Harmonijska oscilacija je pojava periodične promjene bilo koje veličine, kod koje ovisnost o argumentu ima karakter sinusne ili kosinusne funkcije. Na primjer, veličina harmonično oscilira i mijenja se tijekom vremena na sljedeći način:

gdje je x vrijednost promjenjive veličine, t je vrijeme, ostali parametri su konstantni: A je amplituda oscilacija, ω je ciklička frekvencija oscilacija, je puna faza oscilacija, je početna faza oscilacija.

Generalizirano harmonijsko titranje u diferencijalnom obliku

(Svako netrivijalno rješenje ove diferencijalne jednadžbe je harmonijska oscilacija s cikličkom frekvencijom)

Vrste vibracija

Slobodne vibracije nastaju pod utjecajem unutarnjih sila sustava nakon što se sustav pomakne iz ravnotežnog položaja. Da bi slobodne oscilacije bile harmonične, potrebno je da je oscilatorni sustav linearan (opisan linearnim jednadžbama gibanja), te da u njemu nema disipacije energije (koja bi uzrokovala slabljenje).

Prisilne vibracije nastaju pod utjecajem vanjske periodične sile. Da bi one bile harmonične, dovoljno je da je oscilatorni sustav linearan (opisan linearnim jednadžbama gibanja), a sama vanjska sila se tijekom vremena mijenja kao harmonijska oscilacija (odnosno da je vremenska ovisnost te sile sinusoidalna) .

Harmonijska jednadžba

daje ovisnost fluktuirajuće vrijednosti S o vremenu t; ovo je jednadžba slobodnih harmonijskih oscilacija u eksplicitnom obliku. Međutim, obično se jednadžba vibracija shvaća kao drugačiji prikaz ove jednadžbe, u diferencijalnom obliku. Za određenost, uzmimo jednadžbu (1) u obliku

Razlikujmo to dvaput s obzirom na vrijeme:

Vidi se da vrijedi sljedeći odnos:

koja se naziva jednadžba slobodnih harmonijskih oscilacija (u diferencijalnom obliku). Jednadžba (1) je rješenje diferencijalne jednadžbe (2). Budući da je jednadžba (2) diferencijalna jednadžba drugog reda, potrebna su dva početna uvjeta za dobivanje potpunog rješenja (to jest, određivanje konstanti A i   uključenih u jednadžbu (1); na primjer, položaj i brzina oscilatornog sustava pri t = 0.

Matematičko njihalo je oscilator, koji je mehanički sustav koji se sastoji od materijalne točke koja se nalazi na bestežinskoj nerastezljivoj niti ili na bestežinskom štapu u jednoličnom polju gravitacijskih sila. Period malih vlastitih oscilacija matematičkog njihala duljine l, nepomično ovješenog u jednoličnom gravitacijskom polju s akceleracijom slobodnog pada g, jednak je

a ne ovisi o amplitudi i masi njihala.

Fizičko njihalo je oscilator, koji je čvrsto tijelo koje oscilira u polju bilo koje sile u odnosu na točku koja nije središte mase tog tijela, ili fiksna os okomita na smjer djelovanja sila, a ne prolazeći kroz središte mase ovog tijela.

Oscilacije nazivaju se kretanja ili procesi koje karakterizira stanovita ponovljivost u vremenu. Oscilacije su raširene u okolnom svijetu i mogu imati vrlo različitu prirodu. To mogu biti mehaničke (njihalo), elektromagnetske (oscilatorni krug) i druge vrste vibracija.
Besplatno, ili vlastiti oscilacijama se nazivaju oscilacije koje se javljaju u sustavu prepuštenom samom sebi, nakon što je vanjskim utjecajem doveden iz ravnoteže. Primjer je njihanje kuglice obješene na nit.

Posebna uloga u oscilatornim procesima ima najjednostavniji oblik oscilacija - harmonijske vibracije. Harmonijske oscilacije temelj su jedinstvenog pristupa proučavanju oscilacija različite prirode, budući da su oscilacije koje se nalaze u prirodi i tehnici često bliske harmoničkim, a periodični procesi različitog oblika mogu se prikazati kao superpozicija harmonijskih oscilacija.

Harmonijske vibracije nazivaju se takve oscilacije kod kojih se oscilirajuća veličina mijenja s vremenom prema zakonu sinus ili kosinus.

Harmonijska jednadžbaima oblik:

gdje - amplituda vibracija (veličina najvećeg odstupanja sustava od ravnotežnog položaja); -kružna (ciklička) frekvencija. Argument kosinusa koji se periodički mijenja naziva se faza oscilacije . Faza titranja određuje pomak oscilirajuće veličine iz ravnotežnog položaja u određenom trenutku t. Konstanta φ predstavlja vrijednost faze u trenutku t = 0 i zove se početna faza osciliranja . Vrijednost početne faze određena je izborom referentne točke. Vrijednost x može imati vrijednosti u rasponu od -A do +A.

Vremenski interval T kroz koji se ponavljaju određena stanja oscilatornog sustava, naziva periodom oscilacije . Kosinus je periodična funkcija s periodom od 2π, stoga će se tijekom vremenskog razdoblja T, nakon kojeg će faza oscilacije dobiti prirast jednak 2π, stanje sustava koji izvodi harmonijske oscilacije ponoviti. Taj vremenski period T nazivamo periodom harmonijskih oscilacija.

Period harmonijskih oscilacija jednak je : T = 2π/ .

Naziva se broj oscilacija u jedinici vremena frekvencija vibracija ν.
Harmonijska frekvencija jednaka je: ν = 1/T. Frekvencijska jedinica herc(Hz) - jedan titraj u sekundi.

Kružna frekvencija = 2π/T = 2πν daje broj oscilacija u 2π sekundi.

Grafički, harmonijske oscilacije mogu se prikazati kao ovisnost x o t (slika 1.1.A), i metoda rotirajuće amplitude (metoda vektorskog dijagrama)(Sl.1.1.B) .

Metoda rotirajuće amplitude omogućuje vizualizaciju svih parametara uključenih u jednadžbu harmonijske vibracije. Doista, ako je vektor amplitude A koja se nalazi pod kutom φ u odnosu na x-os (vidi sliku 1.1. B), tada će njegova projekcija na x-os biti jednaka: x = Acos(φ). Kut φ je početna faza. Ako vektor A dovesti u rotaciju s kutnom brzinom jednakom kružnoj frekvenciji oscilacija, tada će se projekcija kraja vektora kretati duž osi x i poprimiti vrijednosti u rasponu od -A do +A, a koordinata ove projekcije će promijeniti tijekom vremena prema zakonu:
.

Dakle, duljina vektora jednaka je amplitudi harmonijskog titranja, smjer vektora u početnom trenutku čini s osi x kut jednak početnoj fazi titranja φ, a promjena smjera kut s vremenom je jednaka fazi harmonijskih oscilacija. Vrijeme za koje vektor amplitude napravi jedan puni krug jednako je periodu T harmonijskih oscilacija. Broj okretaja vektora u sekundi jednak je frekvenciji titranja ν.

Teme kodifikatora Jedinstvenog državnog ispita: harmonijske vibracije; amplituda, period, frekvencija, faza oscilacija; slobodne vibracije, prisilne vibracije, rezonancija.

Oscilacije - To su promjene u stanju sustava koje se ponavljaju kroz vrijeme. Pojam oscilacija pokriva vrlo širok raspon pojava.

Vibracije mehaničkih sustava, odn mehaničke vibracije- to je mehaničko kretanje tijela ili sustava tijela koje je ponovljivo u vremenu i događa se u blizini ravnotežnog položaja. Položaj ravnoteže je stanje sustava u kojem može ostati neograničeno dugo bez doživljavanja vanjskih utjecaja.

Na primjer, ako se visak skrene i otpusti, počet će oscilirati. Ravnotežni položaj je položaj njihala bez odstupanja. Visak, ako se ne smeta, može ostati u tom položaju koliko god dugo želite. Dok njihalo oscilira, ono mnogo puta prolazi kroz svoj ravnotežni položaj.

Odmah nakon otpuštanja otklonjeno njihalo se počelo gibati, prošlo ravnotežni položaj, došlo do suprotnog krajnjeg položaja, tu se na trenutak zaustavilo, pomaknulo u suprotnom smjeru, ponovno prošlo ravnotežni položaj i vratilo se natrag. Jedna stvar se dogodila puni zamah. Zatim će se ovaj postupak povremeno ponavljati.

Amplituda titranja tijela je veličina njegovog najvećeg odstupanja od ravnotežnog položaja.

Period oscilacije - ovo je vrijeme jedne potpune oscilacije. Možemo reći da tijekom razdoblja tijelo prijeđe put od četiri amplitude.

Frekvencija osciliranja je recipročna vrijednost perioda: . Frekvencija se mjeri u hercima (Hz) i pokazuje koliko se potpunih oscilacija dogodi u jednoj sekundi.

Harmonijske vibracije.

Pretpostavit ćemo da je položaj tijela koje oscilira određen jednom koordinatom. Ravnotežni položaj odgovara vrijednosti . Glavni zadatak mehanike u ovom slučaju je pronaći funkciju koja daje koordinatu tijela u bilo kojem trenutku.

Za matematički opis oscilacija prirodno je koristiti periodične funkcije. Postoji mnogo takvih funkcija, ali dvije od njih - sinus i kosinus - su najvažnije. Imaju mnoga dobra svojstva i usko su povezani sa širokim spektrom fizikalnih pojava.

Budući da se funkcije sinus i kosinus dobivaju jedna iz druge pomakom argumenta za , možemo se ograničiti samo na jednu od njih. Radi određenosti koristit ćemo kosinus.

Harmonijske vibracije- to su oscilacije kod kojih koordinata ovisi o vremenu prema harmonijskom zakonu:

(1)

Otkrijmo značenje količina uključenih u ovu formulu.

Pozitivna vrijednost je najveća vrijednost modula koordinate (jer je najveća vrijednost kosinusnog modula jednaka jedinici), odnosno najveće odstupanje od ravnotežnog položaja. Prema tome – amplituda oscilacija.

Poziva se argument kosinusa faza oklijevanje. Vrijednost jednaka faznoj vrijednosti pri naziva se početna faza. Početna faza odgovara početnoj koordinati tijela: .

Količina se zove ciklička frekvencija. Pronađimo njegovu vezu s periodom i frekvencijom titranja. Jedna potpuna oscilacija odgovara faznom prirastu jednakom radijanima: , odakle

(2)

(3)

Ciklička frekvencija se mjeri u rad/s (radijanima u sekundi).

Sukladno izrazima (2) i (3) dobivamo još dva oblika zapisa harmonijskog zakona (1):

Graf funkcije (1), koji izražava ovisnost koordinate o vremenu tijekom harmonijskih oscilacija, prikazan je na slici. 1 .

Harmonijski zakon tipa (1) je najopćenitije prirode. Reaguje, na primjer, na situacije u kojima su dvije početne radnje istovremeno izvedene na visak: otklonjen je za određeni iznos i dana mu je određena početna brzina. Postoje dva važna posebna slučaja kada jedna od ovih radnji nije izvršena.

Neka je njihalo otklonjeno, ali početna brzina nije prijavljena (pušteno je bez početne brzine). Jasno je da u ovom slučaju, dakle, možemo staviti. Dobivamo kosinusni zakon:

Graf harmonijskih oscilacija u ovom slučaju prikazan je na sl. 2.

Riža. 2. Zakon kosinusa

Pretpostavimo sada da njihalo nije otklonjeno, već mu je udarcem dodijeljena početna brzina iz položaja ravnoteže. U ovom slučaju, tako da možete staviti . Dobivamo zakon sinusa:

Grafikon oscilacija prikazan je na sl. 3.

Riža. 3. Zakon sinusa

Jednadžba harmonijskih vibracija.

Vratimo se općem harmonijskom zakonu (1). Razlikujmo ovu jednakost:

. (4)

Sada diferenciramo dobivenu jednakost (4):

. (5)

Usporedimo izraz (1) za koordinatu i izraz (5) za projekciju ubrzanja. Vidimo da se projekcija ubrzanja razlikuje od koordinate samo faktorom:

. (6)

Taj se omjer naziva harmonijska jednadžba. Također se može prepisati u ovom obliku:

. (7)

S matematičkog gledišta, jednadžba (7) je diferencijalna jednadžba. Rješenja diferencijalnih jednadžbi su funkcije (a ne brojevi, kao u običnoj algebri).
Dakle, može se dokazati da:

Rješenje jednadžbe (7) je bilo koja funkcija oblika (1) s proizvoljnim ;

Nijedna druga funkcija nije rješenje ove jednadžbe.

Drugim riječima, relacije (6), (7) opisuju harmonijske oscilacije s cikličkom frekvencijom i samo one. Iz početnih uvjeta određuju se dvije konstante - iz početnih vrijednosti koordinate i brzine.

Opružno njihalo.

Opružno njihalo je teret pričvršćen na oprugu koji može oscilirati u vodoravnom ili okomitom smjeru.

Nađimo period malih horizontalnih oscilacija opružnog njihala (slika 4). Oscilacije će biti male ako je iznos deformacije opruge mnogo manji od njezinih dimenzija. Za male deformacije možemo koristiti Hookeov zakon. To će dovesti do harmoničnih oscilacija.

Zanemarujemo trenje. Teret ima masu, a krutost opruge jednaka je .

Koordinata odgovara ravnotežnom položaju u kojem opruga nije deformirana. Prema tome, veličina deformacije opruge jednaka je modulu koordinata opterećenja.

Riža. 4. Opružno njihalo

U horizontalnom smjeru na teret djeluje samo elastična sila iz opruge. Drugi Newtonov zakon za opterećenje u projekciji na os ima oblik:

. (8)

Ako je (teret pomaknut udesno, kao na slici), tada je elastična sila usmjerena u suprotnom smjeru, a . Obrnuto, ako je , tada . Predznaci i su cijelo vrijeme suprotni, pa se Hookeov zakon može napisati na sljedeći način:

Tada relacija (8) ima oblik:

Dobili smo jednadžbu harmonijskih oscilacija oblika (6), u kojoj

Ciklička frekvencija titranja opružnog njihala je dakle jednaka:

. (9)

Odavde i iz odnosa nalazimo period horizontalnih oscilacija opružnog njihala:

. (10)

Ako na oprugu objesite teret, dobit ćete opružno njihalo koje oscilira u okomitom smjeru. Može se pokazati da u ovom slučaju formula (10) vrijedi za period oscilacije.

Matematičko njihalo.

Matematičko njihalo je malo tijelo obješeno na bestežinsku nerastezljivu nit (slika 5). Matematičko njihalo može oscilirati u okomitoj ravnini u polju sile teže.

Riža. 5. Matematičko njihalo

Nađimo period malih oscilacija matematičkog njihala. Duljina niti je. Otpor zraka zanemarujemo.

Zapišimo drugi Newtonov zakon za njihalo:

i projiciramo ga na os:

Ako visak zauzme položaj kao na slici (tj.), tada:

Ako je njihalo s druge strane ravnotežnog položaja (tj.), tada:

Dakle, za bilo koji položaj njihala imamo:

. (11)

Kada njihalo miruje u ravnotežnom položaju, jednakost je zadovoljena. Za male oscilacije, kada su odstupanja njihala od ravnotežnog položaja mala (u usporedbi s duljinom niti), približna jednakost je zadovoljena. Iskoristimo ga u formuli (11):

Ovo je jednadžba harmonijskih oscilacija oblika (6), u kojoj

Stoga je ciklička frekvencija oscilacija matematičkog njihala jednaka:

. (12)

Otuda period titranja matematičkog njihala:

. (13)

Imajte na umu da formula (13) ne uključuje masu tereta. Za razliku od opružnog njihala, period titranja matematičkog njihala ne ovisi o njegovoj masi.

Slobodne i prisilne vibracije.

Kažu da sustav radi slobodnih vibracija, ako se jednom ukloni iz ravnotežnog položaja i kasnije prepusti samom sebi. Nema periodičnih vanjskih
U tom slučaju sustav ne doživljava nikakve utjecaje i nema unutarnjih izvora energije koji podržavaju oscilacije u sustavu.

Oscilacije opruge i matematičkog njihala o kojima smo gore govorili primjeri su slobodnih oscilacija.

Frekvencija kojom se javljaju slobodne vibracije naziva se prirodna frekvencija oscilatorni sustav. Dakle, formule (9) i (12) daju vlastite (cikličke) frekvencije oscilacija opruge i matematičkog njihala.

U idealiziranoj situaciji u odsutnosti trenja slobodne oscilacije su neprigušene, odnosno imaju konstantnu amplitudu i traju neograničeno. U realnim oscilatornim sustavima trenje je uvijek prisutno, pa slobodne vibracije postupno odumiru (slika 6).

Prisilne vibracije- to su oscilacije koje stvara sustav pod utjecajem vanjske sile koja se periodički mijenja tijekom vremena (tzv. pogonska sila).

Uzmimo da je vlastita frekvencija oscilacija sustava jednaka , a pogonska sila ovisi o vremenu prema harmonijskom zakonu:

Tijekom nekog vremena uspostavljaju se prisilne oscilacije: sustav čini složeno gibanje, koje je superpozicija prisilnih i slobodnih oscilacija. Slobodne oscilacije postupno odumiru, au stacionarnom stanju sustav izvodi prisilne oscilacije, koje se također pokazuju harmonijskim. Frekvencija stacionarnih prisilnih oscilacija podudara se s frekvencijom
prisilna sila (vanjska sila, takoreći, nameće svoju frekvenciju sustavu).

Amplituda uspostavljenih prisilnih oscilacija ovisi o frekvenciji pogonske sile. Grafikon ove ovisnosti prikazan je na sl. 7.

Riža. 7. Rezonancija

Vidimo da se u blizini frekvencije javlja rezonancija – pojava porasta amplitude prisilnih oscilacija. Rezonantna frekvencija približno je jednaka vlastitoj frekvenciji titranja sustava: , a ta se jednakost točnije ispunjava što je trenje u sustavu manje. U nedostatku trenja, rezonantna frekvencija koincidira s vlastitom frekvencijom oscilacija, a amplituda oscilacija raste do beskonačnosti pri .

Imaju matematički izraz. Njihova svojstva karakterizira skup trigonometrijskih jednadžbi čija je složenost određena složenošću samog oscilatornog procesa, svojstvima sustava i okoline u kojoj se pojavljuju, odnosno vanjskim čimbenicima koji utječu na oscilatorni proces.

Na primjer, u mehanici, harmonijska oscilacija je kretanje koje karakterizira:

Izravan karakter;

Neujednačenost;

Kretanje fizičkog tijela, koje se događa duž sinusne ili kosinusne putanje, ovisno o vremenu.

Na temelju ovih svojstava možemo dati jednadžbu za harmonijske vibracije, koja ima oblik:

x = A cos ωt ili oblik x = A sin ωt, gdje je x vrijednost koordinate, A je vrijednost amplitude vibracije, ω je koeficijent.

Ova jednadžba harmonijskih vibracija temeljna je za sve harmonijske vibracije, koje se razmatraju u kinematici i mehanici.

Indikator ωt, koji je u ovoj formuli pod predznakom trigonometrijske funkcije, naziva se faza i određuje položaj oscilirajuće materijalne točke u određenom trenutku vremena pri zadanoj amplitudi. Kada se razmatraju cikličke fluktuacije, ovaj pokazatelj je jednak 2l, pokazuje količinu unutar vremenskog ciklusa i označava se w. U tom slučaju jednadžba harmonijskih oscilacija sadrži ga kao pokazatelj veličine cikličke (kružne) frekvencije.

Jednadžba harmonijskih oscilacija koju razmatramo, kao što je već navedeno, može imati različite oblike, ovisno o nizu čimbenika. Na primjer, ovdje je ova opcija. Za razmatranje slobodnih harmonijskih oscilacija treba uzeti u obzir činjenicu da ih sve karakterizira prigušenje. U različitim zemljama ovaj se fenomen manifestira na različite načine: zaustavljanjem tijela u kretanju, zaustavljanjem zračenja u električnim sustavima. Najjednostavniji primjer koji pokazuje smanjenje oscilatornog potencijala je njegova pretvorba u toplinsku energiju.

Jednadžba koja se razmatra ima oblik: d²s/dt² + 2β x ds/dt + ω²s = 0. U ovoj formuli: s je vrijednost oscilirajuće veličine koja karakterizira svojstva određenog sustava, β je konstanta koja pokazuje prigušenje koeficijent, ω je ciklička frekvencija.

Korištenje takve formule omogućuje nam pristup opisu oscilatornih procesa u linearnim sustavima s jedinstvene točke gledišta, kao i projektiranje i simulaciju oscilatornih procesa na znanstvenoj i eksperimentalnoj razini.

Na primjer, poznato je da u završnoj fazi svojih manifestacija oni prestaju biti harmonični, odnosno kategorije frekvencije i razdoblja za njih postaju jednostavno besmislene i ne odražavaju se u formuli.

Klasičan način proučavanja harmonijskih oscilacija je u svom najjednostavnijem obliku sustav koji je opisan sljedećom diferencijalnom jednadžbom harmonijskih oscilacija: ds/dt + ω²s = 0. Ali raznolikost oscilatornih procesa prirodno dovodi do činjenice da postoje veliki broj oscilatora. Navodimo njihove glavne vrste:

Opružni oscilator je običan teret određene mase m koji je obješen na elastičnu oprugu. Izvodi harmonijski tip, koji se opisuje formulom F = - kx.

Fizički oscilator (njihalo) - čvrsto tijelo koje pod djelovanjem određene sile izvodi oscilatorna gibanja oko statičke osi;

- (praktički se ne nalazi u prirodi). Predstavlja idealni model sustava koji uključuje oscilirajuće fizičko tijelo određene mase, koje je obješeno na krutu bestežinsku nit.

Ispitali smo nekoliko fizički potpuno različitih sustava i uvjerili se da su jednadžbe gibanja svedene na isti oblik

Razlike između fizikalnih sustava pojavljuju se samo u različitim definicijama veličine i u različitim fizičkim smislovima varijable x: to može biti koordinata, kut, naboj, struja itd. Napominjemo da u ovom slučaju, kao što proizlazi iz same strukture jednadžbe (1.18), veličina uvijek ima dimenziju inverznog vremena.

Jednadžba (1.18) opisuje tzv harmonijske vibracije.

Jednadžba harmonijske vibracije (1.18) je linearna diferencijalna jednadžba drugog reda (budući da sadrži drugu derivaciju varijable x). Linearnost jednadžbe znači da

ako neka funkcija x(t) je rješenje ove jednadžbe, zatim funkcija Cx(t) također će biti njegovo rješenje ( C– proizvoljna konstanta);

ako funkcije x 1(t) I x 2(t) su rješenja ove jednadžbe, zatim njihov zbroj x 1 (t) + x 2 (t) također će biti rješenje iste jednadžbe.

Također je dokazan matematički teorem prema kojem jednadžba drugog reda ima dva neovisna rješenja. Sva ostala rješenja, prema svojstvima linearnosti, mogu se dobiti kao njihove linearne kombinacije. Lako je provjeriti izravnim diferenciranjem da nezavisne funkcije i zadovoljavaju jednadžbu (1.18). To znači da opće rješenje ove jednadžbe ima oblik:

Gdje C 1,C 2- proizvoljne konstante. Ovo rješenje može se prikazati u drugom obliku. Upišimo vrijednost

a kut odredimo relacijama:

Tada se opće rješenje (1.19) piše kao

Prema trigonometrijskim formulama, izraz u zagradi je jednak

Napokon dolazimo k sebi opće rješenje harmonijske jednadžbe vibracija kao:

Nenegativna vrijednost A nazvao amplituda vibracija, - početna faza osciliranja. Poziva se cijeli argument kosinusa - kombinacija faza oscilacije.

Izrazi (1.19) i (1.23) su potpuno ekvivalentni, tako da možemo koristiti bilo koji od njih, na temelju razmatranja jednostavnosti. Oba rješenja su periodične funkcije vremena. Doista, sinus i kosinus su periodični s periodom . Stoga se različita stanja sustava koji izvodi harmonijske oscilacije ponavljaju nakon određenog vremena t*, tijekom koje faza oscilacije dobiva prirast koji je višekratnik :

Iz toga slijedi da

Najmanje od ovih vremena

nazvao period oscilacije (Sl. 1.8), i - njegov kružni (ciklički) frekvencija.

Riža. 1.8.

Oni također koriste frekvencija fluktuacije

Prema tome, kružna frekvencija jednaka je broju oscilacija po sekundi

Dakle, ako sustav na vrijeme t karakterizira vrijednost varijable x(t), tada će varijabla nakon određenog vremena imati istu vrijednost (sl. 1.9), tj

Isto značenje će se prirodno ponavljati tijekom vremena 2T, ZT itd.

Riža. 1.9. Period oscilacije

Opće rješenje uključuje dvije proizvoljne konstante ( C 1, C 2 ili A, a), čije vrijednosti moraju biti određene s dva početni uvjeti. Obično (iako ne nužno) njihovu ulogu igraju početne vrijednosti varijable x(0) i njegova izvedenica.

Navedimo primjer. Neka rješenje (1.19) jednadžbe harmonijskih oscilacija opisuje gibanje opružnog njihala. Vrijednosti proizvoljnih konstanti ovise o načinu na koji smo visak izveli iz ravnoteže. Na primjer, izvukli smo oprugu na daljinu i pustio loptu bez početne brzine. U ovom slučaju

Zamjena t = 0 u (1.19) nalazimo vrijednost konstante C 2

Rješenje dakle izgleda ovako:

Brzinu tereta nalazimo diferenciranjem s obzirom na vrijeme

Zamjena ovdje t = 0, pronađite konstantu C 1:

Konačno

Uspoređujući s (1.23), nalazimo da je amplituda oscilacija, a njegova početna faza je nula: .

Izravnotežimo visak sada na drugi način. Udarimo teret tako da dobije početnu brzinu, ali se praktički ne pomiče tijekom udara. Zatim imamo druge početne uvjete:

naše rješenje izgleda

Brzina tereta će se mijenjati prema zakonu:

Zamijenimo ovdje: