Logaritmi su svuda oko nas. Prezentacija "Pojam logaritma" Logaritmi i njihova svojstva

Logaritam broja. Svojstva logaritama.
GBOU TsO br. 173 Popova L.A.
Definicija logaritma
Logaritam pozitivnog broja b na bazu a, a>0,a≠1, eksponent je na koji se broj a mora podići da bi se dobio broj b.
Decimalni logaritam je logaritam prema bazi:
Prirodni logaritam je logaritam po bazi e (e je iracionalan broj čija je približna vrijednost: e = 2,7. Oznaka:
Osnovni logaritamski identitet
, Gdje
Svojstva logaritama
Logaritam jedinice
Logaritam umnoška pozitivnih brojeva
Logaritam kvocijenta pozitivnih brojeva
Logaritam potencija pozitivnih brojeva
Formula za pomicanje s jedne baze logaritma na drugu
Posljedice
Izračunati:
zapisnik 464=
52 5log53=
lg1=
log0,1 =
log381=
log77 =
log1/216=
log12√ 144
log3√100=
log1/31/81=
log1/21/32=
zapisnik5125
log23√2=
log1/749
lg0,001 =
log2 log 381=
lg10000=
log2 log 5625=
Usmeno brojanje
Formula za pretvaranje u decimalne i prirodne logaritme
Zamijenite ovaj logaritam logaritmom s bazom 3:
1.
2.
.3
4.
5.

O temi: metodološki razvoj, prezentacije i bilješke

METODIČKA IZRADA OTVORENOG SATA „Trigonometrijski i eksponencijalni oblici kompleksnog broja. Prijelaz iz algebarskog oblika kompleksnog broja u trigonometrijski oblik, eksponencijalni oblik i natrag"

METODIČKA IZRADA OTVORENOG SATA na predmetu: Elementi više matematike (EN 01) na temu: „Trigonometrijski i eksponencijalni oblici kompleksnog broja. Prijelaz iz algebarskog oblika...

Metodološke preporuke za pružanje pomoći u stambenom zbrinjavanju djece bez roditelja, djece bez roditeljskog staranja i osoba iz njihovog reda (djeca bez roditelja, socijalni pedagozi, nastavno osoblje, odgajatelji, roditelji (pravni)

Svrha lekcije je ponoviti pojam logaritma. Naučiti učenike koristiti svojstva logaritma pri izračunavanju vrijednosti logaritamskih izraza. Upoznati učenike s povijesnom pozadinom izuma...

N-ti korijen realnog broja i njegova svojstva

Ciljevi lekcije: Obrazovni: razviti kod učenika cjelovito razumijevanje n-tog korijena....

JOHN NAPER (1550-1617)

škotski matematičar

izumitelj logaritama.

1590-ih godina došao je na ideju

logaritamska izračunavanja

i sastavio prve tablice

logaritmi, ali je poznat

Djelo "Opis nevjerojatnih tablica logaritama" objavljeno je tek 1614.

Zaslužan je za definiciju logaritama, objašnjenje njihovih svojstava, tablice logaritama, sinusa, kosinusa, tangensa i primjenu logaritama u sfernoj trigonometriji.

Iz povijesti logaritama

Logaritmi su se pojavili prije 350 godina u vezi s potrebama računalne prakse.

U to su se doba morali izvoditi vrlo glomazni proračuni kako bi se riješili problemi iz astronomije i navigacije.

Slavni astronom Johannes Kepler prvi je uveo znak za logaritam – log 1624. godine. Koristio je logaritme da pronađe putanju Marsa.

Riječ "logaritam" je grčkog porijekla, što znači omjer brojeva

0, a ≠1 je eksponent na koji se broj a mora podići da bi se dobilo b. "width="640"

Definicija

Logaritam pozitivnog broja b na bazu a, gdje je a0, a ≠1 je eksponent na koji se broj a mora podići da bi se dobilo b.

Izračunati:

dnevnik 2 16; log2 64; log 2 2;

log 2 1 ; trupac 2 (1/2); log 2 (1/8);

dnevnik 3 27; dnevnik 3 81; log 3 3;

log 3 1; dnevnik 3 (1/9); trupac 3 (1/3);

cjepanica 1/2 1/32; trupac 1/2 4; log 0,5 0,125;

Dnevnik 0,5 (1/2); log 0,5 1; trupac 1/2 2.

Osnovni logaritamski identitet

Po definiciji logaritma

Izračunati:

3 log 3 18 ; 3 5log 3 2 ;

5 log 5 16 ; 0,3 2log 0,3 6 ;

10 log 10 2 ; (1/4) log (1/4) 6 ;

8 log 2 5 ; 9 dnevnik 3 12 .

3 X X X R Ne postoji ni za jedan x " width="640"

U kojim vrijednostima x postoji logaritam

Uopće ne postoji

koji x

1. Logaritam umnoška pozitivnih brojeva jednak je zbroju logaritama faktora.

log a (bc) = log a b + log a c

( b

c )

a log a (prije Krista) =

a log a b

= a log a b + log a c

a log a c

a log a b

a log a c

1. Logaritam umnoška pozitivnih brojeva jednak je zbroju logaritama faktora. log a (bc) = log a b + log a c

Primjer:

log a

=log a blog a c

= a log a b - log a c

a log a b

a log a

a log a c

b = a log a b

c = a log a c

0; a ≠ 1; b 0; c 0. Primjer: 1 " width="640"

2. Logaritam kvocijenta dvaju pozitivnih brojeva jednak je razlici logaritama djelitelja i djelitelja.

log a

=log a blog a c,

a 0; a ≠ 1; b 0; c 0.

Primjer:

0; b 0; r R log a b r = r log a b Primjer a log a b =b 1,5 (a log a b) r =b r a rlog a b =b r " width="640"

3. Logaritam potencije s pozitivnom bazom jednak je eksponentu pomnoženom s logaritmom baze

log a b r = r log a b

Primjer

a log a b =b

(a log a b ) r =b r

a rlog a b =b r

Formula za kretanje od jedne baze

logaritam drugom, primjeri.

Praktična primjena logaritama

Logaritamske funkcije su vrlo česte i u matematici i u prirodnim znanostima. Brojni prirodni fenomeni pomažu opisati logaritamsku ovisnost. Drugim riječima, matematičari se, pokušavajući stvoriti matematički model određene pojave, vrlo često okreću logaritamskoj funkciji.

Jedan od najočitijih primjera je logaritamska spirala. Spirala se odvija u beskonačnost u jednom smjeru i, naprotiv, uvija se oko pola, težeći mu, ali ne dosežući ga.

Školjke morskih životinja mogu rasti samo u jednom smjeru. Kako se ne bi previše protezale u duljinu, moraju se uvijati, a rast se događa na takav način da se očuva sličnost školjke s izvornim oblikom. A takav rast se može dogoditi samo u logaritamskoj spirali. Biologija

Jedan od najčešćih pauka, epeira, kada plete mrežu, uvija niti oko središta u logaritamskim spiralama. Biologija

Rogovi sisavaca kao što su planinske koze uvijeni su u logaritamsku spiralu. Kod suncokreta su sjemenke raspoređene u lukovima blizu logaritamske spirale. Biologija

Mehanika i fizika Boltzmannovo načelo u statističkoj termodinamici jedna je od najvažnijih funkcija stanja termodinamičkog sustava, koja karakterizira stupanj njegove kaotičnosti. Za izračunavanje brzine rakete koristi se formula Ciolkovskog.

Jedinica za jačinu zvuka je “bel”, praktički njegova desetina, “decibel”. Razlika u glasnoći od 1 bel odgovara omjeru intenziteta buke od 10. To znači da je glasnoća buke, izražena u belovima, jednaka decimalnom logaritmu njegove fizičke snage.

Kemija Vodikov indeks, "pH", mjera je aktivnosti vodikovih iona u otopini, kvantificirajući njezinu kiselost, izračunat kao negativni decimalni logaritam koncentracije vodikovih iona, izražen u molovima po litri

Astronomija Mnoge su galaksije upletene u logaritamske spirale, posebice galaksija kojoj pripada Sunčev sustav.

Astronomi klasificiraju zvijezde prema stupnjevima prividnog sjaja u svjetiljke prve magnitude, druge magnitude, treće, itd. Lako je razumjeti da "magnituda" zvijezde nije ništa više od logaritma njezinog fizičkog sjaja. Pri procjeni prividnog sjaja zvijezda, astronom radi s tablicom logaritama sastavljenom na bazi 2,5.

Glazba “Koraci” temperirane kromatske ljestvice nisu raspoređeni na jednakim udaljenostima ni u odnosu na brojeve vibracija ni u odnosu na valne duljine odgovarajućih zvukova, već predstavljaju logaritme tih vrijednosti tipke su logaritmi brojeva vibracija odgovarajućih zvukova.

Geografija Richter je predložio procjenu jačine potresa (u njegovom epicentru) pomoću decimalnog logaritma pomaka (u mikrometrima) igle standardnog Wood-Andersonovog seizmografa koji se nalazi na udaljenosti ne većoj od 600 km od epicentra.

Psihologija Weber-Fechnerov zakon je empirijski psihofiziološki zakon, koji kaže da je intenzitet osjeta proporcionalan logaritmu intenziteta podražaja.

Psihologija Fittsov zakon je opći zakon koji povezuje vrijeme pokreta s točnošću pokreta i udaljenošću pokreta: što je pokret dalje ili točnije izveden, potrebno je više korekcija za njegovo izvođenje, a sukladno tome, više je vremena potrebno izvršiti ovu korekciju

Psihologija Vrijeme potrebno za donošenje odluke kada se da izbor može se procijeniti pomoću Hicksovog zakona.

Informatika Služi za izračunavanje osnovne jedinice – bita. Bit je binarni logaritam vjerojatnosti jednako vjerojatnih događaja ili zbroj umnožaka vjerojatnosti i binarnog logaritma vjerojatnosti za jednako vjerojatne događaje

Izvori informacija: http://ru.wikipedia.org/wiki/ http://s_2_petrop.ven.edu54.ru/p89aa1.html http://images.yandex.ru/?uinfo=ww-1341-wh- 591 -fw-1274-fh-448-pd-1

Logaritmi - hir matematičara ili životna potreba?

Logaritmi su rime

Kao riječi u glazbi.

Oni olakšavaju izračune -

Ništa teže nego dvaput dva.

L. Nesterova

Sjednica akademskog vijeća

Usustavit ćemo i proširiti znanja o temi “Logaritmi”;
Razmotrimo praktične i teorijske primjene logaritama;
Riješimo logaritme iz zadataka Jedinstvenog državnog ispita;
I samo se opustite s logaritmima.

Plan sastanka:

Pozdravni govor

Predsjednik znanstvenog vijeća

Uvod u svijet logaritama iz matematičke perspektive

Crno-bijela opozicija

Povijest razvoja logaritama. Je li logaritmiranje zabavno?!

Crno-bijela opozicija

Je li logaritam običan matematički pojam ili nešto više?

Crno-bijela opozicija

Logaritam u zadacima Jedinstvenog državnog ispita.

Mini natjecanja

Odraz

Matematičari – teoretičari

Povjesničari

Podijelite se u grupe

Znanstvenici

Matematičari – praktičari

Grupa "Teorijski matematičari"

Logaritmi u matematici

Utvrdite potrebu proučavanja logaritama u matematici

Riječ "logaritam" dolazi od grčkih riječi  - broj I  - stav . Prevedeno kao “odnosi brojeva”, od kojih je jedan član aritmetičke progresije, a drugi geometrijske.

Rječnik ruskog jezika S. I. Ozhegova

Logaritam- u matematici: eksponent na koji se broj, koji se naziva baza, mora podići da bi se dobio zadani broj.

Objašnjavajući rječnik živog velikoruskog jezika" V. Dal

Logaritam. Ako ispod niza brojeva geometrijske progresije (ljestve) stavimo niz odgovarajućih brojeva aritmetičke progresije, tada će svaki od ovih potonjih biti logaritam svog prijatelja, u prvom redu; Na taj se način množenje pretvara u zbrajanje, dijeljenje u oduzimanje, što olakšava računanje.

“Uvidjevši da u matematici nema ništa dosadnije i zamornije od množenja, dijeljenja, kvadratnog i kubnog korijena, te da su te operacije gubljenje vremena i neiscrpan izvor suptilnih pogrešaka, odlučio sam pronaći jednostavan i pouzdan način da dobijem riješi ih se"

John Napier, "Kanon logaritama"

John Napier ( 1550-1617)

Henry Briggs (1561.-1631.)

Briggsov logaritam- isto što i decimalni logaritam.

Nazvan po G. Briggsu

Decimalni logaritam- logaritam s bazom 10. Decimalni logaritam broja a označava se lga

Naperov logaritam- (nazvan po J. Napieru), isto što i prirodni logaritam

Prirodni logaritam- logaritam čija je baza Neperov broj e = 2,718 28... Prirodni logaritam broja a označava se s ln a.

Ne postoji ništa na svijetu osim Ljepote.

U Ljepoti nema ničega osim Forme.

U obliku nema ničega osim proporcija.

Ne postoji ništa u proporcijama osim broja.

Pitagora

"Zlatni" logaritmi su logaritmi s bazom jednakom broju

F (1, 6180339) opisani su formulom

log F M = P

Tri baze logaritama:

10,000 ; 3,838 ; 2,71 .

Prvo , logaritmi nam i danas omogućuju pojednostavljenje izračuna.

Drugo , Od pamtivijeka je cilj matematičke znanosti bio pomoći ljudima da nauče više o svijetu oko sebe, da razumiju njegove obrasce i tajne.

Logaritmi su važne sastavnice ne samo matematike, već i cijelog svijeta koji nas okružuje, pa interes za njih ne jenjava tijekom godina i potrebno ih je i dalje proučavati.

Grupa "Povjesničari"

Povijest logaritama

Uspostavite sliku podrijetla pojma "logaritam"

Projekt uključuje prikupljanje i analizu podataka, njihovu prezentaciju u jasnom vizualnom obliku i usmjeren je na razvijanje razumijevanja smislenog značenja pojma „logaritam“.

Od koga i kada jesu li uvedeni logaritmi?

Izum logaritama, iako je smanjio astronomov rad, produžio mu je život.

P. S. Laplace

Arhimed (III. st. pr. Kr.) - starogrčki fizičar, mehaničar i inženjer iz Sirakuze.

Rad je u 16. stoljeću nastavio škotski barun Napier

Napier John (1550-1617) - škotski matematičar, izumitelj logaritama. Studirao na Sveučilištu u Edinburghu. Napier je ovladao osnovnim idejama doktrine logaritama najkasnije 1594. godine, ali je njegov “Opis nevjerojatne tablice logaritama”, koji iznosi ovu doktrinu, objavljen 1614. godine.

Ovo djelo sadržavalo je definiciju logaritama, objašnjenje njihovih svojstava, tablice logaritama sinusa, kosinusa, tangensa i primjene logaritama u sfernoj trigonometriji.

Napier je ušao u povijest kao izumitelj izvanrednog računalnog alata - tablice logaritama. Ovo otkriće izazvalo je ogromno olakšanje u radu kalkulatora.

Nazvan po Johnu Napieru:

Nazvan po Johnu Napieru:

krater na Mjesecu;

asteroid 7096 Napier;
logaritamska bezdimenzijska jedinica koja mjeri omjer dviju veličina;
Sveučilište u Edinburghu

Slide Rule - alat za izračun

Godine 1623. engleski matematičar D. Gunther izumio je prvi klizač, koji je postao radni alat za mnoge generacije.

Načelo rada kliznog ravnala temelji se na činjenici da se množenje i dijeljenje brojeva zamjenjuje zbrajanjem i oduzimanjem njihovih logaritama.

Koristeći takve klizave sovjetski su inženjeri izvodili izračune pri projektiranju zgrada, građevina, velikih industrijskih objekata koji su se gradili u SSSR-u, novih zrakoplova, automobila i brodova. Koristili su ga računovođe i stručnjaci koji bi se danas zvali menadžeri. Jednom davno, klizač je studentima znatno olakšavao život.

Danas je neumoljivi napredak prepustio zaboravu klizne pločice i ostavio im mjesto samo na muzejskoj polici.

Slavne osobe i spirala

Logaritamsku spiralu prvi put spominje francuski matematičar Rene Descartes u pismu 1638.

Veliki njemački pjesnik Johann Wolfgang Goethe smatrao je logaritamsku spiralu matematičkim simbolom života.

Logaritamska spirala toliko je impresionirala matematičara Jacoba Bernoullija da je oporučno uklesao njenu sliku na svom nadgrobnom spomeniku zajedno s natpisom na latinskom "Promijenjen, ponovno sam rođen kao prije".

3" Komedija počinje nejednakošću koja je neporecivo točna. Zatim slijedi transformacija koja također nije dvojbena. Veći broj odgovara većem logaritmu, što znači Nakon smanjenja za lg dobivamo: 23. Koja je pogreška u ovom razmišljanju? Greška je da lg" width="640"

LOGARITAMSKA "KOMEDIJA 2 3"

Komedija počinje nejednakošću neporecivo ispravan.

Zatim dolazi transformacija također ne izaziva sumnju.

Veći broj odgovara većem logaritmu, što znači

Nakon smanjenja za lg dobivamo: 23.

Što nije u redu s ovim razmišljanjem?

Pogreška je u tome što lg

Grupa "Znanstvenici"

Jesu li logaritmi obični matematički pojmovi ili nešto više?!

U kojim se znanostima koriste logaritmi?

Kako su mnogi stvarni objekti u astronomiji, biologiji, fizici, kemiji i drugim prirodnim znanostima povezani s logaritmima?

“Izum logaritama, iako je smanjio astronomov rad, produžio mu je život.”

U 2. stoljeću pr. Hiparh je podijelio zvijezde u 6 grupa. Najsjajnije zvijezde su 1. magnitude, najslabije su 6. magnitude.

Utvrđeno je da je zvijezda 1. vodila. sjajniji od zvijezde 6. vodio. točno 6 puta.

zvijezda 1 led. svjetlije od zvuka 2 vel. u 2.512;
zvijezda 1 led. svjetlije od zvuka 3 vel. B 2,512 2;

Opseg primjene logaritama vrlo je raznolik: matematika, književnost, biologija, psihologija, poljoprivreda, glazba, astronomija, fizika

Dakle, astrolozi, kada procjenjuju prividni sjaj zvijezda, rade sa sastavljenom tablicom logaritama

na bazi 2.512.

"Magnituda" zvijezde nije ništa više od logaritma njenog fizičkog sjaja.

pH vrijednost - to je mjera aktivnosti vodikovih iona u otopini, koja kvantificira njezinu kiselost, izračunata kao negativni decimalni logaritam koncentracije vodikovih iona, izražena u molovima po litri:
pH = -lg

Logaritamska spirala u tehnici

I ovu spiralu vidimo posvuda: Na primjer, rotiranje noževa u mehanizmu. Naći ćemo ga u zavoju cijevi - Turbine će tada služiti što je više moguće!

Jačina osjeta proporcionalna je logaritmu jačine stimulacije

Brojevi klavirskih tipki logaritmi su brojeva vibracija odgovarajućih zvukova.

Jedan od najčešćih pauka, EPEIRA, kada plete mrežu, uvija niti oko središta u logaritamskoj spirali

Mnoge galaksije su upletene u logaritamske spirale, posebno galaksija kojoj pripada Sunčev sustav

Spiralni galaksijski vrtlog

Zanimljiv problem preuzet iz knjige Saltykov-Shchedrin “The Golovlev”:

“ Porfirije Vladimirovič sjedi u svom uredu i ispisuje listove s brojevima. Ovaj put ga zaokuplja pitanje: Koliko bi imao novca da njegova majka nije prisvojila 100 rubalja koje mu je djed dao pri rođenju za zub, već ih je stavila u zalagaonicu na ime mladog Porfirija? Ispada, međutim, ne mnogo: samo 800 rubalja?

Uz pretpostavku da je Porfirije imao 50 godina u vrijeme izračuna, i uz pretpostavku da je pravilno izračunao (malo vjerojatna pretpostavka, budući da Golovljev jedva da je znao logaritme i znao izračunati složenu kamatu), potrebno je utvrditi koliko% platio je u to vrijeme zalagaonicu.

Međutim, na početku XXI stoljeće klizna pravila ponovno su rođena u ručnim satovima sati. Činjenica je da su, slijedeći modu, proizvođači skupih i prestižnih marki satova prešli s elektroničkih kronometara s LCD zaslonima na brojčanike, pa je prema tome bilo premalo mjesta za ugrađeni kalkulator. Međutim, potražnja za kronometrima s ugrađenim računalnim uređajem među modno osviještenim ljudima natjerala je proizvođače satova da izbace modele s ugrađenim kliznim ravnalom izrađenim u obliku rotirajućih prstenova s ljestvicama oko brojčanika.

Primjene logaritamske funkcije i logaritama u raznim područjima znanosti i tehnologije doista su neograničene.

Višestruka upotreba funkcije nadahnula je engleskog pjesnika E. Brilla da napiše odu o logaritmima.

Bilo je pjesnika koji nisu posvećivali cijele ode logaritmima, ali su ih spominjali u svojim pjesmama. Slavni pjesnik Boris Slucki napisao je u svojoj hvaljenoj pjesmi “Fizičari i liričari”:

"Zato, kao pjena,

Naše rime padaju

I veličina staloženo

Povlači se u logaritme."

Dok smo obavljali ovaj posao, otkrili smo da su logaritmi i logaritamska funkcija pomogli ljudima da slijede put tehničkog napretka i objasne mnoge tajne prirode i ljudskih osjeta. Možda je čovječanstvo na pragu novih revolucionarnih otkrića, a "kraljica znanosti" - matematika - pomoći će nam u tome!

Grupa "Praktični matematičari"

Svrha našeg rada:

pokazati rješenja primjera preuzetih iz zadataka Jedinstvenog državnog ispita.

Postavili smo sebi zadatak:

pokazuju da je znanje o logaritmima također potrebno za Jedinstveni državni ispit iz matematike.

Samo poznavanjem svih svojstava logaritma možete naučiti rješavati primjere

log

–

log

Zaključak:

Logaritmi su važne sastavnice ne samo matematike, već i cijelog svijeta koji nas okružuje, pa interes za njih ne jenjava tijekom godina i potrebno ih je i dalje proučavati.

Mini natjecanja

Natjecanje br.1

Kako se zove matematičar koji je nastavio Napierov rad na izradi tablica logaritama?

Kljucni odgovor:

Odgovor: Briggs

Natjecanje br.2

Označite geografske koordinate otoka Jan Mayen na kojem je živio Napier, tvorac logaritama.

Geografske koordinate:

x°00′ sjeverne širine, na°00′ zapadne geografske dužine.

Da biste pronašli x i y, riješite jednadžbe:

71°00′ sjeverne geografske širine, 8°00′ zapadne geografske dužine

Crna kutija

Ovdje leži rezultat rada mnogih znanstvenika. Ono što se ovdje nalazi koristilo se u obrazovnim ustanovama i inženjerskim proračunima sve do kraja prošlog stoljeća.

Ovdje leži ono što je engleski matematičar William Oughtred smislio još 20-ih godina 17. stoljeća.

TEMELJ

h a s t n o o

P o x a t e l

deseti

l o g a r i m i o n

Omiljeni broj

Sada uzmite svoje olovke i zapišite svoj omiljeni broj.

Pomnožite ovaj broj s 9. Dobiveni broj pomnožite s 12345679.

Ako ste to učinili ispravno, dobit ćete buket svojih omiljenih brojeva. Sada dodajte 9 nula desno od dobivenog broja. Neka u tvom životu bude toliko sretnih dana.

Opis:

Na temu "logaritmi", ovaj obrazovni materijal sveobuhvatno otkriva bit.

Izvođenje lekcija korištenjem ovog nastavnog materijala podučavat će učenike konceptu pomoću vizualnih slika i logički strukturiranog materijala. Korištenje detaljno riješenih zadataka kao primjera uz ilustracije grafikona pomoći će svakom učeniku u razumijevanju. Zadaci su tipski i podijeljeni u skupine. To pomaže u sustavnom proučavanju dostavljenog materijala i omogućuje uvid u moguće tipove zadataka koji se najčešće pojavljuju i moguće načine rješavanja.

Dijelovi prezentacije su:

Kako odrediti logaritam na temelju baze.
Govori o osam svojstava logaritma, koja su osnovna.
Opisuje prirodne i decimalne logaritme.
Pozornost je posvećena samoj logaritamskoj funkciji i njezinim svojstvima.
Praktično je prikazana tehnika rješavanja jednadžbi, sustava jednadžbi, ali i nejednadžbi.

Prezentacija će biti prikladna za korištenje ne samo kao pravovremeni obrazovni izvor informacija u lekciji, već i tijekom ponovnog vraćanja materijala u pamćenje učenika.