7-sinf matematika kursida ular birinchi navbatda uchrashadilar ikki o'zgaruvchili tenglamalar, lekin ular faqat ikkita noma’lumli tenglamalar sistemasi kontekstida o‘rganiladi. Shuning uchun ham bir qator muammolar ko'zdan chetda qoladi, ularda ularni cheklovchi tenglama koeffitsientlari bo'yicha ma'lum shartlar kiritiladi. Bundan tashqari, "Natural yoki butun sonlardagi tenglamani yechish" kabi muammolarni hal qilish usullari ham e'tiborga olinmaydi, garchi bunday muammolar USE materiallarida va kirish imtihonlarida ko'proq uchraydi.

Qaysi tenglama ikki o‘zgaruvchili tenglama deb ataladi?

Demak, masalan, 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 yoki xy = 12 tenglamalari ikki o'zgaruvchili tenglamalardir.

2x - y = 1 tenglamasini ko'rib chiqing. U x = 2 va y = 3 da haqiqiy tenglikka aylanadi, shuning uchun bu o'zgaruvchan qiymatlar juftligi ko'rib chiqilayotgan tenglamaning yechimidir.

Shunday qilib, ikkita o'zgaruvchiga ega bo'lgan har qanday tenglamaning yechimi tartiblangan juftliklar to'plamidir (x; y), bu tenglama haqiqiy sonli tenglikka aylanadigan o'zgaruvchilarning qiymatlari.

Ikki noma'lumli tenglama quyidagicha bo'lishi mumkin:

A) bitta yechim bor. Masalan, x 2 + 5y 2 = 0 tenglama yagona yechimga ega (0; 0);

b) bir nechta echimlarga ega. Masalan, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 ning 4 ta yechimi bor: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

V) yechimlari yo'q. Masalan, x 2 + y 2 + 1 = 0 tenglamaning yechimlari yo'q;

G) cheksiz ko'p echimlarga ega. Masalan, x + y = 3. Bu tenglamaning yechimlari yig'indisi 3 ga teng bo'lgan sonlar bo'ladi. Bu tenglamaning yechimlari to'plamini (k; 3 - k) shaklida yozish mumkin, bu erda k har qanday haqiqiy sondir.

Ikki o'zgaruvchili tenglamalarni yechishning asosiy usullari - faktoring ifodalariga asoslangan usullar, to'liq kvadratni ajratib ko'rsatish, kvadrat tenglamaning xususiyatlaridan foydalanish, chegaralangan ifodalar va baholash usullari. Tenglama, qoida tariqasida, noma'lumlarni topish tizimini olish mumkin bo'lgan shaklga aylantiriladi.

Faktorizatsiya

1-misol

Tenglamani yeching: xy - 2 = 2x - y.

Yechim.

Faktoring maqsadlari uchun shartlarni guruhlaymiz:

(xy + y) - (2x + 2) = 0. Har bir qavsdan umumiy omilni chiqaring:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y - 2) = 0. Bizda:

y = 2, x har qanday haqiqiy son yoki x = -1, y har qanday haqiqiy son.

Shunday qilib, javob (x; 2), x € R va (-1; y), y € R shaklidagi barcha juftliklardir.

Manfiy bo'lmagan sonlarning nolga tengligi

2-misol

Tenglamani yeching: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Yechim.

Guruhlash:

(9x 2 - 12x + 4) + (4y 2 - 12y + 9) = 0. Endi har bir qavsni kvadratlar ayirmasi formulasi yordamida yig'ish mumkin.

(3x - 2) 2 + (2y - 3) 2 = 0.

Ikki manfiy bo'lmagan ifodaning yig'indisi faqat 3x - 2 = 0 va 2y - 3 = 0 bo'lganda nolga teng.

Shunday qilib, x = 2/3 va y = 3/2.

Javob: (2/3; 3/2).

Baholash usuli

3-misol

Tenglamani yeching: (x 2 + 2x + 2) (y 2 - 4y + 6) = 2.

Yechim.

Har bir qavs ichida to'liq kvadratni tanlang:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Baholash qavs ichidagi iboralarning ma'nosi.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 va (y - 2) 2 + 2 ≥ 2, u holda tenglamaning chap tomoni har doim kamida 2 bo'ladi. Tenglik mumkin, agar:

(x + 1) 2 + 1 = 1 va (y - 2) 2 + 2 = 2, shuning uchun x = -1, y = 2.

Javob: (-1; 2).

Ikkinchi darajali ikkita o'zgaruvchili tenglamalarni yechishning yana bir usuli bilan tanishamiz. Bu usul tenglama sifatida qaraladi ba'zi o'zgaruvchilarga nisbatan kvadrat.

4-misol

Tenglamani yeching: x 2 - 6x + y - 4√y + 13 = 0.

Yechim.

Tenglamani x ga nisbatan kvadratik qilib yechamiz. Diskriminantni topamiz:

D = 36 - 4(y - 4√y + 13) = -4y + 16√y - 16 = -4(√y - 2) 2 . Tenglama faqat D = 0 bo'lganda, ya'ni y = 4 bo'lganda yechimga ega bo'ladi. Dastlabki tenglamaga y ning qiymatini almashtiramiz va x = 3 ekanligini topamiz.

Javob: (3; 4).

Ko'pincha ikkita noma'lum tenglamalarda ko'rsatiladi o'zgaruvchilarga cheklovlar.

5-misol

Tenglamani butun sonlarda yeching: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Yechim.

Tenglamani x 2 = -5y 2 + 20x + 2 ko'rinishida qayta yozamiz. Hosil bo'lgan tenglamaning o'ng tomoni 5 ga bo'linganda 2 qoldiqni beradi. Demak, x 2 5 ga bo'linmaydi. Lekin kvadrat 5 ga bo'linmaydigan sonning 1 yoki 4 qoldig'ini beradi. Shunday qilib, tenglik mumkin emas va hech qanday yechim yo'q.

Javob: ildiz yo'q.

6-misol

Tenglamani yeching: (x 2 - 4|x| + 5) (y 2 + 6y + 12) = 3.

Yechim.

Keling, har bir qavsdagi to'liq kvadratlarni tanlaymiz:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Tenglamaning chap tomoni har doim 3 dan katta yoki teng. Tenglik mumkin, agar |x| – 2 = 0 va y + 3 = 0. Shunday qilib, x = ± 2, y = -3.

Javob: (2; -3) va (-2; -3).

7-misol

Tenglamani qanoatlantiruvchi manfiy butun sonlar juftligi (x; y) uchun
x 2 - 2xy + 2y 2 + 4y = 33, yig'indini hisoblang (x + y). Eng kichik miqdorga javob bering.

Yechim.

To'liq kvadratlarni tanlang:

(x 2 - 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x - y) 2 + (y + 2) 2 = 37. X va y butun sonlar bo'lgani uchun ularning kvadratlari ham butun sonlardir. Ikkita butun sonning kvadratlari yig'indisi 37 ga teng, agar biz 1 + 36 ni qo'shsak, olamiz. Shuning uchun:

(x - y) 2 = 36 va (y + 2) 2 = 1

(x - y) 2 = 1 va (y + 2) 2 = 36.

Bu sistemalarni yechib, x va y manfiy ekanligini hisobga olib, yechimlarni topamiz: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Javob: -17.

Ikki noma'lumli tenglamalarni echishda qiyinchiliklarga duch kelsangiz, umidsizlikka tushmang. Bir oz mashq qilsangiz, har qanday tenglamani o'zlashtira olasiz.

Savollaringiz bormi? Ikki o'zgaruvchili tenglamalarni qanday yechish kerakligini bilmayapsizmi?
Repetitor yordamini olish uchun - ro'yxatdan o'ting.
Birinchi dars bepul!

sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalash bilan, manbaga havola talab qilinadi.

Bitta noma'lum tenglama, qavslarni ochib, o'xshash hadlarni qisqartirgandan so'ng, shaklni oladi

ax + b = 0, bu erda a va b ixtiyoriy sonlar deyiladi chiziqli tenglama noma'lum biri bilan. Bugun biz ushbu chiziqli tenglamalarni qanday hal qilishni aniqlaymiz.

Masalan, barcha tenglamalar:

2x + 3 \u003d 7 - 0,5x; 0,3x = 0; x / 2 + 3 \u003d 1/2 (x - 2) - chiziqli.

Tenglamani haqiqiy tenglikka aylantiruvchi noma'lumning qiymati deyiladi qaror yoki tenglamaning ildizi .

Masalan, agar 3x + 7 \u003d 13 tenglamasida noma'lum x o'rniga 2 raqamini almashtirsak, biz to'g'ri tenglikni olamiz 3 2 + 7 \u003d 13. Demak, x \u003d 2 qiymati yechim yoki tenglamaning ildizi.

Va x \u003d 3 qiymati 3x + 7 \u003d 13 tenglamasini haqiqiy tenglikka aylantirmaydi, chunki 3 2 + 7 ≠ 13. Shuning uchun x \u003d 3 qiymati tenglamaning yechimi yoki ildizi emas.

Har qanday chiziqli tenglamalarning yechimi ko'rinishdagi tenglamalar yechimiga keltiriladi

ax + b = 0.

Biz erkin atamani tenglamaning chap tomonidan o'ngga o'tkazamiz, b oldidagi belgini teskari tomonga o'zgartiramiz.

Agar a ≠ 0 bo'lsa, u holda x = - b/a .

1-misol 3x + 2 =11 tenglamani yeching.

Biz 2 ni tenglamaning chap tomonidan o'ng tomonga o'tkazamiz, 2 ning oldidagi belgini teskari tomonga o'zgartiramiz.
3x \u003d 11 - 2.

Keling, ayirish amalini bajaramiz
3x = 9.

X ni topish uchun mahsulotni ma'lum koeffitsientga bo'lish kerak, ya'ni
x = 9:3.

Demak, x = 3 qiymati tenglamaning yechimi yoki ildizidir.

Javob: x = 3.

Agar a = 0 va b = 0 bo'lsa, keyin biz 0x \u003d 0 tenglamasini olamiz. Bu tenglamaning cheksiz ko'p echimlari bor, chunki har qanday sonni 0 ga ko'paytirishda biz 0 ni olamiz, lekin b ham 0 bo'ladi. Bu tenglamaning yechimi har qanday raqam.

2-misol 5(x - 3) + 2 = 3 (x - 4) + 2x - 1 tenglamani yeching.

Qavslarni kengaytiramiz:
5x - 15 + 2 \u003d 3x - 12 + 2x - 1.

5x - 3x - 2x \u003d - 12 - 1 + 15 - 2.

Mana shunga o'xshash a'zolar:
0x = 0.

Javob: x har qanday raqam.

Agar a = 0 va b ≠ 0 bo'lsa, keyin 0x = - b tenglamani olamiz. Bu tenglamaning yechimi yo'q, chunki har qanday sonni 0 ga ko'paytirishda biz 0 ni olamiz, lekin b ≠ 0.

3-misol x + 8 = x + 5 tenglamasini yeching.

Keling, chap tomonda noma'lumlarni o'z ichiga olgan atamalarni va o'ngda - bepul shartlarni guruhlaymiz:
x - x \u003d 5 - 8.

Mana shunga o'xshash a'zolar:
0x = - 3.

Javob: yechim yo'q.

Yoniq 1-rasm chiziqli tenglamani yechish sxemasi ko'rsatilgan

Bitta o‘zgaruvchili tenglamalarni yechishning umumiy sxemasini tuzamiz. 4-misolning yechimini ko'rib chiqing.

4-misol Keling, tenglamani yechamiz

1) Tenglamaning barcha aʼzolarini maxrajlarning eng kichik umumiy karrali 12 ga koʻpaytiring.

2) Qisqartirilgandan keyin biz olamiz
4 (x - 4) + 3 2 (x + 1) - 12 = 6 5 (x - 3) + 24x - 2 (11x + 43)

3) Noma'lum va erkin a'zolarni o'z ichiga olgan a'zolarni ajratish uchun qavslarni oching:
4x - 16 + 6x + 6 - 12 \u003d 30x - 90 + 24x - 22x - 86.

4) Biz bir qismda noma'lumlarni o'z ichiga olgan atamalarni, ikkinchisida esa erkin atamalarni guruhlaymiz:
4x + 6x - 30x - 24x + 22x \u003d - 90 - 86 + 16 - 6 + 12.

5) Mana o'xshash a'zolar:
- 22x = - 154.

6) ga bo'linadi - 22 , Biz olamiz
x = 7.

Ko'rib turganingizdek, tenglamaning ildizi etti.

Umuman olganda, bunday tenglamalarni quyidagicha yechish mumkin:

a) tenglamani butun son ko'rinishga keltiring;

b) ochiq qavslar;

v) tenglamaning bir qismida noma’lum, ikkinchi qismida erkin hadlarni o‘z ichiga olgan hadlarni guruhlash;

d) o'xshash a'zolarni olib kelish;

e) o'xshash hadlarni keltirgandan keyin olingan ah = b ko'rinishdagi tenglamani yeching.

Biroq, bu sxema har bir tenglama uchun talab qilinmaydi. Ko'p oddiy tenglamalarni yechishda birinchisidan emas, ikkinchisidan boshlash kerak ( Misol. 2), uchinchi ( Misol. 13) va hatto beshinchi bosqichdan boshlab, 5-misolda bo'lgani kabi.

5-misol 2x = 1/4 tenglamani yeching.

Biz noma'lum x \u003d 1/4: 2 ni topamiz,
x = 1/8 .

Asosiy davlat imtihonida uchraydigan ba'zi chiziqli tenglamalarning yechimini ko'rib chiqing.

6-misol 2 (x + 3) = 5 - 6x tenglamani yeching.

2x + 6 = 5 - 6x

2x + 6x = 5 - 6

Javob: - 0,125

7-misol Tenglamani yeching - 6 (5 - 3x) \u003d 8x - 7.

– 30 + 18x = 8x – 7

18x - 8x = - 7 +30

Javob: 2.3

8-misol Tenglamani yeching

3(3x - 4) = 4 7x + 24

9x - 12 = 28x + 24

9x - 28x = 24 + 12

9-misol f (x + 2) = 3 7 bo'lsa, f(6) ni toping

Yechim

Biz f (6) ni topishimiz kerak va biz f (x + 2) ni bilamiz,
keyin x + 2 = 6.

Biz x + 2 = 6 chiziqli tenglamani yechamiz,
biz x \u003d 6 - 2, x \u003d 4 ni olamiz.

Agar x = 4 bo'lsa
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

Javob: 27.

Agar sizda hali ham savollaringiz bo'lsa, tenglamalarni echish bilan yanada chuqurroq shug'ullanish istagi bor, mening darslarim uchun JAVVALda ro'yxatdan o'ting. Men sizga yordam berishdan xursand bo'laman!

TutorOnline shuningdek, o'qituvchimiz Olga Aleksandrovnadan chiziqli tenglamalarni va boshqalarni tushunishga yordam beradigan yangi video darsini tomosha qilishni tavsiya qiladi.

sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalash bilan, manbaga havola talab qilinadi.

1. Tizimni almashtirish usuli bilan yechish.
2. Tizim tenglamalarini haddan-o'zga qo'shish (ayirish) yo'li bilan tizimni yechish.

Tenglamalar sistemasini yechish uchun almashtirish usuli Siz oddiy algoritmga amal qilishingiz kerak:
1. Biz ifodalaymiz. Har qanday tenglamadan biz bitta o'zgaruvchini ifodalaymiz.
2. O‘rinbosar. Biz boshqa tenglamada ifodalangan o'zgaruvchining o'rniga, natijada olingan qiymatni almashtiramiz.
3. Olingan tenglamani bitta o‘zgaruvchi bilan yechamiz. Biz tizimga yechim topamiz.

Yechish uchun Atama bo‘yicha qo‘shish (ayirish) tizimi kerak:
1. Biz bir xil koeffitsientlarni yaratadigan o'zgaruvchini tanlang.
2. Tenglamalarni qo'shamiz yoki ayitamiz, natijada bitta o'zgaruvchiga ega bo'lgan tenglamani olamiz.
3. Olingan chiziqli tenglamani yechamiz. Biz tizimga yechim topamiz.

Sistemaning yechimi funksiya grafiklarining kesishish nuqtalaridir.

Keling, misollar yordamida tizimlarning yechimini batafsil ko'rib chiqaylik.

1-misol:

Keling, almashtirish usuli bilan hal qilaylik

2x+5y=1 (1 tenglama)
x-10y=3 (2-tenglama)

1. Ekspress
Ko'rinib turibdiki, ikkinchi tenglamada koeffitsienti 1 bo'lgan x o'zgaruvchisi mavjud, shuning uchun ikkinchi tenglamadan x o'zgaruvchisini ifodalash eng oson ekanligi ma'lum bo'ladi.
x=3+10y

2. Ifoda qilgandan keyin birinchi tenglamada x o'zgaruvchisi o'rniga 3 + 10y ni qo'yamiz.
2(3+10y)+5y=1

3. Olingan tenglamani bitta o‘zgaruvchi bilan yechamiz.
2(3+10y)+5y=1 (ochiq qavslar)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Tenglamalar sistemasining yechimi grafiklarning kesishish nuqtalari, shuning uchun biz x va y ni topishimiz kerak, chunki kesishish nuqtasi x va y dan iborat.X ni topamiz, biz ifodalagan birinchi xatboshida u erda y ni almashtiramiz.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Birinchi navbatda nuqtalarni yozish odat tusiga kirgan, biz x o'zgaruvchisini, ikkinchi o'ringa esa y o'zgaruvchisini yozamiz.
Javob: (1; -0,2)

2-misol:

Hujjatga qo‘shish (ayirish) yo‘li bilan yechamiz.

3x-2y=1 (1 tenglama)
2x-3y=-10 (2-tenglama)

1. O‘zgaruvchini tanlang, deylik, x ni tanlaymiz. Birinchi tenglamada x o'zgaruvchisi 3 koeffitsientiga ega, ikkinchisida - 2. Biz koeffitsientlarni bir xil qilishimiz kerak, buning uchun biz tenglamalarni ko'paytirish yoki istalgan songa bo'lish huquqiga egamiz. Birinchi tenglamani 2 ga, ikkinchisini esa 3 ga ko'paytiramiz va umumiy koeffitsient 6 ga teng bo'ladi.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Birinchi tenglamadan ikkinchisini ayirib, x o‘zgaruvchidan xalos bo‘ling.Chiziqli tenglamani yeching.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6,4

3. X ni toping. Topilgan y ni istalgan tenglamada, aytaylik, birinchi tenglamada almashtiramiz.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Kesishish nuqtasi x=4,6 bo'ladi; y=6,4
Javob: (4,6; 6,4)

Imtihonlarga tekin tayyorlanmoqchimisiz? Onlayn o'qituvchi tekinga. Bexazil.