Svaki parcijalni derivat (preko x i po y) funkcije dvije varijable je običan izvod funkcije jedne varijable s fiksnom vrijednošću druge varijable:

(gde y= const),

(gde x= const).

Dakle, parcijalni derivati se računaju iz formule i pravila za izračunavanje izvoda funkcija jedne varijable, dok drugu varijablu smatramo konstantom (konstantom).

Ako vam nije potrebna analiza primjera i minimalna teorija potrebna za to, već vam je potrebno samo rješenje vašeg problema, onda prijeđite na online kalkulator parcijalnih derivata .

Ako je teško usredotočiti se na praćenje gdje se konstanta nalazi u funkciji, onda možete zamijeniti bilo koji broj u nacrtu rješenja primjera umjesto varijable s fiksnom vrijednošću - tada možete brzo izračunati parcijalni izvod kao običan derivat funkcije jedne varijable. Potrebno je samo da ne zaboravite da vratite konstantu (promenljivu sa fiksnom vrednošću) na njeno mesto kada završite.

Gore opisano svojstvo parcijalnih izvoda proizlazi iz definicije parcijalnog izvoda, koje se može naći u ispitnim pitanjima. Stoga, da biste se upoznali sa definicijom u nastavku, možete otvoriti teorijsku referencu.

Koncept kontinuiteta funkcije z= f(x, y) u tački definira se slično ovom konceptu za funkciju jedne varijable.

Funkcija z = f(x, y) se naziva kontinuiranim u tački ako

Razlika (2) naziva se ukupni prirast funkcije z(dobija se povećanjem oba argumenta).

Neka funkcija z= f(x, y) i tačka

Ako se funkcija promijeni z javlja se kada se promijeni samo jedan od argumenata, na primjer, x, sa fiksnom vrijednošću drugog argumenta y, tada će funkcija biti povećana

naziva se djelomično povećanje funkcije f(x, y) uključeno x.

S obzirom na promjenu funkcije z ovisno o promjeni samo jednog od argumenata, zapravo prelazimo na funkciju jedne varijable.

Ako postoji konačna granica

tada se naziva parcijalni izvod funkcije f(x, y) argumentom x i označava se jednim od simbola

(4)

Slično je definiran i parcijalni prirast z on y:

i parcijalni derivat f(x, y) uključeno y:

(6)

Primjer 1

Rješenje. Nalazimo parcijalni izvod u odnosu na varijablu "x":

(y fiksno);

Nalazimo parcijalni izvod u odnosu na varijablu "y":

(x fiksno).

Kao što vidite, nije bitno u kojoj mjeri je varijabla fiksna: u ovom slučaju je samo neki broj faktor (kao u slučaju uobičajenog izvoda) s varijablom pomoću koje nalazimo parcijalni derivat. Ako se fiksna varijabla ne pomnoži s promjenljivom prema kojoj nalazimo parcijalni izvod, tada ova usamljena konstanta, bez obzira u kojoj mjeri, kao u slučaju običnog izvoda, nestaje.

Primjer 2 Zadata funkcija

Pronađite parcijalne derivate

(po x) i (po y) i izračunajte njihove vrijednosti u tački ALI (1; 2).

Rješenje. Na fiksni y derivacija prvog člana nalazi se kao derivacija funkcije stepena ( tablica derivacijskih funkcija jedne varijable):

Na fiksni x derivacija prvog člana nalazi se kao izvod eksponencijalne funkcije, a drugog - kao izvod konstante:

Sada izračunavamo vrijednosti ovih parcijalnih izvoda u tački ALI (1; 2):

Rješenje zadataka s parcijalnim derivatima možete provjeriti na online kalkulator parcijalnih derivata .

Primjer 3 Pronađite parcijalne derivate funkcija

Rješenje. U jednom koraku nalazimo

(y x, kao da je argument sinusa 5 x: na isti način, 5 se pojavljuje ispred znaka funkcije);

(x je fiksna i u ovom slučaju je faktor u y).

Rješenje zadataka s parcijalnim derivatima možete provjeriti na online kalkulator parcijalnih derivata .

Parcijalni izvod funkcije od tri ili više varijabli definiraju se slično.

Ako svaki skup vrijednosti ( x; y; ...; t) nezavisne varijable iz skupa D odgovara jednoj specifičnoj vrijednosti u od mnogih E, onda u naziva se funkcija varijabli x, y, ..., t i označiti u= f(x, y, ..., t).

Za funkcije od tri ili više varijabli ne postoji geometrijska interpretacija.

Također se definiraju i izračunavaju parcijalni derivati funkcije više varijabli pod pretpostavkom da se mijenja samo jedna od nezavisnih varijabli, dok su ostale fiksne.

Primjer 4 Pronađite parcijalne derivate funkcija

Rješenje. y i z popravljeno:

x i z popravljeno:

x i y popravljeno:

Nađite sami parcijalne izvode, a zatim pogledajte rješenja

Primjer 5

Primjer 6 Pronađite parcijalne izvode funkcije.

Parcijalni izvod funkcije nekoliko varijabli ima isto mehaničko značenje kao derivacija funkcije jedne varijable, je brzina kojom se funkcija mijenja u odnosu na promjenu jednog od argumenata.

Primjer 8 količina protoka P putnika željeznice može se izraziti kao funkcija

gdje P- broj putnika, N- broj stanovnika odgovarajućih punktova, R– udaljenost između tačaka.

Parcijalni izvod funkcije P on R jednak

pokazuje da je smanjenje protoka putnika obrnuto proporcionalno kvadratu udaljenosti između odgovarajućih tačaka za isti broj stanovnika u tačkama.

Parcijalni derivat P on N jednak

pokazuje da je povećanje protoka putnika proporcionalno dvostrukom broju stanovnika naselja sa istim rastojanjem između tačaka.

Rješenje zadataka s parcijalnim derivatima možete provjeriti na online kalkulator parcijalnih derivata .

Puni diferencijal

Proizvod parcijalnog izvoda i prirasta odgovarajuće nezavisne varijable naziva se parcijalni diferencijal. Parcijalni diferencijali se označavaju na sljedeći način:

Zbir parcijalnih diferencijala nad svim nezavisnim varijablama daje ukupni diferencijal. Za funkciju dvije nezavisne varijable, ukupni diferencijal je izražen jednakošću

(7)

Primjer 9 Pronađite pun diferencijal funkcije

Rješenje. Rezultat korištenja formule (7):

Funkcija koja ima totalni diferencijal u svakoj tački neke domene naziva se diferencijabilna u toj domeni.

Sami pronađite ukupni diferencijal i onda vidite rješenje

Kao iu slučaju funkcije jedne varijable, diferencijabilnost funkcije u određenom području implicira njen kontinuitet u ovoj regiji, ali ne i obrnuto.

Formulirajmo bez dokaza dovoljan uslov za diferencijabilnost funkcije.

Teorema. Ako je funkcija z= f(x, y) ima kontinuirane parcijalne izvode

u datom regionu, onda je on diferencibilan u ovom regionu i njegov diferencijal se izražava formulom (7).

Može se pokazati da je, baš kao što je u slučaju funkcije jedne varijable, diferencijal funkcije glavni linearni dio prirasta funkcije, tako je i u slučaju funkcije više varijabli ukupni diferencijal glavni, linearan u odnosu na inkremente nezavisnih varijabli, dio ukupnog prirasta funkcije.

Za funkciju od dvije varijable, ukupni prirast funkcije ima oblik

(8)

gdje su α i β beskonačno male za i .

Parcijalni derivati višeg reda

Parcijalne derivacije i funkcije f(x, y) su same po sebi neke funkcije istih varijabli i, zauzvrat, mogu imati derivate u odnosu na različite varijable, koje se nazivaju parcijalnim derivatima višeg reda.

Razmotrimo funkciju dvije varijable z=f(x, y) i njegov ukupni prirast u tački M 0 (x 0 , y 0)

Δ z \u003d f (x 0 + Δ x, y 0 + Δ y) - f (x 0, y 0).

Definicija. Ako postoje brojevi P i Q tako da se ukupan prirast može predstaviti kao

Δz = PΔx + QΔy + ε Δρ,

gdje i ε→ 0 at Δρ→ 0 , zatim izraz PΔx + QΔy naziva se totalni diferencijal funkcije z=f(x,y) u tački M0 (x0,y0).

U ovom slučaju, puni inkrement funkcije sastoji se od dva dijela: prvog dijela PΔx + QΔy je linearan u odnosu na Δx i Δy, drugi je infinitezimalni viši red u poređenju sa .

Totalni diferencijal funkcije z=f(x,y) označeno sa dz, to je

dz = PΔx+QΔy.

Funkcija koja ima totalni diferencijal u datoj tački naziva se diferencijabilna u toj tački.

Teorema. Ako a u=f(M) diferencibilan u jednoj tački M0, onda je u njemu kontinuirano.

Komentar. Kontinuitet funkcije dvije varijable ne podrazumijeva njenu diferencijabilnost.

Primjer. kontinuirano u (0,0) , ali nema parcijalni izvod - ne postoji. Slično, ne postoji parcijalni izvod u odnosu na y. Dakle, funkcija nije diferencibilna.

Teorema [neophodan uslov za diferencijabilnost]. Ako a z=f(x,y) diferencibilan u jednoj tački M0, tada ima parcijalne izvode u odnosu na x i y, i

f′ x (x 0 ,y 0) = P, f′ y (x 0 , y 0) = Q.

Komentar. Diferencijabilnost ne proizlazi iz postojanja parcijalnih izvoda. primjer:

Imamo , ali funkcija nije kontinuirana, stoga nije diferencibilna.

Teorema [dovoljan uslov za diferencijabilnost]. Ako su prvi parcijalni derivati funkcija z=f(x,y) definisani su u nekom okruženju tačke M0 (x0,y0) i kontinuirano u tački M0, onda datu funkciju ima totalni diferencijal u toj tački.

Komentar. Imamo

Δ z \u003d f′ x (x 0, y 0)Δ x + f′ y (x 0, y 0)Δ y + ε Δρ,

gdje ε→ 0 at Δρ→ 0 . shodno tome,

f(x 0 +Δ x,y 0 +Δ y) - f(x 0 ,y 0) ≈ f′ x (x 0 ,y 0)Δ x + f′ y (x 0 ,y 0)Δ y

f(x 0 +Δ x, y 0 +Δ y) ≈ f(x 0 ,y 0) + f′ x (x 0 , y 0)Δ x + f′ y (x 0 , y 0)Δ y.

Ova formula se koristi u približnim proračunima.

Kod fiksnog Δx i Δy ukupni diferencijal je funkcija varijabli x i y:

Hajde da stavimo dx=Δx, dy=Δy i nazovite ove veličine diferencijalima nezavisnih varijabli.

Tada dobijamo formulu

odnosno totalni diferencijal funkcije jednak je zbiru proizvoda prvih parcijalnih izvoda i odgovarajućih diferencijala argumenata.

Ukupni diferencijal funkcije tri varijable definira se i izražava na sličan način. Ako a u=f(x, y, z) i postoje brojevi P, Q, R takav da

Δu = PΔx+QΔy+RΔz+εΔρ, ε→ 0 at δρ→ 0 ,

onda je ukupni diferencijal izraz

du = PΔx+QΔy+RΔz.

Ako su prve parcijalne derivacije ove funkcije kontinuirane, onda

gdje dx=Δx, dz=Δz, dz=Δz.

Definicija. Ukupni diferencijal drugog reda neke funkcije je ukupni diferencijal njenog ukupnog diferencijala.

Ako a z=f(x,y), dz=z′ x dx+z′ y dy, onda

Tangentna ravan i normalna površina

Razmotrite površinu S, dato jednačinom

z=f(x, y).

Neka f(x, y) ima parcijalne derivate u nekom domenu. Razmislite M 0 (x 0 , y 0).

- nagib tangenta u tački M0 na presjek površine ravninom y=y0, odnosno do linije z=f(x,y 0). Tangenta na ovu pravu je:

z-z 0 \u003d f′ x (x 0, y 0) (x-x 0), y=y 0.

Slično, presek avionom x=x0 daje jednačinu

z-z 0 =f′ y (x 0 , y 0)(y-y 0), x=x 0.

Ravan koja sadrži obe ove linije ima jednačinu

z-z 0 = f′ x (x 0, y 0)(x-x 0)+f′ y (x 0, y 0)(y-y 0)

i naziva se tangentna ravan na površinu S u tački P 0 (x 0 , y 0 , z 0).

Imajte na umu da se jednačina tangentne ravni može prepisati kao

z-z 0 =df.

Na ovaj način, geometrijsko značenje totalni diferencijal: diferencijal u tački M0 za prirast (x-x 0 , y-y 0) je prirast aplikacione tačke tangentne ravni na površinu z=f(x,y) u tački (x0, y0) za iste korake.

Tangentna ravan ima normalan vektor u tački (x0, y0, z0) - \vec(n)=(f′ x (x 0, y 0), f′ y (x 0, y 0), -1). Prava koja prolazi kroz tačku P0 i imaju vektor smjera \vec(n), naziva se normala na površinu z=f(x,y) na ovom mjestu. Njene jednačine su:

Diferencijacija složenih funkcija

Neka je data diferencijabilna funkcija z=F(v, w), čiji su argumenti diferencijabilne funkcije varijabli x i y:

v=v(x, y), w=w(x, y).

Ako je u isto vrijeme funkcija

z=F(v(x, y), w(x, y))=\Phi(x, y)

ima smisla, onda se to naziva kompleksnom funkcijom x i y.

Teorema. Parcijalni derivati z′ x, z'y složena funkcija postoje i izražavaju se formulama

Ako a v i w- diferencijabilne funkcije jedne varijable t, to je

v=v(t), w=w(t),

i funkcija ima smisla

z=F(v(t), w(t))=f(t),

tada se njegov izvod izražava formulom

Ovaj izvod se naziva ukupni derivat.

Ako je data diferencijabilna funkcija

u=F(ξ, η, ζ),

čiji argumenti ξ=ξ(t), η=η(t), ζ=ζ(t)- diferencijabilne funkcije varijable t i funkciju

u=F(ξ(t), η(t), ζ(t))

Kao što vidite, da biste pronašli diferencijal, morate pomnožiti izvod sa dx. Ovo vam omogućava da odmah napišete odgovarajuću tablicu za diferencijale iz tablice formula za derivacije.

Ukupni diferencijal za funkciju dvije varijable:

Ukupni diferencijal za funkciju tri varijable jednak je zbroju parcijalnih diferencijala: d f(x,y,z)=d x f(x,y,z)dx+d y f(x,y,z)dy+d z f(x ,y,z)dz

Definicija . Funkcija y=f(x) naziva se diferencijabilna u tački x 0 ako se njen prirast u ovoj tački može predstaviti kao ∆y=A∆x + α(∆x)∆x, gdje je A konstanta i α(∆ x) je beskonačno mala kao ∆x → 0.
Zahtjev da funkcija može biti diferencibilna u tački je ekvivalentan postojanju derivacije u ovoj tački, a A=f’(x 0).

Neka je f(x) diferencijabilna u tački x 0 i f "(x 0)≠0, tada je ∆y=f'(x 0)∆x + α∆x, gdje je α= α(∆x) →0 kao ∆x → 0. Količina ∆y i svaki član na desnoj strani su beskonačno male vrijednosti kao ∆x→0. Uporedimo ih: , odnosno, α(∆x)∆x je infinitezimalni viši red od f’(x 0)∆x.
, odnosno ∆y~f’(x 0)∆x. Dakle, f’(x 0)∆x je glavni i istovremeno linearan u odnosu na ∆x dio prirasta ∆y (linearna sredina koja sadrži ∆x do prvog stepena). Ovaj izraz se naziva diferencijal funkcije y = f (x) u tački x 0 i označava se dy (x 0) ili df (x 0). Dakle, za proizvoljan x
dy=f′(x)∆x. (jedan)
Neka je onda dx=∆x
dy=f′(x)dx. (2)

Primjer. Naći izvode i diferencijale ovih funkcija.
a) y=4tg2x
Rješenje:

diferencijal:
b)
Rješenje:

diferencijal:
c) y=arcsin 2 (lnx)
Rješenje:

diferencijal:
G)
Rješenje:
=
diferencijal:

Primjer. Za funkciju y=x 3 pronađite izraz za ∆y i dy za neke vrijednosti x i ∆x.
Rješenje. ∆y = (x+∆x) 3 – x 3 = x 3 + 3x 2 ∆x +3x∆x 2 + ∆x 3 – x 3 = 3x 2 ∆x+3x∆x 2 +∆x 3 dy=3x 2 ∆x (uzeli smo glavni linearni dio ∆y u odnosu na ∆x). U ovom slučaju, α(∆x)∆x = 3x∆x 2 + ∆x 3 .

Parcijalni izvod funkcija dviju varijabli.
Koncept i primjeri rješenja

U ovoj lekciji nastavit ćemo upoznavanje s funkcijom dvije varijable i razmotriti, možda, najčešći tematski zadatak - pronalaženje parcijalne derivacije prvog i drugog reda, kao i totalni diferencijal funkcije. Vanredni studenti se, po pravilu, suočavaju sa parcijalnim derivatima u 1. godini u 2. semestru. Štaviše, prema mojim zapažanjima, zadatak pronalaženja parcijalnih izvoda gotovo se uvijek nalazi na ispitu.

Kako biste efikasno proučili sljedeći materijal, vi neophodno biti u stanju da više ili manje pouzdano pronađe "uobičajene" derivate funkcije jedne varijable. U lekcijama možete naučiti kako pravilno rukovati izvedenicama Kako pronaći derivat? i Derivat složene funkcije. Potrebna nam je i tabela izvedenica elementarne funkcije i pravila diferencijacije, najpogodnije je ako je pri ruci u štampanom obliku. Referentni materijal možete pronaći na stranici Matematičke formule i tabele.

Hajde da brzo ponovimo koncept funkcije dve varijable, pokušaću da se ograničim na minimum. Funkcija dvije varijable se obično piše kao , pri čemu se varijable pozivaju nezavisne varijable ili argumentima.

Primjer: - funkcija dvije varijable.

Ponekad se koristi notacija. Postoje i zadaci u kojima se umjesto slova koristi slovo.

Sa geometrijske tačke gledišta, funkcija dvije varijable je najčešće površina trodimenzionalnog prostora (ravnina, cilindar, lopta, paraboloid, hiperboloid itd.). Ali, zapravo, ovo je već više analitička geometrija, a na dnevnom redu imamo matematičku analizu, koju mi profesor nikad nije dao da otpišem je moj „konj“.

Prelazimo na pitanje pronalaženja parcijalnih izvoda prvog i drugog reda. Imam dobre vijesti za one od vas koji su popili nekoliko šoljica kafe i raspoloženi za nezamislivo težak materijal: parcijalni derivati su skoro isti kao i "obični" derivati funkcije jedne varijable.

Za parcijalne izvode vrijede sva pravila diferencijacije i tablica izvoda elementarnih funkcija. Postoji samo nekoliko malih razlika koje ćemo sada upoznati:

... da, usput, za ovu temu jesam kreirao mala pdf knjiga, što će vam omogućiti da "napunite ruku" za samo par sati. Ali, koristeći stranicu, vi ćete, naravno, dobiti i rezultat - samo možda malo sporije:

Primjer 1

Naći parcijalne izvode prvog i drugog reda funkcije

Prvo, nalazimo parcijalne izvode prvog reda. Ima ih dvoje.

Notacija:
ili - parcijalni izvod u odnosu na "x"
ili - djelomični izvod u odnosu na "y"

Počnimo sa . Kada pronađemo parcijalni izvod u odnosu na "x", tada se varijabla smatra konstantom (konstantnim brojem).

Komentari na preduzete radnje:

(1) Prva stvar koju radimo kada pronađemo parcijalni izvod je da zaključimo sve funkcija u zagradama ispod crtice sa indeksom.

Pažnja važna! Subscripts NE GUBE u toku rješenja. U ovom slučaju, ako negdje bez njega nacrtate „crte“, onda ga učitelj barem može staviti pored zadatka (odmah odgristi dio bodova zbog nepažnje).

(2) Koristite pravila diferencijacije , . Za jednostavan primjer kao što je ovaj, oba pravila se mogu primijeniti u istom koraku. Obratite pažnju na prvi pojam: od smatra se konstantom, i svaka konstanta se može izvaditi iz predznaka derivacije, onda ga vadimo iz zagrada. Odnosno, u ovoj situaciji nije ništa bolji od običnog broja. Pogledajmo sada treći pojam: ovdje, naprotiv, nema šta da se izvadi. Pošto je konstanta, ona je i konstanta, i u tom smislu nije ništa bolja od posljednjeg pojma - „sedam“.

(3) Koristimo tablične derivate i .

(4) Mi pojednostavljujemo, ili, kako ja volim da kažem, "kombinujemo" odgovor.

Sad . Kada nađemo parcijalni izvod u odnosu na "y", tada je varijablasmatra se konstantnim (konstantnim brojem).

(1) Koristimo ista pravila diferencijacije , . U prvom članu vadimo konstantu izvan znaka derivacije, u drugom se ne može ništa izvaditi jer je već konstanta.

(2) Koristimo tablicu izvoda elementarnih funkcija. Mentalno promijenite u tabeli sve "X" u "Y". Odnosno, ova tabela je jednako važeća za (i zaista za skoro svako slovo). Konkretno, formule koje koristimo izgledaju ovako: i .

Šta je značenje parcijalnih izvoda?

U svojoj osnovi parcijalni derivati 1. reda liče "obični" derivat:

- ovo je funkcije, koji karakterišu stopa promjene funkcionira u smjeru osi i respektivno. Tako, na primjer, funkcija karakteriše strmine "uspona" i "padina" površine u smjeru ose apscise, a funkcija nam govori o "reljefu" iste površine u smjeru ose ordinate.

! Bilješka : ovdje se odnosi na upute koje su paralelne koordinatne ose.

Radi boljeg razumijevanja, razmotrimo određenu tačku ravnine i izračunamo vrijednost funkcije (“visine”) u njoj:
- a sada zamislite da ste ovdje (NA SAMOJ površini).

Izračunavamo parcijalni izvod u odnosu na "x" u datoj tački:

Negativni predznak derivata "X" nam govori o tome silazno funkcionira u tački u smjeru x-ose. Drugim riječima, ako napravimo mali-mali (beskonačno malo) korak prema vrhu ose (paralelno sa ovom osom), zatim se spustite niz padinu površine.

Sada saznajemo prirodu "terena" u smjeru y-ose:

Izvod u odnosu na "y" je pozitivan, dakle, u tački duž ose, funkcija povećava. Ako je sasvim jednostavno, onda nas čeka uspon uzbrdo.

Osim toga, parcijalni izvod u tački karakterizira stopa promjene funkcioniše u relevantnom pravcu. Što je veća rezultujuća vrijednost modulo- što je površina strmija, i obrnuto, što je bliža nuli, to je površina ravnija. Dakle, u našem primjeru, "nagib" u smjeru ose apscise je strmiji od "planine" u smjeru ose ordinate.

Ali to su bila dva privatna puta. Sasvim je jasno da od tačke na kojoj se nalazimo, (i općenito iz bilo koje tačke date površine) možemo krenuti u nekom drugom pravcu. Stoga postoji interes za sastavljanje opće "navigacijske karte" koja bi nam govorila o "pejzažu" površine. ako je moguće u svakoj tački opseg ove funkcije na sve dostupne načine. O ovome i drugim zanimljivostima govoriću u jednoj od narednih lekcija, ali za sada, vratimo se tehničkoj strani problema.

Sistematiziramo elementarna primijenjena pravila:

1) Kada razlikujemo po , tada se varijabla smatra konstantom.

2) Kada se diferencijacija vrši prema, tada se smatra konstantom.

3) Pravila i tabela izvoda elementarnih funkcija važe i važe za svaku varijablu (ili bilo koju drugu) u odnosu na koju se vrši diferencijacija.

Drugi korak. Nalazimo parcijalne derivate drugog reda. Ima ih četiri.

Notacija:
ili - drugi izvod u odnosu na "x"
ili - drugi derivat u odnosu na "y"
ili - mješovito izvod "x po y"
ili - mješovito izvedenica "Y sa X"

Sa drugom izvodom nema problema. razgovor običan jezik, drugi izvod je derivat prvog izvoda.

Radi praktičnosti, prepisat ću parcijalne derivate prvog reda koji su već pronađeni:

Prvo nalazimo mješovite derivate:

Kao što vidite, sve je jednostavno: uzimamo parcijalni izvod i ponovo ga diferenciramo, ali u ovom slučaju već sa "y".

Slično:

U praktičnim primjerima možete se usredotočiti na sljedeću jednakost:

Dakle, preko mješovitih izvoda drugog reda vrlo je zgodno provjeriti da li smo pravilno pronašli parcijalne izvode prvog reda.

Nalazimo drugi izvod u odnosu na "x".
Nema izuma, pretpostavljamo i ponovo ga razlikovati sa "X":

Slično:

Treba napomenuti da kada pronađete , morate pokazati povećana pažnja, pošto ne postoje čudesne jednakosti koje bi ih testirale.

Drugi derivati također nalaze široku praktičnu primjenu, posebno se koriste u problemu pronalaženja ekstremi funkcije dvije varijable. Ali sve ima svoje vreme:

Primjer 2

Izračunajte parcijalne izvode prvog reda funkcije u točki . Pronađite derivate drugog reda.

Ovo je primjer za samostalno rješavanje (odgovori na kraju lekcije). Ako imate poteškoća s razlikovanjem korijena, vratite se na lekciju Kako pronaći derivat? Općenito, vrlo brzo ćete naučiti kako pronaći slične derivate u hodu.

Punimo ruku složenijim primjerima:

Primjer 3

Provjerite to. Napišite ukupni diferencijal prvog reda.

Rješenje: Nalazimo parcijalne izvode prvog reda:

Obratite pažnju na indeks: pored "x" nije zabranjeno pisati u zagradama da je to konstanta. Ova oznaka može biti vrlo korisna za početnike kako bi se lakše snašli u rješenju.

Dalji komentari:

(1) Izvodimo sve konstante izvan predznaka izvoda. U ovom slučaju, i , i, stoga, njihov proizvod se smatra konstantnim brojem.

(2) Ne zaboravite kako pravilno razlikovati korijene.

(1) Sve konstante uzimamo iz predznaka derivacije, u ovom slučaju konstanta je .

(2) Pod prostim brojem imamo proizvod dvije funkcije, stoga trebamo koristiti pravilo diferencijacije proizvoda .

(3) Ne zaboravite da je to složena funkcija (iako najjednostavnija od složenih). Koristimo odgovarajuće pravilo: .

Sada nalazimo mješovite derivate drugog reda:

To znači da su svi proračuni tačni.

Napišimo ukupni diferencijal. U kontekstu zadatka koji se razmatra, nema smisla reći koliki je ukupni diferencijal funkcije dvije varijable. Važno je da ovaj diferencijal vrlo često treba zapisati u praktičnim problemima.

Totalni diferencijal prvog reda funkcije dvije varijable ima oblik:

U ovom slučaju:

Odnosno, u formuli trebate samo glupo samo zamijeniti već pronađene parcijalne derivate prvog reda. Diferencijalne ikone iu ovoj i sličnim situacijama, ako je moguće, bolje je pisati brojiocima:

I na ponovljeni zahtjev čitalaca, puni diferencijal drugog reda.

izgleda ovako:

PAŽLJIVO pronađite "jednoslovne" izvedenice 2. reda:

i zapišite "čudovište", pažljivo "pričvršćujući" kvadrate, proizvod i ne zaboravljajući udvostručiti mješoviti derivat:

U redu je ako se nešto činilo teškim, uvijek se kasnije možete vratiti na derivate, nakon što naučite tehniku diferencijacije:

Primjer 4

Pronađite parcijalne izvode prvog reda funkcije . Provjerite to. Napišite ukupni diferencijal prvog reda.

Razmotrimo niz primjera sa složenim funkcijama:

Primjer 5

Pronađite parcijalne izvode prvog reda funkcije .

Rješenje:

Primjer 6

Pronađite parcijalne izvode prvog reda funkcije .
Zapišite ukupni diferencijal.

Ovo je primjer za samostalno rješavanje (odgovor na kraju lekcije). Neću objavljivati kompletno rješenje jer je prilično jednostavno.

Često se sva gore navedena pravila primjenjuju u kombinaciji.

Primjer 7

Pronađite parcijalne izvode prvog reda funkcije .

(1) Koristimo pravilo diferenciranja zbira

(2) Prvi član se u ovom slučaju smatra konstantom, jer u izrazu nema ničega što zavisi od "x" - samo "y". Znate, uvijek je lijepo kada se razlomak može pretvoriti u nulu). Za drugi termin primjenjujemo pravilo diferencijacije proizvoda. Inače, u tom smislu se ništa ne bi promijenilo da se umjesto nje zada funkcija - to je ovdje bitno proizvod dvije funkcije, SVAKO zavisi od toga "X", te stoga morate koristiti pravilo diferencijacije proizvoda. Za treći član primjenjujemo pravilo diferencijacije složene funkcije.

(1) U prvom članu, i brojilac i nazivnik sadrže „y“, stoga morate koristiti pravilo za razlikovanje količnika: . Drugi član zavisi SAMO od "x", što znači da se smatra konstantom i pretvara se u nulu. Za treći član koristimo pravilo diferencijacije kompleksne funkcije.

Za one čitaoce koji su hrabro stigli skoro do kraja lekcije, ispričat ću vam staru Mekhmatovljevu anegdotu za detant:

Jednom se u prostoru funkcija pojavio zli derivat i kako je sve razlikovao. Sve funkcije se raspršuju u svim smjerovima, nitko se ne želi okretati! I samo jedna funkcija ne bježi nigdje. Izvod mu prilazi i pita:

"Zašto ne bježiš od mene?"

- Ha. Ali nije me briga, jer ja sam "e na stepen x", a ti mi ništa ne možeš!

Na šta zli derivat sa podmuklim osmehom odgovara:

- Tu grešiš, ja ću te razlikovati po "y", pa ti neka bude nula.

Ko je shvatio šalu, savladao je derivate, bar za "trojku").

Primjer 8

Pronađite parcijalne izvode prvog reda funkcije .

Ovo je "uradi sam" primjer. Kompletno rješenje i primjer dizajna problema nalaze se na kraju lekcije.

Pa, to je skoro sve. Konačno, ne mogu a da ne obradujem matematičare još jednim primjerom. Ne radi se čak ni o amaterima, svi imaju različit nivo matematičke obučenosti - ima ljudi (i ne tako rijetkih) koji vole da se takmiče sa težim zadacima. Iako, posljednji primjer u ovoj lekciji nije toliko komplikovan koliko glomazan u smislu proračuna.

Izlaz kolekcije:

NA DIFERENCIJALU DRUGOG REDA

Lovkov Ivan Jurijevič

Moskovski student državni univerzitet informacione tehnologije, radiotehnika i elektronika, Ruska Federacija, Serpukhov

E- mail: alkasardancer@ rambler. en

Taperečkina Vera Aleksejevna

cand. Phys.-Math. nauka, vanredni profesor, Moskovski državni univerzitet za informacione tehnologije, radiotehniku i elektroniku, Ruska Federacija, Serpuhov

O DIFERENCIJALU DRUGOG REDA

Lovkov Ivan

student Moskovskog državnog univerziteta za informacione tehnologije, radiotehniku i elektroniku, Rusija, Serpuhov

Vera Taperechkina

kandidat fizičkih i matematičkih nauka, vanredni profesor Moskovskog državnog univerziteta za informacione tehnologije, radiotehniku i elektroniku, Rusija, Serpuhov

ANOTATION

U radu se razmatraju metode za pronalaženje izvoda i diferencijala prvog i drugog reda za kompleksne funkcije dviju varijabli.

SAŽETAK

Metode proračuna derivacije i prvog i drugog diferencijala za kompozitne funkcije dviju varijabli.

Ključne riječi: parcijalni derivati; diferencijal.

ključne riječi: parcijalni derivati; diferencijal.

1. Uvod.

Formulirajmo neke činjenice iz teorije funkcija nekoliko varijabli, koje će nam trebati u nastavku.

Definicija: Funkcija z=f(u, v) naziva se diferencijabilna u tački (u, v) ako se njen prirast Δz može predstaviti kao:

Linearni dio prirasta naziva se ukupni diferencijal i označava se dz.

Teorem (dovoljan uslov za diferencijabilnost) up.

Ako u nekom susjedstvu m.(u, v) postoje kontinuirani parcijalni derivati i , tada je funkcija f(u, v) diferencijabilna u ovoj točki i

(du=Δu, dv=Δv). (jedan)

Definicija: Drugi diferencijal funkcije z=f(u, v) u datoj tački (u, v) je prvi diferencijal prvog diferencijala funkcije f(u, v), tj.

Iz definicije drugog diferencijala z=f(u, v), gdje su u i v nezavisne varijable, slijedi

Dakle, formula vrijedi:

Prilikom izvođenja formule korištena je Schwartzova teorema o jednakosti mješovitih izvoda. Ova jednakost važi pod uslovom da definirani su u susjedstvu m.(u, v) i kontinuirani u m.(u, v). vidi

Formula za pronalaženje 2. diferencijala može se simbolično napisati u sljedećem obliku: – formalno kvadriranje zagrade s naknadnim formalnim množenjem desno sa f(x y) daje prethodno dobijenu formulu . Slično, vrijedi formula za treći diferencijal:

I generalno govoreći:

Gdje se formalno podizanje na n-ti stepen izvodi prema Newtonovoj binomnoj formuli:

;

Imajte na umu da prvi diferencijal funkcije dvije varijable ima svojstvo invarijantnosti oblika. To jest, ako su u i v nezavisne varijable, onda za funkciju z=f(u, v), prema (1)

Neka sada u=u(x y), v=v(x y), tada su z=f(u(x y), v(x y)), x i y nezavisne varijable, tada

Koristeći dobro poznate formule za izvod kompleksne funkcije:

Tada iz (3) i (4) dobijamo:

Na ovaj način,

(5)

gdje - prvi diferencijal funkcije u, - prvi diferencijal funkcije v.

Uspoređujući (1) i (5), vidimo da je formalna formula za dz očuvana, ali ako su u (1) du=Δu, dv=Δv priraštaji nezavisnih varijabli, tada su u (5) du i dv diferencijali od funkcije u i v.

2. Drugi diferencijal složene funkcije dvije varijable.

Prije svega, pokazujemo da drugi diferencijal nema svojstvo invarijantnosti oblika.

Neka je z=z(u, v) u slučaju nezavisnih varijabli u i v, drugi diferencijal se nalazi po formuli (2)

Neka sada u=u(x y), v=v(x y), z=z(u(x y), v(x y)), gdje su x i y nezavisne varijable. Onda

Dakle, konačno smo dobili:

Formule (2) i (6) se ne poklapaju po obliku, stoga drugi diferencijal nema svojstvo invarijantnosti.

Prethodno su izvedene formule parcijalnog izvoda 1. reda za kompleksnu funkciju z=f(u, v), gdje je u=u(x y), v=v(x y), gdje su x i y nezavisne varijable, vidi .

Izvodimo formule za izračunavanje parcijalnih izvoda i diferencijala drugog reda za funkciju z=f(u, v), u=u(x y), v=v(x y), gdje su x i y nezavisne varijable.

Za funkcije u(x y), v(x y) nezavisnih varijabli x, y imamo formule:

Zamijenimo formule (8) u (6).