Sjećate se narančastih plastičnih reflektora koji se pričvršćuju na žbice kotača bicikla? Pričvrstimo reflektor na sam obruč kotača i pratimo njegovu putanju. Rezultirajuće krivulje pripadaju obitelji cikloida. Kotač se naziva generirajuća kružnica (ili kružnica) cikloide. Ali vratimo se u naše stoljeće i prijeđimo na moderniju tehnologiju. Na putu bicikla našao se kamenčić koji je zapeo za gaznu površinu gume.

Nakon što okrenete kotač nekoliko puta, kamo će kamen odletjeti kad iskoči iz gaznog sloja? Suprotno od smjera motocikla ili prema njemu? Kao što je poznato, slobodno kretanje tijela počinje tangencijalno na putanju kojom se kretalo. Tangenta na cikloidu uvijek je usmjerena u smjeru gibanja i prolazi kroz gornju točku tvorne kružnice. Naš kamenčić će letjeti u smjeru kretanja. Sjećate li se kako ste se kao dijete vozili po lokvama na biciklu bez stražnjeg krila? Mokra pruga na leđima svakodnevna je potvrda rezultata koji ste upravo postigli.

17. stoljeće je stoljeće cikloide. Najbolji znanstvenici proučavali su njegova nevjerojatna svojstva. Koja će putanja dovesti tijelo koje se kreće pod utjecajem gravitacije od jedne točke do druge u najkraćem vremenu? Bio je to jedan od prvih problema znanosti koja se danas naziva varijacijskim računom. Možete minimizirati (ili maksimizirati) različite stvari - duljinu puta, brzinu, vrijeme. U problemu brahistokrone minimizirano je vrijeme (što je naglašeno i samim nazivom: grčki βράχιστος - najmanji, χρόνος - vrijeme). Prvo što pada na pamet je ravna putanja. Razmotrimo također inverznu cikloidu s vrhom na vrhu zadanih točaka. I, slijedeći Galilea Galileija, četvrtina kruga povezuje naše točke. Napravimo staze za bob sa razmatranim profilima i vidimo koji je bob prvi. Povijest boba potječe iz Švicarske. Godine 1924. u francuskom gradu Chamonixu održane su prve Zimske olimpijske igre. Već su domaćini natjecanja u bobu za posade dvojaca i četveraca.

Jedina godina kada je petočlana bob ekipa na Olimpijskim igrama bila 1928. Od tada se u bobu uvijek natječu muške posade dvojca i četverca. Puno je zanimljivosti u pravilima boba. Naravno, postoje ograničenja u težini boba i tima, ali postoje čak i ograničenja u materijalima koji se mogu koristiti u bob klizaljkama (prednji par je pomičan i povezan s upravljačem, stražnji par je kruto fiksiran) . Na primjer, radij se ne može koristiti u proizvodnji klizaljki.

Pokrenimo naše četvorke. Koji grah će prvi stići do cilja? Green Bob, koji igra za tim Mathematical Studies i kotrlja se niz cikloidni tobogan, dolazi prvi! Zašto je Galileo Galilei razmatrao četvrtinu kruga i vjerovao da je to najbolja putanja spuštanja u smislu vremena? U nju je unio isprekidane linije i primijetio da se s povećanjem broja karika vrijeme spuštanja smanjuje. Odavde je Galileo prirodno krenuo u krug, ali je pogrešno zaključio da je ta putanja najbolja od svih mogućih. Kao što smo vidjeli, najbolja putanja je cikloida. Kroz te dvije točke može se povući jedinstvena cikloida uz uvjet da je vrh cikloide u gornjoj točki. Čak i kada se cikloida mora podići da bi prošla kroz drugu točku, to će i dalje biti krivulja najstrmijeg spuštanja! Još jedan lijep problem vezan uz cikloidu je problem tautokrone. U prijevodu s grčkog, ταύτίς znači "isto", χρόνος, kao što već znamo - "vrijeme". Napravimo tri identična dijapozitiva s profilom u obliku cikloide, tako da se krajevi dijapozitiva poklapaju i nalaze na vrhu cikloide. Postavimo tri zrna graha na različite visine i dajmo zeleno svjetlo.

Najnevjerojatnija je činjenica da će svi grah sići u isto vrijeme! Zimi možete izgraditi ledeni tobogan u svom dvorištu i osobno testirati ovo svojstvo. Problem taukrone je pronaći krivulju takvu da će, počevši od bilo kojeg početnog položaja, vrijeme spuštanja do dane točke biti isto. Christiaan Huygens je dokazao da je jedina taukrona cikloida. Naravno, Huygensa nije zanimalo spuštanje niz ledene tobogane. U to vrijeme znanstvenici nisu imali luksuz baviti se znanošću iz ljubavi prema umjetnosti. Problemi koji su proučavani temeljili su se na životu i zahtjevima tehnologije tog vremena. U 17. stoljeću već se odvijaju duga pomorska putovanja. Mornari su već tada mogli prilično točno odrediti zemljopisnu širinu, ali je iznenađujuće da uopće nisu mogli odrediti zemljopisnu dužinu. Jedna od predloženih metoda za mjerenje zemljopisne širine temeljila se na dostupnosti preciznih kronometara. Prva osoba koja se dosjetila izraditi točne satove s klatnom bio je Galileo Galilei. Međutim, u trenutku kada ih počinje provoditi, on je već star, slijep je, au preostaloj godini života znanstvenik nema vremena izraditi sat. On to ostavlja u nasljedstvo svom sinu, ali on oklijeva i počinje raditi na njihalu tek pred smrt i nema vremena ostvariti plan.

Sljedeća ikonska figura bio je Christiaan Huygens. Uočio je da period titranja običnog njihala, koji je razmatrao Galileo, ovisi o početnom položaju, tj. od amplitude. Razmišljajući kakva bi trebala biti putanja tereta da vrijeme kotrljanja po njoj ne ovisi o amplitudi, rješava problem taukrone. Ali kako natjerati teret da se kreće duž cikloide? Prevodeći teoretsko istraživanje u praktičnu ravan, Huygens izrađuje "obraze" na koje je namotano uže njihala, te rješava još nekoliko matematičkih problema. On dokazuje da "obrazi" moraju imati profil iste cikloide, čime pokazuje da je evoluta cikloide cikloida s istim parametrima. Osim toga, dizajn cikloidnog njihala koji je predložio Huygens omogućuje izračunavanje duljine cikloide. Ako se plava nit, čija je duljina jednaka četiri polumjera generirajuće kružnice, skrene što je više moguće, tada će njen kraj biti u točki sjecišta "obraza" i cikloidne putanje, tj. na vrhu cikloide - "obrazi". Budući da je to polovica duljine cikloidnog luka, ukupna duljina jednaka je osam polumjera generirajuće kružnice. Christiaan Huygens napravio je cikloidno njihalo, a satovi s njim testirani su na morskim putovanjima, ali nisu zaživjeli. Međutim, isto kao i sat s običnim njihalom za ove svrhe. Zašto, međutim, još uvijek postoje satni mehanizmi s običnim njihalom? Ako bolje pogledate, s malim odstupanjima, poput crvenog njihala, "obrazi" cikloidnog njihala nemaju gotovo nikakvog učinka. Prema tome, kretanje duž cikloide i duž kruga za mala odstupanja gotovo se podudaraju.

Književnost:
G. N. Berman. Cikloida. M.: Nauka, 1980.
S. G. Gindikin. Priče o fizičarima i matematičarima. M.: MTsNMO, 2006.

Komentari: 1

Vladimir Zakharov

Predavanje akademika Ruske akademije znanosti, doktora fizikalnih i matematičkih znanosti, predsjednika Znanstvenog vijeća Ruske akademije znanosti o nelinearnoj dinamici, voditelja. Odsjek za matematičku fiziku Fizičkog instituta Ruske akademije znanosti. Lebedev, profesor na Sveučilištu Arizona (SAD), dvostruki dobitnik Državne nagrade, dobitnik Diracove medalje Vladimira Evgenijeviča Zaharova, održane 27. svibnja 2010. u Politehničkom muzeju u sklopu projekta “Public Lectures to Polit. ru”.

Sergej Kuksin

Međunarodna znanstvena konferencija “Dani klasične mehanike” Moskva, Matematički institut Steklov, ul. Gubkina, 8. 26. siječnja 2015

Kaos je matematički film koji se sastoji od devet poglavlja, od kojih svako traje po trinaest minuta. Ovo je film za široku publiku, posvećen dinamičkim sustavima, efektu leptira i teoriji kaosa.

Aleksandra Skripčenko

Matematičarka Alexandra Skripchenko o biljaru kao dinamičkom sustavu, racionalnim kutovima i Poincaréovom teoremu.

Julij Iljašenko

Teorija Kolmogorov–Arnold–Moser odgovara na pitanja poput „Mogu li planeti pasti u Sunce? Ako da, s kojom vjerojatnošću? I nakon koliko vremena?" Matematička formulacija problema: pretpostavimo da su mase toliko male da se može zanemariti njihova međusobna privlačnost. Tada se mogu izračunati putanje planeta; Newton je to učinio. Prijeđemo li na stvarni slučaj, kada međusobno privlačenje planeta utječe na njihove orbite, dobivamo mali poremećaj integrabilnog, tj. egzaktno rješiv sustav. Poincaré je proučavanje malih poremećaja integrabilnih sustava klasične mehanike smatrao glavnom zadaćom teorije diferencijalnih jednadžbi. Na predavanjima će se, na razini dostupnoj starijim školarcima, govoriti o glavnim idejama KAM teorije. Nećemo ići do problema n-tijela i klasične mehanike, već ćemo raspravljati o difeomorfizmima kružnice i osnovnom koraku procesa indukcije koji je Kolmogorov predložio za probleme nebeske mehanike.

Olga Romaskevich

Ako postupite vrlo okrutno i oduzmete matematičaru olovku i papir, on će gledati u nebo u potrazi za novim problemima. Pitanje planetarnog gibanja (u matematičkom svijetu kodnog naziva "problem n-tijela") iznimno je složeno - toliko složeno da se čak i za posebne podslučajeve slučaja n=3 svake godine objavljuje ogroman broj radova. Nemoguće je analizirati sve aspekte ovog problema čak ni u jednom semestru. Mi se, međutim, nećemo bojati, i pokušat ćemo se poigrati s matematikom koja se ovdje pojavljuje. Glavna motivacija za nas bit će problem dvaju tijela: problem gibanja jednog planeta oko Sunca pod pretpostavkom da se čini da nema drugih planeta u blizini.

Dmitrij Anosov

Knjiga govori o diferencijalnim jednadžbama. U nekim slučajevima autor objašnjava kako se rješavaju diferencijalne jednadžbe, au drugim kako geometrijska razmatranja pomažu u razumijevanju svojstava njihovih rješenja. (Riječi “rješavamo, pa crtamo” u naslovu knjige povezane su s tim.) Razmatra se nekoliko fizikalnih primjera. Na najpojednostavljenijoj razini opisana su neka postignuća 20. stoljeća, uključujući razumijevanje mehanizma nastanka “kaosa” u ponašanju determinističkih objekata. Knjiga je namijenjena učenicima srednjih škola koje zanima matematika. Sve što trebaju učiniti je razumjeti značenje izvedenice kao trenutne brzine.

Aleksej Belov

Postoji dobro poznati olimpijski problem: Na ravnom stolu nalaze se novčići (konveksne figure). Tada se jedan od njih može povući sa stola bez utjecaja na ostale. Dugo su vremena matematičari pokušavali dokazati prostornu analogiju ove tvrdnje, sve dok nije konstruiran protuprimjer! Pojavila se ideja: u malim zrnima često nema pukotine, pukotina ne prelazi granicu zrna, a pukotine se drže jedna za drugu. Ova ideja teoretski omogućuje stvaranje kompozita u kojima ne rastu pukotine, posebno keramičkog oklopa.

Aleksej Sosinski

Jedan od najvažnijih pojmova mehanike i teorijske fizike - koncept konfiguracijskog prostora mehaničkog sustava - iz nekog razloga ostaje nepoznat ne samo učenicima, već i većini studenata matematike. U predavanju se govori o vrlo jednostavnoj, ali vrlo sadržajnoj klasi mehaničkih sustava - plosnatim zglobnim mehanizmima s dva stupnja slobode. Otkrit ćemo da su u “općem slučaju” njihovi konfiguracijski prostori dvodimenzionalne plohe i pokušat ćemo shvatiti koji su to. (Ovdje su konačni rezultati Dime Zvonkina od prije deset godina.) Zatim se raspravlja o neriješenim matematičkim problemima povezanim s mehanizmima šarki. (Uključujući dvije hipoteze, odnosno nedokazane teoreme, američkog matematičara Billa Thurstona.)

Vladimir Protasov

Varijacijski račun je znanost o pronalaženju minimuma funkcije u beskonačno dimenzionalnom prostoru. Za razliku od minimalnih problema na koje smo navikli, kada treba optimalno odabrati broj (parametar), ili, recimo, točku na ravnini, kod varijacijskih problema treba pronaći optimalnu funkciju. Istodobno se istim skupom alata rješavaju problemi vrlo različitog podrijetla: od klasične mehanike, geometrije, matematičke ekonomije itd. Počet ćemo od starih problema, poznatih još iz 17. stoljeća, te ćemo, gradeći mostove od jednog do drugog problema, brzo doći do suvremenih rezultata i neriješenih problema.

(prevedeno s grčkog. kružni) – ravna transcendentalna krivulja, koja je opisana točkom na kružnici polumjera r kotrljanje po ravnoj liniji bez klizanja (transcendentna krivulja je krivulja koja se ne može opisati algebarskom jednadžbom u pravokutnim koordinatama). Njegova parametarska jednadžba

x = rt – r grijeh t,
g= r – r cos t

Točke presjeka cikloide s pravcem po kojem se kružnica kotrlja (ta se kružnica naziva tvorna kružnica, a pravac po kojem se kotrlja smjernica) nazivaju se točkama vrha, a najviše točke na cikloidi , koji se nalaze u sredini između susjednih točaka vrha, nazivaju se vrhovi cikloide.

Galileo Galilei je prvi proučavao cikloidu. Duljinu jednog cikloidnog luka odredio je 1658. godine engleski arhitekt i matematičar Christopher Wren, autor projekta i graditelj kupole londonske katedrale sv. Pokazalo se da je duljina cikloide jednaka 8 polumjera generirajuće kružnice.
Jedno od izvanrednih svojstava cikloide, koje joj je dalo ime - brahistokrona (od grčkih riječi "najkraće" i "vrijeme") povezano je s rješavanjem problema najstrmijeg spuštanja. Postavilo se pitanje kakav oblik treba dati dobro ispoliranom (kako bi se praktički eliminiralo trenje) utoru koji povezuje dvije točke kako bi se kuglica u što kraćem vremenu otkotrljala s jedne točke na drugu. Braća Bernoulli dokazala su da bi jarak trebao imati oblik cikloide prema dolje.

Krivulje koje se odnose na cikloidu mogu se dobiti razmatranjem putanja točaka koje se ne nalaze na generirajućoj kružnici.

Neka točka Od 0 je unutar kruga. Ako se provede Od 0 pomoćna kružnica s istim središtem kao generirajuća kružnica, onda kada se generirajuća kružnica kotrlja po ravnoj liniji AB mali krug će se kotrljati u ravnoj liniji A´ U´, ali će njegovo kotrljanje biti popraćeno klizanjem i točka Od 0 opisuje krivulju koja se naziva skraćena cikloida.

Izdužena cikloida definirana je na sličan način - to je putanja točke koja se nalazi na produžetku polumjera generirajuće kružnice, dok je kotrljanje popraćeno klizanjem u suprotnom smjeru.

Cikloidne krivulje koriste se u mnogim tehničkim proračunima, a njihova se svojstva koriste, na primjer, u konstruiranju profila zuba zupčanika, u cikloidnim njihalima, u optici, pa je proučavanje ovih krivulja važno s primijenjenog gledišta. Jednako je važno da su, proučavajući te krivulje i njihova svojstva, znanstvenici 17.st. razvio tehnike koje su dovele do stvaranja diferencijalnog i integralnog računa, a problem brahistokrone bio je korak prema izumu varijacijskog računa.

Elena Malishevskaya

LEMNICATE
Jednadžba u polarnim koordinatama:
r 2 = a 2 cos2θ

(x 2 + y 2) 2 = a 2 (x 2 - y 2)

Kut između AB" ili A"B i x-osi = 45 o

Površina jedne petlje = a 2 /2

CIKLOIDA

Površina jednog luka = ​​3πa 2

Duljina luka jednog luka = ​​8a

Ovo je krivulja opisana točkom P na kružnici polumjera a, koja se kotrlja duž osi x.

HIPOCIKLOID SA ČETIRI KRAKA
Jednadžba u pravokutnim koordinatama:
x 2/3 + y 2/3 = a 2/3

Jednadžbe u parametarskom obliku:

Površina obuhvaćena krivuljom = 3πa 2 /8

Duljina luka cijele krivulje = 6a

Ovo je krivulja opisana točkom P na kružnici polumjera a/4, koja se kotrlja unutar kružnice polumjera a.

KARDIOID
Jednadžba: r = a(1 + cosθ)

Površina obuhvaćena krivuljom = 3πa 2 /2

Duljina luka krivulje = 8a

To je krivulja opisana točkom P na kružnici polumjera a, koja se kotrlja izvan kružnice polumjera a. Ova krivulja je također poseban slučaj Pascalovog puža.

LANAC LINIJA
Jednadžba:
y = a(e x/a + e -x/a)/2 = acosh(x/a)

Ovo je krivulja duž koje bi lanac visio kada bi visio okomito od točke A do točke B.

RUŽA S TRI LATICE
Jednadžba: r = acos3θ

Jednadžba r = acos3θ slična je krivulji dobivenoj rotacijom u smjeru suprotnom od kazaljke na satu duž krivulje od 30 o ili π/6 radijana.

Općenito, r = acosnθ ili r = asinnθ ima n režnjeva ako je n neparan.

RUŽA S ČETIRI LATICE
Jednadžba: r = acos2θ

Jednadžba r = asin2θ slična je krivulji dobivenoj rotacijom u smjeru suprotnom od kazaljke na satu duž krivulje radijana od 45 o ili π/4.

Općenito, r = acosnθ ili r = asinnθ ima 2n latica ako je n paran.

EPICIKLOID
Parametarske jednadžbe:

To je krivulja opisana točkom P na kružnici polumjera b dok se kotrlja duž vanjske strane kružnice polumjera a. Kardioida je poseban slučaj epicikloide.

OPĆI HIPOCIKLOD
Parametarske jednadžbe:

To je krivulja opisana točkom P na kružnici polumjera b dok se kotrlja duž vanjske strane kružnice polumjera a.

Ako je b = a/4, krivulja je hipocikloida s četiri točke.

TROHOIDNI
Parametarske jednadžbe:

Ovo je krivulja opisana točkom P na udaljenosti b od središta kruga radijusa a dok se kotrlja duž osi x.
Ako je b skraćena cikloida.
Ako je b > a, krivulja ima oblik prikazan na sl. 11-11 i zove se šetač.
Ako je b = a, krivulja je cikloida.

TRAKTRICE
Parametarske jednadžbe:

To je krivulja opisana krajnjom točkom P rastegnute niti duljine PQ kada se drugi kraj Q pomiče duž osi x.

VERZIERA (VERZIERA) AGNEZI (PONEKAD CURL AGNEZI)
Jednadžba u pravokutnim koordinatama: y = 8a 3 /(x 2 + 4a 2)

Parametarske jednadžbe:

B. Na slici promjenjivi pravac OA siječe y = 2a i kružnicu polumjera a sa središtem (0,a) u točkama A odnosno B. Bilo koja točka P na "zavoju" određena je konstruiranjem linija paralelnih s osi x i y, kroz B odnosno A, i definiranjem točke presjeka P.

DESCARTESOV LIST
Jednadžba u pravokutnim koordinatama:
x 3 + y 3 = 3axy

Parametarske jednadžbe:

Površina petlje 3a 2 /2

Jednadžba asimptote: x + y + a = 0.

KRUG INVOLVENTAN
Parametarske jednadžbe:

Ovo je krivulja koju opisuje krajnja točka P niti dok se odmotava iz kruga polumjera a.

ELIPSA INVOLVENTNA
Jednadžba u pravokutnim koordinatama:
(ax) 2/3 + (po) 2/3 = (a 2 - b 2) 2/3

Parametarske jednadžbe:

Ova krivulja je omotnica normalna na elipsu x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1.

CASSINIJEVI OVALNI
Polarna jednadžba: r 4 + a 4 - 2a 2 r 2 cos2θ = b 4.

To je krivulja opisana točkom P tako da je umnožak njezine udaljenosti od dviju fiksnih točaka [udaljenost 2a na stranu] konstanta b 2 .

Krivulja kao na slikama ispod kada je b a redom.

Ako je b = a, krivulja je lemniskata

PASCALOV PUŽ
Polarna jednadžba: r = b + acosθ

Neka je OQ pravac koji povezuje središte O s bilo kojom točkom Q na kružnici promjera a koja prolazi kroz O. Tada je krivulja žarište svih točaka P tako da je PQ = b.

Krivulja prikazana na slikama ispod kada je b > a ili b

CISSOID DIOKLA
Jednadžba u pravokutnim koordinatama: y 2 = x 3 /(2a - x)

Parametarske jednadžbe:

Ovo je krivulja opisana točkom P tako da je udaljenost OP = udaljenost RS. Koristi se u zadatku udvostručenje kocke, tj. pronalaženje stranice kocke koja ima dvostruko veći volumen od zadane kocke

ARHIMEDOVA SPIRALA
Polarna jednadžba: r = aθ

5. Parametarska cikloidna jednadžba i jednadžba u Kartezijevim koordinatama

Pretpostavimo da nam je dana cikloida koju čini kružnica polumjera a sa središtem u točki A.

Ako kao parametar koji određuje položaj točke odaberemo kut t=∟NDM za koji se polumjer, koji je na početku kotrljanja imao vertikalni položaj AO, uspio zarotirati, tada će x i y koordinate točke M izraziti na sljedeći način:

x= OF = ON - NF = NM - MG = at-a sin t,

y= FM = NG = ND – GD = a – a cos t

Dakle, parametarske jednadžbe cikloide imaju oblik:

Kada se t promijeni od -∞ do +∞, dobit će se krivulja koja se sastoji od beskonačnog broja grana kao što su one prikazane na ovoj slici.

Također, osim parametarske jednadžbe cikloide, postoji i njena jednadžba u Kartezijevim koordinatama:

Gdje je r radijus kruga koji tvori cikloidu.

6. Zadaci pronalaženja dijelova cikloide i likova koje cikloida tvori

Zadatak br. 1. Odredite površinu lika omeđenog jednim lukom cikloide čija je jednadžba dana parametarski

i osi Ox.

Riješenje. Za rješavanje ovog problema koristit ćemo se činjenicama koje poznajemo iz teorije integrala, a to su:

Područje zakrivljenog sektora.

Promotrimo neku funkciju r = r(ϕ) definiranu na [α, β].

ϕ 0 ∈ [α, β] odgovara r 0 = r(ϕ 0) i, prema tome, točki M 0 (ϕ 0 , r 0), gdje je ϕ 0,

r 0 - polarne koordinate točke. Ako se ϕ mijenja, "prolazeći" cijelim [α, β], tada će varijabilna točka M opisivati ​​neku krivulju AB, zadanu

jednadžba r = r(ϕ).

Definicija 7.4. Krivolinijski sektor je lik omeđen dvjema zrakama ϕ = α, ϕ = β i krivuljom AB definiranom u polarnoj

koordinate jednadžbom r = r(ϕ), α ≤ ϕ ≤ β.

Istina je sljedeće

Teorema. Ako je funkcija r(ϕ) > 0 i kontinuirana je na [α, β], tada površina

krivuljasti sektor izračunava se po formuli:

Ovaj je teorem ranije dokazan u temi o određenom integralu.

Na temelju gornjeg teorema, naš problem pronalaženja površine figure ograničene jednim lukom cikloide, čija je jednadžba dana parametarskim parametrima x= a (t – sin t), y= a (1 – cos t) i osi Ox, svodi se na sljedeće rješenje .

Riješenje. Iz jednadžbe krivulje dx = a(1−cos t) dt. Prvi luk cikloide odgovara promjeni parametra t od 0 do 2π. Stoga,

Zadatak br. 2. Odredite duljinu jednog luka cikloide

Sljedeći teorem i njegov korolar također su proučavani u integralnom računu.

Teorema. Ako je krivulja AB dana jednadžbom y = f(x), gdje su f(x) i f ’ (x) kontinuirani na , tada je AB ispravljajuća i

Posljedica. Neka je AB zadan parametrički

L AB = (1)

Neka su funkcije x(t), y(t) kontinuirano diferencijabilne na [α, β]. Zatim

formula (1) može se napisati na sljedeći način

Napravimo promjenu varijabli u ovom integralu x = x(t), tada je y’(x)= ;

dx= x’(t)dt i prema tome:

Sada se vratimo na rješavanje našeg problema.

Riješenje. Imamo, i stoga

Zadatak br. 3. Trebamo pronaći površinu S koja nastaje rotacijom jednog luka cikloide

L=((x,y): x=a(t – sin t), y=a(1 – trošak), 0≤ t ≤ 2π)

U integralnom računu postoji sljedeća formula za pronalaženje površine tijela rotacije oko x-osi krivulje definirane parametarski na segmentu: x=φ(t), y=ψ(t) (t 0 ≤t ≤t 1)

Primjenom ove formule na našu cikloidnu jednadžbu dobivamo:

Zadatak br. 4. Nađi volumen tijela dobivenog rotacijom luka cikloide

Duž osi Ox.

U integralnom računu, kada se proučavaju volumeni, postoji sljedeća napomena:

Ako je krivulja koja omeđuje zakrivljeni trapez dana parametarskim jednadžbama i funkcije u tim jednadžbama zadovoljavaju uvjete teorema o promjeni varijable u određenom integralu, tada će volumen tijela rotacije trapeza oko osi Ox izračunati po formuli

Upotrijebimo ovu formulu da pronađemo volumen koji nam je potreban.

Problem je riješen.

Zaključak

Dakle, tijekom ovog rada razjašnjena su osnovna svojstva cikloide. Također smo naučili graditi cikloidu i saznali geometrijsko značenje cikloide. Kako se pokazalo, cikloida ima golemu praktičnu primjenu ne samo u matematici, već iu tehnološkim proračunima i fizici. Ali cikloida ima druge zasluge. Koristili su ga znanstvenici 17. stoljeća kada su razvijali tehnike za proučavanje zakrivljenih linija - one tehnike koje su u konačnici dovele do izuma diferencijalnog i integralnog računa. To je također bio jedan od "kamena ispitivanja" na kojem su Newton, Leibniz i njihovi rani istraživači testirali snagu moćnih novih matematičkih metoda. Konačno, problem brahistokrone doveo je do izuma varijacijskog računa, koji je toliko potreban današnjim fizičarima. Tako se pokazalo da je cikloida neraskidivo povezana s jednim od najzanimljivijih razdoblja u povijesti matematike.

Književnost

1. Berman G.N. Cikloida. – M., 1980

2. Verov S.G. Brachistochrone, ili druga tajna cikloide // Quantum. – 1975. - br.5

3. Verov S.G. Tajne cikloide // Quantum. – 1975. - br.8.

4. Gavrilova R.M., Govorukhina A.A., Kartasheva L.V., Kostetskaya G.S., Radchenko T.N. Primjene određenog integrala. Metodičke upute i samostalni zadaci za studente 1. godine Fizičkog fakulteta. - Rostov n/a: UPL RSU, 1994.

5. Gindikin S.G. Zvjezdano doba cikloide // Quantum. – 1985. - br.6.

6. Fikhtengolts G.M. Tečaj diferencijalnog i integralnog računa. T.1. – M., 1969

Ova se linija naziva "omotnica". Svaka zakrivljena linija je omotnica svojih tangenti.

Materija i gibanje, te metoda koju oni sačinjavaju, omogućuju svakome da ostvari svoj potencijal u spoznaji istine. Razvijanje metodologije za razvoj dijalektičko-materijalističkog oblika mišljenja i ovladavanje sličnim načinom spoznaje drugi je korak prema rješavanju problema razvoja i ostvarivanja ljudskih sposobnosti. Fragment XX mogućnosti...

U ovoj situaciji ljudi mogu razviti neurasteniju - neurozu, čija je osnova kliničke slike astenično stanje. I kod neurastenije i kod dekompenzacije neurastenične psihopatije bit mentalne (psihičke) obrane ogleda se u povlačenju teškoća u razdražljivu slabost s vegetativnim poremećajima: ili se osoba nesvjesno više “odbija” od napada. ..

Razne vrste aktivnosti; razvoj prostorne mašte i prostornih pojmova, figurativnog, prostornog, logičkog, apstraktnog mišljenja školaraca; razvijanje sposobnosti primjene geometrijskih i grafičkih znanja i vještina za rješavanje različitih primijenjenih problema; upoznavanje sa sadržajem i redoslijedom faza projektnih aktivnosti iz područja tehničkih i...

lukovi Spirale su također evolvente zatvorenih krivulja, na primjer evolventa kružnice. Imena nekih spirala dobivaju po sličnosti njihovih polarnih jednadžbi s jednadžbama krivulja u Kartezijevim koordinatama, npr.: · parabolična spirala (a - r)2 = bj, · hiperbolička spirala: r = a/j. · Štap: r2 = a/j · si-ci-spirala, čije parametarske jednadžbe imaju oblik: , )