Garmonik tebranish - har qanday miqdorning davriy o'zgarishi hodisasi bo'lib, unda argumentga bog'liqlik sinus yoki kosinus funksiyasi xususiyatiga ega. Masalan, miqdor uyg'un ravishda tebranadi va vaqt o'tishi bilan quyidagicha o'zgaradi:

Bu yerda x - o'zgaruvchan miqdorning qiymati, t - vaqt, qolgan parametrlar doimiy: A - tebranishlarning amplitudasi, ō - tebranishlarning tsiklik chastotasi, tebranishlarning to'liq fazasi, tebranishlarning boshlang'ich fazasi.

Differensial shakldagi umumlashgan garmonik tebranish

(Ushbu differensial tenglamaning har qanday noaniq yechimi siklik chastotali garmonik tebranishdir)

Tebranish turlari

Erkin tebranishlar tizim muvozanat holatidan chiqarilgandan keyin tizimning ichki kuchlari ta'sirida yuzaga keladi. Erkin tebranishlar garmonik bo'lishi uchun tebranish tizimi chiziqli bo'lishi kerak (chiziqli harakat tenglamalari bilan tavsiflanadi) va unda energiya yo'qolishi yo'q (ikkinchisi zaiflashuvga olib keladi).

Majburiy tebranishlar tashqi davriy kuch ta'sirida yuzaga keladi. Ularning garmonik bo'lishi uchun tebranish tizimining chiziqli bo'lishi (chiziqli harakat tenglamalari bilan tavsiflangan) va tashqi kuchning o'zi vaqt o'tishi bilan garmonik tebranish sifatida o'zgarishi (ya'ni, bu kuchning vaqtga bog'liqligi sinusoidal bo'lishi) kifoya qiladi. .

Garmonik tenglama

o'zgaruvchan qiymat S ning t vaqtga bog'liqligini beradi; bu aniq shakldagi erkin garmonik tebranishlarning tenglamasi. Biroq, odatda, tebranish tenglamasi bu tenglamaning differensial shakldagi boshqa ko'rinishi sifatida tushuniladi. Aniqlik uchun (1) tenglamani shaklda olaylik

Keling, uni vaqt bo'yicha ikki marta farqlaylik:

Ko'rinib turibdiki, quyidagi munosabatlar mavjud:

erkin garmonik tebranishlar tenglamasi deb ataladi (differensial shaklda). (1) tenglama (2) differensial tenglamaning yechimidir. (2) tenglama ikkinchi tartibli differensial tenglama bo'lgani uchun to'liq yechim olish uchun ikkita boshlang'ich shart kerak bo'ladi (ya'ni (1) tenglamaga kiritilgan A va   konstantalarini aniqlash); masalan, t = 0 da tebranish tizimining holati va tezligi.

Matematik mayatnik - bu osilator bo'lib, u og'irliksiz cho'zilmaydigan ipda yoki tortishish kuchlarining bir xil maydonida vaznsiz novda ustida joylashgan moddiy nuqtadan iborat mexanik tizimdir. Erkin tushish tezlanishi g bo'lgan bir xil tortishish maydonida harakatsiz osilgan l uzunlikdagi matematik mayatnikning kichik tabiiy tebranishlar davri ga teng.

va mayatnikning amplitudasi va massasiga bog'liq emas.

Jismoniy mayatnik - bu osilator bo'lib, u bu jismning massa markazi bo'lmagan nuqtaga nisbatan har qanday kuchlar maydonida yoki kuchlarning ta'sir yo'nalishiga perpendikulyar bo'lmagan sobit o'qda tebranuvchi qattiq jismdir. bu tananing massa markazidan o'tadi.

Tebranishlar vaqt o'tishi bilan ma'lum bir takrorlanishi bilan tavsiflangan harakatlar yoki jarayonlar deyiladi. Tebranishlar atrofdagi dunyoda keng tarqalgan va juda boshqacha tabiatga ega bo'lishi mumkin. Bu mexanik (maatnik), elektromagnit (tebranish sxemasi) va boshqa turdagi tebranishlar bo'lishi mumkin.
Ozod, yoki Shaxsiy tebranishlar tizim tashqi ta'sir bilan muvozanatdan chiqarilgandan so'ng, o'z-o'zidan qolgan tizimda sodir bo'ladigan tebranishlar deyiladi. Masalan, ipga osilgan sharning tebranishi.

Maxsus rol tebranish jarayonlarida tebranishlarning eng oddiy shakli mavjud - garmonik tebranishlar. Garmonik tebranishlar turli tabiatdagi tebranishlarni o'rganishga yagona yondashuv asosida yotadi, chunki tabiatda va texnologiyada topilgan tebranishlar ko'pincha garmonikga yaqin bo'ladi va boshqa shakldagi davriy jarayonlar garmonik tebranishlarning superpozitsiyasi sifatida ifodalanishi mumkin.

Garmonik tebranishlar shunday tebranishlar deyiladiki, bunda tebranish kattaligi vaqt o'tishi bilan qonunga muvofiq o'zgaradi sinus yoki kosinus.

Garmonik tenglamashaklga ega:

qaerda A - tebranish amplitudasi (tizimning muvozanat holatidan eng katta og'ishining kattaligi); -doiraviy (tsiklik) chastota. Kosinusning vaqti-vaqti bilan o'zgaruvchan argumenti deyiladi tebranish bosqichi . Tebranish fazasi tebranish miqdorining ma'lum t vaqtida muvozanat holatidan siljishini aniqlaydi. ph doimiysi t = 0 vaqtidagi faza qiymatini ifodalaydi va chaqiriladi tebranishning dastlabki bosqichi . Dastlabki bosqichning qiymati mos yozuvlar nuqtasini tanlash bilan belgilanadi. X qiymati -A dan +A gacha bo'lgan qiymatlarni qabul qilishi mumkin.

Tebranish tizimining ma'lum holatlari takrorlanadigan vaqt oralig'i T, tebranish davri deb ataladi . Kosinus 2p davriga ega bo'lgan davriy funktsiyadir, shuning uchun T vaqt oralig'ida, undan keyin tebranish fazasi 2p ga teng o'sishni oladi, garmonik tebranishlarni bajaradigan tizimning holati takrorlanadi. Bu vaqt T davri garmonik tebranishlar davri deb ataladi.

Garmonik tebranishlar davri teng : T = 2p/ .

Vaqt birligidagi tebranishlar soni deyiladi tebranish chastotasi ν.
Garmonik chastota ga teng: n = 1/T. Chastota birligi gerts(Hz) - soniyada bir tebranish.

Doira chastotasi = 2p/T = 2pn 2p soniyada tebranishlar sonini beradi.

Grafik jihatdan garmonik tebranishlarni x ning t ga bog'liqligi sifatida tasvirlash mumkin (1.1.A-rasm), va aylanuvchi amplituda usuli (vektor diagrammasi usuli)(1.1.B-rasm) .

Aylanadigan amplituda usuli garmonik tebranish tenglamasiga kiritilgan barcha parametrlarni tasavvur qilish imkonini beradi. Haqiqatan ham, agar amplituda vektori bo'lsa A x o'qiga ph burchak ostida joylashgan (1.1-rasm. B ga qarang), u holda uning x o'qiga proyeksiyasi teng bo'ladi: x = Acos(ph). ph burchagi boshlang'ich fazadir. Agar vektor A tebranishlarning dumaloq chastotasiga teng burchak tezligi bilan aylanishga keltiring, keyin vektor uchining proyeksiyasi x o'qi bo'ylab harakatlanadi va -A dan +A gacha bo'lgan qiymatlarni oladi va bu proyeksiyaning koordinatasi bo'ladi. qonunga muvofiq vaqt o'tishi bilan o'zgarishi:
.

Shunday qilib, vektor uzunligi garmonik tebranishning amplitudasiga teng, vektorning yo'nalishi boshlang'ich momentda x o'qi bilan tebranishlarning boshlang'ich bosqichiga teng burchak hosil qiladi ph va yo'nalish burchagi o'zgarishi. vaqt bilan garmonik tebranishlar fazasiga teng. Amplituda vektorining bir marta to'liq aylanish vaqti garmonik tebranishlarning T davriga teng. Bir soniyada vektor aylanishlar soni tebranish chastotasi n ga teng.

Yagona davlat imtihonining kodifikatorining mavzulari: garmonik tebranishlar; tebranishlarning amplitudasi, davri, chastotasi, fazasi; erkin tebranishlar, majburiy tebranishlar, rezonans.

Tebranishlar - Bu vaqt o'tishi bilan takrorlanadigan tizim holatidagi o'zgarishlar. Tebranishlar tushunchasi juda keng doiradagi hodisalarni qamrab oladi.

Mexanik tizimlarning tebranishlari yoki mexanik tebranishlar- bu tananing yoki jismlar tizimining vaqt o'tishi bilan takrorlanadigan va muvozanat holatiga yaqin joyda sodir bo'ladigan mexanik harakati. Muvozanat holati tizimning tashqi ta'sirlarni boshdan kechirmasdan cheksiz qolishi mumkin bo'lgan holatidir.

Misol uchun, mayatnik egilib, qo'yib yuborilsa, u tebranishni boshlaydi. Muvozanat holati - mayatnikning og'ish bo'lmagan holati. Mayatnik, agar buzilmagan bo'lsa, bu holatda istalgancha qolishi mumkin. Mayatnik tebranish paytida o'zining muvozanat holatidan ko'p marta o'tadi.

Buzilgan mayatnik qo'yib yuborilgandan so'ng darhol harakatlana boshladi, muvozanat holatidan o'tdi, qarama-qarshi ekstremal holatga keldi, u erda bir zum to'xtadi, teskari yo'nalishda harakat qildi, yana muvozanat holatidan o'tib, orqaga qaytdi. Bir narsa yuz berdi to'liq tebranish. Keyin bu jarayon vaqti-vaqti bilan takrorlanadi.

Tananing tebranish amplitudasi uning muvozanat holatidan eng katta chetlanishining kattaligi.

Tebranish davri - bu bitta to'liq tebranish vaqti. Aytishimiz mumkinki, bir davr mobaynida tana to'rt amplitudali yo'lni bosib o'tadi.

Tebranish chastotasi davrning o'zaro nisbati hisoblanadi: . Chastota gerts (Hz) da o'lchanadi va bir soniyada qancha to'liq tebranishlar sodir bo'lishini ko'rsatadi.

Garmonik tebranishlar.

Biz tebranuvchi jismning joylashuvi bitta koordinata bilan aniqlanadi deb faraz qilamiz. Muvozanat holati qiymatga mos keladi. Bu holatda mexanikaning asosiy vazifasi har qanday vaqtda tananing koordinatasini beradigan funktsiyani topishdir.

Tebranishlarning matematik tavsifi uchun davriy funktsiyalardan foydalanish tabiiydir. Bunday funktsiyalar juda ko'p, lekin ulardan ikkitasi - sinus va kosinus - eng muhimi. Ular juda ko'p yaxshi xususiyatlarga ega va jismoniy hodisalarning keng doirasi bilan chambarchas bog'liq.

Sinus va kosinus funktsiyalari bir-biridan argumentni ga o'zgartirish orqali olinganligi sababli, biz ulardan faqat bittasi bilan cheklanishimiz mumkin. Aniqlik uchun biz kosinusdan foydalanamiz.

Garmonik tebranishlar- bu garmonik qonun bo'yicha koordinatasi vaqtga bog'liq bo'lgan tebranishlar:

(1)

Keling, ushbu formulaga kiritilgan miqdorlarning ma'nosini bilib olaylik.

Ijobiy qiymat koordinataning eng katta modul qiymatidir (chunki kosinus modulining maksimal qiymati birlikka teng), ya'ni muvozanat holatidan eng katta og'ish. Shuning uchun - tebranishlarning amplitudasi.

Kosinus argumenti deyiladi bosqichi ikkilanish. Faza qiymatiga teng qiymat boshlang'ich faza deb ataladi. Boshlang'ich faza tananing boshlang'ich koordinatasiga to'g'ri keladi: .

Miqdor deyiladi siklik chastotasi. Uning tebranish davri va chastotasi bilan bog'lanishini topamiz. Bitta to'liq tebranish radianga teng faza o'sishiga to'g'ri keladi: , qaerdan

(2)

(3)

Tsiklik chastota rad/s (sekundiga radyan) bilan o'lchanadi.

(2) va (3) iboralarga muvofiq biz garmonik qonunni yozishning yana ikkita shaklini olamiz (1):

Garmonik tebranishlar paytida koordinataning vaqtga bog'liqligini ifodalovchi (1) funktsiya grafigi rasmda ko'rsatilgan. 1 .

(1) turdagi garmonik qonun eng umumiy xususiyatga ega. U, masalan, mayatnikda bir vaqtning o'zida ikkita boshlang'ich harakat bajarilgan holatlarga javob beradi: u ma'lum miqdorda burildi va unga ma'lum bir boshlang'ich tezlik berildi. Ushbu harakatlardan biri bajarilmagan ikkita muhim maxsus holat mavjud.

Mayatnik burilsin, lekin boshlang'ich tezlik haqida xabar berilmagan (u boshlang'ich tezliksiz chiqarilgan). Bu aniq, bu holda, shuning uchun biz qo'yish mumkin. Biz kosinus qonunini olamiz:

Bu holda garmonik tebranishlar grafigi rasmda ko'rsatilgan. 2.

Guruch. 2. Kosinus qonuni

Keling, mayatnik burilmagan deb faraz qilaylik, lekin muvozanat holatidan dastlabki tezlik unga zarba orqali berilgan. Bunday holda, siz qo'yishingiz mumkin. Biz sinus qonunini olamiz:

Tebranish grafigi rasmda ko'rsatilgan. 3.

Guruch. 3. Sinus qonuni

Garmonik tebranishlar tenglamasi.

Keling, umumiy garmonik qonunga qaytaylik (1). Keling, bu tenglikni farqlaylik:

. (4)

Endi biz hosil bo'lgan tenglikni farqlaymiz (4):

. (5)

Koordinata uchun (1) ifoda va tezlanish proyeksiyasi uchun (5) ifodani solishtiramiz. Tezlanish proyeksiyasi koordinatadan faqat bir omil bilan farq qilishini ko'ramiz:

. (6)

Bu nisbat deyiladi garmonik tenglama. Shuningdek, u ushbu shaklda qayta yozilishi mumkin:

. (7)

Matematik nuqtai nazardan (7) tenglama differensial tenglama. Differensial tenglamalar yechimlari funksiyalardir (oddiy algebradagi kabi raqamlar emas).
Shunday qilib, buni isbotlash mumkin:

(7) tenglamaning yechimi ixtiyoriy bo'lgan (1) ko'rinishdagi istalgan funksiyadir;

Boshqa hech qanday funksiya bu tenglamaning yechimi emas.

Boshqacha qilib aytganda, (6), (7) munosabatlar tsiklik chastotali garmonik tebranishlarni va faqat ularni tavsiflaydi. Ikkita konstanta dastlabki shartlardan - koordinata va tezlikning dastlabki qiymatlaridan aniqlanadi.

Bahor mayatnik.

Bahor mayatnik gorizontal yoki vertikal yo'nalishda tebranishi mumkin bo'lgan prujinaga biriktirilgan yuk.

Prujinali mayatnikning kichik gorizontal tebranishlar davri topilsin (4-rasm). Prujinaning deformatsiya miqdori uning o'lchamlaridan ancha kam bo'lsa, tebranishlar kichik bo'ladi. Kichik deformatsiyalar uchun biz Guk qonunidan foydalanishimiz mumkin. Bu tebranishlarning harmonik bo'lishiga olib keladi.

Biz ishqalanishni e'tiborsiz qoldiramiz. Yukning massasi bor va kamonning qattiqligi ga teng.

Koordinata bahor deformatsiyalanmagan muvozanat holatiga mos keladi. Binobarin, kamon deformatsiyasining kattaligi yukning koordinatalari moduliga teng.

Guruch. 4. Prujinali mayatnik

Gorizontal yo'nalishda faqat buloqdan elastik kuch yukga ta'sir qiladi. Nyutonning o'qga proyeksiyadagi yuk uchun ikkinchi qonuni quyidagi ko'rinishga ega:

. (8)

Agar (yuk rasmdagi kabi o'ngga siljigan bo'lsa), u holda elastik kuch teskari yo'nalishda yo'naltiriladi va . Aksincha, agar , keyin . Belgilar va har doim qarama-qarshidir, shuning uchun Guk qonunini quyidagicha yozish mumkin:

Keyin munosabat (8) quyidagi shaklni oladi:

Biz (6) ko'rinishdagi garmonik tebranishlar tenglamasini oldik, unda

Shunday qilib, prujina mayatnikining tebranishlarining siklik chastotasi quyidagilarga teng:

. (9)

Bu yerdan va munosabatdan prujinali mayatnikning gorizontal tebranish davrini topamiz:

. (10)

Agar siz yukni kamonga osib qo'ysangiz, siz vertikal yo'nalishda tebranadigan bahor mayatnikini olasiz. Ko'rsatish mumkinki, bu holda (10) formula tebranish davri uchun amal qiladi.

Matematik mayatnik.

Matematik mayatnik vaznsiz cho'zilmaydigan ipga osilgan kichik tanadir (5-rasm). Matematik mayatnik tortishish sohasida vertikal tekislikda tebranishi mumkin.

Guruch. 5. Matematik mayatnik

Matematik mayatnikning kichik tebranishlar davri topilsin. Ipning uzunligi. Biz havo qarshiligini e'tiborsiz qoldiramiz.

Mayatnik uchun Nyutonning ikkinchi qonunini yozamiz:

va uni o'qga proyeksiya qiling:

Agar mayatnik rasmdagi kabi joyni egallasa (ya'ni), unda:

Agar mayatnik muvozanat holatining boshqa tomonida bo'lsa (ya'ni), u holda:

Shunday qilib, mayatnikning har qanday pozitsiyasi uchun bizda:

. (11)

Mayatnik muvozanat holatida tinch holatda bo'lsa, tenglik bajariladi. Kichik tebranishlar uchun mayatnikning muvozanat holatidan og'ishlari kichik bo'lganda (ipning uzunligiga nisbatan) taxminiy tenglik bajariladi. Keling, uni (11) formulada ishlatamiz:

Bu (6) ko'rinishdagi garmonik tebranishlar tenglamasi, unda

Demak, matematik mayatnik tebranishlarining siklik chastotasi quyidagilarga teng:

. (12)

Demak, matematik mayatnikning tebranish davri:

. (13)

E'tibor bering, formula (13) yukning massasini o'z ichiga olmaydi. Prujinali mayatnikdan farqli o'laroq, matematik mayatnikning tebranish davri uning massasiga bog'liq emas.

Erkin va majburiy tebranishlar.

Ularning aytishicha, tizim shunday qiladi erkin tebranishlar, agar u bir marta muvozanat holatidan chiqarilsa va keyinchalik o'z-o'zidan qoldirilgan bo'lsa. Vaqti-vaqti bilan tashqi
Bunday holda, tizim hech qanday ta'sirni boshdan kechirmaydi va tizimdagi tebranishlarni qo'llab-quvvatlovchi ichki energiya manbalari mavjud emas.

Yuqorida muhokama qilingan prujina va matematik mayatniklarning tebranishlari erkin tebranishlarga misoldir.

Erkin tebranishlar paydo bo'ladigan chastota deyiladi tabiiy chastota tebranish tizimi. Shunday qilib, (9) va (12) formulalar prujinaning va matematik mayatniklarning tebranishlarining tabiiy (tsiklik) chastotalarini beradi.

Ishqalanish bo'lmagan ideallashtirilgan vaziyatda erkin tebranishlar so'nmaydi, ya'ni ular doimiy amplitudaga ega va cheksiz davom etadi. Haqiqiy tebranish tizimlarida ishqalanish doimo mavjud bo'ladi, shuning uchun erkin tebranishlar asta-sekin so'nadi (6-rasm).

Majburiy tebranishlar- bu vaqt o'tishi bilan vaqti-vaqti bilan o'zgarib turadigan tashqi kuch ta'siri ostida tizim tomonidan amalga oshiriladigan tebranishlar (harakatlantiruvchi kuch deb ataladi).

Faraz qilaylik, tizim tebranishlarining tabiiy chastotasi ga teng, harakatlantiruvchi kuch esa garmonik qonunga muvofiq vaqtga bog'liq:

Bir muncha vaqt o'tgach, majburiy tebranishlar o'rnatiladi: tizim murakkab harakatni amalga oshiradi, bu majburiy va erkin tebranishlarning superpozitsiyasidir. Erkin tebranishlar asta-sekin so'nadi va barqaror holatda tizim majburiy tebranishlarni amalga oshiradi, ular ham garmonik bo'lib chiqadi. Stabil holatdagi majburiy tebranishlarning chastotasi chastotaga to'g'ri keladi
majburlash kuchi (tashqi kuch, go'yo tizimga o'z chastotasini yuklaydi).

O'rnatilgan majburiy tebranishlarning amplitudasi harakatlantiruvchi kuchning chastotasiga bog'liq. Ushbu bog'liqlikning grafigi rasmda ko'rsatilgan. 7.

Guruch. 7. Rezonans

Biz rezonans chastotaga yaqin sodir bo'lishini ko'ramiz - majburiy tebranishlar amplitudasining ortishi fenomeni. Rezonans chastotasi taxminan tizim tebranishlarining tabiiy chastotasiga teng: , va bu tenglik qanchalik aniq bajariladi, tizimdagi ishqalanish kamroq bo'ladi. Ishqalanish bo'lmasa, rezonans chastotasi tebranishlarning tabiiy chastotasiga to'g'ri keladi va tebranishlar amplitudasi cheksizgacha oshadi.

Ularning matematik ifodasi bor. Ularning xossalari trigonometrik tenglamalar to‘plami bilan tavsiflanadi, ularning murakkabligi tebranish jarayonining murakkabligi, tizimning xususiyatlari va ular sodir bo‘lgan muhit, ya’ni tebranish jarayoniga ta’sir etuvchi tashqi omillar bilan belgilanadi.

Masalan, mexanikada garmonik tebranish quyidagi bilan tavsiflangan harakatdir.

To'g'ridan-to'g'ri xarakter;

Tengsizlik;

Vaqtga qarab sinusoidal yoki kosinus traektoriyasi bo'ylab sodir bo'ladigan jismoniy tananing harakati.

Ushbu xususiyatlarga asoslanib, biz garmonik tebranishlar uchun tenglamani berishimiz mumkin, bu quyidagi shaklga ega:

x = A cos ōt yoki x = A sin ōt shakli, bu erda x - koordinata qiymati, A - tebranish amplitudasi qiymati, ō - koeffitsient.

Garmonik tebranishlarning bu tenglamasi kinematika va mexanikada ko'rib chiqiladigan barcha garmonik tebranishlar uchun asosiy hisoblanadi.

Ushbu formulada trigonometrik funktsiya belgisi ostida bo'lgan ōt ko'rsatkichi faza deb ataladi va u ma'lum bir amplituda vaqtning ma'lum bir momentida tebranuvchi material nuqtasining joylashishini aniqlaydi. Tsiklik tebranishlarni ko'rib chiqishda bu ko'rsatkich 2l ga teng bo'lib, vaqt tsikli ichidagi miqdorni ko'rsatadi va w bilan belgilanadi. Bunday holda, garmonik tebranishlar tenglamasi uni tsiklik (aylana) chastotaning kattaligining ko'rsatkichi sifatida o'z ichiga oladi.

Biz ko'rib chiqayotgan garmonik tebranishlar tenglamasi, yuqorida aytib o'tilganidek, bir qator omillarga bog'liq holda turli xil shakllarni olishi mumkin. Masalan, bu variant. Erkin garmonik tebranishlarni hisobga olish uchun ularning barchasi damping bilan tavsiflanganligini hisobga olish kerak. Turli mamlakatlarda bu hodisa turli yo'llar bilan namoyon bo'ladi: harakatlanuvchi jismni to'xtatish, elektr tizimlarida nurlanishni to'xtatish. Tebranish potentsialining pasayishini ko'rsatadigan eng oddiy misol uning issiqlik energiyasiga aylanishidir.

Ko'rib chiqilayotgan tenglama quyidagi ko'rinishga ega: d²s/dt² + 2b x ds/dt + ʼn²s = 0. Bu formulada: s - muayyan tizim xususiyatlarini tavsiflovchi tebranish kattaligining qiymati, b - dampingni ko'rsatadigan doimiy. koeffitsienti, ō - siklik chastotasi.

Bunday formuladan foydalanish chiziqli tizimlardagi tebranish jarayonlarini tavsiflashga bir nuqtai nazardan yondashish, shuningdek, ilmiy va eksperimental darajada tebranish jarayonlarini loyihalash va simulyatsiya qilish imkonini beradi.

Masalan, ma'lumki, ularning namoyon bo'lishining yakuniy bosqichida ular garmonik bo'lishni to'xtatadi, ya'ni ular uchun chastota va davr kategoriyalari shunchaki ma'nosiz bo'lib qoladi va formulada aks ettirilmaydi.

Garmonik tebranishlarni o'rganishning klassik usuli - bu garmonik tebranishlarning quyidagi differensial tenglamasi bilan tavsiflangan eng oddiy tizimdir: ds/dt + ʼn²s = 0. Lekin tebranish jarayonlarining xilma-xilligi tabiiy ravishda katta bo'lishiga olib keladi. osilatorlar soni. Biz ularning asosiy turlarini sanab o'tamiz:

Prujinali osilator - elastik prujinaga osilgan ma'lum massa m bo'lgan oddiy yuk. U F = - kx formulasi bilan tavsiflangan harmonik turni bajaradi.

Jismoniy osilator (maatnik) - ma'lum bir kuch ta'sirida statik o'q atrofida tebranish harakatlarini amalga oshiradigan qattiq jism;

- (tabiatda amalda uchramaydi). U qattiq vaznsiz ipga osilgan, ma'lum bir massaga ega bo'lgan tebranuvchi jismoniy jismni o'z ichiga olgan tizimning ideal modelini ifodalaydi.

Biz bir nechta jismoniy jihatdan butunlay boshqacha tizimlarni ko'rib chiqdik va harakat tenglamalari bir xil shaklga keltirilishiga ishonch hosil qildik.

Fizik tizimlar orasidagi farqlar faqat miqdorning turli ta'riflarida namoyon bo'ladi va o'zgaruvchining turli jismoniy ma'nolarida x: bu koordinata, burchak, zaryad, oqim va boshqalar bo'lishi mumkin. E'tibor bering, bu holda, (1.18) tenglamaning tuzilishidan kelib chiqqan holda, miqdor har doim teskari vaqtning o'lchamiga ega.

Tenglama (1.18) deb atalmishni tavsiflaydi garmonik tebranishlar.

Garmonik tebranish tenglamasi (1.18) ikkinchi darajali chiziqli differentsial tenglamadir (chunki u o'zgaruvchining ikkinchi hosilasini o'z ichiga oladi. x). Tenglamaning chiziqliligi shuni anglatadi

ba'zi funktsiya bo'lsa x(t) bu tenglamaning yechimi, keyin funksiya Cx(t) uning yechimi ham bo'ladi ( C– ixtiyoriy doimiy);

funktsiyalari bo'lsa x 1(t) Va x 2(t) bu tenglamaning yechimlari, keyin ularning yig‘indisi x 1 (t) + x 2 (t) ham xuddi shu tenglamaning yechimi bo'ladi.

Matematik teorema ham isbotlangan, unga ko'ra ikkinchi tartibli tenglama ikkita mustaqil yechimga ega. Chiziqlilik xususiyatlariga ko'ra boshqa barcha echimlarni ularning chiziqli birikmalari sifatida olish mumkin. To'g'ridan-to'g'ri differentsiallash orqali mustaqil funktsiyani bajarishini va (1.18) tenglamani qondirishini tekshirish oson. Bu shuni anglatadiki, ushbu tenglamaning umumiy yechimi quyidagi shaklga ega:

Qayerda C 1,C 2- ixtiyoriy konstantalar. Ushbu yechim boshqa shaklda taqdim etilishi mumkin. Keling, qiymatni kiritamiz

va munosabatlar orqali burchakni aniqlang:

Keyin umumiy yechim (1.19) quyidagicha yoziladi

Trigonometriya formulalariga ko'ra, qavs ichidagi ifoda teng

Biz nihoyat keldik garmonik tebranish tenglamasining umumiy yechimi sifatida:

Salbiy bo'lmagan qiymat A chaqirdi tebranish amplitudasi, - tebranishning dastlabki bosqichi. Butun kosinus argumenti - kombinatsiya deyiladi tebranish bosqichi.

(1.19) va (1.23) iboralar toʻliq ekvivalentdir, shuning uchun biz oddiylik nuqtai nazaridan kelib chiqib, ulardan istalganidan foydalanishimiz mumkin. Ikkala yechim ham vaqtning davriy funksiyalaridir. Darhaqiqat, sinus va kosinus davr bilan davriydir . Shuning uchun garmonik tebranishlarni bajaradigan tizimning turli holatlari ma'lum vaqtdan keyin takrorlanadi t*, bu davrda tebranish fazasi ko'paytmani oladi :

Bundan kelib chiqadi

Bu vaqtlarning eng kami

chaqirdi tebranish davri (1.8-rasm), va - uning dumaloq (tsiklik) chastota.

Guruch. 1.8.

Ular ham foydalanadilar chastota tebranishlar

Shunga ko'ra, dumaloq chastota boshiga tebranishlar soniga teng soniya

Shunday qilib, agar tizim vaqtida t o'zgaruvchining qiymati bilan tavsiflanadi x(t), keyin o'zgaruvchi ma'lum vaqtdan keyin bir xil qiymatga ega bo'ladi (1.9-rasm), ya'ni

Xuddi shu ma'no vaqt o'tishi bilan tabiiy ravishda takrorlanadi 2T, ZT va hokazo.

Guruch. 1.9. Tebranish davri

Umumiy yechim ikkita ixtiyoriy konstantani o'z ichiga oladi ( C 1, C 2 yoki A, a), qiymatlari ikkita bilan aniqlanishi kerak boshlang'ich sharoitlar. Odatda (shart bo'lmasa ham) ularning rolini o'zgaruvchining boshlang'ich qiymatlari o'ynaydi x(0) va uning hosilasi.

Keling, misol keltiraylik. Garmonik tebranishlar tenglamasining (1.19) yechimi prujinali mayatnik harakati tasvirlansin. Ixtiyoriy konstantalarning qiymatlari mayatnikni muvozanatdan qanday olib chiqqanimizga bog'liq. Misol uchun, biz buloqni uzoqqa tortdik va to'pni dastlabki tezliksiz qo'yib yubordi. Ushbu holatda

O'rnini bosish t = 0(1.19) da doimiyning qiymatini topamiz C 2

Shunday qilib, yechim quyidagicha ko'rinadi:

Yukning tezligini vaqtga nisbatan differensiallash orqali topamiz

Bu yerda almashtirish t = 0, doimiyni toping C 1:

Nihoyat

(1.23) bilan solishtirsak, buni topamiz tebranishlarning amplitudasi bo'lib, uning boshlang'ich fazasi nolga teng: .

Keling, mayatnikni boshqa yo'l bilan muvozanatdan chiqaramiz. Keling, yukni shunday uramizki, u boshlang'ich tezlikka ega bo'ladi, lekin zarba paytida deyarli harakat qilmaydi. Keyin bizda boshqa dastlabki shartlar mavjud:

bizning yechimimiz shunday ko'rinadi

Yukning tezligi qonunga muvofiq o'zgaradi:

Keling, bu yerni almashtiramiz: