Ratsional sonni m / n o'nli kasr sifatida yozish uchun siz hisoblagichni maxrajga bo'lishingiz kerak. Bunday holda, qism chekli yoki cheksiz o'nli kasr sifatida yoziladi.

Berilgan sonni kasr shaklida yozing.

Yechim. Har bir kasrning sonini uning maxrajiga bo'ling: A) 6 ni 25 ga bo'lish; b) 2 ni 3 ga bo'lish; V) 1 ni 2 ga bo'ling, so'ngra olingan kasrni birlikka qo'shing - bu aralash raqamning butun qismi.

Makrajlarida tub bo‘luvchilardan boshqa bo‘luvchilar bo‘lmagan kamaytirilmaydigan oddiy kasrlar. 2 Va 5 , oxirgi o'nlik kasr sifatida yoziladi.

IN misol 1 qachon A) maxraj 25=5 5; qachon V) maxraj 2 ga teng, shuning uchun biz oxirgi o'nli kasrlarni 0,24 va 1,5 ga oldik. Qachon b) maxraj 3 ga teng, shuning uchun natijani yakuniy o'nli kasr sifatida yozib bo'lmaydi.

Bunday oddiy kasrni ustunga bo'lmasdan, maxrajida 2 va 5 dan boshqa bo'luvchilar bo'lmagan o'nli kasrga aylantirish mumkinmi? Keling, buni aniqlaylik! Qanday kasr kasr deyiladi va kasr qatorsiz yoziladi? Javob: maxraji 10 ga teng kasr; 100; 1000 va boshqalar. Va bu raqamlarning har biri mahsulotdir teng ikki va beshlar soni. Aslida: 10=2 5 ; 100=2 5 2 5; 1000=2 5 2 5 2 5 va hokazo.

Shuning uchun, kamaytirilmaydigan oddiy kasrning maxrajini ikki va beshlik ko'paytmasi sifatida ko'rsatish kerak bo'ladi, so'ngra ikki va beshlik teng bo'lishi uchun 2 va (yoki) 5 ga ko'paytiriladi. Keyin kasrning maxraji 10 yoki 100 yoki 1000 ga teng bo'ladi va hokazo. Kasrning qiymati o'zgarmasligi uchun biz kasrning payini maxraj ko'paytirilgan songa ko'paytiramiz.

Quyidagi kasrlarni kasr shaklida ifodalang:

Yechim. Bu kasrlarning har biri kamaytirilmaydi. Keling, har bir kasrning maxrajini tub omillarga ajratamiz.

20=2 2 5. Xulosa: bitta "besh" etishmayapti.

8=2 2 2. Xulosa: uchta "besh" etarli emas.

25=5 5. Xulosa: ikkita "ikki" etishmayapti.

Izoh. Amalda ular ko'pincha maxrajni faktorizatsiya qilishdan foydalanmaydilar, shunchaki savol berishadi: natijada nol (10 yoki 100 yoki 1000 va boshqalar) bo'lgan birlik paydo bo'lishi uchun maxrajni qanchaga ko'paytirish kerak. Va keyin numerator bir xil raqamga ko'paytiriladi.

Shunday qilib, har holda A)(2-misol) 20 raqamidan siz 5 ga ko'paytirish orqali 100 ni olishingiz mumkin, shuning uchun siz pay va maxrajni 5 ga ko'paytirishingiz kerak.

Qachon b)(2-misol) 8 raqamidan 100 soni ishlamaydi, lekin 1000 soni 125 ga ko'paytirilsa olinadi. Kasrning soni (3) ham, maxraji (8) ham 125 ga ko'paytiriladi.

Qachon V)(2-misol) 25 dan 4 ga ko'paytirilganda 100 ni olasiz. Bu 8 raqamni ham 4 ga ko'paytirish kerakligini anglatadi.

Bir yoki bir nechta raqamlar bir xil ketma-ketlikda takrorlanadigan cheksiz o'nli kasr deyiladi. davriy nashr o'nlik kasr. Qayta takrorlanuvchi raqamlar to'plami bu kasrning davri deb ataladi. Qisqartirish uchun kasr davri bir marta yoziladi, uni qavs ichiga oladi.

Qachon b)(misol 1 ) takrorlangan raqam bitta va 6 ga teng. Shuning uchun 0,66... ​​natijamiz quyidagicha yoziladi: 0,(6) . Ular o'qiydilar: nol butun sonlar, davrda oltita.

Agar vergul va birinchi davr orasida bir yoki bir nechta takrorlanmaydigan raqamlar bo'lsa, unda bunday davriy kasr aralash davriy kasr deyiladi.

maxraji bo'lgan kamaytirilmaydigan oddiy kasr boshqalar bilan birga multiplikator multiplikatorni o'z ichiga oladi 2 yoki 5 , bo'ladi aralashgan davriy kasr.

Raqamni kasr shaklida yozing.

Masalan.$\frac(3)(10), 4 \frac(7)(100), \frac(11)(10000)$

Bunday kasrlar odatda maxrajsiz yoziladi va har bir raqamning qiymati uning turgan joyiga bog'liq. Bunday kasrlar uchun butun qism vergul bilan ajratiladi va verguldan keyin oddiy kasrning maxrajida qancha nol bo'lsa, shuncha raqam bo'lishi kerak. Kasr raqamlari kasrlar deyiladi.

Masalan.$\frac(21)(100)=0,21; 3 \frac(21)(100)=$3,21

O'nli kasrdan keyingi birinchi kasr o'ndan birlarga, ikkinchisi yuzliklarga, uchinchisi mingdan birlarga va hokazolarga to'g'ri keladi.

Agar o'nli kasrning maxrajidagi nollar soni bir xil kasrning numeratoridagi raqamlar sonidan ko'p bo'lsa, o'nli kasrdan keyin raqam raqamlari oldiga kerakli nol soni qo'shiladi.

Maxrajda to‘rtta nol, hisoblagichda esa ikkita raqam bo‘lgani uchun o‘nli kasr belgisida pay oldidan $4-2=2$ nol qo‘shamiz.

O'nli kasrning asosiy xossasi

Mulk

Agar o'ngdagi o'nli kasrga bir nechta nol qo'shsangiz, o'nli kasrning qiymati o'zgarmaydi.

Masalan.$12.034=12.0340=12.03400=12.034000=\ldots$

Izoh

Shunday qilib, o'nlik kasr oxiridagi nollar hisobga olinmaydi, shuning uchun turli harakatlarni bajarishda bu nollarni kesib tashlash / tashlash mumkin.

O'nlik sanoqli taqqoslash

Ikki o'nli kasrni solishtirish uchun (ikki o'nlikdan qaysi biri katta ekanligini bilish uchun) ularning butun qismlarini, keyin o'ndan, yuzdan va hokazolarni solishtirish kerak. Agar kasrlardan birining butun qismi boshqa kasrning butun qismidan katta bo'lsa, birinchi kasr kattaroq hisoblanadi. Butun qismlar teng bo'lganda, o'ndan ko'p bo'lgan kasr kattaroqdir va hokazo.

Misol

Mashq qilish. Kasrlarni solishtiring $2,432$ ; $2,41 va $1,234

Yechim.$1,234$ kasr eng kichikdir, chunki uning butun qismi 1 va $1

Keling, $2,432$ va $1,234$ kasrlarini o'lchamlari bilan solishtiramiz. Ularning butun qismlari bir-biriga teng va 2 ga teng. O'ndan birlarni solishtiring: $4=4$ . Yuzliklarni solishtiring: $3>1$ . Shunday qilib, $2.432>2.41$.

Arifmetikada topilgan ko'plab kasrlardan maxrajida 10, 100, 1000 bo'lganlar alohida e'tiborga loyiqdir - umuman olganda, o'nning istalgan darajasi. Bu kasrlar maxsus nom va belgiga ega.

O'nlik - maxraji o'nning darajasi bo'lgan har qanday son.

O'nlik misollar:

Nima uchun bunday fraksiyalarni umuman ajratib olish kerak edi? Nima uchun ularga o'zlarining kirish shakli kerak? Buning kamida uchta sababi bor:

1. O'nlik kasrlarni solishtirish ancha oson. Esingizda bo'lsin: oddiy kasrlarni solishtirish uchun ularni bir-biridan ayirish va xususan, kasrlarni umumiy maxrajga olib kelish kerak. O'nli kasrlarda bularning hech biri talab qilinmaydi;
2. Hisob-kitoblarni qisqartirish. O'nlik kasrlar o'z qoidalariga ko'ra qo'shadi va ko'paytiriladi va ozgina mashq qilsangiz, ular bilan oddiylarga qaraganda tezroq ishlashingiz mumkin bo'ladi;
3. Yozib olish qulayligi. Oddiy kasrlardan farqli o'laroq, o'nli kasrlar aniqligini yo'qotmasdan bir qatorda yoziladi.

Ko'pgina kalkulyatorlar javoblarni o'nli kasrlarda ham beradi. Ba'zi hollarda, boshqa yozish formati muammolarga olib kelishi mumkin. Misol uchun, agar siz do'konda 2/3 rubl miqdorida o'zgarishni talab qilsangiz nima bo'ladi :)

O'nli kasrlarni yozish qoidalari

O'nli kasrlarning asosiy afzalligi qulay va vizual yozuvdir. Aynan:

O'nlik yozuv - bu o'nlik yozuvning ko'rinishi bo'lib, unda butun son kasr qismidan oddiy nuqta yoki vergul yordamida ajratiladi. Bunday holda, ajratuvchining o'zi (nuqta yoki vergul) kasr deyiladi.

Masalan, 0,3 (o'qing: "nol tamsayı, 3 o'ndan"); 7,25 (7 ta butun, 25 yuzdan bir); 3,049 (3 ta butun, 49 mingdan bir). Barcha misollar oldingi ta'rifdan olingan.

Yozuvda vergul odatda o'nli kasr sifatida ishlatiladi. Bu erda va pastda vergul butun sayt bo'ylab ham qo'llaniladi.

Belgilangan shaklda ixtiyoriy o'nli kasrni yozish uchun siz uchta oddiy qadamni bajarishingiz kerak:

1. Numeratorni alohida yozing;
2. O'nli kasrni maxrajda qancha nol bo'lsa, shuncha o'ringa chapga siljiting. Faraz qilaylik, dastlab o'nli kasr barcha raqamlarning o'ng tomonida joylashgan;
3. Agar kasr nuqtasi siljigan bo'lsa va undan keyin yozuv oxirida nollar bo'lsa, ularni kesib tashlash kerak.

Ikkinchi bosqichda hisoblagichda siljishni bajarish uchun etarli raqamlar yo'qligi sodir bo'ladi. Bunday holda, etishmayotgan pozitsiyalar nollar bilan to'ldiriladi. Va umuman olganda, har qanday raqamning chap tomoniga har qanday nol soni sog'likka zarar bermasdan belgilanishi mumkin. Bu xunuk, lekin ba'zida foydali.

Bir qarashda, bu algoritm ancha murakkab ko'rinishi mumkin. Aslida, hamma narsa juda va juda oddiy - siz ozgina mashq qilishingiz kerak. Misollarni ko'rib chiqing:

Vazifa. Har bir kasr uchun uning kasrli belgilarini ko'rsating:

Birinchi kasrning numeratori: 73. O'nli kasrni bir belgi bilan almashtiramiz (chunki maxraj 10) - biz 7,3 ni olamiz.

Ikkinchi kasrning numeratori: 9. O'nli kasrni ikki raqamga almashtiramiz (chunki maxraj 100) - biz 0,09 ni olamiz. ".09" kabi g'alati belgi qoldirmaslik uchun kasrdan keyin bitta nol va undan oldin yana bitta nol qo'shishim kerak edi.

Uchinchi kasrning numeratori: 10029. O'nli kasrni uchta raqamga almashtiramiz (chunki maxraj 1000) - biz 10,029 ni olamiz.

Oxirgi kasrning numeratori: 10500. Yana biz nuqtani uchta raqamga almashtiramiz - biz 10,500 ni olamiz. Raqam oxirida qo'shimcha nollar mavjud. Biz ularni kesib o'tamiz - biz 10,5 olamiz.

Oxirgi ikkita misolga e'tibor bering: 10.029 va 10.5 raqamlari. Qoidalarga ko'ra, oxirgi misolda bo'lgani kabi, o'ngdagi nollarni kesib tashlash kerak. Biroq, hech qanday holatda buni raqam ichidagi nollar bilan qilmaslik kerak (ular boshqa raqamlar bilan o'ralgan). Shuning uchun biz 1,29 va 1,5 emas, balki 10,029 va 10,5 ni oldik.

Shunday qilib, biz o'nli kasrlarni yozishning ta'rifi va shaklini aniqladik. Keling, oddiy kasrlarni o'nli kasrlarga va aksincha, qanday o'tkazishni bilib olaylik.

Kasrdan o'nli kasrga o'tish

Shaklning oddiy sonli qismini ko'rib chiqing a / b . Kasrning asosiy xossasidan foydalanishingiz va hisob va maxrajni shunday songa ko'paytirishingiz mumkinki, quyida o'n darajani olasiz. Ammo buni qilishdan oldin, iltimos, quyidagilarni o'qing:

O'nning kuchiga kamaytirilmagan denominatorlar mavjud. Bunday kasrlarni tanib olishni o'rganing, chunki ular bilan quyida tavsiflangan algoritm bo'yicha ishlash mumkin emas.

Bo'ldi shu. Xo'sh, maxraj o'nning kuchiga tushiriladimi yoki yo'qligini qanday tushunish mumkin?

Javob oddiy: maxrajni tub omillarga ajrating. Kengayishda faqat 2 va 5 omillar mavjud bo'lsa, bu raqam o'nning kuchiga kamayishi mumkin. Agar boshqa raqamlar mavjud bo'lsa (3, 7, 11 - nima bo'lishidan qat'iy nazar), siz o'n daraja haqida unutishingiz mumkin.

Vazifa. Belgilangan kasrlarni o'nli kasrlar sifatida ko'rsatish mumkinligini tekshiring:

Biz ushbu kasrlarning maxrajlarini yozamiz va faktorlarga ajratamiz:

20 \u003d 4 5 \u003d 2 2 5 - faqat 2 va 5 raqamlari mavjud, shuning uchun kasrni o'nli kasr sifatida ko'rsatish mumkin.

12 \u003d 4 3 \u003d 2 2 3 - "taqiqlangan" omil 3. Kasrni o'nlik kasr sifatida ko'rsatib bo'lmaydi.

640 \u003d 8 8 10 \u003d 2 3 2 3 2 5 \u003d 2 7 5. Hamma narsa tartibda: 2 va 5 raqamlaridan boshqa hech narsa yo'q. Kasr o'nli kasr sifatida ifodalanadi.

48 \u003d 6 8 \u003d 2 3 2 3 \u003d 2 4 3. Faktor 3 yana “yuzaga chiqdi”. Uni oʻnlik kasr sifatida koʻrsatib boʻlmaydi.

Shunday qilib, biz maxrajni aniqladik - endi biz o'nli kasrlarga o'tishning butun algoritmini ko'rib chiqamiz:

1. Asl kasrning maxrajini koeffitsientga ajrating va uning odatda o'nli kasr sifatida ifodalanishiga ishonch hosil qiling. Bular. kengaytirishda faqat 2 va 5 omillar mavjudligini tekshiring.Aks holda algoritm ishlamaydi;
2. Parchalanishda nechta ikkita va beshlar borligini hisoblang (u erda boshqa raqamlar bo'lmaydi, esingizdami?). Ikki va beshlar soni teng bo'lishi uchun shunday qo'shimcha ko'paytirgichni tanlang.
3. Aslida, asl kasrning numeratori va maxrajini ushbu omil bilan ko'paytiramiz - biz kerakli vakillikni olamiz, ya'ni. maxraj o‘nlik daraja bo‘ladi.

Albatta, qo'shimcha omil ham faqat ikkiga va beshga bo'linadi. Shu bilan birga, hayotingizni murakkablashtirmaslik uchun barcha mumkin bo'lgan omillardan eng kichikni tanlashingiz kerak.

Va yana bir narsa: agar asl kasrda butun son bo'lsa, bu kasrni noto'g'ri qismga aylantirganingizga ishonch hosil qiling - va shundan keyingina tavsiflangan algoritmni qo'llang.

Vazifa. Ushbu raqamlarni o'nli kasrlarga aylantiring:

Birinchi kasrning maxrajini koeffitsientlarga ajratamiz: 4 = 2 · 2 = 2 2 . Shuning uchun kasrni o'nlik kasr sifatida ifodalash mumkin. Kengayishda ikkita ikkita va beshlik yo'q, shuning uchun qo'shimcha omil 5 2 = 25. Ikki va beshlik soni unga teng bo'ladi. Bizda ... bor:

Endi ikkinchi kasr bilan shug'ullanamiz. Buni amalga oshirish uchun 24 \u003d 3 8 \u003d 3 2 3 - kengayishda uchlik borligini unutmang, shuning uchun kasrni o'nli kasr sifatida ko'rsatib bo'lmaydi.

Oxirgi ikki kasrda mos ravishda 5 (tut son) va 20 = 4 5 = 2 2 5 maxrajlari bor - hamma joyda faqat ikkita va beshlar mavjud. Shu bilan birga, birinchi holatda, "to'liq baxt uchun" 2 ko'paytmasi etarli emas, ikkinchisida esa - 5. Biz quyidagilarni olamiz:

O'nli kasrdan oddiy kasrga o'tish

Teskari o'tkazish - o'nli belgidan normalga - juda oson. Hech qanday cheklovlar va maxsus tekshiruvlar yo'q, shuning uchun siz har doim o'nlik kasrni klassik "ikki qavatli" kasrga aylantirishingiz mumkin.

Tarjima algoritmi quyidagicha:

1. O'nli kasrning chap tomonidagi barcha nollarni, shuningdek, kasr nuqtasini kesib tashlang. Bu kerakli kasrning numeratori bo'ladi. Asosiysi, uni haddan tashqari oshirmang va boshqa raqamlar bilan o'ralgan ichki nollarni kesib tashlamang;
2. O'nli kasrdan keyin asl kasrda nechta raqam borligini hisoblang. 1 raqamini oling va belgilarni hisoblaganingizcha o'ng tomonga shuncha nol qo'shing. Bu maxraj bo'ladi;
3. Haqiqatan ham, biz hozirgina hisoblagichi va maxrajini topgan kasrni yozing. Iloji bo'lsa, kamaytiring. Agar asl kasrda butun son bo'lgan bo'lsa, endi biz noto'g'ri kasrni olamiz, bu keyingi hisob-kitoblar uchun juda qulaydir.

Vazifa. O'nli kasrlarni oddiyga o'tkazish: 0,008; 3.107; 2,25; 7,2008.

Chapdagi nollarni va vergullarni kesib tashlaymiz - biz quyidagi raqamlarni olamiz (bular raqam bo'ladi): 8; 3107; 225; 72008.

O'nli kasrdan keyin birinchi va ikkinchi kasrlarda 3 ta kasr, ikkinchisida - 2, uchinchisida - 4 ta kasr mavjud. Biz maxrajlarni olamiz: 1000; 1000; 100; 10000.

Nihoyat, sanoq va maxrajlarni oddiy kasrlarga birlashtiramiz:

Misollardan ko'rinib turibdiki, natijada olingan kasr juda tez-tez kamayishi mumkin. Yana bir bor ta'kidlaymanki, har qanday o'nli kasr oddiy kasr sifatida ifodalanishi mumkin. Teskari o'zgarishlar har doim ham mumkin emas.

kasr son.

Kasr sonning o'nlik belgisi$0$ dan $9$ gacha boʻlgan ikki yoki undan ortiq raqamlar toʻplami boʻlib, ular orasida \textit (oʻnlik nuqta) deb ataladi.

1-misol

Masalan, $35,02; $100,7; $123 \ $456,5; 54,89 dollar.

Raqamning o'nli kasr ko'rinishidagi eng chap raqam nolga teng bo'lishi mumkin emas, kasr nuqtasi birinchi raqamdan keyin darhol $0$ bo'lgan hollar bundan mustasno.

2-misol

Masalan, $0,357; $0,064.

Ko'pincha kasr kasr bilan almashtiriladi. Masalan, $35,02$; $100,7$; $123 \ 456,5$; 54,89 dollar.

O'nlik ta'rifi

Ta'rif 1

O'nlik kasrlar kasr sonlar boʻlib, oʻnli tizimda ifodalanadi.

Masalan, $121,05; $67,9; 345,6700 dollar.

O'nlik kasrlar maxrajlari $10$, $100$, $1\000$ va boshqalar bo'lgan oddiy kasrlarni yanada ixcham ko'rsatish uchun ishlatiladi. va maxrajlari $10$, $100$, $1\000$ va hokazo boʻlgan aralash raqamlar.

Masalan, $\frac(8)(10)$ oddiy kasrni o'nlik $0,8$, aralash sonni $405\frac(8)(100)$ $405,08$ kasr sifatida yozish mumkin.

O'nli kasrlarni o'qish

Oddiy kasrlarga mos keladigan o'nlik kasrlar oddiy kasrlar bilan bir xil o'qiladi, faqat "nol butun sonlar" iborasi oldiga qo'shiladi. Misol uchun, oddiy kasr $\frac(25)(100)$ ("yigirma besh yuzdan" o'qing) $0,25$ o'nlik kasrga mos keladi ("nol nuqta yigirma besh yuzdan" o'qing).

Aralash raqamlarga mos keladigan o'nlik raqamlar aralash raqamlar bilan bir xil tarzda o'qiladi. Masalan, $43\frac(15)(1000)$ aralash soni $43.015$ oʻnlik kasrga toʻgʻri keladi (“qirq uch nuqta oʻn besh mingdan bir qismini” oʻqing).

O'nli kasrlardagi o'rinlar

O'nli yozuvda har bir raqamning qiymati uning pozitsiyasiga bog'liq. Bular. o'nli kasrlarda ham tushuncha sodir bo'ladi tushirish.

O'nli kasrlarda o'nli kasrgacha bo'lgan raqamlar natural sonlardagi raqamlar bilan bir xil deyiladi. O'nli kasrdan keyingi o'nlik kasrlardagi raqamlar jadvalda keltirilgan:

1-rasm.

3-misol

Masalan, o'nlik kasrda $56,328$, $5$ o'nlik, $6$ birliklar qatorida, $3$ o'ninchi, $2$ yuzinchi, $8$ minginchi o'rinda.

O'nli kasrlardagi raqamlar ish staji bilan ajralib turadi. O'nli kasrni o'qiyotganda, ular chapdan o'ngga - dan katta gacha bo'shatish kichik.

4-misol

Misol uchun, $56,328 $ o'nlik sonida eng muhim (eng yuqori) raqam o'nlab raqam, eng muhim (eng past) raqam esa minginchi raqamdir.

O'nli kasrni natural sonning raqamlariga kengaytirish kabi raqamlarga kengaytirish mumkin.

5-misol

Masalan, $37,851$ o'nli kasrni raqamlarga kengaytiramiz:

$37,851=30+7+0,8+0,05+0,001$

O'nli kasrlarni tugatish

Ta'rif 2

O'nli kasrlarni tugatish o'nlik kasrlar deyiladi, ularning yozuvlarida chekli sonli belgilar (raqamlar) mavjud.

Masalan, $0,138; $5,34; $56,123456; 350 972,54 dollar.

Har qanday yakuniy o'nli kasr oddiy kasr yoki aralash songa aylantirilishi mumkin.

6-misol

Masalan, $7.39$ yakuniy oʻnli kasr $7\frac(39)(100)$ kasr raqamiga, oxirgi oʻnli kasr $0.5$ esa $\frac(5)(10)$ (yoki har qanday) kasrga toʻgʻri keladi. unga teng bo'lgan kasr, masalan, $\frac(1)(2)$ yoki $\frac(10)(20)$.

Oddiy kasrni o'nli kasrga aylantirish

$10, 100, \dots$ maxrajlari bo'lgan oddiy kasrlarni o'nli kasrlarga aylantiring

Ba'zi bir to'g'ri oddiy kasrlarni o'nli kasrlarga o'tkazishdan oldin ularni "tayyorlash" kerak. Bunday tayyorgarlikning natijasi hisoblagichdagi raqamlar soni va maxrajdagi nollar soni bo'lishi kerak.

To'g'ri oddiy kasrlarni o'nli kasrlarga o'tkazish uchun "oldindan tayyorgarlik" ning mohiyati chapga numeratorga shunday sonli nollarni qo'shishdan iboratki, raqamlarning umumiy soni maxrajdagi nollar soniga teng bo'ladi.

7-misol

Masalan, $\frac(43)(1000)$ oddiy kasrni o'nli kasrga o'tkazish uchun tayyorlaymiz va $\frac(043)(1000)$ olamiz. Va oddiy kasr $\frac(83)(100)$ tayyorlanishi shart emas.

Keling, shakllantiramiz maxraji $10$ yoki $100$ yoki $1\000$, $\dots$ boʻlgan toʻgʻri oddiy kasrni oʻnli kasrga aylantirish qoidasi:

$0$ yozing;

undan keyin kasrli nuqta qo'ying;

numeratordan raqamni yozing (agar kerak bo'lsa, tayyorgarlikdan keyin qo'shilgan nollar bilan birga).

8-misol

$\frac(23)(100)$ to'g'ri kasrni o'nli kasrga aylantiring.

Yechim.

Maxraj $100$ raqami boʻlib, unda $2$ ikkita nol mavjud. Numerator $23$ raqamini o'z ichiga oladi, unda $2$.raqamlar mavjud. demak, o'nli kasrga aylantirish uchun bu kasrga tayyorgarlik zarur emas.

Keling, $0$ yozamiz, kasrni qo'yamiz va hisoblagichdan $23$ raqamini yozamiz. Biz $0,23$ o'nlik kasrni olamiz.

Javob: $0,23$.

9-misol

$\frac(351)(100000)$ to'g'ri kasrni kasr shaklida yozing.

Yechim.

Bu kasrning numeratorida $3$ raqamlari bor va maxrajdagi nollar soni $5$ ni tashkil qiladi, shuning uchun bu oddiy kasrni o'nli kasrga aylantirish uchun tayyorlash kerak. Buning uchun numeratorning chap tomoniga $5-3=2$ nol qo'shing: $\frac(00351)(100000)$.

Endi biz kerakli kasrni hosil qilishimiz mumkin. Buning uchun $0$ yozing, keyin vergul qo'ying va raqamdan raqamni yozing. Biz $0,00351$ kasrni olamiz.

Javob: $0,00351$.

Keling, shakllantiramiz $10$, $100$, $\dots$ maxrajlari boʻlgan notoʻgʻri oddiy kasrlarni oʻnli kasrlarga aylantirish qoidasi:

numeratordan raqam yozing;

asl kasrning maxrajida nol bo'lsa, o'ng tomonda qancha raqam bo'lsa, o'nli kasr bilan ajrating.

10-misol

Noto'g'ri umumiy kasr $\frac(12756)(100)$ kasrni kasrga aylantiring.

Yechim.

Keling, $12756$ hisoblagichidagi raqamni yozamiz, keyin o'ngdagi raqamlarni $2$ o'nli kasr bilan ajratamiz, chunki $2$ asl kasrning maxraji nolga teng. Biz o'nlik kasrni $127,56$ olamiz.

Biz ushbu materialni o'nli kasrlar kabi muhim mavzuga bag'ishlaymiz. Birinchidan, asosiy ta'riflarni aniqlaymiz, misollar keltiramiz va o'nli kasrlarning raqamlari qanday ekanligi bilan bir qatorda o'nli kasrlarning yozuv qoidalariga to'xtalib o'tamiz. Keyinchalik, biz asosiy turlarni ajratib ko'rsatamiz: chekli va cheksiz, davriy va davriy bo'lmagan kasrlar. Yakuniy qismda biz kasr sonlarga mos keladigan nuqtalar koordinata o'qida qanday joylashganligini ko'rsatamiz.

Kasr sonlar uchun kasrli yozuv nima

Kasr sonlar uchun o'nli yozuv deb ataladigan narsa tabiiy va kasr sonlar uchun ishlatilishi mumkin. Bu ular orasida vergul qo'yilgan ikki yoki undan ortiq raqamlar to'plamiga o'xshaydi.

O'nli kasr butun sonni kasr qismidan ajratish uchun ishlatiladi. Qoida tariqasida, o'nli kasrning oxirgi raqami hech qachon nol bo'lmaydi, agar kasr birinchi noldan keyin darhol bo'lmasa.

Kasr sonlarning kasrli sanasiga qanday misollar keltirish mumkin? Bu 34 , 21 , 0 , 35035044 , 0 , 0001 , 11 231 552 , 9 va boshqalar boʻlishi mumkin.

Baʼzi darsliklarda vergul oʻrniga nuqta qoʻllanilishini uchratish mumkin (5. 67, 6789. 1011 va h.k.) Bu variant ekvivalent hisoblanadi, lekin ingliz tilidagi manbalar uchun koʻproq xosdir.

O'nli kasrlarning ta'rifi

Yuqoridagi o'nli kasr tushunchasiga asoslanib, biz o'nli kasrlarning quyidagi ta'rifini shakllantirishimiz mumkin:

Ta'rif 1

O'nlik kasrlar kasr sonlari o'nli yozuvda.

Nima uchun kasrlarni bu shaklda yozishimiz kerak? Bu bizga oddiylarga nisbatan ba'zi afzalliklarni beradi, masalan, ixcham belgi, ayniqsa maxraj 1000, 100, 10 va hokazo yoki aralash raqam bo'lgan hollarda. Masalan, 6 10 o'rniga 0 , 6 ni, 25 o'rniga 10000 - 0 , 0023 ni, 512 3 o'rniga 100 - 512 , 03 ni belgilashimiz mumkin.

O'nlik, yuzlik, minglik maxrajdagi oddiy kasrlarni o'nlik shaklida qanday qilib to'g'ri ifodalash alohida materialda tasvirlanadi.

O'nli kasrlarni qanday to'g'ri o'qish kerak

O'nli kasrlar yozuvlarini o'qish uchun ba'zi qoidalar mavjud. Shunday qilib, ularning to'g'ri oddiy ekvivalentlariga mos keladigan o'nli kasrlar deyarli bir xil o'qiladi, lekin boshida "nol o'ndan" so'zlari qo'shiladi. Shunday qilib, 14 100 ga mos keladigan 0, 14 yozuvi "nol nuqta o'n to'rt yuzdan bir" deb o'qiladi.

Agar o'nli kasr aralash son bilan bog'lanishi mumkin bo'lsa, u holda bu raqam bilan bir xil tarzda o'qiladi. Shunday qilib, agar bizda 56 2 1000 ga to'g'ri keladigan 56, 002 kasr bo'lsa, biz "ellik olti nuqta ikki mingdan bir" kabi yozuvni o'qiymiz.

O'nli kasrdagi raqamning qiymati uning joylashgan joyiga bog'liq (xuddi natural sonlardagi kabi). Demak, 0, 7, yetti o‘nlik kasrda o‘ndan, 0, 0007da o‘n mingdan, 70,000, 345 kasrda yetti o‘n minglik butun birliklarni bildiradi. Shunday qilib, o'nli kasrlarda raqam raqami tushunchasi ham mavjud.

Verguldan oldin joylashgan raqamlarning nomlari natural sonlarda mavjud bo'lgan raqamlarga o'xshaydi. Jadvalda keyin joylashganlarning nomlari aniq ko'rsatilgan:

Keling, bir misol keltiraylik.

1-misol

Bizda o'nlik 43, 098 bor. U o‘nlik o‘rinda to‘rt, birliklar qatorida uchta, o‘ninchi o‘rinda nol, yuzinchi o‘rinda 9 va minginchi o‘rinda 8 ball bor.

O'nli kasrlarning raqamlarini ish staji bo'yicha ajratish odatiy holdir. Agar biz raqamlar bo'ylab chapdan o'ngga harakat qilsak, biz yuqoridan past raqamlarga o'tamiz. Ma’lum bo‘lishicha, yuzlar o‘nlikdan katta, millioninchilar esa yuzdan yoshroq ekan. Agar biz yuqorida misol qilib keltirgan yakuniy o'nlik kasrni olsak, unda eng yuqori yoki eng yuqorisi yuzlar soni, eng pasti yoki eng pasti esa 10 mingdan birining raqami bo'ladi.

Har qanday o'nli kasr alohida raqamlarga, ya'ni yig'indi sifatida ifodalanishi mumkin. Bu amal natural sonlar bilan bir xil tarzda bajariladi.

2-misol

Keling, 56, 0455 kasrni raqamlarga kengaytirishga harakat qilaylik.

Biz quyidagilarni qila olamiz:

56 , 0455 = 50 + 6 + 0 , 4 + 0 , 005 + 0 , 0005

Qo'shishning xossalarini eslasak, bu kasrni boshqa ko'rinishlarda, masalan, 56 + 0, 0455 yoki 56, 0055 + 0, 4 va boshqalar yig'indisi sifatida ifodalashimiz mumkin.

Keyingi o'nli kasrlar nima

Biz yuqorida aytib o'tgan barcha kasrlar keyingi o'nli kasrlardir. Bu kasrdan keyingi raqamlar soni chekli ekanligini bildiradi. Keling, ta'rifni olamiz:

Ta'rif 1

Keyingi o'nli kasrlar - verguldan keyin chekli sonli raqamlarga ega bo'lgan o'nli kasrlarning bir turi.

Bunday kasrlarga 0, 367, 3, 7, 55, 102567958, 231032, 49 va hokazolarni misol qilib keltirish mumkin.

Ushbu kasrlarning har qandayini aralash raqamga (agar ularning kasr qismining qiymati noldan farq qilsa) yoki oddiy kasrga (butun qism nolga teng bo'lsa) aylantirilishi mumkin. Buning qanday amalga oshirilishi haqida biz alohida material ajratdik. Shu o‘rinda bir nechta misol keltiramiz: masalan, oxirgi o‘nlik kasr 5, 63ni 5 63 100 ko‘rinishiga keltirishimiz mumkin va 0, 2 2 10 ga to‘g‘ri keladi (yoki unga teng bo‘lgan boshqa kasr, masalan, 4 20 yoki 1 5.)

Ammo teskari jarayon, ya'ni. oddiy kasrni o'nli shaklda yozish har doim ham bajarilmasligi mumkin. Shunday qilib, 5 13 ni maxraji 100, 10 va hokazo bo'lgan teng kasr bilan almashtirib bo'lmaydi, ya'ni oxirgi o'nlik kasr undan ishlamaydi.

Cheksiz o'nli kasrlarning asosiy turlari: davriy va davriy bo'lmagan kasrlar

Biz yuqorida chekli kasrlar o'nli kasrdan keyin chekli sonli raqamlarga ega bo'lgani uchun shunday deb nomlanishini ko'rsatdik. Biroq, u cheksiz bo'lishi mumkin, bu holda kasrlarning o'zi ham cheksiz deb ataladi.

Ta'rif 2

Cheksiz o'nli kasrlar kasrdan keyin cheksiz sonli raqamlarga ega bo'lganlardir.

Shubhasiz, bunday raqamlarni to'liq yozib bo'lmaydi, shuning uchun biz ularning faqat bir qismini ko'rsatamiz va keyin ellips qo'yamiz. Bu belgi o'nli kasrlar ketma-ketligining cheksiz davomini ko'rsatadi. Cheksiz oʻnli kasrlarga misollar 0 , 143346732 ... , 3 , 1415989032 ... , 153 , 0245005 ... , 2 , 6666666666 ... , 69 , 748768152 ... boʻladi. va hokazo.

Bunday kasrning "dumida" nafaqat tasodifiy ko'rinadigan raqamlar ketma-ketligi, balki bir xil belgi yoki belgilar guruhining doimiy takrorlanishi bo'lishi mumkin. O'nli kasrdan keyin almashinadigan kasrlar davriy deyiladi.

Ta'rif 3

Davriy o'nli kasrlar shunday cheksiz o'nli kasrlar bo'lib, unda bir raqam yoki bir nechta raqamlar guruhi kasrdan keyin takrorlanadi. Takrorlanuvchi qism kasr davri deb ataladi.

Masalan, 3 kasr uchun 444444 ... . davr 4 raqami bo'ladi va 76 uchun 134134134134 ... - guruh 134.

Davriy kasrda ruxsat etilgan belgilarning minimal soni qancha? Davriy kasrlar uchun butun davrni qavs ichida bir marta yozish kifoya qiladi. Demak, kasr 3, 444444 ... . 3, (4) va 76, 134134134134 ... deb yozish to'g'ri bo'ladi - 76, (134) .

Umuman olganda, qavs ichidagi bir nechta nuqtali yozuvlar aynan bir xil ma'noga ega bo'ladi: masalan, 0,677777 davriy kasr 0,6 (7) va 0,6 (77) bilan bir xil va hokazo. 0 , 67777 (7) , 0 , 67 (7777) va boshqalar kabi yozuvlarga ham ruxsat beriladi.

Xatolarga yo'l qo'ymaslik uchun biz yozuvning bir xilligini kiritamiz. Keling, o'nli kasrga eng yaqin bo'lgan faqat bitta nuqtani (raqamlarning mumkin bo'lgan eng qisqa ketma-ketligini) yozishga rozi bo'laylik va uni qavs ichiga kiritamiz.

Ya'ni, yuqoridagi kasr uchun biz 0, 6 (7) yozuvini asosiy sifatida ko'rib chiqamiz va, masalan, 8, 9134343434 kasrda biz 8, 91 (34) ni yozamiz.

Agar oddiy kasrning maxrajida 5 va 2 ga teng bo'lmagan tub ko'rsatkichlar bo'lsa, o'nli kasr tizimiga o'tkazilganda ulardan cheksiz kasrlar olinadi.

Asosan, biz har qanday chekli kasrni davriy kasr sifatida yozishimiz mumkin. Buning uchun biz o'ng tomonga cheksiz sonli nollarni qo'shishimiz kerak. Bu yozuvda qanday ko'rinadi? Aytaylik, bizda oxirgi kasr 45, 32 bor. Davriy shaklda u 45 , 32 (0) ga o'xshaydi. Bu harakat mumkin, chunki har qanday o'nli kasrning o'ng tomoniga nollarni qo'shish natijasida bizga unga teng kasr beradi.

Alohida-alohida, davriy kasrlar haqida to'xtash kerak 9, masalan, 4, 89 (9), 31, 6 (9) . Ular davri 0 bo'lgan o'xshash kasrlar uchun muqobil yozuvdir, shuning uchun ular ko'pincha nol davriga ega bo'lgan kasrlar bilan yozishda almashtiriladi. Shu bilan birga, keyingi raqamning qiymatiga bitta qo'shiladi va (0) qavs ichida ko'rsatiladi. Olingan sonlarning tengligini ularni oddiy kasrlar sifatida ko'rsatish orqali tekshirish oson.

Masalan, 8, 31 (9) kasr mos keladigan kasr 8, 32 (0) bilan almashtirilishi mumkin. Yoki 4 , (9) = 5 , (0) = 5 .

Cheksiz o'nli davriy kasrlar ratsional sonlardir. Boshqacha qilib aytganda, har qanday davriy kasr oddiy kasr sifatida ifodalanishi mumkin va aksincha.

Kasrlar ham borki, ularda kasrdan keyin cheksiz takrorlanuvchi ketma-ketlik mavjud emas. Bunday holda, ular davriy bo'lmagan kasrlar deb ataladi.

Ta'rif 4

Davriy bo'lmagan o'nli kasrlarga o'nli kasrdan keyin nuqta bo'lmagan cheksiz o'nli kasrlar kiradi, ya'ni. takroriy raqamlar guruhi.

Ba'zida davriy bo'lmagan kasrlar davriy bo'lganlarga juda o'xshash. Misol uchun, 9 , 03003000300003 ... birinchi qarashda nuqta bordek tuyuladi, lekin o'nli kasrlarning batafsil tahlili bu hali ham davriy bo'lmagan kasr ekanligini tasdiqlaydi. Bunday raqamlar bilan juda ehtiyot bo'lishingiz kerak.

Davriy bo'lmagan kasrlar irratsional sonlardir. Ular oddiy kasrlarga aylantirilmaydi.

O'nli kasrlar bilan asosiy amallar

O'nli kasrlar bilan quyidagi amallarni bajarish mumkin: taqqoslash, ayirish, qo'shish, bo'lish va ko'paytirish. Keling, ularning har birini alohida tahlil qilaylik.

O'nli kasrlarni solishtirishni asl kasrlarga mos keladigan oddiy kasrlarni solishtirishga qisqartirish mumkin. Ammo cheksiz davriy bo'lmagan kasrlarni bu shaklga keltirish mumkin emas va o'nli kasrlarni oddiy kasrlarga aylantirish ko'pincha mashaqqatli ishdir. Muammoni hal qilish jarayonida buni qilish kerak bo'lsa, taqqoslash harakatini qanday tezda bajarish kerak? O'nli kasrlarni raqamlar bo'yicha solishtirish, xuddi natural sonlarni solishtirish kabi qulaydir. Ushbu usulga alohida maqola bag'ishlaymiz.

Bir kasrni ikkinchi kasrga qo'shish uchun natural sonlardagi kabi ustun qo'shish usulidan foydalanish qulay. Davriy o'nlik kasrlarni qo'shish uchun avval ularni oddiylar bilan almashtirishingiz va standart sxema bo'yicha hisoblashingiz kerak. Agar masala shartlariga ko'ra, biz cheksiz davriy bo'lmagan kasrlarni qo'shishimiz kerak bo'lsa, avval ularni ma'lum bir raqamga yaxlitlashimiz kerak, keyin esa qo'shishimiz kerak. Biz aylantiradigan raqam qanchalik kichik bo'lsa, hisoblashning aniqligi shunchalik yuqori bo'ladi. Cheksiz kasrlarni ayirish, ko'paytirish va bo'lish uchun oldindan yaxlitlash ham kerak.

O'nli kasrlarning ayirmasini topish qo'shishga qarama-qarshidir. Darhaqiqat, ayirish yordamida biz ayirilgan kasr bilan yig'indisi kamaytirilgan sonni beradigan sonni topishimiz mumkin. Bu haqda alohida maqolada batafsilroq gaplashamiz.

O'nli kasrlarni ko'paytirish xuddi natural sonlardagi kabi amalga oshiriladi. Buning uchun ustun bo'yicha hisoblash usuli ham mos keladi. Biz yana bu harakatni davriy kasrlar bilan, allaqachon o'rganilgan qoidalarga muvofiq oddiy kasrlarni ko'paytirishga kamaytiramiz. Cheksiz kasrlar, biz eslaganimizdek, hisoblashdan oldin yaxlitlash kerak.

O'nli kasrlarni bo'lish jarayoni ko'paytirish jarayonining teskarisidir. Muammolarni hal qilishda biz ustunlar sonini ham ishlatamiz.

Oxirgi kasr va koordinata o'qidagi nuqta o'rtasida aniq yozishmalarni o'rnatishingiz mumkin. Keling, o'qda kerakli o'nlik kasrga to'liq mos keladigan nuqtani qanday belgilashni aniqlaylik.

Biz allaqachon oddiy kasrlarga mos keladigan nuqtalarni qanday qurishni o'rganib chiqdik va o'nli kasrlarni bu shaklga keltirish mumkin. Masalan, oddiy kasr 14 10 1 , 4 bilan bir xil bo'ladi, shuning uchun unga mos keladigan nuqta boshdan musbat yo'nalishda aynan bir xil masofaga olib tashlanadi:

Siz o'nli kasrni oddiy kasr bilan almashtirmasdan qilishingiz mumkin va raqamlarni kengaytirish usulini asos qilib olishingiz mumkin. Demak, koordinatasi 15 , 4008 ga teng bo'lgan nuqtani belgilashimiz kerak bo'lsa, avval bu raqamni 15 + 0, 4 +, 0008 yig'indisi sifatida ifodalaymiz. Boshlash uchun biz boshlang'ichdan ijobiy yo'nalishda 15 ta butun birlik segmentini, so'ngra bitta segmentning o'ndan 4 qismini va keyin bitta segmentning o'ndan mingdan 8 qismini ajratamiz. Natijada, biz 15, 4008 kasrga mos keladigan koordinata nuqtasini olamiz.

Cheksiz o'nli kasr uchun ushbu aniq usuldan foydalanish yaxshiroqdir, chunki bu sizga kerakli nuqtaga xohlagancha yaqinlashishga imkon beradi. Ba'zi hollarda koordinata o'qi bo'yicha cheksiz kasrning aniq mosligini qurish mumkin: masalan, 2 = 1, 41421. . . , va bu kasr koordinata nurida kvadrat diagonali uzunligi bo'yicha 0 dan uzoqda joylashgan nuqta bilan bog'lanishi mumkin, uning tomoni bitta birlik segmentiga teng bo'ladi.

Agar biz o'qda nuqta emas, balki unga mos keladigan o'nli kasrni topsak, unda bu harakat segmentning o'nli o'lchovi deb ataladi. Keling, buni qanday qilib to'g'ri qilishni ko'rib chiqaylik.

Faraz qilaylik, biz koordinata o'qida noldan ma'lum bir nuqtaga o'tishimiz kerak (yoki cheksiz kasr bo'lsa, iloji boricha yaqinlashishimiz kerak). Buning uchun biz kerakli nuqtaga yetguncha koordinatalarning kelib chiqishidan asta-sekin birlik segmentlarini ajratamiz. Butun segmentlardan keyin, agar kerak bo'lsa, biz o'ndan, yuzdan va kichikroq qismlarni o'lchaymiz, shunda yozishmalar iloji boricha aniq bo'ladi. Natijada, biz koordinata o'qining berilgan nuqtasiga mos keladigan o'nli kasrni oldik.

Yuqorida biz M nuqtasi bo'lgan rasmni berdik. Yana bir bor qarang: bu nuqtaga o'tish uchun siz noldan bir birlik segmentini va uning o'ndan to'rt qismini o'lchashingiz kerak, chunki bu nuqta 1, 4 o'nlik kasrga to'g'ri keladi.

Agar biz o'nli kasrni o'lchash jarayonida biror nuqtani ura olmasak, demak, cheksiz o'nli kasr unga mos keladi.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing