Çaydanlıklar için sıralar. Çözüm örnekleri

Tüm hayatta kalanlar ikinci yıla hoş geldiniz! Bu derste, daha doğrusu bir dizi derste satırları nasıl yöneteceğimizi öğreneceğiz. Konu çok zor değil ama bu konuda uzmanlaşmak için ilk dersten itibaren bilgiye ihtiyacınız olacak, özellikle anlamanız gerekiyor sınır nedir ve en basit limitleri bulabiliriz. Ancak sorun değil, açıklamalar sırasında gerekli derslere uygun bağlantıları vereceğim. Bazı okuyucular için matematiksel seriler konusu, çözme yöntemleri, işaretler, teoremler tuhaf ve hatta iddialı, saçma görünebilir. Bu durumda çok fazla "yüklemenize" gerek yok, gerçekleri olduğu gibi kabul ediyoruz ve sadece tipik, yaygın görevleri nasıl çözeceğimizi öğreniyoruz.

1) Çaydanlıklar için sıralar ve semaverler için hemen içerik :)

Bir konu üzerinde ultra hızlı hazırlık için pdf formatında hızlı bir kurs var ve bunun yardımıyla uygulamayı sadece bir günde "yükseltmenin" gerçekten mümkün olduğu.

Sayı serisi kavramı

Genel olarak sayı serisişu şekilde yazılabilir:
Burada:
- toplamın matematiksel simgesi;
– serinin ortak terimi(bu basit terimi hatırlayın);
- değişken - "sayaç". Kayıt, toplamanın 1'den "artı sonsuza" kadar gerçekleştirildiği anlamına gelir, yani önce elimizde, sonra, sonra vb. - sonsuza kadar. Bazen değişken yerine bir değişken veya kullanılır. Toplamanın mutlaka birden başlaması gerekmez; bazı durumlarda sıfırdan, ikiden veya herhangi birinden başlayabilir. doğal sayı.

“Sayaç” değişkenine göre herhangi bir seri ayrıntılı olarak boyanabilir:
- ve bu böyle sonsuza kadar devam eder.

Şartlar - Bu NUMARALAR, adı verilen üyeler sıra. Eğer hepsi negatif değilse (sıfırdan büyük veya sıfıra eşit), o zaman böyle bir dizi denir pozitif sayı doğrusu.

örnek 1

Bu arada, bu zaten bir "dövüş" görevidir - pratikte çoğu zaman serinin birkaç üyesinin kaydedilmesi gerekir.

Önce, sonra:
Sonra:
Sonra:

İşlem süresiz olarak devam ettirilebilir ancak duruma göre serinin ilk üç teriminin yazılması gerekiyordu, bu yüzden cevabı yazıyoruz:

arasındaki temel farka dikkat edin. sayı dizisi,
burada terimler toplanmaz, ancak bu şekilde ele alınır.

Örnek 2

Serinin ilk üç terimini yazınız

Bu kendi kendine çözmeye bir örnektir, cevabı dersin sonundadır.

Görünüşte karmaşık bir dizi için bile onu genişletilmiş biçimde tanımlamak zor değil:

Örnek 3

Serinin ilk üç terimini yazınız

Aslında görev sözlü olarak gerçekleştirilir: serinin ortak teriminde zihinsel olarak ikameönce , sonra ve . Sonunda:

Cevabı böyle bırak serinin elde edilen terimlerini basitleştirmemek daha iyidir, yani uyumlu değil hareketler: , , . Neden? Formda cevap verin öğretmenin kontrol etmesi çok daha kolay ve rahattır.

Bazen bunun tersi de olabiliyor

Örnek 4

Burada net bir çözüm algoritması yok. sadece deseni görmelisin.
Bu durumda:

Doğrulama için, ortaya çıkan seri genişletilmiş biçimde "geri boyanabilir".

Ancak bağımsız bir çözüm için örnek biraz daha zordur:

Örnek 5

Toplamı, serinin ortak terimiyle daraltılmış biçimde yazın

Seriyi genişletilmiş biçimde yazarak tekrar kontrol edin

Sayı serilerinin yakınsaklığı

Konunun temel amaçlarından biri bir serinin yakınsaklık açısından incelenmesi. Bu durumda iki durum mümkündür:

1) Sırauzaklaşıyor. Bu, sonsuz bir toplamın sonsuza eşit olduğu anlamına gelir: ya genel olarak toplamlar bulunmuyorörneğin dizide olduğu gibi
(bu arada, burada negatif terimler içeren bir dizi örneği var). Dersin başında ıraksak sayı serilerine güzel bir örnekle karşılaştık: . Burada serinin her bir sonraki teriminin bir öncekinden daha büyük olduğu oldukça açıktır, bu nedenle ve dolayısıyla seri ıraksaktır. Daha da önemsiz bir örnek: .

2) Sırayakınsar. Bu, sonsuz bir toplamın bazılarına eşit olduğu anlamına gelir son sayı: . Lütfen: Bu seri yakınsaktır ve toplamı sıfırdır. Daha anlamlı bir örnek ise sonsuz azalan Okuldan beri bildiğimiz geometrik ilerleme: . Sonsuz azalan bir geometrik ilerlemenin üyelerinin toplamı şu formülle hesaplanır: ilerlemenin ilk üyesi nerede ve onun tabanıdır ve kural olarak şu şekilde yazılır: doğru kesirler. Bu durumda: , . Böylece: Sonlu bir sayı elde edilir, bu da kanıtlanması gereken serinin yakınsak olduğu anlamına gelir.

Ancak vakaların büyük çoğunluğunda serinin toplamını bulun o kadar basit değil ve bu nedenle pratikte serilerin yakınsamasını incelemek için teorik olarak kanıtlanmış özel işaretler kullanılır.

Bir serinin yakınsadığına dair çeşitli işaretler vardır: Bir serinin yakınsaması için gerekli kriter, karşılaştırma kriterleri, d'Alembert kriteri, Cauchy kriterleri, Leibniz'in işareti ve diğer bazı işaretler. Hangi işaret ne zaman uygulanmalı? Mecazi anlamda konuşursak, serinin ortak terimine - serinin "doldurulmasına" bağlıdır. Ve çok yakında her şeyi raflara koyacağız.

! Daha fazla bilgi edinmek için ihtiyacınız olan iyi anla, sınır nedir ve formun belirsizliğini ortaya koyabilmek iyidir. Materyalin tekrarı veya incelenmesi için makaleye bakın. Sınırlar. Çözüm örnekleri.

Bir serinin yakınsaması için gerekli bir kriter

Eğer seri yakınsarsa ortak terimi sıfıra yaklaşır: .

Genel durumda bunun tersi doğru değildir, yani eğer öyleyse, o zaman seri hem yakınsak hem de ıraksak olabilir. Ve bu işaret haklı çıkarmak için kullanılır uyuşmazlık sıra:

Serinin ortak terimi ise sıfıra gitmiyor o zaman seri ıraksar

Veya kısacası: eğer öyleyse seri ıraksar. Özellikle limitin hiç mevcut olmadığı bir durum mümkündür, örneğin: sınır. Burada bir serinin farklılığını hemen kanıtladılar :)

Ancak çok daha sık olarak ıraksak serilerin limiti sonsuza eşittir ve "x" yerine "dinamik" bir değişken gibi davranır. Bilgimizi tazeleyelim: "x" içeren limitlere fonksiyonların limitleri, "en" değişkenli limitlere ise sayısal dizilerin limitleri denir. Açık fark, "en" değişkeninin ayrık (süreksiz) doğal değerleri almasıdır: 1, 2, 3, vb. Ancak bu gerçeğin, limitleri çözme yöntemleri ve belirsizlikleri açıklama yöntemleri üzerinde çok az etkisi vardır.

İlk örnekteki serinin ıraksak olduğunu kanıtlayalım.
Serinin ortak üyesi:

Çözüm: sıra uzaklaşıyor

Gerekli özellik genellikle gerçek pratik görevlerde kullanılır:

Örnek 6

Pay ve paydada polinomlarımız var. Makaledeki belirsizliğin ifşa edilme yöntemini dikkatle okuyup anlayan kişi Sınırlar. Çözüm örnekleri, bunu kesinlikle yakaladım pay ve paydanın en büyük kuvvetleri olduğunda eşit, o zaman limit son sayı .

Pay ve paydayı şuna bölün:

Çalışma Serisi uzaklaşıyorÇünkü serinin yakınsaması için gerekli kriter sağlanmamıştır.

Örnek 7

Seriyi yakınsaklık açısından inceleyin

Bu kendin yap örneğidir. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap

Yani bize HERHANGİ bir sayı dizisi verildiğinde, İlk önce(zihinsel olarak veya taslak üzerinde) kontrol ediyoruz: ortak terimi sıfıra yaklaşıyor mu? Eğer çabalamazsa 6, 7 numaralı örnek örneğini takip ederek bir çözüm çizeriz ve serinin ıraksak olduğu cevabını veririz.

Ne tür görünüşte farklı serileri ele aldık? Satırların benzer veya farklı olduğu hemen anlaşılır. 6, 7 numaralı örneklerden elde edilen seriler de birbirinden farklıdır: pay ve payda polinomlar içerdiğinde ve payın en yüksek derecesi paydanın en yüksek derecesinden büyük veya ona eşit olduğunda. Tüm bu durumlarda örnekleri çözerken ve tasarlarken serilerin yakınsaması için gerekli kriteri kullanırız.

İşaret neden çağrıldı? gerekli? En doğal şekilde anlayın: Serinin yakınlaşması için, gerekli böylece ortak terimi sıfıra yaklaşır. Ve her şey yoluna girecek, ama bu yeterli değil. Başka bir deyişle, Serinin ortak terimi sıfıra yaklaşıyorsa BU, serinin yakınsak olduğu anlamına gelmez- hem yakınlaşabilir hem de uzaklaşabilir!

Tanışmak:

Bu satıra denir harmonik serisi. Lütfen hatırla! Sayısal seriler arasında o bir baş balerindir. Daha doğrusu bir balerin =)

Bunu görmek kolaydır , ANCAK. Matematiksel analiz teorisinde kanıtlanmıştır ki harmonik seri ıraksar.

Genelleştirilmiş harmonik seri kavramını da hatırlamanız gerekir:

1) Bu satır uzaklaşıyor. Örneğin, seri ıraksaktır, , .
2) Bu satır yakınsar. Örneğin , , dizisi. Hemen hemen tüm pratik görevlerde, örneğin serinin toplamının ne olduğunun bizim için hiç önemli olmadığını bir kez daha vurguluyorum, yakınsaması gerçeği önemlidir.

Bunlar seri teorisinin zaten kanıtlanmış temel gerçekleridir ve bazı pratik örnekleri çözerken, örneğin serinin ıraksamasına veya serinin yakınsamasına güvenle başvurabilirsiniz.

Genel olarak, söz konusu materyal aşağıdakilere çok benzer: uygunsuz integrallerin incelenmesi ve bu konuyu inceleyenler bunu daha kolay bulacaktır. Peki, çalışmayanlar için iki kat daha kolay :)

Peki serinin ortak terimi sıfıra giderse ne yapmalıyız? Bu gibi durumlarda örnekleri çözmek için başkalarını kullanmanız gerekir, yeterli yakınsama/ayrılma işaretleri:

Pozitif sayı serileri için karşılaştırma kriterleri

dikkatinizi çekiyorum burada sadece pozitif sayısal serilerden bahsediyoruz (negatif olmayan üyelerle).

İki karşılaştırma işareti var, bunlardan birini basitçe arayacağım karşılaştırma işareti, bir diğer - karşılaştırmanın sınırlayıcı işareti.

İlk önce düşünün karşılaştırma işareti daha doğrusu ilk kısmı:

İki pozitif sayısal seriyi ve . Eğer biliniyorsa, bu satır yakınsar ve bir sayıdan başlayarak eşitsizlik korunur, ardından seri da birleşiyor.

Başka bir deyişle: Daha büyük terimlere sahip bir serinin yakınsaması, daha küçük terimlere sahip bir serinin yakınsaması anlamına gelir. Uygulamada, eşitsizlik genel olarak aşağıdaki değerlerin tümü için karşılanır:

Örnek 8

Seriyi yakınsaklık açısından inceleyin

İlk önce kontrol ediyoruz(zihinsel olarak veya taslakta) yürütme:
yani "az kanla kurtulmanın" mümkün olmadığı anlamına geliyor.

Genelleştirilmiş harmonik serilerin "paketine" bakıyoruz ve en yüksek dereceye odaklanarak benzer bir seri buluyoruz: Teorik olarak yakınsak olduğu biliniyor.

Tüm doğal sayılar için bariz eşitsizlik geçerlidir:

ve daha büyük paydalar daha küçük kesirlere karşılık gelir:
, yani karşılaştırma kriterine göre incelenen seriler yakınsar yanında ile birlikte.

Herhangi bir şüpheniz varsa, eşitsizlik her zaman ayrıntılı olarak boyanabilir! Birkaç "en" sayısı için oluşturulmuş eşitsizliği yazalım:
Eğer öyleyse
Eğer öyleyse
Eğer öyleyse
Eğer öyleyse
….
ve şimdi eşitsizliğin oldukça açık olduğu "en" tüm doğal sayılar için geçerlidir.

Karşılaştırma kriterini ve çözülmüş örneği resmi olmayan bir bakış açısıyla analiz edelim. Yine de seri neden yakınsıyor? İşte nedeni. Eğer seri yakınsaksa, o zaman bazı son miktar : . Ve serinin tüm üyelerinden beri az Serinin ilgili üyeleri varsa, serinin toplamının sayıdan daha büyük olamayacağı ve hatta sonsuza eşit olamayacağı güdüsü açıktır!

Benzer şekilde "benzer" serilerin yakınsaklığını kanıtlayabiliriz: , , vesaire.

! Not her durumda paydalarda “artılar” var. En az bir eksi varlığı, dikkate alınanın kullanımını ciddi şekilde karmaşıklaştırabilir. karşılaştırma özelliği. Örneğin, seri yakınsak bir seriyle aynı şekilde karşılaştırılırsa (ilk terimler için birkaç eşitsizliği yazın), bu durumda koşul hiçbir şekilde yerine getirilmeyecektir! Burada, örneğin başka bir yakınsak seriyi atlatabilir ve karşılaştırma için seçebilirsiniz, ancak bu, gereksiz çekincelere ve diğer gereksiz zorluklara yol açacaktır. Bu nedenle bir serinin yakınsaklığını kanıtlamak için kullanımı çok daha kolaydır. marjinal karşılaştırma kriteri(sonraki paragrafa bakın).

Örnek 9

Seriyi yakınsaklık açısından inceleyin

Bu örnekte, kendi başınıza düşünmenizi öneririm karşılaştırma özelliğinin ikinci kısmı:

Eğer biliniyorsa, bu satır uzaklaşıyor ve bir sayıdan başlayarak (genellikle ilk andan itibaren) eşitsizlik geçerliyse seri ayrıca ayrılıyor.

Başka bir deyişle: Daha küçük terimli serilerin ıraksaması, daha büyük terimli serilerin ıraksamasını ima eder.

Ne yapılmalı?
İncelenen serilerin ıraksak harmonik serilerle karşılaştırılması gerekmektedir. Daha iyi bir anlayış için bazı özel eşitsizlikler oluşturun ve eşitsizliğin doğru olduğundan emin olun.

Ders sonunda çözüm ve örnek tasarım.

Daha önce de belirtildiği gibi, pratikte az önce ele alınan karşılaştırma özelliği nadiren kullanılmaktadır. Sayı serisinin gerçek "beygiri" marjinal karşılaştırma kriteri ve kullanım sıklığı açısından yalnızca d'Alembert'in işareti.

Sayısal pozitif serilerin karşılaştırmasının sınır işareti

İki pozitif sayısal seriyi ve . Bu serilerin ortak üyelerinin oranının limiti şuna eşitse: sıfır olmayan sonlu sayı: , o zaman her iki seri de aynı anda yakınsar veya ıraksar.

Limit karşılaştırma kriteri ne zaman kullanılır? Karşılaştırmanın limit işareti, serinin "doldurulması" polinom olduğunda kullanılır. Ya paydada bir polinom ya da hem payda hem de paydada polinomlar. İsteğe bağlı olarak polinomlar köklerin altında olabilir.

Önceki karşılaştırma işaretinin durduğu serilerle ilgilenelim.

Örnek 10

Seriyi yakınsaklık açısından inceleyin

Bu seriyi yakınsak serilerle karşılaştırın. Karşılaştırmanın limit testini kullanıyoruz. Serinin yakınsak olduğu bilinmektedir. olduğunu gösterebilirsek sıfır olmayan son sayısı ile serinin de yakınsak olduğu kanıtlanacaktır.

Sonlu, sıfır olmayan bir sayı elde edilir; bu, incelenen serinin yakınsar yanında ile birlikte.

Dizi neden karşılaştırma için seçildi? Genelleştirilmiş harmonik serinin “klipinden” başka bir seri seçmiş olsaydık, o zaman limitte başarılı olamazdık. sıfır olmayan son sayılar (deneme yapabilirsiniz).

Not: marjinal karşılaştırma özelliğini kullandığımızda, önemli değil Ortak üyeler arasındaki ilişkinin hangi sırayla oluşturulacağı, ele alınan örnekte, ilişki tersten çizilebilir: - bu, konunun özünü değiştirmez.

Uygulamada çoğu zaman bir serinin toplamını bulmak, serinin yakınsaklığı sorusunu yanıtlamak kadar önemli değildir. Bu amaçla serinin ortak teriminin özelliklerine dayalı yakınsama kriterleri kullanılmaktadır.

BİR DİZİNİN BİRLEŞMESİ İÇİN GEREKLİ BİR KRİTER

TEOREM 1.

Eğer seri yakınsaksa ortak terimi A n sıfıra eğilimlidir yani .

Kısaca: Eğer seri yakınsaksa ortak terimi sıfıra yaklaşır.

Sonuç: eğer öyleyse seri ıraksar.

Örnek 15.

Çözüm. Bu seri için ortak terim ve .

Bu nedenle bu seri ıraksaktır.

Örnek 16. Yakınsama serilerini araştırın .

Çözüm.İfadesi ağır olduğundan şekli belirtilmeyen bu serinin ortak teriminin sıfıra doğru yöneldiği açıktır. n®¥, onlar. Serinin yakınsaması için gerekli kriter sağlanmıştır ancak bu seri, toplamı nedeniyle ıraksaktır. sonsuzluk eğilimindedir.

YETERLİ BİRLEŞME KOŞULLARI

POZİTİF SERİ

Tüm üyeleri pozitif olan sayılar dizisine denir işaret pozitif.

TEOREM 2. (Karşılaştırmanın ilk işareti).

İki pozitif seri verilsin:

1 + A 2 +A 3 +...+A n+...=(17)

b1 + B 2 +B 3 +...+B n+...= ,(18)

ve bir sayıdan başlayarak N, herkes için N>N eşitsizlik A£ B N. Daha sonra:

1) serinin yakınsaması (“daha ​​büyük”) serinin yakınsamasını (“daha ​​küçük”) ima eder;

2) serinin ıraksaması (“daha ​​küçük”) serinin ıraksamasını (“daha ​​büyük”) ima eder.

İlk karşılaştırma işaretinin şematik gösterimi:

A£ B N

yakınsama

exp.®exp.

Bu özelliği uygulamak için, yakınsaması veya ıraksaması önceden bilinen bu tür standart seriler sıklıkla kullanılır, örneğin:

1) ¾ geometrik ('de yakınsar ve ıraksar);

2) - harmonik (ayrışır);

3) - Dirichlet serisi (a > 1 için yakınsar ve 1 £ için ıraksar).

Spesifik bir örnek kullanarak, ilk karşılaştırma kriterini kullanarak yakınsaklık için pozitif işaretli bir seriyi incelemeye yönelik bir şema düşünün.

Örnek 17.

Çözüm. Adım 1. Serinin pozitif işaretini kontrol edelim: .

Adım 2. Serinin yakınsaması için gerekli kriterin yerine getirilip getirilmediğini kontrol edelim: . O zamandan beri .

(Limit hesaplamak zor ise bu adımı atlayabilirsiniz.)

Adım 3. İlk karşılaştırma işaretini kullanıyoruz. Bu seri için standart bir seri seçelim. O zamandan beri seri standart olarak alınabilir, yani. Dirichlet sırası. Bu seri a= >1 üssü olduğundan yakınsar. Dolayısıyla ilk karşılaştırma kriterine göre incelenen seriler de yakınsaktır.

Örnek 18. Seriyi yakınsaklık açısından inceleyin.

Çözüm. 1. Bu serinin işareti pozitiftir, çünkü N=1,2,3,... .

2. Serinin yakınsaması için gerekli kriter sağlanmıştır çünkü

3. Standart bir satır seçelim. O zamandan beri geometrik seri () standart olarak alınabilir. Bu seri yakınsaktır, dolayısıyla incelenen seri de yakınsaktır.

TEOREM 3. (Karşılaştırmanın ikinci işareti )

Pozitif işaretli seriler için sıfırdan farklı bir sonlu limit varsa, seri aynı anda yakınsar veya ıraksar.

Eğer A n ®0, n®¥ olarak (yakınsaklık için gerekli bir kriter), bu durumda koşulundan şu sonuç çıkar: A n ve b n aynı küçüklük düzeyinde sonsuz küçüktür (l=1'e eşdeğer). Bu nedenle bir seri verilirse , Nerede A n ®0 olarak N®0 ise bu seri için standart bir seri alabiliriz; burada ortak terim bn Verilen serinin ortak terimi ile aynı küçüklük mertebesine sahiptir.

Örnek19. Yakınsama serilerini araştırın

Çözüm. Bu seri herhangi bir nОN için pozitif işaretlidir.

~~ olduğundan beri, harmonik ıraksak bir seriyi referans serisi olarak alıyoruz. Ortak terimlerin oranının limiti olduğundan BİR ve sonlu ve sıfırdan farklıysa (1'e eşittir), bu durumda ikinci karşılaştırma kriterine göre bu seri ıraksar.

TEOREM 4.(D'Alembert'in işareti )

Pozitif işaretli bir seri için sonlu bir limit varsa, seri l kadar yakınsar<1 и расходится при l>1.

Notlar:

1) Eğer l=1 ise Teorem 4 serinin yakınsaklığı ile ilgili soruyu cevaplamaz ve dolayısıyla yakınsama için başka kriterlerin kullanılması gerekir.

2) Serinin ortak terimi üstel bir fonksiyon veya bir faktöriyel içerdiğinde d'Alembert testi pratikte kullanışlıdır.

Örnek 20. Yakınsama serilerini araştırın d'Alembert'e göre.

Notlar:

1) Eğer l=1 ise Teorem 5 serilerin yakınsaklığı ile ilgili soruyu cevaplamadığından diğer karşılaştırma kriterlerinin kullanılması gerekir.

2) Eğer l=¥ ise seri ıraksaktır.

Örnek 22. Seriyi yakınsaklık açısından inceleyin.

Çözüm. Bu serinin olumlu bir işareti var, çünkü herhangi biri için nОN. Serilerin yakınsaması için gerekli kriterin uygulanabilirliğinin doğrulanmasını atlayarak, hemen Teorem 5'i kullanırız. O zamandan beri, bu seri Cauchy kriterine göre ıraksar.

TEOREM 6. (İntegral Cauchy testi)

Fonksiyona izin ver f(x) herkes için sürekli, negatif olmayan ve artmayan x³m, Nerede M- negatif olmayan bir sayı. Daha sonra sayı serisi

uygunsuz integral yakınsarsa yakınsar

$\sum \limits _(n=1)^(\infty )a_(n) $ üyeleri üç koşulu karşılıyor:

1. $a_(n) >0,\, \, \, n\ge 1$, yani. olumlu üyeleri olan orijinal diziler;
2. Serinin terimleri monoton bir şekilde azalır, yani. $a_(1) >a_(2) >\ldots >a_(n-1) >a_(n) >\ldots >0$;
3. serinin ortak terimi sıfıra eğilimlidir: $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) a_(n) =0$.

$x\ge 1$ için $f\left(1\right)=a_(1) ,\, \, \, f\left(2 \right) olacak şekilde tanımlanmış sürekli monoton olarak azalan bir f(x) fonksiyonu olsun. )=a_(2) ,\, \, \, \ldots ;\, \, \, f\left(n\right)=a_(n) ,\, \, \, \ldots $, yani e. $\sum \limits _(n=1)^(\infty )a_(n) =\sum \limits _(n=1)^(\infty )f(n) $. Bu durumda, uygun olmayan $\int \limits _(1)^(+\infty )f\left(x\right)(\rm d)x $ integrali yakınsarsa, $\sum \limits _(n=1) serisi ) ^(\infty )a_(n) $ da yakınsar; belirtilen integral ıraksarsa, bu seri ıraksar.

Açıklama 1

Teorem, koşulları serinin tüm üyeleri için karşılanmasa da yalnızca k'inci ($n\ge k$)'den başlayarak karşılansa bile doğru kalır; bu durumda integral $\int \limits _(k)^(+ \ infty )f\left(x\right)\, (\rm d)x $.

Açıklama 2

Cauchy'nin integral kriteri, bir serinin yakınsaklığının incelenmesini büyük ölçüde basitleştirir, çünkü bu soruyu, iyi seçilmiş karşılık gelen $f(x)$ fonksiyonunun integralinin yakınsaklığını bulmamıza izin verir; bu, aşağıdaki formül kullanılarak kolayca yapılabilir: integral hesabı yöntemleri.

Teorem 2 (radikal Cauchy kriteri)

Pozitif terimleri $\sum \limits _(n=1)^(\infty )a_(n) ,\, \, \, a_(n) >0$ olan bir seri verilsin ve $ sonlu bir limit olsun. \mathop(\ lim )\limits_(n\to \infty ) \sqrt[(n)](a_(n) ) =l.$Sonra:

1. eğer 1 dolar
2. $l>1$ ise seri ıraksar,
3. $l=1$ ise radikal Cauchy kriteri serinin yakınsamasını belirlemek için uygulanamaz.

Kanıt

1. $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) \sqrt[(n)](a_(n) ) =l0$ var olsun, sonra $l\ge 0$. Öyle bir q sayısı düşünün ki $l 0$ $N=N((\rm \varepsilon ))\in $N var, bundan başlayarak $\forall n \ge N$ $\left|\sqrt[( eşitsizliği n )](a_(n) ) -l\sağ|

   $\sum \limits _(n=1)^(\infty )a_(n) =\, a_(1) +\, a_(2) +\ldots +\, a_(N) +\, a_(N) +1) +a_(N+2) +...$ . (1)

   Yeni bir satır oluşturalım

   $\sum \limits _(k=0)^(\infty )q^(N+k) =q^(N) +\, q^(N+1) +q^(N+2) +\ldots $(2)

   Seri (2), $q$ paydası olan bir geometrik ilerleme dizisidir: $0\le q

2. $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) \sqrt[(n)](a_(n) ) =l>1$ var olsun. Bazılarından başlayarak $N=N((\rm \varepsilon ))\in (\rm N)$ $\forall n\ge N$, $\, \, \sqrt[(n)](a_(n)) ) >1\, \, \, \Rightarrow \, \, \, \, a_(n) >1$, yani. $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) a_(n) \ne 0$ ise orijinal seri gerekli yakınsama kriterine göre ıraksar.
3. Eğer $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) \sqrt[(n)](a_(n) ) =l=1$ (veya mevcut değilse), o zaman radikal Cauchy kriteri uygulanamaz .

Teorem kanıtlandı.

Teorem 3 (d'Alembert testi)

$\sum \limits _(n=1)^(\infty )a_(n) \, \, \, (a_(n) >0) $ pozitif terimleri olan bir seri verilse ve bir sonlu olsun limit $\mathop( \lim )\limits_(n\to \infty ) \frac(a_(n+1) )(a_(n) ) =l$, o zaman:

1. $\sum \limits _(n=1)^(\infty )a_(n) $ serisi eğer $l ise yakınsar
2. $\sum \limits _(n=1)^(\infty )a_(n) $ serisi eğer $l>1$ ise ıraksar,
3. $l=1$ ise d'Alembert kriteri serinin yakınsamasını belirlemek için uygulanamaz.

Kanıt

1. Limit $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) \frac(a_(n+1) )(a_(n) ) =l$ var ve $0\le l 0$ var olsun $N( ( \rm \varepsilon ))\in $N, başlangıç ​​noktası $\forall n\ge N=N((\rm \varepsilon ))$ $\left|\frac(a_(n+1)) (a_n ) -l\sağ|

   Orijinal $\sum \limits _(n=1)^(\infty )a_(n) \, \, \, (a_(n) >0) $ serisini şu şekilde yazalım: $\sum \limits _(n= 1)^(\infty )a_(n) =a_(1) +a_(2) +\ldots +a_(N) +a_(N+1) +a_(N+2) \, + ...$ . Yeni bir dizi düşünün $\sum \limits _(k=0)^(\infty )a_(N) \cdot q^(k) =a_(N) +qa_(N) +q^(2) a_(N) ) +\ldots $ . Bu seri, $b_(1) =a_(N) $ ve $0'dan oluşan geometrik bir ilerleme serisidir

2. $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) \frac(a_(n+1) )(a_(n) ) =l>1$ olsun. $l>q>1$ olacak şekilde bir q sayısını düşünün. $(\rm \varepsilon )=l-q>0$, limitin tanımından çıkar: $-(\rm \varepsilon ) q > 1.$Böylece, $a_(n+1) >a_n > 0$ ve $n \to \infty $ için $a_(n) $ serisinin ortak üyesi 0'a yönelmez, yani $\sum \limits _(n=1)^(\infty )a_n $ serisi ıraksaktır çünkü serinin yakınsaması için gerekli koşul sağlanmamıştır. Teoremin ikinci kısmı kanıtlanmıştır.
3. Eğer $l=1$,$\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) \frac(a_(n+1) )(a_(n)) ) $ bire eşitse veya mevcut değilse, bu durumda d'Alembert kriteri bir serinin yakınsamasını belirlemek için geçerli değildir.

örnek 1

Yakınsaklık için $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(n)(2^(n) ) $ serisini inceleyin.

Çözüm. $\frac(n)(2^(n)) ) =a_(n) $, $a_(n) >0$; $a_(n+1) =\frac(n+1)(2^(n+1)) ) $'ı bulun. Limiti oluşturun $l=\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) \frac(a_(n+1) )(a_(n) ) =\mathop(\lim )\limits_(n\to \ infty ) \frac((n+1)\cdot 2^(n) )(2^(n) \cdot 2\cdot n) =\frac(1)(2) \mathop(\lim )\limits_( n \to \infty ) \frac(n+1)(n) =\frac(1)(2)

Cevap: $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(n)(2^(n)) ) $ serisi yakınsar.

Örnek 2

$\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(n) serisini inceleyin{5^{n} } $.!}

Çözüm. $\frac(n) değerini belirtin{5^{n} } =a_{n} ,a_{n} >0$; найдём $a_{n+1} =\frac{(n+1)!}{5^{n+1} } $. Составим предел!}

onlar. d'Alembert kriterine göre seri ıraksaktır.

Cevap: seri $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(n){5^{n} } $ расходится.!}

Örnek 3

Yakınsaklık için $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \left(\frac(n)(2n+1) \right)^(n) $ serisini inceleyin

Çözüm. $\left(\frac(n)(2n+1) \right)^(n) =a_(n) ,^() a_(n) >0$'ı belirtin. Bir sınır koyalım:

$l=\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) \sqrt[(n)](a_(n) ) =\mathop(\lim )\limits_(n\to ) \frac(n) (2n+1)=\frac(1)(2)

Cevap: $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \left(\frac(n)(2n+1) \right)^(n) $ serisi yakınsar.

Bu konuda serinin gerekli yakınsaklık işareti, D "Alembert ve Cauchy işaretleri ve karşılaştırma işaretleri arasında seçim yapabileceğiniz bazı kriterleri ele alacağız. Size işaretlerin olduğunu hatırlatmama izin verin. Karşılaştırmanın yanı sıra integral ve radikal Cauchy işaretleri yalnızca pozitif sayısal seriler için kullanılır (yani, ortak terimi sıfırdan küçük olmayan, $u_n≥ 0$ olan seriler).D'Alembert kriteri kesinlikle pozitif sayısal seriler için kullanılır. serisi ($u_n > 0$).

Sayısal bir serinin yakınsamasını kontrol edebileceğiniz işaretin seçimi genel olarak kolay bir iş değildir. Ancak standart standart hesaplamalarda ve testlerde kullanılan seriler için bazı genel öneriler verilebilir. Bu önerileri tabloya yazacağım.

Tablonun kendisi hakkında birkaç söz. İkinci sütun çoğu standart testte şu veya bu yakınsama kriterinin kapsamını açıklar. Üçüncü sütun, ikinci sütunun bilgilerini açıklayıcı örneklerle göstermektedir (bu örneklerin tümü ilgili konularda çözülmüştür). Dördüncü sütun, genel şemanın biraz dışında olan veya standart testlerde çok sık bulunmayan satır örneklerini içerir.

Pozitif bir sayı dizisi $ \sum_(n=1) ^\infty a_n $ verilsin. Serinin yakınsaklığı için gerekli kriteri formüle edelim:

1. Eğer seri yakınsarsa, ortak teriminin limiti sıfıra eşit olur: $$ \lim _(n \to \infty) a_n = 0 $$
2. Serinin ortak teriminin limiti sıfıra eşit değilse seri ıraksar: $$ \lim _(n \to \infty) a_n \neq 0 $$

Genelleştirilmiş harmonik seriler

Bu seri şu şekilde yazılır: $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(1)(n^p) $. Ayrıca, $ p $'a bağlı olarak seri yakınsar veya ıraksar:

1. Eğer $ p = 1 $ ise, $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(1)(n) $ dizisi ıraksar ve ortak terim $ a_n = \frac(1 olmasına rağmen) harmonik olarak adlandırılır. )( n) \'den 0 $'a kadar. Nedenmiş? Açıklamada, gerekli kriterin yakınsaklık hakkında değil, sadece serinin ıraksaklığı hakkında cevap verdiği belirtildi. Dolayısıyla integral Cauchy testi gibi yeterli bir test uygularsak serinin ıraksak olduğu ortaya çıkar!
2. Eğer $ p \leqslant 1 $ ise seri ıraksaktır. Örnek, $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(1)(\sqrt(n)) $, burada $ p = \frac(1)(2) $
3. $ p > 1 $ ise seri yakınsar. Örnek, $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(1)(\sqrt(n^3)) $, burada $ p = \frac(3)(2) > 1 $

Çözüm örnekleri