Kirish. Ilm-fan va texnika tiliga aylangan matematika endi kundalik hayotga va kundalik tilga tobora ko'proq kirib bormoqda va undan an'anaviy ravishda uzoqroq bo'lgan sohalarga tobora ko'proq kiritilmoqda. Buyuk Galiley Galiley (1564 - 1642) majoziy ma'noda ta'kidlaganidek, tabiat kitobi matematik tilda yozilgan va uning harflari matematik belgilar va geometrik figuralardir, ularsiz uning so'zlarini tushunish mumkin emas, ularsiz cheksiz labirintda sarson. behuda. Va tabiatga xos bo'lgan harakat va o'zgarishlar jarayonlarini tasvirlash imkonini beradigan matematik tilning vositasi bo'lgan funktsiyadir. Kvadrat funksiyani 9-sinfda o‘rganar ekanmiz, bu funksiya grafigiga o‘zgartirishlar o‘tkazdik. Ushbu o'zgartirishlar natijasida grafikni chizish oson va sodda edi. Va men shunday deb o'yladim: "Boshqa funktsiyalarning grafiklari bilan, masalan, chiziqli funktsiya, teskari proportsionallik, quvvat funktsiyasi bilan o'xshash o'zgarishlarni amalga oshirish mumkinmi?" Shuning uchun men o'zimning ishimning mavzusini "Elementar funktsiyalar sinfi va ularning grafiklari" ni tanladim va o'z oldimga maqsad qo'ydim: elementar funktsiyalarni shakllantirish va ularning grafiklarini o'zgartirish usullarini tushunish va o'rganish.

Funksiyaning rivojlanish tarixidan. Fransuz matematigi va faylasufi R.Dekartning mashhur “Geometriya” asarida matematikaga “oʻzgaruvchan miqdor” nomi bilan birinchi marta funksiya kirdi va uning paydo boʻlishi, F.Engelsning fikricha, matematikada burilish nuqtasi boʻlib xizmat qildi. , shu tufayli unga harakat va dialektika kiritilgan. O'zgaruvchilarsiz I.Nyuton jismlarning - samoviy va to'liq quruqlikdagi mexanik harakati jarayonlarini tavsiflovchi dinamika qonunlarini ifoda eta olmas edi, zamonaviy olimlar esa kosmik kemalarning traektoriyalarini hisoblab, cheksiz sonini hal qila olmaydilar. bizning davrimizning texnik muammolari.

Funksiyaning rivojlanish tarixidan. Fanning rivojlanishi bilan funksiya tushunchasi takomillashtirildi va umumlashtirildi. Endi u shunchalik umumiy bo'lib qoldiki, u yozishmalar tushunchasiga to'g'ri keladi. Shunday qilib, umumiy ma'noda funktsiya har qanday qonun (qoida) bo'lib, unga ko'ra ma'lum bir sinfga mansub har bir ob'ekt, funktsiyani aniqlash sohasi boshqa (yoki bir xil) sinfning biron bir ob'ekti, mumkin bo'lgan ob'ekt bilan bog'lanadi. funksiya qiymatlari. Lekin biz funksiya tushunchasini bunday umumiy ma’noda ko‘rib chiqmaymiz, balki mustaqil va bog‘liq o‘zgaruvchilar ham kattalik ekanligiga ishonamiz. Shunday qilib, funktsiya - bu bitta o'zgaruvchan miqdorning (argumentning) har bir qiymati bilan bog'langan bog'liqlik, uning ma'lum bir maydonidan boshqa miqdorning (funktsiyaning) ma'lum bir qiymatini o'zgartirish. Agar argument x bilan, funktsiya qiymati y bilan va bog'liqlikning o'zi - funksiya f belgisi bilan belgilansa, u holda funktsiya va argument qiymatlari o'rtasidagi bog'liqlik quyidagicha bo'ladi: y=f. (x).

Funktsiyalarni belgilash usullari. Miqdorlar orasidagi bog'liqlikni ifodalashning uchta asosiy usuli mavjud: jadval, grafik va analitik (“formula”). Jadval usuli muhim ahamiyatga ega, chunki u haqiqiy bog'liqliklarni aniqlashda asosiy hisoblanadi va ularni ko'rsatishning yagona vositasi bo'lishi mumkin (formulani tanlash har doim ham mumkin emas, ba'zan esa bunga ehtiyoj ham bo'lmaydi). amaliy hisob-kitoblarni amalga oshirishda ko'pincha jadvalli spetsifikatsiyaga o'tkaziladi, bu bilan bog'liq: masalan, kvadrat ildizlar jadvallaridan foydalanish bunday ildizlar ishtirok etadigan hisob-kitoblarni amalga oshirishda qulaydir. Matematik nuqtai nazardan, uzluksiz bog'liqliklarning jadvalli tayinlanishi har doim to'liq bo'lmaydi va faqat alohida nuqtalarda funktsiyaning qiymatlari haqida ma'lumot beradi.

Funksiyalarni ko'rsatish usullari Bog'liqlarni tasvirlashning grafik usuli ham real hodisalarni o'rganishda ularni qayd etish vositalaridan biridir. Bu seysmograf, elektrokardiograf, osiloskop va boshqalar kabi turli xil "o'z-o'zini yozib oladigan" asboblarni yaratishga imkon beradi, ular o'lchangan miqdorlarning o'zgarishi haqidagi ma'lumotlarni grafiklar shaklida aks ettiradi. Ammo agar grafik mavjud bo'lsa, unda tegishli funktsiya ham aniqlanadi. Bunday hollarda biz funktsiyani grafik tarzda belgilash haqida gapiramiz. Biroq, funktsiyani belgilashning grafik usuli hisob-kitoblar uchun noqulay; Bundan tashqari, jadvaldagi kabi, u taxminiy va to'liq emas. Analitik (formulali) funktsiya topshirig'i o'zining ixchamligi bilan ajralib turadi, esda saqlash oson va bog'liqlik haqida to'liq ma'lumotni o'z ichiga oladi. Funktsiya formula yordamida aniqlanishi mumkin, masalan: y=2x+5, S=at2/2, S=vt. Bu formulalar geometrik yoki fizik fikrlash yordamida olinishi mumkin. Ba'zida formulalar tajribani qayta ishlash natijasida olinadi, bunday formulalar empirik deb ataladi.

Elementar funksiyalar sinfi Elementar funksiyalar maktab darsligidagi deyarli barcha funksiyalarni o‘z ichiga oladi. Avvalo, asosiy elementar funktsiyalar deb ataladigan taniqli va yaxshi o'rganilgan funktsiyalarning etarlicha vakillik to'plami mavjud. Bular funksiyalar: y=C, doimiy deb ataladi, y= xa - quvvat funksiyasi (a = 1 uchun y=x funksiya olinadi, bir xil deb ataladi). Ushbu funksiyalarning grafiklari ilova qilingan. (1-7-ilovalar) Sizning ixtiyoringizda asosiy elementar funktsiyalarga ega bo'lgan holda, siz murakkabroq va xilma-xil dizaynlarni olish uchun ularni qismlar sifatida bir-biri bilan birlashtirishga imkon beradigan bir qator operatsiyalarni kiritishingiz mumkin. Funksiyalar ustida amal qiladigan arifmetik amallar. [+] – qo‘shish, [-] – ayirish, [*] – ko‘paytirish, [:] – bo‘lish. Arifmetik amallar yordamida asosiy elementlardan olinishi mumkin bo'lgan barcha funktsiyalar elementar funktsiyalar deb ataladi va elementar funktsiyalar sinfini tashkil qiladi.

Elementar funksiyalar sinfini shakllantirish f1, f2,f3,...fk asosiy funktsiyalarning ma'lum to'plamiga va ular ustida F1, F2, ... Fs ruxsat etilgan amallarga ega bo'lgan holda (ularni istalgan sonda qo'llash mumkin), biz boshqa funktsiyalarni oling, xuddi dizaynerning qismlaridan, ularni ulash uchun ma'lum qoidalardan foydalangan holda, siz turli xil modellarni olishingiz mumkin. Shu tarzda olingan barcha funksiyalar sinfi quyidagicha belgilanadi:< f1,f2,...fk; F1,F2,...Fs>. Xususan, agar biz barcha asosiy elementar funktsiyalarni asosiy sifatida qabul qilsak va faqat arifmetik amallarga ruxsat etilsa, biz elementar funktsiyalar sinfini olamiz. Ba'zi bir asosiy elementar funktsiyalarni asos qilib olib, balki ko'rsatilgan operatsiyalarning faqat ba'zilariga ruxsat berib, biz elementar funktsiyalar sinfining ba'zi kichik sinflarini, shu asosda yaratilgan funktsiyalarning ba'zi oilalarini va ushbu operatsiyalarni olamiz. Mana shunday funksiyalar oilalariga misollar keltiramiz, bunda (a) har qanday konstantaga ko‘paytirish amali tushuniladi: - musbat butun sonlar oilasi y=x, bu erda n € N; - chiziqli funksiyalar turkumi y= ax + b; - ko'phadlar turkumi y= axn +...+an-1x +an, bu yerda n € N.

Grafiklarni qurish y = 3x2 funksiya grafigini qurish uchun y = x2 funksiya grafigini 3 ga ko'paytirish kerak. Natijada y = x2 funksiya grafigi ordinatalar o'qi bo'ylab 3 marta cho'ziladi, va agar y = 0,3 x2 bo'lsa, grafik Oy o'qi bo'ylab 0, 3 marta siqiladi. (8, 9-ilovalar).

Grafiklarni qurish y=3(x -4)2 funksiyaning grafigini quyidagi amallarni bajarish orqali olish mumkin: - bir xil y=x funksiya va y=-4 doimiysi grafiklarini qo‘shing, ning grafigini olamiz. funktsiya y=x-4; - y=x-4 va y=x-4 funksiyalarning grafiklarini ko‘paytirsak, y= (x -4)2 funksiya grafigini olamiz; - y= (x -4)2 ni 3 ga ko'paytirsak, y=3(x -4)2 funksiya grafigini olamiz. Yoki oddiygina y=3x2 funksiya grafigini Ox o‘qi bo‘ylab 4 birlik segmentga siljiting (10-ilova).

y= f(x) funksiyaning asl grafigini o'zgartirishlar. Yuqoridagilardan shunday xulosa chiqarishimiz mumkinki, elementar funksiyalar grafiklari bilan har xil amallarni bajarib, bu grafiklarni o zgartirishlarni amalga oshiramiz, ya ni: parallel ko chirish, Ox va Oy chiziqqa nisbatan simmetriya.

Taqdimotni oldindan ko‘rishdan foydalanish uchun Google hisobini yarating va unga kiring: https://accounts.google.com

Slayd sarlavhalari:

"Funktsiyalar va grafiklar" Dars uchun taqdimot GBOU NPO 80-sonli kasb-hunar litseyi matematika o'qituvchisi Galina Ivanovna Savitskaya

“Funksiyalar va grafiklar” 1. Funksiya nima? Ta’rif 2. Elementar funksiyalar grafiklari 3. Funksiyaning xossalari 5. Funksiyalar grafiklarini o‘zgartirish Mashqlar: Funksiya xossalarini ko‘rsating 4. Funksiyaning berilgan xossalaridan foydalanib grafigini qurish.

X va Y to'plamlari bo'lsin. Agar X to’plamdagi har bir x element qaysidir qoidaga ko’ra Y to’plamdan bitta y element bilan bog’langan bo’lsa, u holda y = f(x) funksiya berilgan deymiz.X Y Y TANIMI X 1 y 1 X 2 y. 2 X 3 y 3 X 4 y 4 X f (qonun)

Aytishlaricha, y x y=f(x) ning funksiyasi Bu holda: X = - OOF funksiyasini aniqlash sohasi yoki D(y) y - MZF yoki E(y) X funksiya qiymatlari to‘plami. - mustaqil o'zgaruvchi yoki argument Y - bog'liq o'zgaruvchi yoki funktsiya

1) Formula x 1 2 3 4 5 y 1 8 15 20 22 y = x 2 + 2x – 4 y = 3x f(x) = log 2 (3x+4) f(x) = COS 2x funksiyani belgilash usullari 2) Jadval

Y= f (x) Y X 0 ordinata o‘qi abtsissa o‘qi koordinatalarning kelib chiqishi Funksiyani ko‘rsatish usullari 3) Grafik 1 2 3 -1 -2 -3 -1 -2 -3 1 2 3

Y= f (x) Y X 0 1 2 3 -1 -2 -3 -1 -2 -3 1 2 3 A(-2;1) B(1;-2) M(x; Y) Funksiya grafigi Y = f (x) - (x; f (x)) yoki (x; Y) koordinatalariga ega bo'lgan koordinata tekisligi nuqtalari to'plami.

1. Chiziqli funksiya Elementar funksiyalar grafiklari y x Y = x y = 2x y = - x y = k x + in k – qiyaligi 0 y = x k=1 y = 2 x k=2 y = - x k=- 1 y = ½ x k = ½ 1 1 2 -1 y = ½ x

1. Chiziqli funksiya: elementar funksiyalar grafiklari y x y = k x + in k – qiyaligi 0 y = x +2 y = x -2 1 1 2 -1 y = x-2 y = x+2 y = x - 2

1. Chiziqli funksiya: elementar funksiyalar grafiklari y x y = k x + in k – qiyaligi 0 y = x y = 2 x = 3 1 1 1 2 -1 -2 3 2 3 y = 2 X = 3

2. Kvadrat funksiya y=ax 2 + b x + c Elementar funksiyalar grafiklari 0 y x x 0 y 0 parabola Parabola tepasining koordinatalari: x 0 = - b 2a y 0 = a (x 0) 2 + b x 0 + c agar a > 0 bo'lsa parabolaning shoxlari yuqoriga yo'naltirilgan bo'lsa, a 0 a bo'lsa

Kub funksiya: y=ax 3 + b x 2 + cx + d Elementar funksiyalar grafiklari kub parabola y x 0 y=x 3 1 1 -1 -1 y=x 3

4. Teskari proporsional funksiya: Y= Elementar funksiyalar grafiklari giperbola k x y x 0 1 -1 1 -1 y x 0 1 -1 1 -1 y = 1 x y = - 1 x

5. Modulli funksiya: y = | x | y x 0 1 1 -1 elementar funksiyalar grafiklari

FUNKSIYALARNING XUSUSIYATLARI Y = f (x) Y x 0 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 1 a 2 a 3 a 4

FUNKSIYALARNING XUSUSIYATLARI y = f (x) Y x 0 a 1 a 9 1 . Funktsiyani aniqlash sohasi - bu OOF funktsiyasi mavjud bo'lgan X argumentining qiymatlari to'plami: X ê [ a 1 ; a 9]

FUNKSIYALARNING XUSUSIYATLARI Y = f (x) Y x 0 1da 4 2. Funktsiya qiymatlari to'plami MZF olishi mumkin bo'lgan barcha raqamlar to'plamidir: y ê [ in 4 ; 1 ichida]

FUNKSIYALARNING XUSUSIYATLARI Y = f (x) Y x 0 a 2 a 4 a 6 a 8 3. Funktsiyaning ildizlari (yoki nollari) x ning funksiya nolga teng bo'lgan qiymatlaridir (y = 0). ) f (x) = 0 da X = a 2; a 4; a 6; a 8

FUNKSIYALARNING XUSUSIYATLARI y = f (x) Y x 0 a 1 a 2 a 4 a 6 a 8 a 9 4 . Funksiyaning doimiy belgisi sohalari - bu funksiya noldan katta yoki kichik bo'lgan x qiymatlari (ya'ni, X ê uchun y > 0 yoki y 0 (a 1; a 2); (a 4; a 6) ; (a 8; a 9)

FUNKSIYALARNING XUSUSIYATLARI y= f (x) Y x 0 a 2 a 4 a 6 a 8 4. Funktsiyaning doimiy belgisi sohalari x ning qiymatlari bo'lib, bunda funktsiya noldan katta yoki kichik bo'ladi (ya'ni y > 0 yoki y).

FUNKSIYALARNING XUSUSIYATLARI y= f (x) Y x 0 a 3 a 5 a 7 a 9 5. Funksiyaning monotonligi funksiyaning ortib boruvchi va kamayuvchi sohalaridir.Funksiya X ê [ a 3 ; a 5 ]; [a 7; a 9 ] a 1 Funksiya X ê [ a 1 ga qarab kamayadi ; a 3 ] ; [a 5; a 7]

FUNKSIYALARNING XUSUSIYATLARI y = f (x) Y x 0 a 3 a 5 a 7 da 2 da 3 da 4 funktsiyaning ekstremal F max (x) F min (x) F min (x) F max (x) = in. 2 ekstremum nuqtada x = a 5 F min (x) = 3 da ekstremum nuqtada x = a 3 F min (x) = 4 ekstremum nuqtada x = a 7

FUNKSIYALARNING XUSUSIYATLARI y = f (x) y x 0 a 7 a 9 in 1 in 4 7. Funktsiyaning eng yuqori va eng past qiymatlari (bular funksiya grafigidagi eng yuqori va eng past nuqtalar) eng yuqori qiymati F (x) ) = 1 da x nuqtada = a 9 eng kichik qiymat F (x) = b 4 x nuqtada = a 7

y x F(x) = x 2 y x F(x) = cos x x 0 0 X -X FUNKSIYALARNING XUSUSIYATLARI Juft va toq funksiyalar Funktsiya o'zining aniqlanish sohasidan istalgan X uchun f(x) = f qoidasi bo'lsa ham chaqiriladi. qanoatlangan (- x) juft funksiya grafigi Y o'qiga nisbatan simmetrik f(x) X -X f(x)

FUNKSIYALARNING XUSUSIYATLARI Juft va toq funksiyalar Agar uning aniqlanish sohasidagi istalgan X uchun f(x) = - f(x) qoidasi bajarilsa, toq funksiya grafigi y x boshiga nisbatan simmetrik bo‘lsa, funksiya toq deyiladi. 0 y=x 3 x f(x) - f(x) - x y x 0 y = 1 x 1 -1 1 -1

2 2 4 6 8 10 x -2 -4 -6 -8 -10 0 4 6 y -2 -4 y= f (x) T = 4 Funksiyalarning davriyligi Agar funksiya grafigining qolipi takrorlansa, u holda bunday funksiya davriy deyiladi, X o'qi bo'ylab uzunlik segmenti esa funktsiyaning davri (T) deb ataladi Davriy funktsiya f(x) = f(x+T) qoidasiga bo'ysunadi.

2 2 4 6 x -2 -4 -6 0 4 6 y -2 -4 -6 y= f (x) T = 6 FUNKSIYALARNING XUSUSIYATLARI y=f(x) funksiya davriy, davri T = 6.

1 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 0 2 3 4 y -1 -2 -3 -4 Funktsiyaning xossalarini ko'rsating 1) OOF 2) MZF 3) Funktsiyaning nollari 4) Ijobiy funktsiya Manfiy funktsiya 5 ) Funksiya ortadi Funksiya kamayadi 6) Funksiyaning ekstremasi F max (x) F min (x) 7) Funksiyaning eng katta qiymati y = f (x) funksiyaning eng kichik qiymati.

1 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 0 2 3 4 y -1 -2 -3 -4 y = f (x) funksiyaning xossalarini ko'rsating.

2 2 4 6 8 10 x -2 -4 -6 -8 -10 0 4 6 8 y -2 -4 -6 -8 y = f (x) funksiyaning xossalarini ko'rsating.

2 2 x -2 0 y -2 y = f (x) funksiyaning xossalarini ko'rsating.

3 3 x -1 0 y -1 -4 -5 Funksiya grafigini tuzing Berilgan: a) Aniqlanish sohasi [-4;3] oraliq b) Funksiya qiymatlari [ intervalni tashkil qiladi. - 5;3] c) Funksiya [ -4 oraliqlarda kamayadi; 1 ] va [ 2 ;3] [- 1 oraliqda ortadi; 2 ] d) Funksiyaning nollari: -2 va 2

FUNKSIYA GRAFIKASINI TRANSFORMASIYA Elementar funksiya grafigini bilgan holda, masalan f(x) = x 2, “murakkab” funksiya grafigini qurish mumkin, masalan f(x) = 3(x +2) 2 - 16. grafikni o'zgartirish qoidalaridan foydalanish

Grafiklarni aylantirish qoidalari 1 qoida: X o'qi bo'ylab siljish Agar X argumentiga son qo'shsangiz yoki ayirasiz, grafik X o'qi bo'ylab chapga yoki o'ngga siljiydi f(x) f(x ± a) 0 ga aylantiriladi y x 0 y x 4 -4 F (x) = x 2 F(x) = (x+4) 2 F(x) = (x-4) 2

Agar Y funksiyasiga son qo‘shsangiz yoki ayirsangiz, grafik Y o‘qi bo‘ylab yuqoriga yoki pastga siljiydi f(x) f(x) = X ± a Grafiklarni aylantirish qoidalari 2 qoidasi: Y o‘qi bo‘ylab siljish y x 4 - 4 0 y x F(x) = x 2 F(x) = x 2 + 4 F(x) = x 2 - 4

Agar X argumenti K soniga ko'paytirilsa yoki bo'linsa, grafik X o'qi bo'ylab K marta siqiladi yoki cho'ziladi f(x) f(k · x) Grafiklarni aylantirish qoidalari 3 qoidasi: siqish (cho'zish) X o'qi bo'ylab grafikning y x F (x) = sin x F(x) = sin 2x

Agar Y funksiyaga son qo‘shsangiz yoki ayirilsa, grafik Y o‘qi bo‘ylab yuqoriga yoki pastga siljiydi f(x) f(x) ± a y x F(x) = sin x F(x) = sin x ga aylantiriladi. 2 Grafiklarni aylantirish qoidalari 3-qoida: C grafikni X o'qi bo'ylab siqish (cho'zish)

Agar funktsiya K soniga ko'paytirilsa yoki bo'linsa, u holda grafik Y o'qi bo'ylab K marta cho'ziladi yoki siqiladi f(x) k · f(x) Grafiklarni aylantirish qoidalari 4-qoida: siqilish (cho'zish) Y o'qi bo'ylab grafik y x F( x) = cos x F(x) = cos x 1 2

Agar funktsiya K soniga ko'paytirilsa yoki bo'linsa, u holda grafik Y o'qi bo'ylab K marta cho'ziladi yoki siqiladi f(x) k · f(x) Grafiklarni aylantirish qoidalari 4-qoida: siqilish (cho'zish) Y o'qi bo'ylab grafik y x F( x) = cos x F(x) = 2cos x

Agar funktsiya oldidan belgini qarama-qarshi belgiga o'zgartirsangiz, u holda grafik X o'qiga nisbatan nosimmetrik tarzda aylantiriladi f(x) - f(x) Grafiklarni aylantirish qoidalari 5 qoidasi: X ga nisbatan grafikni aylantirish. o'qi y x F(x) = x 2 F(x) = - x 2

"Quvvat funktsiyalari, ularning xususiyatlari va grafiklari" taqdimoti ushbu mavzu bo'yicha maktab darsini o'tkazish uchun ko'rgazmali qo'llanma. Ratsional darajali darajaning xususiyatlari va xossalarini o'rganib, daraja funksiyasining xossalari va uning koordinata tekisligidagi xatti-harakatlarini to'liq tahlil qilish mumkin. Ushbu taqdimot davomida daraja funksiyasi tushunchasi, uning turli xil turlari, manfiy, musbat, juft, toq darajali funktsiyaning koordinata tekisligidagi grafigining harakati ko‘rib chiqiladi, grafikning xossalari tahlil qilinadi. , hamda o‘rganilgan nazariy materialdan foydalanib masalalar yechish misollari bayon etilgan.

Ushbu taqdimotdan foydalanib, o'qituvchi dars samaradorligini oshirish imkoniyatiga ega. Slayd grafikning tuzilishini aniq ko'rsatadi, rangni ajratib ko'rsatish va animatsiya yordamida funktsiyaning xatti-harakatlarining xususiyatlari ajratib ko'rsatiladi, bu materialni chuqur tushunishni shakllantiradi. Materialning yorqin, aniq va izchil taqdim etilishi uni yaxshiroq eslab qolishni ta'minlaydi.

Namoyish oldingi darslarda o'rganilgan ratsional ko'rsatkichli daraja xususiyatidan boshlanadi. Qayd etilishicha, u manfiy bo'lmagan a va bir q ga teng bo'lmagan a p/q = q √a p ni ildizga aylantiradi. Bu 1.3 3/7 = 7 √1.3 3 misol yordamida qanday amalga oshirilganligi esga olinadi. Quyida y=x k daraja funksiyasining ta’rifi keltirilgan, bunda k ratsional kasr ko‘rsatkichidir. Ta'rif yodlash uchun qutiga solingan.

3-slaydda y=x 1 funksiyaning koordinata tekisligidagi harakati ko‘rsatilgan. Bu y=x ko‘rinishdagi funksiya bo‘lib, grafik koordinatalar boshi orqali o‘tuvchi va koordinatalar tizimining birinchi va uchinchi choraklarida joylashgan to‘g‘ri chiziqdir. Rasmda qizil rang bilan ajratilgan funksiya grafigining tasviri ko'rsatilgan.

Keyinchalik, biz 2 quvvatli funktsiyaning darajasini ko'rib chiqamiz. 4-slaydda y=x 2 funksiya grafigining tasviri keltirilgan. Maktab o'quvchilari allaqachon bu funktsiya va uning grafigi - parabola bilan tanish. 5-slaydda kubik parabola - y=x 3 funksiyaning grafigi ko'rib chiqiladi. Uning xatti-harakati ham allaqachon o'rganilgan, shuning uchun talabalar grafikning xususiyatlarini eslab qolishlari mumkin. y=x 6 funksiyaning grafigi ham ko'rib chiqiladi. Shuningdek, u parabolani ifodalaydi - uning tasviri funksiya tavsifiga biriktirilgan. 7-slaydda y=x 7 funksiyaning grafigi keltirilgan. Bu ham kubik parabola.

Keyin manfiy darajali funksiyalarning xossalari tavsiflanadi. 8-slaydda manfiy butun ko‘rsatkichli y=x -n =1/x n bo‘lgan quvvat funksiyasining turi tasvirlangan. Bunday funksiya grafigiga y=1/x 2 grafigini misol qilib keltirish mumkin. U x=0 nuqtada uzilishga ega, koordinatalar tizimining birinchi va ikkinchi choraklarida joylashgan ikkita qismdan iborat bo'lib, ularning har biri cheksizlikka intilgani uchun abscissa o'qiga bosiladi. Qayd etilishicha, funksiyaning bunday harakati hatto n uchun ham xosdir.

10-slaydda y = 1/x 3 funksiyaning grafigi tuziladi, uning qismlari birinchi va uchinchi choraklarda yotadi. Grafik x=0 nuqtada ham uziladi va y=0 va x=0 asimptotalariga ega. Ta'kidlanishicha, grafikning bunday harakati daraja toq son bo'lgan funksiya uchun xosdir.

11-slaydda y=x0 funksiya grafigining harakati tasvirlangan. Bu to'g'ri chiziq y = 1. U to'rtburchak koordinata tekisligida ham ko'rsatilgan.

Keyinchalik, y=x n funktsiya filialining joylashuvi o'rtasidagi farq n ko'rsatkichining ortishi bilan tahlil qilinadi. Vizual namoyish qilish uchun funktsional bog'liqliklar grafikalar bilan bir xil rangda belgilanadi. Natijada, funktsiya indeksining ortishi bilan grafik shoxchasi ordinatalar o'qiga yaqinroq bosilishi va grafikning keskinlashishi aniq. Bunda y=x 2.3 funksiya grafigi y=x 2 va y=x 3 orasida o‘rta o‘rinni egallaydi.

13-slaydda quvvat funktsiyasining ko'rib chiqilgan xatti-harakati namunaga umumlashtiriladi. Ta'kidlanishicha, 0 da<х<1 при увеличении показателя степени, уменьшается значение выражения х 5 < х 4 < х 3 , следовательно и √х 5 < √х 4 < √х 3 . Для х, большего 1, верно обратное утверждение - при увеличении показателя степени значение степенной функции увеличивается, то есть х 5 >x 4 > x 3, demak, √x 5 > √x 4 > √x 3.

Quyida y=x k darajali funksiyaning koordinata tekisligidagi xatti-harakati batafsil ko'rib chiqiladi, bunda ko'rsatkich m/n noto'g'ri kasr bo'lib, bu erda m>n. Rasmda bu funksiyaning tavsifi y=x 7/2 parabola tarmog‘ini ifodalovchi koordinatalar sistemasining birinchi choragida tuzilgan grafik bilan birga berilgan. m/n>1 uchun funksiyaning xossalari 15-slaydda y=x 7/2 grafik misolida tasvirlangan. Ta'kidlanishicha, u ta'rif sohasiga ega - ray. 6. Funktsiya 0 dan + gacha oshadi, chunki x)