Potpuna diferencijalna veza s parcijalnim derivatima. Derivati i diferencijali. Sistematiziramo elementarna primijenjena pravila
transkript
1 PREDAVANJE N Totalni diferencijal, parcijalni izvod i diferencijal višeg reda Totalni diferencijal Parcijalni diferencijal Parcijalni izvod višeg reda Diferencijali višeg reda 4 Derivati kompleksnih funkcija 4 Totalni diferencijal Parcijalni diferencijali Ako je funkcija z=f(,) diferencijabilna, tada je njena totalni diferencijal dz je jednako dz=a +B () z z Uz napomenu da je A=, B =, pišemo formulu () u sljedećem obliku z z dz= + () ; d= Nakon toga, formula za ukupni diferencijal funkcije će imati oblik z z dz= d + d () d + d n varijabli, zatim du= d (d =) = izraz d z=f (,)d (4) naziva se parcijalni diferencijal funkcije z=f(,) u odnosu na varijablu; izraz d z=f (,)d (5) naziva se parcijalni diferencijal funkcije z=f(,) u odnosu na varijablu. Iz formula (), (4) i (5) slijedi da je ukupni diferencijal funkcije funkcija je zbir njenih parcijalnih diferencijala: dz=d z+d z prirast z= z z + + α (,) + β (,) razlikuje se od svog linearnog dijela dz= z z + samo za zbir zadnjih članova α + β, koji su na 0 i 0 beskonačno malog višeg reda od članova linearnog dijela. Stoga kada je dz 0, linearni dio prirasta diferencijabilne funkcije naziva se glavni dio prirasta funkcije i približna formula z koristi se dz, što će biti tačnije što je apsolutna vrijednost prirasta argumenata manja,97 Primjer Izračunajte približno arctan(),0
2 Rješenje Razmotrimo funkciju f(,)=arctg() Koristeći formulu f(x 0 + x, y 0 + y) f(x 0, y 0) + dz, dobijamo arctg(+) arctg() + [ arctg() ] + [ arctg()] ili + + arctg() arctg() () + () Neka =, =, zatim =-0.0, =0.0 Dakle, (0.0 0.0 arctg) arctg() + (0.0) 0,0 = arktan 0,0 = + 0,0 + () + () π = 0,05 0,0 0,75 4 Može se pokazati da greška koja proizlazi iz primjene približne formule z dz ne prelazi broj = M (+), gdje je M najveća vrijednost apsolutne vrijednosti drugih parcijalnih izvoda f (,), f (,), f (,) kada se argumenti mijenjaju od + i od u + Parcijalni izvod višeg reda Ako funkcija u=f(, z) ima u nekom (otvorenom) domenu D parcijalni izvod u odnosu na jednu od varijabli, tada pronađeni izvod, koji je sam po sebi funkcija z, može, zauzvrat, u nekom trenutku (0, 0, z 0) imati parcijalne izvode sa u odnosu na istu ili bilo koju drugu promjenljivu Za originalnu funkciju u=f (, z) ovi derivati će biti parcijalni derivati drugog reda.Ako je prvi izvod uzet, na primjer, u odnosu na, onda je njegov izvod u odnosu na , z se označava na sljedeći način: 0, z0) = ; = ; = ili u, u, u z z z Derivati trećeg, četvrtog i tako dalje reda se definišu na sličan način. Imajte na umu da je parcijalni izvod višeg reda, preuzeti različite varijable, na primjer, ; naziva se mješoviti parcijalni izvod Primjer u= 4 z, tada je u =4 z ; u = 4z; u z = 4 z; u = z u=64z; uzz = 4; u = z u = z u z = 4 z; u z =8 z; u z =6 4 z; u z =6 4 z funkcija f(,) je definirana u (otvorenoj) domeni D,) u ovoj domeni postoje prve derivacije f i f, kao i druge mješovite derivacije f i f, i konačno,) ove posljednje derivacije f i f, kao funkcije u, su neprekidne u nekoj tački (0, 0) regiona D Tada u ovoj tački f (0, 0)=f (0, 0) Dokaz Razmotrimo izraz
3 f (0 +, 0 f (0 +, 0) f (0, 0 + f (0, 0) W=, gdje su različiti od nule, na primjer, pozitivni, i, štaviše, toliko su mali da D sadrži cijeli pravougaonik [ 0, 0 +; 0, 0 +] 0 +) (, 0) ()= i stoga je kontinuiran. Sa ovom funkcijom f (0 +, 0 f (0 +, 0) f (0, 0) f (0, 0) izraz W, koji je jednak W= može se prepisati u obliku: ϕ (0 +) ϕ (0) W= pa: W=ϕ (0 + θ, 0 f (0 + θ, 0) (0 + θ)= (0<θ<) Пользуясь существованием второй производной f (,), снова применим формулу конечных приращений, на этот раз к функции от: f (0 +θ,) в промежутке [ 0, 0 +] Получим W=f (0 +θ, 0 +θ), (0<θ <) Но выражение W содержит и, с одной стороны, и и, с другой, одинаковым образом Поэтому, можно поменять их роли и, введя вспомогательную функцию: Ψ()= f (0 +,) f (0,), путем аналогичных рассуждений получить результат: W=f (0 +θ, 0 +θ) (0<θ, θ <) Из сопоставления () и (), находим f (0 +θ, 0 +θ)=f (0 +θ, 0 +θ) Устремив теперь и к нулю, перейдем в этом равенстве к пределу В силу ограниченности множителей θ, θ, θ, θ, аргументы и справа, и слева стремятся к 0, 0 А тогда, в силу (), получим: f (0, 0)=f (0, 0), что и требовалось доказать Таким образом, непрерывные смешанные производные f и f всегда равны Общая теорема о смешанных производных Пусть функция u=f(, n) от переменных определена в открытой n-мерной области D и имеет в этой области всевозможные частные производные до (n-)-го порядка включительно и смешанные производные n-го порядка, причем все эти производные непрерывны в D При этих условиях значение любой n-ой смешанной производной не зависит от того порядка, в котором производятся последовательные дифференцирования Дифференциалы высших порядков Пусть в области D задана непрерывная функция u=f(, х), имеющая непрерывные частные производные первого порядка Тогда, du= d + d + + d
4 Vidimo da je du također funkcija od, Ako pretpostavimo postojanje kontinuiranih parcijalnih izvoda drugog reda za u, tada će du imati kontinuirane parcijalne izvode prvog reda i možemo govoriti o ukupnom diferencijalu ovog diferencijala du , d(du), koji se naziva diferencijal drugog reda (ili drugi diferencijal) od u; označava se sa d u Naglašavamo da se inkrementi d, d, d smatraju konstantnim i ostaju isti kada se prelazi s jednog diferencijala na sljedeći (štaviše, d, d će biti nula) Dakle, d u=d(du)=d (d + d + + d) = d() d + d() d + + d() d ili d u = (d + d + d + + d) d + + (d + d + = d + d + + d + dd + dd + + dd + + Slično, definiran je diferencijal trećeg reda d u i tako dalje. Ako funkcija u ima kontinuirane parcijalne izvode svih redova do i uključujući n-ti, tada postoji n-ti diferencijal je zagarantovan, ali izrazi za njih postaju sve složeniji. Možemo pojednostaviti zapis. Izbacimo “slovo u” u izrazu prvog diferencijala. Tada će notacija biti simbolična: du=(d + d + + d) u ; d u=(d + d + + d) u ; d n n u=(d + d + + d) u, što treba shvatiti na sljedeći način: prvo, "polinom" u zagradama se formalno podiže na stepen prema pravilima algebre, tada se svi rezultirajući članovi "množe" sa u (što se dodaje na n u brojiocima na) , a tek nakon toga svi simboli vraćaju svoju vrijednost kao derivacije i diferencijale u d) d u na promjenljivu t u nekom intervalu: =ϕ(t), =ψ(t), z=λ(t) Neka, pored toga, kao t promjene, tačke (, z) ne prelaze područje D Zamjenom vrijednosti i z u funkciju u dobijamo kompleksnu funkciju: u=f(ϕ(t), ψ(t), λ(t)) Pretpostavimo da u ima kontinuirane parcijalne izvode u, u i u z in i z i da postoje t, t i z t Tada je moguće dokazati postojanje derivacije kompleksne funkcije i izračunati je. Dajemo varijablu t neki prirast t , tada i z će dobiti prirast, respektivno, a z, funkcija u će dobiti inkrement u Predstavimo prirast funkcije u u obliku: (ovo se može učiniti, pošto smo pretpostavili postojanje kontinuiranih parcijalnih izvoda u, u i u z) u=u +u +u z z+α +β +χ z, gdje je α, β, χ 0 at, z 0 Podijelimo oba dio jednakosti na t, dobivamo u z z = u + u + uz + α + β + χ t t t t t t t 4
5 Pustimo sada da se inkrement t približi nuli: tada će z težiti nuli, budući da su funkcije z od t neprekidne (pretpostavili smo postojanje izvoda t, t, z t), i stoga, α, β, χ također teže nuli. U granici dobijamo u t =u t +u t +u z z t () Vidimo da pod datim pretpostavkama, derivacija kompleksne funkcije zaista postoji , z u nekoliko varijabli t: =ϕ(t, v), = ψ(t, v), z=χ(t, v) Osim postojanja i kontinuiteta parcijalnih izvoda funkcije f(, z), ovdje pretpostavljamo postojanje izvoda funkcija, z u odnosu na t i v. Slučaj se ne razlikuje bitno od onog koji je već razmatran, budući da prilikom izračunavanja parcijalnog izvoda funkcije dvije varijable fiksiramo jednu od varijabli, a ostaje nam funkcija samo jedne varijable, formula () će biti isti z, i () se mora prepisati kao: = + + (a) t t t z t z = + + (b) v v v z v Primjer u= ; =ϕ(t)=t ; =ψ(t)=cos t u t = - t + ln t = - t- ln sint 5
Funkcije više varijabli U mnogim pitanjima geometrije prirodnih nauka i drugih disciplina treba se pozabaviti funkcijama dvije tri ili više varijabli Primjeri: Površina trokuta S a h gdje je a osnova
13. Parcijalni derivati viših redova Neka = ima i definira se na D O. Funkcije i se također nazivaju parcijalnim izvodima funkcije prvog reda ili prvim parcijalnim izvodima funkcije. i uopšte
Primena Definicija derivacije Neka i budu vrednosti argumenta, i f) i f) - ((odgovarajuće vrednosti funkcije f () Razlika se naziva povećanjem argumenta, a razlika je povećanje funkcije na segmentu,
Praktična vježba DIFERENCIJACIJA KOMPLEKSNE I IMPLICITNE FUNKCIJE Diferencijacija kompleksne funkcije Diferencijacija implicitne funkcije date jednom jednačinom Sistemi implicitnih i parametarski datih
FUNKCIJE VIŠE Varijabli Funkcije jedne nezavisne varijable ne pokrivaju sve zavisnosti koje postoje u prirodi. Stoga je prirodno proširiti i uvesti dobro poznati koncept funkcionalne zavisnosti
6 Implicitne funkcije 6.1 Definicije, pozadina
1. Osnovni pojmovi. Funkcije nekoliko varijabli. Proučavat ćemo funkciju nekoliko varijabli koristeći primjere funkcija dvije i tri varijable, budući da sve ove definicije i dobiveni rezultati
2.2.7. Primjena diferencijala za aproksimativne proračune. Diferencijal funkcije y = ovisi o x i glavni je dio prirasta x. Možete koristiti i formulu: dy d Tada apsolutna greška:
Predavanje 9. Derivati i diferencijali višeg reda, njihova svojstva. Ekstremne tačke funkcije. Fermatove i Rolleove teoreme. Neka je funkcija y diferencibilna na nekom intervalu [b]. U ovom slučaju, njegov derivat
5 Tačka u kojoj F F F ili barem jedan od ovih derivata ne postoji naziva se singularna tačka površine. U takvoj tački površina možda nema tangentnu ravan Definicija Normalna na površinu
DEFINITIVNI INTEGRAL. Integralni zbroji i određeni integral Neka je funkcija y = f () definirana na segmentu [, b ], gdje je< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных
OBIČNE DIFERENCIJALNE JEDNAČINE PRVOG REDA Osnovni pojmovi Diferencijalna jednačina je jednačina u koju nepoznata funkcija ulazi pod predznakom izvoda ili diferencijala.
6. Diferencijal funkcije 1. Definicija i geometrijsko značenje DEFINICIJA. Funkcija y = f(x) naziva se diferencijabilna u tački x 0 ako se njen prirast u ovoj tački može zapisati kao zbir linearne
Predavanja Poglavlje Funkcije više varijabli Osnovni pojmovi Neke funkcije više varijabli su dobro poznate Dajemo nekoliko primjera Za izračunavanje površine trougla poznata je Heronova formula S
~ 1 ~ FUNKCIJA VIŠE Varijabli 3 Funkcija dvije varijable, domen definicije, načini specificiranja i geometrijsko značenje. Definicija: z f se naziva funkcijom dvije varijable, ako je svaki par vrijednosti,
Diferencijalne jednadžbe prvog reda riješene s obzirom na derivaciju Teorema postojanja i jedinstvenosti rješenja U općenitom slučaju, diferencijalna jednadžba prvog reda ima oblik F ()
Predavanje 3 Ekstremum funkcije više varijabli Neka je u domeni D definirana funkcija više varijabli u = f (x, x), a tom domenu pripada tačka x (x, x) = Funkcija u = f ( x, x) ima
Tema modula Funkcionalni nizovi i nizovi Svojstva uniformne konvergencije nizova i redova Potencijskog niza Predavanje Definicije nizova funkcija i nizova Uniformno
9 Derivat i diferencijal 91 Osnovne formule i definicije za rješavanje problema Definicija Neka je funkcija y f () definirana na nekom f (Δ) f () Δy susjedstvu tačke Granica relacije za Δ Δ Δ, ako je
1 Tema 1. Diferencijalne jednadžbe prvog reda 1.0. Osnovne definicije i teoreme Diferencijalna jednadžba prvog reda: nezavisna varijabla; y = y() je željena funkcija; y = y () njegov izvod.
Predavanje 8 Diferencijacija kompleksne funkcije Razmotrimo kompleksnu funkciju t t t f gdje je ϕ t t t t t t t f t t t t t t t t
MOSKVSKI DRŽAVNI TEHNIČKI UNIVERZITET CIVILNOG VAZDUHOPLOVSTVA V.M. Lyubimov, E.A. Žukova, V.A. Ukhova, Yu.A. Shurinov
II DIFERENCIJALNE JEDNAČINE Diferencijalne jednadžbe prvog reda Definicija Relacije u kojima su nepoznate varijable i njihove funkcije pod predznakom izvoda ili diferencijala nazivaju se
6 Problemi koji vode do koncepta derivacije Neka se materijalna tačka kreće pravolinijski u jednom smjeru prema zakonu s f (t), gdje je t vrijeme, a s put koji je prešla tačka u vremenu t Zabilježite određeni trenutak
Predavanje 3. Neodređeni integral. Antiderivativni i neodređeni integral U diferencijalnom računu, problem je riješen: za datu funkciju f () pronaći njen izvod (ili diferencijal). Integralni račun
1 Predavanje 7 Derivati i diferencijali višeg reda Apstrakt: Uvodi se pojam diferencijabilne funkcije, daje se geometrijska interpretacija prvog diferencijala i dokazuje se njegova invarijantnost.
Funkcije nekoliko argumenata Koncept funkcije za svaki element x iz skupa X prema nekom zakonu y \u003d f (x) povezan je s jednom vrijednošću varijable y iz skupa Y svakom paru brojeva
Sastavio VPBelkin 1 Predavanje 1 Funkcija nekoliko varijabli 1 Osnovni koncepti Ovisnost \u003d f (1, n) varijable od varijabli 1, n naziva se funkcija od n argumenata 1, n U nastavku ćemo razmotriti
DIFERENCIJALNE JEDNAČINE Opći koncepti Diferencijalne jednadžbe imaju brojne i vrlo raznolike primjene u mehanici, fizici, astronomiji, tehnologiji i drugim granama više matematike (npr.
I Definicija funkcije više varijabli Područje definicije Kada se proučavaju mnoge pojave, treba se pozabaviti funkcijama dvije ili više nezavisnih varijabli.Na primjer, tjelesna temperatura u datom trenutku
Predavanje 8 Fermat, Rolle, Cauchy, Lagrange i L'Hospitalove teoreme
SA Lavrenchenko wwwlawrencenkoru Predavanje 4 Diferencijacija složenih funkcija Implicitna diferencijacija Prisjetite se pravila diferencijacije za funkcije jedne varijable, koje se također naziva pravilo lanca (vidi
Odjeljak Diferencijalni račun funkcija jedne i više varijabli Realni argument funkcija Realni brojevi Pozitivni cijeli brojevi nazivaju se prirodni brojevi Dodaj prirodnim brojevima
Radionica: “Diferencijalnost i diferencijal funkcije” Ako funkcija y f () ima konačan izvod u tački, tada se prirast funkcije u ovoj tački može predstaviti kao: y (,) f () () (), u kojima je
Predavanje Diferencijalne jednadžbe th reda Glavne vrste diferencijalnih jednadžbi th reda i njihovo rješenje Diferencijalne jednadžbe su jedno od najčešćih sredstava matematičke
TEMA 1 DERIVAT FUNKCIJA DIFERENCIJALNA FUNKCIJA PITANJA PROGRAMA: 11 Funkcionalna veza Granica funkcije 1 Izvod funkcije 1 Mehaničko fizičko i geometrijsko značenje izvoda 14 Osnovno
M I N I S T E R S T O E D U R A O V A N I A I A N A U K I R O S S I O Y F E D E R A T I FEDERALNA DRŽAVNA AUTONOMNA OBRAZOVNA USTANOVA VISOKOG OBRAZOVANJA „Nacionalna istraživanja
DISCIPLINA Kurs "Viša matematika", semestar Dopisni oblik studija TEMA Matrična algebra
V.V. Žuk, A.M. Kamačkin Diferencijalnost funkcija više varijabli. Diferencijalnost funkcije u tački. Dovoljni uslovi za diferencijabilnost u smislu parcijalnih izvoda. Kompleksna diferencijacija
Poglavlje 4 Granica funkcije 4 1 KONCEPT GRANICA FUNKCIJE Ovo poglavlje se fokusira na koncept granice funkcije. Definirano što je granica funkcije u beskonačnosti, a zatim granica u tački, granice
PREDAVANJE 23 KANONSKE TRANSFORMACIJE. LIOUVILLE TEOREMA O OČUVANJU FAZNOG VOLUMA. FUNKCIJA GENERACIJE SLOBODNE TRANSFORMACIJE Nastavljamo sa proučavanjem kanonskih transformacija. Prisjetimo se najprije glavnog
Departman za matematiku i informatiku Matematička analiza Obrazovno-metodološki kompleks za studente HPE koji studiraju uz korišćenje daljinskih tehnologija Modul 3 Diferencijalni račun funkcija jednog
55 je na beskonačno maloj vrijednosti višeg reda male vrijednosti u poređenju sa ρ n (,), gdje je ρ () + (), onda se može predstaviti u Peano obliku n R, ρ Primjer Napišite Taylorovu formulu za n sa
Tema Definitivni integral Definitivni integral Problemi koji vode do koncepta određenog integrala Problem izračunavanja površine krivolinijskog trapeza U Oxy koordinatnom sistemu dat je krivolinijski trapez,
5 Redovi stepena 5 Redovi stepena: definicija, domen konvergencije Funkcionalni nizovi oblika (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) brojevi se nazivaju nizovi stepena brojevi
Numerički niz Numerički niz Opr Numerički niz je numerička funkcija definirana na skupu prirodnih brojeva x - zajednički član niza x =, x =, x =, x =,
Diferencijalne jednadžbe predavanje 4 Jednadžbe u totalnim diferencijalima. Integrirajući faktor Predavač Anna Igorevna Sherstneva 9. Jednačine u totalnim diferencijalima Jednačina d + d = 14 naziva se jednačina
Metalurški fakultet Katedra za višu matematiku
Matematička analiza Sekcija: Funkcija više varijabli Tema: Diferencijabilnost FNP (kraj. Parcijalni izvodi i diferencijali kompleksnog FNP. Diferencijacija implicitnih funkcija Predavač Rožkova S.V.
(Fermatova teorema - Darbouxova teorema - Rolleova teorema - Lagrangeova teorema teorema srednje vrijednosti - geometrijska interpretacija teoreme srednje vrijednosti - Cauchyjeva teorema - formula konačnog priraštaja - L'Hopitalovo pravilo
Poglavlje 4 Osnovne teoreme diferencijalnog računa Otkrivanje nesigurnosti Fundamentalne teoreme diferencijalnog računa Fermaova teorema (Pierre Fermat (6-665) francuski matematičar) Ako je funkcija y f
PREDAVANJE 7 DIFERENCIJALNO IZRAČUNAVANJE FUNKCIJE JEDNE VARIJABLE 1 Pojam derivacije funkcije
Ministarstvo obrazovanja Republike Bjelorusije Vitebski državni tehnološki univerzitet Tema. "Redovi" Katedra za teorijsku i primijenjenu matematiku. razvijen od strane doc. E.B. Dunina. Main
Predavanje 3 Taylor i Maclaurin serija Primjena nizova stepena Proširivanje funkcija u nizove stepena Taylor i Maclaurin serije Za primjene je važno biti u mogućnosti proširiti datu funkciju u niz stepena, te funkcije
58 Definitivni integral Neka je funkcija () data na intervalu. Funkciju ćemo smatrati kontinuiranom, iako to nije neophodno. Biramo proizvoljne brojeve na intervalu, 3, n-, koji zadovoljavaju uvjet:
Diferencijalne jednadžbe višeg reda. Konev V.V. Pregledi predavanja. Sadržaj 1. Osnovni pojmovi 1 2. Jednačine koje omogućavaju redukciju reda 2 3. Linearne diferencijalne jednadžbe višeg reda
Predavanje 20 TEOREMA O DERIVATU KOMPLEKSNE FUNKCIJE. Neka je y = f(u) i u= u(x). Dobijamo funkciju y ovisno o argumentu x: y = f(u(x)). Posljednja funkcija se zove funkcija funkcije ili složena funkcija.
Diferencijacija implicitne funkcije Razmotrimo funkciju (,) = C (C = const) Ova jednadžba definira implicitnu funkciju () Pretpostavimo da smo riješili ovu jednačinu i pronašli eksplicitni izraz = () Sada možemo
Moskovski institut za avijaciju (Nacionalni istraživački univerzitet) Odsjek za višu matematiku Granice Derivati Funkcije nekoliko varijabli Smjernice i opcije kontrole
LABORATORIJSKI RAD 7 GENERALIZOVANE FUNKCIJE I. OSNOVNI POJMOVI I TEOREME Označiti sa D skup svih beskonačno diferencibilnih konačnih funkcija realne varijable. to
Poglavlje 3. Istraživanje funkcija uz pomoć izvoda 3.1. Ekstremumi i monotonost Razmotrimo funkciju y = f () definisanu na nekom intervalu I R. Kaže se da ima lokalni maksimum u tački
Moskovski državni tehnički univerzitet nazvan po N.E. Bauman Fakultet fundamentalnih nauka Katedra za matematičko modeliranje A.N. Kanatnikov,
Smjernice i varijante RGR-a na temu Funkcija više varijabli za studente specijalnosti Dizajn. Ako je količina jedinstveno određena postavljanjem vrijednosti količina i neovisno jedna od druge,
Moskovski državni tehnički univerzitet nazvan po N.E. Bauman Fakultet fundamentalnih nauka Katedra za matematičko modeliranje A.N. Kanatnikov, A.P. Krišenko
METODOLOŠKA UPUTSTVA ZA PRORAČUNSKE ZADATKE NA KURSU VIŠE MATEMATIKE "OBIČNE DIFERENCIJALNE JEDNAČINE REDOVI DUPLI INTEGRALI" III DEO TEME NIZ Sadržaj Serija Numerički niz Konvergencija i divergencija
Ograničenje funkcije. Definicija ograničenja redoslijeda brojeva. Beskonačan numerički niz (ili jednostavno numerički niz) je funkcija f f (, definirana na skupu svih
Predavanje 19 DERIVAT I NJEGOVE PRIMJENE. DEFINICIJA DERIVATA. Neka imamo neku funkciju y=f(x) definiranu na nekom intervalu. Za svaku vrijednost argumenta x iz ovog intervala, funkcija y=f(x)
Diferencijalni račun funkcija više varijabli Funkcije više varijabli Količina se naziva funkcijom varijabli n ako je svakoj tački M n koja pripada nekom skupu X dodijeljena
PREDAVANJE N 7 .Snaga
Predavanje 3 Teorema postojanja i jedinstvenosti za rješenje skalarne jednadžbe Izjava problema Glavni rezultat Razmotrimo Cauchyjev problem d f () d =, () =
Federalna agencija za obrazovanje Moskovski državni univerzitet za geodeziju i kartografiju (MIIGAiK) METODOLOŠKA UPUTSTVA I ZADACI ZA SAMOSTALNI RAD na predmetu VIŠA MATEMATIKA
Svaki parcijalni derivat (preko x i po y) funkcije dvije varijable je običan izvod funkcije jedne varijable s fiksnom vrijednošću druge varijable:
(gde y= const),
(gde x= const).
Dakle, parcijalni derivati se računaju iz formule i pravila za izračunavanje izvoda funkcija jedne varijable, dok drugu varijablu smatramo konstantom (konstantom).
Ako vam nije potrebna analiza primjera i minimalna teorija potrebna za to, već vam je potrebno samo rješenje vašeg problema, onda nastavite na online kalkulator parcijalnih derivata .
Ako je teško usredotočiti se na praćenje gdje se konstanta nalazi u funkciji, onda možete zamijeniti bilo koji broj u nacrtu rješenja primjera umjesto varijable s fiksnom vrijednošću - tada možete brzo izračunati parcijalni izvod kao običan derivat funkcije jedne varijable. Potrebno je samo da ne zaboravite da vratite konstantu (promenljivu sa fiksnom vrednošću) na njeno mesto kada završite.
Gore opisano svojstvo parcijalnih izvoda proizlazi iz definicije parcijalnog izvoda, koje se može naći u ispitnim pitanjima. Stoga, da biste se upoznali sa definicijom u nastavku, možete otvoriti teorijsku referencu.
Koncept kontinuiteta funkcije z= f(x, y) u tački definira se slično ovom konceptu za funkciju jedne varijable.
Funkcija z = f(x, y) se naziva kontinuiranim u tački ako
Razlika (2) naziva se ukupni prirast funkcije z(dobija se povećanjem oba argumenta).
Neka funkcija z= f(x, y) i tačka
Ako se funkcija promijeni z javlja se kada se promijeni samo jedan od argumenata, na primjer, x, sa fiksnom vrijednošću drugog argumenta y, tada će funkcija biti povećana
naziva se djelomično povećanje funkcije f(x, y) uključeno x.
S obzirom na promjenu funkcije z ovisno o promjeni samo jednog od argumenata, zapravo prelazimo na funkciju jedne varijable.
Ako postoji konačna granica
tada se naziva parcijalni izvod funkcije f(x, y) argumentom x i označava se jednim od simbola
(4)
Slično je definiran i parcijalni prirast z on y:
i parcijalni derivat f(x, y) uključeno y:
(6)
Primjer 1
Rješenje. Nalazimo parcijalni izvod u odnosu na varijablu "x":
(y fiksno);
Nalazimo parcijalni izvod u odnosu na varijablu "y":
(x fiksno).
Kao što vidite, nije bitno u kojoj meri je varijabla fiksna: u ovom slučaju je samo neki broj faktor (kao u slučaju uobičajenog izvoda) sa varijablom pomoću koje nalazimo parcijalni derivat. Ako se fiksna varijabla ne pomnoži s promjenljivom prema kojoj nalazimo parcijalni izvod, tada ova usamljena konstanta, bez obzira u kojoj mjeri, kao u slučaju običnog izvoda, nestaje.
Primjer 2 Zadata funkcija
Pronađite parcijalne derivate
(po x) i (po y) i izračunajte njihove vrijednosti u tački ALI (1; 2).
Rješenje. Na fiksni y derivacija prvog člana nalazi se kao derivacija funkcije stepena ( tablica derivacijskih funkcija jedne varijable):
.
Na fiksni x izvod prvog člana nalazi se kao izvod eksponencijalne funkcije, a drugog - kao izvod konstante:
Sada izračunavamo vrijednosti ovih parcijalnih izvoda u tački ALI (1; 2):
Rješenje zadataka s parcijalnim derivatima možete provjeriti na online kalkulator parcijalnih derivata .
Primjer 3 Pronađite parcijalne derivate funkcija
Rješenje. U jednom koraku nalazimo
(y x, kao da je argument sinusa 5 x: na isti način, 5 se pojavljuje ispred znaka funkcije);
(x je fiksna i u ovom slučaju je faktor u y).
Rješenje zadataka s parcijalnim derivatima možete provjeriti na online kalkulator parcijalnih derivata .
Parcijalni izvod funkcije od tri ili više varijabli definiraju se slično.
Ako svaki skup vrijednosti ( x; y; ...; t) nezavisne varijable iz skupa D odgovara jednoj specifičnoj vrijednosti u od mnogih E, onda u naziva se funkcija varijabli x, y, ..., t i označiti u= f(x, y, ..., t).
Za funkcije od tri ili više varijabli ne postoji geometrijska interpretacija.
Također se definiraju i izračunavaju parcijalni derivati funkcije više varijabli pod pretpostavkom da se mijenja samo jedna od nezavisnih varijabli, dok su ostale fiksne.
Primjer 4 Pronađite parcijalne derivate funkcija
.
Rješenje. y i z popravljeno:
x i z popravljeno:
x i y popravljeno:
Nađite sami parcijalne izvode, a zatim pogledajte rješenja
Primjer 5
Primjer 6 Naći parcijalne izvode funkcije.
Parcijalni izvod funkcije nekoliko varijabli ima isto mehaničko značenje kao derivacija funkcije jedne varijable, je brzina kojom se funkcija mijenja u odnosu na promjenu jednog od argumenata.
Primjer 8 količina protoka Pželjeznički putnici mogu se izraziti kao funkcija
gdje P- broj putnika, N- broj stanovnika odgovarajućih punktova, R– udaljenost između tačaka.
Parcijalni izvod funkcije P on R jednak
pokazuje da je smanjenje protoka putnika obrnuto proporcionalno kvadratu udaljenosti između odgovarajućih tačaka za isti broj stanovnika u tačkama.
Parcijalni derivat P on N jednak
pokazuje da je povećanje protoka putnika proporcionalno dvostrukom broju stanovnika naselja sa istim rastojanjem između tačaka.
Rješenje zadataka s parcijalnim derivatima možete provjeriti na online kalkulator parcijalnih derivata .
Puni diferencijal
Proizvod parcijalnog izvoda i prirasta odgovarajuće nezavisne varijable naziva se parcijalni diferencijal. Parcijalni diferencijali se označavaju na sljedeći način:
Zbir parcijalnih diferencijala nad svim nezavisnim varijablama daje ukupni diferencijal. Za funkciju dvije nezavisne varijable, ukupni diferencijal je izražen jednakošću
(7)
Primjer 9 Pronađite pun diferencijal funkcije
Rješenje. Rezultat korištenja formule (7):
Funkcija koja ima totalni diferencijal u svakoj tački neke domene naziva se diferencijabilna u toj domeni.
Sami pronađite ukupni diferencijal i onda vidite rješenje
Kao iu slučaju funkcije jedne varijable, diferencijabilnost funkcije u određenom području implicira njen kontinuitet u ovom području, ali ne i obrnuto.
Formulirajmo bez dokaza dovoljan uslov za diferencijabilnost funkcije.
Teorema. Ako je funkcija z= f(x, y) ima kontinuirane parcijalne izvode
u datom regionu, onda je on diferencibilan u ovom regionu i njegov diferencijal se izražava formulom (7).
Može se pokazati da je, baš kao što je u slučaju funkcije jedne varijable, diferencijal funkcije glavni linearni dio prirasta funkcije, tako je i u slučaju funkcije više varijabli ukupni diferencijal glavni, linearan u odnosu na inkremente nezavisnih varijabli, dio ukupnog prirasta funkcije.
Za funkciju od dvije varijable, ukupni prirast funkcije ima oblik
(8)
gdje su α i β beskonačno male za i .
Parcijalni derivati višeg reda
Parcijalne derivacije i funkcije f(x, y) su same neke funkcije istih varijabli i, zauzvrat, mogu imati derivate u odnosu na različite varijable, koje se nazivaju parcijalnim derivatima višeg reda.
Parcijalni izvod funkcija dviju varijabli.
Koncept i primjeri rješenja
U ovoj lekciji nastavit ćemo upoznavanje s funkcijom dvije varijable i razmotriti, možda, najčešći tematski zadatak - pronalaženje parcijalne derivacije prvog i drugog reda, kao i totalni diferencijal funkcije. Vanredni studenti se, po pravilu, suočavaju sa parcijalnim derivatima u 1. godini u 2. semestru. Štaviše, prema mojim zapažanjima, zadatak pronalaženja parcijalnih izvoda gotovo se uvijek nalazi na ispitu.
Kako biste efikasno proučili sljedeći materijal, vi neophodno biti u stanju da više ili manje pouzdano pronađe "uobičajene" derivate funkcije jedne varijable. U lekcijama možete naučiti kako pravilno rukovati izvedenicama Kako pronaći derivat? i Derivat složene funkcije. Potrebna nam je i tabela izvedenica elementarnih funkcija i pravila diferencijacije, najpogodnije je ako je pri ruci u štampanom obliku. Referentni materijal možete pronaći na stranici Matematičke formule i tabele.
Hajde da brzo ponovimo koncept funkcije dve varijable, pokušaću da se ograničim na minimum. Funkcija dvije varijable se obično piše kao , pri čemu se varijable pozivaju nezavisne varijable ili argumentima.
Primjer: - funkcija dvije varijable.
Ponekad se koristi notacija. Postoje i zadaci u kojima se umjesto slova koristi slovo.
Sa geometrijske tačke gledišta, funkcija dvije varijable je najčešće površina trodimenzionalnog prostora (ravan, cilindar, lopta, paraboloid, hiperboloid itd.). Ali, u stvari, ovo je već više analitička geometrija, a na dnevnom redu imamo matematičku analizu, koju mi profesor nikad nije dao da otpišem je moj „konj“.
Prelazimo na pitanje pronalaženja parcijalnih izvoda prvog i drugog reda. Imam dobre vijesti za one od vas koji su popili nekoliko šoljica kafe i raspoloženi za nezamislivo težak materijal: parcijalni derivati su skoro isti kao i "obični" derivati funkcije jedne varijable.
Za parcijalne derivacije vrijede sva pravila diferencijacije i tablica izvoda elementarnih funkcija. Postoji samo nekoliko malih razlika koje ćemo sada upoznati:
... da, usput, za ovu temu jesam kreirao mala pdf knjiga, što će vam omogućiti da "napunite ruku" za samo par sati. Ali, koristeći stranicu, vi ćete, naravno, dobiti i rezultat - samo možda malo sporije:
Primjer 1
Naći parcijalne izvode prvog i drugog reda funkcije
Prvo, nalazimo parcijalne izvode prvog reda. Ima ih dvoje.
Notacija:
ili - parcijalni izvod u odnosu na "x"
ili - djelomični izvod u odnosu na "y"
Počnimo sa . Kada pronađemo parcijalni izvod u odnosu na "x", tada se varijabla smatra konstantom (konstantnim brojem).
Komentari na preduzete radnje:
(1) Prva stvar koju radimo kada pronađemo parcijalni izvod je da zaključimo sve funkcija u zagradama ispod crtice sa indeksom.
Pažnja važna! Subscripts NE GUBE u toku rješenja. U ovom slučaju, ako negdje bez crtanja nacrtate „šlog“, onda ga učitelj barem može staviti pored zadatka (odmah odgristi dio bodova zbog nepažnje).
(2) Koristite pravila diferencijacije 
, . Za jednostavan primjer kao što je ovaj, oba pravila se mogu primijeniti u istom koraku. Obratite pažnju na prvi pojam: od smatra se konstantom, a svaka konstanta se može izvući iz predznaka derivacije, onda ga vadimo iz zagrada. Odnosno, u ovoj situaciji nije ništa bolji od običnog broja. Pogledajmo sada treći pojam: ovdje, naprotiv, nema šta da se izvadi. Pošto je konstanta, ona je i konstanta, i u tom smislu nije ništa bolja od posljednjeg pojma – „sedam“.
(3) Koristimo tablične derivate i .
(4) Mi pojednostavljujemo, ili, kako ja volim da kažem, "kombinujemo" odgovor.
Sad . Kada nađemo parcijalni izvod u odnosu na "y", tada je varijablasmatra se konstantnim (konstantnim brojem).
(1) Koristimo ista pravila diferencijacije 
, . U prvom članu vadimo konstantu izvan znaka derivacije, u drugom se ne može ništa izvaditi jer je već konstanta.
(2) Koristimo tablicu izvoda elementarnih funkcija. Mentalno promijenite u tabeli sve "X" u "Y". Odnosno, ova tabela je jednako važeća za (i zaista za skoro svako slovo). Konkretno, formule koje koristimo izgledaju ovako: i .
Šta je značenje parcijalnih izvoda?
U svojoj osnovi parcijalni derivati 1. reda liče "obični" derivat:
- ovo je funkcije, koji karakterišu stopa promjene funkcionira u smjeru osi i respektivno. Tako, na primjer, funkcija 
karakteriše strmine "uspona" i "padina" površine u smjeru ose apscise, a funkcija nam govori o "reljefu" iste površine u smjeru ose ordinate.
! Bilješka : ovdje se odnosi na upute koje su paralelne koordinatne ose.
Radi boljeg razumijevanja, razmotrimo određenu tačku ravnine i izračunamo vrijednost funkcije (“visine”) u njoj:
- a sada zamislite da ste ovdje (NA SAMOJ površini).
Izračunavamo parcijalni izvod u odnosu na "x" u datoj tački:
Negativni predznak derivata "X" nam govori o tome silazno funkcionira u tački u smjeru x-ose. Drugim riječima, ako napravimo mali-mali (beskonačno malo) korak prema vrhu ose (paralelno sa ovom osom), zatim se spustite niz padinu površine.
Sada saznajemo prirodu "terena" u smjeru y-ose:
Izvod u odnosu na "y" je pozitivan, dakle, u tački duž ose, funkcija povećava. Ako je sasvim jednostavno, onda nas čeka uspon uzbrdo.
Osim toga, parcijalni izvod u tački karakterizira stopa promjene funkcioniše u relevantnom pravcu. Što je veća rezultujuća vrijednost modulo- što je površina strmija, i obrnuto, što je bliža nuli, to je površina ravnija. Dakle, u našem primjeru, "nagib" u smjeru ose apscise je strmiji od "planine" u smjeru ose ordinate.
Ali to su bila dva privatna puta. Sasvim je jasno da od tačke na kojoj se nalazimo, (i općenito iz bilo koje tačke date površine) možemo krenuti u nekom drugom pravcu. Stoga postoji interes za sastavljanje opće "navigacijske karte" koja bi nam govorila o "pejzažu" površine. ako je moguće u svakoj tački opseg ove funkcije na sve dostupne načine. O ovome i drugim zanimljivostima govoriću u jednoj od narednih lekcija, ali za sada, vratimo se tehničkoj strani problema.
Sistematiziramo elementarna primijenjena pravila:
1) Kada razlikujemo po , tada se varijabla smatra konstantom.
2) Kada se diferencijacija vrši prema, tada se smatra konstantom.
3) Pravila i tabela izvoda elementarnih funkcija važe i važe za svaku varijablu (ili bilo koju drugu) u odnosu na koju se vrši diferencijacija.
Drugi korak. Nalazimo parcijalne derivate drugog reda. Ima ih četiri.
Notacija:
ili - drugi izvod u odnosu na "x"
ili - drugi derivat u odnosu na "y"
ili - mješovito izvod "x po y"
ili - mješovito izvedenica "Y sa X"
Sa drugom izvodom nema problema. jednostavnim riječima, drugi izvod je derivat prvog izvoda.
Radi praktičnosti, prepisat ću parcijalne derivate prvog reda koji su već pronađeni: 
Prvo nalazimo mješovite derivate:
Kao što vidite, sve je jednostavno: uzimamo parcijalni izvod i ponovo ga diferenciramo, ali u ovom slučaju već sa "y".
Slično:
U praktičnim primjerima možete se usredotočiti na sljedeću jednakost:
Dakle, preko mješovitih izvoda drugog reda vrlo je zgodno provjeriti da li smo pravilno našli parcijalne izvode prvog reda.
Nalazimo drugi izvod u odnosu na "x".
Nema izuma, pretpostavljamo 
i ponovo ga razlikovati sa "X":
Slično:
Treba napomenuti da kada pronađete , morate pokazati povećana pažnja, pošto ne postoje čudesne jednakosti koje bi ih testirale.
Drugi derivati također nalaze široku praktičnu primjenu, posebno se koriste u problemu pronalaženja ekstremi funkcije dvije varijable. Ali sve ima svoje vreme:
Primjer 2
Izračunajte parcijalne izvode prvog reda funkcije u točki . Pronađite derivate drugog reda.
Ovo je primjer za samostalno rješavanje (odgovori na kraju lekcije). Ako imate poteškoća s razlikovanjem korijena, vratite se na lekciju Kako pronaći derivat? Općenito, vrlo brzo ćete naučiti kako pronaći slične derivate u hodu.
Punimo ruku složenijim primjerima:
Primjer 3
Provjerite to. Napišite ukupni diferencijal prvog reda.
Rješenje: Nalazimo parcijalne izvode prvog reda: 
Obratite pažnju na indeks: pored "x" nije zabranjeno pisati u zagradama da je to konstanta. Ova oznaka može biti vrlo korisna za početnike kako bi se lakše snašli u rješenju.
Dalji komentari:
(1) Izvodimo sve konstante izvan predznaka izvoda. U ovom slučaju, i , i, stoga, njihov proizvod se smatra konstantnim brojem.
(2) Ne zaboravite kako pravilno razlikovati korijene.
(1) Sve konstante uzimamo iz predznaka derivacije, u ovom slučaju konstanta je .
(2) Pod prostim brojem imamo proizvod dvije funkcije, stoga trebamo koristiti pravilo diferencijacije proizvoda 
.
(3) Ne zaboravite da je to složena funkcija (iako najjednostavnija od složenih). Koristimo odgovarajuće pravilo: 
.
Sada nalazimo mješovite derivate drugog reda:
To znači da su svi proračuni tačni.
Napišimo ukupni diferencijal. U kontekstu zadatka koji se razmatra, nema smisla reći koliki je ukupni diferencijal funkcije dvije varijable. Važno je da ovaj diferencijal vrlo često treba zapisati u praktičnim problemima.
Totalni diferencijal prvog reda funkcije dvije varijable ima oblik: 
U ovom slučaju:
Odnosno, u formuli trebate samo glupo samo zamijeniti već pronađene parcijalne derivate prvog reda. Diferencijalne ikone iu ovoj i sličnim situacijama, ako je moguće, bolje je pisati brojiocima:
I na ponovljeni zahtjev čitalaca, puni diferencijal drugog reda.
izgleda ovako:
PAŽLJIVO pronađite "jednoslovne" izvedenice 2. reda: 
i zapišite "čudovište", pažljivo "pričvršćujući" kvadrate, proizvod i ne zaboravljajući udvostručiti mješoviti derivat: 
U redu je ako se nešto činilo teškim, uvijek se kasnije možete vratiti na derivate, nakon što naučite tehniku diferencijacije:
Primjer 4
Pronađite parcijalne izvode prvog reda funkcije 
. Provjerite to. Napišite ukupni diferencijal prvog reda.
Razmotrimo niz primjera sa složenim funkcijama:
Primjer 5
Pronađite parcijalne izvode prvog reda funkcije .
Rješenje: 
Primjer 6
Pronađite parcijalne izvode prvog reda funkcije 
.
Zapišite ukupni diferencijal.
Ovo je primjer za samostalno rješavanje (odgovor na kraju lekcije). Neću objavljivati kompletno rješenje jer je prilično jednostavno.
Često se sva gore navedena pravila primjenjuju u kombinaciji.
Primjer 7
Pronađite parcijalne izvode prvog reda funkcije 
.
(1) Koristimo pravilo diferenciranja zbira
(2) Prvi član se u ovom slučaju smatra konstantom, jer u izrazu nema ničega što zavisi od "x" - samo "y". Znate, uvijek je lijepo kada se razlomak može pretvoriti u nulu). Za drugi termin primjenjujemo pravilo diferencijacije proizvoda. Inače, u tom smislu se ništa ne bi promijenilo da se umjesto nje zada funkcija - to je ovdje bitno proizvod dvije funkcije, SVAKO zavisi od toga "X", te stoga morate koristiti pravilo diferencijacije proizvoda. Za treći član primjenjujemo pravilo diferencijacije složene funkcije.
(1) Prvi član i u brojniku i u nazivniku sadrži "y", stoga morate koristiti pravilo za razlikovanje količnika: 
. Drugi član zavisi SAMO od "x", što znači da se smatra konstantom i pretvara se u nulu. Za treći član koristimo pravilo diferencijacije kompleksne funkcije.
Za one čitaoce koji su hrabro stigli skoro do kraja lekcije, ispričat ću vam staru Mekhmatovljevu anegdotu za detant:
Jednom se u prostoru funkcija pojavio zli derivat i kako je sve razlikovao. Sve funkcije se raspršuju u svim smjerovima, nitko se ne želi okretati! I samo jedna funkcija ne bježi nigdje. Izvod mu prilazi i pita:
"Zašto ne bježiš od mene?"
- Ha. Ali nije me briga, jer ja sam "e na stepen x", a ti mi ništa ne možeš!
Na šta zli derivat sa podmuklim osmehom odgovara:
- Tu grešiš, ja ću te razlikovati po "y", pa ti neka bude nula.
Ko je shvatio šalu, savladao je derivate, bar za "trojku").
Primjer 8
Pronađite parcijalne izvode prvog reda funkcije 
.
Ovo je "uradi sam" primjer. Kompletno rješenje i primjer dizajna problema nalaze se na kraju lekcije.
Pa, to je skoro sve. Konačno, ne mogu a da ne obradujem matematičare još jednim primjerom. Ne radi se čak ni o amaterima, svi imaju različit nivo matematičke obuke - ima ljudi (i ne tako rijetkih) koji vole da se takmiče sa težim zadacima. Iako, posljednji primjer u ovoj lekciji nije toliko komplikovan koliko glomazan u smislu proračuna.
Praktični rad №2
"Funkcionalni diferencijal"
Svrha lekcije: Naučite rješavati primjere i probleme na zadatu temu.
Teorijska pitanja (početni nivo):
1. Upotreba derivata za proučavanje funkcija do ekstrema.
2. Diferencijal funkcije, njeno geometrijsko i fizičko značenje.
3. Totalni diferencijal funkcije više varijabli.
4. Stanje tijela kao funkcija mnogih varijabli.
5. Približni proračuni.
6. Pronalaženje parcijalnih izvoda i totalnog diferencijala.
7. Primjeri upotrebe ovih pojmova u farmakokinetici, mikrobiologiji itd.
(samoobuka)
1. odgovarati na pitanja o temi časa;
2. rješavati primjere.
Primjeri
Pronađite diferencijale sljedećih funkcija:
| 1) | 2)  | 3)  |
4)  | 5)  | 6) |
7)  | 8) | 9)  |
10)  | 11) | 12)  |
13)  | 14)  | 15) |
16)  | 17) | 18)  |
19)  | 20)  |
Korištenje derivata za proučavanje funkcija
Uslov za povećanje funkcije y = f(x) na segmentu [a, b]
Uslov da se funkcija y=f(x) smanji na segmentu [a, b]
Uslov za maksimalnu funkciju y=f(x) na x= a
f"(a)=0 i f""(a)<0
Ako za x \u003d a derivacije f "(a) = 0 i f "(a) = 0, tada je potrebno istražiti f "(x) u blizini tačke x \u003d a. Funkcija y = f (x) za x = a ima maksimum, ako prilikom prolaska kroz tačku x = i derivacija f "(x) promijeni znak iz "+" u "-", u slučaju minimuma - od "-" do "+" Ako f "(x) ne promijeni predznak prilikom prolaska kroz tačku x = a, tada funkcija u ovom trenutku nema ekstrem
Funkcijski diferencijal.
Diferencijal nezavisne varijable jednak je njenom inkrementu:
Diferencijal funkcije y=f(x)
Diferencijal zbira (razlike) dvije funkcije y=u±v
Diferencijal proizvoda dviju funkcija y=uv
Diferencijal količnika dvije funkcije y=u/v
dy=(vdu-udv)/v 2
Povećanje funkcije
Δy \u003d f (x + Δx) - f (x) ≈ dy ≈ f "(x) Δx
gdje je Δx: prirast argumenta.
Približan izračun vrijednosti funkcije:
f(x + Δx) ≈ f(x) + f "(x) Δx
Primjena diferencijala u aproksimativnim proračunima
Diferencijal se koristi za izračunavanje apsolutne i relativne greške u indirektnim mjerenjima u = f(x, y, z.). Apsolutna greška rezultata mjerenja
du≈Δu≈|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…
Relativna greška rezultata mjerenja
du/u≈Δu/u≈(|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…)/u
FUNKCIJSKI DIFERENCIJAL.
Funkcijski diferencijal kao glavni dio prirasta funkcije
i. Koncept diferencijala funkcije usko je povezan s konceptom derivacije. Neka funkcija f(x) kontinuirano za date vrijednosti X i ima derivat 
D f/Dx = f¢(x) + a(Dx), odakle je inkrement funkcije Df = f¢(x)Dx + a(Dx)Dx, gdje a(Dx)® 0 at Dx® 0. Hajde da definišemo red beskonačno malog f¢(x)Dx Dx.:
Dakle, beskonačno mali f¢(x)Dx i Dx imaju isti red veličine, tj f¢(x)Dx = O.
Hajde da definišemo red beskonačno malog a(Dh)Dh u odnosu na infinitezimalnu Dx:
Dakle, beskonačno mali a(Dh)Dh ima viši red malenosti od infinitezimalnog Dx, to je a(Dx)Dx = o.
Dakle, beskonačno mali prirast Df diferencijabilna funkcija se može predstaviti u obliku dva pojma: infinitezimalna f¢(x)Dx istog reda malenosti sa Dx i beskonačno mali a(Dh)Dh viši red malenosti u poređenju sa infinitezimalnim Dx. To znači da u jednakosti Df=f¢(x)Dx + a(Dx)Dx at Dx® 0 drugi član teži nuli "brže" od prvog, tj. a(Dx)Dx = o.
Prvi mandat f¢(x)Dx, linearno u odnosu na Dx, zvao diferencijalna funkcija f(x) u tački X i označiti dy ili df(čitaj "de game" ili "de ef"). dakle,
dy = df = f¢(x)Dx.
Analitičko značenje diferencijala leži u činjenici da je diferencijal funkcije glavni dio prirasta funkcije Df, linearno u odnosu na prirast argumenta Dx. Diferencijal funkcije razlikuje se od priraštaja funkcije za infinitezimalnu vrijednost višeg reda male vrijednosti od Dx. stvarno, Df=f¢(x)Dx + a(Dx)Dx ili Df = df + a(Dx)Dx . Diferencijal argumenata dx jednaka njegovom prirastu Dx: dx=Dx.
Primjer. Izračunajte vrijednost diferencijala funkcije f(x) = x 3 + 2x, kada X varira od 1 do 1,1.
Rješenje. Nađimo opći izraz za diferencijal ove funkcije:
Zamjenjivanje vrijednosti dx=Dx=1,1–1= 0,1 i x=1 u posljednjoj formuli, dobijamo željenu vrijednost diferencijala: df½ x=1; = 0,5.
PARCIJALNI DERIVATI I DIFERENCIJALI.
Parcijalni derivati prvog reda. Parcijalni izvod prvog reda funkcije z = f(x,y ) argumentom X na razmatranoj tački (x; y) zove granica
ako postoji.
Parcijalni izvod funkcije z = f(x, y) argumentom X označen jednim od sljedećih simbola:
Slično, parcijalni izvod u odnosu na at označeno i definisano formulom:
Pošto je parcijalni izvod uobičajeni izvod funkcije jednog argumenta, nije ga teško izračunati. Da biste to učinili, morate koristiti sva do sada razmatrana pravila diferencijacije, uzimajući u obzir u svakom slučaju koji od argumenata se uzima kao "konstantni broj", a koji služi kao "varijabla diferencijacije".
Komentar. Da biste pronašli parcijalni izvod, na primjer, u odnosu na argument x – df/dx, dovoljno je pronaći običan izvod funkcije f(x,y), uz pretpostavku da je potonji funkcija jednog argumenta X, a at- trajno; naći df/dy- obrnuto.
Primjer. Pronađite vrijednosti parcijalnih izvoda funkcije f(x,y) = 2x2 + y2 u tački P(1;2).
Rješenje. Brojanje f(x,y) funkcija jednog argumenta X i koristeći pravila diferencijacije, nalazimo
U tački P(1;2) vrijednost derivata
Uzimajući u obzir f(x; y) kao funkciju jednog argumenta y, nalazimo
U tački P(1;2) vrijednost derivata
ZADATAK ZA SAMOSTALNI RAD UČENIKA:
Pronađite diferencijale sljedećih funkcija:
Riješite sljedeće zadatke:
1. Za koliko će se smanjiti površina kvadrata sa stranicom x = 10 cm ako se stranica smanji za 0,01 cm?
2. Zadata je jednačina kretanja tijela: y=t 3 /2+2t 2 , gdje je s izraženo u metrima, t u sekundama. Naći putanju s koju tijelo pređe za t=1,92 s od početka kretanja.
LITERATURA
1. Lobotskaya N.L. Osnove više matematike - M.: "Viša škola", 1978.C198-226.
2. Bailey N. Matematika u biologiji i medicini. Per. sa engleskog. M.: Mir, 1970.
3. Remizov A.N., Isakova N.Kh., Maksina L.G. Zbornik zadataka iz medicinske i biološke fizike - M.: "Viša škola", 1987. C16-20.
Koncept funkcije dvije varijable
Vrijednost z pozvao funkcija dvije nezavisne varijable x i y, ako svaki par dozvoljenih vrijednosti ovih veličina, prema određenom zakonu, odgovara jednoj dobro definiranoj vrijednosti veličine z. Nezavisne varijable x i y pozvao argumentima funkcije.
Takva funkcionalna zavisnost se analitički označava
Z = f (x, y),(1)
Vrijednosti argumenata x i y koje odgovaraju stvarnim vrijednostima funkcije z, razmatrano prihvatljivo, a skup svih dozvoljenih parova vrijednosti x i y se poziva domenu definicije funkcije dvije varijable.
Za funkciju nekoliko varijabli, za razliku od funkcije jedne varijable, koncepti njene djelomični prirast za svaki od argumenata i koncepta puni prirast.
Djelomično povećanje Δ x z funkcije z=f (x,y) po argumentu x je inkrement koji ova funkcija prima ako se njen argument x poveća Δx sa istim y:
Δxz = f (x + Δx, y) -f (x, y), (2)
Djelomični prirast Δ y z funkcije z= f (x, y) u odnosu na argument y je prirast koji ova funkcija prima ako njen argument y primi povećanje Δy s nepromijenjenim x:
Δy z= f (x, y + Δy) – f (x, y) , (3)
Puni prirast Δz funkcije z= f (x, y) argumentima x i y naziva se inkrement koji funkcija prima ako su oba njena argumenta povećana:
Δz= f (x+Δx, y+Δy) – f (x, y) , (4)
Za dovoljno male korake Δx i Δy argumenti funkcije
postoji približna jednakost:
∆z ∆xz + ∆yz , (5)
i što je tačnije, to manje Δx i Δy.
Parcijalni izvod funkcija dviju varijabli
Parcijalni izvod funkcije z=f (x, y) u odnosu na argument x u tački (x, y) naziva se granica omjera parcijalnog prirasta ∆xz ovu funkciju na odgovarajući prirast Δx argument x kada se teži Δx na 0 i pod uslovom da ovo ograničenje postoji:
, (6)
Izvod funkcije definiran je slično z=f (x, y) argumentom y:
Uz naznačenu notaciju, parcijalni derivati funkcija također se označavaju sa , z΄ x , f΄ x (x, y); , z΄ y , f΄ y (x, y).
Glavno značenje parcijalnog derivata je sljedeće: parcijalni izvod funkcije nekoliko varijabli u odnosu na bilo koji od njenih argumenata karakterizira stopu promjene ove funkcije kada se ovaj argument promijeni.
Kada se izračunava parcijalni izvod funkcije nekoliko varijabli u odnosu na bilo koji argument, svi ostali argumenti ove funkcije smatraju se konstantnim.
Primjer1. Pronađite parcijalne derivate funkcija
f (x, y)= x 2 + y 3
Rješenje. Kada se pronađe parcijalni izvod ove funkcije u odnosu na argument x, argument y se smatra konstantnom vrijednošću:
;
Kada se pronađe parcijalni izvod u odnosu na argument y, argument x se smatra konstantnom vrijednošću:
.
Parcijalni i totalni diferencijali funkcije više varijabli
Parcijalni diferencijal funkcije nekoliko varijabli u odnosu na koju-bilo iz njegovih argumenata je proizvod parcijalnog izvoda ove funkcije u odnosu na dati argument i diferencijal ovog argumenta:
dxz= ,(7)
dyz= (8)
Evo d x z i d y z-parcijalni diferencijali funkcije z= f (x, y) argumentima x i y. Gde
dx= ∆x; dy=Δy, (9)
puni diferencijal Funkcija nekoliko varijabli naziva se zbroj njenih parcijalnih diferencijala:
dz= d x z + d y z, (10)
Primjer 2 Naći parcijalne i totalne diferencijale funkcije f (x, y)= x 2 + y 3 .
Kako se parcijalni izvod ove funkcije nalazi u primjeru 1, dobijamo
dxz= 2xdx; d y z= 3y 2 dy;
dz= 2xdx + 3y 2dy
Djelomični diferencijal funkcije nekoliko varijabli u odnosu na svaki od njenih argumenata je glavni dio odgovarajućeg parcijalnog prirasta funkcije.
Kao rezultat, može se napisati:
∆xz dxz, ∆yz d yz, (11)
Analitičko značenje ukupnog diferencijala je da je ukupni diferencijal funkcije nekoliko varijabli glavni dio ukupnog prirasta ove funkcije.
Dakle, postoji približna jednakost
∆zdz, (12)
Upotreba formule (12) zasniva se na korištenju ukupnog diferencijala u približnim proračunima.
Zamislite povećanje Δz as
f (x + Δx; y + Δy) – f (x, y)
i ukupni diferencijal u obliku
Tada dobijamo:
f (x + Δx, y + Δy) – f (x, y) 
,
, (13)
3. Svrha učenika na času:
Učenik mora znati:
1. Definicija funkcije dvije varijable.
2. Koncept parcijalnog i ukupnog prirasta funkcije dvije varijable.
3. Određivanje parcijalnog izvoda funkcije više varijabli.
4. Fizičko značenje parcijalnog izvoda funkcije nekoliko varijabli u odnosu na bilo koji od njenih argumenata.
5. Određivanje parcijalnog diferencijala funkcije više varijabli.
6. Određivanje ukupnog diferencijala funkcije više varijabli.
7. Analitičko značenje totalnog diferencijala.
Učenik mora biti sposoban da:
1. Pronađite privatne i ukupne priraštaje funkcije dvije varijable.
2. Izračunati parcijalne izvode funkcije nekoliko varijabli.
3. Naći parcijalne i totalne diferencijale funkcije nekoliko varijabli.
4. Primijeniti ukupni diferencijal funkcije nekoliko varijabli u približnim proračunima.
Teorijski dio:
1. Pojam funkcije više varijabli.
2. Funkcija dvije varijable. Djelomično i ukupno povećanje funkcije dvije varijable.
3. Parcijalni izvod funkcije više varijabli.
4. Parcijalni diferencijali funkcije više varijabli.
5. Totalni diferencijal funkcije više varijabli.
6. Primjena ukupnog diferencijala funkcije nekoliko varijabli u aproksimativnim proračunima.
Praktični dio:
1. Pronađite parcijalne izvode funkcija:
1) 
; 4) 
;
2) z \u003d e xy + 2 x; 5) z= 2tg xx y;
3) z \u003d x 2 sin 2 y; 6) 
.
4. Definirajte parcijalni izvod funkcije u odnosu na dati argument.
5. Šta se naziva parcijalni i totalni diferencijal funkcije dvije varijable? Kako su oni povezani?
6. Lista pitanja za provjeru konačnog nivoa znanja:
1. U opštem slučaju proizvoljne funkcije više varijabli, da li je njen ukupni prirast jednak zbiru svih parcijalnih prirasta?
2. Koje je glavno značenje parcijalnog izvoda funkcije nekoliko varijabli u odnosu na bilo koji od njenih argumenata?
3. Koje je analitičko značenje ukupnog diferencijala?
7. Vremenski okvir lekcije:
1. Organizacioni momenat - 5 minuta.
2. Analiza teme - 20 min.
3. Rješavanje primjera i zadataka - 40 min.
4. Tekuća kontrola znanja -30 min.
5. Sumiranje časa - 5 min.
8. Spisak obrazovne literature za čas:
1. Morozov Yu.V. Osnove više matematike i statistike. M., "Medicina", 2004, §§ 4.1–4.5.
2. Pavlushkov I.V. i dr. Osnove više matematike i matematičke statistike. M., "GEOTAR-Media", 2006, § 3.3.
