer 4.4). Dakle, po definiciji varijanse:

gdje q=1- str.

Kao rezultat, imamo
,

Standardna devijacija broja pojavljivanja događaja u n nezavisni eksperimenti
.

4.3. Trenuci slučajnih varijabli

Pored već razmatranih, slučajne varijable imaju mnoge druge numeričke karakteristike.

Početni trenutak k X (
) naziva se matematičko očekivanje k th stepen ove slučajne varijable.

Central point k slučajna varijabla -tog reda X se zove očekivanje k th stepen odgovarajuće centrirane veličine.

Lako je vidjeti da je centralni moment prvog reda uvijek jednak nuli, centralni moment drugog reda jednak je disperziji, jer .

Centralni momenat trećeg reda daje ideju o asimetriji distribucije slučajne varijable. Trenuci reda viši od drugog koriste se relativno rijetko, pa ćemo se ograničiti samo na njihove koncepte.

4.4. Primjeri pronalaženja zakona distribucije

Razmotrimo primjere pronalaženja zakona distribucije slučajnih varijabli i njihovih numeričkih karakteristika.

Primjer 4.7.

Sastaviti zakon raspodjele za broj pogodaka u metu sa tri hica u metu, ako je vjerovatnoća pogađanja sa svakim hicem 0,4. Pronađite integralnu funkciju F(X) za rezultujuću distribuciju diskretne slučajne varijable X i nacrtaj njegov graf. Pronađite matematičko očekivanje M(X) , disperzija D(X) i standardnu ​​devijaciju
(X) slučajna varijabla X.

Rješenje

1) Diskretna slučajna varijabla X- broj pogodaka u metu sa tri hica - može imati četiri vrijednosti: 0, 1, 2, 3 . Vjerovatnoću da će prihvatiti svaku od njih nalazimo po Bernoullijevoj formuli za: n=3,str=0,4,q=1- str=0,6 i m=0, 1, 2, 3:

Dobiti vjerovatnoće mogućih vrijednosti X:;

Sastavimo željeni zakon raspodjele slučajne varijable X:

Kontrola: 0,216+0,432+0,288+0,064=1.

Napravimo poligon distribucije dobijene slučajne varijable X. Da biste to učinili, u pravougaonom koordinatnom sistemu označite tačke (0; 0,216), (1; 0,432), (2; 0,288), (3; 0,064). Povežimo ove tačke sa segmentima linija, a rezultirajuća izlomljena linija je željeni poligon distribucije (slika 4.1).

2) Ako je x 0, onda F(X)=0. Zaista, za vrijednosti manje od nule, vrijednost X ne prihvata. Stoga, za sve X0, koristeći definiciju F(X), dobijamo F(X)=P(X< x) =0 (kao vjerovatnoća nemogućeg događaja).

Ako je 0 , onda F(X) =0,216. Zaista, u ovom slučaju F(X)=P(X< x) = =P(- < X 0)+ P(0< X< x) =0,216+0=0,216.

Ako uzmemo npr. X=0,2, dakle F(0,2)=P(X<0,2) . Ali vjerovatnoća događaja X<0,2 равна 0,216, так как случайная величинаX samo u jednom slučaju uzima vrijednost manju od 0,2, tj 0 sa vjerovatnoćom od 0,216.

Ako 1 , onda

stvarno, X može uzeti vrijednost 0 sa vjerovatnoćom od 0,216 i vrijednost 1 s vjerovatnoćom od 0,432; dakle, jedna od ovih vrijednosti, bez obzira na koju, X može prihvatiti (prema teoremi sabiranja vjerovatnoća nespojivih događaja) sa vjerovatnoćom od 0,648.

Ako 2 , onda, argumentirajući slično, dobijamo F(X)=0,216+0,432 + + 0,288=0,936. Zaista, neka npr. X=3. Onda F(3)=P(X<3) izražava vjerovatnoću događaja X<3 – стрелок сделает меньше трех попаданий, т.е. ноль, один или два. Применяя теорему сложения вероятностей, получим указанное значение функцииF(X).

Ako a x>3, onda F(X)=0,216+0,432+0,288+0,064=1. Zaista, događaj X
je pouzdan i njegova vjerovatnoća jednaka je jedan, i X>3 - nemoguće. S obzirom na to

F(X)=P(X< x) =P(X 3) + P(3< X< x) , dobijamo naznačeni rezultat.

Dakle, dobijena je željena funkcija integralne distribucije slučajne varijable X:

F(x) =

čiji je grafikon prikazan na sl. 4.2.

3) Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable jednako je zbroju proizvoda svih mogućih vrijednosti X o njihovim vjerovatnoćama:

M(X)=0=1,2.

Odnosno, u prosjeku ima jedan pogodak u metu sa tri udarca.

Varijanca se može izračunati iz definicije varijanse D(X)= M(X- M(X)) ili koristite formulu D(X)= M(X
, što brže vodi do cilja.

Napišimo zakon raspodjele slučajne varijable X :

Pronađite matematičko očekivanje za X:

M(X ) = 04
= 2,16.

Izračunajmo željenu varijansu:

D(X) = M(X ) – (M(X)) = 2,16 – (1,2)= 0,72.

Srednja kvadratna devijacija se nalazi po formuli

(X) =
= 0,848.

Interval ( M- ; M+ ) = (1,2-0,85; 1,2+0,85) = (0,35; 2,05) - interval najvjerovatnijih vrijednosti slučajne varijable X, vrijednosti 1 i 2 padaju u njega.

Primjer 4.8.

Zadana je funkcija diferencijalne distribucije (funkcija gustine) kontinuirane slučajne varijable X:

f(x) =

1) Definirajte konstantni parametar a.

2) Naći integralnu funkciju F(x) .

3) Iscrtajte grafove funkcija f(x) i F(x) .

4) Pronađite dva načina vjerovatnoća P(0.5< X 1,5) i P(1,5< X<3,5) .

5). Pronađite matematičko očekivanje M(X), disperzija D(X) i standardnu ​​devijaciju
slučajna varijabla X.

Rješenje

1) Diferencijalna funkcija po svojstvu f(x) mora zadovoljiti uslov
.

Izračunajmo ovaj nepravilni integral za datu funkciju f(x) :

Zamjenom ovog rezultata u lijevu stranu jednakosti, dobijamo to a=1. U stanju za f(x) promijenite parametar a na 1:

2) Pronaći F(x) koristite formulu

.

Ako je x
, onda
, Shodno tome,

Ako 1
onda

Ako je x>2 onda

Dakle, željena integralna funkcija F(x) izgleda kao:

3) Napravimo grafove funkcija f(x) i F(x) (sl. 4.3 i 4.4).

4) Vjerovatnoća pogađanja slučajne varijable u datom intervalu (a,b) izračunato po formuli
, ako je funkcija poznata f(x), i po formuli P(a < X < b) = F(b) – F(a), ako je funkcija poznata F(x).

Hajde da nađemo
koristeći dvije formule i uporedite rezultate. Po uslovu a=0,5;b=1,5; funkcija f(X) navedeno u stavu 1). Dakle, željena vjerovatnoća prema formuli je:

Ista vjerovatnoća se može izračunati po formuli b) kroz prirast dobijen u stavu 2). integralna funkcija F(x) na ovom intervalu:

Jer F(0,5)=0.

Slično, nalazimo

jer F(3,5)=1.

5) Pronaći matematičko očekivanje M(X) koristite formulu
Funkcija f(x) dat u odluci iz stava 1.), van intervala (1,2] jednaka je nuli:

Disperzija kontinuirane slučajne varijable D(X) definisana je jednakošću

, ili ekvivalentna jednakost

.

Za nalaz D(X) koristimo posljednju formulu i uzimamo u obzir da su sve moguće vrijednosti f(x) pripadaju intervalu (1,2]:

Standardna devijacija
=
=0,276.

Interval najvjerovatnijih vrijednosti slučajne varijable X jednaki

(M-
,M+
) = (1,58-0,28; 1,58+0,28) = (1,3; 1,86).

Matematičko očekivanje pokazuje oko koje numeričke mjere su grupisane vrijednosti slučajne varijable. Međutim, također je potrebno biti u stanju izmjeriti varijabilnost (varijabilnost) slučajne varijable u odnosu na matematičko očekivanje. Takav indikator varijabilnosti je matematičko očekivanje kvadrata razlike između slučajne varijable i njenog matematičkog očekivanja, odnosno M [(X - M [X]) 2].

Definicija. varijansa slučajne varijable x je broj 14 DX] = M [(XM [X]) 2], (3.30)

ili DX] = ±f(x t) o(*,-M[X]) 2.

Na slici 3.26 prikazane su formule za izračunavanje distribucije - statistička vjerovatnoća fx;) - kao i indikatori: matematičko očekivanje M [X](ćelija E9) i varijansa D [X] (ćelija G9).

14 Predlažemo da uporedimo ovu definiciju sa definicijom varijanse uzorka

Rice. 3.26. Formule za izračunavanje m [x] i 0 [X] Tabela na slici 3.27 prikazuje rezultate izračunavanja matematičkog očekivanja m [x] i disperzija 0 [X] prema primjeru 3.14, kao i histogram distribucije m [x]= 4,00 (ćelija E9) i varijansa 0 [X] = 1,00 (ćelija B9).

Matematičko očekivanje pokazuje da je vrijednost slučajne varijable x grupisane oko vrijednosti 4,00, čiji je broj 50% od ukupnog broja. Međutim, drugi podaci se mogu grupirati oko iste vrijednosti.

Rice. 3.27. Tabela i histogram distribucije sa A / [X] = 4,00 i £> [X] = 1,00

Sa slike 3.28 se može vidjeti da je za matematičko očekivanje [x] = 4,00 disperzija £> [X] = 2,32 dvostruko veća nego prema podacima na slici 3.28. 3.27. Odgovarajući histogram takođe ukazuje na značajnu varijabilnost.

Rice. 3.28. Tabela i histogram distribucije sa M[X]=4,00 i £>[X]=2,32

Predlažemo da uporedimo tabele i grafikone na Sl. 3.27 i 3.28 i izvući zaključke. Svojstva disperzija slučajne varijable koje se stalno koriste u probabilističkim statističkim metodama:

o ako x- slučajna varijabla, a i b - neki brojevi, B = ax + b, onda

D= a 2 D[X] (3.31)

(to znači da broj a kao parametar skale značajno utiče na varijansu, dok broj b - parametar pomaka ne utiče na vrednost varijanse);

o ako su X 1, X 2, X n po paru nezavisne slučajne varijable (to jest, X t i X su nezavisni za i F j), tada je varijansa sume jednaka zbroju varijansi

D = D + D + ... + D . (3.32)

Odnos između očekivanja (3.25) i varijanse (3.32) važan je u proučavanju svojstava uzorka, budući da se rezultati posmatranja ili mjerenja uzorka razmatraju u matematičke statistike, kao realizacije nezavisnih slučajnih varijabli.

Drugi indikator varijabilnosti usko je povezan sa varijansom slučajne varijable - standardnom devijacijom.

Definicija. Standardna devijacija slučajne varijable x je integralni broj

SD [X]= +VD[X]. (3.33)

dakle, standardna devijacija jasno povezana sa disperzijom.

U teoriji i praksi statističkih istraživanja važnu ulogu imaju i specijalne funkcije - takozvani momenti (početni i centralni), koji su karakteristike slučajnih varijabli.

Definicija. Početni trenutak k-tog reda slučajne varijable x matematičko očekivanje k-te snage ove veličine naziva se:

~ K= M. 15 (3.34)

Definicija. Centralni moment k-tog reda slučajne varijable x naziva se matematičko očekivanje k-tog stepena odstupanja ove vrijednosti x od njenog matematičkog očekivanja:

m = m k, gdje je a = M[X].

Za označavanje trenutka slučajnih varijabli koristimo ista slova kao i za trenutak varijacione serije, ali sa dodatnim znakom ~ ("tilda").

Formule za izračunavanje diskretnih momenata (koji uzimaju vrijednosti X i sa vjerovatnoćom p) i kontinuirani (sa gustinom vjerovatnoće / x)) slučajni

vrijednosti su date u tabeli. 3.4.

Tabela 3.4

Formule za izračunavanje momenata slučajnih varijabli

Što se tiče varijacionih nizova, momenti diskretnih slučajnih varijabli imaju slično značenje:

Prvi početni trenutak(¿= 1) slučajna varijabla Heh ona matematičko očekivanje:

~ 1 = M [X] = s. (3.36)

Drugi centralni momenat(¿= 2) određuje varijansu 0 [X] slučajne varijable x:

W d(chi - a) 2 g. u \u003d TsH] \u003d (T 2. (3.37)

Treći centralni trenutak(¿= 3) karakterizira asimetriju distribucije slučajne varijable x:

P

Koeficijent asimetrije a distribucija slučajne varijable x ima oblik:

G \u003d ~ X (chi "a) 3 R i = A. (3.38)

Četvrti centralni trenutak(¿= 4) karakteriše strminu distribucije slučajne varijable.

Na osnovu poređenja vrijednosti teorijskih i uzoraka momenata, procjenjuju se parametri distribucije slučajnih varijabli (vidi, na primjer, odjeljke 4 i 5).

Kao što je gore navedeno, u matematičkoj statistici se koriste dvije paralelne linije indikatora: prva se odnosi na praksu (ovo su pokazatelji uzorka), druga je zasnovana na teoriji (ovo su indikatori vjerovatnog modela). Odnos ovih pokazatelja prikazan je u tabeli. 3.5.

Tabela 3.5

Korelacija između indikatora empirijskog uzorka i vjerovatnostnog modela

Tabela 3.5 se nastavlja

Dakle, svrha deskriptivne statistike je da transformiše skup uzoraka empirijskih podataka u sistem indikatora - takozvanu statistiku koja se odnosi na objekte iz stvarnog života. Dakle, psiholozi, nastavnici i drugi stručnjaci rade u realnoj sferi, čiji su objekti pojedinci, grupe pojedinaca, timovi, čije su karakteristike empirijski pokazatelji. Međutim, osnovni cilj studija je sticanje novih znanja, a znanje postoji u idealnom obliku u vidu karakteristika teorijskih modela. Ovo postavlja problem ispravnog prelaska sa empirijskih pokazatelja stvarnih objekata na indikatore teorijskog modela. Ova tranzicija zahtijeva analizu kako općih metodoloških pristupa tako i rigoroznih matematičkih osnova. Temeljnu mogućnost ovdje otvara zakon velikih brojeva, čiju su teorijsku potkrepu pružili Jacob Bernoulli (1654-1705), Pafnuty Lvovich Chebyshev (1821-1894) i drugi matematičari 19. vijeka.

Pitanje. Zadatak.

1. Proširite koncept slučajne varijable.

2. Koja je razlika između diskretnih i kontinuiranih slučajnih varijabli?

3. Od kojih elemenata se sastoji prostor vjerovatnoće?

4. Kako izgraditi distribuciju diskretne slučajne varijable?

5. Kako su povezane funkcija gustoće A (x) i funkcija distribucije B (x)?

6. Dajte geometrijsku interpretaciju integrala B(co) = | L(x) cx = 1.