Članak u nastavku će pokriti pitanja pronalaženja koordinata sredine segmenta u prisustvu koordinata njegovih ekstremnih tačaka kao početnih podataka. Ali, prije nego što pređemo na proučavanje problema, uvodimo nekoliko definicija.

Definicija 1

Segment linije- prava linija koja spaja dvije proizvoljne tačke, koje se nazivaju krajevi segmenta. Kao primjer, neka su to tačke A i B i, respektivno, segment A B .

Ako se odsječak A B nastavi u oba smjera od tačaka A i B, dobićemo pravu liniju A B. Tada je segment A B dio dobijene prave linije omeđen tačkama A i B . Segment A B objedinjuje tačke A i B, koje su njegovi krajevi, kao i skup tačaka između njih. Ako, na primjer, uzmemo bilo koju proizvoljnu tačku K koja leži između tačaka A i B, možemo reći da tačka K leži na segmentu A B.

Definicija 2

Dužina rezanja je rastojanje između krajeva segmenta u datoj skali (segment jedinične dužine). Dužina segmenta A B označavamo na sljedeći način: A B .

Definicija 3

midpoint Tačka na segmentu prave koja je jednako udaljena od njegovih krajeva. Ako je sredina segmenta A B označena točkom C, tada će jednakost biti tačna: A C \u003d C B

Početni podaci: koordinatna linija O x i neusklađene tačke na njoj: A i B . Ove tačke odgovaraju realni brojevi x A i x B . Tačka C je središte segmenta A B: potrebno je odrediti koordinate x C .

Pošto je tačka C središte segmenta A B, jednakost će biti tačna: | A C | = | C B | . Udaljenost između tačaka određena je modulom razlike njihovih koordinata, tj.

| A C | = | C B | ⇔ x C - x A = x B - x C

Tada su moguće dvije jednakosti: x C - x A = x B - x C i x C - x A = - (x B - x C)

Iz prve jednakosti izvodimo formulu za koordinatu točke C: x C \u003d x A + x B 2 (pola zbroja koordinata krajeva segmenta).

Iz druge jednakosti dobijamo: x A = x B , što je nemoguće, jer u originalnim podacima - neusklađene tačke. Na ovaj način, formula za određivanje koordinata sredine segmenta A B sa krajevima A (x A) i B(xB):

Dobivena formula će biti osnova za određivanje koordinata sredine segmenta na ravni ili u prostoru.

Početni podaci: pravougaoni koordinatni sistem na ravni O x y , dvije proizvoljne nepodudarne tačke sa datim koordinatama A x A , y A i B x B , y B . Tačka C je središte segmenta A B. Potrebno je odrediti koordinate x C i y C za tačku C .

Uzmimo za analizu slučaj kada se tačke A i B ne poklapaju i ne leže na istoj koordinatnoj pravoj ili pravoj okomitoj na jednu od osa. A x , A y ; B x , B y i C x , C y - projekcije tačaka A , B i C na koordinatne ose (prave O x i O y).

Po konstrukciji, prave A A x , B B x , C C x su paralelne; linije su takođe paralelne jedna s drugom. Zajedno s tim, prema Talesovoj teoremi, iz jednakosti A C = C B slijede jednakosti: A x C x = C x B x i A y C y = C y B y, a oni, zauzvrat, ukazuju da je tačka C x - sredina segmenta A x B x, a C y sredina segmenta A y B y. A onda, na osnovu formule dobijene ranije, dobijamo:

x C = x A + x B 2 i y C = y A + y B 2

Iste formule mogu se koristiti u slučaju kada tačke A i B leže na istoj koordinatnoj liniji ili pravoj okomitoj na jednu od osa. Nećemo provoditi detaljnu analizu ovog slučaja, razmotrit ćemo ga samo grafički:

Sumirajući sve navedeno, koordinate sredine segmenta A B na ravni sa koordinatama krajeva A (x A , y A) i B(x B, y B) definisano kao:

(x A + x B 2 , y A + y B 2)

Početni podaci: koordinatni sistem O x y z i dvije proizvoljne tačke sa datim koordinatama A (x A , y A , z A) i B (x B , y B , z B) . Potrebno je odrediti koordinate tačke C, koja je sredina segmenta A B.

A x , A y , A z ; B x , B y , B z i C x , C y , C z - projekcije svih datih tačaka na ose koordinatnog sistema.

Prema Talesovoj teoremi, jednakosti su tačne: A x C x = C x B x , A y C y = C y B y , A z C z = C z B z

Prema tome, tačke C x , C y , C z su sredine segmenata A x B x , A y B y , A z B z redom. onda, za određivanje koordinata sredine segmenta u prostoru, sljedeće formule su tačne:

x C = x A + x B 2 , y c = y A + y B 2 , z c = z A + Z B 2

Rezultirajuće formule su također primjenjive u slučajevima kada tačke A i B leže na jednoj od koordinatnih linija; na pravoj liniji okomitoj na jednu od osi; u jednoj koordinatnoj ravni ili ravni okomitoj na jednu od koordinatnih ravnina.

Određivanje koordinata sredine segmenta preko koordinata vektora radijusa njegovih krajeva

Formula za pronalaženje koordinata sredine segmenta može se izvesti i prema algebarskoj interpretaciji vektora.

Početni podaci: pravougaoni Dekartov koordinatni sistem O x y , tačke sa datim koordinatama A (x A , y A) i B (x B , x B) . Tačka C je središte segmenta A B.

Prema geometrijska definicija akcije na vektore, bit će tačna sljedeća jednakost: O C → = 1 2 · O A → + O B → . Tačka C u ovom slučaju je presječna tačka dijagonala paralelograma konstruisanog na osnovu vektora O A → i O B → , tj. tačka sredine dijagonala. Koordinate radijus vektora tačke su jednake koordinatama tačke, tada su tačne jednakosti: O A → = (x A , y A) , O B → = (x B , y B) . Izvršimo neke operacije nad vektorima u koordinatama i dobijemo:

O C → = 1 2 O A → + O B → = x A + x B 2 , y A + y B 2

Dakle, tačka C ima koordinate:

x A + x B 2 , y A + y B 2

Analogno se definiše formula za pronalaženje koordinata sredine segmenta u prostoru:

C (x A + x B 2 , y A + y B 2 , z A + z B 2)

Primjeri rješavanja zadataka za pronalaženje koordinata sredine segmenta

Među zadacima koji uključuju korištenje gore dobijenih formula, postoje i oni u kojima je pitanje direktno izračunavanje koordinata sredine segmenta, i oni koji uključuju dovođenje datih uslova na ovo pitanje: pojam "medijana" Često se koristi, cilj je pronalaženje koordinata jednog sa krajeva segmenta, kao i problema sa simetrijom, čije rješavanje općenito također ne bi trebalo uzrokovati poteškoće nakon proučavanja ove teme. Razmotrimo tipične primjere.

Primjer 1

Početni podaci: na ravni - tačke sa datim koordinatama A (- 7, 3) i B (2, 4) . Potrebno je pronaći koordinate sredine segmenta A B.

Rješenje

Označimo sredinu segmenta A B tačkom C. Njegove koordinate će se odrediti kao polovina zbira koordinata krajeva segmenta, tj. tačke A i B.

x C = x A + x B 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2

Odgovori: koordinate sredine segmenta A B - 5 2 , 7 2 .

Primjer 2

Početni podaci: poznate su koordinate trougla A B C: A (- 1 , 0) , B (3 , 2) , C (9 , - 8) . Potrebno je pronaći dužinu medijane A M.

Rješenje

1. Prema uslovu zadatka, A M je medijan, što znači da je M središte segmenta B C . Prije svega, nalazimo koordinate sredine segmenta B C , tj. M bodova:

x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (- 8) 2 = - 3

1. Pošto sada znamo koordinate oba kraja medijane (tačke A i M), možemo koristiti formulu da odredimo udaljenost između tačaka i izračunamo dužinu medijane A M:

A M = (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58

odgovor: 58

Primjer 3

Početni podaci: paralelepiped A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 je dat u pravougaonom koordinatnom sistemu trodimenzionalnog prostora. Date su koordinate tačke C 1 (1 , 1 , 0), a definisana je i tačka M, koja je središte dijagonale B D 1 i ima koordinate M (4 , 2 , - 4) . Potrebno je izračunati koordinate tačke A.

Rješenje

Dijagonale paralelepipeda se sijeku u jednoj tački, koja je središte svih dijagonala. Na osnovu ove tvrdnje možemo imati na umu da je tačka M poznata po uslovima zadatka sredina segmenta A S 1 . Na osnovu formule za pronalaženje koordinata sredine segmenta u prostoru, nalazimo koordinate tačke A: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 x M - x C 1 = 2 4 - 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 y M - y C 1 = 2 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 z M - z C 1 = 2 (- 4) - 0 = - 8

odgovor: koordinate tačke A (7, 3, - 8) .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Svaka tačka na površini planete ima specifičnu poziciju, koja odgovara njenoj vlastitoj koordinati u geografskoj širini i dužini. Nalazi se na raskrsnici sfernih lukova meridijana, koji je odgovoran za geografsku dužinu, sa paralelom koja odgovara geografskoj širini. Označava se parom ugaonih vrijednosti izraženih u stepenima, minutama, sekundama, što ima definiciju koordinatnog sistema.

Geografska širina i dužina su geografski aspekt ravni ili sfere, koji se prenosi u topografske slike. Za precizniju lokaciju bilo koje tačke uzima se u obzir i njena visina iznad nivoa mora, što vam omogućava da je pronađete u trodimenzionalnom prostoru.

Geografska širina i dužina

Potreba za pronalaženjem tačke prema koordinatama geografske širine i dužine javlja se na dužnosti i po zanimanju kod spasilaca, geologa, vojske, mornara, arheologa, pilota i vozača, ali može zatrebati i turistima, putnicima, tragačima, istraživačima.

Šta je geografska širina i kako je pronaći

Geografska širina je udaljenost od objekta do linije ekvatora. Mjereno u ugaonim jedinicama (kao što su stepeni, stepeni, minute, sekunde, itd.). Geografska širina na karti ili globusu označena je horizontalnim paralelama - linijama koje opisuju krug paralelan s ekvatorom i konvergiraju u obliku niza prstenova koji se sužavaju prema polovima.

Linije geografske širine

Stoga razlikuju sjevernu geografsku širinu - ovo je cijeli dio zemljine površine sjeverno od ekvatora, kao i na jugu - ovo je cijeli dio površine planete južno od ekvatora. Ekvator - nula, najduža paralela.

• Paralele od linije ekvatora do sjevernog pola smatraju se pozitivnom vrijednošću od 0° do 90°, gdje je 0° sam ekvator, a 90° vrh sjevernog pola. Računaju se kao sjeverna geografska širina (NL).
• Paralele koje se šire od ekvatora u stranu Južni pol, označeno negativnom vrijednošću od 0° do -90°, gdje je -90° lokacija južnog pola. Oni se računaju kao južna geografska širina (J).
• Na globusu, paralele su prikazane kao krugovi koji okružuju loptu, koji se smanjuju kako se približavaju polovima.
• Sve tačke na istoj paraleli imaće istu geografsku širinu, ali različite geografske dužine.
  Na kartama, na osnovu njihove skale, paralele su u obliku vodoravnih, zakrivljenih lučnih pruga - što je manja skala, to je paralelna traka ispravnija, a što je veća, to je zakrivljenija.

Zapamtite!Što je određeno područje bliže ekvatoru, to će biti njegova geografska širina.

Šta je geografska dužina i kako je pronaći

Geografska dužina je iznos za koji se položaj date oblasti uklanja u odnosu na Greenwich, odnosno nulti meridijan.

Linije geografske dužine

Geografska dužina je slično svojstvena mjerenju u ugaonim jedinicama, samo od 0 ° do 180 ° i s prefiksom - istok ili zapad.

• Nulti meridijan Greenwicha okomito okružuje globus Zemlje, prolazeći kroz oba pola, dijeleći ga na zapadnu i istočnu hemisferu.
• Svaki od dijelova zapadno od Greenwicha (na zapadnoj hemisferi) imat će oznaku zapadne dužine (WL).
• Svaki od dijelova istočno od Greenwicha i koji se nalazi na istočnoj hemisferi nosit će oznaku istočne geografske dužine(v.p.).
• Pronalaženje svake tačke duž jednog meridijana ima jednu geografsku dužinu, ali različitu geografsku širinu.
• Meridijani su ucrtani na kartama u obliku vertikalnih pruga, zakrivljenih u obliku luka. Što je mapa manja, to će meridijanska traka biti ravnija.

Kako pronaći koordinate određene tačke na karti

Često morate saznati koordinate točke koja se nalazi na karti u kvadratu između dvije najbliže paralele i meridijana. Približni podaci se mogu dobiti okom sukcesivnom procjenom koraka u stupnjevima između linija ucrtanih na karti u području od interesa, a zatim poređenjem udaljenosti od njih do željenog područja. Za precizne proračune trebat će vam olovka s ravnalom ili šestar.

• Za početne podatke uzimamo oznake paralela sa meridijanom najbližim našoj tački.
• Zatim gledamo korak između njihovih pruga u stepenima.
• Zatim gledamo vrijednost njihovog koraka na karti u cm.
• Izmjerite ravnalom u cm udaljenost od dati poen do najbliže paralele, kao i rastojanje između ove prave i susjedne, prevodimo u stupnjeve i uzimamo u obzir razliku - oduzimajući od veće ili dodajući manjoj.
• Tako dobijamo geografsku širinu.

Primjer! Udaljenost između paralela 40° i 50°, među kojima se nalazi naša oblast, je 2 cm ili 20 mm, a korak između njih je 10°. Prema tome, 1° je jednak 2 mm. Naša tačka se uklanja od četrdesete paralele za 0,5 cm ili 5 mm. Nalazimo stepene do našeg lokaliteta 5/2 = 2,5 °, što se mora dodati vrijednosti najbliže paralele: 40 ° + 2,5 ° = 42,5 ° - ovo je naša sjeverna geografska širina date tačke. AT južna hemisfera proračuni su slični, ali rezultat ima negativan predznak.

Slično, nalazimo geografsku dužinu - ako je najbliži meridijan udaljeniji od Greenwicha, a data tačka bliža, onda oduzimamo razliku, ako je meridijan bliži Greenwichu, a tačka dalje, onda dodajemo.

Ako je pri ruci pronađen samo kompas, tada je svaki od segmenata fiksiran svojim vrhovima, a potisak se prenosi na skalu.

Slično se vrše proračuni koordinata na površini globusa.

Najbolji servisi za pronalaženje mjesta po koordinatama

Najlakši način da saznate svoju lokaciju je da odete na PC verziju usluge koja radi direktno sa Google mapama. Mnogi uslužni programi pojednostavljuju proces unosa geografske širine i dužine u pretraživač. Hajde da razmotrimo najbolje od njih.

Karta i smjernice

Uz to, Maps & Directions vam omogućava da besplatno odredite koordinate svoje pozicije na mapi samo jednim klikom. Kliknite na "Pronađi moje koordinate", a servis će odmah staviti marker i odrediti geografsku širinu, dužinu do više hiljada, a takođe i visinu.

Na istoj stranici možete izmjeriti udaljenost između naselja ili područje bilo koje teritorije, nacrtajte rutu ili izračunajte vrijeme putovanja. Usluga je korisna kako za putnike, tako i za samo radoznale korisnike.

mapcoordinates.net

Korisni uslužni program Mapcoordinates.net omogućava vam da saznate koordinate tačke u bilo kojoj regiji svijeta. Usluga je također integrirana sa Google Maps, ali ima pojednostavljeno sučelje, zahvaljujući kojem ga može koristiti i nespreman korisnik.

U adresnu traku uslužnog programa, gdje piše "Traži", unesite adresu mjesta čiju geografsku širinu i dužinu želite dobiti. Karta sa koordinatama će se pojaviti zajedno sa markerom na željenoj lokaciji. Geografska širina, dužina i nadmorska visina odabrane tačke biće prikazane iznad markera.

Nažalost, Mapcoordinates.net nije pogodan za traženje tačaka znajući njihove koordinate. Međutim, za obrnuti postupak, ovo je vrlo zgodan uslužni program. Usluga podržava mnoge jezike, uključujući ruski.

Pretražujte po koordinatama na mapi putem pretraživača koristeći uslugu Google Maps

Ako iz nekog razloga više volite da radite ne sa pojednostavljenim uslugama, već direktno sa Google mapama, onda će vam ovo uputstvo biti korisno. Proces pretraživanja po koordinatama putem Google Maps je malo složeniji nego u metodama opisanim ranije, ali se može savladati brzo i bez većih poteškoća.

Da biste saznali točne koordinate mjesta, slijedite sljedeća jednostavna uputstva:

Otvorite uslugu na računaru. Važno je da se omogući puni režim, a ne lite (označen posebnom ikonom munje) režim, inače neće raditi za dobijanje informacija;

Desnom tipkom miša kliknite na područje karte gdje se nalazi tačka ili tačka koja vam je potrebna;

Označite opciju "Šta je ovdje?" u meniju koji se pojavi;

Pogledajte karticu koja se pojavljuje na dnu ekrana. Prikazaće geografsku širinu, dužinu i nadmorsku visinu.

Za određivanje mjesta prema poznatim geografskim koordinatama bit će potrebna drugačija procedura:

1. Otvorite Google Maps u punom načinu rada na svom računaru;

   U traci za pretraživanje na vrhu ekrana možete unijeti koordinate. To se može učiniti u sljedećim formatima: stepeni, minute i sekunde; stepeni i decimalnih minuta; decimalni stepeni;

Pritisnite tipku "Enter" i na mapi će se pojaviti poseban marker na željenoj lokaciji.

Najvažnija stvar pri korištenju usluge Google Maps je da ispravno odredite geografske koordinate. Kartice prepoznaju samo nekoliko formata podataka, stoga imajte na umu sljedeća pravila unosa:

Kada unosite stepene, koristite specijalni znak koji označava "°", a ne "d";

Kao razdjelnik između cijelog broja i razlomaka, morate koristiti tačku, a ne zarez, inače string za pretraživanje neće moći dati mjesto;

Prvo je navedena geografska širina, a zatim geografska dužina. Prvi parametar mora biti napisan u rasponu od -90 do 90, drugi - od -180 do 180.

Pronalaženje posebnog znaka na tastaturi računara je teško, a da biste se pridržavali tražene liste pravila, morate uložiti dosta truda. Mnogo je lakše koristiti posebne uslužne programe - u gornjem dijelu smo naveli najbolje od njih.

Pronalaženje mjesta prema geografskoj širini i dužini na Android OS-u

Često morate pronaći mjesto po koordinatama dalje od laptopa ili PC. U tome će pomoći mobilna aplikacija Google Maps koja radi na Android platformi. Obično se koristi za dobijanje uputstava ili saznavanje rasporeda vozila, ali je program pogodan i za pronalaženje lokacije tačke ili tačke.

Aplikaciju za Android možete preuzeti na zvaničnoj stranici na Google Play-u. Dostupan je i na ruskom i na engleski. Nakon instalacije programa, slijedite upute u nastavku:

Otvorite Google Maps na svom uređaju i pričekajte da se mapa pojavi;

Pronađite mjesto koje vas zanima. Kliknite na njega i držite dok se ne prikaže poseban marker;

Na vrhu ekrana će se pojaviti kartica s okvirom za pretragu i punim koordinatama mjesta;

Ako trebate pronaći mjesto po koordinatama, a ne obrnuto, tada se metoda na mobilnom uređaju ne razlikuje od svog kolege na PC-u.

Mobilna verzija usluge, kao i rad na PC-u, omogućit će vam da detaljno proučite željeno mjesto, saznate njegove točne koordinate ili obrnuto, prepoznate adresu iz poznatih podataka. Ovo je zgodan način i za kuću i za put.

1. Da biste pronašli koordinate presječne točke grafova funkcija, trebate izjednačiti obje funkcije jednu s drugom, premjestiti sve članove koji sadrže $ x $ na lijevu stranu, a ostatak na desnu stranu i pronaći korijene rezultirajućeg jednačina.
2. Drugi način je sastaviti sistem jednačina i riješiti ga zamjenom jedne funkcije drugom
3. Treća metoda uključuje grafičku konstrukciju funkcija i vizualnu definiciju točke presjeka.

Slučaj dvije linearne funkcije

Razmotrite dva linearne funkcije$ f(x) = k_1 x+m_1 $ i $ g(x) = k_2 x + m_2 $. Ove funkcije se nazivaju direktne. Njihovo sastavljanje je dovoljno jednostavno, samo trebate uzeti bilo koje dvije vrijednosti $x_1$ i $x_2$ i pronaći $f(x_1)$ i $(x_2)$. Zatim ponovite isto sa funkcijom $ g(x) $. Zatim vizualno pronađite koordinate presječne točke grafova funkcija.

Trebali biste znati da linearne funkcije imaju samo jednu točku presjeka i to samo kada je $ k_1 \neq k_2 $. Inače, u slučaju $ k_1=k_2 $, funkcije su paralelne jedna s drugom, pošto je $ k $ faktor nagiba. Ako je $ k_1 \neq k_2 $, ali $ m_1=m_2 $, tada će tačka preseka biti $ M(0;m) $. Ovo pravilo je poželjno zapamtiti za ubrzano rješavanje problema.

Slučaj dvije nelinearne funkcije

Ako je određena tačka A data na koordinatnoj ravni i potrebno je odrediti njene koordinate, onda se to radi na sljedeći način. Kroz tačku A povučene su dvije prave: jedna paralelna sa y osom, druga - x. Prava paralelna y-osi siječe x-osu (apscisa). Tačka preseka ose i prave je x-koordinata tačke A. Prava linija paralelna sa x-osi siječe y-os. Tačka presjeka ose i prave je y-koordinata tačke A. Na primjer, ako prava paralelna sa y siječe x osu u tački -5, a prava paralelna sa x siječe os y u tački 2.3, tada se koordinate tačke A zapisuju kao: A (-5; 2.3).

Na sličan način se rješava i inverzni problem, kada je potrebno nacrtati tačku prema zadatim koordinatama. Kroz tačke čije su vrijednosti jednake datim koordinatama, povlače se prave na osi x i y, paralelne jedna s drugom: kroz koordinatu x - prava linija paralelna sa y, kroz koordinatu y - prava paralelna sa x. Tačka preseka ovih linija biće željena tačka sa datim koordinatama. Na primjer, datu tačku B (–1,5; –3), potrebno je prikazati na koordinatnoj ravni. Da biste to učinili, kroz tačku (–1,5; 0), koja leži na osi x, povlači se ravna linija paralelna sa y osom. Prava linija je povučena kroz tačku (0; -3) paralelnu sa x osom. Tamo gdje se ove prave sijeku, nalazi se tačka B (–1,5; –3).

Da biste pronašli tačku na karti po koordinatama online koristeći Yandex, Google ili OSM tehnologije, ova karta koristi tehnologije OSM karte: - potrebno je unijeti svoje koordinate u polja: geografsku širinu i dužinu i kliknuti na dugme "Pronađi", nakon toga će servis izračunati mjesto, tačku na mapi, kako Rusije tako i svijeta. Ova usluga će vam pomoći da saznate ulicu, adresu, grad i odredite točne koordinate.

Pronalaženje geografskih koordinata geografske širine i dužine po adresi

Da biste pronašli koordinate na mapi geografske širine i dužine tačke na adresi na mreži: potrebno je da unesete tačnu adresu, grad, državu u polje za pretragu, odaberete željenu sa liste i servis će odrediti geografsku širinu i geografsku dužinu ovog mjesta, koju možete kopirati iz posebnog polja.

Također možete prikazati tačku na karti i izračunati njene koordinate, jednostavnim klikom na kartu bilo gdje, servis će izračunati: adresa objekta i polje će prikazati podatke o koordinatama, koji se također mogu kopirati.