güç formülleri karmaşık ifadeleri azaltma ve basitleştirme sürecinde, denklemleri ve eşitsizlikleri çözmede kullanılır.

Sayı C dır-dir N bir sayının -inci kuvveti A Ne zaman:

Dereceli işlemler.

1. Dereceleri aynı tabanla çarparak, göstergeleri toplanır:

bir mbir n = bir m + n .

2. Aynı tabana sahip derecelerin bölünmesinde göstergeleri çıkarılır:

3. 2 veya daha fazla faktörün çarpım derecesi, bu faktörlerin derecelerinin çarpımına eşittir:

(abc…) n = bir n b n c n …

4. Bir kesrin derecesi, bölünen ve bölenin derecelerinin oranına eşittir:

(a/b) n = bir n / b n .

5. Bir kuvveti bir kuvvete yükselterek, üsler çarpılır:

(am) n = bir m n .

Yukarıdaki her formül, soldan sağa ve tersi yönlerde doğrudur.

Örneğin. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Köklü işlemler.

1. Birkaç faktörün ürününün kökü, bu faktörlerin köklerinin ürününe eşittir:

2. Oranın kökü, temettü oranına ve köklerin bölenine eşittir:

3. Bir kökü bir kuvvete yükseltirken, kök sayısını bu kuvvete yükseltmek yeterlidir:

4. Kökün derecesini yükseltirsek N bir kez ve aynı zamanda yükseltmek N inci kuvvet bir kök sayıdır, o zaman kökün değeri değişmeyecektir:

5. Kökün derecesini azaltırsak N Aynı anda kök N derece, o zaman kökün değeri değişmeyecektir:

Negatif üslü derece. Pozitif olmayan (tamsayı) üslü bir sayının derecesi, üs pozitif olmayan üssün mutlak değerine eşit olan aynı sayının derecesine bölünen bir sayı olarak tanımlanır:

formül bir m:a n = bir m - n sadece için kullanılamaz M> N, ama aynı zamanda M< N.

Örneğin. A4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

formüle bir m:a n = bir m - n adil oldu m=n, sıfır derecenin varlığına ihtiyacınız var.

Sıfır üslü derece.Üssü sıfır olan sıfır olmayan herhangi bir sayının kuvveti bire eşittir.

Örneğin. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Kesirli üslü bir derece. Gerçek bir sayı yükseltmek için A bir dereceye kadar m/n, kökü çıkarmanız gerekir N inci derece M bu sayının inci kuvveti A.

derece nedir?

Derece birkaç özdeş faktörün ürünü olarak adlandırılır. Örneğin:

2×2×2

Bu ifadenin değeri 8'dir.

2x2x2 = 8

Bu denklemin sol tarafı daha kısa yapılabilir - önce tekrar eden faktörü yazın ve kaç kez tekrar ettiğini bunun üzerine yazın. Bu durumda tekrar çarpanı 2'dir. Üç kez tekrar eder. Bu nedenle ikilinin üzerine üçlüyü yazıyoruz:

2 3 = 8

Bu ifade şöyle okunur: ikinin üçüncü kuvveti sekize eşittir veya " 2'nin üçüncü kuvveti 8'dir.

Aynı çarpanların çarpımını yazmanın kısa biçimi daha sık kullanılır. Bu nedenle, bir sayının üzerine başka bir sayı yazılırsa, bunun birkaç özdeş faktörün çarpımı olduğunu hatırlamalıyız.

Örneğin 5 3 ifadesi verilmişse bu ifadenin 5×5×5 yazmaya eşdeğer olduğu unutulmamalıdır.

Tekrar eden sayıya denir derece tabanı. 5 3 ifadesinde derecenin tabanı 5 sayısıdır.

Ve 5 sayısının üzerinde yazılı olan sayıya denir. üs. 5 3 ifadesinde üs 3 sayısıdır. Üs, derecenin tabanının kaç kez tekrarlandığını gösterir. Bizim durumumuzda, 5 tabanı üç kez tekrarlanır.

Aynı çarpanları çarpma işlemine denir üs alma.

Örneğin, her biri 2'ye eşit olan dört özdeş faktörün çarpımını bulmanız gerekiyorsa, o zaman 2 sayısının olduğunu söylerler. dördüncü kuvvete yükseltildi:

2'nin 4. kuvvetinin 16 olduğunu görüyoruz.

Bu derste baktığımıza dikkat edin doğal bir gösterge ile derece. Bu, üssü doğal bir sayı olan bir tür derecedir. Doğal sayıların sıfırdan büyük tam sayılar olduğunu hatırlayın. Örneğin, 1, 2, 3 vb.

Genel olarak, doğal göstergeli bir derecenin tanımı aşağıdaki gibidir:

Derecesi A doğal bir gösterge ile N formun bir ifadesidir BİR, çarpıma eşittir N her biri eşit olan çarpanlar A

Örnekler:

Bir sayıyı bir güce yükseltirken dikkatli olun. Çoğu zaman, bir kişi dikkatsizlik yoluyla derecenin tabanını üs ile çarpar.

Örneğin, 5'in ikinci kuvveti, her biri 5'e eşit olan iki faktörün çarpımıdır. Bu çarpım 25'e eşittir.

Şimdi yanlışlıkla 5 tabanını 2 üssü ile çarptığımızı hayal edin.

5'in ikinci kuvveti 10'a eşit olmadığı için bir hata oluştu.

Ek olarak, üssü 1 olan bir sayının kuvvetinin sayının kendisi olduğu belirtilmelidir:

Örneğin, 5'in birinci kuvveti 5'in kendisidir.

Buna göre, sayının bir göstergesi yoksa, göstergenin bire eşit olduğunu varsaymalıyız.

Örneğin 1, 2, 3 sayıları üssüz verildiğinden üsleri bire eşit olacaktır. Bu sayıların her biri 1 üssü ile yazılabilir.

Ve 0'ı herhangi bir kuvvete yükseltirseniz, 0 elde edersiniz. Nitekim, hiçbir şey kendisiyle kaç kez çarpılırsa çarpılmaz, hiçbir şey çıkmaz. Örnekler:

Ve 0 0 ifadesi hiçbir anlam ifade etmiyor. Ancak matematiğin bazı dallarında, özellikle analiz ve küme teorisinde, 0 0 ifadesi anlamlı olabilir.

Eğitim için, sayıları bir kuvvete yükseltmenin birkaç örneğini çözeceğiz.

örnek 1 3 sayısını ikinci kuvvete yükseltin.

3'ün ikinci kuvveti, her biri 3'e eşit olan iki faktörün çarpımıdır.

3 2 = 3 × 3 = 9

Örnek 2 2 sayısını dördüncü kuvvete yükseltin.

2 üzeri dördüncü kuvvet, her biri 2'ye eşit olan dört faktörün ürünüdür.

2 4 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16

Örnek 3 2 sayısını üçüncü kuvvete yükseltin.

2'nin üçüncü kuvveti, her biri 2'ye eşit olan üç faktörün ürünüdür.

2 3 = 2 × 2 × 2 = 8

10 sayısının üssü

10 sayısını bir kuvvete yükseltmek için birimden sonra üsse eşit olan sıfır sayısını eklemek yeterlidir.

Örneğin, 10 sayısını ikinci kuvvete yükseltelim. İlk önce 10 rakamının kendisini yazıp 2 rakamını gösterge olarak belirtiyoruz.

10 2

Şimdi eşittir işareti koyuyoruz, bir yazıyoruz ve bundan sonra iki sıfır yazıyoruz, çünkü sıfırların sayısı üsse eşit olmalıdır.

10 2 = 100

Yani, 10'un ikinci kuvveti 100'dür. Bunun nedeni, 10'un ikinci kuvvetinin her biri 10'a eşit olan iki faktörün çarpımı olmasıdır.

10 2 = 10 × 10 = 100

Örnek 2. 10 sayısını üçüncü kuvvete yükseltelim.

Bu durumda, birden sonra üç sıfır olacaktır:

10 3 = 1000

Örnek 3. 10 sayısını dördüncü kuvvete yükseltelim.

Bu durumda, birden sonra dört sıfır olacaktır:

10 4 = 10000

Örnek 4. 10 sayısını birinci kuvvete yükseltelim.

Bu durumda, birden sonra bir sıfır olacaktır:

10 1 = 10

10, 100, 1000 sayılarını 10 tabanlı bir kuvvet olarak temsil etme

10, 100, 1000 ve 10000 sayılarını 10 tabanlı bir kuvvet olarak temsil etmek için, 10 tabanlı yazmanız ve üs olarak orijinal sayıdaki sıfır sayısına eşit bir sayı belirtmeniz gerekir.

10 sayısını 10 tabanlı bir kuvvet olarak gösterelim. Bir sıfır olduğunu görüyoruz. Yani 10 tabanı 10 olan bir kuvvet olarak 10 sayısı 10 1 olarak gösterilecektir.

10 = 10 1

Örnek 2. 100 sayısını 10 tabanlı bir kuvvet olarak gösterelim. 100 sayısının iki sıfır içerdiğini görüyoruz. Yani 10 tabanlı bir kuvvet formundaki 100 sayısı 10 2 olarak gösterilecektir.

100 = 10 2

Örnek 3. 1000 sayısını 10 tabanlı bir kuvvet olarak gösterelim.

1 000 = 10 3

Örnek 4. 10.000 sayısını 10 tabanlı bir kuvvet olarak gösterelim.

10 000 = 10 4

Negatif bir sayının üssü

Negatif bir sayıyı bir güce yükseltirken, parantez içine alınmalıdır.

Örneğin, -2 negatif sayısını ikinci kuvvete yükseltelim. −2 üzeri ikinci sayı, her biri (−2)'ye eşit olan iki faktörün çarpımıdır.

(−2) 2 = (−2) × (−2) = 4

-2 sayısını parantez içine almasaydık, -2 2 ifadesini hesaplamış olurduk ki bu eşit değil 4. -2² ifadesi -4'e eşit olacaktır. Nedenini anlamak için bazı noktalara değinelim.

Pozitif bir sayının önüne eksi koyduğumuzda, ters değer alma işlemi.

Diyelim ki 2 sayısı verildi ve onun karşıt sayısını bulmanız gerekiyor. 2'nin tersinin -2 olduğunu biliyoruz. Yani 2'nin tam tersini bulmak için bu sayının önüne eksi koymak yeterlidir. Bir sayının önüne eksi eklemek zaten matematikte tam teşekküllü bir işlem olarak kabul ediliyor. Bu işleme yukarıda da bahsedildiği gibi karşıt değer alma işlemi denir.

-2 2 ifadesi durumunda, iki işlem gerçekleşir: zıt değer alma işlemi ve üs alma işlemi. Bir güce yükseltmek, karşıt değeri almaktan daha yüksek öncelikli bir işlemdir.

Bu nedenle, −2 2 ifadesi iki adımda hesaplanır. İlk olarak, üs alma işlemi gerçekleştirilir. Bu durumda, pozitif sayı 2 ikinci kuvvete yükseltildi.

Daha sonra tersi değer alınmıştır. Bu karşıt değer 4 değeri için bulunmuştur. Ve 4 için karşıt değer -4'tür.

−2 2 = −4

Parantezler en yüksek yürütme önceliğine sahiptir. Bu nedenle, (−2) 2 ifadesinin hesaplanması durumunda, önce zıt değer alınır ve ardından negatif sayı −2'nin ikinci kuvveti yükseltilir. Negatif sayıların çarpımı pozitif bir sayı olduğu için sonuç 4'ün pozitif cevabıdır.

Örnek 2. −2 sayısını üçüncü kuvvete yükseltin.

−2 üzeri üçüncü sayı, her biri (−2)'ye eşit olan üç faktörün çarpımıdır.

(−2) 3 = (−2) × (−2) × (−2) = −8

Örnek 3. −2 sayısını dördüncü kuvvete yükseltin.

−2 üzeri dördüncü sayı, her biri (−2)'ye eşit olan dört faktörün çarpımıdır.

(−2) 4 = (−2) × (−2) × (−2) × (−2) = 16

Negatif bir sayıyı bir kuvvete yükseltirken, ya olumlu ya da olumsuz bir yanıt alınabileceğini görmek kolaydır. Cevabın işareti, ilk derecenin üssüne bağlıdır.

Üs çift ise, cevap evettir. Üs tek ise cevap negatiftir. Bunu −3 sayısı örneği üzerinde gösterelim.

Birinci ve üçüncü durumlarda, gösterge şuydu: garip sayı, yani cevap oldu olumsuz.

İkinci ve dördüncü durumlarda, gösterge şuydu: eşit sayı, yani cevap oldu pozitif.

Örnek 7-5 sayısını üçüncü kuvvete yükseltin.

-5'in üçüncü kuvveti, her biri -5'e eşit olan üç faktörün ürünüdür. Üs 3 tek sayıdır, dolayısıyla cevabın olumsuz olacağını önceden söyleyebiliriz:

(−5) 3 = (−5) × (−5) × (−5) = −125

Örnek 8-4 sayısını dördüncü kuvvete yükseltin.

-4'ün dördüncü kuvveti, her biri -4'e eşit olan dört faktörün ürünüdür. Bu durumda gösterge 4 çifttir, bu nedenle cevabın olumlu olacağını önceden söyleyebiliriz:

(−4) 4 = (−4) × (−4) × (−4) × (−4) = 256

İfade Değerlerini Bulma

Parantez içermeyen ifade değerleri bulunurken önce üs alma, ardından sırasına göre çarpma ve bölme, ardından sırasıyla toplama ve çıkarma işlemi yapılacaktır.

örnek 1. 2 + 5 2 ifadesinin değerini bulun

Önce üs alma işlemi yapılır. Bu durumda, 5 sayısı ikinci güce yükseltilir - 25 olur. Daha sonra bu sonuç 2 sayısına eklenir.

2 + 5 2 = 2 + 25 = 27

Örnek 10. −6 2 × (−12) ifadesinin değerini bulun

Önce üs alma işlemi yapılır. −6 sayısının parantez içinde olmadığına dikkat edin, bu nedenle 6 sayısı ikinci güce yükseltilecek, ardından sonucun önüne bir eksi konulacaktır:

−6 2 × (−12) = −36 × (−12)

−36'yı (−12) ile çarparak örneği tamamlıyoruz.

−6 2 × (−12) = −36 × (−12) = 432

Örnek 11. −3 × 2 2 ifadesinin değerini bulun

Önce üs alma işlemi yapılır. Daha sonra sonuç −3 sayısı ile çarpılır.

-3 × 2 2 = -3 × 4 = -12

İfade parantez içeriyorsa, önce bu parantezler içinde işlemler, ardından üs alma, ardından çarpma ve bölme ve ardından toplama ve çıkarma yapmanız gerekir.

Örnek 12. (3 2 + 1 × 3) − 15 + 5 ifadesinin değerini bulun

Önce parantezleri yapalım. Parantez içinde, daha önce öğrendiğimiz kuralları uyguluyoruz, yani önce 3 sayısını ikinci kuvvete yükseltin, ardından 1 × 3 ile çarpma işlemini yapın, ardından 3 sayısını üst üste yükseltme ve 1 × 3 ile çarpma sonuçlarını toplayın. Daha sonra çıkarma ve toplama göründükleri sırayla gerçekleştirilir. Orijinal ifadede eylemi gerçekleştirme sırasını aşağıdaki şekilde düzenleyelim:

(3 2 + 1 × 3) - 15 + 5 = 12 - 15 + 5 = 2

Örnek 13. 2 × 5 3 + 5 × 2 3 ifadesinin değerini bulun

Önce sayıları bir kuvvete yükseltiriz, sonra çarpma işlemini gerçekleştirir ve sonuçları toplarız:

2 x 5 3 + 5 x 2 3 = 2 x 125 + 5 x 8 = 250 + 40 = 290

Güçlerin kimlik dönüşümleri

Kuvvetler üzerinde çeşitli özdeş dönüşümler gerçekleştirilebilir, böylece onları basitleştirir.

(2 3) 2 ifadesinin hesaplanması gerektiğini varsayalım. Bu örnekte, ikinin üçüncü kuvveti ikinci kuvvete yükseltilir. Başka bir deyişle, bir derece başka bir dereceye yükseltilir.

(2 3) 2, her biri 2 3'e eşit olan iki kuvvetin çarpımıdır

Üstelik bu güçlerin her biri, her biri 2'ye eşit olan üç faktörün ürünüdür.

2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 , bu 64'e eşittir. Yani (2 3) 2 veya eşittir 64 ifadesinin değeri

Bu örnek büyük ölçüde basitleştirilebilir. Bunun için (2 3) 2 ifadesinin göstergeleri çarpılabilir ve bu çarpım 2 tabanı üzerine yazılabilir.

2 6 var. İkinin altıncı kuvveti, her biri 2'ye eşit olan altı faktörün çarpımıdır. Bu çarpım 64'e eşittir

Bu özellik işe yarar çünkü 2 3, 2 × 2 × 2'nin çarpımıdır ve bu da iki kez tekrarlanır. Sonra 2 tabanının altı kez tekrarlandığı ortaya çıkıyor. Buradan 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2'nin 2 6 olduğunu yazabiliriz.

Genel olarak, herhangi bir nedenle A göstergeli M Ve N, aşağıdaki eşitlik geçerlidir:

(BİR)m = bir n × m

Bu özdeş dönüşüm denir üs alma. Bu şekilde okunabilir: “Bir kuvveti bir kuvvete yükseltirken, taban değişmeden kalır ve üsler çarpılır” .

Göstergeleri çarptıktan sonra, değeri bulunabilen başka bir derece elde edersiniz.

Örnek 2. (3 2) 2 ifadesinin değerini bulun

Bu örnekte, taban 3'tür ve 2 ve 2 sayıları üslerdir. Üs alma kuralını kullanalım. Tabanı değiştirmeden bırakıyoruz ve göstergeleri çarpıyoruz:

3 4 var. Ve 3'ün dördüncü kuvveti 81'dir.

Diğer dönüşümlere bakalım.

Güç çarpımı

Dereceleri çoğaltmak için her bir dereceyi ayrı ayrı hesaplamanız ve sonuçları çarpmanız gerekir.

Örneğin, 2 2'yi 3 3 ile çarpalım.

2 2, 4 sayısıdır ve 3 3, 27 sayısıdır. 4 ve 27 sayılarını çarparsak 108 elde ederiz

2 2 x 3 3 = 4 x 27 = 108

Bu örnekte, yetkilerin temelleri farklıydı. Tabanlar aynıysa, bir taban yazılabilir ve bir gösterge olarak, ilk derecelerin göstergelerinin toplamını yazın.

Örneğin, 2 2'yi 2 3 ile çarpın

Bu örnekte, üsler aynı tabana sahiptir. Bu durumda, bir taban 2 yazabilir ve 2 2 ve 2 3 üslerinin toplamını gösterge olarak yazabilirsiniz. Başka bir deyişle, tabanı değiştirmeden bırakın ve orijinal derecelerin üslerini toplayın. Bunun gibi görünecek:

2 5 var. 2'nin 5. kuvveti 32'dir

Bu özellik, 2 2'nin 2 × 2'nin ve 2 3'ün 2 × 2 × 2'nin çarpımı olduğu için işe yarar. Daha sonra, her biri 2'ye eşit olan beş özdeş faktörün ürünü elde edilir. Bu ürün 2 5 olarak gösterilebilir.

Genel olarak, herhangi bir A ve göstergeler M Ve N aşağıdaki eşitlik geçerlidir:

Bu özdeş dönüşüm denir derecenin ana özelliği. Bu şekilde okunabilir: PAynı tabana sahip kuvvetler çarpılırken taban değişmeden kalır ve üsler toplanır. .

Bu dönüşümün herhangi bir sayıda dereceye uygulanabileceğini unutmayın. Ana şey, tabanın aynı olmasıdır.

Örneğin, 2 1 × 2 2 × 2 3 ifadesinin değerini bulalım. Temel 2

Bazı problemlerde, nihai dereceyi hesaplamadan karşılık gelen dönüşümü gerçekleştirmek yeterli olabilir. Bu elbette çok uygundur, çünkü büyük kuvvetleri hesaplamak o kadar kolay değildir.

örnek 1. 5 8 × 25 ifadesini bir kuvvet olarak ifade edin

Bu problemde 5 8×25 ifadesi yerine 1 derece elde edecek şekilde yapmanız gerekiyor.

25 sayısı 5 2 olarak gösterilebilir. Ardından aşağıdaki ifadeyi elde ederiz:

Bu ifadede, derecenin ana özelliğini uygulayabilirsiniz - 5 tabanını değiştirmeden bırakın ve 8 ve 2 göstergelerini ekleyin:

Kısaca çözümü yazalım:

Örnek 2. 2 9 × 32 ifadesini bir kuvvet olarak ifade edin

32 sayısı 2 5 olarak gösterilebilir. Sonra 2 9 × 2 5 ifadesini elde ederiz. Ardından, derecenin temel özelliğini uygulayabilirsiniz - 2 tabanını değiştirmeden bırakın ve 9 ve 5 göstergelerini ekleyin. Bu, aşağıdaki çözümle sonuçlanacaktır:

Örnek 3. Temel güç özelliğini kullanarak 3 × 3 çarpımı hesaplayın.

Herkes üç kere üçün dokuz ettiğini gayet iyi bilir, ancak görev, çözme sürecinde derecenin ana özelliğini kullanmayı gerektirir. Nasıl yapılır?

Gösterge olmadan bir sayı verilirse, göstergenin bire eşit kabul edilmesi gerektiğini hatırlıyoruz. Böylece 3 ve 3'ün çarpanları 3 1 ve 3 1 olarak yazılabilir.

3 1 × 3 1

Şimdi derecenin ana özelliğini kullanıyoruz. Taban 3'ü değiştirmeden bırakıyoruz ve 1 ve 1 göstergelerini ekliyoruz:

3 1 × 3 1 = 3 2 = 9

Örnek 4. Temel kuvvet özelliğini kullanarak 2 × 2 × 3 2 × 3 3 çarpımını hesaplayın.

2 × 2 çarpımını 2 1 × 2 1 , ardından 2 1 + 1 ve ardından 2 2 ile değiştiriyoruz. 3 2 × 3 3'ün çarpımı 3 2 + 3 ve ardından 3 5 ile değiştirilir

Örnek 5. Çarpma gerçekleştir x x x

Bunlar, göstergeleri 1 olan iki özdeş alfabetik faktördür. Açıklık için bu göstergeleri yazıyoruz. Daha fazla baz X değiştirmeden bırakın ve göstergeleri ekleyin:

Tahtanın başındayken, kuvvetler çarpımını aynı tabanlarla burada olduğu gibi ayrıntılı olarak yazmamak gerekir. Bu tür hesaplamalar akılda yapılmalıdır. Ayrıntılı bir giriş büyük olasılıkla öğretmeni rahatsız edecek ve bunun için notu düşürecektir. Burada, malzemenin anlaşılması için mümkün olduğu kadar erişilebilir olması için ayrıntılı bir kayıt verilmiştir.

Bu örneğin çözümü şu şekilde yazılmalıdır:

Örnek 6. Çarpma gerçekleştir X 2 x x

İkinci faktörün indeksi bire eşittir. Anlaşılır olması için yazalım. Ardından, tabanı değiştirmeden bırakıyoruz ve göstergeleri ekliyoruz:

Örnek 7. Çarpma gerçekleştir y 3 y 2 y

Üçüncü faktörün indeksi bire eşittir. Anlaşılır olması için yazalım. Ardından, tabanı değiştirmeden bırakıyoruz ve göstergeleri ekliyoruz:

Örnek 8. Çarpma gerçekleştir bir 3 bir 2 bir 5

Birinci faktörün indeksi bire eşittir. Anlaşılır olması için yazalım. Ardından, tabanı değiştirmeden bırakıyoruz ve göstergeleri ekliyoruz:

Örnek 9. 3 8'in kuvvetini aynı tabana sahip kuvvetlerin çarpımı olarak ifade edin.

Bu problemde, tabanları 3'e ve üslerin toplamı 8'e eşit olacak kuvvetlerin bir çarpımını yapmanız gerekiyor. Herhangi bir gösterge kullanabilirsiniz. 3 8 derecesini 3 5 ve 3 3 kuvvetlerinin ürünü olarak temsil ediyoruz.

Bu örnekte, yine derecenin ana özelliğine güvendik. Sonuçta, 3 5 × 3 3 ifadesi 3 5 + 3 olarak yazılabilir, dolayısıyla 3 8 .

Elbette 3 8 gücünü diğer güçlerin bir ürünü olarak temsil etmek mümkündü. Örneğin 3 7 × 3 1 şeklinde, çünkü bu çarpım da 3 8

Bir dereceyi aynı temele sahip güçlerin bir ürünü olarak temsil etmek çoğunlukla yaratıcı bir çalışmadır. Bu yüzden denemekten korkmayın.

Örnek 10. Dereceyi Gönder X 12 üslü güçlerin çeşitli ürünleri olarak X .

Derecenin ana özelliğini kullanalım. Hayal etmek X 12 tabanlı ürünler olarak X ve üslerinin toplamı 12'ye eşit olan

Belirginlik için göstergelerin toplamları ile yapılar kaydedildi. Çoğu zaman atlanabilirler. O zaman kompakt bir çözüm elde ederiz:

Bir ürünün üssü

Bir çarpımı bir güce yükseltmek için, bu çarpımın her bir faktörünü belirtilen güce yükseltmeniz ve sonuçları çarpmanız gerekir.

Örneğin 2×3 çarpımını 2. kuvvete yükseltelim. Bu ürünü parantez içinde alıyoruz ve gösterge olarak 2'yi gösteriyoruz.

Şimdi 2×3 çarpımının her bir faktörünü ikinci kuvvete yükseltelim ve sonuçları çarpalım:

Bu kuralın çalışma prensibi, en başta verilen derece tanımına dayanmaktadır.

2 × 3'ün çarpımını ikinci kuvvete yükseltmek, bu çarpımı iki kez tekrarlamak anlamına gelir. Ve iki kez tekrarlarsanız, aşağıdakileri elde edebilirsiniz:

2×3×2×3

Faktörlerin yerlerinin permütasyonundan, çarpım değişmez. Bu, aynı çarpanları gruplandırmanıza izin verir:

2×2×3×3

Tekrarlayan çarpanlar, kısa girişlerle değiştirilebilir - üslü tabanlar. 2×2 ürün 2 2 ile, 3×3 ürün ise 3 2 ile değiştirilebilir. Daha sonra 2 × 2 × 3 × 3 ifadesi, 2 2 × 3 2 ifadesine dönüşür.

İzin vermek ab Orijinal iş. Bu ürünü güce yükseltmek için N, faktörleri ayrı ayrı yükseltmeniz gerekir A Ve B belirtilen dereceye N

Bu özellik herhangi bir sayıda faktör için geçerlidir. Aşağıdaki ifadeler de geçerlidir:

Örnek 2. (2 × 3 × 4) 2 ifadesinin değerini bulun

Bu örnekte 2×3×4 çarpımını 2. kuvvete yükseltmeniz gerekiyor. Bunu yapmak için, bu çarpımın her bir faktörünü ikinci güce yükseltmeniz ve sonuçları çarpmanız gerekir:

Örnek 3. Ürünü üçüncü güce yükseltin a×b×c

Bu ürünü parantez içine alıyoruz ve gösterge olarak 3 rakamını belirtiyoruz.

Örnek 4. Ürünü üçüncü güce yükseltin 3 xyz

Bu ürünü parantez içine alıyoruz ve gösterge olarak 3'ü gösteriyoruz.

(3xyz) 3

Bu çarpımın her bir faktörünü üçüncü kuvvete yükseltelim:

(3xyz) 3 = 3 3 X 3 y 3 z 3

3'ün üçüncü kuvveti 27 sayısına eşittir. Gerisini değiştirmeden bırakıyoruz:

(3xyz) 3 = 3 3 X 3 y 3 z 3 = 27X 3 y 3 z 3

Bazı örneklerde, aynı üslü kuvvetlerin çarpımı, aynı üslü tabanların çarpımı ile değiştirilebilir.

Örneğin, 5 2 × 3 2 ifadesinin değerini hesaplayalım. Her sayıyı ikinci güce yükseltin ve sonuçları çarpın:

5 2x3 2 = 25x9 = 225

Ancak her dereceyi ayrı ayrı hesaplayamazsınız. Bunun yerine, bu güçler çarpımı, bir üste (5 × 3) 2 sahip bir çarpımla değiştirilebilir. Ardından, değeri parantez içinde hesaplayın ve sonucu ikinci güce yükseltin:

5 2 × 3 2 = (5 × 3) 2 = (15) 2 = 225

Bu durumda, çarpımın üs alma kuralı tekrar kullanıldı. Sonuçta, eğer (bir x b)N = bir n × b n , O bir n × b n = (bir × b) n. Yani, denklemin sol ve sağ tarafları tersine çevrilir.

üs alma

Derecelerin özdeş dönüşümlerinin özünü anlamaya çalışırken bu dönüşümü bir örnek olarak ele aldık.

Bir kuvveti bir kuvvete yükseltirken, taban değişmeden kalır ve üsler çarpılır:

(BİR)m = bir n × m

Örneğin, (2 3) 2 ifadesi bir kuvveti bir kuvvete yükseltiyor - ikinin üçüncü kuvveti ikinci kuvvete yükseltiliyor. Bu ifadenin değerini bulmak için taban değişmeden bırakılabilir ve üsler çarpılabilir:

(2 3) 2 = 2 3 × 2 = 2 6

(2 3) 2 = 2 3 × 2 = 2 6 = 64

Bu kural, önceki kurallara dayanmaktadır: çarpımın üssü ve derecenin temel özelliği.

(2 3) 2 ifadesine geri dönelim. Parantez 2 3 içindeki ifade, her biri 2'ye eşit olan üç özdeş çarpanın ürünüdür. Daha sonra (2 3) 2 ifadesinde, parantez içindeki kuvvet, 2 × 2 × 2 çarpımı ile değiştirilebilir.

(2×2×2) 2

Bu da daha önce incelediğimiz çarpımın üssü. Bir çarpımı bir güce yükseltmek için, bu çarpımın her bir faktörünü belirtilen güce yükseltmeniz ve sonuçları çarpmanız gerektiğini hatırlayın:

(2x2x2) 2 = 2 2x2 2x2 2

Şimdi derecenin ana özelliği ile ilgileniyoruz. Tabanı değiştirmeden bırakıyoruz ve göstergeleri ekliyoruz:

(2 x 2 x 2) 2 = 2 2 x 2 2 x 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6

Daha önce olduğu gibi, elimizde 2 6 var. Bu derecenin değeri 64

(2 x 2 x 2) 2 = 2 2 x 2 2 x 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6 = 64

Faktörleri aynı zamanda güç olan bir çarpım da bir güce yükseltilebilir.

Örneğin, (2 2 × 3 2) 3 ifadesinin değerini bulalım. Burada her çarpanın göstergeleri toplam gösterge 3 ile çarpılmalıdır. Ardından, her derecenin değerini bulun ve ürünü hesaplayın:

(2 2 x 3 2) 3 = 2 2 x 3 x 3 2 x 3 = 2 6 x 3 6 = 64 x 729 = 46656

Bir ürünün gücüne yükseltirken yaklaşık olarak aynı şey olur. Bir çarpımı bir kuvvete yükseltirken, bu çarpımdaki her bir faktörün gösterilen kuvvete yükseltildiğini söylemiştik.

Örneğin, 2 × 4'ün çarpımını üçüncü kuvvete yükseltmek için aşağıdaki ifadeyi yazmanız gerekir:

Ancak daha önce, gösterge olmadan bir sayı verilirse göstergenin bire eşit kabul edilmesi gerektiği söylendi. 2 × 4 çarpımının faktörlerinin başlangıçta 1'e eşit üslere sahip olduğu ortaya çıktı. Bu, 2 1 × 4 1 ​​​​ifadesinin üçüncü güce yükseltildiği anlamına gelir. Bu da bir derecenin bir kuvvete yükseltilmesidir.

Üs alma kuralını kullanarak çözümü yeniden yazalım. Aynı sonucu almalıyız:

Örnek 2. (3 3) 2 ifadesinin değerini bulun

Tabanı değiştirmeden bırakıyoruz ve göstergeleri çarpıyoruz:

3 6 var. 3'ün altıncı kuvveti 729 sayısıdır.

Örnek 3xy)³

Örnek 4. İfadede üs alma işlemini gerçekleştirin ( ABC)⁵

Çarpımın her bir faktörünü beşinci güce yükseltelim:

Örnek 5balta) 3

Çarpımın her bir faktörünü üçüncü kuvvete yükseltelim:

−2 negatif sayısı üçüncü kuvvete yükseltildiği için parantez içinde alınmıştır.

Örnek 6. İfadede üs alma işlemi gerçekleştirin (10 xy) 2

Örnek 7. İfadede üs alma işlemini gerçekleştirin (−5 X) 3

Örnek 8. İfadede üs alma işlemini gerçekleştirin (−3 y) 4

Örnek 9. İfadede üs alma işlemini gerçekleştirin (−2 abx)⁴

Örnek 10. Ifadeyi basitleştir X 5×( X 2) 3

Derece X 5 şimdilik değişmeden kalacak ve ifadede ( X 2) 3 üsse üs alma işlemini gerçekleştirin:

X 5 × (X 2) 3 = x 5 x x 2×3 = x 5 x x 6

şimdi çarpma işlemini yapalım X 5 x x 6. Bunu yapmak için derecenin ana özelliğini kullanırız - taban X değiştirmeden bırakın ve göstergeleri ekleyin:

X 5 × (X 2) 3 = x 5 x x 2×3 = x 5 x x 6 = X 5 + 6 = X 11

Örnek 9. Derecenin temel özelliğini kullanarak 4 3 × 2 2 ifadesinin değerini bulun.

Başlangıç ​​derecelerinin tabanları aynı ise derecenin ana özelliği kullanılabilir. Bu örnekte, tabanlar farklıdır, bu nedenle, başlangıçta, derecelerin tabanlarını aynı hale getirmek için orijinal ifadenin biraz değiştirilmesi gerekir.

4 3'ün gücüne yakından bakalım. Bu derecenin tabanı, 2 2 olarak gösterilebilen 4 sayısıdır. Ardından orijinal ifade (2 2) 3 × 2 2 şeklini alacaktır. (2 2) 3 ifadesindeki bir kuvvete üs alarak 2 6 elde ederiz. Daha sonra orijinal ifade, derecenin ana özelliği kullanılarak hesaplanabilen 2 6 × 2 2 şeklini alacaktır.

Bu örneğin çözümünü yazalım:

derece bölümü

Kuvvet bölme işlemini gerçekleştirmek için, her bir kuvvetin değerini bulmanız, ardından sıradan sayıların bölünmesini gerçekleştirmeniz gerekir.

Örneğin, 4 3'ü 2 2'ye bölelim.

4 3'ü hesaplayın, 64 elde ederiz. 2 2'yi hesaplıyoruz, 4 elde ediyoruz. Şimdi 64'ü 4'e bölüyoruz, 16 elde ediyoruz

Tabanın dereceleri bölünürken aynı çıkarsa, taban değişmeden bırakılabilir ve bölenin üssü temettü üssünden çıkarılabilir.

Örneğin 2 3: 2 2 ifadesinin değerini bulalım.

2 tabanını değiştirmeden bırakıyoruz ve bölenin üssünü bölenin üssünden çıkarıyoruz:

Yani 2 3: 2 2 ifadesinin değeri 2'dir.

Bu özellik, aynı esaslara sahip kuvvetlerin çarpımına veya eskiden dediğimiz gibi derecenin ana özelliğine dayanmaktadır.

Bir önceki örneğe dönelim 2 3: 2 2 . Burada bölünen 2 3 ve bölen 2 2'dir.

Bir sayıyı başka bir sayıya bölmek, bir bölenle çarpıldığında sonuç olarak böleni verecek bir sayı bulmak anlamına gelir.

Bizim durumumuzda, 2 3'ü 2 2'ye bölmek, bölen 2 2 ile çarpıldığında 2 3 sonucunu verecek bir kuvvet bulmak anlamına gelir. 2 3 elde etmek için 2 2 ile hangi kuvvet çarpılabilir? Açıkçası, sadece derece 2 1 . Sahip olduğumuz derecenin ana özelliğinden:

2 3: 2 2 ifadesinin değerinin 2 1 olduğunu doğrudan 2 3: 2 2 ifadesini değerlendirerek doğrulayabilirsiniz. Bunun için önce 2 3 derecesinin değerini buluyoruz, 8 elde ediyoruz. Sonra 2 2 derecesinin değerini buluruz, 4 elde ederiz. 8'i 4'e bölersek 2 veya 2 1 elde ederiz, çünkü 2 = 2 1 .

2 3: 2 2 = 8: 4 = 2

Böylece, aynı tabana sahip kuvvetler bölünürken aşağıdaki eşitlik geçerlidir:

Sadece bazlar değil, göstergeler de aynı olabilir. Bu durumda, cevap bir olacaktır.

Örneğin 2 2: 2 2 ifadesinin değerini bulalım. Her derecenin değerini hesaplayalım ve elde edilen sayıların bölünmesini gerçekleştirelim:

Örnek 2 2: 2 2'yi çözerken, dereceleri aynı tabanlarla bölme kuralını da uygulayabilirsiniz. 2 2 ve 2 2'nin üsleri arasındaki fark sıfır olduğundan, sonuç sıfırıncı bir sayıdır:

2 üzeri sıfır derecesinin neden bire eşit olduğunu yukarıda öğrendik. 2 2: 2 2'yi normal şekilde, derece bölme kuralını kullanmadan hesaplarsanız, bir tane elde edersiniz.

Örnek 2. 4 12: 4 10 ifadesinin değerini bulun

4'ü değiştirmeden bırakıyoruz ve bölenin üssünü bölenin üssünden çıkarıyoruz:

4 12: 4 10 = 4 12 − 10 = 4 2 = 16

Örnek 3. gizli gönder X 3: X tabanlı bir derece olarak X

Derece bölme kuralını kullanalım. Temel X değiştirmeden bırakın ve bölenin üssünü bölenin üssünden çıkarın. Bölen üssü bire eşittir. Anlaşılır olması için şunu yazalım:

Örnek 4. gizli gönder X 3: X 2 tabanlı bir güç olarak X

Derece bölme kuralını kullanalım. Temel X

Derecelerin bölümü bir kesir olarak yazılabilir. Yani, önceki örnek aşağıdaki gibi yazılabilir:

Bir kesrin payı ve paydası, genişletilmiş biçimde, yani aynı faktörlerin çarpımı biçiminde yazılabilir. Derece X 3 olarak yazılabilir x × x × x ve derece X 2 olarak x x x. Daha sonra inşaat X 3 - 2 atlanabilir ve kesir azaltma kullanılabilir. Payda ve paydada, her biri iki çarpanı azaltmak mümkün olacaktır. X. Sonuç bir çarpan olacak X

Veya daha da kısa:

Ayrıca kuvvetlerden oluşan kesirleri hızlı bir şekilde azaltabilmekte fayda var. Örneğin, bir kesir şuna indirgenebilir: X 2. Bir kesri azaltmak için X 2 kesrin payını ve paydasını şuna bölmeniz gerekir: X 2

Derecelerin bölünmesi ayrıntılı olarak açıklanamaz. Yukarıdaki kısaltma daha kısa yapılabilir:

Veya daha da kısa:

Örnek 5. Bölmeyi yürüt X 12 : X 3

Derece bölme kuralını kullanalım. Temel X değiştirmeden bırakın ve bölenin üssünü bölenin üssünden çıkarın:

Çözümü kesir indirgeme kullanarak yazıyoruz. güçler ayrılığı X 12 : X 3 olarak yazılacaktır. Sonra, bu kesri şu kadar azaltırız: X 3 .

Örnek 6. Bir ifadenin değerini bulun

Payda, kuvvetlerin çarpımını aynı tabanlarla yapıyoruz:

Şimdi aynı tabana sahip kuvvetleri bölmek için kuralı uyguluyoruz. 7 tabanını değiştirmeden bırakıyoruz ve bölenin üssünü bölenin üssünden çıkarıyoruz:

7 2'nin kuvvetini hesaplayarak örneği tamamlıyoruz.

Örnek 7. Bir ifadenin değerini bulun

Payda üs alma işlemini yapalım. Bunu (2 3) 4 ifadesiyle yapmanız gerekiyor.

Şimdi payda aynı tabana sahip kuvvetlerin çarpımını yapalım.

Belirli bir sayıyı bir kuvvete yükseltmeniz gerekiyorsa, kullanabilirsiniz. Şimdi daha yakından inceleyeceğiz güçlerin özellikleri.

üstel sayılar büyük olasılıklar açarlar, çarpmayı toplamaya dönüştürmemizi sağlarlar ve toplama, çarpmadan çok daha kolaydır.

Örneğin 16'yı 64 ile çarpmamız gerekiyor. Bu iki sayının çarpımı 1024. Ama 16 4x4, 64 ise 4x4x4. Yani 16 çarpı 64=4x4x4x4x4 ki bu yine 1024 eder.

16 sayısı da 2x2x2x2, 64 ise 2x2x2x2x2x2 olarak gösterilebilir ve çarparsak yine 1024 elde ederiz.

Şimdi kuralı kullanalım. 16=4 2 veya 2 4 , 64=4 3 veya 2 6 iken 1024=6 4 =4 5 veya 2 10 .

Bu nedenle, problemimiz başka bir şekilde yazılabilir: 4 2 x4 3 =4 5 veya 2 4 x2 6 =2 10 ve her seferinde 1024 elde ederiz.

Bir dizi benzer örneği çözebilir ve kuvvetleri olan sayıların çarpmasının şuna indirgendiğini görebiliriz: üslerin eklenmesi veya bir üs, elbette, faktörlerin tabanlarının eşit olması koşuluyla.

Böylece çarpmadan hemen 2 4 x2 2 x2 14 \u003d 2 20 diyebiliriz.

Bu kural, sayıları üslerle bölerken de geçerlidir, ancak bu durumda e bölenin üssü bölenin üssünden çıkarılır. Böylece, 2 5:2 3 =2 2 , bu da sıradan sayılarda 32:8=4'e, yani 2 2'ye eşittir. Özetleyelim:

a m x a n \u003d a m + n, a m: an n \u003d a m-n, burada m ve n tam sayılardır.

İlk bakışta öyle görünebilir sayıların kuvvetleri ile çarpma ve bölme işlemiçok uygun değil, çünkü önce sayıyı üstel biçimde göstermeniz gerekiyor. 8 ve 16 sayılarını yani 2 3 ve 2 4 sayılarını bu formda temsil etmek zor değil ama 7 ve 17 sayılarıyla bunu nasıl yapacağız? Veya sayının üstel biçimde temsil edilebildiği, ancak sayıların üstel ifadelerinin temellerinin çok farklı olduğu durumlarda ne yapılmalı? Örneğin, 8×9 2 3 x 3 2'dir, bu durumda üsleri toplayamayız. Cevap ne 2 5, ne 3 5, ne de ikisinin arası.

O zaman bu yöntemle hiç uğraşmaya değer mi? Kesinlikle buna değer. Özellikle karmaşık ve zaman alıcı hesaplamalar için çok büyük avantajlar sağlar.

Daha önce bir sayının kuvvetinin ne olduğundan bahsetmiştik. Sorunları çözmede yararlı olan belirli özelliklere sahiptir: bu makalede analiz edeceğimiz onlar ve tüm olası üsler. Ayrıca pratikte nasıl kanıtlanabileceklerini ve doğru bir şekilde uygulanabileceklerini örneklerle göstereceğiz.

Daha önce formüle ettiğimiz doğal üslü derece kavramını hatırlayalım: bu, her biri a'ya eşit olan n'inci sayıda faktörün ürünüdür. Gerçek sayıları nasıl doğru şekilde çarpacağımızı da hatırlamamız gerekiyor. Bütün bunlar, doğal göstergeli bir derece için aşağıdaki özellikleri formüle etmemize yardımcı olacaktır:

tanım 1

1. Derecenin ana özelliği: a m a n = a m + n

Genelleştirilebilir: bir n 1 · bir n 2 · … · bir n k = bir n 1 + n 2 + … + n k .

2. Tabanı aynı olan kuvvetler için bölüm özelliği: a m: an n = a m − n

3. Ürün derecesi özelliği: (a b) n = a n b n

Eşitlik şu şekilde genişletilebilir: (a 1 a 2 … a k) n = a 1 n a 2 n … a k n

4. Doğal bir derecenin özelliği: (a: b) n = a n: b n

5. Gücü güce yükseltiyoruz: (a m) n = a m n ,

Genelleştirilebilir: (((bir n 1) n 2) …) n k = bir n 1 n 2 … n k

6. Dereceyi sıfır ile karşılaştırın:

• a > 0 ise, herhangi bir doğal n için, n sıfırdan büyük olacaktır;
• 0'a eşit olduğunda, n de sıfıra eşit olacaktır;
• için< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
• için< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.

7. Eşitlik bir n< b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.

8. a m > a n eşitsizliği, m ve n'nin doğal sayılar olması, m'nin n'den büyük olması ve a'nın sıfırdan büyük ve birden küçük olmaması koşuluyla doğru olacaktır.

Sonuç olarak, birkaç eşitlik elde ettik; yukarıda belirtilen tüm koşulları karşılıyorsanız, bunlar aynı olacaktır. Eşitliklerin her biri için, örneğin ana özellik için, sağ ve sol kısımları değiştirebilirsiniz: a m · an n = a m + n - a m + n = a m · an n ile aynıdır. Bu formda, genellikle ifadeleri basitleştirirken kullanılır.

1. Derecenin ana özelliği ile başlayalım: a m · an = a m + n eşitliği, herhangi bir doğal m ve n ve gerçek a için doğru olacaktır. Bu ifade nasıl kanıtlanır?

Doğal üslü kuvvetlerin temel tanımı, eşitliği faktörlerin bir ürününe dönüştürmemize izin verecektir. Bunun gibi bir giriş alacağız:

Bu kısaltılabilir (çarpmanın temel özelliklerini hatırlayın). Sonuç olarak, doğal üssü m + n olan a sayısının derecesini elde ettik. Böylece a m + n yani derecenin temel özelliği kanıtlanmış olur.

Bunu kanıtlamak için somut bir örnek verelim.

örnek 1

Yani tabanı 2 olan iki kuvvetimiz var. Doğal göstergeleri sırasıyla 2 ve 3'tür. Eşitliği elde ettik: 2 2 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 Bu eşitliğin doğruluğunu kontrol etmek için değerleri hesaplayalım.

Gerekli matematiksel işlemleri yapalım: 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 ve 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32

Sonuç olarak şunu elde ettik: 2 2 2 3 = 2 5 . Özellik kanıtlanmıştır.

Çarpmanın özelliklerinden dolayı, özelliği, üsleri doğal sayılar ve tabanları aynı olan üç veya daha fazla kuvvet şeklinde formüle ederek genelleştirebiliriz. Doğal sayıların sayısını n 1, n 2 vb. k harfi ile gösterirsek, doğru eşitliği elde ederiz:

bir n 1 bir n 2 … bir n k = bir n 1 + n 2 + … + n k .

Örnek 2

2. Daha sonra, bölüm özelliği olarak adlandırılan ve aynı temellere sahip üslerde bulunan şu özelliği kanıtlamamız gerekiyor: bu, herhangi bir doğal m ve n (ve m) için geçerli olan a m: a n = a m - n eşitliğidir. büyüktür n)) ve sıfır olmayan herhangi bir gerçek a .

Başlangıç ​​olarak, formülasyonda belirtilen koşulların anlamının tam olarak ne olduğunu açıklayalım. Sıfıra eşit alırsak, sonunda sıfıra bölme elde ederiz ki bu yapılamaz (sonuçta, 0 n = 0). Doğal üsler içinde kalabilmemiz için m sayısının n'den büyük olması koşulu gereklidir: n'yi m'den çıkararak bir doğal sayı elde ederiz. Koşul karşılanmazsa, negatif bir sayı veya sıfır alacağız ve yine doğal göstergelerle derece çalışmasının ötesine geçeceğiz.

Artık ispata geçebiliriz. Daha önce incelenenlerden, kesirlerin temel özelliklerini hatırlıyoruz ve eşitliği aşağıdaki gibi formüle ediyoruz:

bir m - n bir n = bir (m - n) + n = bir m

Buradan şunu çıkarabiliriz: a m − n a n = a m

Bölme ve çarpma arasındaki bağlantıyı hatırlayın. Bundan, a m - n'nin, a m ve an n güçlerinin bir bölümü olduğu sonucu çıkar. Bu, ikinci derece özelliğin ispatıdır.

Örnek 3

Göstergelerdeki netlik için belirli sayıları değiştirin ve derecenin tabanını belirtin π: π 5: π 2 = π 5 − 3 = π 3

3. Daha sonra, çarpım derecesinin özelliğini analiz edeceğiz: (a · b) n = a n · b n herhangi bir gerçek a ve b ve doğal n için.

Doğal üslü bir derecenin temel tanımına göre, eşitliği şu şekilde yeniden formüle edebiliriz:

Çarpmanın özelliklerini hatırlayarak şunu yazıyoruz: . a n · b n ile aynı anlama gelir.

Örnek 4

2 3 - 4 2 5 4 = 2 3 4 - 4 2 5 4

Üç veya daha fazla çarpanımız varsa, bu özellik bu durum için de geçerlidir. Faktör sayısı için k gösterimini tanıtıyoruz ve şunu yazıyoruz:

(a 1 a 2 … a k) n = a 1 n a 2 n … a k n

Örnek 5

Belirli sayılarla aşağıdaki doğru eşitliği elde ederiz: (2 (- 2 , 3) ​​​​a) 7 = 2 7 (- 2 , 3) ​​​​7 a

4. Bundan sonra, bölüm özelliğini kanıtlamaya çalışacağız: (a:b) n = a n:b n herhangi bir gerçek a ve b için, eğer b 0'a eşit değilse ve n bir doğal sayıdır.

Kanıt için bir önceki derece özelliğini kullanabiliriz. (a: b) n b n = ((a: b) b) n = an n ve (a: b) n b n = an n ise, bundan (a: b) n'nin, a n'yi b n'ye bölümünün bir bölümü olduğu sonucu çıkar.

Örnek 6

Örneği sayalım: 3 1 2: - 0 . 5 3 = 3 1 2 3: (- 0 , 5) 3

Örnek 7

Hemen bir örnekle başlayalım: (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6

Ve şimdi bize eşitliğin doğruluğunu kanıtlayacak bir eşitlik zinciri formüle ediyoruz:

Örnekte derece derecelerimiz varsa, bu özellik onlar için de geçerlidir. Herhangi bir p, q, r, s doğal sayımız varsa, bu doğru olacaktır:

a p q y s = a p q y s

Örnek 8

Özellikleri ekleyelim: (((5 , 2) 3) 2) 5 = (5 , 2) 3 2 5 = (5 , 2) 30

6. Doğal üslü derecelerin kanıtlamamız gereken bir başka özelliği de karşılaştırma özelliğidir.

İlk olarak, üssü sıfır ile karşılaştıralım. a'nın 0'dan büyük olması koşuluyla neden bir n > 0?

Bir pozitif sayıyı diğeriyle çarparsak, yine pozitif bir sayı elde ederiz. Bu gerçeği bilerek, bunun faktör sayısına bağlı olmadığını söyleyebiliriz - herhangi bir sayıda pozitif sayıyı çarpmanın sonucu pozitif bir sayıdır. Sayıları çarpmanın sonucu değilse, derece nedir? O zaman pozitif tabanlı ve doğal üslü herhangi bir n kuvveti için bu doğru olacaktır.

Örnek 9

3 5 > 0 , (0 , 00201) 2 > 0 ve 34 9 13 51 > 0

Tabanı sıfıra eşit olan bir kuvvetin kendisinin sıfır olduğu da açıktır. Sıfırı hangi kuvvete yükseltirsek yükseltelim, öyle kalacaktır.

Örnek 10

0 3 = 0 ve 0 762 = 0

Derecenin tabanı negatif bir sayıysa, çift / tek üs kavramı önem kazandığından ispat biraz daha karmaşıktır. Üs çift olduğu durumla başlayalım ve 2 · m ile gösterelim, burada m bir doğal sayıdır.

Negatif sayıların doğru şekilde nasıl çarpılacağını hatırlayalım: a · a çarpımı modüllerin çarpımına eşittir ve bu nedenle pozitif bir sayı olacaktır. Daha sonra ve a 2 · m derecesi de pozitiftir.

Örnek 11

Örneğin, (− 6) 4 > 0 , (− 2 , 2) 12 > 0 ve - 2 9 6 > 0

Negatif tabanlı üs tek bir sayıysa ne olur? 2 · m - 1 olarak gösterelim.

Daha sonra

Çarpmanın özelliklerine göre tüm a · a çarpımları pozitiftir ve çarpımları da öyle. Ancak bunu kalan tek sayı ile çarparsak a , o zaman nihai sonuç negatif olacaktır.

Sonra şunu elde ederiz: (− 5) 3< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0

Nasıl kanıtlanır?

BİR< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .

Örnek 12

Örneğin, eşitsizlikler doğrudur: 3 7< (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124

8. Geriye son özelliği kanıtlamak kalıyor: Tabanları aynı ve pozitif olan ve üsleri doğal sayılar olan iki derecemiz varsa, bunlardan biri daha büyük, üssü daha az; ve doğal göstergeleri olan ve aynı tabanları birden büyük olan iki dereceden, göstergesi büyük olan derece daha büyüktür.

Bu iddiaları kanıtlayalım.

İlk önce bir m olduğundan emin olmamız gerekiyor< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n

Parantezlerden bir n alırız, bundan sonra farkımız bir n · (am - n - 1) şeklini alır. Sonucu negatif olacaktır (çünkü pozitif bir sayıyı negatif bir sayı ile çarpmanın sonucu negatiftir). Aslında, başlangıç ​​koşullarına göre, m − n > 0, o zaman a m − n − 1 negatiftir ve pozitif tabanlı herhangi bir doğal güç gibi ilk faktör pozitiftir.

Bir m - bir n olduğu ortaya çıktı< 0 и a m < a n . Свойство доказано.

Geriye yukarıda formüle edilen ifadenin ikinci bölümünü kanıtlamak kalıyor: m > n ve a > 1 için a m > a doğrudur. Farkı belirtiyoruz ve parantez içinden bir n alıyoruz: (a m - n - 1) Birden büyük olan bir n'nin kuvveti pozitif sonuç verecektir; ve farkın kendisi de başlangıç ​​koşulları nedeniyle pozitif olacaktır ve a > 1 için a m - n'nin derecesi birden büyüktür. Kanıtlamamız gereken a m − a n > 0 ve a m > an n olduğu ortaya çıktı.

Örnek 13

Belirli sayılarla örnek: 3 7 > 3 2

Tam sayı üslü derecelerin temel özellikleri

Pozitif tamsayı üslü dereceler için özellikler benzer olacaktır, çünkü pozitif tamsayılar doğal sayılardır, bu da yukarıda ispatlanan tüm eşitliklerin onlar için de geçerli olduğu anlamına gelir. Üslerin negatif veya sıfıra eşit olduğu durumlar için de uygundurlar (derece tabanının sıfır olmaması şartıyla).

Bu nedenle, kuvvetlerin özellikleri, herhangi bir a ve b tabanı (bu sayıların gerçek olması ve 0'a eşit olmaması şartıyla) ve herhangi bir m ve n üssü (tamsayı olmaları şartıyla) için aynıdır. Bunları kısaca formüller halinde yazıyoruz:

Tanım 2

1. bir m bir n = bir m + n

2. bir m: bir n = bir m - n

3. (a b) n = bir n b n

4. (a:b) n = bir n: b n

5. (am) n = bir m n

6. bir n< b n и a − n >b - n, pozitif tam sayı n , pozitif a ve b , a ile< b

7. bir dakika< a n , при условии целых m и n , m >n ve 0< a < 1 , при a >1:00 > bir n .

Derecenin tabanı sıfıra eşitse, a m ve a n girdileri yalnızca doğal ve pozitif m ve n durumunda anlamlıdır. Sonuç olarak, diğer tüm koşullar karşılanırsa, yukarıdaki formülasyonların sıfır tabanlı derece durumları için de uygun olduğunu bulduk.

Bu özelliklerin bu durumda ispatları basittir. Doğal ve tam sayı üslü bir derecenin yanı sıra gerçek sayılarla eylemlerin özelliklerini hatırlamamız gerekecek.

Derecenin derecedeki özelliğini inceleyelim ve bunun hem pozitif tam sayılar hem de pozitif olmayan tam sayılar için doğru olduğunu kanıtlayalım. (a p) q = a p q , (a − p) q = a (− p) q , (a p) − q = a p (− q) ve (a − p) − q = a (− p) (−q)

Koşullar: p = 0 veya doğal sayı; q - benzer şekilde.

p ve q değerleri 0'dan büyükse, (a p) q = a p · q elde ederiz. Benzer bir eşitliği daha önce ispatlamıştık. Eğer p = 0 ise:

(a 0) q = 1 q = 1 a 0 q = a 0 = 1

Bu nedenle, (a 0) q = a 0 q

q = 0 için her şey tamamen aynıdır:

(a p) 0 = 1 a p 0 = a 0 = 1

Sonuç: (a p) 0 = a p 0 .

Her iki gösterge de sıfırsa, o zaman (a 0) 0 = 1 0 = 1 ve a 0 0 = a 0 = 1, o zaman (a 0) 0 = a 0 0 .

Yukarıda ispatlanan kuvvetteki bölümün özelliğini hatırlayın ve şunu yazın:

1 bir p q = 1 q bir p q

1 p = 1 1 … 1 = 1 ve a p q = a p q ise, 1 q a p q = 1 a p q

Bu gösterimi temel çarpma kuralları sayesinde a (− p) · q'ya dönüştürebiliriz.

Ayrıca: a p - q = 1 (a p) q = 1 a p q = a - (p q) = a p (- q) .

VE (a - p) - q = 1 a p - q = (a p) q = a p q = a (- p) (- q)

Derecenin geri kalan özellikleri, mevcut eşitsizlikler dönüştürülerek benzer şekilde kanıtlanabilir. Bunun üzerinde ayrıntılı olarak durmayacağız, sadece zor noktaları belirteceğiz.

Sondan bir önceki özelliğin kanıtı: a - n > b - n'nin, a'nın b'den küçük olması koşuluyla, n'nin herhangi bir negatif tamsayı değeri ve herhangi bir pozitif a ve b için doğru olduğunu hatırlayın.

Daha sonra eşitsizlik şu şekilde dönüştürülebilir:

1 bir n > 1 milyar

Sağ ve sol kısımları fark olarak yazıp gerekli dönüşümleri yapıyoruz:

1 bir n - 1 b n = b n - bir n bir n b n

a'nın b'den küçük olduğu durumda, doğal üslü bir derecenin tanımına göre: - a n< b n , в итоге: b n − a n > 0 .

a n · b n, çarpanları pozitif olduğu için pozitif bir sayı olur. Sonuç olarak, sonunda pozitif bir sonuç veren b n - a n an · b n kesirimiz var. Dolayısıyla 1 an n > 1 b n buradan a - n > b - n , bunu kanıtlamamız gerekiyordu.

Tam sayı üslü derecelerin son özelliği, doğal üslü derecelerin özelliğine benzer şekilde kanıtlanmıştır.

Rasyonel üslü derecelerin temel özellikleri

Önceki makalelerde, rasyonel (kesirli) üslü bir derecenin ne olduğunu tartışmıştık. Özellikleri, tamsayı üslü derecelerle aynıdır. Hadi yaz:

Tanım 3

1. a m 1 n 1 a m 2 n 2 = a m 1 n 1 + m 2 n 2 a > 0 için ve eğer m 1 n 1 > 0 ve m 2 n 2 > 0 ise a ≥ 0 için (çarpım özelliği güçleri aynı taban ile).

2. a m 1 n 1: b m 2 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2 eğer a > 0 (bölüm özelliği).

3. a > 0 ve b > 0 için a b m n = a m n b mn ve m 1 n 1 > 0 ve m 2 n 2 > 0 ise, a ≥ 0 ve (veya) b ≥ 0 için (kesirli derecede ürün özelliği).

4. a: b m n \u003d a m n: a > 0 ve b > 0 için b m n ve m n > 0 ise, a ≥ 0 ve b > 0 için (kesirli dereceye bölümün özelliği).

5. a > 0 için a m 1 n 1 m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 m 2 n 2 ve m 1 n 1 > 0 ve m 2 n 2 > 0 ise, o zaman a ≥ 0 için (derece özelliği derece).

6.ap< b p при условии любых положительных a и b , a < b и рациональном p при p >0; mümkünse< 0 - a p >b p (eşit rasyonel üslerle dereceleri karşılaştırma özelliği).

7.ap< a q при условии рациональных чисел p и q , p >0'da q< a < 1 ; если a >0 – bir p > bir q

Bu hükümleri kanıtlamak için, kesirli üslü bir derecenin ne olduğunu, n'inci derecenin aritmetik kökünün özelliklerini ve tamsayı üslü bir derecenin özelliklerini hatırlamamız gerekir. Her bir mülke bir göz atalım.

Kesirli üslü bir derecenin ne olduğuna göre şunu elde ederiz:

a m 1 n 1 \u003d am 1 n 1 ve am 2 n 2 \u003d am 2 n 2, bu nedenle a m 1 n 1 am 2 n 2 \u003d am 1 n 1 am 2 n 2

Kökün özellikleri eşitlikleri türetmemize izin verecektir:

bir m 1 m 2 n 1 n 2 bir m 2 m 1 n 2 n 1 = bir m 1 n 2 bir m 2 n 1 n 1 n 2

Buradan şunu elde ederiz: a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2

Dönüştürelim:

bir m 1 n 2 bir m 2 n 1 n 1 n 2 = bir m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2

Üs şu şekilde yazılabilir:

m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 2 n 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 1 + m 2 n 2

Bu kanıt. İkinci özellik de aynı şekilde ispatlanır. Eşitlik zincirini yazalım:

bir m 1 n 1: bir m 2 n 2 = bir m 1 n 1: bir m 2 n 2 = bir m 1 n 2: bir m 2 n 1 n 1 n 2 = = bir m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = bir m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = bir m 1 n 2 n 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = bir m 1 n 1 - m 2 n 2

Kalan eşitliklerin ispatları:

a b m n = (a b) m n = a m b m n = a m n b m n = a m n b m n ; (a: b) m n = (a: b) m n = bir m: b m n = = bir m n: b m n = bir m n: b m n ; bir m 1 n 1 m 2 n 2 = bir m 1 n 1 m 2 n 2 = bir m 1 n 1 m 2 n 2 = = bir m 1 m 2 n 1 n 2 = bir m 1 m 2 n 1 n 2 = = bir m 1 m 2 n 2 n 1 = bir m 1 m 2 n 2 n 1 = bir m 1 n 1 m 2 n 2

Sonraki özellik: a ve b'nin 0'dan büyük herhangi bir değeri için, a'nın b'den küçük olması durumunda a p'nin yürütüleceğini kanıtlayalım.< b p , а для p больше 0 - a p >bp

Bir p rasyonel sayısını m n olarak gösterelim. Bu durumda m bir tamsayıdır, n bir doğal sayıdır. O zaman koşullar p< 0 и p >0 m'ye uzatılacak< 0 и m >0 . m > 0 ve a için< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .

Köklerin özelliğini kullanırız ve şunu elde ederiz: a m n< b m n

a ve b değerlerinin pozitifliğini dikkate alarak eşitsizliği m n olarak yeniden yazarız< b m n . Оно эквивалентно a p < b p .

Aynı şekilde m için< 0 имеем a a m >b m , a m n > b m n elde ederiz yani a m n > b m n ve a p > b p .

Son özelliği kanıtlamak bize kalır. P ve q rasyonel sayıları için 0 için p > q olduğunu kanıtlayalım.< a < 1 a p < a q , а при a >0 doğru olurdu a p > a q .

P ve q rasyonel sayıları ortak bir paydaya indirgenebilir ve m 1 n ve m 2 n kesirlerini alabilir.

Burada m 1 ve m 2 tam sayılardır ve n bir doğal sayıdır. p > q ise, o zaman m 1 > m 2 (kesirleri karşılaştırma kuralı dikkate alınarak). sonra 0'da< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a >1 – eşitsizlik a 1 m > a 2 m .

Aşağıdaki biçimde yeniden yazılabilirler:

bir m 1 n< a m 2 n a m 1 n >bir m 2 n

Ardından dönüşümler yapabilir ve sonuç olarak şunları elde edebilirsiniz:

bir m 1 n< a m 2 n a m 1 n >bir m 2 n

Özetlemek gerekirse: p > q ve 0 için< a < 1 верно a p < a q , а при a >0 – bir p > bir q .

İrrasyonel üslü derecelerin temel özellikleri

Rasyonel üslü bir derecenin sahip olduğu yukarıda açıklanan tüm özellikler, bu dereceye kadar genişletilebilir. Bu, önceki makalelerden birinde verdiğimiz tanımından kaynaklanmaktadır. Bu özellikleri kısaca formüle edelim (koşullar: a > 0 , b > 0 , göstergeler p ve q irrasyonel sayılardır):

Tanım 4

1. bir p bir q = bir p + q

2. bir p: bir q = bir p - q

3. (a b) p = a p b p

4. (a:b)p = ap:bp

5. (a p) q = a p q

6.ap< b p верно при любых положительных a и b , если a < b и p – иррациональное число больше 0 ; если p меньше 0 , то a p >bp

7.ap< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a >0 , ardından a p > a q .

Böylece, p ve q üsleri gerçek sayı olan tüm üsler, a > 0 olmak koşuluyla, aynı özelliklere sahiptir.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Bu derste anladığımızı size hatırlatırız derece özellikleri doğal göstergeler ve sıfır ile. Rasyonel göstergeleri olan dereceler ve özellikleri 8. sınıf derslerinde tartışılacaktır.

Doğal üslü bir üs, üs örneklerinde hesaplamaları basitleştirmenizi sağlayan birkaç önemli özelliğe sahiptir.

Mülk #1
Güçlerin ürünü

Hatırlamak!

Aynı tabana sahip kuvvetler çarpılırken taban değişmeden kalır ve üsler toplanır.

a m a n \u003d a m + n, burada " a"- herhangi bir sayı ve" m", " n"- herhangi bir doğal sayı.

Güçlerin bu özelliği aynı zamanda üç veya daha fazla gücün çarpımını da etkiler.

• Ifadeyi basitleştir.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Derece olarak sunar.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Derece olarak sunar.
  (0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Önemli!

Belirtilen özellikte, yalnızca güçlerin çarpılmasıyla ilgili olduğunu lütfen unutmayın. aynı gerekçeler . Bunların eklenmesi için geçerli değildir.

Toplamı (3 3 + 3 2) 3 5 ile değiştiremezsiniz. Bu anlaşılırsa
hesapla (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 ve 3 5 = 243

Mülk #2
Özel dereceler

Hatırlamak!

Aynı tabana sahip kuvvetler bölünürken, taban değişmeden kalır ve bölenin üssü, bölenin üssünden çıkarılır.

1 ve 2 numaralı özellikleri kullanarak ifadeleri kolayca basitleştirebilir ve hesaplamalar yapabilirsiniz.

• Örnek. Ifadeyi basitleştir.
  4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5
• Örnek. Derece özelliklerini kullanarak bir ifadenin değerini bulun.
  = = = 2 9 + 2

  2 5

  = 2 11

  2 5

  = 2 11 − 5 = 2 6 = 64

  Önemli!

  Lütfen 2. özelliğin yalnızca aynı esaslara dayalı güçler ayrılığı ile ilgilendiğini unutmayın.

  Farkı (4 3 −4 2) 4 1 ile değiştiremezsiniz. düşünürsek bu anlaşılır (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 ve 4 1 = 4

  Dikkat olmak!

  Mülk #3
  üs alma

  Hatırlamak!

  Bir kuvveti bir kuvvete yükseltirken, kuvvetin tabanı değişmeden kalır ve üsler çarpılır.

  (a n) m \u003d an m, burada "a" herhangi bir sayıdır ve "m", "n" herhangi bir doğal sayıdır.

  
  

  Özellikler 4
  Ürün derecesi

  Hatırlamak!

  Bir ürünü bir güce yükseltirken, faktörlerin her biri bir güce yükseltilir. Sonuçlar daha sonra çarpılır.

  (a b) n \u003d a n b n, burada "a", "b" herhangi bir rasyonel sayıdır; "n" - herhangi bir doğal sayı.

  • örnek 1
    (6 a 2 b 3 c) 2 = 6 2 a 2 2 b 3 2 s 1 2 = 36 a 4 b 6 s 2
    
  • Örnek 2
    (−x 2 y) 6 = ((−1) 6 x 2 6 y 1 6) = x 12 y 6

  Önemli!

  Derecelerin diğer özellikleri gibi 4 numaralı özelliğin de ters sırada uygulandığına lütfen dikkat edin.

  (a n b n)= (a b) n

  Yani, aynı üslerle dereceleri çarpmak için tabanları çarpabilir ve üssü değiştirmeden bırakabilirsiniz.

  • Örnek. Hesaplamak.
    2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10.000
  • Örnek. Hesaplamak.
    0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

  Daha karmaşık örneklerde, farklı tabanlara ve farklı üslere sahip kuvvetlerde çarpma ve bölme işlemlerinin yapılması gereken durumlar olabilir. Bu durumda, aşağıdakileri yapmanızı tavsiye ederiz.

  Örneğin, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
  

  Ondalık kesrin üs alma örneği.

  4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

  Özellikler 5
  Bölümün gücü (kesirler)

  Hatırlamak!

  Bölümü bir kuvvete yükseltmek için böleni ve böleni bu kuvvete göre ayrı ayrı yükseltebilir ve ilk sonucu ikinciye bölebilirsiniz.

  (a: b) n \u003d a n: b n, burada "a", "b" herhangi bir rasyonel sayıdır, b ≠ 0, n herhangi bir doğal sayıdır.

  • Örnek. İfadeyi kısmi kuvvetler olarak ifade edin.
    (5: 3) 12 = 5 12: 3 12

  Bir bölümün kesir olarak gösterilebileceğini size hatırlatırız. Bu nedenle, bir kesri bir kuvvete yükseltme konusuna bir sonraki sayfada daha ayrıntılı olarak değineceğiz.