Matrisler üzerindeki eylemler. Matrislerdeki işlemlerin özellikleri. Matrisler. Matris türleri. Matrisler üzerinde işlemler ve özellikleri Matrisler ve matrisler üzerinde işlemler kısaca
Matris boyuta, düzenlenmiş öğelerden oluşan dikdörtgen bir tablo denir. Mçizgiler ve N sütunlar.
Matris öğeleri (ilk dizin Ben− satır numarası, ikinci dizin J− sütun numarası) sayılar, işlevler vb. olabilir. Matrisler Latin alfabesinin büyük harfleriyle gösterilir.
Matris denir kare satır sayısı sütun sayısına eşitse ( M = N). Bu durumda sayı N matrisin mertebesi, matrisin kendisi de matris olarak adlandırılır. N-inci sipariş.
Aynı indekse sahip öğeler 
biçim ana diyagonal kare matris ve elemanlar (yani indekslerin toplamı şuna eşit olan: N+1)
− ikincil diyagonal.
Yalnız matris ana köşegeninin tüm elemanları 1'e ve geri kalan elemanları 0'a eşit olan kare matris denir. Harf ile gösterilir. e.
Sıfır matris tüm elemanları 0'a eşit olan bir matristir. Sıfır matrisi herhangi bir boyutta olabilir.
Numaraya matrislerde doğrusal işlemler ilgili olmak:
1) matris eklenmesi;
2) matrislerin bir sayıyla çarpılması.
Matris toplama işlemi yalnızca aynı boyuttaki matrisler için tanımlanır.
İki matrisin toplamı A Ve İÇİNDE matris denir İLE tüm elemanları matrislerin karşılık gelen elemanlarının toplamına eşit olan A Ve İÇİNDE:
.
Matris çarpımı A sayı başına k matris denir İÇİNDE tüm elemanları verilen matrisin karşılık gelen elemanlarına eşit olan A sayıyla çarpıldı k:
Operasyon matris çarpımları koşulu karşılayan matrisler için tanıtıldı: ilk matrisin sütun sayısı, ikincinin satır sayısına eşittir.
Matris çarpımı A boyutlar matrise İÇİNDE boyuta matris denir İLE boyut, eleman Ben-inci satır ve J sütunu elementlerin çarpımlarının toplamına eşit olan Ben matrisin inci satırı A ilgili unsurlar hakkında J matrisin -inci sütunu İÇİNDE:
Matrislerin çarpımı (gerçek sayıların çarpımından farklı olarak) değişme yasasına uymaz, yani. Genel olarak A İÇİNDE İÇİNDE A.
1.2. Belirleyiciler. Niteleyici özellikleri
Belirleyici kavramı yalnızca kare matrisler için tanıtıldı.
2. dereceden bir matrisin determinantı, aşağıdaki kurala göre hesaplanan bir sayıdır
.
3. dereceden matris determinantı 
aşağıdaki kurala göre hesaplanan bir sayıdır:
“+” işaretli terimlerden ilki matrisin () ana köşegeninde yer alan elemanların çarpımıdır. Diğer ikisi, tabanı ana köşegen(ler)e paralel olan üçgenlerin köşelerinde yer alan elemanları içerir. "-" işareti ile ikincil köşegenin () elemanları ile bu köşegene (ve) tabanları paralel olan üçgenleri oluşturan elemanların çarpımları dahil edilir.
3. dereceden determinantın hesaplanmasına yönelik bu kurala üçgenler kuralı (veya Sarrus kuralı) denir.
Niteleyici özellikleri 3. dereceden determinantların örneğini düşünün.
1. Determinantın tüm satırlarını satırlarla aynı sayıdaki sütunlarla değiştirirken determinantın değeri değişmez, yani. Determinantın satırları ve sütunları eşittir
.
2. İki satır (sütun) yer değiştirdiğinde determinantın işareti değişir.
3. Bir satırın (sütun) tüm elemanları sıfırsa, determinant 0'a eşittir.
4. Bir satırın (sütun) tüm elemanlarının ortak faktörü, determinantın işaretinden çıkarılabilir.
5. İki özdeş satırı (sütun) içeren determinant 0'dır.
6. İki orantılı satır (sütun) içeren determinant sıfıra eşittir.
7. Bir determinantın belirli bir sütununun (satırının) her bir öğesi iki terimin toplamını temsil ediyorsa, o zaman determinant iki determinantın toplamına eşittir; bunlardan biri aynı sütundaki (satırdaki) ilk terimleri içerir ve ikincisi - ikinci. Her iki belirleyicinin geri kalan unsurları aynıdır. Bu yüzden,
.
8. Başka bir sütunun (satırın) karşılık gelen elemanları aynı sayıyla çarpılırsa herhangi bir sütunun (satırın) elemanlarına eklenirse determinant değişmez.
Determinantın bir sonraki özelliği küçük ve cebirsel tümleyen kavramlarıyla ilgilidir.
Küçük Bir determinantın elemanı, verilenden bu elemanın bulunduğu kesişimdeki satır ve sütunun silinmesiyle elde edilen determinanttır.
Örneğin determinantın küçük elemanı determinant denir.
Cebirsel ekleme Determinantın elemanına küçük denir ve bununla çarpılır. Ben− satır numarası, J- Elemanın bulunduğu kesişim noktasındaki sütunun numarası. Cebirsel tamamlayıcı genellikle belirtilir. 3. dereceden bir determinant elemanı için cebirsel tamamlayıcı
9. Determinant, herhangi bir satırın (sütun) elemanlarının çarpımları ve bunlara karşılık gelen cebirsel eklemelerin toplamına eşittir.
Örneğin determinant ilk satırın elemanlarına genişletilebilir.
,
veya ikinci sütun
Belirleyicilerin özellikleri bunları hesaplamak için kullanılır.
Matris, bazı matematiksel nesnelerle dolu dikdörtgen bir tablodur. Çoğunlukla, bazı alanlardan öğeler içeren matrisleri ele alacağız, ancak bir çağrışımsal (mutlaka değişmeli olması gerekmeyen) bir halkanın öğelerini matrislerin öğeleri olarak düşünürsek birçok önerme geçerli kalır.
Çoğu zaman, bir matrisin elemanları, elemanın "adresini" gösteren iki indeksli bir harfle gösterilir - ilk indeks, elemanı içeren satırın numarasını, ikincisi ise sütunun numarasını verir. Böylece, (boyutların) matrisi şu şekilde yazılır:
Sayılardan eklenen matrisler, doğrusal denklem sistemleri dikkate alındığında doğal olarak ortaya çıkar
Bu problemin girdisi, doğal olarak bir matris oluşturan bir dizi katsayıdır.
ve yalnızca bir sütunu olan bir matris oluşturan bir dizi serbest terim. İstenilen, bir sütundan oluşan bir matris biçiminde temsil edilmesinin de uygun olduğu, bilinmeyenlerin bir dizi değeridir.
Çapraz matrisler olarak adlandırılan matrisler önemli bir rol oynar. Bu ad, ana köşegenin elemanları, yani konumlardaki elemanlar hariç, tüm elemanları sıfıra eşit olan kare matrisleri ifade eder.
Çapraz girişli bir köşegen matris D gösterilir
A matrisinin seçilen birkaç satırının ve seçilen birkaç sütununun kesişme noktalarında bulunan öğelerden oluşan bir matris, A matrisinin alt matrisi olarak adlandırılır. Seçilen satırların sayıları ve seçilen sütunların sayıları ise, o zaman karşılık gelen alt matris,
Özellikle bir matrisin satır ve sütunları onun alt matrisleri olarak düşünülebilir.
Matrisler, değişkenlerin doğrusal ikamesi (doğrusal dönüşüm) ile doğal bir şekilde ilişkilidir. Bu ad, orijinal değişkenler sisteminden formüllerle birbirine bağlanan yeni bir sisteme geçişi ifade eder.
Değişkenlerin doğrusal ikamesi katsayılar matrisi ile verilir
Doğrusal denklem sistemleri arasında denklem sayısının bilinmeyen sayısına eşit olduğu sistemler büyük önem taşımaktadır. Değişkenlerin doğrusal ikameleri arasında asıl rol, başlangıç ve yeni değişkenlerin sayısının aynı olduğu ikameler tarafından oynanır. Bu durumlarda katsayı matrisinin kare olduğu, yani aynı sayıda satır ve sütuna sahip olduğu ortaya çıkar; bu sayıya kare matrisin mertebesi denir.
"Bir satırdan oluşan matris" ve "tek sütundan oluşan matris" yerine kısaca satır, sütun diyorlar.
Matrisler. Matris türleri. Matrisler üzerinde işlemler ve özellikleri.
N'inci dereceden matrisin determinantı. N, Z, Q, R, C,
M*n düzeyindeki bir matris, m satırları ve n sütunlarını içeren dikdörtgen bir sayı tablosudur.
Matris eşitliği:
Birinin satır ve sütun sayısı sırasıyla diğerinin satır ve sütun sayısına eşitse iki matris eşit olarak adlandırılır. bu matrislerin elemanları eşittir.
Not: Aynı indekslere sahip öğeler eşleştirilir.
Matris türleri:
Kare Matris: Bir matrisin satır sayısı sütun sayısına eşitse kare matris denir.
Dikdörtgen: Satır sayısı sütun sayısına eşit değilse bir matrise dikdörtgen denir.
Satır matrisi: 1*n (m=1) mertebesindeki bir matris a11,a12,a13 biçimindedir ve satır matrisi olarak adlandırılır.
Matris sütunu:………….
Köşegen: Sol üst köşeden sağ alt köşeye giden, yani a11, a22 ...... elemanlarından oluşan bir kare matrisin köşegenine ana köşegen denir. (tanım: ana köşegen üzerinde bulunanlar hariç tüm elemanları sıfıra eşit olan bir kare matrise köşegen matris denir.
Özdeşlik: Tüm elemanları ana köşegen üzerinde yer alan ve 1'e eşit olan bir köşegen matrise özdeşlik denir.
Üst üçgen: A=||aij|| aij=0 ise üst üçgen matris denir. i>j sağlanmıştır.
Alt üçgen: aij=0. Ben Sıfır: Bu, El'leri 0 olan bir matristir. Matrisler üzerinde işlemler. 1. Aktarım. 2. Bir matrisin bir sayıyla çarpımı. 3. Matris eklenmesi. 4. Matris çarpımı. Matrisler üzerinde temel sv-va eylemi. 1.A+B=B+A (değişme) 2.A+(B+C)=(A+B)+C (ilişkililik) 3.a(A+B)=aA+aB (dağılım) 4.(a+b)A=aA+bA (dağıtımsal) 5.(ab)A=a(bA)=b(aA) (asoots.) 6.AB≠BA (iletişim yok) 7.A(BC)=(AB)C (ilişkisel) – eğer tanımlanmışsa yürütülür. Matris ürünleri gerçekleştirilir. 8.A(B+C)=AB+AC (dağıtımsal) (B+C)A=BA+CA (dağıtımsal) 9.a(AB)=(aA)B=(aB)A Kare matrisin determinantı - tanımı ve özellikleri. Determinantın satır ve sütunlara ayrıştırılması. Belirleyicileri hesaplama yöntemleri. A matrisinin mertebesi m>1 ise bu matrisin determinantı bir sayıdır. A matrisinin aij öğesinin cebirsel tamamlayıcısı Aij, küçük Mij'nin sayıyla çarpımıdır. TEOREM1: A matrisinin determinantı, rastgele bir satırın (sütun) tüm elemanlarının ve bunların cebirsel tamamlayıcılarının çarpımlarının toplamına eşittir. Determinantların temel özellikleri. 1. Bir matrisin determinantı transpoze edildiğinde değişmeyecektir. 2. İki satırın (sütunların) sırası değiştirilirken determinantın işareti değişir, ancak mutlak değeri değişmez. 3. İki satırı (sütunları) aynı olan bir matrisin determinantı 0'dır. 4. Bir matrisin bir satırını (sütununu) bir sayıyla çarparken, determinantı bu sayıyla çarpılır. 5. Matrisin satırlarından (sütunlarından) biri 0'dan oluşuyorsa bu matrisin determinantı 0'dır. 6. Bir matrisin i'inci satırının (sütununun) tüm elemanları iki terimin toplamı olarak sunulursa, o zaman onun determinantı iki matrisin determinantlarının toplamı olarak temsil edilebilir. 7. Sırasıyla bir sütunun (satırın) elemanları başka bir sütunun (satırın) elemanlarına ön çarpma yoluyla eklenirse determinant değişmeyecektir. aynı numara için. 8. Belirleyicinin herhangi bir sütununun (satırının) keyfi elemanlarının, başka bir sütunun (satırın) elemanlarının karşılık gelen cebirsel tamamlayıcısına toplamı 0'dır. https://pandia.ru/text/78/365/images/image004_81.gif" genişlik = "46" yükseklik = "27"> Belirleyiciyi hesaplama yöntemleri: 1. Tanım gereği veya Teorem 1. 2. Üçgen forma indirgeme. Ters matrisin tanımı ve özellikleri. Ters matrisin hesaplanması. Matris denklemleri. Tanım: n mertebesinden bir kare matrise aynı mertebeden bir A matrisinin tersi denir ve şöyle gösterilir: A matrisinin ters matris olabilmesi için A matrisinin determinantının 0'dan farklı olması gerekli ve yeterlidir. Ters Matris Özellikleri: 1. Teklik: Belirli bir A matrisi için tersi benzersizdir. 2. matris determinantı 3. Transpozisyon alma ve ters matris alma işlemi. Matris denklemleri: A ve B aynı mertebeden iki kare matris olsun. https://pandia.ru/text/78/365/images/image008_56.gif" width = "163" height = "11 src = "> Matris sütunlarının doğrusal bağımlılığı ve bağımsızlığı kavramı. Kolon sisteminin doğrusal bağımlılığı ve doğrusal bağımsızlığının özellikleri. А1,А2…An sütunları, 0. sütuna eşit önemsiz olmayan bir doğrusal kombinasyon varsa doğrusal bağımlı olarak adlandırılır. А1,А2…An sütunları, eğer 0. sütuna eşit önemsiz olmayan bir doğrusal kombinasyon varsa, doğrusal bağımsız olarak adlandırılır. Tüm katsayılar С(l) 0'a eşitse ve aksi takdirde önemsiz değilse, doğrusal bir kombinasyona önemsiz denir. https://pandia.ru/text/78/365/images/image010_52.gif" genişlik = "88" yükseklik = "24"> 2. Sütunların doğrusal bağımlı olabilmesi için bazı sütunların diğer sütunların doğrusal birleşimi olması gerekli ve yeterlidir. https://pandia.ru/text/78/365/images/image014_42.gif" width = "13" height = "23 src = "> sütunlarından 1'inin diğer sütunların doğrusal bir birleşimi olmasına izin verin. https://pandia.ru/text/78/365/images/image016_38.gif" width="79" height="24"> doğrusal olarak bağımlıdır, bu durumda tüm sütunlar doğrusal olarak bağımlıdır. 4. Bir sütun sistemi doğrusal olarak bağımsızsa, bu sistemin alt sistemlerinden herhangi biri de doğrusal olarak bağımsızdır. (Sütunlar için söylenenlerin hepsi satırlar için de geçerlidir). Matris küçükleri. Temel küçükler. Matris sıralaması. Bir matrisin rütbesini hesaplamak için küçükleri saçaklama yöntemi. A matrisinin küçük mertebesi, elemanları A matrisinin k satırları ile k satırlarının kesişiminde bulunan determinanttır. A matrisinin k düzeyindeki tüm küçükleri = 0 ise, k + 1 düzeyindeki tüm küçükler de 0'a eşittir. Temel yan dal. Bir A matrisinin rütbesi, temel minörünün mertebesidir. Küçükleri sınırlama yöntemi: - A matrisinin sıfır olmayan bir elemanını seçiyoruz (Böyle bir eleman yoksa, A \u003d 0'ın sırası) 1. derecenin önceki minörünü 2. derecenin minörüyle sınırlıyoruz. (Eğer bu minör 0'a eşit değilse sıra >=2) Eğer bu minörün rütbesi =0 ise, seçilen 1. dereceden minörü diğer 2. dereceden minörlerle sınırlıyoruz. (Eğer 2. dereceden tüm küçükler = 0 ise, matrisin sırası = 1). Matris sıralaması. Bir matrisin rütbesini bulma yöntemleri. Bir A matrisinin rütbesi, temel minörünün mertebesidir. Hesaplama yöntemleri: 1) Minörleri sınırlama yöntemi: -A matrisinin sıfır olmayan bir elemanını seçin (böyle bir eleman yoksa, sıra =0) - Önceki 1. dereceden minörü 2. dereceden minörle sınırlayın..gif" width="40 " yükseklik = "22" >r+1 Mr+1=0. 2) Bir matrisin kademeli forma getirilmesi: Bu yöntem temel dönüşümlere dayanmaktadır. Temel dönüşümler altında matrisin sırası değişmez. Aşağıdaki dönüşümlere temel dönüşümler denir: İki satırın (sütunların) permütasyonu. Bir sütunun (satırın) tüm elemanlarının =0 olmayan bir sayıyla çarpımı. Belirli bir sütunun (satırın) tüm öğelerine, daha önce aynı sayıyla çarpılmış başka bir sütunun (satırın) öğelerinin eklenmesi. Temel minör teoremi. Determinantın sıfıra eşit olması için gerekli ve yeterli koşul. A matrisinin temel minörü, 0'dan farklı en büyük k'inci mertebeden minördür. Temel minör teoremi: Temel satırlar (sütunlar) doğrusal olarak bağımsızdır. A matrisinin herhangi bir satırı (sütun), temel satırların (sütunlar) doğrusal bir birleşimidir. Notlar: Kesişme noktalarında temel minör bulunan satır ve sütunlara sırasıyla temel satır ve sütunlar denir. a11 a12… a1r a1j a21 a22….a2r a2j a31 a32….a3r a3j ar1 ar2 ….arr arj ak1 ak2…..akr akj Determinantın sıfıra eşit olması için gerekli ve yeterli koşullar: N'inci dereceden determinantın = 0 olması için satırlarının (sütunlarının) doğrusal bağımlı olması gerekli ve yeterlidir. Lineer denklem sistemleri, sınıflandırılması ve gösterim biçimleri. Cramer kuralı. Üç bilinmeyenli 3 doğrusal denklemden oluşan bir sistem düşünün: https://pandia.ru/text/78/365/images/image020_29.gif" alt="l14image048" width="64" height="38 id=">!} sistemin determinantı denir. Aşağıdaki gibi üç determinant daha oluşturuyoruz: D determinantındaki 1, 2 ve 3 sütunu sırasıyla serbest terimlerden oluşan bir sütunla değiştiriyoruz https://pandia.ru/text/78/365/images/image022_23.gif" alt="l14image052" width="93" height="22 id=">!} Kanıt. Yani, üç bilinmeyenli 3 denklemden oluşan bir sistem düşünün. Sistemin 1. denklemini a11 elemanının cebirsel tamamlayıcısı A11 ile, 2. denklemi A21 ile ve 3. denklemi A31 ile çarpıyoruz: https://pandia.ru/text/78/365/images/image024_24.gif" alt="l14image056" width="247" height="31 id=">!} Parantezlerin her birini ve bu denklemin sağ tarafını düşünün. Determinantın 1. sütunun elemanları açısından genişletilmesine ilişkin teorem ile https://pandia.ru/text/78/365/images/image026_23.gif" alt="l14image060" width="324" height="42 id=">!} Benzer şekilde ve de gösterilebilir. Son olarak bunu görmek kolaydır Böylece eşitliği elde ederiz: . Buradan, . Eşitlikler ve benzer şekilde türetilir, dolayısıyla teoremin iddiası takip eder. Doğrusal denklem sistemleri. Doğrusal denklemler için uyumluluk koşulu. Kronecker-Capelli teoremi. Bir cebirsel denklem sisteminin çözümü, orijinal sistemde x1,x2,x3…..xn yerine değiştirildiğinde, C1,C2,C3……Cn gibi n sayıdan oluşan bir kümedir. sistem kimliklere dönüştürülür. Doğrusal cebirsel denklemler sistemi, en az bir çözümü varsa tutarlı olarak adlandırılır. Bir ortak sistemin tek bir çözümü varsa belirli, sonsuz sayıda çözümü varsa belirsiz olarak adlandırılır. Doğrusal cebirsel denklem sistemlerinin uyumluluğu için koşullar. a11 a12 ……a1n x1 b1 a21 a22 ……a2n x2 b2 ……………….. .. = .. am1 am2…..amn xn bn TEOREM: n bilinmeyenli m doğrusal denklem sisteminin tutarlı olması için, genişletilmiş matrisin rütbesinin A matrisinin rütbesine eşit olması gerekli ve yeterlidir. Not: Bu teorem yalnızca bir çözümün varlığına ilişkin kriterleri verir, ancak çözüm bulmanın bir yolunu göstermez. 10 soru. Doğrusal denklem sistemleri. Temel küçük yöntem, doğrusal denklem sistemlerinin tüm çözümlerini bulmak için genel bir yöntemdir. A=a21 a22…..a2n Temel küçük yöntem: Sistem uyumlu olsun ve RgA=RgA’=r olsun. Temel minör A matrisinin sol üst köşesine boyansın. https://pandia.ru/text/78/365/images/image035_20.gif" genişlik = "22" yükseklik = "23 src = ">…...gif" genişlik = "23" yükseklik = "23 src= ">…...gif" width = "22" height = "23 src = ">…...gif" width = "46" height = "23 src = ">-…..-a d2 b2-a(2r+1)x(r+1)-..-a(2n)x(n) … = ………….. Dr br-a(rr+1)x(r+1)-..-a(rn)x(n) https://pandia.ru/text/78/365/images/image050_12.gif" genişlik = "33" yükseklik = "22 src = "> Açıklamalar: Eğer ana matrisin ve dikkate alınanın rütbesi r=n'ye eşitse, bu durumda dj=bj olur ve sistemin tek bir çözümü vardır. Homojen lineer denklem sistemleri. Bir doğrusal cebirsel denklem sistemi, tüm serbest terimleri sıfıra eşitse homojen olarak adlandırılır. AX=0 homojen bir sistemdir. AX = B homojen olmayan bir sistemdir. Homojen sistemler her zaman tutarlıdır. X1 =x2 =..=xn =0 Teorem 1. Homojen sistemler, sistem matrisinin derecesi bilinmeyenlerin sayısından az olduğunda homojen olmayan çözümlere sahiptir. Teorem 2. N-bilinmeyenli n-doğrusal denklemlerden oluşan homojen bir sistemin, A matrisinin determinantı sıfıra eşit olduğunda sıfır olmayan bir çözümü vardır. (detA=0) Homojen sistemlerin çözümlerinin özellikleri. Homojen bir sistemin herhangi bir çözümünün doğrusal kombinasyonunun kendisi bu sistemin çözümüdür. a1C1 +a2C2; α1 ve α2 bazı sayılardır. A(α1C1 + α2C2) = A(α1C1) + A(α2C2) = α1(A C1) + α2(AC2) = 0, yani. k.(A C1) = 0; (AC2) = 0 Homojen olmayan bir sistem için bu özellik geçerli değildir. Temel karar sistemi. Teorem 3. N-bilinmeyenli bir denklemin matris sisteminin rütbesi r ise, bu sistemin n-r doğrusal bağımsız çözümü vardır. Temel minör sol üst köşede olsun. Eğer r< n, то неизвестные х r+1;хr+2;..хn называются свободными переменными, а систему уравнений АХ=В запишем, как Аr Хr =Вr C1 = (C11 C21 .. Cr1 , 1.0..0) C2 = (C21 C22 .. C2r,0, 1..0)<= Линейно-независимы. …………………….. Cn-r = (Cn-r1 Cn-r2 .. Cn-rr ,0, 0..1) R mertebesinde n-bilinmeyenli homojen bir doğrusal denklem sisteminin n-r doğrusal bağımsız çözümlerinden oluşan bir sisteme temel çözüm sistemi denir. Teorem 4. Bir doğrusal denklem sisteminin herhangi bir çözümü, temel sistemin çözümünün doğrusal bir birleşimidir. С = α1C1 + α2C2 + .. + αn-r Cn-r Eğer r 12 soru. Homojen olmayan bir sistemin genel çözümü. Uyku (gen. tek biçimli değil) \u003d COO + SCH (özel) AX=B (heterojen sistem); AX=0 (ASoo) + ASch = ASch = B, çünkü (ASoo) = 0 Uyku \u003d α1C1 + α2C2 + .. + αn-r Cn-r + Orta Gauss yöntemi. Bu, bilinmeyenlerin (değişkenlerin) art arda ortadan kaldırılmasına yönelik bir yöntemdir - temel dönüşümlerin yardımıyla, orijinal denklem sisteminin, diğer tüm değişkenlerin sırayla bulunduğu, aşamalı bir formun eşdeğer bir sistemine indirgenmesi gerçeğinden oluşur. , son değişkenlerden başlayarak. a≠0 olsun (eğer durum böyle değilse, o zaman bu, denklemlerin yeniden düzenlenmesiyle elde edilir). 1) x1 değişkenini ikinci, üçüncü ... n'inci denklemden çıkarırız, ilk denklemi uygun sayılarla çarparız ve elde edilen sonuçları 2., 3. ... n'inci denkleme ekleriz, sonra şunu elde ederiz: Orijinaline eşdeğer bir sistem elde ediyoruz. 2) x2 değişkenini hariç tutun 3) x3 vb. değişkenini hariç tutuyoruz. x4;x5...xr-1 değişkenlerinin sıralı eleme işlemine devam ederek (r-1)-inci adımı elde ederiz. Denklemlerdeki son n-r'nin sıfır sayısı, sol tarafının şöyle göründüğü anlamına gelir: 0x1 +0x2+..+0xn Eğer ``r+1, ``r+2… sayılarından en az biri sıfıra eşit değilse, bu durumda karşılık gelen eşitlik tutarsızdır ve sistem (1) tutarlı değildir. Dolayısıyla herhangi bir tutarlı sistem için bu vr+1…vm sıfıra eşittir. Sistemdeki son n-r denklemleri (1;r-1) özdeşliklerdir ve göz ardı edilebilir. İki durum mümkündür: a) sistemin denklem sayısı (1; r-1) bilinmeyenlerin sayısına eşittir, yani. r \u003d n (bu durumda sistem üçgen bir forma sahiptir). b)r Sistem (1)'den eşdeğer bir sisteme (1; r-1) geçişe Gauss yönteminin doğrudan hareketi denir. Gauss yönteminin tersini kullanarak sistemden (1; r-1) bir değişken bulma hakkında. Gauss dönüşümleri, denklemlerle değil, katsayılarının genişletilmiş matrisiyle uygulanarak rahatlıkla gerçekleştirilir. 13 soru. benzer matrisler. Yalnızca n/ mertebesinden kare matrisleri ele alacağız A=S-1BS olacak şekilde tekil olmayan bir S matrisi mevcutsa, A matrisinin B matrisine (A~B) benzer olduğu söylenir. Benzer matrislerin özellikleri. 1) A matrisi kendisine benzer. (A~A) Eğer S=E ise EAE=E-1AE=A 2) Eğer A~B ise B~A Eğer A=S-1BS => SAS-1= (SS-1)B(SS-1)=B 3) Eğer A~B ve aynı zamanda B~C ise A~C A=S1-1BS1 ve B=S2-1CS2 => A= (S1-1 S2-1) C(S2 S1) = (S2 S1)-1C(S2 S1) = S3-1CS3 olduğu göz önüne alındığında, burada S3 = S2S1 4) Benzer matrislerin determinantları eşittir. A~B olduğu göz önüne alındığında, detA=detB olduğunu kanıtlamak gerekir. A=S-1 BS, detA=det(S-1 BS)= detS-1* detB* detS = 1/detS *detB*detS (azalt) = detB. 5) Benzer matrislerin dereceleri aynıdır. Matrislerin özvektörleri ve özdeğerleri. AX = λ X olacak şekilde sıfır olmayan bir X vektörü (matris sütunu) varsa, λ sayısına A matrisinin özdeğeri denir, X vektörüne A matrisinin özvektörü denir ve tüm özdeğerlerin kümesi A matrisinin spektrumu denir. Özvektörlerin özellikleri. 1) Bir özvektörü bir sayıyla çarptığımızda aynı özdeğere sahip bir özvektör elde ederiz. AX \u003d λ X; Х≠0 α X => A (α X) \u003d α (AX) \u003d α (λ X) \u003d \u003d λ (α X) 2) İkili olarak farklı özdeğerlere sahip özvektörler doğrusal olarak bağımsızdır λ1, λ2,.. λk. Sistem 1. vektörden oluşsun, tümevarımsal bir adım atalım: C1 X1 + C2 X2 + .. + Cn Xn = 0 (1) - A ile çarpın. C1 AX1 + C2 AX2 + .. + Cn AXn \u003d 0 С1 λ1 Х1 +С2 λ2 Х2 + .. +Сn λn Хn = 0 λn+1 ile çarpın ve çıkarın C1 X1 +C2 X2 + .. +Cn Xn+ Cn+1 Xn+1 = 0 С1 λ1 Х1 +С2 λ2 Х2 + .. +Сn λn Хn+ Сn+1 λn+1 Хn+1 = 0 C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn + Cn+1 (λn+1 –λn+1)Xn+1 = 0 C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn = 0 C1 \u003d C2 \u003d ... \u003d Cn \u003d 0 olması gerekir Cn+1 Xn+1 λn+1 =0 Karakteristik denklem. A-λE, A matrisinin karakteristik matrisi olarak adlandırılır. Sıfır olmayan bir X vektörünün, λ özdeğerine karşılık gelen A matrisinin bir özvektörü olabilmesi için, bunun homojen bir doğrusal cebirsel denklemler sisteminin (A - λE)X = 0 çözümü olması gerekir. det (A - XE) = 0 olduğunda sistemin önemsiz olmayan bir çözümü vardır - bu bir karakteristik denklemdir. İfade! Benzer matrislerin karakteristik denklemleri çakışır. det(S-1AS - λЕ) = det(S-1AS - λ S-1ЕS) = det(S-1 (A - λЕ)S) = det S-1 det(A - λЕ) detS= det(A - λЕ) Karakteristik polinom. det(A – λЕ) - λ parametresine göre fonksiyon det(A – λЕ) = (-1)n Xn +(-1)n-1(a11+a22+..+ann)λn-1+..+detA Bu polinoma A matrisinin karakteristik polinomu denir. Sonuçlar: 1) Matrisler A~B ise köşegen elemanlarının toplamı aynıdır. a11+a22+..+ann = в11+в22+..+вnn 2) Benzer matrislerin özdeğerleri kümesi çakışmaktadır. Matrislerin karakteristik denklemleri aynıysa, mutlaka benzer olmaları gerekmez. A matrisi için B matrisi için https://pandia.ru/text/78/365/images/image062_10.gif" genişlik = "92" yükseklik = "38"> Det(Ag-λE) = (λ11 – λ)(λ22 – λ)…(λnn – λ)= 0 n mertebesinden bir A matrisinin köşegenleştirilebilmesi için, A matrisinin doğrusal olarak bağımsız özvektörlerinin mevcut olması gerekir. Sonuçlar. A matrisinin tüm özdeğerleri farklıysa köşegenleştirilebilir. Özvektörleri ve özdeğerleri bulma algoritması. 1) karakteristik denklemi oluşturun 2) denklemlerin köklerini bulun 3) özvektörü belirlemek için bir denklem sistemi oluşturun. λi (A-λi E)X = 0 4) temel çözüm sistemini bulun x1,x2..xn-r, burada r karakteristik matrisin sırasıdır. r = Rg(A - λi E) 5) özvektör, özdeğerler λi şu şekilde yazılır: X \u003d C1 X1 + C2 X2 + .. + Cn-r Xn-r, burada C12 + C22 + ... C2n ≠0 6) Matrisin köşegen forma indirgenip indirgenemeyeceğini kontrol ediyoruz. 7) Ag'yi bulun Ag = S-1AS S= 15 soru. Bir çizginin, düzlemin, uzayın temeli. https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11">│, ││). Bu vektör sıfır olduğunda vektör modülü sıfırdır (│ō│=0) 4.Orth vektörü. Belirli bir vektörün orthu, verilen vektörle aynı yöne sahip ve modülü bire eşit olan bir vektördür. Eşit vektörlerin ortları eşittir. 5. İki vektör arasındaki açı. Bu, aynı noktadan çıkan ve verilen vektörlerle aynı yöne yönlendirilen iki ışınla sınırlanan alanın daha küçük kısmıdır. Vektörlerin eklenmesi. Bir vektörün bir sayıyla çarpılması. 1) İki vektörün toplanması https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11">+ │≤│ │+│ │ 2) Bir vektörün bir skalerle çarpımı. Bir vektör ile bir skalerin çarpımı aşağıdaki özelliklere sahip yeni bir vektördür: a) = çarpılan vektörün modülünün skalerin mutlak değeriyle çarpımı. b) Yön, skaler pozitifse çarpılan vektörle aynı, skaler negatifse terstir. λ a(vektör)=>│ λ │= │ λ │=│ λ ││ │ Vektörler üzerinde doğrusal işlemlerin özellikleri. 1. Toplulukçuluk Yasası. 2. Çağrışım yasası. 3. Sıfırla toplama. a(vektör)+ō= a(vektör) 4. Zıttı ile toplama. 5. (αβ) = α(β) = β(α) 6;7.Dağıtım kanunu. Bir vektörün modülü ve birim vektör cinsinden ifadesi. Doğrusal olarak bağımsız vektörlerin maksimum sayısına temel denir. Bir doğrunun temeli sıfırdan farklı herhangi bir vektördür. Düzlemdeki temel, çağrılan olmayan herhangi iki vektördür. Uzaydaki bir taban, aynı düzlemde olmayan herhangi üç vektörden oluşan bir sistemdir. Bir vektörün bazı bazlardaki genişleme katsayısına, vektörün verilen bazdaki bileşenleri veya koordinatları denir. https://pandia.ru/text/78/365/images/image075_10.gif" height = "11 src = ">.gif" height = "11 src = "> toplama ve çarpma işlemini önce bir skalerle, ardından da bir sayı olarak gerçekleştirin aldığımız bu tür eylemlerin herhangi bir sayısıyla sonuçlanır: λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height = "11 src = ">+...gif" height = "11 src = ">.gif" height = "11 src = ">, bunların ō'ye eşit önemsiz olmayan bir doğrusal kombinasyonu varsa doğrusal olarak bağımlı olarak adlandırılır. λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height = "11 src = ">+...gif" height = "11 src = ">.gif" height = "11 src = ">, bunların önemsiz olmayan bir doğrusal kombinasyonu yoksa doğrusal olarak bağımsız olarak adlandırılır. Doğrusal bağımlı ve bağımsız vektörlerin özellikleri: 1) Sıfır vektörünü içeren vektörler sistemi doğrusal olarak bağımlıdır. λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height = "11 src = ">+...gif" height = "11 src = ">.gif" height = "11 src=>> doğrusal olarak bağımlı olduğundan, bazı vektörler diğer vektörlerin doğrusal birleşimi olmalıdır. 3) a1 (vektör), a2 (vektör) ... ak (vektör) sistemindeki bazı vektörler doğrusal olarak bağımlıysa, o zaman tüm vektörler doğrusal olarak bağımlıdır. 4)eğer tüm vektörler https://pandia.ru/text/78/365/images/image076_9.gif" height="11 src=">.gif" width="75" height="11"> https://pandia.ru/text/78/365/images/image082_10.gif" height = "11 src = ">.gif" height = "11 src = ">) Koordinatlarda doğrusal işlemler. https://pandia.ru/text/78/365/images/image069_9.gif" height = "12 src = ">.gif" height = "11 src = ">.gif" height = "11 src = "> .gif" height = "11 src = ">.gif" width = "65" height = "13 src = "> Nokta ürün özellikleri: 1. Değişebilirlik 3. (a;b)=0 ancak ve ancak vektörler dikse veya vektörlerden herhangi biri 0'a eşitse. 4. Dağılım (αa+βb;c)=α(a;c)+β(b;c) 5. a ve b'nin skaler çarpımının koordinatları cinsinden ifadesi https://pandia.ru/text/78/365/images/image093_8.gif" genişlik = "40" yükseklik = "11 src = "> https://pandia.ru/text/78/365/images/image095_8.gif" width = "254" height = "13 src = "> Koşul () olduğunda, h, l=1,2,3 https://pandia.ru/text/78/365/images/image098_7.gif" genişlik = "176" yükseklik = "21 src = "> https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11"> ve aşağıdaki denklemleri karşılayan üçüncü vektör çağrılır: 3. - sağ Vektör çarpımı özellikleri: 4. Koordinat vektörlerinin vektör çarpımı ortonormal temel. https://pandia.ru/text/78/365/images/image109_7.gif" genişlik = "41" yükseklik = "11 src = "> https://pandia.ru/text/78/365/images/image111_8.gif" genişlik = "41" yükseklik = "11 src = "> Bir ortonormal bazın ortlarını belirtmek için genellikle 3 sembol kullanılır https://pandia.ru/text/78/365/images/image063_10.gif" genişlik = "77" yükseklik = "11 src = "> https://pandia.ru/text/78/365/images/image114_5.gif" width = "549" height = "32 src = "> Eğer ortonormal bir temel ise, o zaman https://pandia.ru/text/78/365/images/image117_5.gif" width="116" height="15">- doğrudan paralel eksen OX'un denklemi 2) - OS eksenine paralel düz bir çizginin denklemi 2. 2 düz çizginin karşılıklı düzenlenmesi. Teorem 1 Doğruların denklemleri afin koordinat sistemine göre verilsin A) O halde kesiştikleri zaman gerekli ve yeterli koşul: B) O halde doğruların paralel olması için gerekli ve yeterli koşul şudur: B) O halde çizgilerin tek bir çizgide birleşmesi için gerekli ve yeterli koşul şudur: 3. Bir noktadan bir çizgiye olan mesafe. Teorem. Kartezyen koordinat sistemine göre bir noktadan bir çizgiye olan mesafe: https://pandia.ru/text/78/365/images/image127_7.gif" genişlik = "34" yükseklik = "11 src = "> 4. İki düz çizgi arasındaki açı. Dikey durum. Kartezyen koordinat sistemine göre genel denklemlerle 2 doğru verilmiş olsun. https://pandia.ru/text/78/365/images/image133_4.gif" width = "103" height = "11 src = "> Eğer öyleyse çizgiler diktir. 24 soru. uzayda uçak. Bir vektör ve bir düzlem için eşleme koşulu. Bir noktadan bir düzleme olan mesafe. İki düzlemin paralellik ve diklik durumu. 1. Bir vektör ve bir düzlem için eşleme koşulu. https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" genişlik = "40" yükseklik = "11 src = "> https://pandia.ru/text/78/365/images/image140.jpg" alt="Untitled4.jpg" width="111" height="39">!} https://pandia.ru/text/78/365/images/image142_6.gif" genişlik = "86" yükseklik = "11 src = "> https://pandia.ru/text/78/365/images/image144_6.gif" width = "148" height = "11 src = "> https://pandia.ru/text/78/365/images/image145.jpg" alt="Untitled5.jpg" width="88" height="57">!} https://pandia.ru/text/78/365/images/image147_6.gif" genişlik = "31" yükseklik = "11 src = "> https://pandia.ru/text/78/365/images/image148_4.gif" width = "328" height = "24 src = "> 3. 2 düzlem arasındaki açı. Dikey durum. https://pandia.ru/text/78/365/images/image150_6.gif" width = "132" height = "11 src = "> Eğer öyleyse, düzlemler diktir. 25 soru. Uzayda düz çizgi. Uzayda düz bir çizginin çeşitli denklem türleri. https://pandia.ru/text/78/365/images/image156_6.gif" genişlik = "111" yükseklik = "19"> 2. Uzayda bir doğrunun vektör denklemi. https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" genişlik = "40" yükseklik = "11 src = "> https://pandia.ru/text/78/365/images/image162_5.gif" genişlik = "44" yükseklik = "29 src = "> 4. Kanonik denklem doğrudandır. https://pandia.ru/text/78/365/images/image164_4.gif" genişlik = "34" yükseklik = "18 src = "> https://pandia.ru/text/78/365/images/image166_0.jpg" alt="Untitled3.jpg" width="56" height="51">!} Matrisler, temel kavramlar. Bir matris, bir kümenin elemanlarından oluşan ve m satır ve n sütundan oluşan dikdörtgen bir A tablosudur. Kare matris - burada m=n. Satır (vektör satırı) - matris bir satırdan oluşur. Sütun (sütun vektörü) - matris bir sütundan oluşur. Transpoze Matris - A matrisinden satırların sütunlarla değiştirilmesiyle elde edilen bir matris. Köşegen matris, ana köşegen üzerinde olmayan tüm girişlerin sıfıra eşit olduğu bir kare matristir. Matrisler üzerindeki eylemler. 1) Bir matrisin bir sayı ile çarpılması. A matrisinin α sayısına göre çarpımı, elemanları A matrisinin elemanlarından α sayısı ile çarpılarak elde edilen Matris Axα olarak adlandırılır. Örnek: 7xA, , 2) Matris çarpımı. İki matrisin çarpılması işlemi yalnızca birinci matrisin sütun sayısının ikinci matrisin satır sayısına eşit olması durumunda uygulanır. Örnek: ,, AxB= Matris çarpım özellikleri: A*(B*C)=(A*B)*C; A * (B + C) \u003d AB + AC (A+B)*C=AC+BC; a(AB) = (aA)B, (A+B) T =A T +B T (AB) T = B T A T 3) Toplama, çıkarma. Matrislerin toplamı (farkı), elemanları sırasıyla orijinal matrislerin elemanlarının toplamı (farkı) olan bir matristir. c ij = a ij b ij C \u003d A + B \u003d B + A. Bir noktada, bir aralıkta, bir doğru parçasında fonksiyonların sürekliliği. Fonksiyonların kırılma noktaları ve sınıflandırılması. Bir x 0 noktası civarında tanımlanan f(x) fonksiyonuna, eğer fonksiyonun limiti ve bu noktadaki değeri eşitse, x 0 noktasında sürekli denir; Herhangi bir e>0 pozitif sayısı için koşulu sağlayan herhangi bir x için öyle bir D>0 sayısı varsa f(x) fonksiyonuna x 0 noktasında sürekli denir. gerçek eşitsizlik Fonksiyonun x 0 noktasındaki artışı sonsuz küçük bir değerse, f (x) fonksiyonuna x \u003d x 0 noktasında sürekli denir. f(x) = f(x 0) +a(x) burada a(x), x®x 0 için sonsuz küçüktür. Sürekli fonksiyonların özellikleri. 1) x 0 noktasında sürekli olan fonksiyonların toplamı, farkı ve çarpımı, x 0 noktasında sürekli olan bir fonksiyondur. 2) İki sürekli fonksiyonun bölümü, x 0 noktasında g(x) sıfıra eşit olmadığı sürece sürekli bir fonksiyondur. 3) Sürekli fonksiyonların süperpozisyonu sürekli bir fonksiyondur. Bu özellik şu şekilde yazılabilir: Eğer u=f(x),v=g(x) x = x 0 noktasında sürekli fonksiyonlarsa, v=g(f(x)) fonksiyonu da bu noktada sürekli bir fonksiyondur. İşlev F(X) denir aralıkta sürekli(A,B) eğer bu aralığın her noktasında sürekli ise. Bir aralıkta sürekli olan fonksiyonların özellikleri. Bir aralıkta sürekli olan bir fonksiyon bu aralıkta sınırlıdır; Parçada –M f(x) M koşulu sağlanır. Bu özelliğin kanıtı, x 0 noktasında sürekli olan bir fonksiyonun, onun bazı komşuluklarında sınırlı olduğu ve parçayı x 0 noktasına kadar "büzülen" sonsuz sayıda parçaya böldüğümüz gerçeğine dayanmaktadır. ise x 0 noktasının bir komşuluğu oluşturulur. Aralıkta sürekli olan bir fonksiyon maksimum ve minimum değerlerini alır. Onlar. x 1 ve x 2'nin f (x 1) = m, f (x 2) = M olacak şekilde değerleri vardır ve m f(x) M Fonksiyonun bir segmentte ve birkaç kez alabileceği bu maksimum ve minimum değerleri not ediyoruz (örneğin, f (x) = sinx). Bir fonksiyonun bir parça üzerindeki en büyük değeri ile en küçük değeri arasındaki farka, fonksiyonun parça üzerindeki salınımı denir. Bir segment üzerinde sürekli olan bir fonksiyon, bu segmentte iki keyfi değer arasındaki tüm değerleri alır. Eğer f(x) fonksiyonu x = x 0 noktasında sürekli ise, o zaman x 0 noktasının, fonksiyonun işaretini koruduğu bir komşuluğu vardır. Eğer f(x) fonksiyonu bir doğru parçası üzerinde sürekli ise ve doğru parçasının uçlarında zıt işaretli değerler varsa, o zaman bu parçanın içinde f(x) = 0 olan bir nokta vardır. Lineer cebir problemleri. Matris kavramı. Matris türleri. Matrislerle işlemler. Matrislerin dönüşümü ile ilgili problemlerin çözümü. Çeşitli matematik problemlerini çözerken, çoğu zaman matris adı verilen sayı tablolarıyla uğraşmak gerekir. Matrislerin yardımıyla doğrusal denklem sistemlerini çözmek, vektörlerle birçok işlemi gerçekleştirmek, çeşitli bilgisayar grafikleri problemlerini ve diğer mühendislik görevlerini çözmek uygundur. Matris denir
bir sayı içeren dikdörtgen bir sayı tablosu Mçizgiler ve bazı P sütunlar. Sayılar T Ve P matris dereceleri denir. Eğer T = P, matrise kare denir ve sayı m = n- onun emri. Aşağıda matrisleri yazmak için çift tire veya parantez kullanılacaktır: Veya Kısa bir matris gösterimi için genellikle tek bir büyük Latin harfi (örneğin A) veya sembol kullanılır. || bir ben || ve bazen bir açıklama ile: A = || bir ben || = (aij), Nerede (i = 1, 2, ..., m, j=1, 2, ..., n). Sayılar aij, Bu matrisin parçası olanlara onun elemanları denir. Kayıtta aij ilk dizin і
satır numarası ve ikinci indeks anlamına gelir J- sütun numarası. Kare matris durumunda ana ve ikincil köşegen kavramları tanıtılmaktadır. Matrisin (1.1) ana köşegeni köşegendir 11 ve 12 …
anne bu matrisin sol üst köşesinden sağ alt köşesine gidiyoruz. Aynı matrisin yan köşegenine köşegen denir bir n 1 bir (n -1) 2…
bir 1n, sol alt köşeden sağ üst köşeye doğru gidiyor. Matrisler üzerinde temel işlemler ve özellikleri. Matrisler üzerindeki temel işlemlerin tanımına geçelim. Matris eklenmesi.İki matrisin toplamı bir = || bir ben || , Nerede Ve B = || b ben || , Nerede (i = 1, 2, ..., m, j=1, 2, ..., n) aynı siparişler T Ve P matris denir C = || c ij || (i = 1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., n) aynı siparişler T Ve P, elementler ij ile formülle belirlenir ,
Nerede (i = 1, 2, ..., m, j=1, 2, ..., n)(1.2) İki matrisin toplamını belirtmek için gösterimi kullanırız C \u003d A + B. Matrislerin toplamını oluşturma işlemine bunların eklenmesi denir. Yani tanım gereği: Matrislerin toplamının tanımından veya daha doğrusu formül (1.2)'den, matris toplama işleminin gerçek sayıların toplama işlemiyle aynı özelliklere sahip olduğu doğrudan anlaşılır: 1) değişme özelliği: A + B = B + A, 2) kombinasyon özelliği: ( A + B) + C = A + (B + C). Bu özellikler, iki veya daha fazla matris toplanırken matris terimlerinin sırasının dikkate alınmamasını mümkün kılar. Bir matrisin bir sayıyla çarpılması. A matrisinin çarpımı = || bir ben || , burada (i = 1, 2, ..., m, j=1, 2, ..., n) bir l gerçek sayısına göre matris olarak adlandırılır C = || c ij || (i =1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., n) elemanları aşağıdaki formülle belirlenir: ,
Nerede (i = 1, 2, ..., m, j=1, 2, ..., n)(1.3) Bir matrisin çarpımını bir sayı ile belirtmek için gösterim kullanılır C \u003d l A veya C \u003d A l. Bir matrisin çarpımının bir sayı ile derlenmesi işlemine matrisin bu sayı ile çarpılması denir. Bir matrisin bir sayı ile çarpımının aşağıdaki özelliklere sahip olduğu formül (1.3)'ten açıktır: 1) sayısal bir faktöre göre ilişkisel bir özellik: (l m) A = l (m A); 2) matrislerin toplamına göre dağılım özelliği: ben (A + B) = ben A + ben B; 3) sayıların toplamına göre dağılım özelliği: (l + m) Bir = l Bir + m Bir Yorum.İki matrisin farkı A Ve İÇİNDE aynı siparişler T Ve P böyle bir matris demek doğaldır İLE aynı siparişler T Ve P, matris ile toplamda B A matrisini verir. İki matrisin farkını belirtmek için doğal gösterim kullanılır: C \u003d A - B. Farkın olduğunu doğrulamak çok kolaydır İLE iki matris A Ve İÇİNDE kurala göre elde edilebilir C \u003d A + (-1) B. Matrislerin çarpımı veya matris çarpımı. Matris çarpımı bir = || bir ben || , burada (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n) sırasıyla eşit siparişlere sahip olmak T Ve N, matrise B = || b ben || , Nerede (i = 1, 2, ..., n , j=1, 2, ..., p), sırasıyla eşit siparişlere sahip olmak N Ve R, matris denir C = || c ij || (i = 1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., p) siparişleri sırasıyla şuna eşit olan T Ve R elemanları aşağıdaki formülle belirlenir: Bir matrisin çarpımını belirtmek için A matrise İÇİNDE kaydı kullan C = A × B. Matris ürün işlemi A matrise İÇİNDE bu matrislerin çarpımı denir. Yukarıdaki tanımdan şu sonuç çıkıyor A matrisi herhangi bir B matrisiyle çarpılamaz, matrisin sütun sayısının olması gerekir A matris satırlarının sayısına eşitti İÇİNDE. Formül (1.4), matrisin ürünü olan C matrisinin elemanlarını derlemek için bir kuraldır A matrise İÇİNDE. Bu kural sözlü olarak da formüle edilebilir: C = A B matrisinin i'inci satırı ile j'inci sütununun kesişiminde duran c i j öğesi, A matrisinin i'inci satırının karşılık gelen elemanlarının ikili çarpımlarının toplamına eşittir. B matrisinin j'inci sütunu. Bu kuralın uygulanmasına bir örnek olarak, ikinci dereceden kare matrislerin çarpılması formülünü sunuyoruz. × = Formül (1.4), matris ürününün aşağıdaki özelliklerini ifade eder A matris üzerinde İÇİNDE: 1) ilişkisel özellik: (A B) C = A (B C); 2) matrislerin toplamına göre dağılım özelliği: (A + B) C = A C + B C veya A (B + C) = A B + A C. Bir matris çarpımının permütasyon (değişme) özelliği sorunu A matrise İÇİNDE yalnızca kare matrisler için ayarlamak mantıklıdır A ve B aynı düzen. Permütasyon özelliğinin de geçerli olduğu matrislerin önemli özel durumlarını sunuyoruz. Permütasyon özelliğinin geçerli olduğu çarpım için iki matrise genellikle değişme denir. Kare matrisler arasında, her biri ana köşegenin dışında sıfıra eşit öğelere sahip olan, köşegen matrisler adı verilen bir sınıf seçiyoruz. Her bir köşegen düzen matrisi P formu var d= Nerede d1, d2,…
,dn-herhangi bir numara. Tüm bu sayıların birbirine eşit olup olmadığını görmek kolaydır; d1=d2=… =
d n o zaman herhangi bir kare matris için A emir P adil eşitlik Bir D = DA. Eşleşen girişlere sahip tüm çapraz matrisler (1.5) arasında d1=d2=… =
dn = = D iki matris özellikle önemli bir rol oynar. Bu matrislerden ilki şu şekilde elde edilir: d=1 birim matris denir N E.İkinci matris şu şekilde elde edilir: d=0, boş matris olarak adlandırılır N sıra ve sembolü ile gösterilir Ah Böylece, e= Yukarıda kanıtlananlar sayesinde Bir E = E Bir Ve A Ö = Ö A.Üstelik bunu göstermek kolaydır A E \u003d E A \u003d A, A O \u003d O A \u003d 0. (1.6) Formüllerden (1.6) ilki birim matrisin özel rolünü karakterize eder E, reel sayıların çarpımında 1 sayısının oynadığı role benzer. Sıfır matrisinin özel rolüne gelince HAKKINDA, o zaman sadece formüllerin (1.7) ikincisi ile değil, aynı zamanda temel olarak doğrulanabilir eşitlikle de ortaya çıkar. Bir + 0 = 0 + Bir = Bir. Sonuç olarak, sıfır matris kavramının kare olmayan matrisler için de getirilebileceğini not ediyoruz (sıfır denir) herhangi tüm elemanları sıfıra eşit olan matris). Blok matrisleri Diyelim ki bir matris bir = || bir ben || yatay ve dikey çizgiler kullanılarak, her biri daha küçük boyutlu bir matris olan ve orijinal matrisin bloğu olarak adlandırılan ayrı dikdörtgen hücrelere bölünür. Bu durumda orijinal matrisi dikkate almak mümkün hale gelir. A bazı yeni (sözde blok) matris olarak A = || Bir a b ||, öğeleri belirtilen bloklardır. Genel olarak konuşursak, bunların sayı değil matris olduğunu vurgulamak için bu öğeleri büyük Latin harfleriyle belirtiriz ve (sıradan sayısal öğeler gibi) iki endeks sağlarız; bunlardan ilki "blok" satırının numarasını gösterir ve ikincisi - "blok" satırının numarası. » sütunu. Örneğin, matris blok matris olarak görülebilir elemanları aşağıdaki bloklardır: Blok matrislerle yapılan temel işlemlerin, sıradan sayısal matrislerle gerçekleştirilen aynı kurallara göre gerçekleştirilmesi, yalnızca blokların öğe olarak hareket etmesi dikkat çekicidir. Determinant kavramı. Herhangi bir düzende rastgele bir kare matris düşünün P: bir= Bu matrislerin her biriyle, bu matrise karşılık gelen determinant adı verilen, iyi tanımlanmış bir sayısal özelliği ilişkilendiririz. Sipariş verirseniz N matris (1.7) bire eşitse bu matris bir elemandan oluşur bir ben j böyle bir matrise karşılık gelen birinci dereceden determinanttır, bu elemanın değerini arayacağız. o zaman böyle bir matrise karşılık gelen ikinci dereceden determinant, şuna eşit sayıdır: a 11 a 22 - a 12 a 21 ve sembollerden biriyle gösterilir: Yani tanım gereği Formül (1.9), kendisine karşılık gelen matrisin elemanlarından ikinci dereceden bir determinantın derlenmesi için bir kuraldır. Bu kuralın sözel formülasyonu şu şekildedir: (1.8) matrisine karşılık gelen ikinci dereceden determinant, bu matrisin ana köşegenindeki elemanların çarpımı ile ikincil köşegenindeki elemanların çarpımı arasındaki farka eşittir. İkinci ve daha yüksek mertebeden determinantlar doğrusal denklem sistemlerinin çözümünde yaygın olarak kullanılır. Nasıl çalıştığını görelim MathCad sistemindeki matrislerle işlemler
. En basit matris cebir işlemleri MathCad'de operatörler olarak uygulanır. Operatörleri anlam açısından yazmak, matematiksel eylemlerine mümkün olduğunca yakındır. Her operatör karşılık gelen bir sembolle ifade edilir. MathCad 2001'in matris ve vektör işlemlerini düşünün. Vektörler boyut matrislerinin özel bir durumudur nx1, bu nedenle, kısıtlamalar özel olarak belirtilmediği sürece (örneğin, bazı işlemler yalnızca kare matrislere uygulanabilir), matrislerde olduğu gibi aynı işlemler onlar için de geçerlidir. n x n). Bazı eylemler yalnızca vektörler için geçerlidir (örneğin, skaler çarpım) ve bazıları, aynı yazılışlarına rağmen, vektörler ve matrisler üzerinde farklı şekilde davranır. q OK tuşuna bastıktan sonra matris elemanlarının girilmesi için bir alan açılır. Bir matris öğesi girmek için imleci işaretli konuma getirin ve klavyeden bir sayı veya ifade girin. Araç çubuğunu kullanarak herhangi bir işlemi gerçekleştirmek için şunları yapmanız gerekir: q matrisi seçin ve paneldeki işlem düğmesine tıklayın, q veya paneldeki düğmeye tıklayın ve matrisin adını işaretli konuma girin. “Semboller” menüsü üç işlem içerir - devrik, ters çevirme, determinant. Bu, örneğin şu komutu çalıştırarak matris determinantını hesaplayabileceğiniz anlamına gelir: Semboller/Matrisler/Determinant. MathCAD matrisinin ilk satırının (ve ilk sütununun) numarası ORIGIN değişkeninde saklanır. Varsayılan olarak geri sayım sıfırdan başlar. Matematiksel gösterimde 1'den itibaren saymak daha yaygındır. MathCAD'in satır ve sütun numaralarını 1'den itibaren sayabilmesi için ORIGIN:=1 değişkenini ayarlamanız gerekir. Lineer cebir problemleriyle çalışmaya yönelik fonksiyonlar, “Fonksiyon Ekle” iletişim kutusunun “Vektörler ve Matrisler” bölümünde toplanmıştır (“Standart” panelindeki düğmeyle çağrıldığını hatırlatırız). Bu işlevlerin ana hatları daha sonra açıklanacaktır. aktarma Benzer bilgiler.
.
.Soru 2.
.
(1.1) + 
= 
Nerede (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., p)(1.4)
(1.5)
O= 
(1.7)
(1.9)
Açılan iletişim kutusunda matrisin satır ve sütun sayısını ayarlayın.
Şekil 2 Matris aktarımı
MathCAD'de matrisleri hem toplayabilir hem de birbirinden çıkarabilirsiniz. Bu operatörler sembolleri kullanır <+>
veya <->
sırasıyla. Matrislerin aynı boyuta sahip olması gerekir, aksi takdirde bir hata mesajı oluşturulur. İki matrisin toplamının her bir elemanı, matris terimlerinin karşılık gelen elemanlarının toplamına eşittir (Şekil 3'teki örnek).
Matris eklemeye ek olarak MathCAD, skaler değere sahip bir matrisin eklenmesini de destekler; numarası (Şekil 4'teki örnek). Ortaya çıkan matrisin her bir elemanı, orijinal matrisin karşılık gelen elemanının ve bir skaler değerin toplamına eşittir.
Çarpma sembolünü girmek için yıldız tuşuna basmanız gerekir<*>veya araç çubuğunu kullanın Matris (Matris),üzerindeki düğmeye basmak Nokta Çarpımı (Çarpma)(Şekil 1). Matris çarpımı, Şekil 6'daki örnekte gösterildiği gibi varsayılan olarak bir nokta ile gösterilir. Matris çarpımı sembolü, skaler ifadelerde olduğu gibi seçilebilir.
Bir vektörün bir satır matrisiyle ve tersine bir satırın bir vektörle çarpılmasına ilişkin başka bir örnek, Şekil 2'de gösterilmektedir. 7. Bu örneğin ikinci satırı, çarpma operatörünü görüntülemeyi seçtiğinizde formülün nasıl görüneceğini gösterir. Boşluk Yok (Birlikte). Ancak aynı çarpma operatörü iki vektör üzerinde farklı davranır. .
