İşlev y=f(x) isminde sonsuz küçük en x→a ya da ne zaman X→∞ eğer veya ise, yani Sonsuz küçük bir fonksiyon, belirli bir noktadaki limiti sıfır olan bir fonksiyondur.

Örnekler.

1. İşlev f(x)=(X-1) 2 sonsuz küçüktür X→1, beri (bkz. Şek.).

2. İşlev f(x)=tg X sonsuz derecede küçüktür X→0.

3. f(x)= günlük(1+ X) sonsuz derecede küçüktür X→0.

4. f(x) = 1/X sonsuz derecede küçüktür X→∞.

Aşağıdaki önemli ilişkiyi kuralım:

Teorem. Eğer fonksiyon y=f(x) temsil edilebilir x→a sabit bir sayının toplamı olarak B ve sonsuz derecede küçük α(x): f(x)=b+ α(x) O .

Tam tersine, eğer öyleyse f(x)=b+α(x), Nerede a(x) sonsuz derecede küçüktür x→a.

Kanıt.

1. İddianın ilk kısmını kanıtlayalım. Eşitlikten f(x)=b+α(x) meli |f(x) – b|=| α|. Ama o zamandan beri a(x) sonsuz küçükse, o zaman keyfi ε için noktanın bir komşusu olan δ vardır A, hepsi için X buradan, değerler a(x) ilişkiyi tatmin etmek |α(x)|< ε. Daha sonra |f(x) – b|< ε. Bu da şu anlama geliyor.

2. Eğer ise herhangi bir ε için >0 hepsi için X bazı δ noktanın bir mahallesidir A irade |f(x) – b|< ε. Ama eğer belirtirsek f(x) – b= α, O |α(x)|< ε, bunun anlamı şudur A- sonsuz derecede küçük.

Sonsuz küçük fonksiyonların temel özelliklerini ele alalım.

Teorem 1.İki, üç ve genel olarak herhangi bir sonlu sayıda sonsuz küçük sayının cebirsel toplamı sonsuz küçük bir fonksiyondur.

Kanıt. İki terim için bir kanıt verelim. İzin vermek f(x)=α(x)+β(x), Nerede ve . Keyfi olarak küçük ε için bunu kanıtlamamız gerekiyor. > 0 orada δ> 0, öyle ki X eşitsizliği tatmin etmek |x – a|<δ gerçekleştirilen |f(x)|< ε.

Böylece keyfi bir ε sayısını sabitliyoruz > 0. Teoremin hipotezine göre, a(x) sonsuz küçük bir fonksiyonsa δ 1 vardır > 0, hangisi |x – a|< δ 1 elimizde |α(x)|< ε / 2. Aynı şekilde, beri β(x) sonsuz küçükse, böyle bir δ 2 vardır > 0, hangisi |x – a|< δ 2 elimizde | β(x)|< ε / 2.

Hadi alalım δ=dak(δ1 , δ2 } .Sonra noktanın bir mahallesinde A yarıçap δ eşitsizliklerin her biri karşılanacak |α(x)|< ε / 2 ve | β(x)|< ε / 2. Bu nedenle bu mahallede

|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)|< ε /2 + ε /2= ε,

onlar. |f(x)|< ε, kanıtlanması gerekiyordu.

Teorem 2. Sonsuz küçük bir fonksiyonun çarpımı a(x) sınırlı işlev için f(x) en x→a(ya da ne zaman x→∞) sonsuz küçük bir fonksiyondur.

Kanıt. Fonksiyondan beri f(x) sınırlıdır, o zaman bir sayı vardır Möyle ki tüm değerler için X bu noktanın bir mahallesinden a|f(x)|≤M. Ayrıca, beri a(x) için sonsuz küçük bir fonksiyondur x→a, o zaman keyfi ε için > 0 noktasının bir komşuluğu var A eşitsizliğin olduğu |α(x)|< ε /M. Daha sonra bu mahallelerden daha küçük olanında | αf|< ε /M= ε. Ve bu şu anlama geliyor af- sonsuz derecede küçük. Dava için x→∞ ispat da benzer şekilde gerçekleştirilir.

Kanıtlanmış teoremden şu sonuç çıkar:

Sonuç 1. Eğer ve ise o zaman.

Sonuç 2. Eğer c= const, o zaman .

Teorem 3. Sonsuz küçük bir fonksiyonun oranı a(x) fonksiyon başına f(x) Limiti sıfır olmayan bir sonsuz küçük fonksiyondur.

Kanıt. İzin vermek . Sonra 1 /f(x) sınırlı bir işlevi vardır. Bu nedenle kesir, sonsuz küçük bir fonksiyonun ve sınırlı bir fonksiyonun ürünüdür; fonksiyon sonsuz küçüktür.

Sayısal bir fonksiyonun tanımı. İşlevleri ayarlama yolları.

D, R gerçel doğrusu üzerinde bir küme olsun. D'ye ait her x'e tek bir sayı atanırsa, f fonksiyonunun verildiğini söyleriz.

İşlevleri ayarlama yolları:

1) tablo şeklinde - sonlu bir kümede tanımlanan işlevler için.

2) analitik

3) grafik

2 ve 3 - sonsuz bir kümede tanımlanan işlevler için.

Ters fonksiyon kavramı.

Eğer y=f(x) fonksiyonu, x argümanının farklı değerleri fonksiyonun farklı değerlerine karşılık gelecek şekilde ise, o zaman x değişkeni, y değişkeninin bir fonksiyonu olarak ifade edilebilir: x=g(y ). g fonksiyonuna f'nin tersi denir ve f^(-1) ile gösterilir.

Karmaşık fonksiyon kavramı.

Karmaşık bir fonksiyon, argümanı başka herhangi bir fonksiyon olan bir fonksiyondur.

f(x) ve g(x) fonksiyonları verilsin. Bunlardan iki karmaşık fonksiyon yapalım. f fonksiyonunun dışsal (temel) ve g fonksiyonunun içsel olduğunu düşünürsek, u(x)=f(g(x)) karmaşık bir fonksiyonunu elde ederiz.

Bir dizinin limitinin belirlenmesi.

Herhangi bir pozitif sayı için, sonuncunun tüm terimleri a'dan in modulo'da ε'dan küçük olan (yani ε'ya düşen) bir sayı olan bir n0 sayısı varsa, a sayısına dizinin limiti (xn) adı verilir. -a noktasının komşuluğu):

Yakınsak dizilerin limitlerini hesaplama kuralları.

1. Herhangi bir yakınsak dizinin yalnızca bir limiti vardır. 2. Eğer (xn) dizisinin tüm elemanları C'ye eşitse (sabit), bu durumda (xn) dizisinin limiti de C'ye eşittir. 3. ; 4. ; 5. .

Sınırlı bir dizinin tanımı.

X=(xn) sayı kümesi sınırlıysa (xn) dizisine sınırlı denir: .

Sonsuz küçük bir dizinin tanımı.

Herhangi bir (keyfi olarak küçük) >0 için öyle bir n 0 sayısı varsa, (x n) dizisine sonsuz küçük denir ve herhangi bir n>n 0 için |x n | eşitsizliği sağlanır.< .

Sonsuz büyük bir dizinin tanımı.

Herhangi bir (keyfi olarak büyük) A>0 sayısı için, herhangi bir n>n 0 sayısı için |x n |> A eşitsizliğinin karşılandığı bir n 0 sayısı varsa bu diziye sonsuz büyük denir.

Monotonik dizilerin tanımı.

Monoton diziler: 1) x n ise artıyor tüm n'ler için x n +1, 4) eğer x n x n +1 ise tüm n'ler için artmayan.

Bir fonksiyonun bir noktadaki limitinin belirlenmesi.

F-ii y \u003d f (x)'in x 0 noktasındaki (veya x x 0'daki) sınırı, argümanın son (x n) değerleri için x 0'a yakınsa, a sayısıdır ( tümü x n x 0), f-ii değerlerinin dizisi (f(x n)) a sınırına yakınsar.

Sonsuz küçük fonksiyonun tanımı.

işlev f(x) eğer x→A için sonsuz küçük olarak adlandırılır.

Sonsuz büyük fonksiyonun tanımı.

işlev f(x) eğer x→A'da sonsuz büyük olarak adlandırılır.

Sonsuz küçükler ve büyükler hesabı

Sonsuz küçük hesap- Türetilen sonucun sonsuz küçük değerlerin sonsuz toplamı olarak kabul edildiği, sonsuz küçük değerlerle yapılan hesaplamalar. Sonsuz küçükler hesabı, modern yüksek matematiğin temelini oluşturan diferansiyel ve integral hesabı için genel bir kavramdır. Sonsuz küçük miktar kavramı, limit kavramıyla yakından ilgilidir.

Sonsuz küçük

Alt sıra A N isminde sonsuz küçük, Eğer . Örneğin bir sayı dizisi sonsuz derecede küçüktür.

Fonksiyon çağrılır bir noktanın komşuluğunda sonsuz küçük X 0 ise .

Fonksiyon çağrılır sonsuzda sonsuz küçük, Eğer veya .

Ayrıca sonsuz küçük, bir fonksiyon ile limiti arasındaki fark olan bir fonksiyondur, yani eğer , O F(X) − A = α( X) , .

sonsuz büyüklükte

Aşağıdaki formüllerin tamamında eşitliğin sağındaki sonsuzluk belirli bir işareti ("artı" veya "eksi") ifade eder. Yani, örneğin, fonksiyon X günah X Her iki tarafı da sınırsız olan , için sonsuz büyük değildir.

Alt sıra A N isminde sonsuz büyüklükte, Eğer .

Fonksiyon çağrılır bir noktanın mahallesinde sonsuz derecede büyük X 0 ise .

Fonksiyon çağrılır sonsuzda sonsuz büyük, Eğer veya .

Sonsuz küçüklerin ve sonsuz küçüklerin özellikleri

Sonsuz küçüklerin karşılaştırılması

Sonsuz küçük miktarlar nasıl karşılaştırılır?
Sonsuz küçük miktarların oranı sözde belirsizliği oluşturur.

Tanımlar

Aynı α( değeri için sonsuz küçüklüğe sahip olduğumuzu varsayalım. X) ve β( X) (veya tanım açısından önemli olmayan sonsuz küçük diziler).

Bu limitleri hesaplamak için L'Hospital kuralını kullanmak uygundur.

Karşılaştırma örnekleri

Eşdeğer miktarlar

Tanım

Eğer ise sonsuz küçük miktarlara α ve β denir eş değer ().
Açıkçası, eşdeğer miktarlar aynı küçüklük derecesine sahip sonsuz küçük miktarların özel bir durumudur.

için, aşağıdaki denklik ilişkileri geçerlidir (dikkate değer sınırların bir sonucu olarak):

Teorem

Bu teorem limitlerin bulunmasında pratik öneme sahiptir (örneğe bakınız).

Kullanım örneği

Tarihsel taslak

"Sonsuz küçük" kavramı eski çağlarda bölünemeyen atom kavramıyla bağlantılı olarak tartışılmış ancak klasik matematiğe girmemiştir. Yine, 16. yüzyılda "bölünemezler yöntemi"nin (incelenen figürün sonsuz küçük bölümlere bölünmesi) ortaya çıkışıyla yeniden canlandırıldı.

Sonsuz küçükler hesabının cebirselleştirilmesi 17. yüzyılda gerçekleşti. Herhangi bir sonlu (sıfır olmayan) değerden küçük olan ancak yine de sıfıra eşit olmayan sayısal değerler olarak tanımlanmaya başlandı. Analiz sanatı sonsuz küçükleri (diferansiyelleri) içeren bir ilişki kurmak ve sonra onu entegre etmekten ibaretti.

Eski tarz matematikçiler bu kavramı konu edindiler sonsuz küçük Sert eleştiri. Michel Rolle yeni hesabın " bir takım parlak hatalar»; Voltaire, bu hesabın, varlığı kanıtlanamayan şeyleri hesaplama ve doğru şekilde ölçme sanatı olduğuna öfkeyle işaret etti. Huygens bile üst düzey diferansiyellerin anlamını anlamadığını itiraf etti.

Kaderin bir ironisi olarak, orijinal bakış açısının - gerçek sonsuz küçüklerin - aynı zamanda tutarlı olduğunu ve analizin temeli olarak alınabileceğini kanıtlayan standart dışı analizin yüzyılın ortasında ortaya çıkması düşünülebilir.

Ayrıca bakınız

Wikimedia Vakfı. 2010.

Diğer sözlüklerde "Sonsuz" kelimesinin ne olduğunu görün:

SONSUZ KÜÇÜK- bazı süreçteki bir değişken, eğer bu süreçte sonsuz olarak sıfıra yaklaşıyorsa (eğiliyorsa) ... Büyük Politeknik Ansiklopedisi

sonsuz küçük- ■ Bilinmeyen ama homeopatiyle ilgili bir şey... Ortak Gerçekler Sözlüğü

Def.: Fonksiyon çağrılır sonsuz küçük eğer .

" " gösteriminde şunu varsayacağız: x0 nihai değer olarak alabiliriz: x0= İnşaat ve sonsuz: x0= ∞.

Sonsuz küçük fonksiyonların özellikleri:

1) Sonlu sayıda sonsuz küçük for fonksiyonun cebirsel toplamı sonsuz küçük bir fonksiyondur.

2) Sonlu sayıda sonsuz küçük fonksiyonların çarpımı sonsuz küçük bir fonksiyondur.

3) Sınırlı bir fonksiyon ile sonsuz küçük bir fonksiyonun çarpımı sonsuz küçük bir fonksiyondur.

4) Bir fonksiyondaki sonsuz küçük bir sayının, limiti sıfır olmayan bir fonksiyona bölünme bölümü, bir fonksiyondaki sonsuz küçük bir sayıdır.

Örnek: İşlev sen = 2 + X'da sonsuz küçüktür, çünkü .

Def.: Fonksiyon çağrılır sonsuz büyüklükte eğer .

Sonsuz büyük fonksiyonların özellikleri:

1) Fonksiyonlar için sonsuz büyüklerin toplamı, bir fonksiyon için sonsuz büyüktür.

2) Bir fonksiyon için sonsuz büyük bir değer ile limiti sıfır olmayan bir fonksiyonun çarpımı, bir fonksiyon için sonsuz büyük bir değerdir.

3) Sonsuz büyük bir fonksiyon ile sınırlı bir fonksiyonun toplamı sonsuz büyük bir fonksiyondur.

4) Bir fonksiyon için sonsuz büyüklükteki bir sayıyı, sonlu limiti olan bir fonksiyona bölme bölümü, bir fonksiyon için sonsuz büyüklüktedir.

Örnek: İşlev sen= için sonsuz büyüktür, çünkü .

Teorem.Sonsuz küçük ve sonsuz büyük miktarlar arasındaki ilişki. Bir fonksiyon noktasında sonsuz küçükse, o zaman fonksiyon noktasında sonsuz büyüktür. Tersine, eğer bir fonksiyon noktasında sonsuz büyükse, o zaman fonksiyon noktasında sonsuz küçüktür.

İki sonsuz küçükün oranı genellikle sembolüyle, iki sonsuz büyüğün oranı ise sembolüyle gösterilir. Her iki ilişki de, belirsiz ifadelerde yer alan belirli fonksiyonların türüne bağlı olarak, limitlerinin var olabileceği veya olamayacağı, belirli bir sayıya eşit olabileceği veya sonsuz olabileceği anlamında belirsizdir.

Biçimin belirsizlerine ve belirsizlere ek olarak aşağıdaki ifadeler de vardır:

Aynı işaretin sonsuz büyük olanlarının farkı;

Sonsuz küçük bir sayının sonsuz büyük bir sayı ile çarpımı;

Tabanı 1'e ve göstergesi -'ye eğilimli olan bir üstel güç fonksiyonu;

Tabanı sonsuz küçük ve üssü sonsuz büyük olan bir üstel kuvvet fonksiyonu;

Tabanı ve üssü sonsuz küçük olan üstel bir fonksiyon;

Tabanı sonsuz büyük ve üssü sonsuz küçük olan üstel bir fonksiyon.

Buna karşılık gelen türden bir belirsizliğin olduğu söyleniyor. Bu durumlarda limitin hesaplanması çağrılır. belirsizliğin açıklanması. Belirsizliği ortaya çıkarmak için limit işaretinin altındaki ifade belirsizlik içermeyen bir forma dönüştürülür.

Limitleri hesaplarken limitlerin özelliklerinin yanı sıra sonsuz küçük ve sonsuz büyük fonksiyonların özellikleri de kullanılır.

Çeşitli limitlerin hesaplama örneklerini düşünün.

1) . 2) .

4) , Çünkü sonsuz küçük bir fonksiyonun sınırlı bir fonksiyona göre çarpımı sonsuz küçüktür.

5) . 6) .

7) = =

. Bu durumda, polinomların çarpanlara ayrılması ve ortak bir çarpanla azaltılmasıyla çözülen tipte bir belirsizlik vardı.

= .

Bu durumda, türde bir belirsizlik vardı ve bu, formül kullanılarak pay ve paydanın ifadeyle çarpılması ve ardından kesirin (+1) azaltılmasıyla çözüldü.

9)
. Bu örnekte türün belirsizliği, kesrin pay ve paydasının terim terim en yüksek dereceye bölünmesiyle ortaya çıkmıştır.

Dikkate Değer Sınırlar

İlk harika sınır : .

Kanıt. Bir birim çember düşünün (Şekil 3).

Şek. 3. birim çember

İzin vermek X merkez açının radyan ölçüsüdür MOA(), Daha sonra OA = R= 1, MK= günah X, AT=tg X. Üçgenlerin alanlarının karşılaştırılması OMA, OTA ve sektörler OMA, şunu elde ederiz:

,

.

Son eşitsizliği günaha böl X, şunu elde ederiz:

.

Çünkü için, o zaman limitlerin 5) özelliğine göre

Nereden ve at'nin tersi kanıtlanacaktı.

Yorum: Eğer fonksiyon 'da sonsuz küçükse, yani. , o zaman ilk dikkate değer limit şu şekildedir:

.

İlk dikkate değer limiti kullanarak limit hesaplama örneklerini düşünün.

Bu limit hesaplanırken trigonometrik formül kullanıldı: .

.

İkinci dikkat çekici limiti kullanarak limit hesaplama örneklerini düşünün.

2) .

3) . Tip belirsizliği var. O zaman bir değişiklik yapalım; .

Bir noktada sonsuz küçük ve sonsuz büyük fonksiyonların tanımları ve özellikleri. Özelliklerin kanıtları ve teoremler. Sonsuz küçük ve sonsuz büyük fonksiyonlar arasındaki ilişki.

Ayrıca bakınız: Sonsuz küçük diziler - tanımı ve özellikleri
Sonsuz büyük dizilerin özellikleri

Sonsuz küçük ve sonsuz büyük fonksiyonun tanımı

x olsun 0 sonludur veya sonsuz noktadadır: ∞ , -∞ veya +∞ .

Sonsuz küçük bir fonksiyonun tanımı
Fonksiyon α (X) isminde sonsuz küçük x, x'e eğilimli olduğundan 0 0 ve sıfıra eşittir:
.

Sonsuz fonksiyonun tanımı
fonksiyon f (X) isminde sonsuz büyüklükte x, x'e eğilimli olduğundan 0 , eğer fonksiyonun x → x şeklinde bir limiti varsa 0 ve sonsuza eşittir:
.

Sonsuz küçük fonksiyonların özellikleri

Sonsuz küçük fonksiyonların toplamı, farkı ve çarpımının özelliği

Toplam, fark ve ürün x → x gibi sonlu sayıda sonsuz küçük fonksiyon 0 x → x olarak sonsuz küçük bir fonksiyondur 0 .

Bu özellik, bir fonksiyonun limitlerinin aritmetik özelliklerinin doğrudan bir sonucudur.

Sınırlı bir fonksiyonun sonsuz küçük bir değerle çarpımı üzerine teorem

Sınırlı bir fonksiyonun çarpımı x noktasının delinmiş bazı mahallelerinde 0 , sonsuz küçüklüğe kadar, x → x olarak 0 , x → x şeklinde sonsuz küçük bir fonksiyondur 0 .

Bir fonksiyonu bir sabit ve sonsuz küçük bir fonksiyonun toplamı olarak temsil etme özelliği

f fonksiyonunu gerçekleştirmek için (X) sonlu bir sınırı vardır, gerekli ve yeterlidir
,
x → x şeklinde sonsuz küçük bir fonksiyon nerede 0 .

Sonsuz büyük fonksiyonların özellikleri

Sınırlı bir fonksiyon ile sonsuz büyük bir fonksiyonun toplamına ilişkin teorem

x noktasının bazı delinmiş komşuluklarındaki sınırlı bir fonksiyonun toplamı veya farkı 0 ve x → x gibi sonsuz büyük bir fonksiyon 0 , x → x şeklinde sonsuz bir fonksiyondur 0 .

Sonsuz büyük bir fonksiyonla sınırlı bir fonksiyon için bölüm teoremi

Eğer f fonksiyonu (X) x → x kadar sonsuzdur 0 ve g fonksiyonu (X)- x noktasının delinmiş bir mahallesinde sınırlı 0 , O
.

Aşağıda sonsuz küçük bir değerle sınırlanan bir fonksiyonun bölünme bölümü üzerine teorem

Eğer fonksiyon, noktanın delinmiş bir komşuluğunda, aşağıdan mutlak değerde pozitif bir sayı ile sınırlanmışsa:
,
ve fonksiyon x → x olarak sonsuz küçüktür 0 :
,
ve bu noktanın delikli bir komşuluğu var, o zaman
.

Sonsuz büyük fonksiyonların eşitsizliklerinin özelliği

Eğer fonksiyon sonsuz büyükse:
,
ve fonksiyonları ve , noktanın bazı delinmiş komşuluklarında eşitsizliği karşılar:
,
o zaman fonksiyon şunun için de sonsuz büyüktür:
.

Bu özelliğin iki özel durumu vardır.

Noktanın bazı delinmiş komşuluklarında fonksiyonlar ve eşitsizliği sağlayalım:
.
Sonra eğer , o zaman ve .
Eğer , o zaman ve .

Sonsuz büyük ve sonsuz küçük fonksiyonlar arasındaki ilişki

Sonsuz büyük ve sonsuz küçük fonksiyonlar arasındaki bağlantı önceki iki özellikten kaynaklanmaktadır.

Bir fonksiyon noktasında sonsuz büyükse, o zaman fonksiyon noktasında sonsuz küçüktür.

Eğer fonksiyon ve için sonsuz küçükse, o zaman fonksiyon için sonsuz büyüktür.

Sonsuz küçük ve sonsuz büyük bir fonksiyon arasındaki ilişki sembolik olarak ifade edilebilir:
, .

Eğer sonsuz küçük bir fonksiyon, noktasında belirli bir işarete sahipse, yani noktanın bazı delinmiş komşuluklarında pozitif (veya negatif) ise, o zaman aşağıdaki gibi yazılabilir:
.
Aynı şekilde, eğer sonsuz büyük bir fonksiyonun belirli bir işareti varsa, o zaman şunu yazarlar:
, veya .

O halde sonsuz küçük ve sonsuz büyük fonksiyonlar arasındaki sembolik bağlantı aşağıdaki ilişkilerle desteklenebilir:
, ,
, .

Sonsuzluk sembolleriyle ilgili ek formülleri sayfada bulabilirsiniz
"Sonsuzluğun noktaları ve özellikleri".

Özelliklerin ve teoremlerin kanıtı

Sınırlı bir fonksiyonun sonsuz küçük bir fonksiyonla çarpımı üzerine teoremin kanıtı

Bu teoremi kanıtlamak için kullanacağız. Ayrıca sonsuz küçük diziler özelliğini de kullanıyoruz; buna göre

Fonksiyon 'da sonsuz küçük olsun ve fonksiyon noktanın delinmiş bir komşuluğunda sınırlansın:
.

Bir limit olduğu için fonksiyonun tanımlandığı noktanın delinmiş bir komşuluğu vardır. Mahallelerin kesişimi olsun ve . Daha sonra fonksiyonlar ve üzerinde tanımlanır.

.
,
bir dizi sonsuz küçüktür:
.

Sınırlı bir dizinin sonsuz küçük bir diziyle çarpımının sonsuz küçük bir dizi olduğu gerçeğini kullanıyoruz:
.
.

Teorem kanıtlandı.

Bir fonksiyonun bir sabit ve sonsuz küçük bir fonksiyonun toplamı olarak temsiline ilişkin bir özelliğin kanıtı

gereklilik. Fonksiyonun bir noktada sonlu bir limiti olsun
.
Bir fonksiyon düşünün:
.
Fonksiyonların farkının limiti özelliğini kullanarak şunu elde ederiz:
.
Yani için sonsuz küçük bir fonksiyon vardır.

Yeterlilik. Let ve . Fonksiyonların toplamının limit özelliğini uygulayalım:
.

Özelliği kanıtlanmıştır.

Sınırlı bir fonksiyon ile sonsuz büyük bir fonksiyonun toplamına ilişkin teoremin kanıtı

Teoremi kanıtlamak için bir fonksiyonun limitinin Heine tanımını kullanacağız.

.

Bir limit olduğu için fonksiyonun tanımlandığı noktanın delinmiş bir komşuluğu vardır. Mahallelerin kesişimi olsun ve . Daha sonra fonksiyonlar ve üzerinde tanımlanır.

Elemanları mahalleye ait olan, 'ye yakınsayan keyfi bir dizi olsun:
.
Daha sonra diziler ve tanımlanır. Ve sıra sınırlıdır:
,
bir dizi sonsuzdur:
.

Sınırlı bir dizi ile sonsuz büyük bir sayının toplamı veya farkı nedeniyle
.
Daha sonra Heine dizisinin limit tanımına göre,
.

Teorem kanıtlandı.

Sonsuz büyük bir fonksiyonla sınırlı bir fonksiyon için bölüm teoreminin kanıtı

Kanıt olarak Heine'nin bir fonksiyonun limit tanımını kullanacağız. Ayrıca sonsuz küçük dizi anlamına gelen sonsuz büyük dizi özelliğini de kullanıyoruz.

Fonksiyonun noktasında sonsuz büyük olmasına ve fonksiyonun noktanın delinmiş bir komşuluğuyla sınırlı olmasına izin verin:
.

Fonksiyon sonsuz büyük olduğundan, tanımlandığı noktanın delinmiş bir komşuluğu vardır ve kaybolmaz:
.
Mahallelerin kesişimi olsun ve . Daha sonra fonksiyonlar ve üzerinde tanımlanır.

Elemanları mahalleye ait olan, 'ye yakınsayan keyfi bir dizi olsun:
.
Daha sonra diziler ve tanımlanır. Ve sıra sınırlıdır:
,
sıfır olmayan terimlerle sonsuz büyüklükte bir dizi:
, .

Sınırlı bir diziyi sonsuz büyük bir diziye bölme bölümü sonsuz küçük bir dizi olduğundan, o zaman
.
Daha sonra Heine dizisinin limit tanımına göre,
.

Teorem kanıtlandı.

Aşağıda sonsuz küçük bir fonksiyonla sınırlanan bir fonksiyonun bölünme bölümüne ilişkin teoremin kanıtı

Bu özelliği kanıtlamak için Heine'nin bir fonksiyonun limiti tanımını kullanacağız. Ayrıca sonsuz büyük diziler özelliğini de kullanıyoruz, buna göre sonsuz büyük diziler var.

Fonksiyonun noktasında sonsuz küçük olmasına ve fonksiyonun, noktanın delinmiş bir komşuluğunda, aşağıdan pozitif bir sayı ile mutlak değerde sınırlanmasına izin verin:
.

Varsayıma göre, fonksiyonun tanımlandığı ve kaybolmadığı noktanın delinmiş bir komşuluğu vardır:
.
Mahallelerin kesişimi olsun ve . Daha sonra fonksiyonlar ve üzerinde tanımlanır. Ve ve.

Elemanları mahalleye ait olan, 'ye yakınsayan keyfi bir dizi olsun:
.
Daha sonra diziler ve tanımlanır. Ayrıca dizi aşağıdan sınırlanmıştır:
,
ve sıfır olmayan terimlerle dizi sonsuz küçüktür:
, .

Aşağıda sınırlanan bir diziyi sonsuz küçük bir diziye bölme bölümü sonsuz büyük bir dizi olduğundan, o zaman
.
Ve üzerinde bulunduğu noktanın delinmiş bir mahallesi olsun
.

'ye yakınsayan rastgele bir dizi alın. Daha sonra, bir N sayısından başlayarak dizinin elemanları bu mahalleye ait olacaktır:
.
Daha sonra
.

Heine'nin bir fonksiyonun limiti tanımına göre,
.
O halde sonsuz büyük dizilerin eşitsizliklerinin özelliğinden dolayı,
.
Dizi keyfi olduğundan, Heine'ye göre bir fonksiyonun limitinin tanımına göre, 'ye yakınsar,
.

Özelliği kanıtlanmıştır.

Referanslar:
L.D. Kudryavtsev. Matematiksel analiz dersi. Cilt 1. Moskova, 2003.