Dolayısıyla, doğrusal bir bağımlılık için bir vektörler sistemini inceleme sorunu, bu sistemin vektörlerinden oluşan bir matrisin sıralamasını bulma sorununa indirgenir.

p>n için vektör sisteminin doğrusal olarak bağımlı olacağı unutulmamalıdır.

Yorum: A matrisini derlerken sistem vektörleri satır olarak değil sütun olarak alınabilir.

Doğrusal bağımlılık için bir vektör sistemini incelemek için algoritma.

Algoritmayı örneklerle inceleyelim.

Doğrusal bağımlılık için bir vektör sisteminin incelenmesine örnekler.

Örnek.

Bir vektör sistemi verildiğinde. Bunu doğrusal bir ilişki açısından inceleyin.

Çözüm.

c vektörü sıfır olduğundan, üçüncü özellik nedeniyle orijinal vektör sistemi doğrusal olarak bağımlıdır.

Cevap:

Vektör sistemi doğrusal olarak bağımlıdır.

Örnek.

Doğrusal bağımlılık açısından vektör sistemini inceleyin.

Çözüm.

c vektörünün koordinatlarının, vektörün karşılık gelen koordinatlarının 3 ile çarpımına eşit olduğunu görmek zor değildir. Bu nedenle orijinal vektör sistemi doğrusal olarak bağımlıdır.

Vektörlerin doğrusal bağımlılığı

Çeşitli problemleri çözerken, kural olarak, tek bir vektörle değil, aynı boyuttaki belirli bir vektör kümesiyle uğraşmak gerekir. Bu tür koleksiyonlara denir vektör sistemi ve belirtmek

Tanım.Vektörlerin doğrusal kombinasyonu formun vektörü denir

gerçek sayılar nerede? Ayrıca bir vektörün vektörler cinsinden doğrusal olarak ifade edildiği veya bu vektörler cinsinden genişletildiği de söylenir.

Örneğin, üç vektör olsun: , , . Sırasıyla 2, 3 ve 4 katsayılarıyla doğrusal kombinasyonları vektördür

Tanım. Bir vektörler sisteminin olası tüm doğrusal kombinasyonlarının kümesine bu sistemin doğrusal açıklığı denir.

Tanım. Sıfır olmayan vektörlerden oluşan sisteme denir doğrusal bağımlı, eğer aynı anda sıfıra eşit olmayan sayılar varsa, öyle ki, verilen sistemin belirtilen sayılarla doğrusal kombinasyonu sıfır vektörüne eşit olacaktır:

Belirli bir vektör sistemi için son eşitlik yalnızca için mümkünse, bu vektörler sistemine denir. Doğrusal bağımsız.

Örneğin, iki vektörden oluşan bir sistem doğrusal olarak bağımsızdır; iki vektörden oluşan sistem doğrusal bağımlıdır, çünkü .

Vektörler sistemi (19) doğrusal olarak bağımlı olsun. Toplamda (20), katsayının olduğu terimi seçiyoruz ve onu kalan terimlerle ifade ediyoruz:

Bu eşitlikten de anlaşılacağı üzere doğrusal bağımlı sistemin (19) vektörlerinden birinin bu sistemin diğer vektörleri cinsinden ifade edildiği (veya diğer vektörleri cinsinden genişletildiği) ortaya çıkmıştır.

Doğrusal olarak bağımlı bir vektör sisteminin özellikleri

1. Sıfır olmayan bir vektörden oluşan bir sistem doğrusal olarak bağımsızdır.

2. Sıfır vektör içeren bir sistem her zaman doğrusal olarak bağımlıdır.

3. Birden fazla vektör içeren bir sistem, ancak ve ancak vektörleri arasında diğerleri cinsinden doğrusal olarak ifade edilen en az bir vektör varsa doğrusal olarak bağımlıdır.

Bir düzlem üzerindeki iki boyutlu vektörler durumunda doğrusal bağımlılığın geometrik anlamı: bir vektör diğerine göre ifade edildiğinde, elimizde , yani bu vektörler eşdoğrusaldır veya aynısı paralel çizgiler üzerindedir.

Üç vektörün uzaysal doğrusal bağımlılığı durumunda, bunlar aynı düzleme paraleldir; aynı düzlemde. Bu vektörlerin uzunluklarını karşılık gelen faktörlerle "düzeltmek" yeterlidir, böylece bunlardan biri diğer ikisinin toplamı olur veya bunlar aracılığıyla ifade edilir.

Teorem. Uzayda vektör içeren herhangi bir sistem doğrusal olarak bağımlıdır.

Örnek. Vektörlerin doğrusal bağımlı olup olmadığını öğrenin.

Çözüm. Bir vektör eşitliği yapalım. Sütun vektörleri olarak yazarsak şunu elde ederiz:

Böylece sorun sistemin çözümüne indirgenir

Sistemi Gauss yöntemini kullanarak çözüyoruz:

Sonuç olarak bir denklem sistemi elde ederiz:

sonsuz sayıda çözümü olan ve bunların arasında mutlaka sıfır olmayan bir çözümün bulunduğu, dolayısıyla vektörler doğrusal olarak bağımlıdır.

Vektörler, özellikleri ve bunlarla ilgili eylemler

Vektörler, vektörlerle eylemler, doğrusal vektör uzayı.

Vektörler sonlu sayıda gerçek sayıların sıralı bir koleksiyonudur.

Hareketler: 1. Bir vektörü bir sayıyla çarpmak: lambda * vektör x \u003d (lamda * x 1, lambda * x 2 ... lambda * x n).(3.4, 0.7) * 3 \u003d (9, 12,0.21) )

2. Vektörlerin eklenmesi (aynı vektör uzayına aittirler) vektör x + vektör y \u003d (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)

3. Vektör 0=(0,0…0)---n E n – n boyutlu (doğrusal uzay) vektör x + vektör 0 = vektör x

Teorem. N boyutlu bir doğrusal uzayda n vektörden oluşan bir sistemin doğrusal olarak bağımlı olması için, vektörlerden birinin diğerlerinin doğrusal birleşimi olması gerekli ve yeterlidir.

Teorem. N boyutlu doğrusal uzayın herhangi bir n+ 1. vektörü kümesi. doğrusal bağımlı.

Vektörlerin toplanması, vektörlerin sayılarla çarpılması. Vektörlerin çıkarılması.

İki vektörün toplamı, başlangıcın vektörün sonu ile çakışması koşuluyla, vektörün başlangıcından vektörün sonuna doğru yönlendirilmiş vektördür. Vektörler temel vektörler cinsinden açılımlarıyla veriliyorsa, vektörlerin toplanması ilgili koordinatları toplar.

Bunu Kartezyen koordinat sistemi örneğini kullanarak ele alalım. İzin vermek

bunu gösterelim

Şekil 3 bunu göstermektedir

Herhangi bir sonlu sayıda vektörün toplamı, çokgen kuralı kullanılarak bulunabilir (Şekil 4): sonlu sayıda vektörün toplamını oluşturmak için, sonraki her vektörün başlangıcını bir öncekinin sonuyla eşleştirmek yeterlidir. ve ilk vektörün başlangıcını sonuncunun sonuna bağlayan bir vektör oluşturun.

Vektör toplama işleminin özellikleri:

Bu ifadelerde m, n sayılardır.

Vektörlerin farkına vektör denir.İkinci terim, vektörün yönüne zıt fakat uzunluğu ona eşit bir vektördür.

Böylece vektör çıkarma işleminin yerini toplama işlemi alır

Başlangıcı koordinatların başlangıç ​​noktasında ve sonu A (x1, y1, z1) noktasında olan vektöre A noktasının yarıçap vektörü denir ve basitçe veya basitçe gösterilir. Koordinatları A noktasının koordinatları ile çakıştığı için vektörler cinsinden açılımı şu şekildedir:

A(x1, y1, z1) noktasında başlayıp B(x2, y2, z2) noktasında biten bir vektör şu şekilde yazılabilir:

burada r2, B noktasının yarıçap vektörüdür; r 1 - A noktasının yarıçap vektörü.

Bu nedenle vektörün ort cinsinden açılımı şu şekildedir:

Uzunluğu A ve B noktaları arasındaki mesafeye eşittir

ÇARPMA İŞLEMİ

Yani düz bir problem durumunda, bir vektörün a = (ax; ay) ile bir b sayısının çarpımı aşağıdaki formülle bulunur:

a b = (ax b; ay b)

Örnek 1. a = (1; 2) vektörünün 3'e çarpımını bulun.

3 bir = (3 1; 3 2) = (3; 6)

Yani uzaysal bir problem durumunda a = (ax; ay; az) vektörü ile b sayısının çarpımı formülle bulunur.

a b = (ax b; ay b; az b)

Örnek 1. a = (1; 2; -5) vektörünün 2'ye çarpımını bulun.

2 a = (2 1; 2 2; 2 (-5)) = (2; 4; -10)

Vektörlerin nokta çarpımı ve ve vektörleri arasındaki açı nerede; eğer öyleyse, o zaman

Skaler çarpımın tanımından şu sonuç çıkar:

burada, örneğin, vektörün, vektörün yönüne izdüşümünün değeridir.

Bir vektörün skaler karesi:

Nokta ürün özellikleri:

Koordinatlarda nokta çarpımı

Eğer O

Vektörler arasındaki açı

Vektörler arasındaki açı - bu vektörlerin yönleri arasındaki açı (en küçük açı).

Vektör çarpımı(İki vektörün vektör çarpımı.)-üç boyutlu Öklid uzayındaki vektörler üzerindeki "vektör çarpımı" ikili işleminin sonucu olan, iki faktör tarafından oluşturulan düzleme dik bir sözde vektördür. Çarpım ne değişmeli ne de birleşmeli (anti-değişmeli) ve vektörlerin nokta çarpımından farklıdır. Birçok mühendislik ve fizik probleminde, mevcut iki vektöre dik bir vektör oluşturabilmek gerekir; vektör çarpımı bu fırsatı sağlar. Çapraz çarpım, vektörlerin dikliğini "ölçmek" için kullanışlıdır - iki vektörün çapraz çarpımının uzunluğu, eğer dik iseler uzunluklarının çarpımına eşittir ve vektörler paralel veya anti-paralel ise sıfıra düşer.

Vektör çarpımı yalnızca üç boyutlu ve yedi boyutlu uzaylarda tanımlanır. Vektör çarpımının sonucu, skaler çarpım gibi, Öklid uzayının metriğine bağlıdır.

Üç boyutlu dikdörtgen koordinat sistemindeki vektörlerin koordinatlarından skaler çarpımı hesaplama formülünün aksine, vektör çarpımının formülü dikdörtgen koordinat sisteminin yönüne veya başka bir deyişle "kiralliğine" bağlıdır.

Vektörlerin doğrusallığı.

Sıfır olmayan (0'a eşit olmayan) iki vektör, paralel çizgiler üzerinde veya aynı çizgide yer alıyorsa eşdoğrusal olarak adlandırılır. Bir eşanlamlı kabul edilebilir ancak önerilmez - "paralel" vektörler. Doğrusal vektörler aynı yönde yönlendirilebilir ("birlikte yönlendirilmiş") veya zıt yönde yönlendirilebilir (ikinci durumda bunlara bazen "antikoldoğrusal" veya "antiparalel" denir).

Vektörlerin karışık çarpımı( ABC)- a vektörünün skaler çarpımı ve b ve c vektörlerinin vektör çarpımı:

(a,b,c)=a ⋅(b×c)

bazen sonucun bir skaler (daha kesin olarak sözde skaler) olması nedeniyle buna vektörlerin üçlü skaler çarpımı denir.

Geometrik anlam: Karışık çarpımın modülü sayısal olarak vektörlerin oluşturduğu paralelyüzün hacmine eşittir. (ABC) .

Özellikler

Karma bir çarpım, tüm argümanlarına göre çarpık simetriktir: yani, e. herhangi iki faktörün permütasyonu çarpımın işaretini değiştirir. Buradan, sağ Kartezyen koordinat sistemindeki (ortonormal bazda) karma çarpımın, aşağıdaki vektörlerden oluşan matrisin determinantına eşit olduğu sonucu çıkar:

Sol Kartezyen koordinat sistemindeki (ortonormal temelde) karışık çarpım, vektörlerden oluşan ve eksi işaretiyle alınan bir matrisin determinantına eşittir:

Özellikle,

Herhangi iki vektör paralelse, herhangi bir üçüncü vektörle sıfıra eşit bir karma çarpım oluştururlar.

Üç vektör doğrusal olarak bağımlıysa (yani eş düzlemliyse, aynı düzlemde yer alıyorsa), bu durumda bunların karışık çarpımı sıfırdır.

Geometrik anlam - Mutlak değerdeki karışık ürün, vektörlerin oluşturduğu paralelyüzün (şekle bakın) hacmine eşittir ve; işaret, bu vektör üçlüsünün sağda mı yoksa solda mı olduğuna bağlıdır.

Vektörlerin uyumluluğu.

Üç vektör (veya daha fazlası) ortak bir orijine indirgenerek aynı düzlemde yer alıyorsa eş düzlemli olarak adlandırılır.

Uyumluluk Özellikleri

Üç vektörden en az biri sıfır ise, bu durumda üç vektör de aynı düzlemde kabul edilir.

Bir çift doğrusal vektör içeren üçlü bir vektör aynı düzlemlidir.

Eş düzlemli vektörlerin karışık çarpımı. Bu, üç vektörün eş düzlemliliği için bir kriterdir.

Eş düzlemli vektörler doğrusal olarak bağımlıdır. Bu aynı zamanda eş düzlemlilik için de bir kriterdir.

3 boyutlu uzayda aynı düzlemde olmayan 3 vektör bir temel oluşturur

Doğrusal bağımlı ve doğrusal bağımsız vektörler.

Doğrusal bağımlı ve bağımsız vektör sistemleri.Tanım. Vektörler sisteminin adı doğrusal bağımlı, eğer bu vektörlerin sıfır vektörüne eşit en az bir önemsiz olmayan doğrusal kombinasyonu varsa. Aksi takdirde, yani Verilen vektörlerin yalnızca önemsiz bir doğrusal kombinasyonu boş vektöre eşitse, vektörlere denir. Doğrusal bağımsız.

Teorem (doğrusal bağımlılık kriteri). Doğrusal uzaydaki bir vektörler sisteminin doğrusal bağımlı olması için, bu vektörlerden en az birinin diğerlerinin doğrusal birleşimi olması gerekli ve yeterlidir.

1) Vektörler arasında en az bir sıfır vektör varsa, o zaman tüm vektörler sistemi doğrusal olarak bağımlıdır.

Aslında, örneğin , varsayalım ki, önemsiz olmayan bir doğrusal birleşimimiz var.▲

2) Vektörlerden bazıları doğrusal bağımlı bir sistem oluşturuyorsa sistemin tamamı doğrusal bağımlıdır.

Aslında, vektörlerin doğrusal olarak bağımlı olmasına izin verin. Dolayısıyla sıfır vektörüne eşit önemsiz olmayan bir doğrusal kombinasyon vardır. Ama sonra varsayarsak Ayrıca sıfır vektörüne eşit önemsiz olmayan bir doğrusal kombinasyon da elde ederiz.

2. Temel ve boyut. Tanım. Doğrusal bağımsız vektörler sistemi vektör uzayı denir temel bu uzay, eğer herhangi bir vektör bu sistemin vektörlerinin doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilebilirse, yani. her vektör için gerçek sayılar vardır öyle ki eşitlik sağlanır.Bu eşitliğe denir vektör ayrışması esasa ve sayılara göre isminde tabana göre vektör koordinatları(veya temelde) .

Teorem (temel açısından genişlemenin benzersizliği üzerine). Her uzay vektörü tabana göre genişletilebilir benzersiz bir şekilde, yani tabandaki her vektörün koordinatları açık bir şekilde tanımlanır.

Görev 1. Vektör sisteminin doğrusal bağımsız olup olmadığını öğrenin. Vektör sistemi, sütunları vektörlerin koordinatlarından oluşan sistemin matrisi tarafından tanımlanacaktır.

.

Çözüm. Doğrusal kombinasyona izin verin sıfıra eşittir. Bu eşitliği koordinatlarda yazdıktan sonra aşağıdaki denklem sistemini elde ederiz:

.

Böyle bir denklem sistemine üçgen denir. Tek çözümü var. . Dolayısıyla vektörler doğrusal olarak bağımsızdır.

Görev 2. Vektör sisteminin doğrusal bağımsız olup olmadığını öğrenin.

.

Çözüm. Vektörler doğrusal olarak bağımsızdır (bkz. Problem 1). Vektörün, vektörlerin doğrusal birleşimi olduğunu kanıtlayalım. . Vektör genişleme katsayıları denklem sisteminden belirlenir

.

Bu sistemin üçgen gibi benzersiz bir çözümü var.

Bu nedenle vektör sistemi doğrusal bağımlı.

Yorum. Problem 1'deki gibi matrislere denir üçgensel ve problem 2'de – kademeli üçgen . Bir vektör sisteminin doğrusal bağımlılığı sorunu, bu vektörlerin koordinatlarından oluşan matris adım adım üçgen ise kolayca çözülür. Matrisin özel bir formu yoksa, o zaman kullanılır. temel dize dönüşümleri Sütunlar arasındaki doğrusal ilişkiler korunarak kademeli üçgen forma indirgenebilir.

Temel dize dönüşümleri matrisler (EPS) matris üzerinde yapılan aşağıdaki işlemlere denir:

1) çizgilerin permütasyonu;

2) bir dizgiyi sıfır olmayan bir sayıyla çarpmak;

3) dizeye isteğe bağlı bir sayıyla çarpılarak başka bir dize eklemek.

Görev 3. Maksimum doğrusal bağımsız alt sistemi bulun ve vektörler sisteminin sıralamasını hesaplayın

.

Çözüm. Sistemin matrisini EPS yardımıyla basamaklı üçgen forma indirgeyelim. Prosedürü açıklamak için dönüştürülecek matrisin numarasının bulunduğu satır sembolüyle gösterilecektir. Oktan sonraki sütun, yeni matrisin satırlarını elde etmek için dönüştürülen matrisin satırları üzerinde gerçekleştirilecek eylemleri gösterir.

.

Açıkçası, ortaya çıkan matrisin ilk iki sütunu doğrusal olarak bağımsızdır, üçüncü sütun bunların doğrusal birleşimidir ve dördüncüsü ilk ikisine bağlı değildir. Vektörler temel denir. Sistemin maksimum doğrusal bağımsız alt sistemini oluştururlar ve sistemin rütbesi üçtür.

Temel, koordinatlar

Görev 4. Koordinatları koşulu karşılayan geometrik vektörler kümesinde bu temelde vektörlerin tabanını ve koordinatlarını bulun. .

Çözüm. Küme orijinden geçen bir düzlemdir. Düzlemdeki keyfi bir temel, doğrusal olmayan iki vektörden oluşur. Seçilen bazdaki vektörlerin koordinatları, karşılık gelen doğrusal denklem sisteminin çözülmesiyle belirlenir.

Temeli koordinatlara göre bulduğunuz zaman bu sorunu çözmenin başka bir yolu var.

Koordinatlar uzaylar düzlemdeki koordinatlar değildir, çünkü bunlar ilişkiyle ilişkilidir yani bağımsız değillerdir. Bağımsız değişkenler (serbest olarak adlandırılırlar) düzlemdeki vektörü benzersiz bir şekilde belirlerler ve bu nedenle de koordinat olarak seçilebilirler. Daha sonra temel serbest değişken kümelerinin içinde yer alan ve bunlara karşılık gelen vektörlerden oluşur Ve , yani .

Görev 5. Uzaydaki tek koordinatları birbirine eşit olan tüm vektörlerin kümesinde bu tabandaki vektörlerin tabanını ve koordinatlarını bulun.

Çözüm. Önceki problemde olduğu gibi uzaydaki koordinatları seçiyoruz.

Çünkü , sonra serbest değişkenler bir vektörü benzersiz şekilde tanımlar ve bu nedenle koordinatlardır. Karşılık gelen taban vektörlerden oluşur.

Görev 6. Formun tüm matrisleri kümesinde bu temelde vektörlerin temelini ve koordinatlarını bulun , Nerede keyfi sayılardır.

Çözüm. Her matris benzersiz bir şekilde şu şekilde temsil edilebilir:

Bu ilişki vektörün taban açısından açılımıdır.
koordinatlarla .

Görev 7. Bir vektör sisteminin doğrusal açıklığının boyutunu ve tabanını bulun

.

Çözüm. EPS'yi kullanarak matrisi sistem vektörlerinin koordinatlarından basamaklı üçgen forma dönüştürüyoruz.

.

sütunlar son matrisin doğrusal bağımsızdır ve sütunlar bunlar aracılığıyla doğrusal olarak ifade edilir. Dolayısıyla vektörler temeli oluşturmak , Ve .

Yorum. Temel belirsiz bir şekilde seçilmiştir. Örneğin, vektörler aynı zamanda temeli oluşturur .

Formun ifadesi isminde vektörlerin doğrusal kombinasyonu A 1 , A 2 ,...,A n katsayılı λ1, λ2,...,λn.

Bir vektör sisteminin doğrusal bağımlılığını belirleme

Vektör sistemi A 1 , A 2 ,...,A n isminde doğrusal bağımlı, sıfırdan farklı bir sayı kümesi varsa λ1, λ2,...,λn, vektörlerin doğrusal birleşiminin altında λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n sıfır vektörüne eşit yani denklem sistemi: sıfır olmayan bir çözümü vardır.
Sayı kümesi λ1, λ2,...,λn sayılardan en az biri sıfır değilse λ1, λ2,...,λn sıfırdan farklı.

Bir vektör sisteminin doğrusal bağımsızlığını belirleme

Vektör sistemi A 1 , A 2 ,...,A n isminde Doğrusal bağımsız, eğer bu vektörlerin doğrusal birleşimi λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n yalnızca sıfır sayı kümesi için sıfır vektörüne eşittir λ1, λ2,...,λn yani denklem sistemi: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ benzersiz bir sıfır çözümü vardır.

Bir vektör sisteminin doğrusal bağımlı olup olmadığını kontrol edin

Çözüm:

1. Bir denklem sistemi oluşturuyoruz:

2. Gauss yöntemini kullanarak çözüyoruz. Sistemin Ürdün dönüşümleri Tablo 29.1'de verilmiştir. Hesaplama sırasında sistemin doğru kısımları sıfıra eşit olduğundan ve Jordan dönüşümleri altında değişmediklerinden yazılmaz.

3. Tablonun son üç satırından izin verilen sistemi orijinaline eşdeğer yazıyoruz sistem:

4. Sistemin genel çözümünü elde ederiz:

5. Serbest değişken x 3 =1'in değerini kendi takdirinize göre ayarladıktan sonra, sıfır olmayan belirli bir çözüm elde ederiz X=(-3,2,1).

Cevap: Dolayısıyla, sıfır olmayan bir sayı kümesiyle (-3,2,1), vektörlerin doğrusal birleşimi sıfır vektörü -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ'ye eşittir. Buradan, doğrusal bağımlı vektörler sistemi.

Vektör sistemlerinin özellikleri

Mülk (1)
Vektörler sistemi doğrusal olarak bağımlı ise, o zaman vektörlerden en az biri geri kalanına göre ayrıştırılır ve bunun tersi de geçerlidir; eğer sistemin vektörlerinden en az biri geri kalanına göre ayrıştırılırsa, o zaman sistem vektörler doğrusal olarak bağımlıdır.

Mülk (2)
Herhangi bir vektör alt sistemi doğrusal olarak bağımlıysa, tüm sistem doğrusal olarak bağımlıdır.

Mülk (3)
Bir vektör sistemi doğrusal olarak bağımsızsa, bu sistemin alt sistemlerinden herhangi biri doğrusal olarak bağımsızdır.

Mülk (4)
Sıfır vektör içeren herhangi bir vektör sistemi doğrusal olarak bağımlıdır.

Mülk (5)
M boyutlu vektörlerden oluşan bir sistem, eğer vektörlerin sayısı n, boyutlarından büyükse (n>m) her zaman doğrusal olarak bağımlıdır.

Vektör sisteminin temeli

Vektör sisteminin temeli A 1 , A 2 ,..., A n böyle bir alt sistem B 1 , B 2 ,...,B r(B 1 ,B 2 ,...,B r vektörlerinin her biri A 1 , A 2 ,..., A n vektörlerinden biridir) aşağıdaki koşulları karşılar:
1. B 1 ,B 2 ,...,B r doğrusal bağımsız vektör sistemi;
2. herhangi bir vektör Aj A 1 , A 2 ,..., An sisteminin B 1 ,B 2 ,...,B r vektörleri cinsinden doğrusal olarak ifade edilmesi

R tabana dahil edilen vektörlerin sayısıdır.

Teorem 29.1 Bir vektör sisteminin birim bazında.

Eğer m boyutlu vektörlerden oluşan bir sistem m farklı birim vektör E 1 E 2 ,..., E m içeriyorsa, bunlar sistemin temelini oluşturur.

Bir vektör sisteminin temelini bulmak için algoritma

A 1 ,A 2 ,...,A n vektör sisteminin temelini bulmak için gereklidir:

• Vektörler sistemine karşılık gelen homojen bir denklem sistemi oluşturun A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ
• bu sistemi getir