O'zini element sifatida o'z ichiga olmagan barcha to'plamlar. U o'zini element sifatida o'z ichiga oladimi? Agar shunday bo'lsa, ta'rifga ko'ra, u element bo'lmasligi kerak - qarama-qarshilik. Agar yo'q bo'lsa - demak, ta'rifga ko'ra, u element bo'lishi kerak - yana ziddiyat.

Rassellning paradoksidagi qarama-qarshilik ichki ziddiyatli kontseptsiyani mulohaza yuritishda foydalanishdan kelib chiqadi. barcha to'plamlarning to'plamlari to‘plamlar bilan ishlashda klassik mantiq qonunlarini cheksiz qo‘llash imkoniyatlari haqidagi g‘oyalar. Ushbu paradoksni bartaraf etishning bir qancha usullari taklif qilingan. Eng mashhuri to'plamlar nazariyasi uchun izchil rasmiylashtirish taqdimoti bo'lib, unga nisbatan to'plamlar bilan ishlashning barcha "haqiqatan ham zarur" (ma'lum ma'noda) usullari maqbul bo'ladi. Bunday rasmiylashtirish doirasida, mavjudligi haqidagi bayonot barcha to'plamlarning to'plamlari qaytarilmas bo'lar edi.

Haqiqatan ham, barcha to'plamlar to'plami mavjud deb faraz qilaylik. Keyin, tanlash aksiomasiga ko'ra, elementlari o'sha va faqat o'zini element sifatida o'z ichiga olmaydigan to'plamlar bo'lgan to'plam ham mavjud bo'lishi kerak. Biroq, to'plamning mavjudligi haqidagi faraz Rassellning paradoksiga olib keladi. Shuning uchun, nazariyaning izchilligini hisobga olgan holda, to'plamning mavjudligi haqidagi bayonot isbotlanishi kerak bo'lgan ushbu nazariyada hosil bo'lmaydi.

Ta'riflangan to'plamlar nazariyasini "saqlash" dasturini amalga oshirish jarayonida uning bir nechta mumkin bo'lgan aksiomatizatsiyalari taklif qilindi (Zermelo-Fraenkel nazariyasi ZF, Neumann-Bernays-Gödel NBG nazariyasi va boshqalar), ammo hech qanday dalil yo'q. hozirgacha ushbu nazariyalarning birortasi uchun izchillik topilgan. Bundan tashqari, Gödel bir qator to'liqsizlik teoremalarini ishlab chiqish orqali ko'rsatganidek, bunday dalil (ma'lum ma'noda) mavjud emas.

Bu kashfiyotga yana bir munosabat Rassellning paradoksi L. E. Ya. Brouverning intuitivizmi paydo bo'ldi.

So'zlarni yozish imkoniyatlari

Ushbu paradoksning ko'plab mashhur formulalari mavjud. Ulardan biri an'anaviy ravishda sartarosh paradoksi deb ataladi va quyidagicha davom etadi:

Bir qishloq sartaroshiga buyurtma berildi "O'z soqolini olmagan odamni soqolini olma, o'zini soqol olganni ham soqol olma". U o'zi bilan qanday munosabatda bo'lishi kerak?

Boshqa variant:

Bir davlat farmon chiqardi: "Barcha shahar merlari o'z shahrida emas, balki maxsus shahar hokimlarida yashashlari kerak". Hokimlar shahar hokimi qayerda yashashi kerak?

Va yana bir:

Ma'lum bir kutubxona bibliografik katalogni tuzishga qaror qildi, unda barcha va faqat o'zlariga havolalar mavjud bo'lmagan bibliografik kataloglar kiradi. Bunday katalog o'ziga havolani o'z ichiga olishi kerakmi?

Shuningdek qarang

Adabiyot

• Kurant R, Robbins G. Matematika nima? - Ch. II, 4.5-§
• Miroshnichenko P.N. Frege tizimidagi Rassell paradoksini nima yo'q qildi? // Zamonaviy mantiq: nazariya, tarix va fanda qo'llash muammolari. - SPb., 2000. - S. 512-514.
• Katrechko S.L. Rassellning sartaroshlik paradoksi va Platon dialektikasi - Aristotel // Zamonaviy mantiq: nazariya, tarix va fanda qo'llash muammolari. - Sankt-Peterburg, 2002. - S. 239-242.
• Martin Gardner Xo'sh, taxmin qiling! = Oh! bor. Boshqotirmoq va zavqlanadigan paradokslar. - M .: Mir, 1984. - S. 22-23. - 213 b.

Eslatmalar

Wikimedia fondi. 2010 yil.

Boshqa lug'atlarda "Russell Paradox" nima ekanligini ko'ring:

- (yunoncha paradoxos kutilmagan, g'alati) keng ma'noda: umumiy qabul qilingan, o'rnatilgan fikrga keskin qarama-qarshi bo'lgan bayonot, "shubhasiz to'g'ri" ko'rinadigan narsani inkor etish; tor ma'noda, ikkita qarama-qarshi bayonot, ...... uchun. Falsafiy entsiklopediya

Rassell paradoksi, 1903 yilda Bertran Rassel tomonidan kashf etilgan va keyinchalik E. Zermelo tomonidan mustaqil ravishda qayta kashf etilgan to‘plam nazariyasi antinomiyasi G. Kantorning sodda to‘plamlar nazariyasi tilining nomukammalligini, balki uning nomuvofiqligini ko‘rsatadi. Antinomiya ...... Vikipediya

paradoks- PARADOKS (yunoncha para tashqi va doxa fikridan). 1) Keng (mantiqiy bo'lmagan) ma'noda, an'ana, qonun, qoida, me'yor yoki sog'lom fikr bilan tasdiqlangan umumiy qabul qilingan fikrga u yoki bu tarzda zid bo'lgan (ajraladigan) hamma narsa. ... Epistemologiya va fan falsafasi entsiklopediyasi

Avvaliga hali aniq bo'lmagan pozitsiya, ammo kutilganidan farqli o'laroq, haqiqatni ifodalaydi. Qadimgi mantiqda paradoks - bu noaniqligi birinchi navbatda uning to'g'ri yoki noto'g'riligiga ishora qiluvchi bayonot. DA… … Falsafiy entsiklopediya

- (barcha asosli sinflar sinfining paradoksi) to'plamlar nazariyasidagi paradoks, bu Burali Forti paradoksini umumlashtirish. Rus matematigi D.Mirimanov nomi bilan atalgan. Mundarija 1 So'zlar ... Vikipediya

Barcha tartib sonlar to‘plamining mavjudligi haqidagi faraz qarama-qarshiliklarga olib kelishini va shuning uchun bunday to‘plamni qurish mumkin bo‘lgan to‘plamlar nazariyasi qarama-qarshi ekanligini ko‘rsatadi. Mundarija 1 So'z 2 Tarix ... Vikipediya

- (yunoncha paradokslardan kutilmagan, g'alati) kutilmagan, g'ayrioddiy (hech bo'lmaganda shaklda) hukm (bayonot, hukm), bu masala bo'yicha umumiy qabul qilingan, an'anaviy fikrga keskin zid keladi. Shu ma'noda "paradoksal" epiteti ... Buyuk Sovet Entsiklopediyasi

Kantor paradoksi to'plamlar nazariyasining paradoksi bo'lib, u barcha to'plamlar to'plamining mavjudligi haqidagi faraz qarama-qarshiliklarga olib kelishini va shuning uchun nazariya bunday to'plamni qurishda mos kelmasligini ko'rsatadi ... ... Vikipediya.

Bu atamaning boshqa maʼnolari ham bor, qarang: Paradoks (maʼnolari). Robert Boyl. Abadiy harakat mashinasi mavjud emasligini isbotlash sxemasi Paradoks ... Vikipediya

Kitoblar

• Mantiqda predmet sohasining universalligi haqidagi metafizik kontseptsiyaning yemirilishi. Frege-Shryoder bahsi, B. V. Biryukov. DA bu kitob matematik mantiqning dramatik tarixi, "fikrlash olami" tushunchasi - mantiqdagi predmet sohasi bilan bog'liq. Ikki qarash o'rtasidagi ziddiyat ...

Sartarosh faqat o'zini soqol qilmaganlarning soqolini oladi,
Sartarosh o'zini soqol oladimi?

Javob: Sartarosh soqol olish harakatini oxirigacha bajaradi
u nima qilayotganini tushunmaguncha. masalan
kamida bitta sochni kesing. Bular. nimadir yuz berdi
natija, baholash qaysi, sartarosh qilish imkoniyatiga ega bo'ladi
soqol qo'ygan yoki qilmaganligidan qat'iy nazar, mantiqiy chegirma. Shundan so'ng u
bayroqni oldirishni to'xtating va unga etib kelganida
haqiqat ichida bu daqiqa soqol qo'ymaydi, takrorlaydi
ularning harakatlari. natijada tarash tezligi bo'ladi
sartaroshning o'zi qanday tezlikka bog'liq
analitik tizim sifatida ishlaydi. Va nihoyat, qaror
paradoks o'z vaqtida bo'ladi, ya'ni. sochingizni olmaysiz
soqol qo'yilmagan va hokazo. ya'ni tsikl, lekin
bizning generatorimiz.

Shunday qilib, Sartarosh natijada soqol oladimi?

Soqol olish atamasi uchun haqiqat mezoniga bog'liq (in
vazifa, aniqlanmagan, buning natijasida vazifa yo'q
to'g'ri sozlang).

shuning uchun men uni o'rnatish erkinligini oldim, shuning uchun vazifa
qaror qabul qildi va "soqol olish" ta'rifini kiritdi.
sochingizni olish fakti bir vaqtning o'zida bitta sochni kesishdir
vaqt t1-t2.

boshqa forumdan nusxa ko'chirish:

"Keling, barcha nuqtalarni Yo'ga qo'yamiz!"
Xo'sh, soqol olish haqiqati, albatta, ajoyib! Va aslida uni kim o'rnatmoqchi?

Sartaroshning o'zi, albatta!
Axir, u o'zi uchun belgilangan vaqtda topshiriqning shartini bajaradimi yoki yo'qligini aniqlaydi.
Agar u hozir soqol qilmasa, u xotirjamlik bilan soqol olishni boshlashi mumkin. Ayni paytda u o'zi uchun sartarosh emas.
Shartda soqolni boshlash yoki soqol olish taqiqlanganligi aytilmagan.
U o'zini soqol olish jarayonidan xabardor bo'lgan haqiqatga ega bo'lmasligi kerak, aks holda u shartni buzadi.
Bular. agar u buni anglay olmasa, u muammoning holatini buzmaydi!
Va uning nuqtai nazariga ko'ra, istisno qilingan o'rta qonuniga ko'ra, bu sodir bo'lishi mumkin emas.

Chunki u shunchaki t1-t2 vaqtida soch kesish harakatini amalga oshirishga vaqt topolmaydi.

Ma’lum bo‘lishicha, voqea sodir bo‘lgan va sartaroshning aybi yo‘q. Ha, u soqol olish harakatini tugatganini tushunadi, lekin u hali buni amalga oshirmagan paytda, shartga ko'ra soqol olish jarayonini boshlashga haqli edi! U ISOda sartarosh emas edi. Soqolini olganida esa yana vijdoni toza bo'ladi, chunki u boshqa sochini qirdirmaydi. Va uning ISO-da soqol olish harakatining haqiqati umuman aniqlanmagan.
Har qanday qishloq aholisi nuqtai nazaridan, sartarosh ham shartlarni buzmagan, chunki u qisqa vaqt oralig'ida qilgan hamma narsa ularning ISO-dan aniqlanmagan va undan ham ko'proq. Ularning ikkalasi ham faqat natijani ko'rishadi: u soqolini qilmagan, endi esa soqolini oldi.

Agar sochning yarmini kesish paytida uning tarash faktini aniqlay oladigan "tezkor sartarosh" ni oladigan bo'lsak, u holatni buzmaslik uchun shunchaki to'xtaydi va darhol soqol olishni davom ettiradi, chunki u yana sartaroshlikdan to'xtaydi.

Qanday bo'lmasin, sartaroshning soqolini oladi va u shartni buzganligini anglash, bunga qaramay, unga kelmaydi.

Tana to'g'ri chiziq bo'ylab harakatlanishi va vakuumda bir xilda tezlashishi sizning xayolingizga kelmaydimi? Siz buni odatdagidek qabul qilasiz, shunday emasmi? voy! Tana harakatga keldi, energiya sarflanmadi, lekin uni kim harakatga keltirdi? Kim energiya sarfladi?
Xuddi shunday, sartarosh ham haqiqatga duch keladi. Voy! Pabrilsi! Bu qanday sodir bo'ldi? Bu, albatta, agar uning xotirasi nokautlangan bo'lsa va u bir lahza oldin nima qilganini eslamasa.

Nyutonning 1-qonuniga kelsak, siz buni qilmaysiz, hammasi shu.

Va faqat sartarosh bir lahza oldin qilgan ishini eslab qolishi va shuningdek, uning soqolini qilmaganligi sababli, u o'zini soqolini oldirganligi va shartni buzganligi to'g'risida deduktiv FARZA qilishi mumkin.
Soqol olish faktini aniqlab bo'lmadi, lekin bu aniq edi.
Biz sabablar inversiyasi mantiq qonunini qo'llaymiz:
boshqa deduktiv xulosa bo'lishi mumkin emasligi isbotlangan taqdirda deduktiv xulosa induktiv xulosaga aylanadi, lekin bunday bo'lishi mumkin emas, yaqin atrofda hech kim yo'q edi, shuning uchun sartaroshning o'zi soqolini oldi, mo''jiza emas, balki buzilish fakti. allaqachon induktiv tarzda o'rnatilgan.
(Men sizdan shu lahzani his qilishingizni so'rayman, chunki men bu erda induksiya va deduksiya tushunchasi uchun sabab inversiyasi qonuni qanday ishlashini ko'rsatdim, yana qayerda ko'rsatishim mumkin)

Ammo bu yana muammoning shartlarini buzmaydi, chunki muammo sartaroshning bundan keyin azoblanishi kerakligi haqida hech narsa aytmaydi. Soqol olish yoki olmaslik degan savol bor edi.

Agar sartarosh bitta sochni qirqish faktidan keyin holatni buzganligi va yana soqol olishga urinish uni muammoning holatini keyingi buzilishiga olib keladi degan xulosaga kelgan bo'lsa ham, bu yana hech narsani o'zgartirmaydi, chunki muammo hali ham bo'lmagan. salbiy fikr-mulohazalarni o'z vaqtida inobatga olishga ko'rsatma berildi, ya'ni. sukut bo'yicha, biz ularni konventsiyaga ko'ra e'tiborsiz qoldiramiz.

"Kuzatuvchi? Bu boshqa ISO."

Axir, vazifa bitta sochni tarash tartibini boshqa ISO (sekin harakat) ning tarkibiy qismlariga sartaroshdan ham batafsilroq kvantlash orqali o'lchay oladigan tashqi kuzatuvchiga emas, balki sartaroshga qo'yilgan. sochlarning yarmini tarash jarayonini tushunib, sartaroshning ahvolini buzganligini ayting. Xo'sh, ha, uning pozitsiyasidan sartarosh uni buzadi, lekin bu muammoning shartiga zid kelmaydi.

Bir qishloqdagi sartaroshxona egasi quyidagi e'lonni qo'ydi: "Men faqat o'zini soch qilmagan qishloq aholisining soqolini oldiraman". Savol shundaki, sartaroshning sochini kim oladi?

Rivojlanish matematik mantiq ayniqsa 20-asrda kompyuter texnikasi va dasturlashning rivojlanishi munosabati bilan kuchaydi.

Ø Ta'rif Matematik mantiq mantiqning zamonaviy shakli bo'lib, u butunlay rasmiyatga tayanadi matematik usullar. U faqat qat'iy belgilangan ob'ektlar va mulohazalar haqidagi xulosalarni o'rganadi, ular bo'yicha ularning to'g'ri yoki yolg'onligini aniq hal qilish mumkin.

Matematik mantiqning asosiy (aniqlanmagan) tushunchasi "kontseptsiyasidir. oddiy bayonot". Bitta gap bo'lgan gap odatda oddiy yoki elementar deyiladi.

Ø Ta'rif bayonoti to‘g‘ri yoki yolg‘on deyish mumkin bo‘lgan bildiruvchi gapdir.

Bayonotlar rost I yoki yolgʻon L boʻlishi mumkin.

Misol: Yer sayyorasi quyosh sistemasi. (To'g'ri); Har bir parallelogramm kvadrat (yolg'on)

Shunday bayonotlar borki, ular to'g'ri yoki yolg'onligini aniq aytish mumkin emas. "Bugun ob-havo yaxshi" (hammaga yoqadi)

Misol bayonot "Yomg'ir yog'moqda"- oddiy va haqiqat yoki noto'g'ri, hozir derazadan tashqaridagi ob-havo qanday bo'lishiga bog'liq. Agar haqiqatan ham yomg'ir yog'ayotgan bo'lsa, bu gap to'g'ri, agar quyoshli bo'lsa va yomg'irni kutish befoyda bo'lsa, demak "Yomg'ir yog'moqda" yolg'on bo'ladi.

Misol"" bu bayonot emas (u qanday qiymatlarni olishi noma'lum).

“Ikkinchi kurs talabasi” degan gap emas

Ø Ta'rifBoshlang'ich gaplarni boshqa gaplar bilan ifodalash mumkin emas.

Ø Ta'rifKompozit takliflar - elementar takliflar yordamida ifodalanishi mumkin bo'lgan takliflar.

Misol"22 raqami juft" - bu elementar gap.

Bayonotlarning haqiqatini aniqlashning ikkita asosiy yondashuvi mavjud: empirik (eksperimental) va mantiqiy.

Da empirik yondashuv gapning haqiqati kuzatishlar, o'lchovlar, tajribalar yordamida aniqlanadi.

mantiqiy yondashuv gapning haqiqati boshqa gaplarning haqiqati asosida, ya'ni faktlarga, ularning mazmuniga murojaat qilmasdan, ya'ni rasmiy ravishda o'rnatilishida yotadi. Ushbu yondashuv argumentga kiritilgan gaplar orasidagi mantiqiy aloqalarni aniqlash va ulardan foydalanishga asoslangan.

2.2 Taklif mantiqi

Avvalo, siz tushunchalarni aniqlashingiz kerak, chunki bir xil bo'lim ko'pincha boshqacha nomlanadi: matematik mantiq, taklif (jumla) mantiqi, ramziy mantiq, ikki qiymatli mantiq, taklif mantiqi, mantiqiy algebra ...

Ø Ta'riftaklif mantiqi- mantiqning bir tarmog'i bo'lib, unda bayonotlarning haqiqat yoki yolg'onligi masalasi ko'rib chiqiladi va e dan bayonotlar tuzish usulini o'rganish asosida qaror qabul qilinadi. boshlang'ich(keyingi o‘rinlarda ajratilmagan va tahlil qilinmagan) qo‘shma gaplar ("va"), diszyunksiya ("yoki"), inkor ("emas"), implikatsiya ("agar... keyin...") mantiqiy amallari yordamida. va hokazo.

Ø Ta'rif takliflar hisobi aksiomatik mantiqiy tizim bo'lib, uning talqini takliflar algebrasidir.

Barcha mumkin bo'lgan bayonotlar orasida mantiqiy qonunlar (to'g'ri tuzilgan mulohazalar, mantiqiy xulosalar, tavtologiyalar, umumiy asosli bayonotlar) bo'lganlarni ajratib turadigan rasmiy tizimni qurish katta qiziqish uyg'otadi.

Rasmiy nazariyalar, tabiiy (so'zlashuv) tildan foydalanmasdan, unda uchraydigan iboralar yoziladigan o'zlarining rasmiy tiliga muhtoj.

Ø Ta'rif Tavtologiya bo'lgan va faqat ularni ifodalovchi bayonotlarni hosil qiluvchi rasmiy tizim deyiladi taklif hisobi(IV).

Rasmiy IoT tizimi quyidagilar bilan tavsiflanadi:

Mantiqiy bog‘lovchilarni belgilash uchun qaysi belgilardan foydalanish yaxshidir?

Keling, quyidagi belgilarga to'xtalib o'tamiz: inkor, konyunksiya, diszyunksiya, implikatsiya va ekvivalentlik. Odatda, bog'lovchilarni qo'llash natijalarining mantiqiy qiymatlari jadvallar (haqiqat jadvallari deb ataladi) shaklida yoziladi.

2.3 Mantiqiy bog‘lovchilar.................................................. ................ ...

Tabiiy tilda bog‘lovchilarning kompozitsiyadagi roli murakkab jumlalar oddiylaridan quyidagi grammatik vositalar o'ynaydi:

kasaba uyushmalari "va", "yoki", "yo'q";

so'zlari "agar ..., keyin", "yoki ... yoki",

"agar va faqat agar" va boshqalar.

Taklif mantiqida murakkab takliflarni tuzish uchun ishlatiladigan mantiqiy bog'lovchilar aniq belgilanishi kerak.

Keling, mantiqiy bog'lovchilarni (operatsiyalarni) ko'rib chiqaylik, bunda qo'shma gaplarning haqiqat qiymatlari ularning ma'nosi bilan emas, balki faqat tarkibiy gaplarning haqiqat qiymatlari bilan belgilanadi.

Beshta keng tarqalgan mantiqiy bog'lovchilar mavjud.

inkor qilish (belgi bilan ifodalanadi),

birikma (belgi),

ajratish (v belgisi),

bildirish (belgi)

ekvivalentlik (belgi).

Ø Ta'rifInkor qilish P mulohazalari - bu P bayonoti noto'g'ri bo'lgan taqdirdagina to'g'ri bo'lgan mulohazalar.

Ø Ta'rifBog‘lovchi ikkita taklif P va Q - agar ikkala taklif ham to'g'ri bo'lsa, to'g'ri bo'lgan taklif.

Ø Ta'rifAjralish ikkita taklif P va Q - agar ikkala taklif ham yolg'on bo'lsa, yolg'on bo'lgan taklif.

Ø Ta'rifimo-ishora ikkita P va Q bayonoti - agar P to'g'ri va Q noto'g'ri bo'lsa, yolg'on bo'lgan bayonot. P bayonoti deyiladi posilka oqibatlar va Q bayonoti - xulosa oqibatlari.

Ø Ta'rifEkvivalentlik ikkita taklif P va Q - bu P va Q ning haqiqat qiymatlari bir xil bo'lgan taqdirdagina to'g'ri bo'lgan taklif.

Mantiq algebrasida "agar ..." "keyin ..." so'zlaridan foydalanish ularning kundalik nutqda qo'llanilishidan farq qiladi, bu erda, qoida tariqasida, biz ishonamizki, agar bayonot X noto'g'ri bo'lsa, unda "Agar X, keyin da- umuman mantiqqa to'g'ri kelmaydi. Bundan tashqari, "agar" shaklidagi jumlani qurish X, keyin da» kundalik nutqda biz har doim jumlani nazarda tutamiz da taklifidan kelib chiqadi X. Matematik mantiqda "agar, keyin" so'zlaridan foydalanish buni talab qilmaydi, chunki unda takliflarning ma'nosi hisobga olinmaydi.

2.4 Mantiqiy amallar

Raqamli texnologiyaning asosi uchta mantiqiy operatsiya bo'lib, ular kompyuterning barcha chiqishiga asoslanadi. Bu uchta mantiqiy operatsiya: VA, YOKI, EMAS, ular "mashina mantig'ining uchta ustuni" deb ataladi.

Diskret matematika kursidan ma'lum bo'lgan mantiqiy bog'lovchilar yoki mantiqiy amallar gaplarga qo'llanilishi mumkin. Buning natijasida formulalar. Formulalar harflarning barcha ma'nolarini almashtirish orqali taklifga aylanadi.

Asosiy mantiqiy amallarning haqiqat jadvallari.

Mantiqiy amallar orqali bir-biriga bog'langan bir nechta o'zgaruvchilar mantiqiy funktsiya deyiladi.

Har qanday hisobning tavsifi ushbu hisobning (alifbo) belgilarining tavsifini, belgilarning yakuniy konfiguratsiyasi bo'lgan formulalarni va hosila formulalarining ta'rifini o'z ichiga oladi.

2.5 Takliflar hisobi alifbosi

Nutq hisobi alifbosi uchta toifadagi belgilardan iborat:

Ulardan birinchisi diszyunksiya yoki mantiqiy qo‘shilish belgisi, ikkinchisi qo‘shma yoki mantiqiy ko‘paytirish belgisi, uchinchisi implikatsiya yoki mantiqiy oqibat belgisi, to‘rtinchisi esa inkor belgisidir.

Takliflar hisobining boshqa belgilari yo'q.

2.6 Formulalar.Tavtologiya

Taklifli hisoblash formulalari takliflar hisobi alifbosidagi belgilar ketma-ketligidir.

Lotin alifbosining bosh harflari formulalarni belgilash uchun ishlatiladi. Bu harflar hisob belgilari emas. Ular faqat formulalar belgilaridir.

Ø Ta'rif formulasi - yaxshi tuzilgan qo'shma gap:

1) Har bir harf formula.

2) Agar , formulalar bo’lsa, , , , , ham formulalardir.

Shubhasiz, so'zlar formula emas: ) (bu so'zlarning uchinchisida yopiq qavs, to'rtinchisida esa qavs mavjud emas).

E'tibor bering, bu erda mantiqiy bog'lovchilar tushunchasi konkretlashtirilmagan. Odatda, formulalarga ba'zi soddalashtirishlar kiritiladi. Masalan, formulalar yozuvida takliflar algebrasidagi kabi qoidalarga muvofiq qavslar olib tashlanadi.

Ø Ta'rif. Formula deyiladi tavtologiya, agar u harflarning har qanday qiymatlari uchun faqat haqiqiy qiymatlarni qabul qilsa.

Ø Ta'rif Harflarning har qanday qiymati uchun noto'g'ri bo'lgan formula chaqiriladi qarama-qarshilik

Ø Ta'rif Formula deyiladi qilish mumkin, agar o'zgaruvchilarning haqiqat qiymatlarini taqsimlashning ba'zi to'plamida u VA qiymatini oladi.

Ø Ta'rif Formula deyiladi rad etilishi mumkin, agar o'zgaruvchilarning haqiqat qiymatlarini qandaydir taqsimlash uchun u L qiymatini oladi.

Misol ta'rifning 2-bandiga muvofiq formulalardir.

Xuddi shu sababga ko'ra, so'zlar formulalar bo'ladi:

Formula tushunchasi bilan bir vaqtda tushuncha pastki formulalar yoki formulaning bir qismi.

1. pastki formula elementar formulaning o'zi.

2. Agar formula shaklga ega bo'lsa, u holda uning kichik formulalari: o'zi, A formulasi va A formulasining barcha kichik formulalari.

3. Agar formula (A * B) ko'rinishga ega bo'lsa (bundan buyon matnda * belgisi ostida biz uchta belgidan istalganini tushunamiz), u holda uning kichik formulalari: o'zi, A va B formulalari va formulalarning barcha kichik formulalari. A va B.

Misol Formula uchun uning kichik formulalari bo'ladi:

- nol chuqurlikning pastki formulasi,

Birinchi chuqurlikning pastki formulalari,

Ikkinchi chuqurlikning pastki formulalari,

Uchinchi chuqurlikdagi kichik formulalar,

To'rtinchi chuqurlikning pastki formulasi.

Shunday qilib, biz "formulaning tuzilishiga chuqur kirib borar ekanmiz", biz barcha kichik formulalarni ajratamiz kattaroq chuqurlik

Diskret matematika kursidan tavtologiyalarga misol bo'lgan asosiy mantiqiy ekvivalentlar (ekvivalentlar) ma'lum. Barcha mantiqiy qonunlar tavtologiya bo'lishi kerak.

Ba'zan qonunlar deyiladi olib tashlash qoidalari, binolardan to'g'ri xulosani aniqlaydigan.

2.7 Taklif mantiq qonunlari

Mantiq algebrasi konyunksiya va dis'yunksiya amallariga nisbatan kommutativ va assotsiativ qonunlarga va dis'yunksiyaga nisbatan konyunksiyaning distributiv qonuniga ega, xuddi shu qonunlar sonlar algebrasida sodir bo'ladi.

Shuning uchun, mantiq algebrasi formulalari ustida siz raqamlar algebrasida amalga oshiriladigan bir xil o'zgarishlarni amalga oshirishingiz mumkin (qavslarni ochish, qavslar, umumiy omilni qavslar).

Taklif mantiqining asosiy qonunlarini ko'rib chiqing.

1. Kommutativlik:

, .

2. Assotsiativlik:

3. Tarqatish qobiliyati:

4. Idepotentlik: , .

5. Ikkilamchi inkor qonuni: .

6. Uchinchidan chiqarib tashlash qonuni:.

7. Qarama-qarshilik qonuni: .

8. De Morgan qonunlari:

9. Idepotentlik qonunlari(mantiqiy konstantalar bilan amallar xossalari)

Mantiq algebrasida ko'rsatkichlar va koeffitsientlar mavjud emas. Bir xil “omillar”ning birikmasi ulardan biriga teng

Bu erda va har qanday harflar.

Misollar. tavtologiya formulasi.

Uning nomuvofiqligi emas.

Rassellning antinomiyasi quyidagicha tuzilgan:

Mayli K o'z elementi sifatida o'z ichiga olmagan barcha to'plamlar to'plamidir. Tarkibida bormi K o'zi element sifatida? Ha bo'lsa, ta'rif bo'yicha K, u element bo'lmasligi kerak K- qarama-qarshilik. Agar yo'q bo'lsa, ta'rif bo'yicha K, u element bo'lishi kerak K- yana qarama-qarshilik.

Rassellning antinomiyasidagi qarama-qarshilik kontseptsiyadan foydalanishdan kelib chiqadi barcha to'plamlarning to'plamlari to‘plamlar bilan ishlashda klassik mantiq qonunlarini cheksiz qo‘llash imkoniyatlari haqidagi g‘oyalar. Ushbu antinomiyani yengishning bir qancha usullari taklif qilingan. Eng mashhuri to'plamlar nazariyasi uchun izchil rasmiylashtirish taqdimoti bo'lib, unga nisbatan to'plamlar bilan ishlashning barcha "haqiqatan ham zarur" (ma'lum ma'noda) usullari maqbul bo'ladi. Bunday rasmiylashtirish doirasida, mavjudligi haqidagi bayonot barcha to'plamlarning to'plamlari qaytarilmas bo'lar edi.

Haqiqatan ham, to'plamni deylik U barcha to'plamlar mavjud. Keyin, tanlash aksiomasiga ko'ra, to'plam ham mavjud bo'lishi kerak K, ularning elementlari faqat o'zlarini element sifatida o'z ichiga olmaydigan to'plamlardir. Biroq, to'plamning mavjudligi haqidagi faraz K Rassellning antinomiyasiga olib keladi. Shuning uchun, nazariyaning izchilligini hisobga olgan holda, to'plamning mavjudligi haqidagi bayonot U isbotlanishi kerak bo'lgan bu nazariyada xulosa chiqarish mumkin emas.

Ta'riflangan to'plamlar nazariyasini "saqlash" dasturini amalga oshirish jarayonida uning bir nechta mumkin bo'lgan aksiomatizatsiyalari taklif qilindi (Zermelo-Fraenkel nazariyasi ZF, Neumann-Bernays-Gödel NBG nazariyasi va boshqalar), ammo hech biri uchun. bu nazariyalar, hozirgacha nomuvofiqlik isboti yo'q. Bundan tashqari, Gödel bir qator to'liqsizlik teoremalarini ishlab chiqish orqali ko'rsatganidek, bunday dalil (ma'lum ma'noda) mavjud emas.

Bu kashfiyotga yana bir munosabat Rassellning paradoksi L. E. Ya. Brouverning intuitivizmi paydo bo'ldi.

Ular bu paradoks G.Kantorning toʻplamlar nazariyasining nomuvofiqligini koʻrsatadi, deb yanglishmoqda. Bu fikrlarni inkor etish uchun N.Vavilov quyidagi paradoksni – “Piglet paradoksini” keltiradi:

Mayli n noldan katta va kichik butun sondir. Keyin n faqat salbiy bo'lsa ijobiy bo'ladi.

Bundan ko'rinib turibdiki, faqat biz qabul qilgan sonning yo'qligi kelib chiqadi n, va umuman sonlar nazariyasining nomuvofiqligi emas - xuddi shu usul qarama-qarshilik bilan isbotlashda qo'llaniladi.

Ushbu paradoksning tuzilishi Rassell paradoksining tuzilishi bilan bir xil bo'lib, bu bizga butun to'plamlar nazariyasi emas, balki faqat "barcha to'plamlar to'plami" kontseptsiyasining nomuvofiqligi haqida xulosa chiqarishga imkon beradi.

So'zlarni yozish imkoniyatlari

Ushbu paradoksning ko'plab mashhur formulalari mavjud. Ulardan biri an'anaviy ravishda sartarosh paradoksi deb ataladi va quyidagicha davom etadi:

Bir qishloq sartaroshiga buyurtma berildi "O'z soqolini olmagan odamni soqolini olma, o'zini soqol olganni ham soqol olma" u o'zi bilan qanday munosabatda bo'lishi kerak?

Boshqa variant:

Bir davlat farmon chiqardi: "Barcha shahar merlari o'z shahrida emas, balki maxsus shahar hokimlarida yashashlari kerak" Shahar hokimi qayerda yashashi kerak?

Va yana bir:

Ma'lum bir kutubxona bibliografik katalogni tuzishga qaror qildi, unda barcha va faqat o'zlariga havolalar mavjud bo'lmagan bibliografik kataloglar kiradi. Bunday katalog o'ziga havolani o'z ichiga olishi kerakmi?

Adabiyot

• R. Courant, G. Robbins. Matematika nima? ch. II, 4.5-§
• Miroshnichenko P.N. Frege tizimidagi Rassell paradoksini nima yo'q qildi? // Zamonaviy mantiq: nazariya, tarix va fanda qo'llash muammolari. SPb., 2000 yil. 512-514-betlar.
• Katrechko S.L. Rassellning Sartarosh paradoksi va Platon-Aristotelning dialektikasi // Zamonaviy mantiq: nazariya, tarix va fanda qo'llash muammolari. SPb., 2002 yil. 239-242-betlar.

Eslatmalar

Wikimedia fondi. 2010 yil.

Boshqa lug'atlarda "Sartarosh paradoksi" nima ekanligini ko'ring:

1901 yilda Bertran Rassel tomonidan kashf etilgan va keyinchalik E. Zermelo tomonidan mustaqil ravishda qayta kashf etilgan Rassell paradoksi, rasmiylashtirishning dastlabki urinishi bo'lgan Frege mantiqiy tizimining nomuvofiqligini ko'rsatadigan nazariy to'plam paradoksidir ... ... Vikipediya

Rassell paradoksi, 1903 yilda Bertran Rassel tomonidan kashf etilgan va keyinchalik E. Zermelo tomonidan mustaqil ravishda qayta kashf etilgan to‘plam nazariyasi antinomiyasi G. Kantorning sodda to‘plamlar nazariyasi tilining nomukammalligini, balki uning nomuvofiqligini ko‘rsatadi. Antinomiya ...... Vikipediya

Matematika odatda uning ba'zi an'anaviy tarmoqlarining nomlarini sanab o'tish orqali aniqlanadi. Avvalo, bu raqamlarni o'rganish, ular o'rtasidagi munosabatlar va raqamlar bilan ishlash qoidalari bilan shug'ullanadigan arifmetika. Arifmetika faktlari turli xil ... ... tan oladi. Collier entsiklopediyasi

Ouroboros "O'zini yutib yuboradigan ilon". O'z-o'ziga murojaat qilish (self-reference) - bu tushuncha o'ziga tegishli bo'lganda, taklif tizimlarida yuzaga keladigan hodisa. Boshqacha qilib aytganda, agar mavjud bo'lsa ... Vikipediya

- ... Vikipediya

Mavzuni ishlab chiqish bo'yicha ishlarni muvofiqlashtirish uchun yaratilgan maqolalarning xizmat ro'yxati. Ushbu ogohlantirish ma'lumot maqolalari, ro'yxatlar va lug'atlarda o'rnatilmagan ... Vikipediya

Buyurtmani olgan sartarosh avvaliga xursand bo'ldi, chunki ko'p askarlar o'zlarini qanday qilib oldirishni bilishgan, soqol olishni bilmaganlarning soqolini olishgan, keyin esa dumga o'tirib: o'zi bilan nima qilish kerak? Axir, o‘zini-o‘zi soqol qo‘ysa, sarkardaning o‘z soqolini oldirganlarni qirtirmaslik haqidagi buyrug‘ini buzgan bo‘ladi. Sartarosh allaqachon soqolini olmaslikka qaror qilgan edi. Ammo keyin uning boshiga soqol qo'ymasa, u o'zini o'zi qirmasligi aniq bo'ladi va qo'mondonning buyrug'iga binoan u hali ham sochini olishi kerak degan fikr paydo bo'ldi ...

Unga nima bo'ldi, tarix jim.

Va to'plamlar nazariyasi haqida nima deyish mumkin? Mana nima: qo'mondon sartarosh soqol olishi kerak bo'lgan odamlar to'plamini shu tarzda aniqlashga harakat qildi:

o'zlari va faqat o'zlarini soqol qilmaganlar.

Oddiy to'plam bir nechta ruscha so'zlar bilan tasvirlanganga o'xshaydi, nima uchun u yomonroq, masalan, to'plamlar

maktabdagi barcha o'quvchilar?

Ammo bu to'plam bilan darhol muammo paydo bo'ladi: sartaroshlar ushbu to'plamga tegishlimi yoki yo'qmi, aniq emas.

Mana bu paradoksning yana bir versiyasi.

Keling, rus tilining sifatdoshini chaqiraylik aks ettiruvchi belgilaydigan xususiyatga ega bo'lsa. Masalan, “ruscha” sifatdoshi refleksiv, “inglizcha” sifatdoshi refleksiv, “uch bo‘g‘inli” sifatdoshi refleksiv (bu so‘z uch bo‘g‘indan iborat), “to‘rt bo‘g‘inli” sifatdoshi esa refleksiv emas. -refleksiv (besh bo'g'indan iborat). Ko'rinishidan, to'plamni aniqlashga hech narsa to'sqinlik qilmaydi

barcha refleksli sifatlar.

Ammo keling, "reflekssiz" sifatdoshini ko'rib chiqaylik. Bu aks ettiruvchimi yoki yo'qmi?

Aytish mumkinki, “norefleksiv” sifatdoshi na refleksli, na refleksli emas. Ammo qanday qilib bunday afsun bilan bo'lish kerak:

Tasdiq haqiqatmi yoki inkor haqiqatmi?

(Ushbu sehr istisno qilingan o'rta qonuni deb ataladi va qarama-qarshilik usuli aslida unga asoslanadi.)

Va nihoyat, paradoksning uchinchi versiyasi. To'plamni ko'rib chiqing

Shunday qilib o'rnatadi

Biz to'plamga faqat o'ziga tegishli bo'lgan to'plamlarni kiritamiz. Boshqa to'plamlarni o'z ichiga olgan to'plamlar mavjud. Masalan, keling

to'plam raqamlarni o'z ichiga oladi va to'plam ikkita elementga ega: to'plam va raqam. Qutilarga qaytsak, shunday deyish mumkin: ba'zi qutilarni boshqa qutilarga qo'yish mumkin. (Ma'lum bo'lishicha, har bir uyali qutilar ketma-ketligi har doim cheklangan miqdordagi elementlarga ega - buning chuqur sabablari bor.)

Ko'rib chiqilgan to'plam o'ziga xos "sartarosh" dir. Agar biz buni taxmin qilsak, darhol xulosa qilamiz. Agar biz shunday deb hisoblasak - biz buni olamiz.

Ushbu paradokslarga duch kelgan to'plam nazariyotchilari buni tushunishdi ixtiyoriy iboralar bilan to'plamlarni belgilay olmaysiz. Shundan so'ng ular paradokslar bilan ikki yo'l bilan shug'ullanishni boshladilar.

Birinchi yo'l "sodda to'plam nazariyasi"ni o'ylab topgan Kantorning yo'li bo'lib, unda paradokslarga olib keladigan barcha harakatlar va operatsiyalar taqiqlanadi. G'oya shunday: "tabiatda uchraydigan" to'plamlar bilan ishlashga ruxsat beriladi, ulardan oqilona to'plam-nazariy amallar orqali olingan to'plamlar bilan ishlashga ham ruxsat beriladi. Keling, masalan,

Ko'p maktab o'quvchilari
= uzluksiz funktsiyalar to'plami

(bu to'plamlar "tabiatda uchraydi"), ulardan siz birlashma, kesishish olishingiz mumkin. Hatto to'plamni to'plamga ko'paytirish mumkin: ta'rifi bo'yicha

Birinchi element birinchi to'plamdan, ikkinchisi esa ikkinchidan bo'lgan juftliklar to'plami. Bizning holatda, bu birinchi element maktab o'quvchisi bo'lgan juftliklar to'plami, ikkinchisi esa qandaydir uzluksiz funktsiyadir.

Boshqa yo'l - aksiomatik. Paradokslarni yengishning bu usuli Zermelo va Frenkel (Zermelo-Frenkel aksioma tizimi), Gödel va Bernays (Godel-Bernays aksioma tizimi) tomonidan ishlab chiqilgan. Ushbu nazariyaga ko'ra, to'plam quyidagi kabi aksiomalarni qondiradigan narsadir.

Aksioma yozuvlari “kvantorlar tilida” takrorlanadi. Qo'llanilgan miqdor ko'rsatkichlarining ma'nosi:
- har kim uchun;
- mavjud;
- faqat bittasi bor;
- to'plam;
- shartni qanoatlantiradigan va faqat o'shalar to'plami;
- mantiqiy "yoki";
- mantiqiy "va".

1. Ovoz aksiomasi. To'plam uning elementlari bilan belgilanadi: bir xil elementlardan tashkil topgan to'plamlar tengdir.

2. Birlashtirish aksiomasi. To'plamning barcha elementlarining birlashishi to'plamdir.

3. Tanlash aksiomasi. Har bir to'plam va har bir shart uchun to'plam mavjud

Shartni qanoatlantiradigan to'plam elementlarining kichik to'plami.

Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, biz butun dunyodan barcha uchuvchi timsohlar to'plamini yoki o'zlari bo'lmagan to'plamlar to'plamini ololmaymiz, lekin biz ma'lum bir to'plamni olib, undagi "parcha" -ni tanlashimiz mumkin. uning ma'lum bir shartni qondiradigan elementlari.

4. Darajaning aksiomasi. Berilgan to‘plamning barcha kichik to‘plamlari to‘plami to‘plamdir.

5. Almashtirish aksiomasi. To'plam va ixtiyoriy formula bo'lsin. Agar har biri uchun haqiqat mavjud bo'lsa va o'ziga xos bo'lsa, unda haqiqat bo'lgan hamma narsaning to'plami mavjud.

6. Moliyalashtirish aksiomasi. Ichki to'plamlarning cheksiz ketma-ketligi yo'q: to'plamlarning har bir zanjiri

7. Cheksizlik aksiomasi. Cheksiz to'plamlar mavjud, ya'ni ga ekvivalent bo'lgan shunday to'plamlar.

8. Tanlov aksiomasi. Yana bir juda murakkab, ammo ayni paytda juda aniq aksioma - bu haqda keyinroq.

To'plamlar nazariyasi aksiomatikasi haqida ko'proq ma'lumot olish uchun kitobga qarang.